第一篇：高數(shù)無(wú)窮小比較的教案

第13、14、15、16課時(shí)：

【教學(xué)目的】

1、掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限；

2、熟記一些常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮??；

3、理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型；

4、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與初等函數(shù)的連續(xù)性?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

1、常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小的推導(dǎo)；

2、等價(jià)無(wú)窮小求極限；

3、函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)）及函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】

判斷間斷點(diǎn)的類(lèi)型。

§1? 7 無(wú)窮小的比較

1.定義：

??0，就說(shuō)?是比?高階的無(wú)窮小，記作???(?)； ??（2）如果lim??，就說(shuō)?是比?低階的無(wú)窮小，??（3）如果lim?c?0，就說(shuō)?是比?同階的無(wú)窮小，??（4）如果limk?c?0,k?0，就說(shuō)?是關(guān)于?的k階的無(wú)窮小，??（5）如果lim?1，就說(shuō)?與?是等價(jià)的無(wú)窮小，記作?~?

?（1）如果lim

這些中重要的是等價(jià)無(wú)窮小，結(jié)合例題要讓學(xué)生特別熟練

1x n的記住一些常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小。

例1.證明：當(dāng)x?0時(shí)，n1?x~2.定理1.?與?是等價(jià)無(wú)窮小的充分必要條件為?????(?)

例2.因?yàn)楫?dāng)x?0時(shí)，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，1?cosx~12x，2n?x??(x)，tanx?x??(x)，arcsinx?x??(x)，所以當(dāng)x?0時(shí)有six1?cosx?12x??(x2)2定理2 設(shè)?~??，?~??，且lim??存在，則 ?????lim?lim

???例3求limx?0(1?x)?1tan2xsinx，例4求lim3，例5求lim

x?0x?0tan3xcosx?1x?3x123注：求極限過(guò)程中，一個(gè)無(wú)窮小量可以用與其等價(jià)的無(wú)窮 小量代替，但只能在因式情況下使用，和、差情況不能用。

教學(xué)小結(jié)與學(xué)法建議

學(xué)完本節(jié)課要理解無(wú)窮小比較的定義，要牢記課上總結(jié)的常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小，等價(jià)無(wú)窮小替換時(shí)求極限的一種重要方法，做題時(shí)要注意正確的替換方法，在加減法中千萬(wàn)不能用等價(jià)無(wú)窮小替換，要結(jié)合例題和習(xí)題掌握牢固和熟練。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)P59：1，2，3，4（1）（2）

作業(yè)：P59：4（3）（4）

第二篇：高數(shù)1.3教案

§１.３ 數(shù)列的極限

函數(shù)研究?jī)蓚€(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而極限則是研究自變量變化時(shí)，因變量的變化趨勢(shì)。

一.極限思想―割圓術(shù)：用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積

圓內(nèi)接正六邊形面積記為A1

十二 A2

二十四 A3

6?2n?1 An?n?N?

A1,A2,?,An,?構(gòu)成一列有次序的數(shù)――數(shù)列.n→大，An?A(圓面積)。不論n如何大，只要n取定, An?A.設(shè)想n??，即內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無(wú)限增加，在這個(gè)過(guò)程中，內(nèi)接正多邊形的面積無(wú)限接近于圓，同時(shí)An→確定的數(shù)值（即圓的面積）數(shù)學(xué)上就稱(chēng)為的極限（n??）。

極限方法是高數(shù)中一個(gè)基本方法。

二.數(shù)列的極限定義――xn?f?n?，D為正整數(shù)。

1.第一種定義:當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，如果xn無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，則稱(chēng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)xn的極限是a.2.“??N”def 當(dāng)???0，不論它多么小，總?N?0,?對(duì)于n?N的一切xn，恒有xn?a??成立，則limxn?a.如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱(chēng)是發(fā)散的。

n?? *1.?是任意給定（任意性）

*2.N與?有關(guān)，隨?給定而選定，一般地?越小，N越大，N大到何種程度，取決于使xn?a??成立時(shí)xn的項(xiàng)數(shù)n的取值，定義中僅要求N有關(guān)，并不一定要找出最小的自然數(shù)N.*3幾何意義：n?N時(shí)，所有的xn都落在?a??,a???內(nèi)，即數(shù)列只有有限個(gè)（最多只有N個(gè)）在區(qū)間之外。*4利用定義不能直接求極限。

三.極限的證明

1例1 證明lim(1?)?1

n??1?n111?1???，?n??1 證：???0，要使1?1?n1?n?111?1?取N?[?1],則當(dāng)n?N時(shí),有1???, 1?n1?n?1 ∴l(xiāng)im(1?)?1

n??1?n limxn?a的證明步驟：

n?? 1)給定???0

2)要使xn?a??,解出N?N(?)3)取N，即N?.4)當(dāng)n?N時(shí)，有xn?a??

5)下結(jié)論。n!例2 證明 limn?0

n??nn!證：???0，要使n?0＜?，nn!nn?111只要n?0＝????

nnnnnn!11取 N?[],則當(dāng)n?N=[]時(shí)，有n?0??

n??n!∴l(xiāng)imn?0 n??n 例3 證明.limn???n?1?n?0 n?1?n??

?證：???0，要使只要111???,n?2

4?n?1?n2n1取N?[2]

則當(dāng)n?N時(shí)有n?1?n??, 4?∴l(xiāng)imn???n?1?n?0.2n?1? 例4 設(shè)q?1，證明等比數(shù)列1,q,q,?,qn?1,?的極限是0。

?? 證：???0???1?∵xn?0?qln?取自然對(duì)數(shù)，解得∴n?1?，lnqln?n?1]，則當(dāng)n?N時(shí)有xn?0?q?? 取N?[1?lnq limqn??n?1?0。

四.收斂數(shù)列的性質(zhì)

1.極限的唯一性

定理１ 數(shù)列不能收斂于兩個(gè)不同的極限。2.有界性

（1）有界概念：數(shù)列xn，若?M?0，對(duì)一切xn有xn?M，稱(chēng)xn有界。

（2）收斂數(shù)列的有界性

定理2 如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。

若xn無(wú)界?xn發(fā)散。xn有界，則不一定收斂。

如xn???1?n?1,即?1,1,?1,1,?,??1?n?1,?

∴數(shù)列有界是收斂的必要條件，非充分條件。3.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系

子數(shù)列：在數(shù)列?xn?中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的次序，得到的一個(gè)數(shù)列為原數(shù)列?xn?的子數(shù)列。xn

k定理3 若?xn?收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。

一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列。?

小結(jié)：本節(jié)介紹了數(shù)列極限的定義，理解利用定義證明數(shù)列的極限，知道收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。

??

第三篇：高數(shù)1.1教案

第一章：函數(shù)與極限

教學(xué)目的 1。正確理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式； 2． 正確理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；

3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念； 4． 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。教學(xué)重點(diǎn) 分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)。教學(xué)難點(diǎn) 有界性，初等函數(shù)的判斷。教學(xué)內(nèi)容： 前言

名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)

教學(xué)過(guò)程一學(xué)年

主要內(nèi)容：一元、多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、矢量代數(shù)、空間解析幾何、無(wú)窮級(jí)數(shù)和微分方程。教學(xué)目的：掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，基本理論，基本計(jì)算方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，辯證的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下一定的基礎(chǔ)，還要為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)的后繼課程準(zhǔn)備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

第一節(jié)：映射與函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱(chēng)為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A?{a1,a2,a3,??}

2)A?{xx的性質(zhì)P}

元素與集合的關(guān)系：a?A

a?A

一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱(chēng)為有限集；不是有限集的集合稱(chēng)為無(wú)限集。常見(jiàn)的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+

元素與集合的關(guān)系：

A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱(chēng)A是B的子集，記作A?B。

如果集合A與集合B互為子集，則稱(chēng)A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱(chēng)A是B的真子集?？占?： ??A2、集合的運(yùn)算

并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}

差集

AB：AB?{x|x?A且x?B}

C全集I、E

補(bǔ)集A：

集合的并、交、余運(yùn)算滿(mǎn)足下列法則： 交換律、A?B?B?A

A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)

(A?B)?C?A?(B?C)

分配律

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)

(A?B)?C?(A?C)?(B?C)對(duì)偶律

(A?B)c?Ac?Bc

(A?B)c?Ac?Bc 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}

3、區(qū)間和鄰域

開(kāi)區(qū)間

(a,b)

閉區(qū)間

?a,b? 半開(kāi)半閉區(qū)間

?a,b???a,b?

有限、無(wú)限區(qū)間

鄰域：U(a)

U(a,?)?{xa???x?a??}

a 鄰域的中心

?鄰域的半徑

去心鄰域

U(a,?)

左、右鄰域

二、映射

1.映射概念

定義

設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中的每一個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f為從X到Y(jié)的映射，記作

f：X?Y

其中y 稱(chēng)為元素x的像，并記作f(x)，即

y?f(x)

注意：1）集合X；集合Y；對(duì)應(yīng)法則f

2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一

3)單射、滿(mǎn)射、雙射

2、映射、復(fù)合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱(chēng)映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)

記為

y?f(x),x?D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用f、g、?

函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

?13)符號(hào)函數(shù) y??x?0?0 ??1x?0?

4)取整函數(shù) y??x?

（階梯曲線(xiàn)）5)分段函數(shù) y??x?0?2x?1?x0?x?1x?1

2、函數(shù)的幾種特性

1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無(wú)界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點(diǎn)比較函數(shù)值

f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）

3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ(chēng)、f(x)與f(?x)關(guān)系決定)

圖形特點(diǎn)(關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱(chēng))

4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))

3、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y?x于對(duì)稱(chēng)

?1(y)?x，稱(chēng)此映射f?1為f函數(shù)的反函數(shù)

復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域?yàn)镈1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運(yùn)算

和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)

5、初等函數(shù)：

1)冪函數(shù)：y?x

2)指數(shù)函數(shù)：y?a

3)對(duì)數(shù)函數(shù) y?loga(x)

4)三角函數(shù)

y?sin(x),y

5)反三角函數(shù)

ax?cos(x),y?tan(x),y?cot(x)

y?arcsin(x)，y?arccox)s(y?arctan(x)y?arccot(x)

以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6)雙曲函數(shù)

ex?e?xex?e?x??

shx

chx

22shxex?e?xthx??xchxe?e?x

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：

y?archx y?arthx

第四篇：高數(shù)1.3教案

高

等

數(shù)

學(xué)

第三次課

教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)的極限，無(wú)窮小，無(wú)窮大 教學(xué)目的：（1）正確了解函數(shù)極限的概念，了解用???（x?x0)與??X（x??)語(yǔ)言驗(yàn)證函數(shù)極限的步驟。

（2）了解無(wú)窮小概念及其與函數(shù)極限的關(guān)系

（3）了解無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，函數(shù)的左右極限與函數(shù)極限的關(guān)系 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義、無(wú)窮小的概念 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限的???定義 教學(xué)關(guān)鍵：函數(shù)極限的???定義 教學(xué)過(guò)程：

一、由數(shù)列極限引入函數(shù)極限

根據(jù)自變量情況的不同，函數(shù)的極限分為兩類(lèi)：

（x??)（1）自變量趨于無(wú)窮大的函數(shù)的極限（2）自變量趨于有限值的函數(shù)極限（x?x0)

二、定義

1、自變量趨于有限值的函數(shù)極限（x?x0)

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無(wú)論多么?。偞嬖谡龜?shù)?，使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0?|x?x0|??時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式|f(x)?A|??，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)（x?x0)時(shí)的極限，記做x?x0limf(x)?A或f(x)?A（當(dāng)x?x0)

說(shuō)明：

1、對(duì)于給定的??0，?不唯一

2、f(x)在x0有無(wú)極限與有無(wú)定義無(wú)關(guān)

（2x?3)?5 例

1、limx?1證明：???0,要使|2x?3?5|??,?|2x?3?5|?2|x?1|，?只要2|x?1|??,即|x?1|?例

2、證明極限limx?4

x?22?2，????0,取???2當(dāng)0?|x?1|??時(shí)有|2x?3?5|??，得證。

證明：??0,要使|x?4|?? 2考慮x?2時(shí)x2的變化趨勢(shì)，故不妨設(shè)1

??只要5|x?2|??,即|x?2〈|

5?????0,取??min{1,},當(dāng)0?|x?2|??時(shí)，有|x2?4|???得證

5左極限與右極限

（1）當(dāng)x從x0的左邊趨于x0時(shí)，f(x)?A，則稱(chēng)A為f(x)當(dāng) x?x0的左極限，記作x?x0?limf(x)?A或f(x0?0)?A

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2013-4-11 徐屹

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（2）當(dāng)x從x0的右邊趨于x0時(shí)，f(x)?A，則稱(chēng)A為f(x)當(dāng) x?x0的右極限，記作x?x0?limf(x)?A或f(x0?0)?A

x?x0?f(x0?0)?A 結(jié)論：limf(x0)?A?f(x0?0）（x??)

2、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限x??的三種情況：x???

（x?0）

x???

（x?0）

x??

（|x|??)

定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無(wú)論它多?。?，總存在著正數(shù)X，使得當(dāng) x滿(mǎn)足不等式|x|>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式

|f(x)?A|??，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x??時(shí)的極限，記作

limf(x)?A，或f(x)?A（當(dāng)x??)

x??定義：設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)x大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)?（無(wú)論它多小），總存在著正數(shù)X，使得當(dāng) x滿(mǎn)足不等式x>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式

|f(x)?A|??，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x???時(shí)的極限，記作

x???limf(x)?A，或f(x)?A（當(dāng)x???)

說(shuō)明：類(lèi)似可以定義函數(shù)的左極限

sinx?0

x??xsinxsinxsinx1?0|??，?|?0|?||?證明：???0,要使| xxx|x|11?只要??,即|x|?

|x|?1sinx????0,取X?當(dāng)|x|?X時(shí)有，|?0|?? 所以得證

?x例：利用極限定義證明lim

三、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、（唯一性）如果limf(x)存在，則此極限唯一。

x?x02、（局部有界性）如果limf(x)=A，那么存在常數(shù)M>0,和??0，使得當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)有x?x0|f(x)|?M

證明：因?yàn)閘imf(x)=A，所以取x?x0??1，則???0,當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)，有|f(x)?A|?1?|f(x)|?|f(x)?A|?|A|?|A|?1 記M=|A|?1，則得證

3、（局部保號(hào)性）如果limf(x)=A而且A>0（或A<0）,那么存在常數(shù)??0，使得當(dāng)

x?x00?|x?x0|??時(shí)，有f(x)>0(或f(x)?0)徐屹

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學(xué)

說(shuō)明：由此定理可以得到更強(qiáng)的結(jié)論：

如果limf(x)=A（A?0），那么就存在著x0的某一去心鄰域U(x0)，當(dāng)x?U(x0)時(shí)，就有x?x0oo|A| 20f(x)?0），而且limf(x)?A，推論：如果x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)?（或那么A?0或（A?0）|f(x)|?x?x0函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系：如果limf(x)存在，{xn}為函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)x?x0列，且滿(mǎn)足：x?x0(n?N?)，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}必收斂，且limf(xn)?limf(x)

n??x?x0證明：設(shè)limf(x)=A，則???0,???0,當(dāng)0?|x?x0|??時(shí)有，|f(x)?A|

n??由假設(shè)，xn?x0,。故當(dāng)n?N時(shí)，0?|x?x0|??，從而|f(xn)?A|??，即limf(xn)?A

n??

四、無(wú)窮小與無(wú)窮大

1、無(wú)窮小：如果函數(shù)f(x)當(dāng)x?x0或（x??)時(shí)的極限為零，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x)時(shí)的無(wú)窮小。0或（x??如x?0時(shí)：x2,sinx,tgx,1?cosx為無(wú)窮小 如x??時(shí)，,e1x?x2為無(wú)窮小

說(shuō)明：1任何一個(gè)非零常數(shù)都不是無(wú)窮小量

2一個(gè)函數(shù)是否為無(wú)窮小量，與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)

定理

1、在自變量的同一變化過(guò)程x?x0或（x??)中，函數(shù)f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A+?，其中?是無(wú)窮小。

2、無(wú)窮大

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義）。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M，總存在正數(shù)?（或正數(shù)X），只要x適合不等式0?|x?x0|??（或|x|?X），對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿(mǎn)足不等式|f(x)|?M，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為當(dāng)x?x0(或x??)時(shí)的無(wú)窮大。注意：無(wú)窮大與很大數(shù)的區(qū)別

3、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

定理：在同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，則

1為無(wú)窮小：反之，如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)f(x)?0，則1為無(wú)窮大 f(x)2例：當(dāng)x?0時(shí)，x?5為無(wú)窮小，1為無(wú)窮大。2x?5說(shuō)明：此定理只使用于同一變化過(guò)程。

徐屹 第 3 頁(yè) 2013-4-11

第五篇：高數(shù)級(jí)數(shù)的教案

第75、76課時(shí)：

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念； 2．熟練掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件； 2．掌握幾何級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念及幾何級(jí)數(shù)；

2、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

【教學(xué)難點(diǎn)】

級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

§12? 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

1．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義

給定一個(gè)數(shù)列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ?? 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?叫做常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)? 簡(jiǎn)稱(chēng)常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)? 記為?un? 即

n?1??

n?1?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)?

2．級(jí)數(shù)的部分和? 作級(jí)數(shù)?un的前n項(xiàng)和sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

n?1i?1?n稱(chēng)為級(jí)數(shù)?un的部分和?

n?1??

3． 級(jí)數(shù)斂散性定義? 如果級(jí)數(shù)?un的部分和數(shù)列{sn}有極限s? 即limsn?s?

n?1n??則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)?un收斂? 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和?

n?1?并寫(xiě)成

s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1?如果{sn}沒(méi)有極限? 則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

n?1?

余項(xiàng)? 當(dāng)級(jí)數(shù)?un收斂時(shí)? 其部分和s n是級(jí)數(shù)?un的和s的近似值? 它們之間的差值

n?1n?1??

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ? 叫做級(jí)數(shù)?un的余項(xiàng)?

n?1?

例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

n?0?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ? ?的斂散性? 其中a?0? q叫做級(jí)數(shù)的公比?

解 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閘imsn?? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0?

當(dāng)|q|>1時(shí)? 因?yàn)閘imsn??? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n??n?0

如果|q|?1? 則當(dāng)q?1時(shí)? sn ?na??? 因此級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n?0??

當(dāng)q??1時(shí)? 級(jí)數(shù)?aqn成為

n?0

a?a?a?a? ? ? ??

當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?

所以sn的極限不存在? 從而這時(shí)級(jí)數(shù)?aqn也發(fā)散?

n?0??a,|q|?1?綜上所述，級(jí)數(shù)?aqn??1?q

n?0?|q|?1???提醒學(xué)生一定要熟練記住上述結(jié)論！

例2 證明級(jí)數(shù)

1?2?3?? ? ??n?? ? ? 是發(fā)散的?

證 此級(jí)數(shù)的部分和為

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n??n(n?1)?

2顯然? limsn??? 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的?

例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)

的收斂性?

提示? un?1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ?

1?22?33?4n(n?1)1?1?1?

n(n?1)nn?

1二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)?kun也n?1n?1??收斂? 且其和為ks?

性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則級(jí)數(shù)?kun也收斂? 且其和為ks?

n?1n?1????

性質(zhì)3 如果?un?s? 則?kun?ks?

n?1n?1???

性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級(jí)數(shù)?(un?vn)也收斂? 且其和為n?1n?1n?1s???

性質(zhì)5 如果?un?s、?vn??? 則?(un?vn)?s???

n?1n?1n?1???

性質(zhì)6

在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)? 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性?

比如? 級(jí)數(shù)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級(jí)數(shù)10000?1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級(jí)數(shù)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質(zhì)7 如果級(jí)數(shù)?un收斂? 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂? 且其和n?1不變?

應(yīng)注意的問(wèn)題? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂? 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂?

例如? 級(jí)數(shù)

（1?1)+（1?1)+? ? ?收斂于零? 但級(jí)數(shù)1?1?1?1?? ? ?卻是發(fā)散的?

推論? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散? 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散?

級(jí)數(shù)收斂的必要條件?

性質(zhì)8 如果?un收斂? 則它的一般項(xiàng)un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

應(yīng)注意的問(wèn)題? 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件?

例

4證明調(diào)和級(jí)數(shù)

n?1?n?1?2?3? ? ? ? ?n? ? ? ? 是發(fā)散的? ?111調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性也必須要記熟！

證： 假若級(jí)數(shù)?1收斂且其和為s? s是它的部分和?

nnn?1n??n???顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??

但另一方面?

s2n?sn?1?1? ? ? ? ?1?1?1? ? ? ? ?1?1?

n?1n?22n2n2n2n21必定發(fā)散?

n?1n?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)?n??小結(jié)

1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其斂散性的概念； 2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)；

教學(xué)方式及教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意的問(wèn)題

在教學(xué)過(guò)程中要注意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念以及重要性質(zhì)，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解，尤其要熟練的記住等比級(jí)數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性。

師生活動(dòng)設(shè)計(jì)P255:3（2）4（1）（2）（3）作業(yè) P255: 3(3)；4(4),(5)

第77、78、79、80、81、82課時(shí)：

【教學(xué)目標(biāo)與要求】

1．熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件。2．熟練掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。3．理解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，記住絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】

1．正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（比較判別法、比值判別法、根值判別法和極限判別法），熟練掌握p級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的條件；

2．交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂 【教學(xué)難點(diǎn)】

1、比較判別法的極限形式；

2、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別。