中考數(shù)學總復習--幾何變換之翻折探究專題
思考與解決幾何圖形的問題，主要是借助基本圖形的性質(zhì)（定義，定理等）和圖形之間的關系．許多基本圖形的性質(zhì)都源于這個圖形本身的“變換特征”，而最為重要和最為常用的圖形關系“全等三角形”很多的情況也是同樣具有“變換”形式的聯(lián)系．本來兩個三角形全等是指它們的形狀和大小都一樣，和相互間的位置沒有直接關系，但是，在同一個問題中涉及到的兩個全等三角形，絕大多數(shù)都有一定的位置關系，或成軸對稱關系，或成平移關系，或成旋轉(zhuǎn)的關系（包括中心對稱）．這樣，在解決具體的幾何圖形問題時，圖形本身所顯示或暗示的“變換特征”，對我們識別出、構(gòu)造出基本圖形和圖形關系（如全等三角形），有著極為重要的啟發(fā)和引導的作用．
圖形的翻折問題本質(zhì)上是軸對稱問題，滿足軸對稱的性質(zhì)，即：
1.折疊圖形關于折痕對稱
2.對應邊、角相等
3.對應點的連線被折痕垂直平分
我們解決翻折問題一般也是從以上性質(zhì)出發(fā)解決的．
先講翻折題的三種常見方法
【題目】（16
年秋錫山區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形
ABCO的邊
OA
在x
軸上，邊
OC
在y
軸上，點
B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線
AC
翻折，點
B
落在點
D的位置，且
AD
交
y
軸于點
E，那么點
D的坐標為
．
法一：求．定．點．關．于．定．直．線．的．對．稱．點．（萬能方法）
如答圖
1，連
BD，交
AC
于
G，則△ABC∽△AGB∽△BFD，∴BD＝2BG＝AB·
·2＝3×
×2＝
6，DF＝BD·
＝
×
＝3，BF＝3DF＝9，10
10
∴D（－4，12）
法二：由．直．角．翻．折．主．動．尋．求．K．型．相．似．（特殊技巧）
如答圖
1，由∠ADC＝90°?△ADN∽△DCF，相似比為
3：1，設
ON＝CF＝x，則
DN＝3x，DF＝3－3x，由
AN＝3DF
得
x＋1＝3（3－3x），解得
x＝4，∴D（－4，12）
法三：由．翻．折．主．動．尋．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）
如答圖
2，延長
CD
交
x
軸于
H，可得
CH＝AH，設
DH＝y(tǒng)，則
AH＝y(tǒng)，在Rt△ADH
中用勾股定理可得
y＝4
易得
DM＝12，∴D（－4，12）
法四：由．翻．折．主．動．尋．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）
如答圖
2，設
CE＝AE＝a，則
OE＝3－a，在Rt△AOE
中用勾股定理可得
a＝5，3
由比例關系可得
OM＝4，∴D（－4，12）
【例題剖析】
題型一：利用對應邊相等，對應角相等
例
1－1、（2015
年無錫）10．如圖，Rt△ABC
中，∠ACB＝90o，AC＝3，BC＝4，將邊
AC
沿
CE
翻折，使點
A
落在AB
上的點
D
處；再將邊
BC
沿
CF
翻折，使點
B
落在CD的延長線上的點
B′處，兩條折痕與斜邊
AB
分別交于點
E、F，則線段
B′F的長為（）
A
．
B．
C．
D．
【解答】選
B
〖點評〗本題的關鍵點在于發(fā)現(xiàn)并證明∠B′FB
是直角，由翻折可知∠A＝∠ADC＝∠B′DF，∠A＋∠B＝90°
又∠B＝∠B′========?∠B′FB
是直角?△B′DF
是“345”的三角形
又由翻折可知
B′C＝BC＝4，CD＝AC＝3，例
1－2、（18
年
月錫山區(qū)二模）17．如圖，在△ABC
中，∠ACB＝90°，點
D，E
分別在AC，BC
上，且∠CDE＝∠B，將△CDE
沿
DE
折疊，點
C
恰好落在AB
邊上的點
F
處．若
AC＝8，AB＝10，則
CD的長為
．
【解答】CD＝25
答圖
答圖
母子三角形
〖點評〗本題的關鍵點在于發(fā)現(xiàn)并證明
F
是
AB的中點，如答圖，由翻折?CF⊥DE=====
?
∠1＝∠B
直角三角形斜邊上的中線定理的逆命題
∠1＝∠2====?∠2＝∠B?CF＝BF======================
?F
是
AB
中點
本題也可以根據(jù)
度翻折構(gòu)造
K
型相似來解決，如答圖
〖針對練習〗
1、（18
年
月宜興一模）16．如圖，在矩形
ABCD
中，AB＝4，BC＝6，E
是
BC的中點，連結(jié)
AE，將△ABE
沿
AE
折疊，點
B
落在點
F
處，連結(jié)
CF，則
sin∠EFC＝
．
【解答】4
題型二：利用（或構(gòu)造）等腰三角形
例
2－1、（18
年
月宜興一模）10．一張矩形紙片
ABCD，其中
AD＝8
cm，AB＝6
cm，先沿對角線
BD
對折，點
C
落在點
C′的位置，BC′交
AD
于點
G（圖
1）；再折疊一次，使點
D
與點
A
重合，得折痕
EN，EN
交
AD
于點
M（圖
2），則
EM的長為（）
A．2
B．3
C．
D．7
【解答】選
D
〖點評〗本題的關鍵點在于發(fā)現(xiàn)并利用△DEN
是等腰三角形，由翻折?∠CDB＝∠EDB，作高EH
EN
是折痕?EN∥CD?∠END＝∠BDC?∠END＝∠EDN?EN＝ED===
?△DEN
是
“556”的三角形
例
2－2、（12
年南長區(qū)一模）已知正方形
ABCD的邊長為
6cm，點
E
是射線
BC
上的一個動點，連接
AE
交射線
DC
于點
F，將△ABE
沿直線
AE
翻折，點
B
落在點
B′處．
（1）
當BE＝1
時，CF＝
cm；
CE
（2）
當BE＝2
時，求
sin∠DAB′的值；
CE
（3）
略
【解答】當
E
點在BC
邊上時，sin∠DAB′＝
5，當
E
點在BC的延長線上時，sin∠DAB′
＝3，5
〖點評〗本題三種方法都可以，方法一：如答圖
1，構(gòu)造等腰三角形
AGF，再由勾股定理得到方程
x2＋62＝（9－x）2
解得
x＝5，所以
sin∠DAB′＝
方法二：如答圖
2，△ABE∽△AHB∽△B′GB，三邊之比都為
2：3：
13，∴BH＝
BE＝
×4＝
?BB′＝2BH＝
?BG＝
BB′＝48
?AG＝30
?sin∠
DAB′＝
13
方法三：如答圖
3，構(gòu)造相似三角形△AB′F∽△B′EG，且相似比為
3：2，可得方程組
3x＋2y＝6
，解得
x＝10
13，所以
sin∠DAB′＝
3x
2＋
3y
2＝36
y＝24
另一種情況類似，參考答圖
答圖
答圖
答圖
答圖
例
2－3、（17
年濱湖二模）18．如圖，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，AC＝3
cm，BC＝4
cm，點
E
從
C
點出發(fā)向終點
B
運動，速度為
cm/秒，運動時間為
t
秒，作
EF∥AB，點
P
是點
C
關于
EF的對稱點，連結(jié)
AP，當△AFP
恰好是直角三角形時，t的值為
．
【解答】t＝25或7
答圖
答圖
〖點評〗本題的關鍵點在于
CP
與折痕
EF
垂直，也即與
AB
垂直，在∠APE＝90°時，可得等腰三角形
ABE。
首先∠AFP
不可能是直角，否則易得∠CFE＝45°，與題意不符；
如果∠FAP＝90°，則
AP∥BC?CP＝5AC＝15
?CE＝CP·1·5＝25
∠F?E＝∠FEC＝∠B
如果∠APE＝90°，則
A、P、E
三點共線?∠FEP＝∠BAE===========?∠BAE＝∠
B?AE＝BE?32＋t2＝（4－t）2?t＝7
題型三：利用（或構(gòu)造）“K”字形相似
例
3－1、探究與應用：在學習幾何時，我們可以通過分離和構(gòu)造基本圖形，將幾何“模塊”
化．例如在相似三角形中，K
字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖1）：
（1）
請就圖
證明上述“模塊”的合理性；
（2）
請直．接．利．用．上述“模塊”的結(jié)論解決下面兩個問題：
①如圖
2，已知點
A（－2，1），點
B
在直線
y＝－2x＋3
上運動，若∠AOB＝90°，求此時點
B的坐標；
②如圖
3，過點
A（－2，1）作
x
軸與
y
軸的平行線，交直線
y＝－2x＋3
于點
C、D，求點
A
關于直線
CD的對稱點
E的坐標．
【解答】（1）略；（2）①B（3，3）；
②過點
E
作
EN⊥AC的延長線于點
N，過點
D
作
DM⊥NE的延長線于點
M，∵A（－2，1），∴C
點的縱坐標為
1，D
點的橫坐標為－2，∴C（x，1），D（－2，y），∴1＝－2x＋3，y＝－2×（－2）＋3，∴x＝1，y＝7，∴C（1，1），D（－2，7）．設
E（x，y），∴DM＝x＋2，ME＝7－y，CN＝x－1，EN＝y(tǒng)－1，由對稱可知：DE＝AD＝6，CE＝AC＝3
∵∠M＝∠N＝∠DEC＝90°，∴△DME∽△ENC，∴DM
＝
ME
＝DE，EN
CN
CE
∴x＋2
＝
＝x
香
1，y香1
7香y
∴解得：
x＝14
y＝17
∴B（14，17）
例
3－2、（14
外國語一模，18）如圖，將等邊△ABC
折疊，使點
B
落在邊
AC
上，對應點
為
D，設折痕為
MN，如果CD
＝
3，則BM的值為
．
DA
BN
【解答】BM
＝
BN
〖點評〗方法一：如答圖
1，根據(jù)翻折，得到∠MDN＝60°?△ADN∽△CMD?
DM
＝
DN
CD＋DM＋MC
＝CD＋BM＋MC
＝CD＋BC
＝8
AD＋DN＋NA
AD＋BN＋NA
AD＋AB
方法二：如答圖
2，分別邊
D
點作
DF⊥BC
于
F
點，作
DE⊥AB
于
E
點，則設
AD＝4，CD＝6，則
CF＝3，DF＝3
3，AE＝2，DE＝2
3，x2＝
香x
2＋
再設
BM＝x，BN＝y(tǒng)，則有
y2＝
8
香
y
2＋
x＝38
解得
y＝19
∴DM
＝
DN
答圖
答圖
〖針對練習〗
1、（2016
河南）如圖，已知
AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點
E
為射線
BC
上的一個動點，連接
AE，將△ABE
沿
AE
折疊，點
B
落在點
B′處，過點
B′作
AD的垂線，分別交
AD、BC
于點
M、N，當點
B′為線段
MN的三等分點時，BE的長為
．
【答案】322或355
題型四：利用相似算對稱點
例
4－1、（11
年東林，26）如圖
1，直線
y＝－3x＋3
與
x
軸、y
軸交于
A、B
兩點，C
點為
線段
AO
上一點，一動點
P
在x
軸上．
（1）
當
P
點運動到與原點
O
重合時，P
點關于直線
BC的對稱點恰好落在直線
AB
上，求此時
PC的長；
（2）
如圖
2，若
C
點為線段
AO的中點，問：P
點運動到何處，點
P
關于直線
BC的對稱點落在直線
AB
上？
【解答】（1）方法較多，PC＝3
（2）C（2，0），△AOB
三邊之比為
2：3：
設
P（t，0），則
CP＝2－t，由△AOB∽△PHD∽△PECàDH＝
PD＝
·2PE＝
·2·
PC＝12（2－t）＝24香12晦，13
PH＝3DH＝18（2－t）àOH＝36香5晦，13
∴D（36香5晦，24香12晦），代入
y＝－3x＋3
可得
t＝16
例
4－2、（2016
無錫，27）如圖，已知□ABCD的三個頂點
A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作□ABCD
關于直線
AD的對稱圖形
AB1C1D．
（1）
若
m＝3，試求四邊形
CC1B1B的面積
S的最大值；
（2）
若點
B1
恰好落在y
軸上，試求n的值．
m
【解答】（1）如圖
1，∵□ABCD
與四邊形
AB1C1D
關于直線
AD
對稱，∴四邊形
AB1C1D
是平行四邊形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四邊形
BCEF、B1C1EF
是平行四邊形，∴S□BCEF＝S□BCDA＝S□B1C1DA＝S□B1C1EF，∴S□BCC1B1＝2S□BCDA．
∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m＝3，∴AB＝m－n＝3－n，OD＝2n，∴S
BCDA＝AB?OD＝（3－n）?2n＝－2（n2－3n）＝－2（n－3）2＋9，□
∴S
＝2S
2
＝－4（n－3）2＋9．
□BCC1B1
□BCDA
∵－4＜0，∴當
n＝3時，S
最大值為
9；
□BCC1B1
（2）當點
B1
恰好落在y
軸上，如圖
2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF＋∠DB1F＝90°，∠B1BO＋∠OB1B＝90°，∴∠B1DF＝∠OBB1．
∵∠DOA＝∠BOB1＝90°，∴△AOD∽△B1OB，∴OA
＝
OB1，OD
OB
∴
n
＝
OB1，2n
m
∴OB1＝m．
由軸對稱的性質(zhì)可得
AB1＝AB＝m－n．
在Rt△AOB1
中，n2＋（m）2＝（m－n）2，2
整理得
3m2－8mn＝0．
∵m＞0，∴3m－8n＝0，∴n
＝
3．m
〖針對練習〗
1、（18
年濱湖區(qū)一模）28．如圖，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，G
是邊
AB的中點，平行于
AB的動直線
l
分別交△ABC的邊
CA、CB
于點
M、N，設
CM
＝m．
（1）
當
m＝1
時，求△MNG的面積；
（2）
若點
G
關于直線
l的對稱點為點
G′，請求出點
G′恰好落在△ABC的內(nèi)部（不含邊界）時，m的取值范圍；
（3）
略
【解答】（1）9；（2）7＜t＜4
題型五：翻折形成輔助圓
例
5－1、如圖，在邊長為
2的菱形
ABCD
中，∠A＝60°，M
是
AD
邊的中點，N
是
AB
邊上一動
A
點，將△AMN
沿
MN
所在的直線翻折得到△A＇MN，連接
A＇C，則
A＇C
長度的最小值是
．
【答案】
7－1，〖點評〗本題的關鍵點在于根據(jù)翻折判斷出點
A′的軌跡是以
M
為圓心，MA
為半徑的圓弧，最后利用圓外一點到圓上的最短距離找到最小值
例
5－2、（2017
無錫）28．如圖，已知矩形
ABCD
中，AB＝4，AD＝m，動點
P
從點
D
出發(fā)，在邊
DA
上以每秒
個單位的速度向點
A
運動．連結(jié)
CP，作點
D
關于直線
PC的對稱點
E．設點
P的運動時間為
t（s）．
（1）
若
m＝6，求當
P、E、B
三點在同一直線上時對應的t的值；
（2）
已知
m
滿足：在動點
P
從點
D
到點
A的整個運動過程中，有且只有一個時刻
t，使點
E
到直線
BC的距離等于
3，求所有這樣的m的取值范圍．
【解析】由翻折?點
E
在以
C
為圓心，CD
為半徑的圓上
（1）
點
E的確定
當
P、E、B
三點共線時，由∠PEC＝90°à∠BEC＝90°à點
E
又在以
BC
為直徑的圓上?
點
E
是兩圓交點，易得△BEC≌△PAB?BP＝BC＝6
而
BE＝
香
42＝2
∴t＝PD＝PE＝6－2
也可以利用翻折得到∠DPC＝∠EPC，結(jié)合∠DPC＝∠PCB?∠EPC＝∠PCB?BP＝BC＝
（2）
點
E的確定
點
E
到直線
BC的距離等于
3，點
E
又在以
C
為圓心，CD
為半徑的圓上à點
E
只能有圖中兩種情況，然后由點
E的位置反推出點
P的兩個極限位置即可
由△P2DC∽△DHE2?
D?2
＝
DH
?
D?2
＝
?DP2＝4
7，若
DP2＞DA，則
E2
要舍去，CD
只存在唯一的E
點；
E2H
由△P1DC∽△DFE1?
D?1
＝
DF
?
D?1
＝
?DP1＝4
7，若
DP1＞DA，則
E1
和
E2
都要舍
去，不存在E
點
CD
E1F
∴P
點應在P1P2
之間，477≤m＜4
例
5－3、（16
年濱湖區(qū)一模）27．如圖
1，∠AOB＝45°，點
P、Q
分別是邊
OA、OB
上的兩點，且
OP＝2cm．將∠O
沿
PO
折疊，點
O
落在平面內(nèi)點
C
處．
（1）
①當
PC∥QB
時，OQ＝；
②當
PC⊥QB
時，求
OQ的長．
（2）
當折疊后重疊部分為等腰三角形時，求
OQ的長．
【解答】（1）2；
（2）2
2＋2，2
2－2；
（3）
符合條件的點
Q
共有
個．
①當點
C
在∠AOB
內(nèi)部或一邊上時，OQ＝2，2，2
②當點
C
在∠AOB的外部時，OQ＝
6＋
2，6－
〖點評〗本題的關鍵點在于根據(jù)翻折判斷出點
C的軌跡是以
P
為圓心，OP
為半徑的圓，難點在于分類要全面
〖針對練習〗
1、（2017
宿遷）26．如圖，在矩形紙片
ABCD
中，已知
AB＝1，BC＝
3，點
E
在邊
CD
上移動，連接
AE，將多邊形
ABCE
沿直線
AE
翻折，得到多邊形
AB′C′E，點
B、C的對應點分別為點
B′、C′．
（1）
當
B′C′恰好經(jīng)過點
D
時（如圖
1），求線段
CE的長；
（2）
若
B′C′分別交邊
AD，CD
于點
F，G，且∠DAE＝22.5°（如圖
2），求△DFG的面積；
（3）
在點
E
從點
C
移動到點
D的過程中，求點
C′運動的路徑長．
【解答】（1）CE＝
6－2；（2）5
香
6；（3）2
n
題型六：翻折的構(gòu)造
例
6－1、如圖，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN
于點
H，且
MH＝2，NH＝3，求
AH的長．
【解答】方法一：根據(jù)定長對定角作輔助圓；
方法二：折疊，如答圖，作兩次軸對稱得到正方形
ABCD，即而可得
AH＝6，例
6－2、如圖，△ABC
中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D
是△ABC
內(nèi)一點，且
AD＝AC，BD＝CD，則∠ADB的度數(shù)為（）
A．135°
B．120°
C．150°
D．140°
【解答】選
A，如答圖，補成完整的正方形，顯然∠ADB＝135°
例
6－3、（18
年
月宜興一模）9．如圖，Rt△ABC
中，∠CAB＝90°，在斜邊
CB
上取兩點
M、N（不包含
C、B
兩點），且
tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1．設
MN＝x，BM＝n，CN＝
m，則以下結(jié)論不可能成立的是（）
A．m＝n
B．x＝m＋n
C．x＜m＋n
D．x2＝m2＋n2
【解答】選
D，方法一，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，如答圖
1；
方法二，構(gòu)造折疊，如答圖
2；
題型七：綜合型
例
7－1、（14
年江南中學，10，03
年天津）如圖，在△ABC
中，已知
AB＝2a，∠A＝30°，CD
是
AB
邊的中線，若將△ABC
沿
CD
對折起來，折疊后兩個小△ACD
與△B′CD
重疊
部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的1，有如下結(jié)論：①BC的邊長可以等于
a；②
折疊前的△ABC的面積可以等于
2；③折疊前的△ABC的面積可以等于
2；④折疊
a
a
后，以
A、B′為端點的線段與中線
CD
一定平行且相等，其中正確的結(jié)論是（）
A．①③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
解：如圖，設
B′D
與
AC
相交于
O，∵CD
是
AB
邊的中線，∴S
ACD＝S
BCD＝1S
ABC，△
△
△
∵重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的1，4
∴點
O
是
AC、B′D的中點，∴四邊形
ADCB′是平行四邊形，∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C＝AD，故④正確；
∴B′C∥BD，B′C＝BD，∴四邊形
BCB′D
是平行四邊形，由翻折變換的性質(zhì)得，BC＝B′C，∴平行四邊形
BCB′D
是菱形，∴BC＝BD＝1AB＝1×2a＝a，故①正確；
若
S△ABC＝
3a2，2
∵四邊形
AB′CD
為平行四邊形，∴S
COD＝1S
ACD＝1S
ABC，滿足條件，即
S
ABC
△
△
△
△的值可以等于
3a2，故②正確，2
假設折疊前的△ABC的面積可以等于
3a2，設點
C
到
AB的距離為
h，則1×2ah＝
3a2，解得
h＝
3a，3a2÷tan30°＝
3a÷
3＝a，2
∴垂足為
AB的中點
D，∴翻折后點
A、B
重合，不符合題意，∴假設不成立，則③錯誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．
故選：B．
課后練習
1、如圖，矩形
ABCD
中，AD＝5，AB＝8，點
E
為
DC
上一個動點，把△ADE
沿
AE
折疊，若點
D的對應點
D′，連接
D′B，以下結(jié)論中：
①D′B的最小值為
3；
②當
DE＝5時，△ABD′是等腰三角形；
③當
DE＝2
時，△ABD′是直角三角形；
④△ABD′不可能是等腰直角三角形；
其中正確的有
．（填上你認為正確結(jié)論的序號）
【解答】①②④
2、如圖，在一張矩形紙片
ABCD
中，AB＝4，BC＝8，點
E、F
分別在AD、BC
上，將紙片
ABCD
沿直線
EF
折疊，點
C
落在AD
上的一點
H
處，點
D
落在點
G
處，有以下四個結(jié)論：①四邊形
CFHE
是菱形；②EC
平分∠DCH；③線段
BF的取值范圍為
3≤BF≤4；
④當點
H
與點
A
重合時，EF＝2
5．以上結(jié)論中，你認為正確的有（）個．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】選C3、（2017
年無錫）10．如圖，△ABC
中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點
D
是
BC
邊的中點，將△ABD
沿
AD
翻折得到△AED，連
CE，則線段
CE的長等于（）
A．2
B．5
C．5
D．7
【解答】選
D3、（18
年省錫中二模）27．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線
y＝ax2－2ax＋c
與
x
軸交于
A、B
兩點（點
A
在點
B的左側(cè)），且
AB＝4，又
P
是第一象限拋物線上的一點，拋物線對稱軸交
x
軸于點
F，交直線
AP
于點
E，AE：EP＝1：2．
（1）
求點
A、點
B的坐標；
（2）
直線
AP
交
y
軸于點
G，若
CG＝5
3，求此拋物線的解析式；
（3）
在（2）的條件下，若點
D
是射線
AP
上一動點，沿著
DF
翻折△ADF
得到△A′DF（點
A的對應點為
A′），△A′DF
與△ADB
重疊部分的面積為△ADB的1，求此時△ADB的面
積．
【解答】（1）A（－1，0），B（3，0）；（2）y＝
3x2－2
3x－
3；
△
（3）如答圖
1，S
ADB＝8
答圖
答圖
注：如果把題目改為“D
點在直線
AP
上”，則有如答圖
2的另一種情況
圖形性質(zhì)與圖形間關系的發(fā)現(xiàn)，既要借助于推理，但更要借助于直覺和觀察，變換的意識與變換的視角，會使這種直覺更敏銳、使這種觀察更具眼力．
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