第一篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第16講 相似三角形(二)

全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集

第十六講 相似三角形(二)

上一講主要講述了相似三角形與比例線段之間的關系的計算與證明，本講主要講述相似三角形的判定與性質(zhì)的應用．

例1 如圖2-76所示．△ABC中，AD是∠BAC的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．

分析 設法通過添輔助線構造相似三角形，這里應注意利用角平分線產(chǎn)生等角的條件．

證 過B引BE∥AC，且與AD的延長線交于E．因為AD平分∠BAC，所以∠1=∠2．又因為BE∥AC，所以

∠2=∠3．

從而∠1=∠3，AB=BE．顯然

△BDE∽△CDA，所以 BE∶AC=BD∶DC，所以 AB∶AC=BD∶DC．

說明 這個例題在解決相似三角形有關問題中，常起重要作用，可當作一個定理使用．類似的還有一個關于三角形外角分三角形的邊成比例的命題，這個命題將在練習中出現(xiàn)，請同學們自己試證．

在構造相似三角形的方法中，利用平行線的性質(zhì)(如內(nèi)錯角相等、同位角相等)，將等角“轉(zhuǎn)移”到合適的位置，形成相似三角形是一種常用的方法．

例2 如圖 2-77所示．在△ABC中，AM是BC邊上的中線，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延長線于D，且交AM延長線于F．求證：EF∥AB．

分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質(zhì)，構造三角形，設法證明△MEF∽△MAB，從而EF∥AB．

證 過B引BG∥AC交AE的延長線于G，交AM的延長線于H．因為AE是∠BAC的平分線，所以

∠BAE=∠CAE．

因為BG∥AC，所以

∠CAE=∠G，∠BAE=∠G，所以 BA=BG．

又BD⊥AG，所以△ABG是等腰三角形，所以

∠ABF=∠HBF，從而

AB∶BH=AF∶FH．

又M是BC邊的中點，且BH∥AC，易知ABHC是平行四邊形，從而

BH=AC，所以 AB∶AC=AF∶FH．

因為AE是△ABC中∠BAC的平分線，所以

AB∶AC=BE∶EC，所以 AF∶FH=BE∶EC，即

(AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(這是因為ABHC是平行四邊形，所以AM=MH及BM=MC．)．由合分比定理，上式變?yōu)?/p>

AM∶MB=FM∶ME．

在△MEF與△MAB中，∠EMF=∠AMB，所以

△MEF∽△MAB

(兩個三角形兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．)．所以

∠ABM=∠FEM，所以 EF∥AB．

例3 如圖2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．

即可，為此若能設法利用長度分別為AB，BC，CA及l(fā)=AB＋AC這4條線段，構造一對相似三角形，問題可能解決．

注意到，原△ABC中，已含上述4條線段中的三條，因此，不妨以原三角形ABC為基礎添加輔助線，構造一個三角形，使它與△ABC相似，期望能解決問題．

證 延長AB至D，使BD=AC(此時，AD=AB＋AC)，又延長BC至E，使AE=AC，連結(jié)ED．下面證明，△ADE∽△ABC．

設∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，則

∠A+∠B+∠C=7α=180°．

由作圖知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以

∠ACE=180°-4α＝3α，所以 ∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α．

從而

∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．

又由作圖

AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以

∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，所以 △ABC∽△DAE，所以

例4 如圖2-79所示．P，Q分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求證：QH⊥DH.分析 要證QH⊥DH，只要證明∠BHQ=∠CHD．由于△PBC是直角三角形，且BH⊥PC，熟知∠PBH=∠PCB，從而∠HBQ=∠HCD，因而△BHQ與△DHC應該相似．

證 在Rt△PBC中，因為BH⊥PC，所以

∠PBC=∠PHB=90°，從而 ∠PBH=∠PCB．

顯然，Rt△PBC∽Rt△BHC，所以

由已知，BP=BQ，BC=DC，所以

因為∠ABC=∠BCD=90°，所以

∠HBQ=∠HCD，所以 △HBQ∽△HCD，∠BHQ=∠DHC，∠BHQ＋∠QHC=∠DHC＋∠QHC．

又因為

∠BHQ＋∠QHC=90°，所以 ∠QHD=∠QHC＋DHC=90°，即 DH⊥HQ．

例5 如圖2-80所示．P，Q分別是Rt△ABC兩直角邊AB，AC上兩點，M為斜邊BC的中點，且PM⊥QM．求證：

PB2＋QC2=PM2＋QM2．

分析與證明 若作MD⊥AB于D，ME⊥AC于E，并連接PQ，則

PM2＋QM2=PQ2=AP2＋AQ2．

于是求證式等價于

PB2+QC2=PA2+QA2，①

等價于

PB2-PA2=QA2-QC2． ②

因為M是BC中點，且MD∥AC，ME∥AB，所以D，E分別是AB，AC的中點，即有

AD=BD，AE=CE，②等價于

(AD＋PD)2-(AD-PD)2

=(AE＋EQ)2-(AE-EQ)2，③

③等價于

AD·PD=AE·EQ． ④

因為ADME是矩形，所以

AD=ME，AE=MD，故④等價于

ME·PD=MD·EQ． ⑤

為此，只要證明△MPD∽△MEQ即可．

下面我們來證明這一點．

事實上，這兩個三角形都是直角三角形，因此，只要再證明有一對銳角相等即可．由于ADME為矩形，所以

∠DME=90°=∠PMQ(已知)． ⑥

在⑥的兩邊都減去一個公共角∠PME，所得差角相等，即

∠PMD=∠QME． ⑦

由⑥，⑦，所以

△MPD∽△MEQ．

由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，從而①成立，則原命題獲證．

例6 如圖2-81所示．△ABC中，E，D是BC邊上的兩個三等分點，AF=2CF，BF=12厘米．求：FM，MN，BN的長．

解 取AF的中點G，連接DF，EG．由平行線等分線段定理的逆定理知DF∥EG∥BA，所以

△CFD∽△CAB，△MFD∽△MBA．

所以MB=3MF，從而BF=4FM=12，所以

FM=3(厘米)．

又在△BDF中，E是BD的中點，且EH∥DF，所以

因為EH∥AB，所以△NEH∽△NAB，從而

顯然，H是BF的中點，所以

故所求的三條線段長分別為

練習十六

1．如圖2-82所示．在△ABC中，AD是∠BAC的外角∠CAE的平分線．求證：AB∶AC=BD∶DC．

2．如圖2-83所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求證：EF∥BC．

3．如圖2-84所示．在△ABC內(nèi)有一點P，滿足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求證：

PB2＝PA·PC．

(提示：設法證明△PAB∽△PBC．)

4．如圖2-85所示．D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC的中點，E在斜邊AB上，且AE∶EB=2∶1．求證：CE⊥AD．

5．如圖2-86所示．Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，P為AD的中點，延長BP交AC于E，過E作EF⊥BC于F．求證：EF2=AE·EC．

6．在△ABC中，E，F(xiàn)是BC邊上的兩個三等分點，BM是AC邊上的中線，AE，AF分別與BM交于D，G．求：BD∶DG∶GM．

第二篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第15講 相似三角形(一)

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第十五講 相似三角形(一)

兩個形狀相同的圖形稱為相似圖形，最基本的相似圖形是相似三角形．對應角相等、對應邊成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比為1的兩個相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情況，而三角形相似是三角形全等的發(fā)展，兩者在判定方法及性質(zhì)方面有許多類似之處．因此，在研究三角形相似問題時，我們應該注意借鑒全等三角形的有關定理及方法．當然，我們又必須同時注意它們之間的區(qū)別，這里，要特別注意的是比例線段在研究相似圖形中的作用．

關于相似三角形問題的研究，我們擬分兩講來講述．本講著重探討相似三角形與比例線段的有關計算與證明問題；下一講深入研究相似三角形的進一步應用．

例1 如圖2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

分析 由于BC是△ABC與△DBC的公共邊，且AB∥EF∥CD，利用平行線分三角形成相似三角形的定理，可求EF．

解 在△ABC中，因為EF∥AB，所以

同樣，在△DBC中有

①＋②得

設EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

說明 由證明過程我們發(fā)現(xiàn)，本題可以有以下一般結(jié)論：“如本題

請同學自己證明．

例2 如圖2-65所示． ABCD的對角線交于O，OE交BC于E，交AB的延長線于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．

分析 本題所給出的已知長的線段AB，BC，BF位置分散，應設法利用平行四邊形中的等量關系，通過輔助線將長度已知的線段“集中”到一個可解的圖形中來，為此，過O作OG∥BC，交AB于G，構造出△FEB∽△FOG，進而求解．

解 過O作OG∥BC，交AB于G．顯然，OG是△ABC的中位線，所以

在△FOG中，由于GO∥EB，所以

例3 如圖2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分

分析 因為AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，則△ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可實現(xiàn)求證的目標．

證 過D引DE∥AB，交AC于E．因為AD是∠BAC的平分線，∠BAC=120°，所以

∠BAD=∠CAD=60°．

又

∠BAD=∠EDA=60°，所以△ADE是正三角形，所以

EA=ED=AD． ①

由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以

由①，②得

從而

例4 如圖2-67所示． ABCD中，AC與BD交于O點，E為AD延長線上一點，OE交CD于F，EO延長線交AB于G．求證：

分析 與例2類似，求證中諸線段的位置過于“分散”，因此，應利用平行四邊形的性質(zhì)，通過添加輔助線使各線段“集中”到一個三角形中來求證．

證 延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構造平行四邊形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以

在△OED與△OBH中，∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，所以 △OED≌△OBH(AAS)．

從而

DE=BH=AI，例5(梅內(nèi)勞斯定理)一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，AB(或其延長線)分別交于D，E，F(xiàn)(如圖2-68所示)．求

分析 設法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進行求證．

證 過B引BG∥EF，交AC于G．由平行線截線段成比例性質(zhì)知

說明 本題也可過C引CG∥EF交AB延長線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進行求證．

例6 如圖2-69所示．P為△ABC內(nèi)一點，過P點作線段DE，F(xiàn)G，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

分析 由于圖中平行線段甚多，因而產(chǎn)生諸多相似三角形及平行四邊形．利用相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)及平行四邊形對邊相等的性質(zhì)，首先得到一個一般關系：

進而求d．

因為FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四邊形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四邊形．△BHI∽△AFG∽△ABC，從而

將②代入①左端得

因為

DE=PE＋PD=AI＋FB，④

AF=AI＋FI，⑤

BI=IF＋FB． ⑥

由④，⑤，⑥知，③的分子為

DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．

從而

即

下面計算d．

因為DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入①得

解得d＝306．

練習十五

1．如圖2-70所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O點，過O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

2．已知P為

ABCD邊BC上任意一點，DP交AB的延長線于Q

3．如圖 2-72所示．梯形 ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN與對角線BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．

4．P為△ABC內(nèi)一點，過P點作DE，F(xiàn)G，IH分別平行于AB，BC，CA(如圖2-73所示)．求證：

5．如圖 2-74所示．在梯形 ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一條直線交BA延長線于E，交DC延長線于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DC∶AB．

6．已知P為△ABC內(nèi)任意一點，連AP，BP，CP并延長分別交對邊于D，E，F(xiàn)．求證：

不少于2．

第三篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第32講 自測題

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第三十二講 自測題

自測題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點，D為BC上的任一點，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對角(∠A，∠C)相等時，另一組對角(∠B，∠D)的平分線存在什么關系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點，使得AM=BC，N為BC上一點，使得CN=BM，連AN，CM交于P點．求∠APM的度數(shù)．

9．某服裝市場，每件襯衫零售價為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購買2件130元；購滿5件者，每件以零售價的九折出售；購買7件者送1件．某人要買6件，問有幾種購物方案(必要時，可與另一購買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對于集合

p={x丨x是1到100的整數(shù)}

中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個數(shù)；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個整數(shù)根．

(1)求證：這兩個整數(shù)根一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)；

(2)求證：a是負偶數(shù)；

(3)當方程的兩整數(shù)根同號時，求a的值及這兩個根．

5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個整數(shù)的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點，連BO，OC并分別延長交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應150本，門市部B可供應290本．如果平均每本書的運費如下表，考慮到學校的利益，如何安排調(diào)運，才能使學校支出的運費最少？

自測題三

2．對于任意實數(shù)k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個根是1，試求實數(shù)a，b的值及另一個根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個頂點A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點，過D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對每一個自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團體票40元一張，每張團體票最多可入園10人．

(1)現(xiàn)有三個單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個單位分別怎樣買門票使總門票費最?。?/p>

(2)若三個單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費最省？

(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？

自測題四

1．求多項式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對角線BD上任取一點O，過O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長．

6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復六位數(shù)不可能被11整除．

7．設x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當x1+x2+…+x5的值最大時，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個工作部門，假日去不同景點旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費120元，乙部門每人花費110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過AD上一點E引直線EF∥AC交BA延長線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當E點移動到D點時，命題(1)將會怎樣？

(3)當E點在AD的延長線上時又會怎樣？

自測題五

2．關于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a(chǎn)，b，c是三個自然數(shù)，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當A點在BC上時，將怎樣？

按沿河距離計算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運費是公路運費的一半，應該怎樣確定在河岸上的D點，從B點筑一條公路到D，才能使A到B的運費最?。?/p>

第四篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第31講 復習題

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第三十一講復習題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實數(shù)x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過點B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點．求證：E是AB的中點．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長BC至D，使CD=BC．若BC中點為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對角線中點的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，P是CD延長線上的一點，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點，連CN并延長交AB于E．求證：

25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：

(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；

(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．

27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續(xù)下去，最后得到一個數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別記為a，b，c，30．設凸四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點，N為BC的中點，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實數(shù)m的取值范圍．

34．求所有的正實數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．

35．求證：當p，q為奇數(shù)時，方程

x2＋px＋q=0

無整數(shù)根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過C引直線CE∥AD交AB的延長線于E，求BE之長．

37．設A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對應邊分別作三個相似三角形，那么這三個相似三角形面積之間有什么關系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來表示，那么這個三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當水的高度為6厘米時，重4.4千克，水高為10厘米時，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時，水高與重量之間的關系，并預測當水高為8厘米時，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個人抽簽，為此先做好10個簽，其中7個簽上寫“有票”，3個簽上寫“無票”，然后10個人排好隊按順序抽簽．問第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩人王之渙的著名詩篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學問題加以解釋．

46．在一個池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問如何利用這根水草測出水深？

47．在一條運河的兩側(cè)有兩個村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個城市供水(設A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長度最短(圖2-191)？

49．三個同學在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒有完全記住這輛汽車的車號(車號由4位數(shù)字組成)，可是第一個同學記住車號的前兩位數(shù)是相同的，第二個同學記得后兩位數(shù)也相同，第三個同學記得這個四位數(shù)恰好是一個數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號嗎？

50．圖2-192是一個彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時刻度0齊上線，彈簧伸長的初始長度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時，彈簧伸長的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長度也相應地伸長．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：

(1)以x，y的對應值(x，y)為點的坐標，畫出散點圖；

(2)求出關于x的函數(shù)y的表達式，(3)求當x＝500克時，y的長度．

第五篇：全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集第08講平行四邊形

全國初中數(shù)學競賽輔導(八年級)教學案全集

第八講平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因為它是研究更特殊的平行四邊形——矩形、菱形、正方形的基礎，還因為由它的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應用．

由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質(zhì)：

(1)平行四邊形對角相等；

(2)平行四邊形對邊相等；

(3)平行四邊形對角線互相平分．

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：

分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

證 因為ABCD是平行四邊形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因為AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對角線EF與MN互相平分．

例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．

證 作GH⊥BC于H，連接EH．因為BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

因為AD∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因為∠BEA=∠BEH，等角的補角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對應角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

從而

EH∥AC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

說明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點到角的兩邊距離相等)，從而構造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

人們在學習中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗，這對我們探索新的問題是十分有益的．

例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應該有∠B=2∠BEM，這個論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應設法通過添加輔助線的辦法，將這兩個角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點，我們的證明可從這里展開．

證 延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．

分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時，應設法產(chǎn)生一個與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

證 延長DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因為矩形對角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 設正方形ABCD的邊CD的中點為E，F(xiàn)是CE的中點(圖2-36)．求證：

分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設法證明∠DAE=∠1或∠2．

證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

設正方形邊長為a，在Rt△ADF中，從而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

分析 準確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

證 因為DEBD=FD，所以

BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習十二

1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分