第一篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《相似三角形的應(yīng)用》學(xué)案分析

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《相似三角形的應(yīng)用》

學(xué)案分析

【教材分析】

（一）教材的地位和作用

《相似三角形的應(yīng)用》選自人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十七章。相似與軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)一樣，也是圖形之間的一種變換，生活中存在大量相似的圖形，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。相似三角形的知識(shí)是在全等三角形知識(shí)的基礎(chǔ)上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，從特殊的相等到一般的成比例予以深化。在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的定義、判定，這為本節(jié)課問題的探究提供了理論的依據(jù)。本節(jié)內(nèi)容是相似三角形的有關(guān)知識(shí)在生產(chǎn)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，另一方面增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的不斷追求。

（二）教學(xué)目標(biāo)

、。知識(shí)與能力：）

進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識(shí)．

2）能夠運(yùn)用三角形相似的知識(shí)，解決不能直接測(cè)量物體的長度和高度（如測(cè)量金字塔高度問題、測(cè)量河寬問題）等的一些實(shí)際問題．

2．過程與方法：

經(jīng)歷從實(shí)際問題到建立數(shù)學(xué)模型的過程，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。

3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：）通過利用相似形知識(shí)解決生活實(shí)際問題，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)于生活，服務(wù)于生活。

2）通過對(duì)問題的探究，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真踏實(shí)的學(xué)習(xí)態(tài)度和科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，通過獲得成功的經(jīng)驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。

（三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵

重點(diǎn)：利用相似三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題。

難點(diǎn)：運(yùn)用相似三角形的判定定理構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題。

關(guān)鍵：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用所學(xué)的知識(shí)來進(jìn)行解答。

【教法與學(xué)法】

（一）教法分析

為了突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特征，在教學(xué)過程中，我采用了以下的教學(xué)方法：

．采用情境教學(xué)法。整節(jié)課圍繞測(cè)量物體高度這個(gè)問題展開，按照從易到難層層推進(jìn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重創(chuàng)設(shè)相關(guān)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)問題情景，讓學(xué)生充分感知“數(shù)學(xué)于生活又服務(wù)于生活”。

2．貫徹啟發(fā)式教學(xué)原則。教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)均從提出問題開始，在師生共同分析、討論和探究中展開學(xué)生的思路，把啟發(fā)式思想貫穿與教學(xué)活動(dòng)的全過程。

3．采用師生合作教學(xué)模式。本節(jié)課采用師生合作教學(xué)模式，以師生之間、生生之間的全員互動(dòng)關(guān)系為課堂教學(xué)的核心，使學(xué)生共同達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。教師要當(dāng)好“導(dǎo)演”，讓學(xué)生當(dāng)好“演員”，從充分尊重學(xué)生的潛能和主體地位出發(fā)，課堂教學(xué)以教師的“導(dǎo)”為前提，以學(xué)生的“演”為主體，把較多的課堂時(shí)間留給學(xué)生，使他們有機(jī)會(huì)進(jìn)行獨(dú)立思考，相互磋商，并發(fā)表意見。

（二）學(xué)法分析

按照學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，遵循教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想，在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，采用自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生思考問題、獲取知識(shí)、掌握方法，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，啟發(fā)學(xué)生從書本知識(shí)到社會(huì)實(shí)踐，學(xué)以致用，力求促使每個(gè)學(xué)生都在原有的基礎(chǔ)上得到有效的發(fā)展。

【教學(xué)過程】

一、知識(shí)梳理、判斷兩三角形相似有哪些方法?）定義:

2）定理:

3）判定定理一:

4）判定定理二:

5）判定定理三:

2、相似三角形有什么性質(zhì)？

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等

（通過對(duì)知識(shí)的梳理，幫助學(xué)生形成自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，為解決問題儲(chǔ)備理論依據(jù)。）

二、情境導(dǎo)入

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”。塔的４個(gè)斜面正對(duì)東南西北四個(gè)方向，塔基呈正方形，每邊長約２３０多米。據(jù)考證，為建成大金字塔，共動(dòng)用了１０萬人花了２０年時(shí)間.原高１４６．５９米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打,頂端被風(fēng)化吹蝕.所以高度有所降低。

古希臘，有一位偉大的科學(xué)家泰勒斯。一天，希臘國王阿馬西斯對(duì)他說：“聽說你什么都知道，那就請(qǐng)你測(cè)量一下埃及大金字塔的高度吧！”這在當(dāng)時(shí)的條件下是個(gè)大難題，因?yàn)楹茈y爬到塔頂?shù)?。親愛的同學(xué)，你知道泰勒斯是怎樣測(cè)量大金字塔的高度的嗎？

（數(shù)學(xué)教學(xué)從學(xué)生的生活體驗(yàn)和客觀存在的事實(shí)或現(xiàn)實(shí)課題出發(fā)，為學(xué)生提供較感興趣的問題情景，幫助學(xué)生順利地進(jìn)入學(xué)習(xí)情景。同時(shí)，問題是知識(shí)、能力的生長點(diǎn)，通過富有實(shí)際意義的問題能夠激活學(xué)生原有認(rèn)知，促使學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行探索和思考。）

三、例題講解

例1（教材P49例3——測(cè)量金字塔高度問題）

《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時(shí)刻的陽光下，豎直的兩個(gè)物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度．

解：略（見教材P49）

問：你還可以用什么方法來測(cè)量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用鏡面反射（如圖，點(diǎn)A是個(gè)小鏡子，根據(jù)光的反射定律：由入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50練習(xí)-——測(cè)量河寬問題）

《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)

分析：設(shè)河寬AB長為xm，由于此種測(cè)量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即《相似三角形的應(yīng)用》教學(xué)設(shè)計(jì)．再解x的方程可求出河寬．

解：略（見教材P50）

問：你還可以用什么方法來測(cè)量河的寬度？

解法二：如圖構(gòu)造相似三角形（解法略）．

四、鞏固練習(xí)

．在同一時(shí)刻物體的高度與它的影長成正比例．在某一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米?

2．小明要測(cè)量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處c看到塔頂?shù)牡褂埃阎∶鞯难鄄侩x地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處c的距離是40米.求塔高?

五、回顧小結(jié)

一）相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個(gè)方面

測(cè)高

測(cè)距

二）測(cè)高的方法

測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例”的原理解決

三）測(cè)距的方法

測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解

（落實(shí)教師的引導(dǎo)作用以及學(xué)生的主體地位，既訓(xùn)練學(xué)生的概括歸納能力，又有助于學(xué)生在歸納的過程中把所學(xué)的知識(shí)條理化、系統(tǒng)化。）

六、拓展提高

怎樣利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)測(cè)量旗桿的高度?

七、作業(yè)

課本習(xí)題27.2

0題、11題。

【教學(xué)設(shè)計(jì)說明】

相似應(yīng)用最廣泛的是測(cè)量學(xué)中的應(yīng)用，在實(shí)際測(cè)量物體的高度、寬度時(shí)，關(guān)鍵是要構(gòu)造和實(shí)物所在三角形相似的三角形，而且要能測(cè)量已知三角形的各條線段的長，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解。鑒于這一點(diǎn)，我設(shè)計(jì)整節(jié)課圍繞測(cè)量物體高度這個(gè)問題展開，通過一個(gè)個(gè)問題的解決，一方面，促使學(xué)生了解測(cè)量物體高度的方法，從而學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)利用相似三角形解決問題的方案；另一方面，會(huì)構(gòu)造與實(shí)物相似的三角形，通過對(duì)實(shí)際問題的分析和解決，讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，教學(xué)中既發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，又注重凸現(xiàn)學(xué)生的主體地位，“以學(xué)生活動(dòng)為中心”構(gòu)建課堂教學(xué)的基本框架，以“探究交流為形式”作為課堂教學(xué)的基本模式，以全面發(fā)展學(xué)生的能力作為根本的教學(xué)目標(biāo)，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。

第二篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)《相似三角形》說課稿

【小編寄語】查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)小編給大家整理了九年級(jí)數(shù)學(xué)《相似三角形》說課稿，希望能給大家?guī)韼椭?

相似三角形說課稿

今天，我的說課將分三大部分進(jìn)行：

一、說教材;

二、說教學(xué)策略;

三、說教學(xué)程序。

一、說教材

從教材地位、學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)難點(diǎn)、學(xué)情分析、教學(xué)準(zhǔn)備五個(gè)方面闡述

1、本課內(nèi)容在教材中的地位

本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是本章的重要內(nèi)容之一。本節(jié)內(nèi)容是在完成對(duì)相似三角形的判定條件進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探索研究相似三角形的性質(zhì)，從而達(dá)到對(duì)相似三角形的定義、判定和性質(zhì)的全面研究。從知識(shí)的前后聯(lián)系來看，相似三角形可看作是全等三角形的拓廣，相似三角形的性質(zhì)研究也可看成是對(duì)全等三角形性質(zhì)的進(jìn)一步拓展研究。另外相似三角形的性質(zhì)還是研究相似多邊形性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是今后研究圓中線段關(guān)系的有效工具。

從新課程對(duì)幾何部分的編寫來看，幾何知識(shí)的結(jié)論較之老教材已經(jīng)大為減少，教材首要關(guān)注的不是掌握多少幾何知識(shí)的結(jié)論，相對(duì)更重視的是對(duì)學(xué)生合情推理能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)。從這個(gè)角度上說，不論是全等還是相似，教材只是將它們作為訓(xùn)練學(xué)生合情推理的一個(gè)有效素材而已，正因?yàn)榇?，本?jié)課應(yīng)重視學(xué)生有條理的思考及有條理的表達(dá)。

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

知識(shí)與技能方面：

探索相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)解決有關(guān)問題;

過程與方法方面：

培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，并能在提出問題的基礎(chǔ)上確定研究問題的基本方向及研究方法，滲透從特殊到一般的拓展研究策略，同時(shí)發(fā)展學(xué)生合情推理及有條理地表達(dá)能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀方面：

讓學(xué)生在探求知識(shí)的活動(dòng)過程中體會(huì)成功的喜悅，從而增強(qiáng)其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

立足新課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，我確立了如下的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

教學(xué)重點(diǎn)：相似三角形、相似多邊形的性質(zhì)及其應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)：①相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用;

②促進(jìn)學(xué)生有條理的思考及有條理的表達(dá)。

4.學(xué)情分析

從七上開始到現(xiàn)在，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些平面圖形的認(rèn)識(shí)與探究活動(dòng)，尤其是全等三角形性質(zhì)的探究等活動(dòng)，讓學(xué)生初步積累了一定的合情推理的經(jīng)驗(yàn)與能力，這是學(xué)生順利完成本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容的一個(gè)有利條件。

對(duì)相似形的性質(zhì)的結(jié)論，學(xué)生是有生活經(jīng)驗(yàn)與直觀感受的。比如說兩幅大小不等的中國地圖，如果其相似比為2：1，我們?cè)谳^大的地圖上量出北京到南京的圖上距離為4cm，問在較小的地圖上北京到南京的圖上距離是幾厘米?學(xué)生肯定知道是2cm，這個(gè)問題中學(xué)生又沒有學(xué)過相似形的性質(zhì)，他怎么會(huì)知道呢?從中可以看出學(xué)生對(duì)比例尺的理解實(shí)際上是基于生活經(jīng)驗(yàn)的。再比如說，如果你找一個(gè)沒學(xué)過相似形性質(zhì)的學(xué)生來問他：如果用放大鏡將一個(gè)小五角星的邊長放大到原來的5倍，則這個(gè)小五角星的周長被放大到原來的幾倍?面積被放大到原來的幾倍?這些問題學(xué)生基本上能給出較準(zhǔn)確的回答。其實(shí)這就是學(xué)生對(duì)相似形性質(zhì)的一種生活化的直觀感受。

大家知道，源于學(xué)生原有認(rèn)知水平和已有生活經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)設(shè)計(jì)才更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，從而取得良好的教學(xué)效果。所以本節(jié)課在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中不能把學(xué)生當(dāng)作是對(duì)相似形的性質(zhì)一無所知的，而是應(yīng)在充分尊重學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上展開富有成效的教學(xué)設(shè)計(jì)。

5.教學(xué)準(zhǔn)備

教師：直尺、多媒體課件

學(xué)生：必要的學(xué)習(xí)用具

二、說教學(xué)策略

從設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想、教學(xué)方法、學(xué)習(xí)方法三方面闡述

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，那么如何讓學(xué)生在教學(xué)過程中真正成為學(xué)習(xí)的主人，同時(shí)教師在教學(xué)過程中又引導(dǎo)什么，與學(xué)生如何合作?這就是我這節(jié)課處理教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)的指導(dǎo)思想。為了更好地體現(xiàn)學(xué)生主體教師主導(dǎo)的地位，我打算從兩條主線進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)：一是從知識(shí)研究的大背景出發(fā)，結(jié)合知識(shí)的生長點(diǎn)拓展延伸、合理整合、組織教學(xué);二是從尊重學(xué)生已有的知識(shí)與生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用學(xué)生已有的生活本能體驗(yàn)感受相似形的一系列性質(zhì)的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，組織教學(xué)。力圖將這兩條線索有機(jī)融合，行成完整的教學(xué)體系。

采取引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用，加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生過程的教學(xué)，環(huán)環(huán)緊扣、層層深入，逐步引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析，用探索、發(fā)現(xiàn)的方法，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，逐步形成技能。

有一位教育家說過：教給學(xué)生良好的學(xué)習(xí)方法比直接教給學(xué)生知識(shí)更重要。本節(jié)課教給學(xué)生的學(xué)習(xí)方法有：提出問題，感受價(jià)值，探究解決的研究問題的基本方法，從特殊到一般的拓展研究方法等。以此發(fā)展學(xué)生思維能力的獨(dú)立性與創(chuàng)造性，逐步訓(xùn)練學(xué)生由被動(dòng)學(xué)會(huì)變成主動(dòng)會(huì)學(xué)。

三、說教學(xué)程序

(一)類比研究，明確目標(biāo)

師：同學(xué)們，回顧我們以往對(duì)全等三角形的研究過程，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們對(duì)一個(gè)幾何對(duì)象的研究，往往從定義、判定和性質(zhì)三方面進(jìn)行。類似的我們對(duì)相似三角形的研究也是如此。而到目前為止，我們已經(jīng)對(duì)相似形進(jìn)行了哪些方面的研究呢?

生：已經(jīng)研究了相似三角形的定義、判別條件。

師：那么我們今天該研究什么了?

生：相似三角形的性質(zhì)。

設(shè)計(jì)意圖：

從幾何對(duì)象研究的大背景出發(fā)，給學(xué)生一個(gè)研究問題的基本途徑。從而讓學(xué)生自然明白本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：相似三角形的性質(zhì)。

(二)提出問題，感受價(jià)值，探究解決

師：就你目前掌握的知識(shí)，你能說出相似三角形的1-2條性質(zhì)嗎?并說明你的依據(jù)。

生：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。根據(jù)是相似三角形的定義。

師：對(duì)于相似三角形而言，邊和角的性質(zhì)我們已經(jīng)得到，除邊角外你認(rèn)為還有哪些量之間的性質(zhì)值得我們研究呢?

設(shè)計(jì)意圖：

我們常常會(huì)說：提出問題比解決問題更重要。但是作為教師，我們應(yīng)該清醒地認(rèn)識(shí)到，學(xué)生提出問題的能力是需要逐步培養(yǎng)的。此處設(shè)問就是要培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力。我希望學(xué)生能提出周長、面積、對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線之間的關(guān)系來研究，甚至于我更希望學(xué)生能提出所有對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系來研究。估計(jì)學(xué)生能提出這其中的一部分問題。如果學(xué)生能提出這些問題(如相似三角形周長之比等于相似比等)，就說明他的生活經(jīng)驗(yàn)的直覺已經(jīng)在起作用了。如果學(xué)生提不出這些問題，說明他的生活直覺經(jīng)驗(yàn)還沒有得到激發(fā)，我可以利用前面提到的放大鏡問題、大小兩幅地圖問題等逐步啟發(fā)，激發(fā)學(xué)生的一些源自生活化的思考，從而回到預(yù)設(shè)的教學(xué)軌道。

師：對(duì)于同學(xué)們提出的一系列有價(jià)值的問題，我們不可能在一節(jié)課內(nèi)全部完成對(duì)它們的研究，所以我們從中挑出一部分內(nèi)容先行研究。比如我們來研究周長之比，面積之比，對(duì)應(yīng)高之比的問題。

師：為了讓同學(xué)們感受到我們研究問題的實(shí)際價(jià)值。我們來看一個(gè)生活中的素材：

給形狀相同且對(duì)應(yīng)邊之比為1：2的兩塊標(biāo)牌的表面涂漆。如果小標(biāo)牌用漆半聽，那么大標(biāo)牌用漆多少聽?

師：(1)猜想用多少聽油漆?(2)這個(gè)實(shí)際問題與我們剛才的什么問題有著直接關(guān)聯(lián)?

生：可能猜半聽、1聽、2聽、4聽等。同時(shí)學(xué)生能感受到這是與相似三角形面積有關(guān)的問題。

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)習(xí)心理學(xué)來說，如果能知道自己將要研究的知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，則更能激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求與研究熱情。

師：同學(xué)們的猜測(cè)到底誰的對(duì)呢?請(qǐng)?jiān)试S老師在這兒先賣個(gè)關(guān)子。讓我們帶著這個(gè)疑問來對(duì)下面的問題進(jìn)行研究。到一定的時(shí)候自然會(huì)有結(jié)論。

情境一：如圖，ABC∽DEF，且相似比為2：1，DE、EF、FD三邊的長度分別為4，5，6。(1)請(qǐng)你求出ABC的周長(學(xué)生只能用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出ABC的三邊長，然后求其周長)

(2)如果DEF的周長為20，則ABC的周長是多少?說出你的理由。(通過這個(gè)問題的研究，學(xué)生已經(jīng)可以得到相似三角形周長之比等于相似比的結(jié)論)

(3)如果ABC∽DEF，相似比為k：1，且DEF三邊長分別用d、e、f表示，求ABC與DEF的周長之比。

結(jié)論：相似三角形的周長之比等于相似比。

情境二：

師：相似三角形周長比問題研究完了，下面我們?cè)撗芯渴裁磧?nèi)容了?

生：面積比問題。

師：那么對(duì)于相似三角形的面積比問題你打算怎樣進(jìn)行研究?請(qǐng)你在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上與小組同學(xué)一起商量，給出一個(gè)研究的基本途徑與方法。

設(shè)計(jì)意圖：人類在改造自然的過程中，會(huì)遇到很多從未見過的新情境、新課題。當(dāng)我們遇到新問題的時(shí)候，確定研究方向與策略遠(yuǎn)比研究問題本身更有價(jià)值。如果你的研究方向與研究策略選擇錯(cuò)誤的話，你根本就不可能取得好的研究成果。而這種確定研究問題基本思路的能力也是我們向?qū)W生滲透教育的重要內(nèi)容。所以對(duì)于相似三角形面積比的研究，我認(rèn)為讓學(xué)生探索所研究問題的基本走向與策略遠(yuǎn)比解題的結(jié)論與過程更有價(jià)值。

(師)在學(xué)生交流的基本研究方向與策略的基礎(chǔ)上，與學(xué)生共同活動(dòng)，作出兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高，通過相似三角形對(duì)應(yīng)部分三角形相似的研究得到相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比的結(jié)論。進(jìn)而解決相似三角形的面積比等于相似比的平方的問題。體現(xiàn)教材整合。

(三)拓展研究，形成策略，回歸生活

拓展研究一：由相似三角形對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，類比研究相似三角形對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線之比等于相似比的性質(zhì);(留待下節(jié)課研究，具體過程略)

拓展研究二：由相似三角形研究拓展到相似多邊形研究

師：通過上述研究過程，我們已經(jīng)得到相似三角形的周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。那么這些結(jié)論對(duì)一般地相似多邊形還成立嗎?下面請(qǐng)大家結(jié)合相似五邊形進(jìn)行研究。

情境三：如圖，五邊形ABCDE∽五邊形A/B/C/D/E/，相似比為k，求其周長比與面積之比。

說明：對(duì)于周長之比，可由學(xué)生自行研究得結(jié)論。對(duì)于面積之比問題，與前面一樣，先由學(xué)生討論出研究問題的基本方向與策略轉(zhuǎn)化為三角形來研究。然后通過師生活動(dòng)合作研究得結(jié)論。

拓展結(jié)論1：相似多邊形的周長之比等于相似比;

相似多邊形的面積之比等于相似比的平方。

(結(jié)合相似五邊形研究過程)

拓展結(jié)論2：相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比;

相似多邊形中對(duì)應(yīng)對(duì)角線之比等于相似比;

進(jìn)而拓展到：相似多邊形中對(duì)應(yīng)線段之比等于相似比等?；貧w生活一：

師：通過前面的研究，我們得到了有關(guān)相似形的一系列結(jié)論，現(xiàn)在讓我們回頭來看前面的標(biāo)牌涂漆問題。你能確定是幾聽嗎?如果把題中的三角形條件改成更一般的相似形你還能解決嗎?

回歸生活二：(以師生聊天的方式進(jìn)行)

其實(shí)我們生活中對(duì)相似形性質(zhì)的直覺解釋是正確的，線段、周長都屬于一維空間，它的比當(dāng)然等于相似比，而面積就屬于二維空間了，它的比當(dāng)然等于相似比的平方了，比如兩個(gè)正方形的邊長之比為1：2，面積之比一定為1：4。甚至在此基礎(chǔ)上我們也可以想像：相似幾何體的體積之比與相似比的關(guān)系是什么?

生：相似比的立方。

設(shè)計(jì)意圖：新課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要建立在學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上---;教育心理學(xué)認(rèn)為：源于學(xué)生生活實(shí)際的教育教學(xué)活動(dòng)才更能讓學(xué)生理解與接受，也更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，從而導(dǎo)致好的教學(xué)效果;于新華老師在一些教研活動(dòng)中曾經(jīng)說過：源于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)直覺來展開教學(xué)設(shè)計(jì)，構(gòu)建知識(shí)，發(fā)展能力，最終還要回到學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)理解上來，形成新的數(shù)學(xué)直覺。這才是教學(xué)的最高境界。

而我的設(shè)計(jì)還有一個(gè)意圖就是向?qū)W生滲透從生活中來回到生活中去的思想，讓學(xué)生體會(huì)學(xué)好數(shù)學(xué)的重要性。

(四)操作應(yīng)用，形成技能

課內(nèi)檢測(cè)：

1.已知兩上三角形相似，請(qǐng)完成下面表格：

相似比 2

對(duì)應(yīng)高之比 0.5

周長之比 3 k

面積之比 100

2.在一張比例尺為1：2000的地圖上，一塊多邊形地區(qū)的周長為72cm,面積為200cm2，求這個(gè)地區(qū)的實(shí)際周長和面積。

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)雙基，形成技能

(五)習(xí)題拓展，發(fā)展能力

已知，如圖，ABC中，BC=10cm，高AH=8cm。點(diǎn)P、Q分別在線段AB、AC上，且PQ∥BC，分別過點(diǎn)P、Q作BC邊的垂線PM、QN，垂足分別為M、N。我們把這樣得到的矩形PMNQ稱為△ABC的內(nèi)接矩形。顯然這樣的內(nèi)接矩形有無數(shù)個(gè)。

(1)小明在研究這些內(nèi)接矩形時(shí)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，線段PM長度逐漸變大，而線段PQ的長度逐漸變小;當(dāng)點(diǎn)P向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過程中，線段PM逐漸變小，而線段PQ的長度逐漸變大，根據(jù)此消彼長的想法，他提出一個(gè)大膽的猜想：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，矩形PQNM的面積s是不變的。你認(rèn)為他的猜想正確嗎?為什么?

(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,矩形PMNQ的面積有最大值嗎?有最小值嗎?

答： 最大值，最小值(填有或沒有)。請(qǐng)你粗略地畫出矩形面積S隨線段PM長度x變化的大致圖象。

(3)小明對(duì)關(guān)于矩形PMNQ的面積的最值問題提出了如下猜想：

①當(dāng)點(diǎn)P為AB中點(diǎn)時(shí)，矩形PMNQ的面積最大;

②當(dāng)PM=PQ時(shí)，矩形PMNQ的面積最大。

你認(rèn)為哪一個(gè)猜想較為合理?為什么?

(4)設(shè)圖中線段PM的長度為x，請(qǐng)你建立矩形PQNM的面積S關(guān)于變量x的函數(shù)關(guān)系式。

設(shè)計(jì)意圖：將課本基本習(xí)題改造成發(fā)展學(xué)生能力的開放型問題研究，體現(xiàn)了課程整合的價(jià)值。

(六)作業(yè)(略)

另外值得一提的是：本節(jié)課對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)，更多的應(yīng)關(guān)注對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程性評(píng)價(jià)。在整個(gè)教學(xué)過程中，我都將尊重學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平，盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中提高思維水平。在學(xué)生回答時(shí)，我通過語言、目光、動(dòng)作給予鼓勵(lì)與表揚(yáng)，發(fā)揮評(píng)價(jià)的積極功能。尤其注意鼓勵(lì)學(xué)有困難的學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，發(fā)表自己看法，肯定他們的點(diǎn)滴進(jìn)步。

第三篇：中考數(shù)學(xué)二輪專題：相似三角形及其應(yīng)用

2021中考數(shù)學(xué)

二輪專題匯編：相似三角形及其應(yīng)用

一、選擇題

1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB和AC邊上，DE∥BC，M為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AM交DE于點(diǎn)N，則

()

A.=

B.=

C.=

D.=

2.如圖，每個(gè)小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形(陰影部分)與△A1B1C1相似的是

()

3.(2019?雅安)若，且，則的值是

A．4

B．2

C．20

D．14

4.如圖①，長、寬均為3，高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖②是此時(shí)的示意圖，則圖②中水面高度為

()

A.B.C.D.5.（2020·永州）如圖，在中，四邊形的面積為21，則的面積是（）

A.B.25

C.35

D.63

6.（2020·廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)）如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點(diǎn)N，則AN的長為（）

A．15

B．20

C．25

D．30

7.（2020·重慶B卷）如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知OA:OD=1:2，則△ABC與△DEF的面積比為（）

A．1:2

B．1:3

C．1:4

D．1:5

8.(2019?貴港)如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，，若，則線段的長為

A．

B．

C．

D．5

二、填空題

9.在某一時(shí)刻，測(cè)得一根高為1.8

m的竹竿的影長為3

m，同時(shí)同地測(cè)得一棟樓的影長為90

m，則這棟樓的高度為　　　　m.10.（2020·鹽城）

如圖，且，則的值為

．

11.(2019?郴州)若，則__________．

12.(2019?百色)如圖，與是以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若點(diǎn)，，則的面積為__________．

13.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題:“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形，勾(短直角邊)長為5步，股(長直角邊)長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是　　　　步.14.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，則DF的長為_________．

15.(2019?瀘州)如圖，在等腰中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，垂足為，則長為__________．

16.（2020·蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，連接、.已知，則_________.三、解答題

17.（2020·杭州）如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，．

（1）求證：．

（2）設(shè)，①若BC＝12，求線段BE的長；

②若△EFC的面積是20，求△ABC的面積．

18.(2019?廣東)如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)．

(1)請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)，求作，使，交于；(不要求寫作法，保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若，求的值．

19.如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點(diǎn)E，H分別在AB，AC上，已知BC=40

cm，AD=30

cm.(1)求證:△AEH∽△ABC;

(2)求這個(gè)正方形的邊長與面積.20.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過點(diǎn)A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，BD與AC交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)F.(1)求∠DAF的度數(shù)；

(2)求證：AE2＝EF·ED；

(3)求證：AD是⊙O的切線．

21.如圖，☉O是△ABC的外接圓，AB是直徑，D是AC中點(diǎn)，直線OD與☉O相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，P是☉O外一點(diǎn)，且P在直線OD上，連接PA，PC，AF，滿足∠PCA=∠ABC.(1)求證:PA是☉O的切線;

(2)證明:EF2=4OD·OP;

(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的長.22.如圖①，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，OD∥AC，OD交⊙O于點(diǎn)E，且∠CBD＝∠COD.(1)求證：BD是⊙O的切線；

(2)若點(diǎn)E為線段OD的中點(diǎn)，求證：四邊形OACE是菱形．

(3)如圖②，作CF⊥AB于點(diǎn)F，連接AD交CF于點(diǎn)G，求的值．

23.已知：在等邊△ABC中，D、E分別是AC、BC上的點(diǎn)，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足為點(diǎn)H.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在邊AC、BC上時(shí)，求證：△ABE≌△BCD；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在AC、CB延長線上時(shí)，探究線段AC、AH、BE的數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖③，作EK∥BD交射線AC于點(diǎn)K，連接HK，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)P，當(dāng)AC＝6，BE＝2時(shí)，求線段BP的長．

24.在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根．比如對(duì)于方程x2－5x＋2＝0，操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對(duì)固定點(diǎn)A(0，1)，B(5，2)；

第二步：在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板，使一條直角邊恒過點(diǎn)A，另一條直角邊恒過點(diǎn)B；

第三步：在移動(dòng)過程中，當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在x軸上點(diǎn)C處時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖①)；

第四步：調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)n既為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根．

(1)在圖②中，按照“第四步”的操作方法作出點(diǎn)D(請(qǐng)保留作出點(diǎn)D時(shí)直角三角板兩條直角邊的痕跡)；

(2)結(jié)合圖①，請(qǐng)證明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)實(shí)際上，(3)中的固定點(diǎn)有無數(shù)對(duì)，一般地，當(dāng)m1，n1，m2，n2與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，點(diǎn)P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn)？

2021中考數(shù)學(xué)

二輪專題匯編：相似三角形及其應(yīng)用-答案

一、選擇題

1.【答案】C　[解析]根據(jù)DE∥BC，可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=.故選C.2.【答案】B　[解析]根據(jù)勾股定理分別表示出已知三角形的各邊長，同理利用勾股定理表示出四個(gè)選項(xiàng)中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)果，△A1B1C1各邊長分別為1，選項(xiàng)A中陰影三角形三邊長分別為:，3，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng)B中陰影三角形三邊長分別為:，2，三邊與已知三角形的各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形相似;選項(xiàng)C中陰影三角形三邊長分別為:1，2，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似;選項(xiàng)D中陰影三角形三邊長分別為:2，三邊不與已知三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，故兩三角形不相似，故選B.3.【答案】A

【解析】由a∶b=3∶4知，所以．

所以由得到：，解得．所以．

所以．故選A．

4.【答案】A　[解析]如圖所示.設(shè)DM=x，則CM=8-x，根據(jù)題意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.∵∠D=90°.∴由勾股定理得:

BM===5.過點(diǎn)B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，∴∠HBA=∠DBM，∵∠AHB=∠D=90°，∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度為.5.【答案】B

【詳解】解：∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故選：B．

6.【答案】

B

【解析】設(shè)正方形EFGH的邊長EF＝EH＝x，∵四邊EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四邊形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本題選B．

7.【答案】C

【解析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，∵△ABC與△DEF位似，且，∴，因此本題選C．

8.【答案】C

【解析】設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，故選C．

二、填空題

9.【答案】54

10.【答案】2

【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，設(shè)DE＝x,則AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8,x2＝2(舍去)，此本題答案為2

．

11.【答案】

【解析】∵，∴，故2y=x，則，故答案為：．

12.【答案】18

【解析】∵與是以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，若點(diǎn)，∴位似比為，∵，∴，∴的面積為：，故答案為：18．

13.【答案】　[解析]如圖①，∵四邊形CDEF是正方形，∴CD=ED=CF.設(shè)ED=x，則CD=x，AD=12-x.∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴x=.如圖②，四邊形DGFE是正方形，過C作CP⊥AB于P，交DG于Q，∵S△ABC=AC·BC=AB·CP，則12×5=13CP，∴CP=.設(shè)ED=y，同理得:△CDG∽△CAB，∴=，∴=，y=<，∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是步，故答案為:.14.【答案】

【解析】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面積，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得AD＝＝，BD＝＝．過點(diǎn)E作EG∥AB交CD于點(diǎn)G，由平行線分線段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案為．

15.【答案】

【解析】如圖，過作于，則∠AHD=90°，∵在等腰中，，∴，∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，∴，∴CH=AC–AH=15–DH，∵，∴，又∵∠ANH=∠DNF，∴，∴，∴，∵，CE+BE=BC=15，∴，∴，∴，∴，故答案為：．

16.【答案】或2.8

【解析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，設(shè)AC交y軸于點(diǎn)E，∴CD∥x軸，∴∠CAO=∠ACD,△DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD,∴BD=DE,設(shè)BD=DE=x，則OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.三、解答題

17.【答案】

解：

（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．

（2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4．

②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面積是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面積是45．

18.【答案】

(1)如圖所示：

(2)∵，∴．

∴．

19.【答案】

[解析](1)根據(jù)EH∥BC即可證明.(2)設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M，首先證明四邊形EFDM是矩形，設(shè)正方形邊長為x，利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解決問題.解:(1)證明:∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC.(2)如圖，設(shè)AD與EH交于點(diǎn)M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四邊形EFDM是矩形，∴EF=DM.設(shè)正方形EFGH的邊長為x

cm，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的邊長為

cm，面積為

cm2.20.【答案】

(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；

(2)證明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴＝，∴AE2＝EF·ED；

(3)證明：如解圖，過點(diǎn)A作BC的垂線，G為垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG過圓心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切線．

解圖

21.【答案】

解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)D是AC中點(diǎn)，所以O(shè)D⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因?yàn)锳B是☉O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因?yàn)椤螾CA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切線.(2)因?yàn)椤螾AO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因?yàn)閠an∠AFP=，所以設(shè)AD=2x，則FD=3x，連接AE，易證△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO為中位線，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.22.【答案】

(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半徑，∴BD是⊙O的切線；

(2)證明：如解圖，連接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE為等邊三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC為等邊三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四邊形OACE是平行四邊形，而OA＝OE，∴四邊形OACE是菱形；

解圖

(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽R(shí)t△OBD，∴＝，即FC＝，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴＝，即FG＝，∴＝＝2，∴＝.23.【答案】

(1)證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)；

(2)解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°.∴在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)，∴BE＝CD.∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∵∠CAB＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝2AH，∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；

(3)解：如解圖，作DS⊥BC延長線于點(diǎn)S，作HM∥AC交BC于點(diǎn)M，解圖

∵AC＝6，BE＝2，∴由(2)得AH＝4，BH＝2,與(1)同理可得BE＝CD＝2，CE＝8，∵∠SCD＝∠ACB＝60°，∴∠CDS＝30°，∴CS＝1，SD＝，BS＝7，∵BD2＝BS2＋SD2＝72＋()2，∴BD＝2，∵EK∥BD，∴△CBD∽△CEK，∴＝＝，∴CK＝＝＝，EK＝＝＝.∵HM∥AC，∴∠HMB＝∠ACB＝60°，∴△HMB為等邊三角形，BM＝BH＝HM＝2，CM＝CB－BM＝4，又∵HM∥AC，∴△HMG∽△KCG，∴＝，即＝，∴MG＝，BG＝，EG＝，∵EK∥BD，∴△GBP∽△GEK，∴＝，∴BP＝.24.【答案】

【思路分析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)C是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB＝90°保持不變，所以由圓周角的性質(zhì)得，點(diǎn)C必在以AB為直徑的圓上，所以以AB為直徑畫圓，與x軸相交于兩點(diǎn)，除點(diǎn)C的另一點(diǎn)就是所求；(2)因?yàn)椤螦CB＝90°，∠AOC＝90°，所以過點(diǎn)B作BE⊥x軸，垂足為E，則構(gòu)造了一個(gè)“K”字型的基本圖形，再由相似三角的性質(zhì)得出比例式，化簡后得m2－5m＋2＝0，問題得證；(3)由(2)中的證明過程可知，一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，一次項(xiàng)系數(shù)是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的和的相反數(shù)；常數(shù)項(xiàng)是點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的積，先把方程ax2＋bx＋c＝0，化為

x2＋x＋＝0，再根據(jù)上述關(guān)系寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo)；(4)由(2)的證明中知，本題的關(guān)鍵點(diǎn)在“K”字型的構(gòu)造，所以本小題解題的關(guān)鍵是要抓住圖②中的“K”字型，只要P、Q兩點(diǎn)分別在AD、BD上，過P、Q分別作x軸垂線，垂足為M、N，這樣就構(gòu)造出滿足條件的基本圖形，再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)，可得相應(yīng)的關(guān)系式．

圖①

圖②

(1)解：如解圖①，先作出AB的中點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心，AB為半徑畫圓．

x軸上另外一個(gè)交點(diǎn)即為D點(diǎn)；(4分)

(2)證明：如解圖①，過點(diǎn)B作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，∵∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDE＝90°，∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠OAD＝∠BDE，∵∠AOD＝∠DEB＝90°，∴△AOD∽△DEB，(6分)

∴＝，即＝，∴m2－5m＋2＝0，∴m是x2－5x＋2＝0的一個(gè)實(shí)根；(8分)

(3)解：(0，1)，(，)或(0，)，(－，c)；(10分)

(4)解：在解圖②中，P在AD上，Q在BD上，過P，Q分別作x軸的垂線交x軸于M，N.由(2)知△PMD∽△DNQ，∴＝，(12分)

∴x2－(m1＋m2)x＋m1m2＋n1n2＝0與ax2＋bx＋c＝0同解，∴－＝m1＋m2；＝m1m2＋n1n2.(14分)

【難點(diǎn)突破】本題是一道考查數(shù)形結(jié)合思想的題．本題解題的突破口要抓住∠ACB＝90°保持不變的特征，構(gòu)造相似三角形中的基本圖形，通過數(shù)形結(jié)合的方法，以相似三角形的比例式為橋梁，以此獲得關(guān)于m的等量關(guān)系，從而使問題得以解決．

第四篇：2017-2018學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3A23.3 相似三角形

23.3相似三角形

1.相似三角形

【知識(shí)與技能】

1.知道相似三角形的概念；

2.能夠熟練地找出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；

3.會(huì)根據(jù)概念判斷兩個(gè)三角形相似，能說出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的邊長；

4.掌握利用“平行于三角形一邊的直線，和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”來判斷兩個(gè)三角形相似.【過程與方法】

在探索活動(dòng)中，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的意識(shí)和合作交流的習(xí)慣.【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣.【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握相似三角形的定義、表示法，并能根據(jù)定義判斷兩個(gè)三角形是否相似.【教學(xué)難點(diǎn)】

熟練找出對(duì)應(yīng)元素，在此基礎(chǔ)上根據(jù)定義求線段長或角的度數(shù).一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

復(fù)習(xí)：什么是相似形？識(shí)別兩個(gè)多邊形是否相似的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

二、思考探究，獲取新知 1.相似三角形的有關(guān)概念：

由復(fù)習(xí)中引入，如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角都相等，那么這兩個(gè)多邊形相似.三角形是最簡單的多邊形.由此可以說什么樣的兩個(gè)三角形相似？

如果兩個(gè)三角形的三條邊都成比例，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，如在△ABC與△A′B′C′中，∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，ABBCAC??，那么△ABCA?B?B?C?A?C?與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符號(hào)，讀作“相似于”，這樣兩個(gè)三角形相似就讀作“△ABC相似于△A′B′C′”.由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，所以A與A′是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，B與B′是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，C與C′是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，書寫相似時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)位置上，以便比較容易找到相似三角形中的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊.如果記

ABBCAC??=k，那么這個(gè)比值k就表示這兩A?B?B?C?A?C?個(gè)相似三角形的相似比.相似比就是它們的對(duì)應(yīng)邊的比，它有順序關(guān)系.如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比為k，即指

ABAB=k，那么△A′B′C′與△ABC的相似比應(yīng)是，就不A?B?A?B?ABBCAC??=1，所A?B?B?C?A?C?是k了，應(yīng)為多少呢？同學(xué)們想一想.如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢？以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′，因此這兩個(gè)三角形不僅形狀相同，而且大小也相同，這樣的三角形稱之為全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.試問：①全等的兩個(gè)三角形一定相似嗎？②相似的兩個(gè)三角形會(huì)全等嗎？

2.△ABC中，D是AB上任意一點(diǎn)，過D作DE∥BC,交AC邊于E，那么△ADE與△ABC是否相似？

【分析】判斷它們是否相似，由①對(duì)應(yīng)角是否相等，②對(duì)應(yīng)邊是否成比例去考慮.能否得對(duì)應(yīng)角相等？根據(jù)平行線性質(zhì)與一個(gè)公共角可以推出①，而對(duì)應(yīng)邊是否成比例呢？可根據(jù)平行線分線段成比例的基本事實(shí)，推得判斷出△ADE與△ABC相似.AEDEDEAD??，通過度量發(fā)現(xiàn)，所以可以ACBCBCAB

思考（1）你能否通過演繹推理證明你的猜想？

（2）若是DE∥BC,DE與BA、CA延長線交于E、D，那么△ADE與△ABC還會(huì)相似嗎？試試看，如果相似寫出它們對(duì)應(yīng)邊的比例式.【歸納結(jié)論】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.例1 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的三等分點(diǎn)，DE∥BC，DE=5，求BC的長.解：∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∴BC=3DE=15.三、運(yùn)用新知，深化理解 1.如圖所示，DE∥BC.（1）如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長.2.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC,點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，BE的延長線交CD的延長線于點(diǎn)G.（1）求證：GEAE?;GBBC（2）若GE=2,BF=3，求線段EF的長.【答案】1.（1）DE∶BC=2∶5（2）AE=6,BC=35.2GEED?.又∵ED=AE, GBBC2.（1）證明：∵AD∥BC，∴△GED∽△GBC，∴∴GEAE?.GBBCGEAE?, GBBC（2）設(shè)EF的長為x,則由（1）知又∵AEGEGEEF??,∴,即 BCGBGBBF2x?,解得x1=-6（舍去）,x2=1, 2?x?33∴EF=1.【教學(xué)說明】第2題教師適當(dāng)點(diǎn)撥，小組討論后獨(dú)立完成.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

你這節(jié)課學(xué)到了哪些知識(shí)？還有哪些疑問？

五、教學(xué)反思

本節(jié)課通過復(fù)習(xí)相似多邊形的性質(zhì)與判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通過思考探究、動(dòng)手測(cè)量、猜想、演繹證明推導(dǎo)出相似三角形的判定的預(yù)備定理，即平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，并通過例題練習(xí)運(yùn)用新知，深化理解.2.相似三角形的判定

【知識(shí)與技能】

1.掌握相似三角形的判定定理2：有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似； 2.掌握相似三角形的判定定理

3：三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.3.能依據(jù)條件，靈活應(yīng)用相似三角形的判定定理，正確判斷兩個(gè)三角形相似.【過程與方法】

在推理過程中學(xué)會(huì)靈活使用數(shù)學(xué)方法.【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明習(xí)慣和對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)】

相似三角形的判定定理2、3的推導(dǎo)過程，掌握相似三角形的判定定理2、3并能靈活應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】

相似三角形的判定定理的推導(dǎo)及應(yīng)用.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

復(fù)習(xí)：1.現(xiàn)在要判斷兩個(gè)三角形相似有哪幾種方法？有兩種方法：(1)根據(jù)定義；（2）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.2.如圖△ABC中，D、E是AB、AC上三等分點(diǎn)（即AD=ABC相似嗎？你用的是哪一種方法？

11AB,AE=AC)，那么△ADE與△33

由于沒有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，同學(xué)們可以動(dòng)手量一量，量什么后可以判斷它們是否相似？ 【教學(xué)說明】可能有一部分同學(xué)用量角器量角，有一部分同學(xué)量線段，看看能否成比例，無論哪一種，都應(yīng)肯定他們是正確的，要求同學(xué)說出是應(yīng)用哪一種方法判斷出的.二、思考探究，獲取新知

同學(xué)們通過量角或量線段計(jì)算之后，得出：△ADE∽△ABC.從已知條件看，△ADE與△ABC有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，即∠A=∠A(是公共角），而一個(gè)條件是AD=

11AB,AE=AC,即是33AD1AE1ADAE?,?，因此?.△ADE的兩條邊AD、AE與△ABC的兩條邊AB、AC會(huì)AB3AC3ABAC對(duì)應(yīng)成比例，它們的夾角又相等，符合這樣條件的兩個(gè)三角形也會(huì)相似嗎？我們?cè)僮鲆淮螌?shí)驗(yàn).觀察教材圖23.3.10，如果有一點(diǎn)E在邊AC上，那么點(diǎn)E應(yīng)該在什么位置才能使△ADE與△ABC相似呢？

1，將點(diǎn)E由點(diǎn)A開始在AC上31ADAE?移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)AE=AC時(shí)，△ADE與△ABC相似，此時(shí).3ABAC圖中兩個(gè)三角形的一組對(duì)應(yīng)邊AD與AB的長度的比值為猜想：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.你能否用演繹推理的方法證明你的猜想？ 【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生證明上述猜想.【歸納結(jié)論】 相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)相等的角必須是成比例的邊的夾角，如果不是夾角，它們不一定會(huì)相似.你能畫出有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，有一個(gè)角相等，但它們不相似的兩個(gè)三角形嗎？（畫頂角與底角相等的兩個(gè)等腰三角形）∠B=∠B′,ABAC?.A?B?A?C?例1（課本中例4）判斷圖中△AEB與△FEC是否相似.例2 如圖△ABC中，D、E是AB、AC上的點(diǎn)，AB=7.8，AD=3，AC=6，CE=2.1，試判斷△ADE與△ABC是否會(huì)相似，小張同學(xué)的判斷理由是這樣的:

解：因?yàn)锳C=AE+CE，而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于與△ABC不相似.你同意小張同學(xué)的判斷嗎？請(qǐng)你說說理由.解：小張同學(xué)的判斷是錯(cuò)誤的.ADAE?，所以△ADEABAC

因?yàn)锳D3AE3.91ADAE?,??,所以?，而∠A是公共角，∠A=∠A,所以△ADEAC6AB7.82ACAB∽△ACB.請(qǐng)同學(xué)再做一次實(shí)驗(yàn)，看看如果兩個(gè)三角形的三邊都成比例，那么這兩個(gè)三角形是否相似？

看課本69頁“做一做”.通過實(shí)驗(yàn)得出：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡單地說就是，三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.例3 △ABC和△A′B′C′中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′=30cm，試判定它們是否相似，并說明理由.三、運(yùn)用新知，深化理解

1.如圖，△ADE與△ABC相似嗎？請(qǐng)說明理由.2.如圖，已知ABBCAC??,∠BAD=20°，求∠CAE的大小.ADDEAE

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生自主完成，學(xué)生代表在黑板上展示，教師點(diǎn)評(píng).四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.相似三角形的判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.2.相似三角形的判定定理3：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.3.根據(jù)題目的具體情況，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明三角形相似.五、教學(xué)反思

本節(jié)課通過復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理入手，提出新問題引入新課，再通過學(xué)生動(dòng)手測(cè)量、猜想結(jié)論并證明等活動(dòng)中的體驗(yàn)，完成對(duì)相似三角形的判定定理2、3的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)判定定理的理解.教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探究和合作交流，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等思維過程，從中獲得知識(shí)與技能，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力.3.相似三角形的性質(zhì)

【知識(shí)與技能】

會(huì)說出相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.【過程與方法】

培養(yǎng)學(xué)生演繹推理的能力.【情感態(tài)度】

感受數(shù)學(xué)來源于生活，來源于實(shí)踐.【教學(xué)重點(diǎn)】

1.相似三角形中的對(duì)應(yīng)線段比值的推導(dǎo)；

2.相似多邊形的周長比、面積比與相似比關(guān)系的推導(dǎo)； 3.運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題.【教學(xué)難點(diǎn)】

相似三角形性質(zhì)的靈活運(yùn)用，相似三角形周長比、面積比與相似比關(guān)系的推導(dǎo)及運(yùn)用.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

復(fù)習(xí)：1.判定兩個(gè)三角形相似的簡便方法有哪些？

2.在△ABC與△A′B′C′中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm,A′B′=5cm,A′C′=3cm,B′C′=4cm，這兩個(gè)三角形相似嗎？說明理由.如果相似，它們的相似比是多少?

二、思考探究，獲取新知

上述兩個(gè)三角形是相似的，它們對(duì)應(yīng)邊的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′,相似比為AC=2.A?C?相似的兩個(gè)三角形，它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊會(huì)成比例，除此之外，還會(huì)得出什么結(jié)果呢？

一個(gè)三角形內(nèi)有三條主要線段——高線、中線、角平分線，如果兩個(gè)三角形相似，那么這些對(duì)應(yīng)的線段有什么關(guān)系呢？我們先探索一下它們的對(duì)應(yīng)高之間的關(guān)系.同學(xué)畫出上述的兩個(gè)三角形，作對(duì)應(yīng)邊BC和B′C′邊上的高，用刻度尺量一量AD與A′D′的長，AD等于多少呢？與它們的相似比相等嗎？得出結(jié)論：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比??AD

等于相似比.我們能否用說理的方法來說明這個(gè)結(jié)論呢？

△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B=∠B′.∴△ABD∽△A′B′D′,∴

ADAB?=k A?D?A?B?思考：相似三角形面積的比與相似比有什么關(guān)系? 【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生通過演繹推理來證明.歸納：相似三角形面積的比等于相似比的平方.同學(xué)們用上面類似的方法得出：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線的比等于相似比；相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比；相似三角形的周長之比等于相似比.例1 S△AOD.如梯形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，DC2?,已知S△DOC=4，求S△AOB、AB3

【分析】∵DC∥AB,∴△DOC∽△BOA，由相似三角形的性質(zhì)可求出S△AOB、S△AOD.解：∵DC∥AB，∴△DOC∽△BOA，三、運(yùn)用新知，深化理解

1.如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一個(gè)點(diǎn)）發(fā)出的光線照射桌面后，在地面上形成陰影（圖形）的示意圖.已知桌面的直徑為1.2m，桌面距離地面為1m，若燈泡距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為.【教學(xué)說明】運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比是解決本題的關(guān)鍵.2.如圖,△ABC中，BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH的兩個(gè)頂點(diǎn)E、F在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)G、H分別在AC、AB上，且EF∶EH=4∶3，求EF、EH的長.【答案】1.0.81πm 2.HG=9.6cm;EH=7.2cm 【教學(xué)說明】充分運(yùn)用矩形邊長的比來建立方程，可使問題得到解決.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

1.相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.2.相似三角形對(duì)應(yīng)中線、角平分線、高的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.五、教學(xué)反思

本課時(shí)從復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相似三角形的性質(zhì)入手，提出問題繼續(xù)探究相似三角形的有關(guān)性質(zhì)，通過動(dòng)手測(cè)量，猜想出結(jié)論，并加以證明，加深對(duì)知識(shí)的理解，提高學(xué)生分析、歸納、表達(dá)、邏輯推理等能力，并通過對(duì)知識(shí)方法的總結(jié)，培養(yǎng)反思問題的習(xí)慣，形成理性思維.24.相似三角形的應(yīng)用

【知識(shí)與技能】

會(huì)應(yīng)用相似三角形的有關(guān)性質(zhì)，測(cè)量簡單的物體的高度或?qū)挾?自己設(shè)計(jì)方案測(cè)量高度,體會(huì)相似三角形在解決實(shí)際問題中的廣泛應(yīng)用.【過程與方法】

通過利用相似解決實(shí)際問題，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.【情感態(tài)度】

讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的功用.【教學(xué)重點(diǎn)】

構(gòu)建相似三角形解決實(shí)際問題.【教學(xué)難點(diǎn)】

把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，利用相似三角形來解決.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí) 復(fù)習(xí)

1.相似三角形有哪些性質(zhì)？

2.如圖，B、C、E、F是在同一直線上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.（1）△DEF與△ABC相似嗎？為什么？

（2）若DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？（（1）△DEF∽△ABC.（2）AB=5）

二、思考探究，獲取新知

第二題我們根據(jù)兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式計(jì)算出AB的長.人們從很早開始，就懂得應(yīng)用這種方法來計(jì)算那些不能直接測(cè)量的物體的高度或?qū)挾?例1 古代的數(shù)學(xué)家想出了一種測(cè)量金字塔高度的方法：為了測(cè)量金字塔的高度OB，先豎一根已知長度的木棒O′B′，比較木棒的影長A′B′與金字塔的影長AB，即可近似算出

金字塔的高度OB，如果O′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.【分析】因?yàn)樘柟馐腔ハ嗥叫械模椎谩鰽′O′B′∽△AOB，從而求得OB的長度.解：∵太陽光是平行光線即O′A′∥OA, ∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°, ∴△OAB∽△O′A′B′.答：金字塔的高度OB為137米.例2 如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一這一邊上選定點(diǎn)B和C，使AB⊥BC，然后選定點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D，此時(shí)如果測(cè)得BD=120米，DC=60米，EC=50米，求兩岸間的大致距離AB.解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似），∴ABEC=BDCD,解得AB=

BD?EC120?50?=100（米）.CD60答：兩岸間的大致距離為100米.這些例題向我們提供了一些利用相似三角形進(jìn)行測(cè)量的方法.例3 如圖，已知D、E是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，且∠ADE=∠C.求證：AD·AB=AE·AC.【分析】把等積式化為比例式證明.ADAC?,猜想△ADE與△ABC相似，從而找條件加以AEAB

證明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB（兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似）.∴ADAE?, ACAB∴AD·AB=AE·AC.三、運(yùn)用新知，深化理解

1.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，兩岸岸邊各有一排樹，每排樹相鄰兩棵的間隔都是10m，在這岸離開岸邊16m處看對(duì)岸，看到對(duì)岸的兩棵樹的樹干恰好被這岸兩棵樹的樹干遮住，這岸的兩棵樹之間有一棵樹，但對(duì)岸被遮住的兩棵樹之間有四棵樹，這段河的河寬是多少米？

【教學(xué)說明】先由實(shí)際問題建立相似的數(shù)學(xué)模型，可先證得△ABE∽△ACD,再根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例可求出河寬，即線段BC的長.2.亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人用測(cè)量影子的方法測(cè)算其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面方法：如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當(dāng)調(diào)整自己的位置，當(dāng)樓的頂部M，穎穎的頭頂B及亮亮的眼睛A恰好在一條直線上時(shí)，兩人分別標(biāo)定自己的位置C、D，然后測(cè)出兩人之間的距離CD=1.25m，穎穎與樓之間的距離DN=30m（C、D、N在一條直線上），穎穎的身高BD=1.6m，亮亮蹲地觀測(cè)時(shí)眼睛到地面的距離AC=0.8m，你能根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)幫助他們求出住宅樓的高度嗎？

【答案】1.24m 2.20.8m 【教學(xué)說明】過點(diǎn)A作MN的垂線段，構(gòu)造相似三角形.四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，有哪些收獲？還有哪些疑問？

【教學(xué)說明】學(xué)生小組討論，分小組陳述演示，教師歸納板書.五、教學(xué)反思

本節(jié)課以生活實(shí)例為情境，引導(dǎo)學(xué)生探究如何建立相似的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造相似三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（相似）來解決,進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

第五篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)相似三角形知識(shí)精講

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初三數(shù)學(xué)相似三角形知識(shí)精講

（二）重要知識(shí)點(diǎn)介紹： 1.比例線段的有關(guān)概念： 在比例式ab?cd(a：b?c：d)中，a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng)，a、c叫前項(xiàng)，b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。

把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。

2.比例性質(zhì)： ①基本性質(zhì)：ab?cd?ad?bc ②合比性質(zhì)：abab?cdcd?a±bb?c±dd

③等比性質(zhì)：??…?mn(b?d?…?n≠0)?a?c?…?mb?d?…?n?ab

3.平行線分線段成比例定理：

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3。

則ABBC?DEEF，ABAC?DEDF，BCAC?EFDF，…

②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

4.相似三角形的判定：

①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似

②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似

③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似

④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似

⑤平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似

⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似

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5.相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等

②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

③相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

④相似三角形周長的比等于相似比

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方

【典型例題】

例1.（1）在比例尺是1：8000000的《中國行政區(qū)》地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，那么A、B兩城市的實(shí)際距離是__________千米。

（2）小芳的身高是1.6m，在某一時(shí)刻，她的影子長2m，此刻測(cè)得某建筑物的影長是18米，則此建筑物的高是_________米。

解：這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡單。

（1）應(yīng)填600（2）應(yīng)填14.4。

例2.如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式錯(cuò)誤的是：____________

A.C.ADABDEBC??AEACADBDB.CECFEFAB??EAFB

DEBC?ADBD，D.CFCB 分析：由DE∥BC，EF∥AB可知，A、B、D都正確。而不能得到故應(yīng)選C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰是截線、誰是被截

線，C中DEBC很顯然是兩平行線段的比，因此應(yīng)是利用三角相似后對(duì)應(yīng)邊成比

DEBC?ADAB?AEAC例這一性質(zhì)來寫結(jié)論，即

例3.如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD=60°，BP?1，CD?23，求△ABC的邊長

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解：∵△ABC是等邊三角形

∴∠C=∠B=60°

又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°

∠APB=∠1+∠C=∠1+60°

∴∠PDC=∠APB ∴△PDC∽△APB ∴PCAB?CDPB

設(shè)PC=x，則AB=BC=1+x 2?3，∴x?2，1?x1x ∴ ∴AB=1+x=3。

∴△ABC的邊長為3。

例4.如圖：四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長為a的正方形，（1）求證：△AEF∽△CEA（2）求證：∠AFB+∠ACB=45°

分析：因?yàn)椤鰽EF、△CEA有公共角∠AEF 故要證明△AEF∽△CEA 只需證明兩個(gè)三角形中，夾∠AEF、∠CEA的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。

證明：（1）∵四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形

∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90° ∴AE?AEEFAEEF2a，EC?2a

∴?2aaECAE?2，ECAE?2a2a?2

∴?

又∵∠CEA=∠AEF ∴△CEA∽△AEF（2）∵△AEF∽△CEA ∴∠AFE=∠EAC ∵四邊形ABEG是正方形

∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE ∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°

∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG ∴∠AFB+∠ACB=45°

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例5.已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且和兩底平行，交AB于E，交CD于F

求證：OE=OF 證明：∵AD∥EF∥BC ∴ ∴ ∴OEBCOEBC1BC???AEABOEAD1，??OEADAEAB1??EBABEBAB

ABAB?1

?ADOE111?? 同理： BCADOF

∴1OE?1OF

∴OE=OF 從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論： ①AD∥EF∥BC?1AD?1BC?1OE12

②AD∥EF∥BC?OE?OF? ③AD∥EF∥BC? ?1AD?1BC?EF 1OE

112EF?2OF

即1AD?1BC?2EF

這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在AD、BC、EF中，已知任何兩條線段的長度，都可以求出第三條線段的長度。

例6.已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

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求證：AEAF?ACAB

分析：觀察AE、AF、AC、AB在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代

換，通過△ABD∽△ADE，可得：可得到AD2ABAD?ADAE，于是得到AD2?AE·AB，同理 ?ACAB?AF·AC，故可得：AE·AB?AF·AC，即AEAF

證明：在△ABD和△ADE中，∵∠ADB=∠AED=90°

∠BAD=∠DAE ∴△ABD∽△ADE ∴ABAD?ADAE

∴AD2=AE·AB 同理：△ACD∽△ADF 可得：AD2=AF·AC ∴AE·AB=AF·AC ∴AEAF?ACAB

例7.如圖，D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的長。

分析：本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解決。

解：在△ADC和△BAC中

∵∠CAD=∠B，∠C=∠C ∴△ADC∽△BAC ∴ADABDCAC?DCAC?ACBC

又∵AD=6，AD=8，BD=7 ∴?AC7?DC?34

3?DC???AC4 即?

AC3???4?7?DC 解得：DC=9

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例8.如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC于F，過F作FG∥AB交AE于G，求證：AG=AF·FC 證明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCE=90°

又∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE ∴Rt△ADE≌Rt△BCE ∴AE=BE ∵FG∥AB ∴AEBE?AGBF2

∴AG=BF 在Rt△ABC中，BF⊥AC于F ∴Rt△BFC≌Rt△AFB ∴AFBF?FBFC

∴BF2=AF·FC ∴AG2=AF·FC

例9.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。

分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。

解：延長BA、CD交于點(diǎn)P ∵CH⊥AB，CD平分∠BCD ∴CB=CP，且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA：AB=1：2 ∴PA：PB=1：3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC

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∴S△PAD：S△PBC?1：9 ∵S△PCH?12S△PBC

∴S△PAD?S四邊形AHCD?2：7

∵S四邊形AHCD?

21∴S△PAD?6

∴S△PBC?54 ∴S△HBC?

一、填空題： 1.已知a?2b2a?b?9512S△PBC?27，則a：b?__________ 2.若三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長邊是21cm，則其余兩邊之和是__________cm 3.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC=6，則DE=__________；△ADE與△ABC的面積之比為：__________。

4.已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項(xiàng)c為__________cm。

5.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________ 6.已知三個(gè)數(shù)1，2，3，請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是__________ 7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，則EF=__________

8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，則梯形的面積為：__________

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二、選擇題：

1.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3：4，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是__________ A.9：16 C.3：4 __________米 A.10mab42 B.3：2 D.3：7 2.在比例尺為1：m的某市地圖上，規(guī)劃出長a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)的實(shí)際面積是

B.10mab

42C.abm104

D.abm1042

3.已知，如圖，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論：

① ③AEECEFAB??BEFCDEBC

②④

ADBFCECF??ABBCEABF

其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是__________ A.4個(gè)

B.3個(gè)

C.2個(gè)

D.1個(gè)

4.如圖，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點(diǎn)，AD=12，在AB上取一點(diǎn)E，使A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長是__________

A.16 B.14

C.16或14

D.16或9 5.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD，交CB的延長線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是__________

A.△AED∽△ACB C.△BAE∽△ACE

三、解答題：

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B.△AEB∽△ACD D.△AEC∽△DAC 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺(tái)

1.如圖，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的長。

2.如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求證：△ABC∽△CBD。

3.如圖，BE為△ABC的外接圓O的直徑，CD為△ABC的高，求證：AC·BC=BE·CD 4.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE·AD=16，AB?45，（1）求證：CE=EF（2）求EG的長

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[參考答案]

一、填空題： 1.19：13 4.6

2.24 5.12

3.3；1：4 6.只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如：

22、22等。

7.14.4

8.166

二、選擇題： 1.C 2.D

3.B

4.D

5.C

三、解答題：

1.解：∵AD∥EG∥BC ∴在△ABC中，有EGBCABEFBE? 在△ABD中，有 ADAB?AE

∵AE：AB=2：3 ∴BE：AB=1：3 ∴EG?23BC，EF?13AD

∵BC=9，AD=6 ∴EG=6，EF=2 ∴GF=EG－EF=4 2.解：過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵∠CDB=60°，∠CBD=75°

∴∠DBE=30°，∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45°

∴△CBE是等腰直角三角形。

∵AB=3AD，設(shè)AD=k，則AB=3k，BD=2k ∴DE=k，BE? ∴BC?BDBC3k

6k

2k6k6k3k2323 ∴??，BCAB??

∴BDBC?BCAB

∴△ABC∽△CBD 3.連結(jié)EC，新課標(biāo)第一網(wǎng)----免費(fèi)課件、教案、試題下載 新課標(biāo)第一網(wǎng)（004km.cn）--中小學(xué)教學(xué)資源共享平臺(tái)

?? ∵BC?BC

∴∠E=∠A 又∵BE是⊙O的直徑

∴∠BCE=90°

又∵CD⊥AB ∴∠ADC=90°

∴△ADC∽△ECB ∴ACEB?CDBC

即AC·BC=BE·CD 4.（1）∵AD平分∠CAB ∴∠CAE=∠FAE 又∵AE⊥CF ∴∠CEA=∠FEA=90°

又∵AE=AE ∴△ACE≌△AFE（ASA）

∴CE=EF（2）∵∠ACB=90°，CE⊥AD，∠CAE=∠DAC ∴△CAE∽△DAC ∴ACAD?AEAC

∴AC2?AE·AD?16

在Rt△ACB中

BC2?AB2?AC2?(45)2?16?6

4∴BC?8

又∵CE=EF，EG∥BC ∴FG=GB ∴EG是△FBC的中位線

∴EG?

12BC?4

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