第一篇：淺談用定積分的定義解決極限問題

數(shù)學(xué)之美2007年11月總第3期

淺談用定積分的定義解決極限問題

王濤

（周恩來政府管理學(xué)院 政治學(xué)與行政學(xué) 0612723）

摘要：數(shù)學(xué)是一門鍛煉人的邏輯思維能力的科目。我們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常遇到的是計算題和證明題，掌握一定的方法和技巧對于我們快速地解出題目是非常有幫助的。有些方法和技巧其實是對定義、概念深入理解所得到的。本文主要探討用定積分的定義來解決求極限的問題。

關(guān)鍵詞：定積分的定義；定積分；極限；曲邊梯形的面積

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，微積分的學(xué)習(xí)占有很大的比重，地位也是很重要的。微積分分為微分學(xué)和積分學(xué)，而微分運算與積分運算之間是互為逆運算的關(guān)系。我們通常把微分運算看作正向運算，而把積分運算看作是微分的逆運算，在以往的實際學(xué)習(xí)上我們也可以看出這點：加減法，乘除法，平方開方，指數(shù)對數(shù)，三角函數(shù)反三角函數(shù)等等。而在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中我們首先接觸的是微分，然后是積分；從掌握程度上，我們對于正向運算的掌握程度可能要好于逆向運算，不管是學(xué)習(xí)的速度還是做題的準(zhǔn)確性，正向運算可能都要好于逆向運算。然而正逆運算是互通的，熟練掌握這兩種運算對于增加解題方法，做到融會貫通都是很有幫助的。下面就來介紹用積分學(xué)中定積分的定義來解決微分學(xué)中極限的問題。

我們一般在求解極限問題時，經(jīng)常用到的方法是：極限的定義、性質(zhì)，幾種重要極限、洛必達(dá)法則、泰勒公式等。但這些方法都局限于微分學(xué)中，沒有超越微分學(xué)的范圍，而我們知道微分與積分是互為逆運算的，那么運用積分學(xué)的方法來解決極限問題是否可行？答案是肯定的。用定積分的定義就是解決極限問題的又一方法。

要用定積分的定義來求解極限問題，我們首先要弄清定積分的定義。

定積分的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間?a,b?上有界，在?a,b?上任意插入分點：a=x0＜x1＜?＜xn?1＜xn=b,令?xi=xi?xi?1，又任取?i?[xi?1,xi], i=1,2,…n.作和式In??f(?i)?xi，令?x?m如果當(dāng)?xi?0時，和式In的極限存在，且此極限與?a,b?ax??xi?，i?11?i?nn的分法及?i的取法無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)在?a,b?上是可積的，并稱該極限值為f(x)在?a,b?上的定積分，記作

即?baf(x)dx，n?b

af(x)dx??f(?i)?xi.?x0i?

180

其中函數(shù)f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，?a,b?稱為積分區(qū)間。1

b

這個定義看上去很復(fù)雜，但只要抓住?af(x)dx??f(?i)?xi即可。我們在?x?0i?1

n

后面所要介紹的用定積分的定義解決極限問題也是圍繞著這個公式展開的。從這個式子我們也可以看出極限與定積分之間的關(guān)系是很緊密的。有了定積分的定義，我們用具體例題來看怎樣用定積分解決極限問題。

?2?3?n???

sinsinsinsin2?n?n?n???n? 例1.求

lim??

111?n???n?1

n?n?n?

?23n???

解： 注意到：

?2?3?n?

sinsinsinsin1?2?3?n?n?n?n???n? [sin?sin?sin???sin]?

n?1nnnn111n?1

n?n?n?23n

1?2?3?n?1nk?[sin?sin?sin???sin]=（*）?sin

nnnnnnk?1n

由定積分定義，對上面不等式的右端取極限，得到

1nk?1

=?sin?xdx=2 lim?sin0nn??nk?1?

而不等式的左端取極限，有

n1nk?=2 1nk?=

?sinsin??limlim

nk?1n?nn??n?1n??n?1k?1

由夾逼定理知

?2?3?n??

sinsinsinsin?n?n?n???nlim?

111n???n?1

n?n?n?

?23n?

?

?????

=

2?

這道題就是典型的用到定積分的定義來求極限的值。當(dāng)我們對（*）左右兩邊的式子取

n1nk?b

極限時，我們發(fā)現(xiàn) lim?sin可以表為形如?af(x)dx??f(?i)?xi的形式.因

nn??nk?1?x?0i?1

為f(x)?sin?x為[0, 1]上可積函數(shù)，所以對于[0, 1]任意劃分及?i的任意取法極限

劉桂茹，孫永華編著：《高等學(xué)校經(jīng)濟數(shù)學(xué)系列教材 微積分》，南開大學(xué)出版社，2004年12月版，第200

頁。2

2005年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽（人文學(xué)科及醫(yī)學(xué)等類），第八題。

lim?f(?i)?xi都存在且相等, 此時令?xi=

n

||?x||?0i?1

1i，即把[0, 1]n等分, ?i?為分點，由nn

定積分的定義我們得到

21nk?1

==, sin?xdxsin?lim

?n?0n??nk?1

然后再取右邊的極限,由夾逼定理我們得到最后的結(jié)果

?

.這道題解題的關(guān)鍵就是用到定積分的定義,把求極限問題與定積分的定義聯(lián)系起來，很容易的解出題目。

讓我們再來看一個例子.例2.求lim

n??

n?1)(n?2)?（n?n)。

n

解：∵lim

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)

n

=lim

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)

n

=lim(1?n)(1?

n??

2n)?（1?)nn

于是，我們設(shè)y?(1?n)(1?

2n)?（1?)nn

1ni

?ln(1?)取對數(shù)lny?

ni?1n

于是有l(wèi)imlny=lim

n??

1ni

?ln(1?).（**）

nn??ni?1

我們采用同例1同樣的方法。此時令?xi=

1i，?i?1?.所以（**）可等于 nn

11ni

lim?ln(1?)=?0ln(1?x)dx=2ln2?1.nn??ni?1

因此limlny?2ln2?1，n??

n??

limy?e

2ln2?1

=e

ln

e

4?.e

所以最后的結(jié)果是lim

這道題與例1

n??

(n?1)(n?2)?（n?n)4=.en

b

有相似之處，整理式子，發(fā)現(xiàn)（**）形如?a

f(x)dx??f(?i)?xi

?x?0i?1

n

由定積分的定義把求（**）轉(zhuǎn)化為求定積分的值，得到結(jié)果。

由上面兩個例子我們可以發(fā)現(xiàn)幾個問題：

1.用定積分的定義來求極限的問題，給出的題目往往是有無窮多個式子連乘或連加構(gòu)成，而且式子看上去很復(fù)雜但很有規(guī)律，經(jīng)過一定的變換可以得到如下形式

b?a

n

f(x)dx??f(?i)?xi

?x?0i?1

運用此式可以把極限問題轉(zhuǎn)化為求定積分值的問題。

2.解題時不僅要用到定積分的定義，還需要與其他方法結(jié)合使用。第一題中用到了夾逼定理，第二題則用到了取對數(shù)的方法。這樣就增加了解題的難度題目。在出用定積分解極限問題時，一般不會直接讓你看出用定積分定義來做此題，而是需要運用其他的方法把式子經(jīng)過一定的變換之后再用定積分來做，定積分的定義是解題的關(guān)鍵。此類題的目的就是要用定積分的定義來解極限問題，但之前要把式子整理到形如定積分的定義式之后才能用定積分來做。達(dá)到了一道題考察多種概念、方法的目的。

以上就是我們所討論的用定積分的定義來解某一類的極限問題。它所反映的思想就是要把相通的、有關(guān)系的事物聯(lián)系起來，擴展思路，最終達(dá)到解決問題的目的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就是為了鍛煉人的邏輯思維能力。在實際生活中，我們也要解放思想，開闊思路，善于逆向思維，發(fā)掘更多解決問題的方法，這樣對于我們整個國家、社會的發(fā)展也是非常有幫助的。參考文獻

[1] 劉桂茹，孫永華.高等學(xué)校經(jīng)濟數(shù)學(xué)系列教材 微積分.天津：南開大學(xué)出版社，2004年12月版

[2] 陳吉象 戴瑛 鄭棄冰 吳忠華.文科數(shù)學(xué)基礎(chǔ).北京：高等教育出版社，2003年8月版 [3] 2005年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競賽（人文學(xué)科及醫(yī)學(xué)等類）

第二篇：利用定積分的定義求極限

利用定積分的定義求極限 方法：如果?f(x)dx存在，則lim

ab

b?an

n

n??

?

k?1

f(a?

b?an

?k)?

?

ba

f(x)dx

例15求極限

n

（1）lim

n??

?

k?1n

nn?4k

nn?4k

解：lim

n??

?

k?1

?lim

1n

n

n??

?

k?1

11?4()

n

k

?

?

11?4x

dx?

actan2x

|0?

actan2

n

（2）lim

n??

?

k?1n

nx?2kn

解：lim

n??

?

k?1nx?2kn

?lim

n??

k

[x?2()]??nk?1n

n

?

(x?2t)dt?x?1

（3）lim

1n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)

n?1

解：因為

1n

k?0

?ln(1?n)

n

k

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

由于lim

1n

n

n??

?

k?1

ln(1?

kn)?

?

ln(1?x)dx?2ln2?1?ln

4e

故lim

1n

n

n??

n(n?1)(n?2)?(2n?1)?e

ln

4e

?

4e

第三篇：用極限定義證明極限

例

1、用數(shù)列極限定義證明：limn?2?0 n??n2?7

n?2時n?2(1)2n(2)2nn?22(3)24(4)|2?0|?2?2?2????? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n

2上面的系列式子要想成立，需要第一個等號和不等號（1）、（2）、（3）均成立方可。第一個等號成立的條件是n>2；不等號（1）成立的條件是2

n4，即n>2；不等號（4）成立的條件是n?[]，故取N=max{7, 2?

44[]}。這樣當(dāng)n>N時，有n>7，n?[]。??因為n>7,所以等號第一個等號、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因為n?[]，所以不等號（3）成立的條件是1??

|不等式（4）能成立，因此當(dāng)n>N時，上述系列不等式均成立，亦即當(dāng)n>N時，在這個例題中，大量使用了把一個數(shù)字放大為n或n?2?0|??。n2?7n的方法，因此，對于具體的數(shù)，．．．．．．．

2可把它放大為（k為大于零的常數(shù)）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．

n?4?0 n??n2?n?

1n?4n?4n?4時n?n2n2(1)|2?0|?2?2???? n?n?1n?n?1n?n?1n2n

22不等號（1）成立的條件是n?[],故取N=max{4, []},則當(dāng)n>N時，上面的不等式都成??例

2、用數(shù)列極限定義證明：lim

立。

注：對于一個由若干項組成的代數(shù)式，可放大或縮小為這個代數(shù)式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

n2?n?1?n

2n2?n?1?n

n?n?n22

n(n?1)2?n?

1(?1)n

例

3、已知an?，證明數(shù)列an的極限是零。2(n?1)

(?1)n1(1)1(2)

證明：???0(設(shè)0???1)，欲使|an?0|?||????成立 22(n?1)(n?1)n?1

11??解得：n??1，由于上述式子中的等式和不等號（1）對于任意的正整n?1?

1數(shù)n都是成立的，因此取N?[?1]，則當(dāng)n>N時，不等號（2）成立，進而上述系列等式由不等式?

和不等式均成立，所以當(dāng)n>N時，|an?0|??。

在上面的證明中，設(shè)定0???1，而數(shù)列極限定義中的?是任意的，為什么要這樣設(shè)定？這樣設(shè)定是否符合數(shù)列極限的定義？

在數(shù)列極限定義中，N是一個正整數(shù)，此題如若不設(shè)定0???1，則N?[?1]就有1

?

可能不是正整數(shù)，例如若?＝2，則此時N＝－1，故為了符合數(shù)列極限的定義，先設(shè)定0???1，這樣就能保證N是正整數(shù)了。

那么對于大于1的?，是否能找到對應(yīng)的N？能找到。按照上面已經(jīng)證明的結(jié)論，當(dāng)?＝0.5時，有對應(yīng)的N1，當(dāng)n>N1時，|an?0|＜0.5成立。因此，當(dāng)n＞N1時，對于任意的大于1的?，下列式子成立：

|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即對于所有大于1的?，我們都能找到與它相對應(yīng)的N=N1。因此，在數(shù)列極限證明中，?可限小。只要對于較小的?能找到對應(yīng)的N，則對于較大的?．．．

就自然能找到對應(yīng)的N。

第四篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當(dāng)張飛飛到你面前，你才開始反應(yīng)然后左手手按到風(fēng)或者羊的技能鍵，右手操作鼠標(biāo)點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應(yīng)訓(xùn)練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經(jīng)常出現(xiàn)的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關(guān)鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當(dāng)CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內(nèi)，那么妙限制飛的假象出現(xiàn)了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復(fù)操作達(dá)到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發(fā)生在上路郭嘉妙關(guān)的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關(guān)系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當(dāng)飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內(nèi)那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數(shù)郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰(zhàn)終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現(xiàn)極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當(dāng)出現(xiàn)非瞬發(fā)限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應(yīng)時間小于0.1S，所以我們經(jīng)常看見玄武躲技能的操作，因為常見，很多人認(rèn)為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發(fā)限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發(fā)限制技能 入風(fēng)吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預(yù)判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應(yīng)時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復(fù)述了。

總結(jié)：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質(zhì)和水平的體現(xiàn)。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第五篇：用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié)

144163369.doc

用定義證明函數(shù)極限方法總結(jié):

用定義來證明函數(shù)極限式limf(x)?c，方法與用定義證明數(shù)列極限式類似，只是細(xì)節(jié)x?a

不同。

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?a?h(?)，從而得??h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?a?h(?)，從而得????

??h(?)。

部分放大法：當(dāng)f(x)?c不易放大時，限定0?x?a??1，得f(x)?c???x?a?，解??x?a???，得：x?a?h(?)，取??min??1,h(?)?。

用定義來證明函數(shù)極限式limf(x)?c，方法： x??

方法1：從不等式f(x)?c??中直接解出(或找出其充分條件)x?h(?)，從而得A?h(?)。

方法2：將f(x)?c放大成?x?a，解?x?a??，得x?h(?)，從而得????

A?h(?)。

部分放大法：當(dāng)f(x)?c不易放大時，限定x?A1，得f(x)?c??x?a，解????x?a???，得：x?h(?)，取A?max?A1,h(?)?。

平行地，可以寫出證明其它四種形式的極限的方法。

例1 證明：lim(2x?3)?7。x?2

證明：???0，要使：

(2x?3)?7?2x?2??，只要 2x?2??，即0?x?2?

取???2，?

2，即可。

x2?12?。例2 證明：lim2x?12x?x?13

x?1x2?12x?12分析：因為，放大時，只有限制????22x?x?132x?1332x?1

0?x??1，即0?x?2，才容易放大。

證明：???0，限制0?x??1，即0?x?2，要使；

x?1x?1x?1x?1x2?12x?12

??，只要????????

32x2?x?132x?1332x?132x?13

即0?x??3?，取??min(1,3?)，即可。

例3

證明：?（a?1）。

x?a

證明：???0，限制0?x?a?

1?a1?a

?1，要使：，所以x?

22?

?

?

??，只要

?1?a?,?，即可。?，取??min???，即0?x?a?

??22

??

?x3,x?1

例4 設(shè)f(x)??，證明:limf(x)?1。

x?1

?2,x?1

證明：當(dāng)x?1時，f(x)?1?x?1?x?1x?x?1

限制0?x??1，則x?x?1?1?2，?x?x?1?7。???0，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?7x?1??，只要7x???，即x?1?

?

7，取

???

??min??，當(dāng)0?x?1??時，有：

?7?

f(x)???，?limf(x)?1

x?1

說明：這里限制自變量x的變化范圍0?x??1，必須按自變量x的變化趨勢來設(shè)計，x?a時，只能限制x在a點的某鄰域內(nèi)，不能隨便限制！

錯解：設(shè)x?1，則x?x?1?3，要使：

f(x)?1?x?1x2?x?1?3x?1??，只要0?x?1?

?，取??min?1,?，????3?

當(dāng)0?x?1??時，有：f(x)?1??。?limf(x)?1。

x?1

例5 證明:lim

?1。

x?12x?1

2x?11

證明：考察，?2x?1?2?x?1??1?1?2x?1 ?1?

2x?12x?1

限制0?x?1?

111，則2x?1?1?2x?1?1??。???0，要使： 422

2x??1

???4x?1??，只要4x???，即x?1?，42x?12x?1

?1??

?44?

?1??，2x?1

取??min?,?，當(dāng)0?x???時，有：?lim

x?1

?1。

2x?1

1，則4

說明：在以上放大f(x)?A（即縮小2x?1）的過程中，先限制0?x?1?得：2x?1?

11。其實任取一個小于的正數(shù)?1，先限制0?x?1??1，則22

0?x?1?或0?x??1，則不2x??1?x1?1??12m?（如果是限制?0

例6 證明:lim

能達(dá)到以上目的）。

x

?2。

x?24x?7

證明：考察

7x?271x，?僅在x?的鄰域內(nèi)無界，所以，限制?2?

44x?74x?74x?7

171

0?x?2?（此鄰域不包含x?點），則4x?7?4?x?2??1?1?4x?2?。

842

???0，要使：

7x?27x?2?x

只要14x?2??，即x?2?，?2???14x?2??，144x?74x?71?4x?2

取??min?,x?1??，當(dāng)時，有：?2??，0?x?2???

4x?7?814?

x

?2。

x?24x?7

x?0

?lim

x

例7 用定義證明極限式：lima?1，（a?1）

證明：???0（不妨??1），要使：

ax?1???1???ax?1???loga?1????x?loga?1???（由對數(shù)函數(shù)

。于是，取??min??loga?1???, loga?1?????0，f(x)?logax是單調(diào)增函數(shù)）

xx

當(dāng)0?x?0??時，有：a?1??。故lima?1。證畢

x?0

例8 設(shè)f(x)?0，limf(x)?

A，證明：lim

x?x0

x?x0

?

n?2為正整數(shù)。

證明：（用定義證明）因為，f(x)?0，由極限保不等式性知，A?0；當(dāng)A?0時，???0，由limf(x)?A，知：???0，當(dāng)0?x?x0??時，有：f(x)?A?

?

x?x0

?

??

f(x)?A

n?1

?

??

?n?2

n?2

?

n?1

?

f(x)?A

n?1

?

?

n?1，故：lim

x?x0

?

im(f)x0?當(dāng)A?0時：???0，由l

x?x，知：

???0，當(dāng)0?x?x0??時，有：

f(x)??

? ?0?lim

x?x0

?0。證畢