第一篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第03講 實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用
全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三講 實數(shù)的若干性質(zhì)和應(yīng)用
實數(shù)是高等數(shù)學特別是微積分的重要基礎(chǔ)．在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實數(shù)理論，是因為它涉及到極限的概念．這一概念對中學生而言，有一定難度．但是，如果中學數(shù)學里沒有實數(shù)的概念及其簡單的運算知識，中學數(shù)學也將無法繼續(xù)學習下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識也是遠遠不夠用的．因此，適當學習一些有關(guān)實數(shù)的基礎(chǔ)知識，以及運用這些知識解決有關(guān)問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學的學習打基礎(chǔ)，而且也是初等數(shù)學學習所不可缺少的．本講主要介紹實數(shù)的一些基本知識及其應(yīng)用．
用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的．
性質(zhì)1 任何一個有理數(shù)都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然．
例1
分析 要說明一個數(shù)是有理數(shù)，其關(guān)鍵要看它能否寫成兩個整數(shù)比的形式．
證 設(shè)
兩邊同乘以100得
②-①得
99x=261.54-2.61=258.93，無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．有理數(shù)對四則運算是封閉的，而無理
是說，無理數(shù)對四則運算是不封閉的，但它有如下性質(zhì)．
性質(zhì)2 設(shè)a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則
(1)a+b，a-b是無理數(shù)；
有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即
在實數(shù)集內(nèi)，沒有最小的實數(shù)，也沒有最大的實數(shù)．任意兩個實數(shù)，可以比較大小．全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是一一對應(yīng)的．在實數(shù)集內(nèi)進行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運算，其結(jié)果仍是實數(shù)(即實數(shù)對四則運算的封閉性)．任一實數(shù)都可以開奇次方，其結(jié)果仍是實數(shù)；只有當被開方數(shù)為非負數(shù)時，才能開偶次方，其結(jié)果仍是實數(shù)．
例2
分析
證
所以
分析 要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事．由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數(shù)是無理數(shù)時，常常采用反證法．
證 用反證法．
所以p一定是偶數(shù)．設(shè)p=2m(m是自然數(shù))，代入①得
4m2＝2q2，q2＝2m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
分析 設(shè)法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明．
證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，則
反之，顯然成立．
說明 本例的結(jié)論是一個常用的重要運算性質(zhì)．
無理數(shù)，并說明理由．
是
整理得
由例4知
a＝Ab，1=A，說明 本例并未給出確定結(jié)論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)
有理數(shù)作為立足點，以其作為推理的基礎(chǔ)．
例6 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)．
分析 只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明．
證 因為a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以
說明 構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個數(shù)，或一個式子，以達到解題和證明的目的，是經(jīng)常運用的一種數(shù)學建模的思想方法．
例7 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且a＜b，問是否存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立？
即
由①，②有
存在無理數(shù)α，使得a＜α＜b成立．
b4+12b3+37b2+6b-20 的值．
分析 因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計算題，往往是先估計它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法．
14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．
b4+12b3+37b2+6b-20
=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20
=(b2+6b)2+(b2+6b)-20
=52+5-20=10．
例9 求滿足條件 的自然數(shù)a，x，y．
解 將原式兩邊平方得
由①式變形為
兩邊平方得
例10 設(shè)an是12+22+32+…+n2的個位數(shù)字，n=1，2，3，…，求證：0.a1a2a3…an…是有理數(shù)．
分析 有理數(shù)的另一個定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)．所以，要證0.a1a2a3…an…是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手．
證 計算an的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2…an…是由20個數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即
下面證明ak+20=ak．
令f(n)=12+22+…+n2，當f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時，表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數(shù)，而
f(n+20)-f(n)
=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2
=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．
由前面計算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數(shù)，故ak+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一個有理數(shù)．
練習三
1．下列各數(shù)中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？為什么？
5．設(shè)α，β為有理數(shù)，γ為無理數(shù)，若α+βγ=0，求證：
α=β=0．
第二篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第14講 中位線及其應(yīng)用
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第十四講 中位線及其應(yīng)用
中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．
例1 如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，△ABC的面積．
分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長．
解 由已知，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以
由條件AD+EF=12(厘米)得
EF=4(厘米)，從而 AD=8(厘米)，由于E，G分別是AB，AC的中點，所以EG是△ABC的一條中位線，所以
BC=2EG=2×6=12(厘米)，顯然，AD是BC上的高，所以
例2 如圖 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．
(1)求證：GH∥BC；
(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．
分析 若延長AG，設(shè)延長線交BC于M．由角平分線的對稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點；同樣，延長AH交BC于N，H是AN的中點，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進而，利用△ABC的三邊長可求出GH的長度．
(1)證 分別延長AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以
△ABG≌△MBG(ASA)．
從而，G是AM的中點．同理可證
△ACH≌△NCH(ASA)，從而，H是AN的中點．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即
HG∥BC．
(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以
AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．
又BC=18厘米，所以
BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．
從而
MN=18-4-9=5(厘米)，說明(1)在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對邊”．同學們不妨自己證明．
(3)從本題的證明過程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那么，結(jié)論GH∥BC仍然成立．同學們也不妨試證．
例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內(nèi)的一點，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點．求證：A′C′=B′D′．
分析 由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點，有經(jīng)驗的同學知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′
與B′D′則是它的對角線，從而四邊形A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點．
證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而
A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以
AB⊥BC，BC∥PQ．
從而
AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以
A′C′=B′D′． ①
說明 在解題過程中，人們的經(jīng)驗?？善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經(jīng)驗，對尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的．
例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點．求證：
分析 在多邊形的不等關(guān)系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不
形中構(gòu)造中位線，為此，取AD中點．
證 取AD中點G，連接EG，F(xiàn)G，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點)，所以
同理，由F，G分別是BD和AD的中點，從而，F(xiàn)G是△ABD的中位線，所以
在△EFG中，EF＞EG-FG． ③
由①，②，③
例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．
分析 本題等價于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．
在E點(即直角三角形的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問題獲解．
證 取梯形另一腰AD的中點F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以
因為AD=AB+CD，所以
從而
∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內(nèi)角和等于180°)．從而
∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．
例6 如圖2-60所示．△ABC外一條直線l，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點，AA1，F(xiàn)F1，DD1，EE1都垂直l于A1，F(xiàn)1，D1，E1．求證：
AA1+EE1=FF1+DD1．
分析 顯然ADEF是平行四邊形，對角線的交點O平分這兩條對角線，OO1恰是兩個梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．
證 連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對角線AE，DF互相平分，設(shè)它們交于O，作OO1⊥l于O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線，所以
即 AA1+EE1=FF1+DD1．
練習十四
1．已知△ABC中，D為AB的中點，E為AC上一點，AE=2CE，CD，BE交于O點，OE=2厘米．求BO的長．
2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長．
3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AC的中點．求證：∠BFE=∠EGD．
4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，延長AD，BC，分別交FE的延長線于H，G．求證：∠AHF=∠BGF．
5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．
6．如圖2-63所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求證：AP=AQ．
7．已知在四邊形ABCD中，AD＞BC，E，F(xiàn)分別是AB，CD
第三篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第11講 勾股定理與應(yīng)用
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第十一講 勾股定理與應(yīng)用
在課內(nèi)我們學過了勾股定理及它的逆定理．
勾股定理 直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即
a2+b2=c2．
勾股定理逆定理 如果三角形三邊長a，b，c有下面關(guān)系：
a2+b2=c2
那么這個三角形是直角三角形．
早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法．
關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的．下面的證法1是歐幾里得證法．
證法1 如圖2-16所示．在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們的面積分別是c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和．
過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因為
AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS)．而
所以 SAEML=b2． ①
同理可證 SBLMD=a2． ②
①+②得
SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2．
證法2 如圖2-17所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．完成正方形CDEF(它的邊長為a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知
△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以
AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB為邊長是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面積和，即
化簡得 a2+b2=c2．
證法3 如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF，DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
設(shè)五邊形ACKDE的面積為S，一方面
S=SABDE+2S△ABC，①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②
由①，②
所以 c2=a2+b2．
關(guān)于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習題中展示其中一小部分，它們都以中國古代數(shù)學家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個更一般的結(jié)論．
定理 在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍．
證(1)設(shè)角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D，則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①
在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②
又
BD2=(BC-CD)2，③
②，③代入①得
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)
2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD
=AC2+BC2-2BC·CD，即
c2=a2+b2-2a·CD． ④
(2)設(shè)角C為鈍角，如圖2-20所示．過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤
在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥
又
BD2=(BC+CD)2，⑦
將⑥，⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD
=AC2+BC2+2BC·CD，即
c2=a2+b2+2a·cd． ⑧
綜合④，⑧就是我們所需要的結(jié)論
特別地，當∠C=90°時，CD=0，上述結(jié)論正是勾股定理的表述：
c2=a2+b2．
因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．
由廣勾股定理我們可以自然地推導出三角形三邊關(guān)系對于角的影響．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°；
(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°；
(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°．
勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內(nèi)部的邊角關(guān)系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應(yīng)用．
例1 如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2．
分析 注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應(yīng)有AF=AB，這啟發(fā)我們?nèi)プC明△ABE≌△AFE．
證 因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以
Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以 AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，所以
AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
由①，②得
AB2=2FG2．
說明 事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應(yīng)使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進行證明了．
例2 如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
證 過A引AD⊥BC于D(不妨設(shè)D落在邊BC內(nèi))．由廣勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD． ①
在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD． ②
①+②，并注意到MB=MC，所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
如果設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應(yīng)邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長的公式．
推論 △ABC的中線長公式：
說明 三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長．
例3 如圖2-23所示．求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對角線的平方和加對角線中點連線平方的4倍．
分析 如圖2-23所示．對角線中點連線PQ，可看作△BDQ的中線，利用例2的結(jié)論，不難證明本題．
證 設(shè)四邊形ABCD對角線AC，BD中點分別是Q，P．由例2，在△BDQ中，即
2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2． ①
在△ABC中，BQ是AC邊上的中線，所以
在△ACD中，QD是AC邊上的中線，所以
將②，③代入①得
=4PQ2+BD2，即
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．
說明 本題是例2的應(yīng)用．善于將要解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，是人們解決問題的一種基本方法，即化未知為已知的方法．下面，我們再看兩個例題，說明這種轉(zhuǎn)化方法的應(yīng)用．
例4 如圖2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點．求證：AD2+BE2=AB2+DE2．
分析 求證中所述的4條線段分別是4個直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手．
證 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以
AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2
例5 求證：在直角三角形中兩條直角邊上的中線的平方和的4倍等于斜邊平方的5倍．
如圖2-25所示．設(shè)直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分別是BC，AC邊上的中線．求證：
4(AM2+BN2)=5AB2．
分析 由于AM，BN，AB均可看作某個直角三角形的斜邊，因此，仿例4的方法可從勾股定理入手，但如果我們能將本題看成例4的特殊情況——即M，N分別是所在邊的中點，那么可直接利用例4的結(jié)論，使證明過程十分簡潔．
證 連接MN，利用例4的結(jié)論，我們有
AM2+BN2=AB2+MN2，所以 4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2． ①
由于M，N是BC，AC的中點，所以
所以 4MN2=AB2． ②
由①，②
4(AM2+BN2)=5AB2．
說明 在證明中，線段MN稱為△ABC的中位線，以后會知道中位線的基本性質(zhì)：“MN∥AB且MN=圖2-26所示．MN是△ABC的一條中位線，設(shè)△ABC的面積為S．由于M，N分別是所在邊的中點，所以S△ACM=S△BCN，兩邊減去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，從而AB必與MN平行．又S△=
高相ABM同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN．
練習十一
1．用下面各圖驗證勾股定理(虛線代表輔助線)：
(1)趙君卿圖(圖2-27)；
(2)項名達圖(2-28)；
(3)楊作枚圖(圖2-29)．
2．已知矩形ABCD，P為矩形所在平面內(nèi)的任意一點，求證：PA2+PC2=PB2+PD2．
(提示：應(yīng)分三種情形加以討論，P在矩形內(nèi)、P在矩形上、P在矩形外，均有這個結(jié)論．)
3．由△ABC內(nèi)任意一點O向三邊BC，CA，AB分別作垂線，垂足分別是D，E，F(xiàn)．求證：
AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．
4．如圖2-30所示．在四邊形ADBC中，對角線AB⊥CD．求證：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？證明你的結(jié)論．
5．如圖2-31所示．從銳角三角形ABC的頂點B，C分別向?qū)呑鞔咕€BE，CF．求證：
BC2=AB·BF+AC·CE．
第四篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題
全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三十二講 自測題
自測題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數(shù)．
9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？
自測題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對于集合
p={x丨x是1到100的整數(shù)}
中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數(shù)；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數(shù)根．
(1)求證：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)；
(2)求證：a是負偶數(shù)；
(3)當方程的兩整數(shù)根同號時，求a的值及這兩個根．
5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個整數(shù)的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應(yīng)150本，門市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調(diào)運，才能使學校支出的運費最少？
自測題三
2．對于任意實數(shù)k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個根是1，試求實數(shù)a，b的值及另一個根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對每一個自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．
(1)現(xiàn)有三個單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最?。?/p>
(2)若三個單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？
(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？
自測題四
1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設(shè)
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．
6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．
7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？
(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？
自測題五
2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a(chǎn)，b，c是三個自然數(shù)，且滿足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當A點在BC上時，將怎樣？
按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最省？
第五篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復(fù)習題
全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集
第三十一講復(fù)習題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實數(shù)x，y滿足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：
25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：
(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；
(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．
27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續(xù)下去，最后得到一個數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數(shù)m的取值范圍．
34．求所有的正實數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．
35．求證：當p，q為奇數(shù)時，方程
x2＋px＋q=0
無整數(shù)根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．
37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應(yīng)邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關(guān)系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測當水高為8厘米時，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學問題加以解釋．
46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？
47．在一條運河的兩側(cè)有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？
49．三個同學在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數(shù)字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數(shù)是相同的，第二個同學記得后兩位數(shù)也相同，第三個同學記得這個四位數(shù)恰好是一個數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？
50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應(yīng)地伸長．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：
(1)以x，y的對應(yīng)值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；
(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．
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