第一篇：韋達(dá)定理代數(shù)式的值教案

根與系數(shù)的關(guān)系2

教學(xué)目標(biāo)：

1、會利用韋達(dá)定理求出與根有關(guān)的代數(shù)式的值

2、學(xué)會靈活多變的代數(shù)式變形

3、會求作新方程

一、知識回顧

1、設(shè)、代數(shù)式是方程=。的兩根，則兩根之和為

兩根之積為

則

學(xué)生講出做題依據(jù)，復(fù)習(xí)根與系數(shù)的關(guān)系。

2、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=1，那么p=，q=

2本題可能有學(xué)生用代人法，聯(lián)立方程組，引導(dǎo)用韋達(dá)定理。

二、自主探究1|

3、設(shè)x1.、x2是方程的兩根，求 ：（1）2x1?2x

2（2）2x1?2x2

（3）

111（4）? ?x1x2x1x2重點訓(xùn)練利用韋達(dá)定理求出與根有關(guān)的代數(shù)式的值，和學(xué)生一起總結(jié)解題步驟。

（1）韋達(dá)定理

（2）代數(shù)式變形

變式訓(xùn)練

4、方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，求：（1）（x1-1）（x2-1）

（2）x1+x

2（3）

22x2x1?

（4）(x1?x2)2 x1x2

三、合作探究

25、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1=2，x2=1，則方程為

6、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為3?2和3?2，則方程為

如果第5題用代人法，聯(lián)立方程組還可以解決的話，那么的第6題用此法則太繁瑣，引導(dǎo)學(xué)生善于思考，善于比較，選擇最簡單的方法。

7、如果關(guān)于x的一元二次方程x+px+q=0的兩根分別為x1、x2，那么p=，q= 則方程為

28、設(shè)x1.、x2是方程程

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求作新方程的解題步驟

（1）求出原方程的兩根和與積（2）寫出新方程的兩根

（3）求出新方程的兩根和與積（4）寫出新方程

四、反思總結(jié)：

五、課堂小測： 的兩根，求作一個新方程，使它的兩根是方的兩根的倒數(shù)。

9、已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的兩實數(shù)根，則

x2x1?的值為________ x1x210、方程x2-2x-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，求作一個新方程，使它的兩根分別是2x1和2x2。

第二篇：韋達(dá)定理教案

教案：韋達(dá)定理

一、教學(xué)目標(biāo)

1．通過根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)與推導(dǎo)，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納、猜想的能力和推理論證的能力；

2．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律。培養(yǎng)邏輯思維及創(chuàng)新思維能力。

二、教學(xué)重點、難點

1．教學(xué)重點：根與系數(shù)的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)及其推導(dǎo)． 2．教學(xué)難點：韋達(dá)定理的靈活應(yīng)用．

三、教學(xué)過程

（一）定理的發(fā)現(xiàn)及論證提出問題：已知?，?是方程2x2?3x?1?0的兩根，如何求?3??3的值

1.你能否寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別為 1）2和3 2）—4和7

問題1：從求這些方程的過程中你發(fā)現(xiàn)根與各項系數(shù)之間有什么關(guān)系？

觀察、思考、探索：2x-5x+3=0,這個方程的兩根之和，兩根之積與各項系數(shù)之間有什么關(guān)系？請猜想？ 2問題2；對于一元二次方程的一般式ax+bx+c=0（a≠0）是否也具備這個特征？

22結(jié)論1．如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1?x2??bc,x1x2? aa結(jié)論2．如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2結(jié)論1具有一般形式，結(jié)論2有時給研究問題帶來方便．

（二）定理的應(yīng)用

例

1、關(guān)于x的方程x-2x+m=0 的一根為2，求另一根和m的值。2例2.已知?,?是方程2x2?3x?1?0的兩根,不解方程，求下列各式的值.11(1)?(2)(??1)(??1)??

(3)?2??2（5）???33(4)|???|例

2、已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2?6x?k?0的兩個實數(shù)根且x1x2?(x1?x2)?115，求k值。

例3已知實數(shù)a,b分別滿足a?2a?2,b?2b?2且a?b,求222211?的值 ab

（三）總結(jié)

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)是在求根公式的基礎(chǔ)上進行．它深化了兩根的和與積和系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，為進一步學(xué)習(xí)使用打下堅實基礎(chǔ)．

韋達(dá)定理的內(nèi)容

2①如果ax+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1，x2，那么x1+x2=-

ba，1·2=

xx

ca

②如果方程x+px+q＝0的兩個根是x1，x2，那么 x1＋x2＝-p，x1·x2=q． 2

第三篇：韋達(dá)定理推廣的證明

證明：

當(dāng)Δ＝b^2-4ac≥0時,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有兩個實根,設(shè)為x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 則：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.綜上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數(shù)根

若b^2-4ac<0 則方程沒有實數(shù)解

韋達(dá)定理的推廣

韋達(dá)定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0

它的根記作X1,X2…,Xn

我們有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

如果一元二次方程

在復(fù)數(shù)集中的根是，那么

由代數(shù)基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在復(fù)數(shù)集中必有根。因此，該方程的左端可以在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解成一次因式的乘積：

其中是該方程的個根。兩端比較系數(shù)即得韋達(dá)定理。

法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系，因此，人們把這個關(guān)系稱為韋達(dá)定理。歷史是有趣的，韋達(dá)的16世紀(jì)就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論性。

(3)以x1，x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三項式的因式分解(公式法)

在分解二次三項式ax^2+bx+c的因式時，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的兩個根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外這與射影定理是初中必須

射影定理圖

掌握的.韋達(dá)定理推廣的證明

設(shè)x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。

則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）

通過系數(shù)對比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求積。

有關(guān)韋達(dá)定理的經(jīng)典例題

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整數(shù)根．

(’94祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請賽試題)

解：設(shè)方程的兩整數(shù)根為x1、x2，不妨設(shè)x1≤x2．由韋達(dá)定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均為整數(shù)，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知關(guān)于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的兩個根都是正整數(shù)，求m的值．

解：設(shè)方程的兩個正整數(shù)根為x1、x2，且不妨設(shè)x1≤x2．由韋達(dá)定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2為正整數(shù)，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求實數(shù)k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整數(shù)．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，設(shè)二次方程的兩個整數(shù)根為x1、x2，由韋達(dá)定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因為x1－

1、x2－1均為整數(shù)，所以

例4 已知二次函數(shù)y＝－x2＋px＋q的圖像與x軸交于(α，0)、(β，0)兩點，且α＞1＞β，求證：p＋q＞1．

(’97四川省初中數(shù)學(xué)競賽試題)

證明：由題意，可知方程－x2＋px＋q＝0的兩根為α、β．由韋達(dá)定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理

正玄定理與余弦定理

第四篇：初中數(shù)學(xué)之韋達(dá)定理

初中數(shù)學(xué)之韋達(dá)定理

韋達(dá)定理：對于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)，如果方程有兩個實數(shù)根

bcx1,x2，那么x1?x2??,x1x2? aa

說明：定理成立的條件??0

1.不解方程寫出下列方程的兩根和與兩根差

（1）x2?3x?10?0（2）3x2?5x?1?0（3）2x?43x?22?0

2.如果一元二次方程x2?mx?n?0的兩根互為相反數(shù)，那么m；如果兩根互為倒數(shù)，那么n=.3.若兩數(shù)和為3，兩數(shù)積為－4，則這兩數(shù)分別為224.已知方程2x2?3x?4?0的兩根為x1，x2，那么x1?x2

5.若方程x2?6x?m?0的一個根是3?2，則另一根是，m的值是 6.已知方程x2?3x?2?0的兩根為x1、x2，且x1 >x2,求下列各式的值:

2（1）x12?x2；2（2）11 ?x1x2

（3）(x1?x2)2?；（4）(x1?1)(x2?1)7.已知關(guān)于x的方程x2?(5k?1)x?k2?2?0，是否存在負(fù)數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于4？若存在，求出滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。

8.關(guān)于x的方程2x2?8x?p＝０有一個正根，一個負(fù)根，則p的值是（）

（A）0（B）正數(shù)（C）－8（D）－4

9.已知方程x2?2x?1=0的兩根是x1，x2，那么x12x2?x1x22?1?（）

(A)－7(B)3(C)7(D)－3

1110.已知方程2x2?x?3?0的兩根為x1，x2，那么?=（）x1x2

11(A)－(B)(C)3(D)－3 33

11.若方程4x2?(a2?3a?10)x?4a?0的兩根互為相反數(shù)，則a的值是（）

(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或2

12.若方程2x2?3x?4?0的兩根是x1，x2，那么(x1?1)(x2?1)的值是（）

115(A)－(B)－6(C)(D)－ 222

213.分別以方程x?2x?1=0兩根的平方為根的方程是（）

（A）y2?6y?1?0（B）y2?6y?1?0

（C）y2?6y?1?0（D）y2?6y?1?0

第五篇：代數(shù)式的值教案

§ 教學(xué)目標(biāo)： 3．3代數(shù)式的值

深州舊州中學(xué)

趙書華

知識與技能：了解代數(shù)式的值的概念，會求代數(shù)式的值，會利用求代數(shù)式的值解決較簡單的實際問題。

過程與方法：在具體情境中感受代數(shù)式中的字母表示數(shù)的意義，體會由一般到特殊的方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過例題的講解培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)，并發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)與實際應(yīng)用能力。教學(xué)重難點：

重點：直接代入法求代數(shù)式的值。

難點：整體代入法求代數(shù)式的值。教學(xué)過程：

（一）憶一憶 1 什么是代數(shù)式 會列代數(shù)式嗎？列代數(shù)式時需要注意什么？

（二）玩一玩，說一說

1玩一玩：請四個同學(xué)來做一個傳數(shù)的游戲 游戲方法：請第一個同學(xué)任意報一個數(shù)給第二個同學(xué)，第二個同學(xué)把這個數(shù)加1傳給第三個 同學(xué)，第三個同學(xué)再把聽到的數(shù)平方后傳給第四個同學(xué)，第四個同學(xué)把聽到的數(shù)減去1 報出答案。

（1）若一個同學(xué)報給第二個同學(xué)的數(shù)是5，而第四個同學(xué)報出的答案是35其結(jié)果對嗎？（2）若第一個同學(xué)報給第二個同學(xué)的數(shù)是x，則第二個同學(xué)報給第三個同學(xué)的數(shù)是 _________，第三個同學(xué)報給第四個同學(xué)的數(shù)是__________,第四個同學(xué)報出的答案是______________.以上過程我們可以用一個圖來表示。x →x+1→(x+1)2 →(x+1)2-1實際上問題（1）是在用具體的數(shù)5來代替最后一個式子(x+1)2–1中的字母x，然后算出結(jié) 果(5–1)2–1=35 如果我現(xiàn)在任意報一個數(shù)，你能否完成四個人的工作，告訴我答案？ 剛才的游戲過程就是：用某個數(shù)去代替代數(shù)式(x+1)2–1中的x，并按照其中的運算關(guān)系計算得出結(jié)果。這就是代數(shù)式的值。

2.說一說：你能由上面問題說一說什么是代數(shù)式的值嗎？

用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中運算關(guān)系計算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。這個過程叫做求代數(shù)式的值。

(三)學(xué)一學(xué)，練一練（直接代入法求代數(shù)式的值）1． 學(xué)一學(xué)

例1：根據(jù)下面a、b的值,求代數(shù)式a

b的值 a

（1）當(dāng)a＝2,b＝－6時，（2）當(dāng)a＝－10,b＝4時

解：（1）當(dāng)a＝2,b＝－6時，（2）當(dāng)a＝－10,b＝4時，a?6b＝2－

a2a4b＝－10－

?10a

＝2＋3

＝－10＋53 ＝5 ＝ －9

5師：在今后解決問題的過程中，往往需要根據(jù)代數(shù)式中字母取值確定代數(shù)式的值，你能根據(jù)代數(shù)式的值的概念找出求代數(shù)式的值的方法步驟嗎？ 學(xué)生活動：積極思考，相互討論，找出方法步驟：

（1）寫出條件：解：當(dāng)?時（2）抄寫代數(shù)式（3）代入數(shù)值（4）計算出結(jié)果 練習(xí)1：當(dāng)x=2,Y=1,Z=－3時，求下列各代數(shù)式的值。（學(xué)生板書）（1）z－y(z－x)

(2)xy－z2（學(xué)生板書，老師指點學(xué)生找錯并強調(diào)注意事項）

師：你能從上面的運算過程說一說代數(shù)式的值在計算時需要注意哪些問題嗎？交流得：注意：①在代數(shù)式中原來省略的乘號代入數(shù)值時要還原成“×”；②代入負(fù)數(shù)時要加上括號負(fù)數(shù)，代入乘方運算時，底數(shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時也要加上括號。

（四）想一想，練一練（整體代入法求代數(shù)式的值）例2：若a2＋a＝0, 求代數(shù)式2a2＋2a＋2007的值

提示：先從a2＋a＝0中求得a值再代入，無疑的會很麻煩，若把它看做一整體，看求值的式子中是否包含a2＋a。若有，把它的值代入即可求值，這種方法也稱整體代入法。練習(xí)2：當(dāng)x+y=5，xy=4時，求代數(shù)式80（x+y）2 +3xy-11的值。（學(xué)生板書）例3：若 x+2y+5的值為7，求代數(shù)式 3x+6y+4 的值。

師：解題思想，先變形，然后整體帶入。

（五）鞏固提高

（課本上練習(xí)）

（六）歸納小結(jié):

師：本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（1）什么叫代數(shù)式的值？

（2）求代數(shù)式的值的步驟：先代入，后計算.運算時既要分清運算種類，又要注意運算順序.（3）求代數(shù)式的常見方法：直接代入法，整體代入法（4）注意的幾個問題：

●解題格式，由于代數(shù)式的值是由代數(shù)式中的字母所取的值確定的，所以代入數(shù)值前應(yīng)先指明字母的取值，把“當(dāng)??時”寫出來。

●代數(shù)式中省略了乘號時，代入數(shù)值以后必須添上乘號。

●代入負(fù)數(shù)時要加上括號負(fù)數(shù)，代入乘方運算時，底數(shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時也要加上括號。

（七）作業(yè)布置：P112 A組1，5

B組1,2

（八）板書設(shè)計

§ 3．3代數(shù)式的值

一 代數(shù)式的值的定義

整體代入法

鞏固提高 二 例題

例2

三 小結(jié) 直接代入法

練習(xí)2

注意1 例1

例3

練習(xí)1

（九）課后反思