第一篇：必修2定理及性質(zhì)

必修二定理：自然語言，圖形語言，符號語言

一、空間中的平行關(guān)系

1、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行

2、基本性質(zhì)4：平行于同一條直線的兩直線平行

3、線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

4、線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和兩

個平面的交線平行。

5、面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

6、面面平行的判定定理的推論：如果一個平面內(nèi)有兩條交線分別平行于另一個面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面平行。

7、面面平行性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

8、兩條直線被三個平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例。

9、如果兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另外一個面。

二、空間中的垂直關(guān)系

1、線面垂直判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直。

2、推論：如果在這兩條平行線中，有一條垂直于平面，那么另外一條也垂直于這個平面。

3、定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

4、面面垂直判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直。

5、面面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面相互垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

第二篇：三角形性質(zhì)和判定定理

等腰三角形：

定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩條腰相等； 2.等腰三角形的兩個底角相等； 3.4.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合，它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸。判定：

1.有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

2.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。

等邊三角形：

定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形，也叫正三 角形。性質(zhì)：

1.的垂直平分線都是它的對稱軸；

2.60°。判定：

1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 2.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形； 3.有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。

直角三角形：

定義：有一個內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，構(gòu)成直角的兩邊叫做直角邊，直角邊所對的邊叫做斜邊。性質(zhì)：

1.直角三角形的兩個余角互余；

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

3.直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；4.a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定：

1．有一個角是直角的三角形是直角三角形； 2..有兩個角互余的三角形是直角三角形；

3.如果一個三角形一條邊上的中線等于這條邊的的一半，那么這個三角形是直角三角形；

4.如果三角形的三邊長a、b、c滿足于a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角形。

角平分線定理：在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等

逆定理：到一個角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個角的平分線上

中垂線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個

端點(diǎn)的距離相等

逆定理：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這

條線段的垂直平分線上定理三角形兩邊的和大于第三邊2 推論三角形兩邊的差小于第三邊

5外角2三角形的一個外角大于任何一個和它不相

鄰的內(nèi)角三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180° 4外角1三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個

內(nèi)角的和

全等的判定：

6邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

7角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

8推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

9邊邊邊公理(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形

全等

10斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)

相等的兩個直角三角形全等

第三篇：面面垂直性質(zhì)定理

數(shù)學(xué)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1．掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理；平面與平面垂直的性質(zhì)編輯：

2.能運(yùn)用平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡單問題；

3.了解平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系。

【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理并能運(yùn)用解決一些簡單問題

【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化的思想

【知識回顧】

1.兩個平面互相垂直的定義：

2.兩個平面互相垂直的判定定理：符號表示：

【新知導(dǎo)航】

線面平行?面面平行線面垂直?面面垂直（面面垂直判定定理）

面面垂直?線面垂直 ？

【探究1】黑板所在平面與地面垂直，你能否在黑板上畫幾條與地面垂直的直線？你為什么這么畫？你能歸納總結(jié)出這些直線有什么共同點(diǎn)嗎？

【探究2】下圖正方體中，平面ADD1A1與平面ABCD垂直，直線A1A垂直于其交線AD，平面ADD1A1內(nèi)的直線A1A與平面ABCD垂直嗎？

A1B

1探究結(jié)論：（）

【新知學(xué)習(xí)】兩個平面互相垂直的性質(zhì)定理

定理的證明：（由文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言證明）已知： 求證： 證明：

【探究3】過平面外一點(diǎn)作已知平面的垂線，你能做出幾條來？

探究結(jié)論（）【嘗試練習(xí)1】如圖，已知平面?,?,???，直線a滿足a??,a??，試判斷直線a與平面?的位置關(guān)系.【嘗試練習(xí)2】如圖，已知平面??平面?，平面??平面?，????a，求證：

a??.【課堂小結(jié)】

1、請歸納一下本節(jié)課你學(xué)習(xí)了什么性質(zhì)定理，其內(nèi)容各是什么？

2、類比兩個性質(zhì)定理，你發(fā)現(xiàn)它們之間有何聯(lián)系？

【達(dá)標(biāo)檢測】

1、下列命題中，正確的是（）

A、過平面外一點(diǎn)，可作無數(shù)條直線和這個平面垂直 B、過一點(diǎn)有且僅有一個平面和一條定直線垂直 C、若a,b異面，過a一定可作一個平面與b垂直

D、a,b異面，過不在a,b上的點(diǎn)M，一定可以作一個平面和a,b都垂直.2、已知直線l,m，平面?,?，且l??,m??，給出下列命題：（1）?//??l?m（2）l?m??//?（3）????l//m（4）l//m????其中正確的命題是

BC?AB

3、在三棱錐P—ABC中，平面PAB?平面PBC，求證：PA?面ABC，4、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上的一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN?面A1DC，求證：（1）MN//AD1

(2)M是AB的中點(diǎn)

第四篇：立體幾何判定定理及性質(zhì)定理匯總

立體幾何判定定理及性質(zhì)定理匯總

一線面平行

線面平行判定定理

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。線面平行性質(zhì)定理

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任意平面與此平面的交線與該直線平行． 二面面平行

面面平行判定定理

一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行． 推論 一個平面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行，則這兩個平面平行．

面面平行性質(zhì)定理

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行．

三線面垂直

判定定理

一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面平行． 線面垂直性質(zhì)定理1

如果一條直線垂直于一個平面，則它垂直于平面內(nèi)的所有直線．

線面垂直性質(zhì)定理2

垂直于同一個平面的兩條直線平行．

四面面垂直

面面垂直判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．

面面垂直性質(zhì)定理1

兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．

面面垂直性質(zhì)定理2

兩個平面垂直，過一個平面內(nèi)一點(diǎn)與另一個平面垂直的直線在該平面內(nèi)．

第五篇：正弦定理必修5

課題: §1．1．1正弦定理

授課類型：新授課

一、教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

二、教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

三、教學(xué)難點(diǎn)

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

四、教學(xué)過程

Ⅰ.課題導(dǎo)入

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？Ⅱ.講授新課

[探索研究](圖1．1-1)在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A ccc

abc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinsinsin有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當(dāng)?ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則

同理可得

從而asinA?bsinB，csinC??bsinB?，a

sinAbsinBcsinCAcB

(圖1．1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作j?AC，C

由向量的加法可得AB?AC?CB

則j?AB?j?(AC?

CB)∴j?AB?j?AC?j?CBj

jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

同理，過點(diǎn)C作j?BC，可得

從而ac ?bc ?a

sinA?b

sinB?c

sinC

類似可推出，當(dāng)?ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA?b

sinB?c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a

sinA?b

sinB?c

sinC等價于a

sinA?b

sinB，c

sinC?b

sinB，a

sinA?c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ab

C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據(jù)正弦定理，asinB42.9sin81.80

b???80.1(cm)； sin32.0根據(jù)正弦定理，asinC42.9sin66.20

c???74.1(cm).sin32.0評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。

解：根據(jù)正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因?yàn)?0＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當(dāng)B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760

c???30(cm).sin40

⑵ 當(dāng)B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240

c???13(cm).sin40評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。Ⅲ.課堂練習(xí)

第5頁練習(xí)第1（1）、2（1）題。

[補(bǔ)充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.課時小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）

（1）定理的表示形式：a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

Ⅴ.課后作業(yè)

第10頁[習(xí)題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

?b?c?a?b?c?k?k?0?； sinA?sinB?sinC