第一篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第18講 歸納與發(fā)現(xiàn)

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第十八講 歸納與發(fā)現(xiàn)

歸納的方法是認(rèn)識事物內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性的一種重要思考方法，也是數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)命題與發(fā)現(xiàn)解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經(jīng)驗(yàn)歸納，也就是在求解數(shù)學(xué)問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經(jīng)驗(yàn)結(jié)果，然后以這些經(jīng)驗(yàn)作基礎(chǔ)，分析概括這些經(jīng)驗(yàn)的共同特征，從而發(fā)現(xiàn)解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．

例1 如圖2-99，有一個六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個點(diǎn)，算作第一層；第二層每邊有兩個點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個點(diǎn))；第三層每邊有三個點(diǎn)，?這個六邊形點(diǎn)陣共有n層，試問第n層有多少個點(diǎn)？這個點(diǎn)陣共有多少個點(diǎn)？

分析與解 我們來觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù)．

第一層有點(diǎn)數(shù)：1； 第二層有點(diǎn)數(shù)：1×6； 第三層有點(diǎn)數(shù)：2×6； 第四層有點(diǎn)數(shù)：3×6；

??

第n層有點(diǎn)數(shù)：(n-1)×6.因此，這個點(diǎn)陣的第n層有點(diǎn)(n-1)×6個．n層共有點(diǎn)數(shù)為

例2 在平面上有過同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點(diǎn)，任何三個圓除P點(diǎn)外無其他公共點(diǎn)，那么試問：

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域？

(2)這n個圓共有多少個交點(diǎn)？

分析與解(1)在圖2-100中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因?yàn)镾1=2，所以

下面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．

因?yàn)镾n-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個圓，即當(dāng)n個圓過定點(diǎn)P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發(fā)現(xiàn)

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，??

an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個式子相加

注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設(shè)a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數(shù)，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數(shù))，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

(1)設(shè)b=n=1，這時b=1，因?yàn)閍≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構(gòu)成三角形，可見，當(dāng)b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．

(2)設(shè)b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1+2=3．

(3)設(shè)b=n=3，類似地可得表18．4．

這時滿足條件的三角形總數(shù)為：1＋2＋3=6．

通過上面這些特例不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：

這個猜想是正確的．因?yàn)楫?dāng)b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應(yīng)于a的每個值，不妨設(shè)a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當(dāng)b=n時，滿足條件的三角形總數(shù)為：

例4 設(shè)1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當(dāng)n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當(dāng)n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當(dāng)n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當(dāng)n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設(shè)x＞0，試比較代數(shù)式x3和x2+x+2的值的大小．

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設(shè)x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗(yàn)比較，或許能啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)解題思路．為此，設(shè)x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設(shè)x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設(shè)x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x值較小時，x3＜x2+x+2；當(dāng)x值較大時，x3＞x2+x+2．

那么自然會想到：當(dāng)x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點(diǎn)”．為此，設(shè)x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因?yàn)閤＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣

(1)當(dāng)x=2時，x3=x2+x+2；

(2)當(dāng)0＜x＜2時，因?yàn)?/p>

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當(dāng)x＞2時，因?yàn)?/p>

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答．

分析 先由特例入手，注意到

例7 已知E，F(xiàn)，G，H各點(diǎn)分別在四邊形ABCD的AB，BC，CD，DA邊上(如圖2—101)．

(2)當(dāng)上述條件中比值為3，4，?，n時(n為自然數(shù))，那S么S四邊形EFGH與S四邊形ABCD之比是多少？

∥AC交DA于M點(diǎn)．由平行截割定理易知

G引GM

(2)設(shè)

當(dāng)k=3，4時，用類似于(1)的推理方法將所得結(jié)論與(1)的結(jié)論列成表18．5.觀察表18．5中p，q的值與對應(yīng)k值的變化關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)k=n(自然數(shù))時有

以上推測是完全正確的，證明留給讀者．

練習(xí)十八

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點(diǎn)．試求：

(1)這n條直線共有多少個交點(diǎn)？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區(qū)域？

然后做出證明.)

4．求適合x5=656356768的整數(shù)x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．＝

第二篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第32講 自測題

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第三十二講 自測題

自測題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，D為BC上的任一點(diǎn)，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連AN，CM交于P點(diǎn)．求∠APM的度數(shù)．

9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對于集合

p={x丨x是1到100的整數(shù)}

中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數(shù)；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數(shù)根．

(1)求證：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)；

(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；

(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號時，求a的值及這兩個根．

5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個整數(shù)的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點(diǎn)，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應(yīng)150本，門市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書的運(yùn)費(fèi)如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運(yùn)，才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少？

自測題三

2．對于任意實(shí)數(shù)k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點(diǎn)，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對每一個自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．

(1)現(xiàn)有三個單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最?。?/p>

(2)若三個單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最??？

(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？

自測題四

1．求多項(xiàng)式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設(shè)

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點(diǎn)O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點(diǎn)P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．

6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．

7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點(diǎn)旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費(fèi)120元，乙部門每人花費(fèi)110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過AD上一點(diǎn)E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當(dāng)E點(diǎn)移動到D點(diǎn)時，命題(1)將會怎樣？

(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長線上時又會怎樣？

自測題五

2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a(chǎn)，b，c是三個自然數(shù)，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時，將怎樣？

按沿河距離計(jì)算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn)，從B點(diǎn)筑一條公路到D，才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最??？

第三篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題

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第三十一講復(fù)習(xí)題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點(diǎn)B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點(diǎn)．求證：E是AB的中點(diǎn)．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點(diǎn)為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對角線中點(diǎn)的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點(diǎn)．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，P是CD延長線上的一點(diǎn)，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點(diǎn)，連CN并延長交AB于E．求證：

25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：

(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；

(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．

27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計(jì)算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計(jì)算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續(xù)下去，最后得到一個數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

34．求所有的正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．

35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時，方程

x2＋px＋q=0

無整數(shù)根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．

37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點(diǎn)分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應(yīng)邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關(guān)系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測當(dāng)水高為8厘米時，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊(duì)按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問題加以解釋．

46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？

47．在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？

49．三個同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數(shù)字組成)，可是第一個同學(xué)記住車號的前兩位數(shù)是相同的，第二個同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個同學(xué)記得這個四位數(shù)恰好是一個數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？

50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應(yīng)地伸長．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：

(1)以x，y的對應(yīng)值(x，y)為點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖；

(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時，y的長度．

第四篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第08講平行四邊形

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第八講平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅巍匦?、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用．

由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)：

(1)平行四邊形對角相等；

(2)平行四邊形對邊相等；

(3)平行四邊形對角線互相平分．

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：

分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因?yàn)锳F=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．

例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．

證 作GH⊥BC于H，連接EH．因?yàn)锽G是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

因?yàn)锳D∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤螧EA=∠BEH，等角的補(bǔ)角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應(yīng)角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

從而

EH∥AC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

人們在學(xué)習(xí)中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對我們探索新的問題是十分有益的．

例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開．

證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．

分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌蔷€相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36)．求證：

分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2．

證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

設(shè)正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

證 因?yàn)镈EBD=FD，所以

BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習(xí)十二

1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分

第五篇：全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集第21講 分類與討論

全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(八年級)教學(xué)案全集

第二十一講 分類與討論

分類在數(shù)學(xué)中是常見的，讓我們先從一個簡單的例子開始．

有四張卡片，它們上面各寫有一個數(shù)字：1，9，9，8．從中取出若干張按任意次序排列起來得到一個數(shù)，這樣的數(shù)中有多少個是質(zhì)數(shù)？

因?yàn)榘匆笏玫臄?shù)可能是一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)和四位數(shù)，我們分別給予討論．

任取一張卡片，只能得3個數(shù)：1，8，9，其中沒有質(zhì)數(shù)；任取二張卡片，可得7個數(shù)：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89兩個是質(zhì)數(shù)；任取三張卡片，可得12個數(shù)：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三個數(shù)是質(zhì)數(shù)；取四張，所得的任一個四位數(shù)的數(shù)字和是27，因而是3的倍數(shù)，不是質(zhì)數(shù)．綜上所述，質(zhì)數(shù)共有2＋3=5個．

上面的解題方法稱為分類討論法．當(dāng)我們要解決一個比較復(fù)雜的問題時，經(jīng)常把所要討論的對象分成若干類，然后逐類討論，得出結(jié)論．

分類討論法是一種很重要的數(shù)學(xué)方法．在分類中須注意題中所含的對象都必須在而且只在所分的一類中．分類討論一般分為三個步驟，首先確定分類對象，即對誰實(shí)施分類．第二是對對象實(shí)施分類，即分哪幾類，這里要特別注意，每次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，并做到不重復(fù)、不遺漏，有些復(fù)雜的問題，還要逐級分類．最后對討論的結(jié)果進(jìn)行綜合，得出結(jié)論．

例1 求方程

x2-│2x-1│-4=0 的實(shí)根．

x2+2x-1-4=0，x2-2x＋1-4=0，x1＝3，x2=-1．

說明 在去絕對值時，常常要分類討論．

例2 解方程x2-[x]=2，其中[x]是不超過x的最大整數(shù)．

解 由[x]的定義，可得

x≥[x]=x2-2，所以 x2-x-2≤0，解此不等式得

-1≤x≤2．

現(xiàn)把x的取值范圍分成4個小區(qū)間(分類)來進(jìn)行求解．

(1)當(dāng)-1≤x≤0時，原方程為

x2-(-1)=2，所以x=-1(因x=1不滿足-1≤x＜0)．

(2)當(dāng)0≤x＜1時，原方程為

x2=2．

(3)當(dāng)1≤x＜2時，原方程為

x2-1=2，所以

(4)當(dāng)x=2時，滿足原方程．

例3 a是實(shí)數(shù)，解方程

x│x+1│+a=0．

分析 方程中既含有絕對值，又含有參數(shù)a，若以平方化去絕對值的話，則引入了高次方程，把問題更加復(fù)雜化了．對這種問題，宜討論x的取值范圍來求解．

解(1)當(dāng)x＜-1時，原方程變形為

x2＋x-a=0．①

當(dāng)△=1＋4a≥0(且a=-x│1＋x│＞0)，即a＞0時，①的解為

(2)當(dāng)x≥-1時，原方程為

x2＋x＋a=0．②

又x≥-1，即

綜上所述，可得：當(dāng)a＜0時，原方程的解為

例5 已知三角形中兩角之和為n，最大角比最小角大24°，求n的取值范圍．

解 設(shè)三角形的三個角度數(shù)分別是α，β，γ，且有α≥β≥γ． 由題設(shè)α-γ=24．

(1)若β+γ=n，則α=180°-n，γ=α-24°＝156°-n，β＝n-γ＝2n-156°．

所以

156°-n≤2n-156°≤180°-n，所以 104°≤n≤112°．

(2)若α＋γ=n，則β=180°-n，于是

所以

所以 112°≤n≤128°．

(3)若α＋β=n，則γ=180°-n，α=γ+24°=204°-n，β=n-α=2n-204°．于是

180°-n≤2n-204°≤204°-n，所以 128°≤n≤136°．

綜上所述，n的取值范圍是104°≤n≤136°．

例6 證明：若p是大于5的質(zhì)數(shù)，則p2-1是24的倍數(shù)．

分析 關(guān)于整數(shù)的問題，我們常把它分成奇數(shù)和偶數(shù)(即按模2分類)來討論，有時也把整數(shù)按模3分成三類：3k，3k＋1，3k＋2．一般地，可根據(jù)問題的需要，把整數(shù)按模n來分類．本題我們按模6來分類．

證 把正整數(shù)按模6分類，可分成6類：6k，6k+1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5．因p是大于5的質(zhì)數(shù)，故p只能屬于6k+1，6k+5這兩類．

當(dāng)p=6k＋1時，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)．

因k，3k＋1中必有一個偶數(shù)，此時24│p2-1．

當(dāng)p=6k＋5時，p2-1=36k2＋60k＋24

＝12k2＋12k

=12k(k＋1)≡0(mod 24)．

所以，P2-1是24的倍數(shù)．

例7 證明

A=││x-y│+x+y-2z│+│x-y│+x+y+2z

＝4max｛x，y，z｝，其中max｛x，y，z｝表示x，y，z這三個數(shù)中的最大者．

分析 欲證的等式中含有三個絕對值符號，且其中一個在另一個內(nèi)，要把絕對值去掉似乎較為困難，但等式的另一邊對我們有所提示，如果x為x，y，z中的最大者，即證A=4x，依次再考慮y，z是它們中的最大值便可證得．

證(1)當(dāng)x≥y，x≥z時，A=│x-y+x+y-2z│＋x-y+x+y+2z

=2x-2z+2x+2z=4x.(2)當(dāng)y≥z，y≥x時，A=│y-x+x+y-2z│+y-x+x+y+2z

=2y-2z+2y+2z=4y．

(3)當(dāng)z≥x，z≥y時，因?yàn)?/p>

│x-y│＋x＋y=max｛x，y｝≤2z，所以

A=2z-│x-y│-x-y+│x-y│+x+y+2z=4z．

從而 A=4max｛x，y，z｝．

例8 在1×3的矩形內(nèi)不重疊地放兩個與大矩形相似的小矩形，且每個小矩形的每條邊相應(yīng)地與大矩形的一條邊平行，求兩個小矩形周長和的最大值．

解 兩個小矩形的放置情況有如下幾種：

(2)兩個小矩形都“橫放”，如圖2-124及圖2-125所示，這時兩個小矩形的周長和的最大值是

2(a＋3a)＋2[1-a＋3(1-a)]＝8．

(3)兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，如圖2-126，這時兩個小矩形的周長和為

練習(xí)二十一

1．解不等式：│x+1│＋│x│＜2．

2．解關(guān)于x的不等式：a(ax-1)＞x-1.3．解方程：││x-3│-2│=a．

4．解方程：x2-2[x]-3=0．

6．設(shè)等腰三角形的一腰與底邊分別是方程x2-bx＋a=0的兩根，當(dāng)這樣的三角形只有一個時，求a的取值范圍．

7．x，y都是自然數(shù)，求證：x2+y+1和y2＋4x＋3的值不能同時是完全平方．