第一篇：三角形射影定理

幾何證明

射影就是正投影，從一點(diǎn)到過頂點(diǎn)垂線垂線的垂足，叫做這點(diǎn)在這條直線上的正投影。一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投影，即射影定理。

直角三角形射影定理

直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。

公式 如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

（1）（AD）=BD·DC，（2）（AB）=BD·BC，（3）（AC）=CD·BC。

證明：在 △BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（A

D）^2=BD·DC。其余類似可證。

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）+（AC）=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）

即（AB）+（AC）=（BC）。22222222

2任意三角形射影定理

任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：

設(shè)⊿ABC的三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。

注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。

證明1：設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且

BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB.同理可證其余。

1.圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.2.圓周角定理的推論：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.2．弦切角定理推論：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

進(jìn)一步指出：由于過已知點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，所以經(jīng)過圓心垂直于切線的直線一定過切點(diǎn)；反過來，過切點(diǎn)垂直于切線的直線一定經(jīng)過圓心，因此可以得到兩個(gè)推論：

推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．

推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．

引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，總結(jié)出如下結(jié)論：如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè)．

(1)垂直于切線；(2)過切點(diǎn)；(3)過圓心．

相交弦定理

：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線

段長的積相等

幾何語言：

若弦AB、CD交于點(diǎn)P

則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

幾何語言：

若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC=PA·PB（相交弦定理推論）

割線定理：

割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線則有這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段的積相等.要證PT2=PA·PB，可以證明，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB。容易證明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是問題可證：

直線ABP和CDT是自點(diǎn)P引的⊙O的兩條割線，則PA·PB=PC·PD

證明:連接AD、BC

∵∠A和∠C都對(duì)弧BD

∴由圓周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．

圓內(nèi)接四邊形的判斷定理定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。

圓冪定理

圓冪的定義:一點(diǎn)P對(duì)半徑R的圓O的冪定義如下：OP?R

所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。

圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們推論的統(tǒng)稱。

（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

2如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，則∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 APPD??AP?BP?PC?PD PCBP

（2）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

如圖，PT為圓切線，PAB為割線。連接TA，TB，則∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圓周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPA??PT2?PA?PB PBPT

（3）割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有

PA·PB=PC·PD。

這個(gè)證明就比較簡單了。可以過P做圓的切線，也可以連接CB和AD。證相似。存在：PA?PB?PC?PD

進(jìn)一步升華（推論）：

過任意在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于

A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則 PC?PD?(PO?R)?(PO?R)?PO2?R2?|PO2?R2|（一定要加絕對(duì)值，原因見下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。（事實(shí)上所有的過P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）

若點(diǎn)P在圓內(nèi)，類似可得定值為R?PO?|PO?R|

故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕 對(duì)值。（這就是“圓冪”的由來）

2222

第二篇：三角形公式定理

第三章 三角形公式定理

第三章 三角形三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.1三角形的內(nèi)角和

在同一平面內(nèi),由一些不在同一條直線上的線段首位順次相接所圍成的封閉圖形叫做多邊形.組成多變形的那些線段叫做多邊形的邊.相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).多變形相鄰兩邊所夾的角叫做多邊形的內(nèi)角,簡稱多邊形的角.多變形的角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角叫做多邊形的外角.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180

在原來圖形上添畫的線叫做輔助線

依據(jù)三角形內(nèi)角的特征,對(duì)三角形進(jìn)行分類：三個(gè)角都是銳角的三角形叫做銳角三角形；有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形；有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形；銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形.在直角三角形中,夾直角的兩邊叫做直角邊,直角的對(duì)邊叫做斜邊.推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余

推論2 三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

1.2三角形的有關(guān)線段

三角形一個(gè)角的平分線和對(duì)邊相交,角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向其對(duì)邊或?qū)叺难娱L線畫垂線,頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高全等三角形

2.1全等三角形的證明

邊邊邊 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

邊角邊 有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

角邊角 有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

定理 有兩角及其其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

2.2直角三角形全等的判定

定理 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等等腰三角形

3.1等腰三角形及其性質(zhì)

三角形的三邊,有的三邊互不相等,有的有兩邊相等,有的三邊都相等.三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形,有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.在等腰三角形中,相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的夾角叫做底角

定理 等腰三角形的底角相等

推論 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

定理 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形

定理 一個(gè)三角形是等腰三角形的充要條件是這個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等

等邊三角形定理1 等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60

等邊三角形定理2 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

等邊三角形定理3 有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形

3.2線段的垂直平分線與角平分線

定理 線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),都在這條線段的垂直平分線上

線段的垂直平分線可以看成是所有和線段兩段距離相等的點(diǎn)的集合定理 點(diǎn)在角平分線上的充要條件是這一點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等

角的平分線可以看作是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合3.3 軸對(duì)稱

定義 如果點(diǎn)A,B在直線l的兩側(cè),且l是線段AB的垂直平分線,則稱點(diǎn)A,B關(guān)于直線l互相對(duì)稱,點(diǎn)A,B互稱為關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),直線l叫做對(duì)稱軸

定義 在平面上,如果圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于平面上的直線l成軸對(duì)稱,直線l叫做對(duì)稱軸

定義 在平面上,如果存在一條直線l,圖形F的所有點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)組成的圖形,仍是圖形F自身,則稱圖形F為軸對(duì)稱圖形,直線l是它的一條對(duì)稱軸

定理（1）對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)與一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的距離相等（2）對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分

推論 兩個(gè)圖形如果關(guān)于某直線稱軸對(duì)稱,那么這兩個(gè)圖形是全等形

3.4三角形中的不等關(guān)系

定理 三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角

定理 三角形任何兩邊的和大于第三邊

推論 三角形任何兩邊的差小于第三邊

定理 在一個(gè)三角形中,如果兩邊不等,那么它們所對(duì)的角也不等,大邊所對(duì)的角較大定理 在一個(gè)三角形中,如果兩個(gè)角不等,那么它們所對(duì)的邊也不等,大角所對(duì)的邊較大

在一個(gè)三角形中,一條邊大于另一條邊的充要條件是,這條邊所對(duì)的角大于另一條邊所對(duì)的角 4 直角三角形

4.1勾股定理逆定理

勾股定理逆定理 如果三角形的三邊長a,b,c滿足條件a+b=c,那么c所對(duì)的角是直角

4.2含30角的直角三角形的性質(zhì)

定理 在直角三角形中,如果一個(gè)瑞角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

4.3直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)

定理 在直角三角形中,斜邊上的中線等于斜邊的一半基本作圖

5.1基本作圖

5.1作三角形

5.3軌跡與反證法

我們把物體按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)的路線叫做物體運(yùn)動(dòng)的軌跡

我們就把一個(gè)點(diǎn)在空間按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)的路線,叫做這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,這個(gè)點(diǎn)就叫做動(dòng)點(diǎn)定義 具有性質(zhì)a的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合,叫做具有性質(zhì)a的點(diǎn)的軌跡

軌跡具有純粹性和完備性

基本軌跡1 與兩個(gè)已知點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是連結(jié)這兩點(diǎn)的線段的垂直平分線基本軌跡2 與已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線

圓幾何公式：

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一條直線

110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

111推論1 ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?、谙业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等

115推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

116定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

117推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

118推論2 半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角121①直線L和⊙O相交 d﹤r

②直線L和⊙O相切 d=r

③直線L和⊙O相離 d﹥r(jià)

122切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

124推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

125推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

129推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等

131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

132切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)

133推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等

134如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上

135①兩圓外離 d﹥R+r ②兩圓外切 d=R+r

③兩圓相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r(jià))

④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R﹥r(jià))⑤兩圓內(nèi)含d﹤R-r(R﹥r(jià))

136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理 把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形138定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n

140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形141正n邊形的面積Sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長

142正三角形面積√3a/4 a表示邊長

143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計(jì)算公式：L=n∏R/180

145扇形面積公式：S扇形=n∏R/360=LR/2

146內(nèi)公切線長= d-(R-r)外公切線長= d-(R+r)

第三篇：三角形垂心定理

三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。

垂心的性質(zhì)：

1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OG∶GH=1∶2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））

3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。

4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。

定理證明

已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交于點(diǎn)O，連接CO并延長交AB于點(diǎn)F，求證：CF⊥AB

證明：

連接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓 ∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC

∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE

又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB

第四篇：三角形內(nèi)角平分線定理

三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對(duì)邊之比。已知：如圖8-4甲所示，AD是△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線。

求證： BA/AC=BD/DC;

思路1：過C作角平分線AD的平行線，用平行線分線段成比例定理證明。

證明1：過C作CE∥DA與BA的延長線交于E。

則： BA/AE=BD/DC;

∵∠BAD=∠AEC；（兩線平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE；（兩線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∠BAD=∠CAD；（已知）

∴∠AEC=∠ACE；（等量代換）

∴AE=AC；

∴BA/AC=BD/DC。

結(jié)論1：該證法具有普遍的意義。

思路2：利用面積法來證明。

已知：如圖8-4乙所示，AD是△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線。

求證： BA/AC=BD/DC

證明2：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；

∵∠BAD=∠CAD；（已知）

∴DE=DF；

∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高時(shí)，三角形面積之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高時(shí)，三角形面積之比等于底之比）

∴BA/AC=BD/DC

結(jié)論2：遇到角平分線，首先要想到往角的兩邊作平行線，構(gòu)造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的兩邊作垂線，構(gòu)造翻轉(zhuǎn)的直角三角形全等，第三，要想到長截短補(bǔ)法，第四，你能想到用該定理解決問題嗎？

第五篇：三角形性質(zhì)和判定定理

等腰三角形：

定義：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。性質(zhì)：

1.等腰三角形的兩條腰相等； 2.等腰三角形的兩個(gè)底角相等； 3.4.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合，它們所在的直線都是等腰三角形的對(duì)稱軸。判定：

1.有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。

等邊三角形：

定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形，也叫正三 角形。性質(zhì)：

1.的垂直平分線都是它的對(duì)稱軸；

2.60°。判定：

1.三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 2.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形； 3.有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。

直角三角形：

定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形。其中，構(gòu)成直角的兩邊叫做直角邊，直角邊所對(duì)的邊叫做斜邊。性質(zhì)：

1.直角三角形的兩個(gè)余角互余；

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

3.直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；4.a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2 判定：

1．有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形； 2..有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；

3.如果一個(gè)三角形一條邊上的中線等于這條邊的的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；

4.如果三角形的三邊長a、b、c滿足于a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

角平分線定理：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

逆定理：到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

中垂線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)

端點(diǎn)的距離相等

逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這

條線段的垂直平分線上定理三角形兩邊的和大于第三邊2 推論三角形兩邊的差小于第三邊

5外角2三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相

鄰的內(nèi)角三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180° 4外角1三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和

全等的判定：

6邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

7角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

8推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

9邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

全等

10斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)直角三角形全等