第一篇：概率論分析
課程論文草稿
默認(rèn)分類 2008-06-09 10:14:12 草稿 字號：大中小
概率論起源于15世紀(jì)中葉.盡管任何一個數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生與發(fā)展都不外乎是社會生產(chǎn)、科學(xué)技術(shù)自身發(fā)展的推動,然而概率論的產(chǎn)生,卻肇事于所謂的“賭金分配問題”.1494年意大利數(shù)學(xué)家帕西奧尼(1445－1509)出版了一本有關(guān)算術(shù)技術(shù)的書.書中敘述了這樣的一個問題:在一場賭博中,某一方先勝6局便算贏家,那么,當(dāng)甲方勝了4局,乙方性了3局的情況下,因出現(xiàn)意外,賭局被中斷,無法繼續(xù),此時,賭金應(yīng)該如何分配?帕西奧尼的答案是:應(yīng)當(dāng)按照4:3的比例把賭金分給雙方.當(dāng)時,許多人都認(rèn)為帕西奧尼的分法不是那么公平合理.因為,已勝了4局的一方只要再勝2局就可以拿走全部的賭金,而另一方則需要勝3局,并且只少有2局必須連勝,這樣要困難得多.但是,人們又找不到更好的解決方法.在這以后100多年中,先后有多位數(shù)學(xué)家研
究過這個問題,但均未得到過正確的答案.直到1654年一位經(jīng)驗豐富的法國賭徒默勒以自己的親身經(jīng)歷向帕斯卡請教“賭金分配問題”,引起了這位法國天才數(shù)學(xué)家的興趣,并促成了帕斯卡與費馬這兩位大數(shù)學(xué)家之間就此問題展開的異乎尋常頻繁的通
信,他們分別用了自己的方法獨立而又正確地解決了這個問題.甲甲甲甲甲甲乙乙甲乙乙乙
甲甲甲乙甲乙甲乙乙甲乙乙
甲甲乙甲甲乙乙甲
乙乙
甲乙
甲乙甲甲乙乙甲甲乙乙乙甲
帕斯卡和費馬以“賭金分配問題”開始的通信形式討論，開創(chuàng)了概率論研究的先河.后來荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（1629－1695）也參加了這場討論,并寫出了關(guān)于概率論的第一篇正式論文《賭博中的推理》.帕斯卡、費馬、惠更斯一起被譽為概率論的創(chuàng)始人.事至今日,概率論已經(jīng)在各行各業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用,發(fā)展成為
一門極其重要的數(shù)學(xué)學(xué)科.乙甲甲甲乙甲乙甲乙乙乙乙
乙甲甲乙
甲方勝乙方勝
在這16種排列中,當(dāng)甲出現(xiàn)2次或2次以上時,甲方獲勝,這種情況共有11種;當(dāng)乙出現(xiàn)3次或3次以
上時,乙方勝出,這種情況共有5種.因此,賭金應(yīng)當(dāng)按11:5比例分配.大數(shù)定律及中心極限定理就是描述和論證這些規(guī)律的。在實際生活中，人們往往還需要研究某一特定隨機(jī)現(xiàn)象的演變情況隨機(jī)過程。例如，微小粒子在液體中受周圍分子的隨機(jī)碰撞而形成不規(guī)則的運動（即布朗運動），這就是隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性、計算與隨機(jī)過程有關(guān)的某些事件的概率，特別是研
究與隨機(jī)過程樣本軌道(即過程的一次實現(xiàn))有關(guān)的問題，是現(xiàn)代概率論的主要課題。
數(shù)理統(tǒng)計中方法應(yīng)用的選取
數(shù)理統(tǒng)計是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科之一，其應(yīng)用十分廣泛。隨著研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的科學(xué)——概率論的發(fā)展，應(yīng)用概率論的結(jié)果更深入地分析研究統(tǒng)計資料，通過對某些現(xiàn)象的頻率的觀察來發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)
律性，并做出一定精確程度的判斷和預(yù)測；將這些研究的某些結(jié)果加以歸納整理，逐步形成一定的數(shù)學(xué)概
型，這些組成了數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容。
數(shù)理統(tǒng)計在自然科學(xué)、工程技術(shù)、管理科學(xué)及人文社會科學(xué)中得到越來越廣泛和深刻的應(yīng)用，其研究的內(nèi)容也隨著科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)與社會的不斷發(fā)展而逐步擴(kuò)大。在學(xué)習(xí)了應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計這門課程后，我了解了統(tǒng)計推斷檢驗等方法，能夠應(yīng)用這些方法對研究對象的客觀規(guī)律性做出一定的估計和判斷。我認(rèn)為在使用統(tǒng)計進(jìn)行實際數(shù)據(jù)分析時，統(tǒng)計方法應(yīng)用的正確與否至關(guān)重要。下面我就對于在本門課程中學(xué)習(xí)到的一些統(tǒng)計變量、方法等的應(yīng)用做一個歸納闡述。
一、描述統(tǒng)計應(yīng)用
描述統(tǒng)計是數(shù)理統(tǒng)計的初級階段，反映所收集數(shù)據(jù)的某些現(xiàn)象的內(nèi)容做出的統(tǒng)計加工。在處理實驗數(shù)據(jù)或采樣數(shù)據(jù)時，經(jīng)常會遇到對相同采樣或相同實驗條件下同一隨機(jī)變量的多個不同取值進(jìn)行統(tǒng)計處理的問題。在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，作為描述隨機(jī)變量總體大小特征的統(tǒng)計量有算術(shù)平均值、幾何平均值和中位數(shù)
等。在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)要根據(jù)隨機(jī)變量的分布特征確定合適的均值。如表1:
隨后，P.-S.拉普拉斯和A.M.李亞普諾夫等進(jìn)行了推廣和改進(jìn)。自P.萊維在1919～1925年系統(tǒng)地建立了特征函數(shù)理論起，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展，先后產(chǎn)生了普遍極限定理和局部極限定理等。極限定理是概率論的重要內(nèi)容，也是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基石之一，其理論成果也比較完美。長期以來，對于極限定理的研究所形成的概率論分析方法，影響著概率論的發(fā)展。同時新的極限理論問題也在實際中不斷產(chǎn)
生。
中心極限定理，是概率論中討論隨機(jī)變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是
數(shù)理統(tǒng)計學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。
[編輯]林德伯格－列維定理
林德伯格－列維（Lindburg-Levy）定理，即獨立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理。它表明，獨立同分布、且數(shù)學(xué)期望和方差有限的隨機(jī)變量序列的標(biāo)準(zhǔn)化和以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為極限：
設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,...,Xn獨立同分布，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差E(Xi)= µ，D(Xi)= σ²
≠ 0(i=1,2,...n)。記
則
=Phileft(zright)
其中Φ(z)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。
[編輯]棣莫佛－拉普拉斯定理
棣莫佛－拉普拉斯（de Movire-Laplace）定理，即服從二項分布的隨機(jī)變量序列的中心極限定理。
它指出，參數(shù)為n, p的二項分布以np為均值、np(1-p)為方差的正態(tài)分布為極限
大數(shù)定律（laws oflarge number)
概率論歷史上第一個極限定理屬于貝努里，后人稱之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機(jī)變量序列的算
術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本定律之一。又稱弱大數(shù)理論
1733年，德莫佛——拉普拉斯在分布的極限定理方面走出了根本性的一步，證明了二項分布的極限分布是正態(tài)分布。拉普拉斯改進(jìn)了他的證明并把二項分布推廣為更一般的分布。1900年，李雅普諾夫進(jìn)一步推廣了他們的結(jié)論，并創(chuàng)立了特征函數(shù)法。這類分布極限問題是當(dāng)時概率論研究的中心問題，卜里耶為之命名“中心極限定理”。20世紀(jì)初，主要探討使中心極限定理成立的最廣泛的條件，二三十年代的林德貝爾格條件和費勒條件是獨立隨機(jī)變量序列情形下的顯著進(jìn)展。貝努里是第一個研究這一問題的數(shù)學(xué)家，他
于1713年首先提出后人稱之為“大數(shù)定律”的極限定理。
【舉例說明】
例如，在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗中，觀測投擲n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的n次試驗，出現(xiàn)正面的頻率（出現(xiàn)正面次數(shù)與n之比）可能不同，但當(dāng)試驗的次數(shù)n越來越大時，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于1／2。又如稱量某一物體的重量，假如衡器不存在系統(tǒng)偏差，由于衡器的精度等各種因素的影響，對同一物體重復(fù)稱量多次，可能得到多個不同的重量數(shù)值，但它們的算術(shù)平均值一般來說將隨稱量次數(shù)的增加而逐漸接近于物體的真實重量。由于隨機(jī)變量序列向常數(shù)的收斂有多種不同的形式，按其收斂為依概率收斂，以概率 1 收斂或均方收斂，分別有弱大數(shù)定律、強(qiáng)大數(shù)定律和均方大數(shù)定律。常用的大數(shù)定律有：伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律、柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律和重對數(shù)定律
第二篇：概率論教案
西南大學(xué)本科課程備課教案 2015 —2016 學(xué)年第 1 學(xué)期
（理論課程類）
課 程 名 稱 概率論
授課專業(yè)年級班級 統(tǒng)計專業(yè) 2014 級 教 教
師 師
姓 職
名 稱
凌成秀 講師
I
數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院
課程性質(zhì)
?專業(yè)必修
□專業(yè)選修
□公共必修
□通識教育選修
概率論是統(tǒng)計專業(yè)本科生的一門建立在微積分、基本代數(shù)知識基礎(chǔ)上的重要
課程簡介
專業(yè)課程，是繼續(xù)學(xué)習(xí)、研究統(tǒng)計學(xué)及其應(yīng)用的一門重要課程。該課程旨在 如何刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，包括隨機(jī)事件及其概率，隨機(jī)變量及其分 布，隨機(jī)變量的數(shù)字特征、特征函數(shù)、極限定理等。本課程總學(xué)時 5*18=90 節(jié)。
教材
孫榮恒《應(yīng)用概率論》第二版，2005，科學(xué)出版社
（總學(xué)時）
教學(xué)方式 講授式、啟發(fā)式、研究型、收集網(wǎng)絡(luò)小論文探究式
使用教具 黑板、粉筆
[1] 《概率論基礎(chǔ)》第三版，李賢平著，高等教育出版社，2010.[2] 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育出 版社，2010.[3] 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題全解指南》第四版，盛驟，謝式千，潘承毅 著，高等教育額出版社，2010.[4] Probability Essentials(Second edition), Jean Jacod and Philip Protter, Springer,2004.[5]《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》第二版,茆詩松 程依明、濮曉龍，高等教育出 版社，2000.參考書目及文獻(xiàn)（或互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)址）
考核方式 閉卷筆試
II
隨機(jī)事件及其概率
第一章 隨機(jī)事件及其概率
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn) 象）規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，20 世紀(jì)以來，廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)及 醫(yī)學(xué)技術(shù)等各個領(lǐng)域.本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最基本、最重要的 概念之一.第一、二節(jié) 隨機(jī)事件及其關(guān)系與運算
教學(xué)內(nèi)容： 隨機(jī)事件是本課程的最基礎(chǔ)的概念，主要涉及到包括確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象、樣本空間、樣本點、隨機(jī)事件等定義；以及事件的包含、相等、互不 相容（互斥）、互為對立等關(guān)系；事件的和、積、差、逆等運算的定義；事件的 運算律、文氏圖等；事件序列的極限。會用簡單事件通過其關(guān)系與運算將復(fù)雜事 件表示出來。重點難點：
隨機(jī)事件的定義；互不相容、互為對立、互逆事件的判別；用簡單事件通過其運 算將復(fù)雜事件表示出來；事件的恒等式證明；事件序列的極限關(guān)系 教學(xué)目標(biāo)：
會判斷給出的現(xiàn)象是否為隨機(jī)現(xiàn)象；會寫隨機(jī)試驗的樣本空間；會判別隨機(jī)事件 的類型；熟悉事件關(guān)系與運算的定義；熟悉事件的運算律、會作文氏圖；能判別 事件的互不相容、互為對立、互逆等關(guān)系；能用事件的運算關(guān)系將復(fù)雜事件表示 出來；掌握事件的不等式、恒等式證明 教學(xué)過程：
1、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象。確定性現(xiàn)象：在一定的條件下必然發(fā)生某種結(jié)果的現(xiàn)象。例如：（1）重物在高處必然下落；（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下純水加熱到 100 攝氏度時必然會沸騰；
（3）異性電荷必相互吸引。隨機(jī)現(xiàn)象（偶然性現(xiàn)象）：在一定的條件下，有多種可能結(jié)果發(fā)生，事前人們不 能預(yù)言將有哪個結(jié)果會出現(xiàn)的現(xiàn)象，但大量重復(fù)觀察時具有某種規(guī)律性。如：（1）從一大批產(chǎn)品中任取一個產(chǎn)品，它可能是合格品，也可能是不合格品；（2）一門炮向一目標(biāo)射擊，每次射擊的彈落點一般是不同的，事前無法預(yù)料。2、隨機(jī)試驗與樣本空間。
試驗：我們把對自然現(xiàn)象的一次觀察或一次科學(xué)試驗統(tǒng)稱為試驗。隨機(jī)試驗：一個試驗若滿足條件
（1）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；
（2）每次試驗的結(jié)果不止一個，并能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；
1隨機(jī)事件及其概率
（3）試驗前不知道哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。
則稱這樣的試驗為隨機(jī)試驗，用 表示。
樣本空間：隨機(jī)試驗所有可能出現(xiàn)的基本結(jié)果的集合稱為樣本空間。用? 表 示。
樣本點：隨機(jī)試驗的每一個可能出現(xiàn)的基本結(jié)果稱為樣本點，常用 表示。
3、隨機(jī)事件
隨機(jī)事件：由隨機(jī)試驗的某些樣本點做成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件。用大寫英文字母、、、…表示。在隨機(jī)試驗中隨機(jī)事件可能發(fā)生，也 可能不發(fā)生。稱某個事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的某個樣本點出現(xiàn)。1）基本事件：只包含一個樣本點的事件，記為{w}。
2）不可能事件：一個樣本點都不包含的集合，記為?。不可能事件在試驗中 一定不會發(fā)生。
3）必然事件：包含所有樣本點的集合，記為?。必然事件在試驗中一定會發(fā) 生。
一般事件（復(fù)合事件）：由不止一個樣本點做成的事件。例 1 以下哪些試驗是隨機(jī)試驗？
（1）拋擲一枚硬幣，觀察出現(xiàn)的是正面在上還是反面在上；（2）記錄某電話機(jī)在一天內(nèi)接到的呼叫次數(shù)；
（3）從一大批元件中任意取出一個，測試它的壽命；（4）觀察一桶汽油遇到明火時的情形；
（5）記錄一門炮向某一目標(biāo)射擊的彈著點位置；
解：（1）（2）（3）（5）是隨機(jī)試驗，（4）不是隨機(jī)試驗 例 2：寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間。
（1）拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)；（2）拋擲二次硬幣，觀察出現(xiàn)的結(jié)果；
（3）記錄某汽車站在 5 分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客數(shù)；（4）從一批燈泡中任取一只，測試其壽命；（5）記錄一門炮向其目標(biāo)射擊的彈落點；（6）觀察一次地震的震源； 解：（1）1 ? ?1，2，3，4，5，6?
? ；
（2）? ? ?（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）? ；（3）? ? 01 2 3...?；
?，（4）? 0?
?4 ? x x ? ,其中 x 表示燈泡的壽命；（5）
? ,?
（x，y x y ,其中 x、y 分別表示彈著
? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? 5 ? ?)，點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)；
2? ? ?
（6）?
? ?（，,)? , 0 ,其中 x、y、z 分別表 5 x y z ? ? x ? ?,? ? y ? z ?
? 2
?
示震源的經(jīng)度、緯度、離地面的深度。
例 3 拋擲一個骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。用 A 表示“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，B 表示“出現(xiàn)的點數(shù)大于 4”，C 表示“出現(xiàn)的點數(shù)為 3”,D 表示“出現(xiàn)的點 數(shù)大于 6”，E 表示“出現(xiàn)的點數(shù)不為負(fù)數(shù)”，（1）寫出實驗的樣本空間；（2）用樣本點表示事件 A、B、C、D、E；（3）指出事件 A、B、C、D、E 何 為基本事件，何為必然事件，何為不可能事件。解：
（1）? ? ?1，2，3，4，5，6?；（2）A ? ?1，3，5?，B ? ? 5,6 ?，C ? ? 3 ?，D ? ?，E ? ?1，2，3，4，5，6?（3）C 為基本事件，E 為必然事件，D 為不可能事件 討論題：請給出現(xiàn)實生活中隨機(jī)現(xiàn)象的一個例子。
4、事件的關(guān)系與運算
因為事件是樣本空間的一個集合, 故事件之間的關(guān)系與運算可按集合之間 的關(guān)系和運算來處理.1）事件之間的關(guān)系與簡單運算
設(shè) A、B 為試驗 E 的二事件，（1）子事件（事件的包含）：若 A 中的每一個樣本點都包含在 B 中，則記為，也稱事件 A 是事件 B 的子事件，或事件 B 包含了事件 A。此時事件 A 發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B 發(fā)生。顯然，對任意事件 A，有（2）事件的相等：若 等價的，記為。
且，則稱事件 A 與事件 B 是相等的，或稱
（3）事件的和（并）：用 A ? B 表示屬于 A 或?qū)儆?的樣本點的集合，稱之 為 與 的和（并）事件。事件
表示事件 與事件 B 至少有一個發(fā)生。
（4）事件的積（交）：用 A ? B（或 AB）表示同時屬于 A 與 B 的樣本點的 集合，稱為 A 與 的積（交）事件。事件 AB 表示事件 A 與事件 B 同時發(fā)生 的事件。
（5）事件的互不相容（互斥）：若 AB ? ?，則稱為事件 A 與事件 B 互不相 容。即 A 與 B 不能同時發(fā)生。
當(dāng) 與 B 互不相容時，記為。
（6）事件的差：用 A ? B 表示包含在 A 中而不包含在 B 中的樣本點的全體，稱為事件 與事件 的差。事件 A ? B 表示 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生的事件。
第三篇：概率論課外作業(yè)（范文）
大數(shù)定律與中心極限定理在實際中的應(yīng)用
大數(shù)定律闡明了大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果具有穩(wěn)定性，證明了在大樣本條件下，樣本平均值可以看作總體平均值，它是“算術(shù)平均值法則"的基本理論，在現(xiàn)實生活中，經(jīng)常可見這一類型的數(shù)學(xué)模型。例如：在分析天平上秤重量為a的物品，若以x1,x2,x3,...,xn表示n次重復(fù)稱
1n量的結(jié)果，經(jīng)驗告訴我們，當(dāng)n充分大時，它們的算術(shù)平均值?xi與
ni?1a的偏差就越小。
中心極限定理比大數(shù)定律更為詳細(xì)具體，它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式闡明了在大樣本條件下，不論總體分布如何，樣本均值總是服從或是近似的服從正態(tài)分布。正是這個結(jié)論使得正態(tài)分布在數(shù)理統(tǒng)計和誤差分析中占用特殊的地位，是正態(tài)分布得以廣泛應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理，稱為大數(shù)定律。
切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有有限數(shù)學(xué)期望?和方差?2，?2則對于任意正數(shù)?，如下不等式成立 P????????2。
?切比雪夫不等式的應(yīng)用：在隨機(jī)變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進(jìn)行估值。
例1 已知正常男性成人血液中，每毫升白細(xì)胞數(shù)的平均值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細(xì)胞數(shù)在5200～9400之間的概率。
?(X)= 解 設(shè)X表示每毫升血液中含白細(xì)胞個數(shù)，則E（X）=7300，D(X)=700 則P{ 5200?X?9400}=P{ X?7300?2100}=1-P{ X?7300>2100}
70021??? 而P ?X?7300?2100221009所以P ?5200?X?9400??
概率論中有關(guān)論證獨立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。
獨立同分布的中心極限定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn相互獨立，服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望?和方差?2，則隨機(jī)變量
89Y??Xi?1ni?n?n?的分布函數(shù)Fn(x)滿足如下極限式
?n?Xt2?i???x1??limFn(x)?limP?i?1?x???e2dt ??2??n??????定理的應(yīng)用：對于獨立的隨機(jī)變量序列{Xn }，不管Xi(i=1，2，?，n)服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時，這些隨機(jī)變量之和?Xi近似地服從正態(tài)分
i?1n布N(n?,n?2)。
二項分布的極限分布是正態(tài)分布即如果X～B(n，p)則
t???n?np??b1?2P?a??b???edt??(b)??(a)anp(1?p)2?????2例2 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1／6，今在其中任選60O0粒，試分別用切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子中
良種所占的比例與1／6之差小于l％的概率是多少? 解
設(shè)取出的種子中的良種粒數(shù)為X，則 X～B(6000，)于是
E(X)?np?6000?1?1000616155D(X)?np(1?p)?6000????1000
666(1)要估計的規(guī)律為P??X11?????P?X?1000?60?，相當(dāng)60006100??于在切比雪夫不等式中取?=60，于是
?X11?D(X)??P????PX?1000?60?1??26000610060??由題意得1?D(X)51?1??1000??1?0.2315?0.7685 26063600即用切比雪夫不等式估計此概率不小于0.7685(2)由中心極限定理，對于二項分布(6000，)可用正態(tài)分布N(1000，5?1000)近似，于是所求概率為 616?X?1???(1060?1000)??(940?1000)P???0.01??P?940?X?10601000?5/61000?5/6?60006?從本例看出．用切比雪夫不等式只能得出來要求的概率不小于0.7685．而用中心極限定理可得出要求的概率近似等于0.9625．從而知道由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的．但由于它的要求比較低，只要知道X的期望和方差，因而在理論上有許多運用．
當(dāng)Xi獨立同分布(可以是任何分布)，計算P(a?X1?X2?...?Xn?b)的概率時，利用中心極限定理往往能得到相當(dāng)精確的近似概率，在實際問題上廣泛運用．
例3某單位有200臺電話分機(jī)，每臺有5％的時間要使用外線通話，假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時不等待？
解
設(shè)有X部分機(jī)同時使用外線，則有X～B(n，P)，其中n=200，P=0.05，np=10，np(1?p)?3.08 設(shè)有N條外線．由題意有P{X?N}?0．9 有
P?X?N??P???X?np???np(1?p)N?np?N?npN?10???()??()?3.08np(1?p)?np(1?p)?N?10?1.28 3.08查表得?(1.28)=0．90，故N應(yīng)滿足條件即N?13.94，取N=14，即至少要安裝14條外線．
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[8]周概容．概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]．北京：高等教育出版社，1984．
第四篇：概率論簡答題
概率論簡答題
1． 互不相容事件與等可能事件、對立事件及其相互獨立事件有什么區(qū)別
2． 概率為1的事件的積概率是1么？
3． 直接計算古典概型有哪些計算方法？并舉簡單例子說明
4． 古典概型有哪些基本問題？舉例說明。
5． 幾何概型有什么特點又如何計算。
6． 如何正確計算條件概率和應(yīng)用乘法公式。
7． 如何應(yīng)用全概率公式和貝葉斯公式。
8． 如何理解“獨立事件”
9． 如何證明幾個事件相互獨立
10．比賽雙方實力相當(dāng)，問9場比賽中贏5場和5場比賽中贏3場，哪一個可能性大？
11．引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)有什么作用？如何確定與判斷？
12．離散型隨機(jī)變量的概率分布或連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)如何確定及判斷？
13.離散型隨機(jī)變量有哪些常見分布？其概率分布是什么？其分布函數(shù)是什么？
14.隨機(jī)變量X服從參數(shù)λ的泊松分布，當(dāng)k取何值時概率最大？
15.連續(xù)型隨機(jī)變量有哪些常見分布？其密度函數(shù)是什么？其分布函數(shù)是什么？
16.求連續(xù)型隨機(jī)變量有哪些常見方法？舉例說明
17.二元函數(shù)為聯(lián)合概率密度函數(shù)應(yīng)如何判斷？
18.離散型隨機(jī)變量應(yīng)（X,Y）的聯(lián)合分布列與邊緣分布列有什么關(guān)系？如何計算？舉例說明。
19.連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)有什么關(guān)系？如何計算？舉例說明。
20.如何判斷隨機(jī)變量的獨立性？（包括離散與連續(xù)）
21.如何計算離散型隨機(jī)變量常見分布的期望與方差
22．如何計算連續(xù)型型隨機(jī)變量常見分布的期望與方差
23.對于一些復(fù)雜的隨機(jī)變量，求他們的期望和方差用什么簡易方法，并舉例。
24.準(zhǔn)確定義協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)？
25.兩個隨機(jī)變量獨立和不相關(guān)有何關(guān)系？舉例說明。
26.什么是中心極限定理？如何應(yīng)用？舉例說明
第五篇：概率論復(fù)習(xí)
概率論復(fù)習(xí)要點
第一章
1、隨機(jī)事件的關(guān)系與運算,概率的性質(zhì)(差并對立事件概率的計算公式),條件概率公式公式，事件的獨立性。
2、古典概型的計算：例P28T9,11,12,203、全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用:例P48-49 T14,15,16,18,20
第二章
1、分布函數(shù)的定義及性質(zhì)：例P74 T7,13，2、連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的性質(zhì): 例P74 T11，12,14, P143 T6,83、隨機(jī)變量及隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)及計算：例P83 T10,13, P88 T3,54、切比雪夫不等式及其應(yīng)用
5、常用離散型隨機(jī)變量的概率分布列、常用連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及數(shù)學(xué)期望和方差
如P114表2.5.1，P115T11,12,196、隨機(jī)變量函數(shù)的分布：P123 T7,8,1
1第三章
1、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義及性質(zhì)，邊際分布函數(shù)的求解p145 例3.2.12、離散型二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列和邊際分布列的求解，及離散型二維隨機(jī)變量函數(shù)分布列的求解：P136 例3.1.2，P143 T2,3；P155 例3.3.1；P163T13、連續(xù)型二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)，邊際密度函數(shù)的求解，隨機(jī)變量獨立性的判斷：P147 例3.2.3，P152例3.2.8；P153T5，6，134、二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差的計算，協(xié)方差的性質(zhì)及計算，相關(guān)系數(shù)的定義及性質(zhì):P183T21,24,25
D(X+Y)=DX+DY+2COV(X,Y), D(X-Y)=DX+DY-2COV(X,Y)
5、獨立和不相關(guān)之間的關(guān)系
第四章
1、特征函數(shù)的定義及性質(zhì)P2012、常用分布的特征函數(shù)的計算P202 例4.1.23、證明隨機(jī)變量序列是否服從大數(shù)定律：P216 T1,2,34、中心極限定理的應(yīng)用:P237 T1,2,8,9,10
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