第3課時 函數(shù)性質(zhì)綜合問題
第第3
課時
函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
題型一
函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性
例
例
(1)設(shè)
設(shè)
f(x)
是定義在R
上的偶函數(shù)，當(dāng)
當(dāng)
x0
時，f(x)
＝ln
x
＋e
x
.若
若
a
＝f（－)，b＝
＝f(log
3)，c
＝f(2－
0.2)，則
a，b，c的大小關(guān)系為（）
A
．bac
B
．cba
C
．a(chǎn)bc
D
．a(chǎn)cb
【答案】C
【解析】當(dāng)
當(dāng)
x0
時，f(x)
＝ln
x
＋e
x
為增函數(shù)，f(x)的圖
像于
關(guān)于
y
軸對稱，且在(－
－，0)上
上
是
減
少的，在(0，＋)上
上
是
增
加的，a
＝f（－)
＝f()，又
又
3log
312－
0.2
0，f()f(log
3)f(2－
0.2)，abc.(2)(2021
新高考全國
Ⅰ
改編)
若定義在R數(shù)
上的奇函數(shù)
f(x)
在(－
－，0)上
上
是
減
少的，且
且
f(2)
＝0，則滿足
xf(x
－1)
0的的x的取值范圍是（）
A
．[
－1,1]
[3，＋)
B
．[
－3，－1]
[0,1]
C．
．[
－1,0]
[1，＋)
D．
．[
－1,0]
[1,3]
【答案】D
【解析】數(shù)
因為函數(shù)
f(x)
為定義在R
上的奇函數(shù)，則
則
f(0)
＝0.又
又
f(x)
在(－
－，0)上
上
是
減
少且，且
f(2)
＝0，數(shù)
畫出函數(shù)
f(x)的大致圖
像
如圖(1)
所示，數(shù)
則函數(shù)
f(x
－1)的大致圖
像
如圖(2)
所示．
當(dāng)
當(dāng)
x
0
時，要滿足
xf(x
－1)
0，則
f(x－
－1)
0，得－1
x
0.當(dāng)
當(dāng)
x0
時，要滿足
xf(x
－1)
0，則
f(x－
－1)
0，得
得
x
3.足
故滿足
xf(x
－1)
0的的x的取值范圍是[－
－1,0]
[1,3]
．
[
高考改編題]
若函數(shù)
f(x)
是定義域為
R的的奇函數(shù)，f(2)
＝0，且在(0，＋)上
上
是
增
加的足，則滿足
f(x
－1)
0的的x的取值范圍是______，滿足
f（(x))x0的的x的取值范圍是______
．
】
【答案】[
－1,1]
[3，＋)
（－2,0)
(0,2)
【解析】數(shù)
由函數(shù)
f(x)的性質(zhì)，作出函數(shù)
f(x)的大致圖
像
如圖所示，∵
∵f(x
－1)
0，則－2
x
－1
0
或
或
x－
－1
2，解得－1
x
或
或
x
3.當(dāng)
f（(x))x0
時，xf(x)0，即
f(x)的圖
像
在二、四象限，即－2x0
或
或
0x2.思維升華
解決不等式問題，一定要充分利用已知條件，一是把已知不等式化成f(x
1)f(x
2)或
或
f(x
1)f(x
2)的形式，再利用單調(diào)性解不等式；二是利用函數(shù)的性質(zhì)，畫出
出
f(x)的圖
像，利用圖
像
解不等式．
練
跟蹤訓(xùn)練
(1)
已知函數(shù)
f(x)
滿足以下兩：
個條件：
①意
任意
x
1，x
(0，＋)
且
x
x
2，(x
－
－x
2)[f(x
1)
－f(x
2)]0；；
②
對定義域內(nèi)任意
意
x
有
有
f(x)
＋f（－x)
＝0，則符合條件的函數(shù)是（）
A
．f(x)
＝2x
B
．f(x)
＝1
－|x|
C
．f(x)
＝－x
D
．f(x)
＝ln(x
＋
＋3)
【答案】C
【解析】
由
①知
知
f(x)
在(0，＋)上
上
是
減
少的，由
②知
知
f(x)
為奇函數(shù)．
(2)
已知偶函數(shù)
f(x)
在區(qū)間[0，＋)上
上
是
增加的，則滿足
f(2x
－1)f
è
è?
??
??
?13的的x的取值范圍是________
．
【答案】
è
è?
??
??
?13，23
【解析】有
依題意有
f(x)
在[0，＋)上
上
是
增加的，在(－
－，0]上
上
是
減
少的，|2x－
－1|
13，即－
2x
－1
13，解得
x23
.題型二
函數(shù)的奇偶性與周期性
例
例
(1)(2021
德州聯(lián)考)
已知定義在R上
上數(shù)的奇函數(shù)
f(x)
滿足
f(x
＋2)
＝－f(x)，當(dāng)0
x
時，f(x)
＝x
則，則
f(2
023)
等于（）
A
．2
019
B
．1
C
．0
D
．－1
【答案】D
【解析】數(shù)
根據(jù)題意，函數(shù)
f(x)
滿足
f(x
＋2)＝－f(x)，則有
f(x
＋4)
＝－f(x
＋2)
＝f(x)，為
即函數(shù)是周期為
4的周期函數(shù)，則
f(2
023)＝
＝f（－1
＋2
024)
＝f（－1)，又函數(shù)
y
＝f(x)且
為奇函數(shù)，且
x
[0,1]，時，f(x)
＝x
則，則
f(－
－1)
＝－f(1)
＝－1，故
f(2
023)
＝－1.(2)(2021
濟(jì)南模擬)
已知定義在R
上的奇數(shù)
函數(shù)
f(x)
滿足
f(x
－4)
＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上
上
是
增
加的，則（）
A
．f(2
019)
＝f(2
017)
B
．f(2
019)
＝f(2
020)
C
．f(2
020)f(2
019)
D
．f(2
020)f(2
018)
【答案】A
【解析】為
因為
f(x)
滿足
f(x
－4)
＝－f(x)，以
所以
f(x
－8)
＝f(x)，以
所以
f(x)
是以
為周期的函數(shù)，則
f(2
017)＝
＝f(1)，f(2
018)
＝f(2)，由
而由
f(x
－4)
＝－f(x)得
得
f(2
019)
＝f(3)
＝－f（－3)
＝－f(1
－4)
＝f(1)，f(2
020)
＝f(4)＝
＝－
－f(0)
＝0，為
又因為
f(x)
在[0,2]上
上
是
增
加的，以
所以
f(2)f(1)f(0)
＝0，即
f(2
019)
＝f(2
017)，f(2
020)f(2
019)，f(2
020)f(2
018)．
．
思維升華
已知函數(shù)的周期性、奇偶性求函數(shù)值，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所有函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解．
練
跟蹤訓(xùn)練2
(1)
已知f(x)
是R
上的奇函數(shù)，且
且
f(x
＋2)
＝f(x)，則
f(2
020)
＋f(2
021)＝
＝________.【答案】0
【解析】意
依題意
f(x)
為奇函數(shù)，且周期為2，f(2
020)
＋f(2
021)
＝f(0)
＋f(1)，∵
∵f(x)
為奇函數(shù)，f(0)
＝0，且
f（－1)
＝－f(1)，①
①
為
又周期為
2，f（－1)
＝f(1)，②
②
由
①②得
解得
f(1)
＝f（－1)
＝0，f(2
020)
＋f(2
021)
＝0.(2)
已知
f(x)
是定義在R
上以
為周期的偶若
函數(shù)，若
f(1)1，f(5)
＝2a
－3，則實數(shù)
a的取值范圍是________
．
【答案】(－
－，2)
【解析】∵
∵f(x)
為偶函數(shù)，且周期為
3，f(5)
＝f(5
－6)
＝f（－1)
＝f(1)，∵
∵f(1)1，f(5)
＝2a
－31，即
即
a2.題型三
函數(shù)的奇偶性與對稱性
例
例
(1)
已知函數(shù)
f(x)
是定義域為
R的奇足
函數(shù)，且滿足
f(4
－x)
＝－f(x)，則
f(x)的的周期為（）
A
．－4
B
．2
C
．4
D
．6
【答案】C
【解析】∵
∵f(4
－x)
＝－f(x)，f(x)的圖
像
關(guān)于點(2,0)
對稱，f（－x)
＝－f(x
＋4)，又∵
∵f（－x)
＝－f(x)，f(x
＋4)
＝f(x)
．
T
＝4.(2)
函數(shù)
y
＝f(x)
對任意
x
R
都有
f(x
＋2)＝
＝f（－x)
成立，且函數(shù)
y
＝f(x
－1)的圖
像
關(guān)于點(1,0)
對稱，f(1)
＝4，則
f(2
020)
＋f(2
021)
＋f(2
022)的值為________
．
【答案】4
【解析】數(shù)
因為函數(shù)
y
＝f(x
－1)的圖
像
關(guān)于點
點(1,0)
對稱，數(shù)
所以函數(shù)
y
＝f(x)的圖
像
關(guān)于原點對稱，即數(shù)
函數(shù)
f(x)是
是
R
上的奇函數(shù)，以
所以
f(x
＋2)
＝－f(x)，所以
f(x
＋4)
＝－f(x＋
＋2)
＝f(x)，故
f(x)的周期為
4.以
所以
f(2
021)
＝f(505
＋1)
＝f(1)
＝4，以
所以
f(2
020)
＋f(2
022)
＝f(2
020)
＋f(2
020
＋
＋2)
＝
＝f(2
020)
＋f（－2
020)
＝f(2
020)
－f(2
020)＝
＝0，以
所以
f(2
020)
＋f(2
021)
＋f(2
022)
＝4.思維升華
由函數(shù)的奇偶性和對稱性求函數(shù)的性質(zhì)，一種思路是按奇偶性、對稱性的定義，可推導(dǎo)出周期性，二是可利用奇偶性、對稱性畫草圖，利用圖
像
判斷周期性．
練
跟蹤訓(xùn)練
函數(shù)
f(x)
滿足
f(x
－1)
為奇函數(shù)，f(x
＋1)
為偶函數(shù)，則下列說法正確的是
是________
．（填序號)
①
①f(x)的周期為
8；
②
②f(x)
關(guān)于點（－1,0)
對稱；
③
③f(x)
為偶函數(shù)；
④
④f(x
＋7)
為奇函數(shù)．
【答案】
①②④
【解析】∵
∵f(x
－1)
為奇函數(shù)，f(x
－1)的的圖
像
關(guān)于(0,0)
對稱，f(x)的圖
像
關(guān)于點（－1,0)
對稱，又
又
f(x
＋1)
為偶函數(shù)，f(x
＋1)的圖
像線
關(guān)于直線
x
＝0
對稱，f(x)的圖
像線
關(guān)于直線
x
＝1
對稱，f(x)的圖
像
關(guān)于點（－1,0)
和直線
x
＝1
對
對稱，f(x)的周期為
8，①②
正確，③
不正確．
∵
∵T
＝8，f(x
＋7)
＝f(x
－1)，又
又
f(x
－1)
為奇函數(shù)，f(x
＋7)，為奇函數(shù)，故
④
正確．
題型四
函數(shù)的周期性與對稱性
例
例
已知
f(x)的定義域為
R，其函數(shù)圖像線
關(guān)于直線
x
＝－3
對稱，且
f(x
＋3)
＝f(x－
－3)，若當(dāng)
x
[0,3]
時，f(x)
＝2
x
＋
＋1，則下列結(jié)論正確的是________
．（填序號)
①
①f(x)
為偶函數(shù)；
②
②f(x)
在[
－6，－3]上
上
是
減
少的；；
③
③f(x)
關(guān)于直線
x
＝3
對稱；
④
④f(100)
＝5.【答案】
①③④
】
【解析】f(x)的圖
像線
關(guān)于直線
x
＝－3，對稱，則
則
f（－x)
＝f(x
－6)，又
又
f(x
＋3)
＝f(x
－3)，則
f(x)的周期
T
＝6，f（－x)
＝f(x
－6)
＝f(x)，f(x)
為偶函數(shù)，故
①
正確；
當(dāng)
當(dāng)
x
[0,3]
時，f(x)
＝2
x
＋
＋1
是
是
增
加的，∵
∵T
＝6，故
f(x)
在[
－6，－3]
上也
是
增
加的，故
②
不正確；
f(x)
關(guān)于直線
x
＝－3
對稱且
T
＝6，f(x)
關(guān)于直線
x
＝3
對稱，故
③
正確；
f(100)
＝f(16
＋4)
＝f(4)
＝f（－2)
＝f(2)＝
＝5，故
④
正確．
思維升華
函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．
練
跟蹤訓(xùn)練
函數(shù)
f(x)
是定義域為
R的奇足
函數(shù)，滿足
f(x
－4)
＝－f(x)，f(x
－4)
＝f(－
－x)，且當(dāng)
x
[0,2]
時，f(x)
＝2
x
＋
＋log
x，則f（－80)，f（－25)，f(11)的大小關(guān)系為________
．
【答案】f（－25)f（－80)f(11)
【解析】
依題意，f(x)的周期為
8，且
f(x)是奇函數(shù)，其圖
像于
關(guān)于
x
＝2
對稱，當(dāng)x
[0,2]
時，f(x)
是
是
增
加的，f(x)
在[
－2,2]上
上
是
增
加的，又
又
f（－80)
＝f(0)，f（－25)
＝f（－1)，f(11)＝
＝f(3)
＝f(1)，f（－1)f(0)f(1)
．
即
即
f（－25)f（－80)f(11)
．
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