第一篇：三角形的內(nèi)角和定理的證明

《三角形的內(nèi)角和定理的證明》的教學(xué)案例與反思

新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生發(fā)展為本，讓學(xué)生生動活潑、積極主動地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生在獲得所必須的基本數(shù)學(xué)知識和基本技能的同時，在情感、態(tài)度、價值觀和能力等方面都得到發(fā)展。那么數(shù)學(xué)教學(xué)如何讓學(xué)生在自主探索中不斷地、主動地發(fā)展呢？近日，我組織了數(shù)學(xué)《三角形的內(nèi)角和定理的證明》一課的教學(xué)，就其中的證明方法的探索的課堂片段，談?wù)剛€人的一些做法和想法。

案例：

首先，教師讓學(xué)生畫三角形，并提出問題：問題（1）、你知道三角形的內(nèi)角和是多少？ 問題（2）、你是怎樣得到這個結(jié)論的？ 問題（1）的回答較簡單，對于問題（2），讓學(xué)生思考、交流，在交流的基礎(chǔ)回答。（測量、折紙）教師加以說明，這種方法得到是不一定正確的，我們應(yīng)加以證明。問題（3）、你能證明嗎？試試看。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴與記憶，動手實踐自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”。要使學(xué)生逐步探究發(fā)現(xiàn)三角形三個內(nèi)角的度數(shù)和等于180°，最有效方法是讓學(xué)生真正投入到探究活動的全過程中，本節(jié)課我讓學(xué)生尋求拼折以外的其它方法來求出三角形的內(nèi)角和。通過小組討論，學(xué)生從已有的知識出發(fā)，通過作平行線，利用同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，很快推理出三角形的內(nèi)角和是180度。溫故而知新，讓學(xué)生在自主探究，合作交流中經(jīng)歷，猜想、驗證、結(jié)論這一個過程，體驗探究學(xué)習(xí)的樂趣。學(xué)生分組，探討證明方法，教師巡回指導(dǎo)。之后總結(jié)學(xué)生探討出來的各種證明方法，由學(xué)生相互評價，教師在對學(xué)生的各證明方法給出鼓勵性的評價。

反思

以上案例是教學(xué)“三角形的內(nèi)角和定理的證明”所采用的方法。課堂中，教師營造了寬松的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生參與到學(xué)習(xí)過程中去，自主探索，大膽發(fā)表自己的觀點，讓學(xué)生在自主探索中獲得了不斷地發(fā)展。主要表現(xiàn)在：

一、注重了學(xué)生的自主探索

自主探索是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式之一。教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者，而非知識的灌輸者，因而對一個問題的解決不是要教師將現(xiàn)成的方法傳授給學(xué)生，而是教給學(xué)生解決問題的策略，給學(xué)生一把在知識的海洋中行舟的槳，讓學(xué)生在積極思考，大膽嘗試，主動探索中，獲取成功并體驗成功的喜悅。在課堂中，教師放手讓學(xué)生自主探索證明三角形內(nèi)角和定理的方法，讓學(xué)生在動手試一試、動口說一說、相互評一評的過程中掌握了證明的各種方法。

二、注重了學(xué)生的合作交流

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：教師要讓學(xué)生在具體的操作活動中進(jìn)行獨立的思考，鼓勵學(xué)生發(fā)表自己的意見，并與同伴交流?？梢?，合作交流在數(shù)學(xué)教學(xué)中也相當(dāng)重要。在課堂中，教師注重了學(xué)生的合作交流。

三、注重了評價

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，評價的形式有很多，但較多的是由教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)作出的評價，教師扮演著“裁判員”的角色。而在這節(jié)課中，除了教師對學(xué)生的評價外，更重視了學(xué)生之間的相互評價：“你覺得他證得怎么樣？”讓學(xué)生在相互評價中既培養(yǎng)了能力，又尋找到了問題解決的方法，最終達(dá)到自我矯正的目標(biāo)。

通過這節(jié)課給我?guī)砹烁畹膯⑹荆涸谒刭|(zhì)教育不斷發(fā)展的今天，作為教師，我們應(yīng)該不斷更新自己的教學(xué)觀念，樹立先進(jìn)的教學(xué)理念，并把先進(jìn)的教學(xué)理念化為教學(xué)行為，只有這樣，我們才能改變長期形成的、習(xí)慣了的舊的教學(xué)方式，才會樹立“以學(xué)生發(fā)展為本”的理念，讓學(xué)生充分從事數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、主動性、選擇性和創(chuàng)造性，讓學(xué)生在自主探索中不斷地發(fā)展！

第二篇：三角形內(nèi)角和定理的證明剖析

三角形內(nèi)角和定理的證明說課稿

一、背景分析 1.學(xué)習(xí)任務(wù)分析

《三角形內(nèi)角和定理的證明》是北師大版八年級下冊第六章的第五節(jié)。本節(jié)課的主要內(nèi)容是“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用。

三角形內(nèi)角和定理是從“數(shù)量關(guān)系”來揭示三角形內(nèi)角之間的關(guān)系的，這個定理是任意三角形的一個重要性質(zhì)，它是學(xué)習(xí)以后知識的基礎(chǔ)，在解決四邊形和多邊形的內(nèi)角和時都將轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決。它是對圖形進(jìn)一步認(rèn)識以及規(guī)范證明過程的重要內(nèi)容之一，也是《證明

（二）》《證明

（三）》中用以研究角的關(guān)系的重要方法之一，因此，本節(jié)課起著承上啟下的作用。而通過添加輔助線，把未知轉(zhuǎn)化為已知，用代數(shù)方法解決幾何問題，為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。三角形內(nèi)角和定理在理論和實踐中有廣泛的應(yīng)用。

2.學(xué)生情況分析

三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)很熟悉，但以前是通過實驗得出的，學(xué)生可能會認(rèn)為這是已經(jīng)學(xué)過的知識，因此在學(xué)習(xí)過程中要向?qū)W生說明證明的必要性，在前幾節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生基本上已經(jīng)掌握了簡單證明的基本方法和步驟，本節(jié)課再一次來熟悉證明的過程。而本節(jié)課要證明這個結(jié)論需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，因而本節(jié)課也要滲透這樣的思想:添輔助線是解決數(shù)學(xué)問題（尤其是幾何問題）的重要手段之一。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

對于三角形的內(nèi)角和定理，我們以前已通過量、折、拼的方法進(jìn)行了合情推 理并得出了結(jié)論，本節(jié)課就一起對其進(jìn)行數(shù)學(xué)證明。另外，通過前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生基本上也掌握了證明的基本步驟和書寫格式，學(xué)生可以自己書寫證明過程。因此，我依據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》，以教材的特點和學(xué)生的認(rèn)知水平為出發(fā)點，確定以下三個方面為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

（1）知識技能目標(biāo)：掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用，初步學(xué)會利用輔助線來證明命題。

（2）過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索“三角形內(nèi)角和定理”的證明過程，學(xué)會與人合作，通過一題多解、一題多變等，初步體會思維的多向性。

（3）情感與態(tài)度目標(biāo)：通過新穎、有趣的問題，來激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生樂于學(xué)數(shù)學(xué)，遇到困難不避讓，在數(shù)學(xué)活動中獲得成功的體驗，增強(qiáng)自信心，在合作學(xué)習(xí)中增強(qiáng)集體責(zé)任感。

三、課堂結(jié)構(gòu)分析

（一）問題引入→

（二）探究新知→

（三）定理應(yīng)用→

（四）深化拓展→

（五）小結(jié)鞏固

本節(jié)課首先回顧探索三角形內(nèi)角和定理的過程，然后讓學(xué)生動手實踐，并對照實踐，探求證明方法。方法多種，因此采用小組討論全班交流的方式，激勵學(xué)生展開積極的思維活動。通過幾個練習(xí)再一次鞏固了三角形內(nèi)角和定理，在此基礎(chǔ)上，深化拓展，使學(xué)生思維達(dá)到高潮，使其更進(jìn)一步得到拓展。最后小結(jié)鞏固，評價激勵。

四、教學(xué)媒體設(shè)計

由于本節(jié)課是由動手操作轉(zhuǎn)化為幾何證明，由直觀感受轉(zhuǎn)化為邏輯思維，由感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，因此，本節(jié)課所要借助的媒體是三角形卡紙，由剪紙的過 2 程聯(lián)想到證明方法。

五、教學(xué)過程分析

（一）問題引入

三角形的內(nèi)角和是多少呢？你如何驗證這個結(jié)論呢？

由于三角形的內(nèi)角和學(xué)生都知道，因此直接開門見山，將一個簡單的問題拋給學(xué)生，讓學(xué)生從熟知的問題開始這堂課的學(xué)習(xí)，能很快的激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，尤其是學(xué)有困難的學(xué)生。并且，從學(xué)過的知識引入符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

（二）探索新知

1.動手實驗

請同學(xué)們將事先準(zhǔn)備好的三角形卡紙的三個角剪下拼圖，使三者頂點重合。你會發(fā)現(xiàn)什么？

通過動手操作驗證結(jié)論，同時也培養(yǎng)學(xué)生自主動手解決問題的能力。2.探索交流

下面讓學(xué)生對照剛才的動手實踐，探求證明方法。此環(huán)節(jié)應(yīng)留給學(xué)生充分的思考、討論、發(fā)現(xiàn)、體驗的時間，讓學(xué)生在交流中互取所長，合作探索，找到證明的切入點，體驗成功。對學(xué)有困難的學(xué)生要多加關(guān)注和指導(dǎo)，不放棄任何一個學(xué)生，借此增進(jìn)教師與學(xué)有困難學(xué)生之間的關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。合作探究后，匯報證明方法，注意規(guī)范證明格式。

（1）由實驗可知：三角形的內(nèi)角之和正好為1800．但實驗得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明．那么怎樣證明呢？

（學(xué)生會立即思考，若有困難，可以用下面的問題引導(dǎo)學(xué)生。）（2）看到1800你會想到什么? 3 這個問題的提出可以引導(dǎo)學(xué)生想到平角，繼而利用平角來證明三角形的內(nèi)角和是1800，也可能有學(xué)生會想到兩平行線間的同旁內(nèi)角，當(dāng)然也可以。

（3）回顧剛才的實驗操作，卡紙可以撕下來，可黑板上的三個角不能撕，那么如何把這三個角“搬”在一起呢？

學(xué)生通過剛才的動手操作，再加上上面的三個問題基本上已經(jīng)給學(xué)生指明了方向，因此，學(xué)生自然而然會想到證明的基本思路是把分散的三個角“搬”到一起，構(gòu)成一個平角。另有學(xué)生可能會想到拼成兩平行線間的同旁內(nèi)角。而作平行線則是“搬”角的基本途徑。通過本環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識。

（4）分組討論證明方法

在學(xué)生獨立思考后，小組內(nèi)討論交流。

通過上面的環(huán)節(jié)，有些學(xué)生可能已經(jīng)有思路了，再通過和同學(xué)的交流討論，互取所長，可能會探究出不同的方法來，將會更完善。另外，剛才沒有思路的同學(xué)也可以通過本環(huán)節(jié)向他人借鑒，理出思路來。教師這時候也可以深入到有困難的小組，引導(dǎo)他們解決問題。同時還可以促進(jìn)師生之間的關(guān)系。

（5）全班交流

在小組討論結(jié)束后，全班交流，大家共享。可能的證明方法如下 ：

AEPAQAD12D

BC

BC

BC

圖1

圖 2

圖 3

①如圖1，延長BC到D，以點C為頂點，以CA為一邊，在△ABC的外部 作∠1=∠A。

②如圖1，延長BC到D，過C作CE∥AB。③如圖2，過點A作PQ∥BC。

④如圖3，過C作CD∥AB，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)可以證明。

學(xué)生方法很多，在學(xué)生通過觀察分析、歸納總結(jié)，最后全班交流，使思維達(dá)到高潮，由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識。在交流方法的同時，讓學(xué)生說明理由，培養(yǎng)學(xué)生合乎情理的思考和有條理的表達(dá)能力。而當(dāng)問題的條件不夠時，添加輔助線，構(gòu)造新圖形，形成新關(guān)系，建立已知與未知間的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會解的情況，這是解決問題的常用策略之一。

（6）書寫證明過程

根據(jù)以上幾種方法，選擇其中一種,師生合作，寫出示范性證明過程。其余由學(xué)生自主選擇其中一種，完成證明過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力和推理能力。

首先，師生一起畫出圖形，其次，分析命題的題設(shè)和結(jié)論寫出“已知”、“求證”，把文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言，由于有本章前幾節(jié)作為基礎(chǔ)，因此學(xué)生有能力做到。最后，作出輔助線，寫出規(guī)范的證明過程。

3.反思：（1）證明三角形內(nèi)角和定理的基本思路是什么？

（2）三角形內(nèi)角和定理的證明是借助于什么獲得？平行線是以后幾何中常作的輔助線。

（3）添輔助線的技巧：通過平行線把三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角，即把未知的轉(zhuǎn)化為已知的去解決。

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和概括，培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。

（三）定理應(yīng)用

1、例1 求證：四邊形的內(nèi)角和等于3600。

三角形內(nèi)角和定理在這之前也會經(jīng)常用到，但都是以計算的形式出現(xiàn)。而本題將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題，是三角形內(nèi)角和定理的直接應(yīng)用。同時，由三角形的內(nèi)角和求四邊形的內(nèi)角和，也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，滿足了學(xué)生的求知欲。另外，本命題的證明也需要添加輔助線，讓學(xué)生體會到學(xué)以致用。

2.練習(xí)

（1）直角三角形的兩銳角之和是多少度？等邊三角形的一個內(nèi)角是多少度？請證明你的結(jié)論。

（2）如圖，已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求證：∠ADE=500

兩個練習(xí)由學(xué)生自主完成，上面三個問題都是三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用，使全體學(xué)生特別是學(xué)有困難的學(xué)生都能夠達(dá)到基本的學(xué)習(xí)目標(biāo)，獲得成功感。同時，激發(fā)學(xué)困生的興趣。

(四)深化拓展

議一議：證明三角形內(nèi)角和定理時，是否可以把三角形的三個角“湊”到BC邊上的一點P？（如圖（4）），如果把這三個角“湊”到三角形內(nèi)一點呢？（如圖（5）），“湊”到三角形外一點呢？（如圖（6）），你還能想出其他證法嗎？

圖（4）

圖（5）

圖（6）

本問題再一次強(qiáng)化學(xué)生“抓住根本”的意識，抓住把三個角“搬”到一起，以便利用平角定義這一基本思想?？梢园讶齻€角集中到三角形某一頂點;可以把他們集中到某一邊上;集中到三角形的內(nèi)部一點；還可以把它們集中到三角形外部一點。培養(yǎng)學(xué)生善于抓住不變的根本，又要善于靈活地在變化中認(rèn)識、處理和解決問題的能力，同時，拓展了學(xué)生的思維。

（五）小結(jié)鞏固 1.小結(jié)

（1）談內(nèi)容，談思想，談方法

（2）你還有什么收獲？你還有哪些疑惑？你還想知道什么？

先讓學(xué)生談本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，基本思想，各種方法，幫助學(xué)生形成總結(jié)歸納的好習(xí)慣。然后請學(xué)生談?wù)勥€有哪些收獲，通過學(xué)生的反思，感受到自己的成長與進(jìn)步。請學(xué)生談自己疑惑的地方，能夠幫助教師全面的了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，改進(jìn)教學(xué)，為因材施教提供了重要的依據(jù)。最后，請學(xué)生們說說還想知道什么，激起學(xué)生的求知欲，并為下節(jié)課埋下伏筆。

2.讀一讀

你能想到什么

3.課后作業(yè)：（A類必做，B類選做）A類：P241數(shù)學(xué)理解1、2題

B類：（1）證明：五邊形的內(nèi)角和等于5400；

（2）證明：n邊形的內(nèi)角和等于(n?2)?1800。

六、教學(xué)方法分析

新課程明確倡導(dǎo)動手實踐、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式。這就要求教師的角色，應(yīng)當(dāng)從過去知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生自主性、探究性、合作性學(xué)習(xí)活動的設(shè)計者和組織者。在本節(jié)課的教學(xué)方法上采用實驗法和啟發(fā)、誘導(dǎo)法。正所謂“授人以魚，不如授人以漁”，學(xué)生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，要在自己的思考過程中得到進(jìn)步，加深對知識的理解，就必須在教師的引導(dǎo)下，通過同學(xué)間的互相探討、啟發(fā)，把課堂上所學(xué)的內(nèi)容完全轉(zhuǎn)化為他們自己的知識。在教學(xué)過程中，先讓學(xué)生動手實踐，然后對比撕紙的方法，引導(dǎo)學(xué)生獨立探索證明的方法，之后分組合作、自主地去探究和發(fā)現(xiàn)方法。對定理的證明這一環(huán)節(jié)，通過一題多解，一題多變，初步體會思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個性化發(fā)展。

七、教學(xué)評價分析 1.關(guān)于教材的處理：

（1）通過“撕紙”這一實驗活動，激發(fā)學(xué)生興趣，吸引學(xué)生積極參與活動。對于三角形內(nèi)角和是1800有了直觀的感受，為下面的證明做了鋪墊。

（2）通過分組討論，全班交流兩個活動，讓所有同學(xué)都參與進(jìn)來，各抒己見，互取所長。

（3）通過“深化拓展”這一環(huán)節(jié)，將問題深化，拓展了學(xué)生思維。2.關(guān)于課堂評價

教學(xué)中，我遵循的基本教學(xué)原則是激勵學(xué)生展開積極的思維活動。因此，本節(jié)課我選擇的評價方式是教師評價、自我評價、學(xué)生評價多元化評價，對不同的學(xué)生有不同的評價標(biāo)準(zhǔn)，尊重個體差異。在活動過程中既關(guān)注學(xué)生是否積極參與，同時也關(guān)注學(xué)生的合作交流的意識和能力；既關(guān)注學(xué)生的思維能力和發(fā)展水平，也關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

第三篇：三角形內(nèi)角和定理的證明說課稿

三角形內(nèi)角和定理的證明說課稿

馬建祿

一、說教材：

（一）、教材的地位及作用：

本節(jié)課是北師大版實驗教科書八年級下冊第六章第五節(jié)的內(nèi)容。是在學(xué)習(xí)了平角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、探索兩直線平行的條件及三角形內(nèi)角和定理的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索三角形內(nèi)角和定理的證明.為今后學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和、外角和，圓等知識打下良好的基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用。且三角形內(nèi)角和定理在日常生活中,如機(jī)械制造、工程設(shè)計、國防等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。

（二）、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計：

1、知識與技能：

（1）掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及其簡單應(yīng)用。（2）對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。

（3）通過一題多解，初步體會思維的多向性，引導(dǎo)學(xué)生的個性化發(fā)展。

2、過程與方法：通過動手操作、探索、觀察、分析、歸納培養(yǎng)學(xué)生獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的能力。

3、情感與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性，弘揚個性發(fā)展，體驗解決

用為主線來展開。采用了教具演示的教學(xué)手段，使圖形直觀、形象地便于學(xué)生理解。以學(xué)生發(fā)展為本的原則，我運用啟發(fā)式教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生動手操作、探索、討論、歸納。在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生去探索，使學(xué)生感受到添加輔助線的數(shù)學(xué)思想，更好地掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單的應(yīng)用，從而實現(xiàn)教師是引導(dǎo)者和學(xué)生是主體者的課堂教學(xué)理念。

（二）說學(xué)法

根據(jù)本節(jié)課特點和學(xué)生的實際，八年級學(xué)生基本具備動手操作、探索討論、猜想、說理的能力，主要采用“操作—觀察—討論—證明—應(yīng)用 ”的探究式的學(xué)習(xí)方式，教會學(xué)生“ 動手做，動腦想，大膽猜、會說理，學(xué)致用”的學(xué)習(xí)方法。增加學(xué)生參與的機(jī)會，使學(xué)生在掌握知識、形成技能的同時，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法和自信心。

四、說教學(xué)過程設(shè)計

教學(xué)過程的設(shè)計應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實際情況，教法、學(xué)法的確定，以完成教學(xué)目標(biāo)為目的。

（一）、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課：

1.提出疑問：前面的課程學(xué)習(xí)了三角形三條邊的關(guān)系，那么三角形的三個內(nèi)角又存在怎樣的關(guān)系呢？

2.動手實踐：我們知道三角形三個內(nèi)角的和等于180°.你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?

第四篇：三角形內(nèi)角和定理的證明 教案

《三角形內(nèi)角和定理的證明》教學(xué)設(shè)計

八（11）班

郭朋朋

一、教材：滬科版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級上冊第13章第2節(jié)

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、知識與技能目標(biāo)：學(xué)生由對三角內(nèi)角和定理感性認(rèn)識上升到理性推理證明，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單應(yīng)用。

2、過程與方法目標(biāo)：學(xué)生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展合情推理能力，逐步養(yǎng)成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。

3、情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同種方法的推理證明過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性，弘揚個性發(fā)展，體驗解決問題的成就感，體會數(shù)學(xué)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性和推理意義，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價值。

三、教材分析

1、內(nèi)容分析

三角形內(nèi)角和定理是“空間與圖形”中的一個很重要的定理。(1)它為以后學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和定理奠定基礎(chǔ)。(2)實際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。

三角形內(nèi)角和定理的證明過程為學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想方法和邏輯推理能力提供一個發(fā)展提高平臺，其論證過程總體體現(xiàn)為化歸思想。學(xué)過之后，這種思想方法可以類比運用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為“普通語言向符號語言轉(zhuǎn)化”的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現(xiàn)實。

在證明過程中，學(xué)生從中學(xué)到的不僅僅是知識、方法及數(shù)學(xué)邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學(xué)習(xí)方式的選擇等等方面都將大有收獲，說明了本節(jié)教材內(nèi)容對學(xué)生非智力因素的影響還是非常大的。

2、學(xué)情分析：

（1）學(xué)生已經(jīng)在小學(xué)的時候接觸過三角形內(nèi)角和定理，并且進(jìn)行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內(nèi)角和定理提供了認(rèn)知基礎(chǔ)。

（2）從學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內(nèi)角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。

（3）學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和定理的證明過程中，其認(rèn)知順序可能是建構(gòu)型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內(nèi)角和定理。

3、障礙預(yù)測：

輔助線的作法是學(xué)生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，要根據(jù)需要而定，另外本節(jié)課開始將訓(xùn)練學(xué)生把幾何命題翻譯為幾何符號語言，這對學(xué)生來說都有一定接受難度。

四、教學(xué)重點、難點

重點：以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學(xué)習(xí)幾何證明思想，以及輔助線的有關(guān)知識，體會數(shù)形結(jié)合思想。

難點：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單。

五、教學(xué)過程

（一）知識回顧，積累經(jīng)驗

1、平行線的判定：

2、平行線的性質(zhì)：

3、證明一個文字命題的一般步驟：

（二）情景再現(xiàn)，導(dǎo)入新課

問題2：前面我們學(xué)習(xí)的三角形三個內(nèi)角的和等于180，是如何說明的？ 【設(shè)計意圖】通過回憶結(jié)論的得出，進(jìn)行分析、對比，感受證明的必要性。

教師引導(dǎo)學(xué)生將命題進(jìn)行圖形語言、符號語言的轉(zhuǎn)化，為定理的證明做準(zhǔn)備。

問題3：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的與“180”有關(guān)的知識有哪些？

【設(shè)計意圖】從這里入手為探究實驗的操作指明方向，同時從“數(shù)”的方面引導(dǎo)學(xué)生探索定理的證明思路，逐步滲透“化歸”的數(shù)學(xué)思想。

探究活動

把準(zhǔn)備好的三角形拿出來，并將它的內(nèi)角剪下，試著拼拼看，三個內(nèi)角的和是否為

??180?？有幾種拼法？拼完后與小組成員交流，比一比看哪組的拼法最多。

【設(shè)計意圖】探究實驗一方面可以激發(fā)學(xué)生的興趣，另一方面為證明180從“形”的方面提供思路。從拼合的圖形中學(xué)生不但能直觀的看出輔助線與邊的關(guān)系，還能尋找出嚴(yán)密的邏輯證明方法，從而為證明的引出打下伏筆。同時，學(xué)生在合作交流的過程中開闊了思維，鍛煉了動手能力、嚴(yán)密的推理能力以及語言表達(dá)能力，增強(qiáng)了合作意識。

師生活動：

讓學(xué)生每人提前準(zhǔn)備幾個硬紙剪的三角形，并把角剪下來，拼在一起，讓他們自己得出結(jié)論。

學(xué)生可以展示不同的拼法：

A1?A1MB23CB2312（1）

ACD

A1N213MB23（2）

（三）活用化歸，證明定理

CB23C

根據(jù)前面給出的基本和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.結(jié)論：

三角形三個內(nèi)角的和等于180°。

師： 這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？

生：需要先畫圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論寫出已知、求證。

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三內(nèi)角.求證:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延長BC到D,過點C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.證明：延長BC到D，過點C作直線CE∥AB ∴∠B＝∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代換）

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生運用基本事實和定理證明問題，有學(xué)會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學(xué)習(xí)的能力，有探究新知的能力。

（四）開啟智慧，分組探究

師：你還有其他方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎？

1、教師組織學(xué)生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。

2、在學(xué)生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶崾竞鸵龑?dǎo)。

3、教師指導(dǎo)學(xué)生添加輔助線，給出完整的“三角形內(nèi)角和定理”的證明。

4、分組探究，成果展示

教師指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行全班交流：（1）借助實物投影儀，將學(xué)生找到的添加輔助線的方法進(jìn)行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關(guān)注學(xué)生的表達(dá)以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進(jìn)行必要的提示。（3）引導(dǎo)學(xué)生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較哪種最好。

【設(shè)計意圖】1讓學(xué)生在證明的過程中，進(jìn)一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路．

（五）實踐應(yīng)用，培養(yǎng)能力

1，在直角三角形ABC中，已知∠A+∠B=90°,求證∠C=90°

推論：直角三角形兩銳角互余

2、已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求證： ∠ADE=50°

（六）知識回顧，拓展延伸，3、如圖，直線AB∥CD,在AB、CD外有一點P，連結(jié)

PB、PD，交CD于E點。則∠ B、∠ D、∠ P 之間是否存在一定的大小關(guān)系？

A B C

E

D

P

（七）暢談收獲，反思升華

．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?

第五篇：三角形內(nèi)角平分線定理

三角形內(nèi)角平分線定理：三角形任意兩邊之比等于它們夾角的平分線分對邊之比。已知：如圖8-4甲所示，AD是△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線。

求證： BA/AC=BD/DC;

思路1：過C作角平分線AD的平行線，用平行線分線段成比例定理證明。

證明1：過C作CE∥DA與BA的延長線交于E。

則： BA/AE=BD/DC;

∵∠BAD=∠AEC；（兩線平行，同位角相等）

∠CAD=∠ACE；（兩線平行，內(nèi)錯角相等）

∠BAD=∠CAD；（已知）

∴∠AEC=∠ACE；（等量代換）

∴AE=AC；

∴BA/AC=BD/DC。

結(jié)論1：該證法具有普遍的意義。

思路2：利用面積法來證明。

已知：如圖8-4乙所示，AD是△ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線。

求證： BA/AC=BD/DC

證明2：過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；

∵∠BAD=∠CAD；（已知）

∴DE=DF；

∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高時，三角形面積之比等于底之比）

BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高時，三角形面積之比等于底之比）

∴BA/AC=BD/DC

結(jié)論2：遇到角平分線，首先要想到往角的兩邊作平行線，構(gòu)造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的兩邊作垂線，構(gòu)造翻轉(zhuǎn)的直角三角形全等，第三，要想到長截短補(bǔ)法，第四，你能想到用該定理解決問題嗎？