第一篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第11講 勾股定理與應(yīng)用

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第十一講 勾股定理與應(yīng)用

在課內(nèi)我們學(xué)過(guò)了勾股定理及它的逆定理．

勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c2．

勾股定理逆定理 如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c有下面關(guān)系：

a2+b2=c2

那么這個(gè)三角形是直角三角形．

早在3000年前，我國(guó)已有“勾廣三，股修四，徑陽(yáng)五”的說(shuō)法．

關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國(guó)它們都是用拼圖形面積方法來(lái)證明的．下面的證法1是歐幾里得證法．

證法1 如圖2-16所示．在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長(zhǎng)分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積之和．

過(guò)C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因?yàn)?/p>

AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而

所以 SAEML=b2． ①

同理可證 SBLMD=a2． ②

①+②得

SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．

證法2 如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長(zhǎng)到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長(zhǎng)為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知

△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以

AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB為邊長(zhǎng)是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個(gè)全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即

化簡(jiǎn)得 a2+b2=c2．

證法3 如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長(zhǎng)CB，自E作EG⊥CB延長(zhǎng)線于G，自D作DK⊥CB延長(zhǎng)線于K，又作AF，DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：

△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．

設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面

S=SABDE+2S△ABC，①

另一方面

S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②

由①，②

所以 c2=a2+b2．

關(guān)于勾股定理，在我國(guó)古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習(xí)題中展示其中一小部分，它們都以中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的名字命名．

利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論．

定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對(duì)的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長(zhǎng)線)上的射影的乘積的2倍．

證(1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D，則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①

在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②

又

BD2=(BC-CD)2，③

②，③代入①得

AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)

2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD

=AC2+BC2-2BC·CD，即

c2=a2+b2-2a·CD． ④

(2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示．過(guò)A作AD與BC延長(zhǎng)線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長(zhǎng)線)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤

在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥

又

BD2=(BC+CD)2，⑦

將⑥，⑦代入⑤得

AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2

=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD

=AC2+BC2+2BC·CD，即

c2=a2+b2+2a·cd． ⑧

綜合④，⑧就是我們所需要的結(jié)論

特別地，當(dāng)∠C=90°時(shí)，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：

c2=a2+b2．

因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．

由廣勾股定理我們可以自然地推導(dǎo)出三角形三邊關(guān)系對(duì)于角的影響．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°；

(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°；

(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°．

勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．

例1 如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2．

分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明△ABE≌△AFE．

證 因?yàn)锳E是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以 AF=AB． ①

在Rt△AGF中，因?yàn)椤螰AG=45°，所以

AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2． ②

由①，②得

AB2=2FG2．

說(shuō)明 事實(shí)上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識(shí)到兩個(gè)直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過(guò)渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個(gè)直角三角形中，可以利用勾股定理進(jìn)行證明了．

例2 如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．

證 過(guò)A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))．由廣勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①

在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②

①+②，并注意到MB=MC，所以

AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③

如果設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，它們對(duì)應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長(zhǎng)的公式．

推論 △ABC的中線長(zhǎng)公式：

說(shuō)明 三角形的中線將三角形分為兩個(gè)三角形，其中一個(gè)是銳角三角形，另一個(gè)是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項(xiàng)，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長(zhǎng)．

例3 如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍．

分析 如圖2-23所示．對(duì)角線中點(diǎn)連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題．

證 設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD中點(diǎn)分別是Q，P．由例2，在△BDQ中，即

2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①

在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以

在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以

將②，③代入①得

=4PQ2+BD2，即

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．

說(shuō)明 本題是例2的應(yīng)用．善于將要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，是人們解決問(wèn)題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們?cè)倏磧蓚€(gè)例題，說(shuō)明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用．

例4 如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點(diǎn)．求證：AD2+BE2=AB2+DE2．

分析 求證中所述的4條線段分別是4個(gè)直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手．

證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以

AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2

例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．

如圖2-25所示．設(shè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證：

4(AM2+BN2)=5AB2．

分析 由于AM，BN，AB均可看作某個(gè)直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況——即M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過(guò)程十分簡(jiǎn)潔．

證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有

AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①

由于M，N是BC，AC的中點(diǎn)，所以

所以 4MN2=AB2． ②

由①，②

4(AM2+BN2)=5AB2．

說(shuō)明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會(huì)知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥AB且MN=圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在邊的中點(diǎn)，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△=

高相ABM同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．

練習(xí)十一

1．用下面各圖驗(yàn)證勾股定理(虛線代表輔助線)：

(1)趙君卿圖(圖2-27)；

(2)項(xiàng)名達(dá)圖(2-28)；

(3)楊作枚圖(圖2-29)．

2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，求證：PA2+PC2=PB2+PD2．

(提示：應(yīng)分三種情形加以討論，P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個(gè)結(jié)論．)

3．由△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)．求證：

AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．

4．如圖2-30所示．在四邊形ADBC中，對(duì)角線AB⊥CD．求證：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？證明你的結(jié)論．

5．如圖2-31所示．從銳角三角形ABC的頂點(diǎn)B，C分別向?qū)呑鞔咕€BE，CF．求證：

BC2=AB·BF+AC·CE．

第二篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第18講 歸納與發(fā)現(xiàn)

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第十八講 歸納與發(fā)現(xiàn)

歸納的方法是認(rèn)識(shí)事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先從簡(jiǎn)單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個(gè)例題，以見一般．

例1 如圖2-99，有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn))；第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，?這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問(wèn)第n層有多少個(gè)點(diǎn)？這個(gè)點(diǎn)陣共有多少個(gè)點(diǎn)？

分析與解 我們來(lái)觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù)．

第一層有點(diǎn)數(shù)：1； 第二層有點(diǎn)數(shù)：1×6； 第三層有點(diǎn)數(shù)：2×6； 第四層有點(diǎn)數(shù)：3×6；

??

第n層有點(diǎn)數(shù)：(n-1)×6.因此，這個(gè)點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)×6個(gè)．n層共有點(diǎn)數(shù)為

例2 在平面上有過(guò)同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，那么試問(wèn)：

(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？

(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？

分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測(cè)

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因?yàn)镾1=2，所以

下面對(duì)Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說(shuō)明．

因?yàn)镾n-1為n-1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過(guò)定點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)加上去的圓必與前n-1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n-1個(gè)圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來(lái)解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發(fā)現(xiàn)

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，??

an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個(gè)式子相加

注意 請(qǐng)讀者說(shuō)明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長(zhǎng)，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數(shù))，試問(wèn)這樣的三角形有多少個(gè)？

分析與解 我們先來(lái)研究一些特殊情況：

(1)設(shè)b=n=1，這時(shí)b=1，因?yàn)閍≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個(gè)三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時(shí)不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)b=n=1時(shí)，滿足條件的三角形只有一個(gè)．

(2)設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3．

(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表18．4．

這時(shí)滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3=6．

通過(guò)上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

這個(gè)猜想是正確的．因?yàn)楫?dāng)b=n時(shí)，a可取n個(gè)值(1，2，3，?，n)，對(duì)應(yīng)于a的每個(gè)值，不妨設(shè)a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(gè)(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當(dāng)b=n時(shí)，滿足條件的三角形總數(shù)為：

例4 設(shè)1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡(jiǎn)：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當(dāng)n=1時(shí)，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當(dāng)n=2時(shí)，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當(dāng)n=3時(shí)，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當(dāng)n=4時(shí)，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個(gè)猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設(shè)x＞0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大?。?/p>

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗(yàn)比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路．為此，設(shè)x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設(shè)x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設(shè)x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時(shí)，x3＜x2+x+2；當(dāng)x值較大時(shí)，x3＞x2+x+2．

那么自然會(huì)想到：當(dāng)x=？時(shí)，x3=x2+x+2呢？如果這個(gè)方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”．為此，設(shè)x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因?yàn)閤＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣

(1)當(dāng)x=2時(shí)，x3=x2+x+2；

(2)當(dāng)0＜x＜2時(shí)，因?yàn)?/p>

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當(dāng)x＞2時(shí)，因?yàn)?/p>

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答．

分析 先由特例入手，注意到

例7 已知E，F(xiàn)，G，H各點(diǎn)分別在四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA邊上(如圖2—101)．

(2)當(dāng)上述條件中比值為3，4，?，n時(shí)(n為自然數(shù))，那S么S四邊形EFGH與S四邊形ABCD之比是多少？

∥AC交DA于M點(diǎn)．由平行截割定理易知

G引GM

(2)設(shè)

當(dāng)k=3，4時(shí)，用類似于(1)的推理方法將所得結(jié)論與(1)的結(jié)論列成表18．5.觀察表18．5中p，q的值與對(duì)應(yīng)k值的變化關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k=n(自然數(shù))時(shí)有

以上推測(cè)是完全正確的，證明留給讀者．

練習(xí)十八

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒(méi)有兩條直線互相平行(即每?jī)蓷l直線都相交)，也沒(méi)有三條或三條以上的直線通過(guò)同一點(diǎn)．試求：

(1)這n條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？

然后做出證明.)

4．求適合x5=656356768的整數(shù)x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝

第三篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第14講 中位線及其應(yīng)用

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第十四講 中位線及其應(yīng)用

中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．

例1 如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，△ABC的面積．

分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長(zhǎng)．

解 由已知，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以

由條件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米)，從而 AD=8(厘米)，由于E，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EG是△ABC的一條中位線，所以

BC=2EG=2×6=12(厘米)，顯然，AD是BC上的高，所以

例2 如圖 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求證：GH∥BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

分析 若延長(zhǎng)AG，設(shè)延長(zhǎng)線交BC于M．由角平分線的對(duì)稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點(diǎn)；同樣，延長(zhǎng)AH交BC于N，H是AN的中點(diǎn)，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進(jìn)而，利用△ABC的三邊長(zhǎng)可求出GH的長(zhǎng)度．

(1)證 分別延長(zhǎng)AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以

△ABG≌△MBG(ASA)．

從而，G是AM的中點(diǎn)．同理可證

△ACH≌△NCH(ASA)，從而，H是AN的中點(diǎn)．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即

HG∥BC．

(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以

AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．

又BC=18厘米，所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

從而

MN=18-4-9=5(厘米)，說(shuō)明(1)在本題證明過(guò)程中，我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的垂線，則這條平分線也是對(duì)邊的中線，這個(gè)三角形是等腰三角形”．

(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的中線，則這個(gè)三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對(duì)邊”．同學(xué)們不妨自己證明．

(3)從本題的證明過(guò)程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那么，結(jié)論GH∥BC仍然成立．同學(xué)們也不妨試證．

例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)．求證：A′C′=B′D′．

分析 由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)，有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′

與B′D′則是它的對(duì)角線，從而四邊形A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點(diǎn)．

證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而

A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以

AB⊥BC，BC∥PQ．

從而

AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以

A′C′=B′D′． ①

說(shuō)明 在解題過(guò)程中，人們的經(jīng)驗(yàn)?？善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴(kuò)大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點(diǎn)連線是平行四邊形”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是很有益處的．

例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：

分析 在多邊形的不等關(guān)系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不

形中構(gòu)造中位線，為此，取AD中點(diǎn)．

證 取AD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點(diǎn))，所以

同理，由F，G分別是BD和AD的中點(diǎn)，從而，F(xiàn)G是△ABD的中位線，所以

在△EFG中，EF＞EG-FG． ③

由①，②，③

例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點(diǎn)，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．

分析 本題等價(jià)于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．

在E點(diǎn)(即直角三角形的直角頂點(diǎn))是梯形一腰中點(diǎn)的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問(wèn)題獲解．

證 取梯形另一腰AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以

因?yàn)锳D=AB+CD，所以

從而

∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內(nèi)角和等于180°)．從而

∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．

例6 如圖2-60所示．△ABC外一條直線l，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)，AA1，F(xiàn)F1，DD1，EE1都垂直l于A1，F(xiàn)1，D1，E1．求證：

AA1+EE1=FF1+DD1．

分析 顯然ADEF是平行四邊形，對(duì)角線的交點(diǎn)O平分這兩條對(duì)角線，OO1恰是兩個(gè)梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．

證 連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對(duì)角線AE，DF互相平分，設(shè)它們交于O，作OO1⊥l于O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線，所以

即 AA1+EE1=FF1+DD1．

練習(xí)十四

1．已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，AE=2CE，CD，BE交于O點(diǎn)，OE=2厘米．求BO的長(zhǎng)．

2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長(zhǎng)．

3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)．求證：∠BFE=∠EGD．

4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC，分別交FE的延長(zhǎng)線于H，G．求證：∠AHF=∠BGF．

5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn)(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．

6．如圖2-63所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求證：AP=AQ．

7．已知在四邊形ABCD中，AD＞BC，E，F(xiàn)分別是AB，CD

第四篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第32講 自測(cè)題

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第三十二講 自測(cè)題

自測(cè)題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個(gè)三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，D為BC上的任一點(diǎn)，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對(duì)角(∠A，∠C)相等時(shí)，另一組對(duì)角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連AN，CM交于P點(diǎn)．求∠APM的度數(shù)．

9．某服裝市場(chǎng)，每件襯衫零售價(jià)為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購(gòu)買2件130元；購(gòu)滿5件者，每件以零售價(jià)的九折出售；購(gòu)買7件者送1件．某人要買6件，問(wèn)有幾種購(gòu)物方案(必要時(shí)，可與另一購(gòu)買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測(cè)題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對(duì)于集合

p={x丨x是1到100的整數(shù)}

中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號(hào)表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問(wèn)題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個(gè)數(shù)；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個(gè)整數(shù)根．

(1)求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)；

(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；

(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號(hào)時(shí)，求a的值及這兩個(gè)根．

5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點(diǎn)，連BO，OC并分別延長(zhǎng)交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應(yīng)150本，門市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書的運(yùn)費(fèi)如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運(yùn)，才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少？

自測(cè)題三

2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個(gè)根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個(gè)根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點(diǎn)，過(guò)D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．

(1)現(xiàn)有三個(gè)單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個(gè)單位分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最省？

(2)若三個(gè)單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最?。?/p>

(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？

自測(cè)題四

1．求多項(xiàng)式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設(shè)

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)O，過(guò)O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點(diǎn)P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)．

6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．

7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時(shí)，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個(gè)工作部門，假日去不同景點(diǎn)旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費(fèi)120元，乙部門每人花費(fèi)110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問(wèn)甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過(guò)AD上一點(diǎn)E引直線EF∥AC交BA延長(zhǎng)線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，命題(1)將會(huì)怎樣？

(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)又會(huì)怎樣？

自測(cè)題五

2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a(chǎn)，b，c是三個(gè)自然數(shù)，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個(gè)．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時(shí)，將怎樣？

按沿河距離計(jì)算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn)，從B點(diǎn)筑一條公路到D，才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最??？

第五篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第三十一講復(fù)習(xí)題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個(gè)二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點(diǎn)．求證：E是AB的中點(diǎn)．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC．若BC中點(diǎn)為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點(diǎn)．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過(guò)M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過(guò)N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點(diǎn)，連CN并延長(zhǎng)交AB于E．求證：

25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：

(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；

(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．

27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個(gè)數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計(jì)算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個(gè)數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計(jì)算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續(xù)下去，最后得到一個(gè)數(shù)x，問(wèn)x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長(zhǎng)．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

34．求所有的正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．

35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時(shí)，方程

x2＋px＋q=0

無(wú)整數(shù)根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過(guò)C引直線CE∥AD交AB的延長(zhǎng)線于E，求BE之長(zhǎng)．

37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點(diǎn)分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來(lái)的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對(duì)應(yīng)邊分別作三個(gè)相似三角形，那么這三個(gè)相似三角形面積之間有什么關(guān)系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來(lái)表示，那么這個(gè)三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時(shí)，重4.4千克，水高為10厘米時(shí)，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時(shí)，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測(cè)當(dāng)水高為8厘米時(shí)，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個(gè)人抽簽，為此先做好10個(gè)簽，其中7個(gè)簽上寫“有票”，3個(gè)簽上寫“無(wú)票”，然后10個(gè)人排好隊(duì)按順序抽簽．問(wèn)第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個(gè)互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩(shī)人王之渙的著名詩(shī)篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩(shī)人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解釋．

46．在一個(gè)池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問(wèn)如何利用這根水草測(cè)出水深？

47．在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個(gè)村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來(lái)，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個(gè)城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長(zhǎng)度最短(圖2-191)？

49．三個(gè)同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒(méi)有完全記住這輛汽車的車號(hào)(車號(hào)由4位數(shù)字組成)，可是第一個(gè)同學(xué)記住車號(hào)的前兩位數(shù)是相同的，第二個(gè)同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個(gè)同學(xué)記得這個(gè)四位數(shù)恰好是一個(gè)數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號(hào)嗎？

50．圖2-192是一個(gè)彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時(shí)刻度0齊上線，彈簧伸長(zhǎng)的初始長(zhǎng)度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長(zhǎng)度也相應(yīng)地伸長(zhǎng)．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：

(1)以x，y的對(duì)應(yīng)值(x，y)為點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖；

(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時(shí)，y的長(zhǎng)度．