第一篇：巧解一類不等式

巧解含有“f?(x)?f(x)”的填空題

先看下面的題目：

已知定義在R上的函數(shù)y?f(x)其導函數(shù)為f?(x)，且滿足f?(x)?f(x)，則不

等式f(2x?3)?e

2x?4

f(1)的解集為

2x?4

f(2x?3)e

2x?3

解析：注意到f(2x?3)?ef(1)可寫為：

?

f(1)e，令g(x)?

f(x)e

x，則該

不等式即為g(2x?3)?g(1)，為此只要考慮g(x)的單調(diào)性即可，由

f?(x)e

x

g?(x)?

?f(x)e

2x

x

e

?

f?(x)?f(x)

e

x

?0，從而g(x)在R上為增函數(shù)，所以

2x?3?1,x?2。

從上面的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)：由條件f?(x)?f(x)可考慮構(gòu)造函數(shù)g(x)?

g(x?)?

f?(x)?f(x)

e

x

f(x)e

x，則，于是條件f?(x)?f(x)便用上了。

當然作為填空題下面的方法也很好：

另解：特取符合條件的函數(shù)f(x)?e?1，則由f(2x?3)?e

e

2x?3

x

2x?4

f(1)得

?1?e

2x?4

(e?1)，整理得e

2x?4

?1，2x?4?0,x?2.下面一題和這個題是完全一樣的完全一樣：

題目：f(x)是定義在R上的函數(shù)，導數(shù)為f?(x)，且對一切實數(shù)x都有對正實數(shù)，比較f(a)與ef(0)的大小。（姜堰二中11屆暑假作業(yè)）

x

a

f?(x)?f(x，解析：特殊值法：取f(x)??2，或f(x)?e?1.構(gòu)造函數(shù)法：令g(x)?

f(x)e

x，則g?(x)?

f?(x)?f(x)

e

x

?0，所以g(x)在R上是增函數(shù)，a

所以對于這正實數(shù)a，有g(shù)(a)?g(0)，從而得f(a)大于ef(0)。

第二篇：構(gòu)造函數(shù)巧解不等式

構(gòu)造函數(shù)巧解不等式

湖南 黃愛民

函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質(zhì)與函數(shù)有關(guān)，該題就可考慮運用構(gòu)造函數(shù)的方法求解。構(gòu)造函數(shù)，直接把握問題中的整體性運用函數(shù)的性質(zhì)來解題，是一種制造性的思維活動。因此要求同學們多分析數(shù)學題中的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準確地構(gòu)建相關(guān)函數(shù)模型。

一、構(gòu)造函數(shù)解不等式

例

1、解不等式 810??x3?5x?0 3(x?1)x?

1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算較煩。但注意到8102323x?5x , 啟示我們構(gòu)造函數(shù)且題中出現(xiàn)??()?5()3x?1x?1x?1(x?1)

f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為(232)?5()?x3?5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤?1x?1

22f()?f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等式等價于?x，解x?1x?1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

例

2、解不等式

1?x

2?2?0 x?11?x21?tan2??cos2?于是可構(gòu)造三分析：由x?R及的特征聯(lián)想到萬能公式1?x21?tan2?

角函數(shù)，令x=tanα(??

2????

2)求解。

1?tan2?解：令x=tanα(????)?0，從 222tan??1??

1??3而2sin2??sin??1?0???sin??1∴????∴tanα＞?,∴x＞262

3?3。3

二、構(gòu)造函數(shù)求解含參不等式問題。

例3已知不等式11112??????????loga(a?1)?對大于1的一切自然數(shù)nn?1n?22n12

3恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。解：設(shè)f(n)?

∵f(n+1)-f(n)111?????????，n?1n?22n1111????0,∴f(n)是關(guān)于n 的增函2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)

712∴f(n)?loga(a?1)?對大于1的一切自然數(shù)n恒12123

7121成立,必須有?loga(a?1)?∴l(xiāng)oga(a?1)??1，而a＞1，∴a-1＜12123a數(shù)。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜1?1?5∴a的取值范圍為（1，）。2

2三、構(gòu)造函數(shù)證明不等式。

例

4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-

1證：把a看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1

又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函數(shù)具有嚴格的單調(diào)性?！鄁(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+1>0,從而：(b+c)a+bc+1>0,即證：ab+bc+ca＞-1 例

5、已知???????，求證：x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos? 證明：考慮函數(shù)f(x)=x2?y2?z2?(2xycos??2yzcos??2zxcos?)=2

x2?2x(ycos??zcos?)?y2?z2?2yzcos?,其中??4(ycos??zcos?)2?4(y2?z2?2yzcos?)??4(ysin??zsin?)2?0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos?。

第三篇：構(gòu)造向量巧解不等式問題

構(gòu)造向量巧解有關(guān)不等式問題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質(zhì)：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當a與b同向時，ab??|ab|?||；當a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設(shè)m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質(zhì)m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設(shè)m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質(zhì)|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設(shè)m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

第1頁（共4頁）

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a2b2c2a?b?c由性質(zhì)| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設(shè)m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質(zhì)|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設(shè)a，求證：a

證明：設(shè)m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質(zhì)ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關(guān)系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質(zhì)|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設(shè)p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標運算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設(shè)，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設(shè)x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設(shè)，則

||x?y||2

由性質(zhì)m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學（163000）

第四篇：教育學教學法名解一類

教學法重點名詞解釋

第一章

1、教學氛圍

教學氛圍指的是對教學活動產(chǎn)生直接影響的課堂內(nèi)外部氣氛、場景等。p8

2、教學方法

教學方法是在教學過程中教師和學生為實現(xiàn)教學目的、完成教學任務(wù)而采取的各種活動方式、手段和程序的總稱。p2 第二章

1、啟發(fā)式教學

啟發(fā)式教學就是以學生的全面發(fā)展和主動發(fā)展為目標，通過教師的啟發(fā)誘導與學生的主動探究，實現(xiàn)知情意和諧發(fā)展的過程。p38 第三章

1、教學模式

教學模式是在一定的教育思想觀念或教學理論指導下建立起來的較為穩(wěn)定的教學活動的結(jié)構(gòu)框架和活動程序。p75 第四章

1、講授法

講授法是指教師運用口頭語言系統(tǒng)連貫地向?qū)W生傳授知識信息的方法。p111

2、讀書指導法

讀書指導法是在教師指導下學生閱讀課本或課外讀物，以獲取知識、鞏固知識、形成能力的一種方法。p114

3、演示法

演示法是教師在課堂上通過展示各種實物、直觀教具，或進行示范性實驗，讓學生通過觀察獲得感性認識，掌握知識的一種教學方法。p115

4、實驗法

實驗法是學生在教師的指導下，利用一定的儀器設(shè)備，通過條件控制引起實驗的某些變化，從觀察這些變化中獲得知識，培養(yǎng)技能技巧的教學方法。p118

5、討論學習法

討論學習法是學生在教師指導下，為解決某個問題與他人相互研討、切磋琢磨、相互學習的一種學習方法。p121

6、調(diào)研學習法

調(diào)研學習法就是調(diào)查研究學習法的簡稱，它是指學生親自去熟悉和了解學習對象的一種學習方法。p122

7、研究性學習法

研究性學習是指學生基于自身興趣，在教師指導下，從自然、社會和學生自身生活中選擇和確定研究專題、主動地獲取知識、應用知識、解決問題的學習活動。p126 第五章

1、教學技能

教學技能是教師在教學過程中，運用與教學有關(guān)的知識與經(jīng)驗，促進學生學習，達成教學目標的能力和技巧。p149

2、導入技能

導入技能是指教師在講解知識教學活動開始時，有意識、有目的地激發(fā)學生的興趣，引導學生進入新的學習情境的一種能力和技巧。p156

3、板書技能

板書技能是教師在教學過程中，根據(jù)教學的需要用黑板以凝練的文字語言形式或形象的圖表傳遞信息的能力和技巧。p182 第六章

1、評價方法

評價方法是指收集教學的信息、對評價對象進行價值判斷時所采用的工具和手段的總稱。p195

2、紙筆測驗

紙筆測驗是根據(jù)教育目標，通過編制試題、組成試卷對學生進行測試，引出學生的學習表現(xiàn)，然后按照一定的標準對測試結(jié)果加以衡量的一種評價方法。p203

3、成長記錄袋

成長記錄袋是顯示學生學習成就信息的一連串表現(xiàn)、作品、評價結(jié)果及其他相關(guān)記錄和資料的匯集。p208

4、合作評價

合作評價是指多個評價主體從多角度、多渠道獲取關(guān)于學生的多方面信息以判斷學生發(fā)展情況的評價活動方式。p210 第七章

1、教學媒體

教學媒體是指在教學過程中，教師與學生之間傳遞以教學為目的的信息所使用的媒介工具。p217

2、網(wǎng)絡(luò)教學

網(wǎng)絡(luò)教學時基于信息技術(shù)支持的采用新型教學模式和教學方法的教學形式。p234

3、現(xiàn)代教學媒體

現(xiàn)代教學媒體，是利用現(xiàn)代技術(shù)儲存和傳遞教學信息的工具。p219 教育學重點名詞解釋 第一章

1、學校教育

學校教育是指由專門的教育機構(gòu)所承擔的、由專門的教職人員所實施的有目的、有計劃、有組織的，以影響學生的身心發(fā)展為首要和直接目標的教育活動。p4

2、義務(wù)教育

義務(wù)教育，是指依照國家法律規(guī)定，適齡兒童和青少年都必須接受的，國家、社會、家庭、必須予以保證的國民教育。p15

3、教育學

教育學是研究教育現(xiàn)象、揭示教育規(guī)律的一門學科。p29 第二章

1、遺傳素質(zhì)

遺傳素質(zhì)也稱為遺傳，是指人的先天的解剖生理特征，主要表現(xiàn)在人的機體構(gòu)造、形態(tài)、感覺器官以及神經(jīng)系統(tǒng)的特征等。p62

2、主觀能動性

主觀能動性是指人的主觀意識對客觀世界的反映和能動作用，它是人的主觀意識方面的特性，故稱為主觀能動性。p66 第三章

1、教育目的：教育目的是指國家把受教育者培養(yǎng)成為什么樣的人，是培養(yǎng)人的質(zhì)量規(guī)格標準，是對受教育者的總的要求。p76

2、教育方針：教育方針是教育工作的宏觀指導思想，是指一個國家或政黨根據(jù)一定社會政治、經(jīng)濟和文化的要求，為實現(xiàn)一定時期的教育目的而制定的教育工作的總方向。p76

3、培養(yǎng)目標

培養(yǎng)目標是教育目的在各級各類教育機構(gòu)的具體化，也就是說不同類型、不同層次的學校培養(yǎng)人的具體質(zhì)量規(guī)格標準。p77 第四章

1、教師

教師是履行教育教學職責的專職人員，承擔著教書育人，培養(yǎng)社會主義事業(yè)建設(shè)者和接班人，提高民族素質(zhì)的使命。p99

2、教師資格制度

教師資格制度是國家對教師實行的一種特定的職業(yè)許可制度，是國家對專門從事教育教學工作人員的最基本要求。p109

3、教師聘任制度

教師聘任制度是指聘任雙方在平等自愿的前提下，由學?；蚪逃姓块T根據(jù)教學崗位設(shè)置，聘請有教師資格證的公民擔任相應的教師職務(wù)的一項教師任用制度。p110 第五章

1、核心課程

核心課程是以問題為核心，把幾門學科結(jié)合起來，由一個教師或教學小組通過一系列活動進行教學的課程。p165

2、課程標準

課程標準是指根據(jù)課程計劃制定的有關(guān)學科教學的目標、水準、結(jié)構(gòu)與教學要求的綱領(lǐng)性文件。p174 第六章

1、教學原則

教學原則是根據(jù)教育、教學目的，反映教學規(guī)律而制定的指導教學工作的基本要求。p201

2、班級授課制

班級授課制也稱課堂教學，是按學生年齡和知識水平分成有固定人數(shù)的教學班，以班為單位，按規(guī)定的教學內(nèi)容、教學時間和課程表，分科進行教學的一種組織形式。p213

3、復式教學

復式教學是把兩個或兩個以上年級的學生編在一個班里，由一位教師分別用不同程度的教材，在同一節(jié)課里對不同年級的學生，采取直接教學和自動作業(yè)交替的辦法進行教學的組織形式。p216 第七章

1、德育方法

德育方法是教師和學生在德育過程中為達到一定的德育目標而采用的有序的、相互關(guān)聯(lián)的活動方式和手段的組合。p265

2、行為訓練法

行為訓練法是通過道德實踐和對道德行為的價值領(lǐng)悟、策略訓練、獎懲等方式進行德育，以鞏固道德信念、磨練道德意志、培養(yǎng)良好行為習慣的德育方法。p269 第八章

（以下一道名詞解釋降級為單選題。）

1、班級

班級是學校根據(jù)管理的需要，把年齡相近、文化程度大體相同的學生分割成一個個小范圍的聚合體。它是學校教育活動的基本單位，是學校管理的基本組成部分。p277

第五篇：解不等式練習題jian

解不等式練習題

一、選擇題

11.不等式?2??3解為（）x

1111（A）??x?0或x?（B）-

1111（C）x>或x<-（D）-

二、解答題

1．解含絕對值的不等式

(1)｜3x＋4｜>－1；（2）｜3x＋4｜>0；（3）｜5x－3｜<10；（4）1≤｜1－2x｜≤7

2．解下列一元二次方程

（1）2x2＋x－3<0；（2）4x－x2＋12≥0；（3）2x－x2－3≥0

3．解下列分式不等式

x?52x?13?2x（1）≤0；（3）?0；（2）?0 x?12x?14x?3