第一篇：高考數(shù)學(xué)空間圖形位置的幾何證明測(cè)試(含答案)

高考攻略 黃岡第二輪復(fù)習(xí)新思維數(shù)學(xué)

專(zhuān)題八空間圖形位置的幾何證明命題人；董德松易賞

一、選擇題

1.若a、b是異面直線，則以下命題正確的是

A.至多有一條直線與a、b都垂直

C.過(guò)a至少有一個(gè)平面平行與bB.至多有一個(gè)平面分別與a、b平行D.過(guò)a至少有一個(gè)平面垂直與b

2.直線a與平面a成?角，a是平面a的斜線，b是平面a內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角

A.最小值為?，最大值為???

C.最小值為?，無(wú)最大值

A.m?n，m∥?，n∥?

C.m∥n，n??，m??

上的動(dòng)點(diǎn)，則直線PO、AE的位置關(guān)系

A.平行

B.最小值為??2 D.23.對(duì)于直線m、n和平面?、?，???的一個(gè)充分條件是B.m?n，????m，n??D.m∥n，m??，n???4.如圖28，正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，E是D1D的中點(diǎn)，P是A1B1B.垂直C.相交但不垂直D.異面但不垂直

5.如圖直線l、m與平面?、?、?滿(mǎn)足：l????，l∥?，m??和m??，那么必有

A.???且l?mB.???且m∥?C.m∥?且l?m

???D.?∥?且???6.若平面???，????l，且點(diǎn)P??，P?l，則下列命題中的假命題是

A.過(guò)點(diǎn)P且垂直于?的直線平行于?

C.過(guò)點(diǎn)P且垂直于?的直線在?內(nèi)的一個(gè)條件是

A.a∥?且b　∥?B.a∥?且b??C.a??且b∥?D.a??且b??B.過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的直線在?內(nèi)D.過(guò)點(diǎn)P且垂直與l的平面垂直與?

7.已知??l??是大小確定的一個(gè)二面角，若a，b是空間兩條直線，則能是a、b所成的角為定值

8.設(shè)a、b是兩條不同的直線，?、?是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題

①若a?b，a??，則b∥?

③a??，???，則a∥?

其中正確的命題個(gè)數(shù)是

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

9.在下列命題中，真命題是

A.若直線m，n都平行于平面?，則m∥n

B.若直線m，n在平面?內(nèi)的射影依次是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m?n，則n在?內(nèi)或與平面?平行

C.設(shè)二面角??l??是直二面角，若直線m?l，則m??

D.設(shè)m，n是異面直線，若m與平面?平行，則n與?相交

10.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b

A.一定是異面直線

C.不可能是平行直線

二、填空題

11.在?ABC中，?C?90?，AB?8，?ABC?30?，PC?面ABC，PC?4，P'是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PP'的最小值為

12.如圖30所示，已知三棱錐P?ABC中，PA?PC，BC?平面PAC，下列五個(gè)結(jié)論正確的是

①平面PAB?平面PBC

③平面PAC?平面ABC

⑤平面PBC?平面ABC

13.如圖31.正方體ABCD?A1B1C1D1中過(guò)點(diǎn)A做截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成角相等，試寫(xiě)出滿(mǎn)足這樣條件的一個(gè)截面

（只需寫(xiě)出一個(gè)截面即可）

②若a∥?，???，則???④若a?b，a??，b??，則???B.一定是相交直線D.不可能是相交直線②平面PAB?平面ABC④平面PAC?平面PAB

三、解答題

14.已知矩形ABCD中，AB?1，BC?a(a?0),PA?平面ABCD，且PA?

1（1）問(wèn)BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ?QD，并說(shuō)明理由

（2）若BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ?QD，求這時(shí)二面角Q?PD?A的大小

15.直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰直角三角形，AC?2a，BB1?3a，D為A1C1的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn)，在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF?平面B1DF，若存在，求出|AF|若不存在，說(shuō)明理由

16.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AB中點(diǎn)，如圖3

4（1）求證：A1C?BD

（2）設(shè)P為正方體對(duì)角線A1C上任意一點(diǎn)，問(wèn)A1C與平面PEB1所成的角是否有最大值和最小值，若有，請(qǐng)求出；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由

專(zhuān)題八空間圖形位置的幾何證明（答案）

一、1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.D8.B9.B10.C

二、11.2三、12.①③13.平面AD1C或平面AB1D1或平面AB1C

14.解：(1)設(shè)BQ?x.則QC?a?x,QP?QB?BA?AP,QD?QC?CD

由??（??（????????x(a?x)?1?x2??ax?1?0欲使這個(gè)方程有解，必須a2?4?0

因此，當(dāng)a?2時(shí)，點(diǎn)Q存在；當(dāng)a?2時(shí)，只存在一個(gè)點(diǎn)

當(dāng)0?a?2時(shí)，這樣的點(diǎn)不存在(2)當(dāng)存在唯一點(diǎn)Q時(shí)，a?2.此時(shí)，由x2?2x?1?0得x?1，即Q點(diǎn)恰為BC之中點(diǎn)，由于平面PAD法向量是，設(shè)平面PQD的法向量為n?????n??(????)?(QC?CD)??1?2??0

及n??(????)?(?)?4????0

11解得??,??2,?n???2,記二面角為?2

2則cos???

1?1?4?6

615.解析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA、BC、BB1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系????AC?2a,?ABC?90?,?AB?BC?2a

?B(0,0,0),C(0,2a,0),A(2a,0,0),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),B1(0,0,3a)

假設(shè)存在點(diǎn)F，要使CF?平面B1DF，只要CF?B1F，且CF?B1D，不妨設(shè)|AF|?b，則F(2a,0,b),CF?(2a,?2a,b),B1F?(2a,0,b?3a),B1D?（??B1?a2?a2?0,??B1恒成立

B1??2a2?b(b?3a)?0?b?a或b?2a

故當(dāng)|AF|?a或2a時(shí)，CF?平面B1DF

16.解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：

1A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1)E(1，0)2

A1C?(?1,1,?1),BD?(?1,?1,0)

?A1C?BD?(?1,1,?1),BD?(?1,?1,0)

?A1C?BD

22a,a,0)22

(2)令A(yù)1P??A1C,??[0,1]

11?BE1?(0，1),EA1?(0,?,1),A1?(?1,1,?1)22

1??EA1?A1?(??,??,1??)2

平面PEB1的法向量n?(2?3?,?2?,?)

設(shè)A1C與平面PEB1所成角為?，則sin??|AC?n|

1?23103(??)2?77

3210210當(dāng)??時(shí)，sin?最大值為，?的最大值為arcsin71515

22當(dāng)??1時(shí)，sin?最小為，?的最小值為arcsin。33

?最大值與最小值均存在

第二篇：黃岡二輪8 空間圖形位置的幾何證明

數(shù)學(xué)

專(zhuān)題八

空間圖形位置的幾何證明

一、選擇題1.若a、b是異面直線，則以下命題正確的是A.至多有一條直線與a、b都垂直C.過(guò)a至少有一個(gè)平面平行與bB.至多有一個(gè)平面分別與a、b平行D.過(guò)a至少有一個(gè)平面垂直與b2.直線a與平面a成?角，a是平面a的斜線，b是平面a內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角A.最小值為?，最大值為???C.最小值為?，無(wú)最大值A(chǔ).m?n，m∥?，n∥?C.m∥n，n??，m??上的動(dòng)點(diǎn)，則直線PO、AE的位置關(guān)系A(chǔ).平行B.垂直C.相交但不垂直D.異面但不垂直B.最小值為?，最大值為D.無(wú)最小值，最大值為?2?2

3.對(duì)于直線m、n和平面?、?，???的一個(gè)充分條件是B.m?n，????m，n??D.m∥n，m??，n??4.如圖28，正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，E是D1D的中點(diǎn)，P是A1B15.如圖直線l、m與平面?、?、?滿(mǎn)足：l????，l∥?，m??和m??，那么必有A.???且l?mB.???且m∥?C.m∥?且l?m???D.?∥?且???6.若平面???，????l，且點(diǎn)P??，P?l，則下列命題中的假命題是A.過(guò)點(diǎn)P且垂直于?的直線平行于?C.過(guò)點(diǎn)P且垂直于?的直線在?內(nèi)的一個(gè)條件是A.a∥?且b　∥?B.a∥?且b??C.a??且b∥?D.a??且b??B.過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的直線在?內(nèi)D.過(guò)點(diǎn)P且垂直與l的平面垂直與?

7.已知??l??是大小確定的一個(gè)二面角，若a，b是空間兩條直線，則能是a、b所成的角為定值8.設(shè)a、b是兩條不同的直線，?、?是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題①若a?b，a??，則b∥?③a??，???，則a∥?其中正確的命題個(gè)數(shù)是A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)9.在下列命題中，真命題是A.若直線m，n都平行于平面?，則m∥nB.若直線m，n在平面?內(nèi)的射影依次是一個(gè)點(diǎn)和一條直線，且m?n，則n在?內(nèi)或與平面?平行C.設(shè)二面角??l??是直二面角，若直線m?l，則m??D.設(shè)m，n是異面直線，若m與平面?平行，則n與?相交10.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與bA.一定是異面直線C.不可能是平行直線

二、填空題11.在?ABC中，?C?90?，AB?8，?ABC?30?，PC?面ABC，PC?4，P'是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則PP' 的最小值為12.如圖30所示，已知三棱錐P?ABC中，PA?PC，BC?平面PAC，下列五個(gè)結(jié)論正確的是①平面PAB?平面PBC③平面PAC?平面ABC⑤平面PBC?平面ABC13.如圖31.正方體ABCD?A1B1C1D1中過(guò)點(diǎn)A做截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成角相等，試寫(xiě)出滿(mǎn)足這樣條件的一個(gè)截面（只需寫(xiě)出一個(gè)截面即可）②平面PAB?平面ABC④平面PAC?平面PABB.一定是相交直線D.不可能是相交直線②若a∥?，???，則???④若a?b，a??，b??，則???

三、解答題14.已知矩形ABCD中，AB?1，BC?a(a?0),PA?平面ABCD，且PA?1（1）問(wèn)BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得PQ?QD，并說(shuō)明理由

（2）若BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQ?QD，求這時(shí)二面角Q?PD?A的大小

15.直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰直角三角形，AC?2a，BB1?3a，D為A1C1的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn)，在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF?平面B1DF，若存在，求出|AF| 若不存在，說(shuō)明理由

16.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AB中點(diǎn)，如圖34（1）求證：A1C?BD

（2）設(shè)P為正方體對(duì)角線A1C上任意一點(diǎn)，問(wèn)A1C與平面PEB1所成的角是否有最大值和最小值，若有，請(qǐng)求出；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由

專(zhuān)題八

空間圖形位置的幾何證明（答案）

一、1.C

2.B

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.B

10.C

二、11.2712.①③13.平面AD1C或平面AB1D1或平面AB1C

14.解：(1)設(shè)BQ?x.則QC?a?x,QP?QB?BA?AP,QD?QC?CD由QP?QD?（QB?BA?AP）（?QC?CD）?QB?QC?BC?CD??x(a?x)?1?x2??ax?1?0欲使這個(gè)方程有解，必須a2?4?0因此，當(dāng)a?2時(shí)，點(diǎn)Q存在；當(dāng)a?2時(shí)，只存在一個(gè)點(diǎn)當(dāng)0?a?2時(shí)，這樣的點(diǎn)不存在(2)當(dāng)存在唯一點(diǎn)Q時(shí)，a?2.此時(shí)，由x2?2x?1?0得x?1，即Q點(diǎn)恰為BC之中點(diǎn)，由于平面PAD法向量是AB，設(shè)平面PQD的法向量為n?AB??AD??AP，則由n?QD?(AB??AD??AP)?(QC?CD)??1?2??0及n?PD?(AB??AD??AP)?(AD?AP)?4????011解得??,??2,?n?AB?AD?2AP,記二面角為?22則cos??AB?n|AB||n|???arccos?11?1?4?666615.解析：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BA、BC、BB1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系?AC?2a,?ABC?90?,?AB?BC?2a?B(0,0,0),C(0,2a,0),A(2a,0,0),A1(2a,0,3a),C1(0,2a,3a),B1(0,0,3a)假設(shè)存在點(diǎn)F，要使CF?平面B1DF，只要CF?B1F，且CF?B1D，不妨設(shè)|AF|?b，則F(2a,0,b),CF?(2a,?2a,b),B1F?(2a,0,b?3a),B1D?(?CF?B1D?a2?a2?0,?CF?B1D恒成立B1F?CF?2a2?b(b?3a)?0?b?a或b?2a故當(dāng)|AF|?a或2a時(shí)，CF?平面B1DF16.解：(1)證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：A1(1,0,0),B1(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1)E(1,A1C?(?1,1,?1),BD?(?1,?1,0)?A1C?BD?(?1,1,?1),BD?(?1,?1,0)?A1C?BD(2)令A(yù)1P??A1C,??[0,1]?BE1?(0,11,1),EA1?(0,?,1),A1C?(?1,1,?1)221?EP?EA1?A1P?(??,??,1??)2平面PEB1的法向量n?(2?3?,?2?,?)設(shè)A1C與平面PEB1所成角為?，則sin??|A1C?n||A1C|?|n|?23314(??210153210)?7722a,a,0)22

1,0)2當(dāng)??3時(shí)，sin?最大值為7210，?的最大值為arcsin15

22，?的最小值為arcsin。33?最大值與最小值均存在當(dāng)??1時(shí)，sin?最小為

第三篇：2012高考數(shù)學(xué)幾何證明選講

幾何證明選講

模塊點(diǎn)晴

一、知識(shí)精要

值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮

6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過(guò)如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)單方法：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

形與三角形相似。

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。

對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)

條直線平行于三角形的第三邊。

1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。的比例中項(xiàng)。

兩條切線的夾角。

二、方法秘笈

⒈幾何證明選講內(nèi)容的考點(diǎn)雖多，主要還是集中在對(duì)圓的相關(guān)內(nèi)容的考查，而圓中又主要以與切線有關(guān)的性質(zhì)、圓冪定理、四點(diǎn)共圓這幾個(gè)內(nèi)容的考查為主。

⒉雖然本書(shū)內(nèi)容主要是由原初三內(nèi)容改編過(guò)來(lái)，而在初中，相關(guān)內(nèi)容也已經(jīng)刪去，似乎教師教與學(xué)生學(xué)都有一定難度，但是由于學(xué)生經(jīng)過(guò)兩年的高中學(xué)習(xí)，邏輯性、嚴(yán)密性都有了較大的提高，只要教學(xué)得法，學(xué)生對(duì)這部分的學(xué)習(xí)應(yīng)該并不會(huì)感到困難。

⒊緊扣課本中的例習(xí)題進(jìn)行學(xué)習(xí)，重視各個(gè)定理的來(lái)龍去脈，理解其中滲透的重要的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)楦呖荚囶}中所采取的一些方法多來(lái)自課本中定理的證明方法及例習(xí)題的證明方法；

試題解析

一、選擇題

例1.（2012北京、理科）如圖.∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，以BD為直徑的圓與BC交于

點(diǎn)E.則()

A.CE·CB=AD·DBB.CE·CB=AD·AB C.AD·AB=CD 2D.CE·EB=CD 2

【解析】A。在?ACB中，∠ACB=90o，CD⊥AB于點(diǎn)D，所以CD理的CD

二、填空題

例1.（2012全國(guó)、文科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)

F,AF?3,FB?1,EF?

?AD?DB,由切割線定

?CE?CB,所以CE·CB=AD·DB。

32,則線段CD的長(zhǎng)為

【解析】如圖連結(jié)BC，BE，則∠1=∠2，∠2=∠A

??A??1，又∠B=∠B，??CBF∽?ABC，CBBFCBCF??,?,代入數(shù)值得BC=2，ABBCABAC

AC=4，又由平行線等分線段定理得解得CD=

ACCD

?

AFFB,.【答案】

例2.(2012湖南、理科)如圖2，過(guò)點(diǎn)P的直線與圓O相交于A，B兩點(diǎn).若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于

_______.PO交圓O于C，D，如圖，設(shè)圓的半徑為R，由割線定理知

PA?PB?PC?PD,即1?(1?2)?(3-r)(3?r),?r?

P

例3.（2012天津、理科）如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦.過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)Ｅ，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

32，則線段CD的長(zhǎng)為

【解析】∵AF=3，F(xiàn)B=1，EF=

432

ABAF，由相交弦定理得AF?FB=EF?FC，所以FC=2，?FC=83

又∵BD∥CE，∴

AFAB

=

FCBD，BD=

?2=

83，設(shè)CD=x，則AD=4x，再由切

割線定理得BD=CD?AD，即x?4x=（練習(xí)題

1.（2012湖北、理科）)，解得x=，故CD=

43.如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB=4，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_(kāi)____________。

答案：

22.（2012陜西、文理科）如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF?DB，垂足為F，若AB?6，AE?1，則DF?DB?5。

三、解答題

例1(2012年全國(guó)新課標(biāo)卷)如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)，若CF//AB，證明：

G

F

(Ⅰ)CD=BC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD

【解析】（1）CF//AB，DF//BC?CF//BD//AD?CD?BFCF//AB?AF?BC?BC?CD

（2）BC//GF?BG?FC?BD

BC//GF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

O相交例2．（2012遼寧、文理科）如圖，⊙O和⊙

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于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D

兩點(diǎn)，連接DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E。

證明

（Ⅰ）AC?BD?AD?AB；（Ⅱ）AC?AE。

例3.（2012江蘇、理科）如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)

BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD = DC，連結(jié)AC，AE，DE．

求證：?E??C．

【解析】

21-A題）

第四篇：初二數(shù)學(xué)幾何證明

1.已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AD為邊作等邊三角形ADE。連接CE.求證：CE平分∠ACD

E

A

BCD

2.已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，E是AB邊上的一點(diǎn)，AE=AC，EF∥BC交AC于點(diǎn)F.求證：∠DEC=∠FEC

.3.已知△ABC、△DBE、△CEF是等邊三角形，求證：四邊形ADEF是平行四邊形.A

D

F

BC

4.如圖，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分線與AC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD，H為垂足。試說(shuō)明BD=2CH。

A

21C

5.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過(guò)C點(diǎn)在△ABC形外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)求證：

MN=AM+BN

(2)△ABC內(nèi)，∠ACB=90°，AC=BC若過(guò)C點(diǎn)在△ABC內(nèi)作直線MN，當(dāng)MN位于何位置時(shí)，AM，BN和MN滿(mǎn)足MN=AM-BN，并證明之．

6.“等腰三角形兩腰上的高相等”

(1)根據(jù)上述命題，畫(huà)出相關(guān)圖形，并寫(xiě)出“已知’’“求證”，不必證明．(2)寫(xiě)出上述命題的逆命題，并加以證明．

7.已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=900，D、E、F分別是AB、BC、AC上的點(diǎn)，DE、DC、DF將△ABC分成四個(gè)全等的三角形，△ABC的周長(zhǎng)是1 2厘米，求由DF、CD、DE所分成的各個(gè)小三角形的周長(zhǎng)．

8.如圖，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中點(diǎn)，EF⊥BD，垂足為F．求證：BF=DF．

B

FA

D

C

9.已知，如圖正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，AF和DE交于點(diǎn)P． 求證：

CP=CD

10.如圖△ABC中，BD⊥AC，CE⊥ AB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于H，∠A=60°．DH =2,EH=1(1)求BD和CE的長(zhǎng)．

(2)若∠ACB= 45°，求△ABC的面積．

11.如圖，△ABC中，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，BE⊥AD于E,CF⊥AD于F，點(diǎn)M 是BC的中點(diǎn)．求證：EM=FM

A

B

E

C

12.中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。你能根據(jù)這幅“勾股圓方圖”證明勾股定理嗎？（圖中4個(gè)直角三角形全等）

13.如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱(chēng)ICME～7）的會(huì)徽，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的其中OA1?A1A2?A2A3???A7A8?1，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題：

A8

A

3ICME-7

21圖甲圖乙

（）?1?2，S1?

;(2)?1?3,S2?

;(3)?1?4,S3?

;??

（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長(zhǎng)；

2222

（3）求出S1?S2?S3???S10的值。

1.如圖，在△ABC中，∠

A=90°，AB?AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若AB?2cm.求：AD的長(zhǎng),2．在Rt△ABC中，∠C=90°，中線AD的長(zhǎng)為7，中線BE的長(zhǎng)為4.求：AB的長(zhǎng) 3．四邊形中，∠A=60

°，∠B=∠D=90°，AB?2,CD?1.(1)求BC、AD的長(zhǎng)（2）

求四邊形ABCD的面積.

第五篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明題「含答案」

重慶中考（往屆）數(shù)學(xué)24題專(zhuān)題練習(xí)

1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE

（1）求證：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CD．

在BG上取BH=AB=CD，連EH，顯然△ABE與△CDE全等，則∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC

又∠BEC=90°=∠BFC，對(duì)頂角∠BGE=∠CGF，故∠FBE=∠DCE，所以∠ABE=∠FBE

在BF上取BH=AB，連接EH，由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE與△HBE全等

故∠AEB=∠HEB，AE=EH

而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90°

所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB

故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED

同理，∠DEG=45°=∠HEG

EH=AE=ED，EG=EG

故△HEG與△FEG全等，所以HG=DG

即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接ED，與BC交于點(diǎn)H．過(guò)E作CD的垂線，垂足為CD上的一點(diǎn)F，并與BC交于點(diǎn)G．已知G為CH的中點(diǎn)．

（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的長(zhǎng)．

3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）當(dāng)CE=1時(shí)，求△BCE的面積；

（2）求證：BD=EF+CE．

4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．過(guò)點(diǎn)E

EF∥CA，交CD于點(diǎn)F，連接OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．

5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于E，延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．

（1）求線段CD的長(zhǎng)；

（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．

6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；

（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．

7、已知：如圖，ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．

（1）求證：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．

8、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．

（1）求證：∠DAE=∠DCE；

（2）當(dāng)CG=CE時(shí)，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

9、如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

（1）求證：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．

10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于F；

（1）證明：EF=EA；

（2）過(guò)D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．

11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．

（1）求證：EB=EF；

（2）延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長(zhǎng)．

12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．

（1）求證：AE=GF；

（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．

13、已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長(zhǎng)．

14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點(diǎn)F，連接AF、BF．

（1）求證：AD=BE；

（2）試判斷△ABF的形狀，并說(shuō)明理由．

15、如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求證：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的長(zhǎng)．

16、如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．

（1）求證：AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的長(zhǎng)．

17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．

（1）求證：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長(zhǎng)．

19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．

（1）求證：BF=EF﹣ED；

（2）連接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．

20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求

AE的長(zhǎng)．

（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．

21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．

（1）求證：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．

22、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過(guò)AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．

（1）求證：△AGE≌△DAB；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．

23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．

（1）試說(shuō)明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；

（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF．AF交BE于P．

（1）證明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度數(shù)．

25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF=CD．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）如果BC=8，求△DBF的面積？

26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：△AGD為正三角形；

（2）求EF的長(zhǎng)度．

27、已知，如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45°，連接ED，過(guò)D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長(zhǎng)．

（2）求證：ED=BE+FC．

28、已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，直線CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長(zhǎng)．

29、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．

求證：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周長(zhǎng)為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．

30、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．連接BD，過(guò)A點(diǎn)作BD的垂線，交BC于E．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．

參考答案

1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE

（1）求證：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CD．

證明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；

（2）延長(zhǎng)CD和BE的延長(zhǎng)線交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已證），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已證），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已證），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．

2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接ED，與BC交于點(diǎn)H．過(guò)E作CD的垂線，垂足為CD上的一點(diǎn)F，并與BC交于點(diǎn)G．已知G為CH的中點(diǎn)．

（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的長(zhǎng)．

（1）證明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中點(diǎn)，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．

3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）當(dāng)CE=1時(shí)，求△BCE的面積；

（2）求證：BD=EF+CE．

（2）過(guò)E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，四邊形FDME是矩形，F(xiàn)E=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，繼而可證明BD=DM+BM=EF+CE．

（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，∴…（5分）

（2）證明：過(guò)E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，∴四邊形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．過(guò)點(diǎn)E作EF∥CA，交CD于點(diǎn)F，連接OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)EF交AD于G（如圖），在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四邊形ACEG是平行四邊形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，∴OF∥BE．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形．

證明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OC，BD=2BO．

∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．

5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于E，延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．

（1）求線段CD的長(zhǎng)；

（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．

（1）解：連接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°

又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF

又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．

（2）證明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=∠BCD==．

6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；

（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．

解：（1）連AC，過(guò)C作CM⊥AD于M，如圖，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面積=?（8+14）?6=66（cm2）；

（2）證明：過(guò)G作GN⊥AD，如圖，∵∠D=45°，∴△DNG為等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．

7、已知：如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．

（1）求證：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．

（1）證明：如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．

∵DF=CD，∴AB∥DF．

∵DF=CD，∴AB=DF．

∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AE=DE．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．

∴AC⊥BD．

∴∠COD=90°．

∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF∥BD．

∴∠CAF=∠COD=90°．

8、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．

（1）求證：∠DAE=∠DCE；

（2）當(dāng)CG=CE時(shí)，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

（1）證明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的對(duì)角線平分對(duì)角），ED=DE（公共邊），AE=CE（正方形的四條邊長(zhǎng)相等），∴△DAE≌△DCE

（SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；

（2）解：如圖，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等邊對(duì)等角）；

又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等邊對(duì)等角）；

而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AG于點(diǎn)H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．

9、如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

（1）求證：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．

（1）證明：連接PC．

∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．

∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．

∴∠EAF=∠BAD=90°．

∵P是EF的中點(diǎn)，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．

又

AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）

∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．

∵P是EF的中點(diǎn)，∴PH=EC．

設(shè)EC=x．

由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，F(xiàn)C=x，BE=2﹣x．

在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得

x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．

∴PH=﹣1+，F(xiàn)D=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．

∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．

10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于F；

（1）證明：EF=EA；

（2）過(guò)D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．

（1）證明：

∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．

∵E為CD的中點(diǎn)，∴ED=EC．

∴△ADE≌△FCE．

∴EF=EA．（5分）

（2）解：連接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．

∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD是矩形．

∴BG=AD，GA=BD．

∵BD=BC，∴GA=BC．

由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．

∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．

∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）

11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．

（1）求證：EB=EF；

（2）延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長(zhǎng)．

（1）證明：∵△ADF為等邊三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）

∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）

∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）

∵AE為公共邊

∴△FAE≌△BAE（4分）

∴EF=EB（5分）

（2）解：如圖，連接EC．（6分）

∵在等邊三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分線，則∠EFA=∠EFD=30°．（7分）

由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．

∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．

∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°

∴GE=GB．（8分）

∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴EG=CG

∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG為等邊三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）

∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2

∴CE=，∴BC=（10分）；

解法二：過(guò)C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．

12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．

（1）求證：AE=GF；

（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．

（1）證明：∵AB=DC，∴梯形ABCD為等腰梯形．

∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．

∴∠DBC=∠ADB=30°．

∴∠BDC=90°．（1分）

由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）

又∵AE為等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中點(diǎn)，∵F是DC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．

∴EF∥AD．

∴四邊形AEFD是平行四邊形．（3分）

∴AE=DF（4分）

∵F是DC的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）

∴AE=GF．（6分）

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．

在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）

由（1）知：在平行四邊形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四邊形DEGF的面積=EF?DG=．（10分）

13、已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．

∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．

∴AG=CG，∴∠E=30°．

∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．

14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點(diǎn)F，連接AF、BF．

（1）求證：AD=BE；

（2）試判斷△ABF的形狀，并說(shuō)明理由．

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°

∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．

（2）答：△ABF是等腰直角三角形．

理由是：延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．

15、（2011?潼南縣）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求證：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）

∴AD=AE；

（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，設(shè)AB=x，則BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．

說(shuō)明：依據(jù)此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，其它方法如：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB用來(lái)證明和計(jì)算均可得分．

16、如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．

（1）求證：AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中點(diǎn)，∴AE⊥BD．

（2）解：延長(zhǎng)AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已證），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中點(diǎn)（已知），所以由三角形中位線定理得：

EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）

=×（14﹣4）=5．

答：EF的長(zhǎng)為5．

17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．

（1）求證：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而B(niǎo)E⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．

∴CD=BE．

（2）解：在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．

∴AE=AC﹣CE=2．

18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長(zhǎng)．

解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1分）

∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．

∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC?sin45°=4×=2（2分）

在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）

在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）

19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．

（1）求證：BF=EF﹣ED；

（2）連接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．

證明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF＇=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；

（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．

20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求

AE的長(zhǎng)．

（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．

解：（1）作EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；

∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四邊形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；

在Rt△AFE中，AE==5；

（2）延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)N．

∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；

∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；

∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．

．21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．

（1）求證：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．

解：（1）證明：過(guò)D作DE∥AC交BC延長(zhǎng)線于E，（1分）

∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形．（2分）

∴CE=AD，DE=AC．

∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=DE．

∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．

∴△DBE為等腰直角三角形．（4分）

∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）

（2）∵AD=CE，∴．（7分）

∵△DBE為等腰直角三角形BD=DE=6，∴．

∴梯形ABCD的面積為18．（8分）

注：此題解題方法并不唯一．

22、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過(guò)AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．

（1）求證：△AGE≌△DAB；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等邊三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．

∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；

（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．

∵EF∥DB，DG∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形．

∴EF=BD，∴EF=AE．

∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．

∴△AFE是等邊三角形，∠AFE=60°．

23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．

（1）試說(shuō)明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；

（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1）證明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形，證明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四種情況：

∵DF⊥BC，∴當(dāng)PF=CF時(shí)，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；

當(dāng)P與F重合時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；

當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的左側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；

當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的右側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．

故共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每個(gè)1分）

24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF．AF交BE于P．

（1）證明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，∴△ABE≌△DAF（SAS）．

（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．

∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．

而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．

25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF=CD．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）如果BC=8，求△DBF的面積？

解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°

∴∠DBC=30°

∴∠ABC=60°

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC

∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面積為．

26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：△AGD為正三角形；

（2）求EF的長(zhǎng)度．

（1）證明：連接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可證△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°

∴△AGD為等邊三角形，（2）解：∵BE為△BCG的中線，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF為斜邊AB上的中線，∴EF=AB=5cm．

27、已知，如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45°，連接ED，過(guò)D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長(zhǎng)．

（2）求證：ED=BE+FC．

解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，F(xiàn)C=3，∴DF=3，DC=6，由題得，四邊形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周長(zhǎng)是9+3．

其實(shí)也還有一種方法的啦。

（2）過(guò)點(diǎn)C作CM垂直AD的延長(zhǎng)線于M，再延長(zhǎng)DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可證∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．

28、已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，直線CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．

∴△BCE≌△AFE（AAS）．

（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．

∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．

∴AF=BC=4．

∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．

29、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．

求證：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周長(zhǎng)為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．

（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．

（2）延長(zhǎng)DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四邊形ABGD為平行四邊形．

∴AD=BG．

∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．

又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．

∴DE=BG，EF=GF．

∴AD=DE．

（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．

∵DG=AB，∴BE=AB．

∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．

∴AB+AD=6．

又∵AD=2，∴AB=4．

∴DG=AB=4．

∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．

又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52

∴DG2+GC2=DC2

∴∠DGC=90°．

∴S梯形ABCD=（AD+BC）?DG

=（2+5）×4

=14．

30、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．連接BD，過(guò)A點(diǎn)作BD的垂線，交BC于E．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．

解答：解：（1）證明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5

又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．

又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=AD

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，