第一篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例50篇 14 平面的基本性質(zhì)

平面的基本性質(zhì)

教材分析

這篇案例是在初中平面幾何知識的基礎(chǔ)上進一步研究平面的基本性質(zhì)．平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ)，這節(jié)課既是立體幾何的開頭課，又是基礎(chǔ)課，學生對本節(jié)內(nèi)容理解和掌握得如何，是能否學好立體幾何的關(guān)鍵之一．這節(jié)課的教學重點是平面的基本性質(zhì)，難點是平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用及建立空間概念、正確應(yīng)用符號語言．

教學目標

1.在引導學生觀察思考生活中的實例、實物模型等的基礎(chǔ)上，總結(jié)和歸納出平面的基本性質(zhì)，初步學會用數(shù)學的眼光去認識和感受現(xiàn)實的三維空間．

2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述三個公理，能用公理及推論解決有關(guān)問題，提高學生的邏輯推理能力．

3.通過畫圖和識圖，逐步培養(yǎng)學生的空間想象能力，使學生在已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上，建立空間觀念．

任務(wù)分析

這節(jié)課是立體幾何學習的基礎(chǔ)，但學生空間立體感還不強．為此，教學時要充分聯(lián)系生活中的實例，如自行車有一個腳撐等，通過實例，使學生盡快形成對空間的正確認識，建立初步的空間觀念；在聯(lián)系實際提出問題和引入概念時，要合理運用教具，如講解公理1時，可讓學生利用手中的直尺去測桌面是不是平的；講解公理2時可讓學生觀察教室的墻面的關(guān)系等．通過這些方式加強由模型到圖形，再由圖形返回模型的基本訓練，逐步培養(yǎng)學生由圖形想象出空間位置關(guān)系的能力．當用文字和符號描述對象時，必須緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結(jié)合起來，即在圖形的基礎(chǔ)上發(fā)展其他數(shù)學語言．在闡述定義、定理、公式等重要內(nèi)容時，宜先結(jié)合圖形，再用文字和符號進行描述，綜合運用幾種數(shù)學語言，使其優(yōu)勢互補，這樣，就有可能收到較好的效果，給學生留下較為深刻的印象．

教學設(shè)計

一、問題情景

1.利用你手中的直尺，如何判定你課桌的桌面是不是平的． 2.你騎的自行車有一個腳撐就可站穩(wěn)，為什么？

3.矩形硬紙板的一頂點放在講臺面上，硬紙板與講臺面不重合，能否說這兩個平面只有一個公共點？（利用多媒體屏幕呈現(xiàn)問題情景，即在屏幕上出現(xiàn)桌子與直尺、有一個腳撐的自行車、矩形硬紙與講臺面及相應(yīng)的問題．與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密的實物通過多媒體給出，能夠活躍課堂氣氛，激發(fā)學生學習興趣，從而引導學生積極主動的去探究問題）

二、建立模型 1.探究公理（1）問題1的探究

教師提出問題，引發(fā)學生思考：

如何用直尺這個工具來判定你的桌面是不是平的呢？

（把直尺放在物體表面的各個方向上，如果直尺的邊緣與物體的表面不出現(xiàn)縫隙，就可判斷物體表面是平的）

教師點拔：這是判斷物體表面是不是平的的一個常用方法．如果物體表面是平的，把直尺邊緣無論如何放在平面上，則邊緣與平面都沒有縫隙，也就是說，如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．由此，可以歸納出公理1． 公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)（如圖14-1）．

這時我們說，直線在平面內(nèi)或平面經(jīng)過直線．這一性質(zhì)是平面的主要特征．彎曲的面就不是處處具有這種性質(zhì)．

教師進一步分析：為了書寫的簡便，我們把代數(shù)中剛學習過的有關(guān)集合的符號，引入立體幾何中．把點作為基本元素，直線、平面即為“點的集合”，這樣：

點A在直線a上，記作A∈a；

點A在直線a外，記作Aa；

點A在平面α內(nèi)，記作A∈α；

點A在平面α外，記作Aα； 直線a在平面α內(nèi)，記作aα；

直線a在平面α外，記作aα．

α． 公理1用集合符號表示為：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，則有ａ例：證明如果一個三角形的兩邊在一個平面內(nèi)，那么第三邊也在這個平面內(nèi)． 注意：在分析過程中，一定要強調(diào)“要證明直線在平面內(nèi)，則應(yīng)該證明什么？條件中有沒有，沒有如何去創(chuàng)造”．通過這種逆推思路的分析，培養(yǎng)學生良好的思考習慣．

練習：判斷下列命題的真假

① 如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線與平面沒有公共點． ② 過一條直線的平面有無數(shù)多個． ③ 與一個平面沒有公共點的直線不存在．

④ 如果線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB也在平面內(nèi)a．（2）問題2的探究

教師提出問題，引發(fā)學生思考： 自行車有一個腳撐就可站穩(wěn)，為什么？

（因為前輪著地點、后輪著地點、腳撐著地點三點在一個平面上，而且為了站穩(wěn)，前輪著地點、后輪著地點、腳撐著地點三點不共線，因此我們可以推測：過不共線的三點有且只有一個平面）

教師演示：用相交于一點的三根小棍的三個端點作為空間不在一直線上的三個點（如圖14-2），當把作為平面的硬紙板放在上面時，這張作為平面的硬紙板不能再“動”了，因為一動就要離開其中的一個點，硬紙板所在平面就不能確定了，正如同剛才的發(fā)現(xiàn)：過不共線的三點有且只有一個平面．

公理2 經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．（如圖14-3）

公理2也可以簡單地說成：不共線的三點確定一個平面．

教師演示課件：在空間給定不共線的三點A，B，C（如圖14-4），作直線AB，BC，CA，再在直線BC，CA，AB上分別取動點P，Q，R，作直線AP，BQ，CR，讓P，Q，R分別在直線BC，CA，AB上運動，我們可以看到這些直線“編織”成一個平面．

教師出示問題：試舉出一個應(yīng)用公理2的實例．（例如，一扇門用兩個合頁和一把鎖就可以固定了）（3）問題3的探究

教師將矩形硬紙板的一頂點放在講臺面上，讓學生觀察，并同時提出問題：能否說這兩個平面只有一個公共點？

（不能，因為平面是無限延展的，所以這兩個平面應(yīng)該有一條經(jīng)過這公共點的直線）教師點拔：我們只能用有限的模型或圖形來表示無限延展的平面，所以我們有時要看模型或圖形，但又不能受模型或圖形的限制來影響我們對平面的無限延展的了解．這個實例說明了平面具有如下性質(zhì)．

公理3 如果兩個不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線．（如圖14-5）

公理3的數(shù)學符號語言： P∈α，P∈βα∩β＝a，P∈a．

教師進一步概括：為了簡便，以后說到兩個平面，如不特別說明，都是指兩個不重合的平面．如果兩個平面有一條公共直線，則稱這兩個平面相交．這條公共直線叫作這兩個平面的交線．由公理３可見，兩個平面如果有一個公共點，那么就有無窮多個公共點，所有公共點在公共直線上，即它們的交線上；交線上的每一個點都是兩平面的公共點．

練習：判斷下列命題的真假．

①如果兩個平面有兩個公共點A，B，那么它們就有無數(shù)個公共點，并且這些公共點都在直線AB上．

②兩個平面的公共點的集合可能是一條線段． 2.推出結(jié)論

教師明晰：由于兩點確定一條直線，根據(jù)公理2容易得出如下推論： 推論1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面．

已知：點A，直線a，Aa．（如圖14-6）

求證：過點A和直線a可以確定一個平面．

分析：“確定一個平面”包含兩層意思：一是存在，二是唯一．這兩層都應(yīng)證明．（說明：這個證明可以由教師引導學生一起分析完成，但步驟教師一定要板書）證明：存在性．

因為Aa，在a上任取兩點B，C，所以過不共線的三點A，B，C有一個平面α．（公理2）因為B∈α，C∈α，所以a∈α．（公理1）

故經(jīng)過點A和直線a有一個平面α．唯一性．如果經(jīng)過點A和直線a的平面還有一個平面β，那么Ａ∈β，ａ

β，因為B∈ａ，C∈ａ，所以B∈β，B∈β．（公理1）

故不共線的三點A，B，C既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi)． 所以平面α和平面β重合．（公理2）

所以經(jīng)過點A和直線ａ有且只有一個平面．有時“有且只有一個平面”，我們也說“確定一個平面”．

類似地可以得出下面兩個推論：

推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．（如圖14-7）推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．（如圖14-8）

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一個平面內(nèi)．（如圖14-9）

已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C． 求證：直線AB，BC，AC共面． 證法1：因為AB∩AC＝A，所以直線AB，AC確定一個平面α．（推論2）因為B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BCα．（公理1）

因此，直線AB，BC，CA都在平面α內(nèi)，即它們共面．

證法2：因為A直線BC，所以過點A和直線BC確定平面α．（推論1）因為A∈α，B∈BC，所以B∈α． 故AB同理ACα，α，所以AB，AC，BC共面．

證法3：因為A，B，C三點不在一條直線上，所以過A，B，C三點可以確定平面α．（公理2）因為A∈α，B∈α，所以AB同理BCα，AC

α．（公理1）

α，所以AB，BC，CA三直線共面．

思考：在這道題中“且不過同一點”這幾個字能不能省略，為什么？（不能，如果三條直線兩兩相交且過同一點，則這三條直線可以不共面）［練習］

1.三角形、梯形是平面圖形嗎？

2.已知：平面α外有一個△ABC，并且△ABC三條邊所在的直線分別與平面α交于三個點P，Q，R．求證P，Q，R三點共線．

四、拓展延伸

1.四條直線兩兩相交且不過同一點，這四條直線是否一定共面？ 2.兩個平面最多可以把空間分成幾個部分？三個平面呢？四個平面呢？

點 評

這篇案例在教師指導下，從現(xiàn)實生活中選擇和確定問題進行研究，以類似科學家探究的方式使學生主動地解決問題，獲取知識，應(yīng)用知識，并在探究過程中充分利用模型、進行數(shù)學實驗等多種渠道．在問題探究的過程中，學生的空間想象能力、動手能力、解題能力等得到了提高．

這篇案例充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生參與到問題的探究中，讓學生成為“演員”，變成主角，成為解決問題的決策者，而教師只是充當配角．這樣做不僅激發(fā)了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮了學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題．

第二篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例50篇__40-43平面向量

平面向量的數(shù)量積

教材分析

兩個向量的數(shù)量積是中學代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運算律及坐標表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學習．這節(jié)內(nèi)容的教學難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．

教學目標

1.理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

2.通過對數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運用過程，培養(yǎng)學生的科學思維習慣．

任務(wù)分析

兩個向量的數(shù)量積從形式和實質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量．兩個向量的數(shù)量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．

兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實數(shù)之積“ab”．

通過實例理解a·b＝b·c與a＝c的關(guān)系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．

教學設(shè)計

一、問題情景

如圖40-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．

W＝｜s｜｜f｜cosθ．

其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數(shù)量．

問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？

二、建立模型

1.引導學生從“功”的模型中得到如下概念：

已知兩個非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．

由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個實數(shù)．

說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導學生思考討論

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出

（1）設(shè)e是單位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設(shè)a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量數(shù)量積的運算律

·．

1.出示問題：從數(shù)學的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義．回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？

2.運算律及其推導

已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；

當λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）．

證明：如圖40-2，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？

五、應(yīng)用與深化 ［例 題］

1.對實數(shù)a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結(jié)論嗎？為什么？

解：類比完全平方和公式與平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結(jié)論．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，當k＝±時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［練習］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在邊長為2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.當向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．

2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－

＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系．

3.三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？

解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．

解法2：如圖40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，問：O點在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

兩角和與差的余弦

教材分析

這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標表示以及向量數(shù)量積的坐標表示的基礎(chǔ)上，進一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學、電功學、力學、機械設(shè)計與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學生切實學好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學習打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究．同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．

這節(jié)課的重點是兩角差的余弦公式的推導，難點是把公式中的α，β角推廣到任意角．

教學目標

1.通過對兩角差的余弦公式的探究過程，培養(yǎng)學生通過交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識的能力．

2.通過兩角差的余弦公式的推導，體會知識的發(fā)生、發(fā)展的過程和初步的應(yīng)用過程，培養(yǎng)學生科學的思維方法和勇于探索的科學精神．

3.能正確運用兩角差的余弦公式進行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容以問題情景中的問題作為教學的出發(fā)點，利用單位圓中的三角函數(shù)線和平面向量的數(shù)量積的概念推導出結(jié)論，并不斷補充推導過程中的不嚴謹之處．推導過程采用了從特殊到一般逐層遞進的思維方法，學生易于接受．整個過程始終結(jié)合單位圓，以強調(diào)其直觀性．對于公式中的α和β角要強調(diào)其任意性．數(shù)學中要注意運用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學生，盡量讓學生通過觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學生充分體會到成功的喜悅，進一步激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動他們學習的積極性，從而使其自覺主動地學習．

教學過程

一、問題情景

我們已經(jīng)學過誘導公式，如

可以這樣來認識以上公式：把角α轉(zhuǎn)動，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個一般性的問題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個實際問題：

右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長AB＝ａ（m），A是支點，在河的左岸．點C在河的右岸，地勢比A點高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點B離開水平線AD的高度BE？

由圖可知BE＝asin（α＋β）．

我們的問題是：如何用α和β的三角函數(shù)來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？

引導學生分析：事實上，我們在研究三角函數(shù)的變形或計算時，經(jīng)常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α±β的三角函數(shù)？為了解決這類問題，本節(jié)首先來探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．

更一般地說，對于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來呢？

二、建立模型 1.探 究

（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導學生通過特例否定這一猜想．

例如，α＝60°，β＝30°，可以發(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°＝－cos30°＝－，右邊＝cos60°．顯然，對任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．

（3）再引導學生從道理上否定這一猜想．

不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2.分析討論

（1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達式需要哪些已學過的知識？

（2）由三角函數(shù)線的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線段有關(guān)系，那么，這些有向線段之間是否有關(guān)系呢？

3.教師明晰

通過學生的討論，教師引導學生作出以下推理：

設(shè)角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．

過點P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．

過點P作PA⊥OP1，垂足為A，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是

OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4.提出問題，組織學生討論

（1）當α，β，α－β為任意角時，上述推導過程還能成立嗎？

若要說明此結(jié)果是否對任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導學生獨立思考．

事實上，根據(jù)誘導公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應(yīng)用

［例 題］

1.求cos15°及cos105°的值．

分析：本題關(guān)鍵是將15°角分成45°與30°的差或者分解成60°與45°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對于cos105°，可進行類似地處理，cos105°＝cos（60°＋45°）．

2.已知sinα＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應(yīng)先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來求解．

［練習］

1.（1）求sin75°的值．

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化簡cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．

分析：對于（1），可先用誘導公式化sin75°為cos15°，再用例題1中的結(jié)果即可．對于（2），逆向使用公式Cα-β，即可將原式化為cos30°．對于（3），可以把A＋B角看成一個整體，去替換Cα-β中的α角，用B角替換β角．

2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．

（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．

（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．

分析：（1）和（差）公式可看成誘導公式的推廣，誘導公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．

3.化簡cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．

分析：這里可以把角36°＋α與α－54°均看成單角，進而直接運用公式Cα-β，不必將各式展開后再計算．

分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．

四、拓展延伸

1.由任意角三角函數(shù)定義，可知角α，β的終邊與單位圓交點的坐標均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導公式Cα-β呢？

教師引導學生分析：在平面直角坐標系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有

＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識來推·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．

由向量的數(shù)量積的坐標表示，有

·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

于是，有

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導才是正確的．

由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導是否正確．

當α－β為任意角時，由誘導公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．

若θ∈［0，π］，則·＝cosθ＝cos（α－β）；

若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．

于是，對于任意角α，β都有

2.教師提出進一步拓展性問題：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達式．

兩角和與差的正弦

教材分析

在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當，將成為學生學習的一種負擔．針對這個特點，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時，通過練習使學生能夠熟練地運用這些公式．當然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過誘導公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意

－（α＋β）］角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［

－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．

任務(wù)分析

這節(jié)課計劃采用啟發(fā)引導和講練結(jié)合的教學方式，對三角函數(shù)中的每一個公式要求學生會推導，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)．在課堂教學中，將采用循序漸進的原則，設(shè)計有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生良好的思維習慣．在教學中，及時提醒學生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點是準確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用．

教學目標 1.能用兩角差的余弦公式導出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．

2.能運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．

3.通過公式的推導過程，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學中常用的換元、整體代換等思想方法．

教學過程

一、問題情景

如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75°角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準備多長的鋼絲繩？

設(shè)電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75°角可表示成兩個特殊角45°與30°的和，那么sin75°的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？

二、建立模型 1.探 究

已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導以上公式的方法并不是唯一的，其他推導方法由學生課后自己探索． 3.分析公式的結(jié)構(gòu)特征

Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號的差異．

三、解釋應(yīng)用 ［例題一］

已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．

分析：本題主要訓練公式Sα-β與Sα+β的使用．

由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

［練習一］

分析：1.（1）強調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知條件求出cos（30°＋α）．

2.應(yīng)注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C＝π－（A＋B），再由誘導公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．

3.應(yīng)注意分析角之間的關(guān)系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示．

4.該題是在已有知識的基礎(chǔ)上進一步深化，引導學生分三步進行：（1）求出α＋β角的某個三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．

已知向量的坐標． ＝（3，4），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45°到′→的位置，求點P′（x′，y′）解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．

∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．

已知向量＝（4，3），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)60°，－135°到

1，2的位置，求點P1，P2的坐標．

［例題三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．

（1）y＝cosｘ－sinx．

（2）y＝3sinx＋4cosx．

（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導時，要關(guān)注解題過程，以便讓學生充分理解輔助角φ滿足的條件．

（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標的點P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為φ，則

［練習三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．

（2）y＝sinx－sin（x＋）

（3）已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函數(shù)式．

四、拓展延伸

出示兩道延伸性問題，引導學生獨立思考，然后師生共同解決．

1.已知三個電流瞬時值的函數(shù)式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I＝I1＋I2＋I3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期．

2.已知點P（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)θ角到點P′（x′，y′）（如圖42-2），求證：

三角形邊和角關(guān)系的探索

教材分析

初中已研究過解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質(zhì)．當然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．

這節(jié)課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實際問題．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在初中對三角形有了初步認識的基礎(chǔ)上，進一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對正弦定理的推導，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進，學生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問題．

教學目標

1.理解正、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 2.能運用正、余弦定理解斜三角形．

3.理解并初步運用數(shù)學建模的思想，結(jié)合解三角形的知識，解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題．

教學設(shè)計

一、問題情景

1.A，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖43-1），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？

2.如圖43-2，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)，設(shè)計時應(yīng)計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m，AB與水平的夾角為6°20′，AC長為1.40m，計算BC的長．（精確到0.01m）

問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？

二、建立模型

1.教師引導學生分析討論

在問題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的長．

組織學生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長度．（讓學生思考，允許有不同的解法）

結(jié)論：如圖40-3，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．

由此可得AC·sinC＝AB·sinB．

又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．

教師明晰：

（1）當△ABC為直角三角形時，由正弦函數(shù)的定義，得

（2）當△ABC為銳角三角形時，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理

.（3）當△ABC為鈍角三角形時，結(jié)論是否仍然成立？引導學生自己推出．（詳細給出解答過程）

事實上，當∠A為鈍角時，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．

根據(jù)誘導公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．

思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問題？ 2.組織學生討論問題情景（2）

這一實際問題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝1.95，AC＝1.4，夾角為6°20′，求BC的長． 組織學生討論：能用什么方法求出BC？（學生有可能有多種不同的解法）

教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那么怎樣去計算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點間的距離公式）

如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．

∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：

余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？ 3.進一步的問題

勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關(guān)系，那么這兩個定理之間存在怎樣的關(guān)系？如何利用余弦定理來判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）

分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問題，可由三角形內(nèi)角和定理先求出第三個角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．

（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對角，于是可用正弦定理求出b邊的對角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個值（如圖43-8），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學生在解題時容易丟掉一組解，應(yīng)引導學生從圖形上尋找漏掉的解．

2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）

（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精確到1′）．

分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．

3.AB是底部B不可到達的建筑物，A為建筑物的最高點．設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達的，所以不能直接測量出建筑物的高．由解直角三角形的知識，只要能知道一點C到建筑物頂部A的距離CA，并能測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高．為了求出CA的長，可選擇一條水平基線HG（如圖43-9），使H，G，B三點在同一條直線上．在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，設(shè)CD＝ａ，測角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習］

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到0.1°，邊長精確到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

＋h．，sin（α

這涉及比值的連等式．請?zhí)剿鞑⒀芯渴且粋€什么樣的量，并加以證明．

2.在△ABC中，已知三邊的長為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精確到1°）

分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但當B≈149°時，A＋B＝187°，這與A，B為三角形內(nèi)角矛盾，故B角只能取31°． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會不會出現(xiàn)無解的情形呢？

（1）當A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無解），并且由sinB＝計算B時，只能取銳角，因此，只有一解，如圖43-10．

（2）當A為銳角時，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖40-11．

計算B時，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無解．如圖43-12．

③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個銳角和一個鈍角的值，如圖43-14．

思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時，它們的解會是怎樣的？

第三篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例50篇 38平面向量的基本定理

平面向量的基本定理

教材分析

平面向量的基本定理是說明同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標表示的基礎(chǔ)，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據(jù)．這節(jié)內(nèi)容以共線向量為基礎(chǔ)，通過把一個向量在其他兩個向量上的分解，說明了該定理的本質(zhì)．教學時無須嚴格證明該定理，只要讓學生弄清定理的條件和結(jié)論，會用該定理就可以了．

向量的加法、減法、實數(shù)與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，也叫“向量的初等運算”．由平面向量的基本定理，知任一平面內(nèi)的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運算，有時能很容易證明幾何命題．因此，向量是數(shù)學中證明幾何命題的有效工具之一．為降低難度，目前要求用向量表示幾何關(guān)系，而不要求用向量證明幾何命題．

平面向量的基本定理的理解是學習的難點，而應(yīng)用基本向量表示平面內(nèi)的某一向量是學習的重點．

教學目標

1.了解平面向量基本定理的條件和結(jié)論，會用它來表示平面圖形中任一向量，為向量坐標化打下基礎(chǔ)．

2.通過對平面向量基本定理的歸納、抽象和概括，體驗數(shù)學定理的產(chǎn)生、形成過程，提升學生的抽象和概括能力．

3.通過對平面向量基本定理的運用，增強向量的應(yīng)用意識，進一步體會向量是處理幾何問題的強有力的工具之一．

任務(wù)分析

這節(jié)課是在學生熟悉向量加、減、數(shù)乘線性運算的基礎(chǔ)上展開的，為了使學生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學時，常應(yīng)用構(gòu)造式的作圖方法，同時采用師生共同操作，增強直觀認識，歸納和總結(jié)出任意向量與基本向量的線性組合關(guān)系，并且通過適當?shù)木毩?，使學生進一步認識和理解這一基本定理．

教學設(shè)計

一、問題情景 1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，試用ｂ，ｂ來表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，試用ｃ，ｄ表示向量，.2.給定平面內(nèi)任意兩個不共線向量e1，e2，試作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面內(nèi)的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.學生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量減法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）設(shè)AC，BD交于點O，由向量加法，知

2.師生總結(jié)

以ａ，ｂ為基本向量，可以表示兩對角線的相應(yīng)向量，還可表示一邊對應(yīng)的向量估計任一向量都可以寫成ａ·ｂ的線性表達．

任意改成另兩個不共線向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教師啟發(fā)，通過了e1＋2e2，e1－2e2的作法，讓學生感悟通過改變λ1，λ2的值，可以作出許多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基礎(chǔ)上，可自然形成一個更理性的認識———平面向量的基本定理．

4.教師明晰

如圖，設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，ａ是這一平面內(nèi)的任一向量．

在平面內(nèi)任取一點O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N．這時有且只有實數(shù)λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是說任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，從而有

平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么該平面內(nèi)的任一向量ａ，存在唯一的一對實數(shù)λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我們把不共線向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，有序?qū)崝?shù)對（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐標．

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知向量e1，e2（如圖38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或減法運算進行．

2.如圖38-4，解：∵，不共線，＝t（t∈R），用，表示．

［練習］

1.已知：不共線向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共線向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求實數(shù)λ1，λ2． 3.已知：基底｛a，b｝，求實數(shù)ｘ，ｙ滿足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，點G是△ABC的重心，試用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF為正六邊形，＝ａ，．

＝ｂ，試用a，b表示向量6.已知：M是平行四邊形ABCD的中心，求證：對于平面上任一點O，都有

.四、拓展延伸

點 評

這篇案例由向量加、減、數(shù)乘運算過渡到平面向量的基本定理，引入比較自然，合理，使學生由感性認識上升為理性認識這種既重結(jié)果又重過程的教學理念符合新課程標準的精神．同時，有關(guān)向量基本定理的應(yīng)用的例、習題的設(shè)計也較有梯度和力度，強化了知識的應(yīng)用，為提高學生的分析問題和解決問題的能力打下了一定的基礎(chǔ)．如果能把多媒體教學等信息技術(shù)用于向量的分解，那么會使問題更為直觀，進而學生更易于接受．

第四篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例50篇 50 基本不等式

基本不等式：

教材分析

“”的證明學生比較容易理解，學生難理解的是“當且僅當ａ＝ｂ時取?＝?號”的真正數(shù)學內(nèi)涵，所謂“當且僅當”就是“充分必要”．

教學重點是定理及其應(yīng)用，難點是利用定理求函數(shù)的最值問題，進而解決一些實際問題．

教學目標

1.理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們積的2倍這一重要不等式的證明，并能從幾何意義的角度去解釋，形成數(shù)形結(jié)合的完美統(tǒng)一．

2.理解兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明，及其幾何意義，會用這兩個重要不等式解決簡單的實際應(yīng)用題．

3.通過定理的證明培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，通過定理的應(yīng)用揭示數(shù)學的應(yīng)用價值．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容從實際問題情境展開探討，“如要圍成面積為16ｍ2的一個矩形，所需繩子最短是多少？即設(shè)長為ｘ，寬為，則周長為l＝2ｘ＋2×，求當ｘ取何值時，l最?。弊寣W生去猜測，去思考，充分調(diào)動學生的積極性，激發(fā)學生的想象和猜想能力．當學生猜想它應(yīng)為正方形這一結(jié)論時，教師適時引導如何去證明猜想的正確性，激發(fā)學生的求知欲望，從而達到由問題到結(jié)論的證明，開闊學生的思路，陶冶學生的情操．

教學設(shè)計

一、問題情境 教師出示問題，引導學生分析、思考：某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800ｍ，深為3ｍ．如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？

3二、建立模型

1.通過比較ａ＋ｂ與2ａｂ的大小，引入重要不等式． ∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴當ａ≠ｂ時，（ａ－ｂ）＞0； 當ａ＝ｂ時，（ａ－ｂ）2＝0．

即（ａ－ｂ）2≥0，從而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ． 2.結(jié)論明晰

定理1 如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（當且僅當ａ＝ｂ時，取“＝”號）．

22思考：對于定理1和定理2，當且僅當ａ＝ｂ時取“＝”號的具體含義是什么？

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］ 1.已知ｘ，ｙ都是正數(shù)，求證：

小結(jié)；上述結(jié)論是我們用定理求最值的依據(jù)，可簡述為和為定值積最大，積為定值和最?。?/p>

2.設(shè)法解決本節(jié)課開始提出的問題．

因此，當水池的底面是邊長為40ｍ的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價為297600元．

3.0求證：在直徑為ｄ的圓內(nèi)接矩形中，面積最大的是正方形，并且這個正方形的面積等于ｄ． 22.設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840ｃｍ2，畫面的寬與高的比為λ（λ＜１），畫面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．問：怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？

答：當畫面高為88ｃｍ、寬為55ｃｍ時，所用紙張面積最?。?/p>

3.用一段長為L（ｍ）的籬笆圍成一個邊靠墻的矩形菜園，問：當這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

上述兩種解答的答案不同，哪一種方法是錯誤的，為什么？

四、拓展延伸

點 評

這篇案例由實際問題引入課題，既自然，又能引起學生的興趣，激發(fā)起學生的求知欲望，為本節(jié)重點的突破打下良好的基礎(chǔ)．由學生已有知識歸納和總結(jié)得到這節(jié)課的兩個定理，使學生易于理解和接受．由典型例題的證明，歸納出一般結(jié)論，培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力．由練習的變形培養(yǎng)了學生靈活處理問題的能力．對實際問題的解決體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用價值．重要不等式靈活變形的使用不僅加深了對推理的理解，同時突破了對本節(jié)難點“等號成立的條件”的理解．“拓展延伸”給學生以發(fā)揮的空間，啟發(fā)學生由已知到未知的探索能力． 總之，關(guān)注基本不等式與現(xiàn)實的聯(lián)系是這篇案例的突出特點，“問題驅(qū)動式”的設(shè)計是這篇案例成功的關(guān)鍵，而“從問題出發(fā)構(gòu)建模型，反過來，又利用建立的模型解決開始的問題”的設(shè)計又可以使學生領(lǐng)略到學習數(shù)學的成功和勝利喜悅．

第五篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例50篇 19平面與平面垂直

平面與平面垂直

教材分析

兩個平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容．通過這節(jié)的學習可以發(fā)現(xiàn)：直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了一套完整的證明體系，而且可以實現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導高維位置關(guān)系，利用高維位置關(guān)系也能推導低維位置關(guān)系，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位．這節(jié)課的重點是判定定理及性質(zhì)定理，難點是定理的發(fā)現(xiàn)及證明．

教學目標

1.掌握兩平面垂直的有關(guān)概念，以及兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，能運用概念和定理進行有關(guān)計算與證明．

2.培養(yǎng)學生的空間想象能力，邏輯思維能力，知識遷移能力，運用數(shù)學知識和數(shù)學方法觀察、研究現(xiàn)實現(xiàn)象的能力，整理知識、解決問題的能力．

3.通過對實際問題的分析和探究，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生認真參與、積極交流的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神．

任務(wù)分析

判定定理證明的難點是畫輔助線．為了突破這一難點，可引導學生這樣分析：在沒有得到判定定理時，只有根據(jù)兩平面互相垂直的定義來證明，那么，哪個平面與這兩個平面都垂直呢？對性質(zhì)定理的引入，不是采取平鋪直敘，而是根據(jù)數(shù)學定理的教學是由發(fā)現(xiàn)與論證這兩個過程組成的，所以應(yīng)把“引出命題”和“猜想”作為本部分的重要活動內(nèi)容．

教學設(shè)計

一、問題情境

1.建筑工人在砌墻時，常用一根鉛垂的線吊在墻角上，這是為什么？（為了使墻面與地面垂直）

2.什么叫兩個平面垂直？怎樣判定兩平面垂直，兩平面垂直有哪些性質(zhì)？

二、建立模型

如圖19-1，兩個平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點B，過點B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD，BE⊥CD．于是，直線CD⊥平面ABE．

容易看到，∠ABE為直角時，給我們兩平面垂直的印象，于是有定義：

如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，并且這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．

平面α，β互相垂直，記作α⊥β． ［問 題］

1.建筑工人在砌墻時，鉛垂線在墻面內(nèi)，墻面與地面就垂直嗎？

如圖19-1，只要α經(jīng)過β的垂線BA，則BA⊥β，∴BA⊥BE，∠ABE＝Rt∠．依定義，知α⊥β．于是，有判定定理：

定理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直．

2.如果交換判定定理中的條件“BA⊥β”和結(jié)論“α⊥β”．即是從平面與平面垂直出發(fā)，能否推出直線與平面垂直？，也就平面α內(nèi)滿足什么條件的直線才能垂直于平面β呢？讓學生用教科書、桌面、筆擺模型．通過模型發(fā)現(xiàn)：當α⊥β時，只有在一個平面（如α）內(nèi)，垂直于兩平面交線的直線（如BA）才會垂直于另一個平面（如β）．

于是，有定理：

定理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．

（先分析命題的條件和結(jié)論，然后畫出圖形，再結(jié)合圖形，寫出已知，求證）已知：如圖，α⊥β，α∩β＝CD，AB

α，AB⊥CD，求證：AB⊥β．

分析：要證AB⊥β，只需在β內(nèi)再找一條直線與ＡＢ 垂直，但β內(nèi)沒有這樣的直線，如何作出這條直線呢？因為α⊥β，所以可根據(jù)二面角的定義作出這個二面角的平面角．在平面β內(nèi)過點B作BE⊥CD．因為AB⊥CD，所以∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，并且∠ABE＝90°，即AB⊥BE．又因為CD

三、解釋應(yīng)用 ［例 題］

1.已知：如圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD長．

β，BE

β，所以AB⊥β．

解：連接BC． 因為AC⊥AB，所以AC⊥β，AC⊥BD． 因為BD⊥AB，所以BD⊥α，BD⊥BC． 所以，△CBD是直角三角形．

在Rt△BAC中，BC＝＝5（cm），在Rt△CBD中，CD＝＝13（cm）． 2.已知：在Rt△ABC中，AB＝AC＝ａ，AD是斜邊BC的高，以AD為折痕使∠BDC折成直角（如圖19-4）．

求證：（1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）∠BAC＝60°．

證明：（1）如圖19-4（2），因為AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC． 因為平面ABD和平面ACD都過AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC．（2）如圖19-4（1），在Rt△BAC中，因為AB＝AC＝ａ，所以BC＝ａ，BD＝DC＝．

如圖19-4（2），△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝BD＝2×＝ａ．

得AB＝AC＝BC．所以∠BAC＝60°． ［練習］

1.如圖19-5，有一個正三棱錐體的零件，P是側(cè)面ACD上一點．問：如何在面ACD上過點P畫一條與棱AB垂直的線段？試說明理由．

2.已知：如圖19-6，在空間四邊形ABCD中，AC＝AD，BC＝BD，E是CD 的中點． 求證：（1）平面ABE⊥平面BCD．（2）平面ABE⊥平面ACD．

四、拓展延伸

能否將平面幾何中的勾股定理推廣到立體幾何學中去？試寫一篇研究性的小論文．

點 評

這篇案例結(jié)構(gòu)完整，構(gòu)思新穎．案例開始以一個生活中常見的例子引入問題，得到了兩平面垂直的定義．還是這個例子，改變了問法又得到了兩平面垂直的判定定理．即把學科理論和學生的生活實際相結(jié)合，激起了學生探索問題的熱情．對性質(zhì)定理和判定定理的引入和證明也不是平鋪直敘，而是充分展現(xiàn)了定理的發(fā)現(xiàn)和形成過程．通過學生的認真參與，師生之間的民主交流，培養(yǎng)了學生的主體意識和樂于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神．