1．(2015·課標Ⅱ，5，易)設(shè)函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝()
A．3
B．6
C．9
D．12
【答案】 C ∵log212＞1，∴f(log212)＝2log212－1＝21＋log23＝2×3＝6.∴原式＝1＋log24＋6＝9.2．(2015·湖北，6，中)已知符號函數(shù)sgn
x＝f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，則()
A．sgn[g(x)]＝sgn
x
B．sgn[g(x)]＝－sgn
x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
【答案】 B?、佼?dāng)x<0時，∵a＞1，∴x>ax，∴f(x)－f(ax)>0，∴sgn[g(x)]＝1.②當(dāng)x＝0時，x＝ax，f(x)－f(ax)＝0.∴sgn[g(x)]＝0.③當(dāng)x>0時，∵a＞1，∴ax>x，∴f(x)－f(ax)<0.∴sgn[g(x)]＝－1.∴sgn[g(x)]＝
∴sgn[g(x)]＝－sgn
x.3．(2015·山東，10，中)設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()
A.B．[0，1]
C.D．[1，＋∞)
【答案】 C 令f(a)＝t.則由f(f(a))＝2f(a)得
f(t)＝2t.由f(x)＝可知
t≥1.∴f(a)≥1?或?≤a<1或a≥1?a≥.故選C.4．(2015·浙江，7，難)存在函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈R都有()
A．f(sin
2x)＝sin
x
B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1|
D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
【答案】 D 方法一：∵f(x2＋2x)＝|x＋1|，∴f(x2＋2x)＝＝.∴存在函數(shù)f(x)＝，對任意x∈R都有f(x2＋2x)＝|x＋1|.方法二：A，B，C均舉出反例不符合函數(shù)的概念，而D項，f(t2－1)＝t(t≥0)?f(x)＝，符合題意．
5．(2015·湖北，10，難)設(shè)x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若存在實數(shù)t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同時成立，則正整數(shù)n的最大值是()
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】 B 由題可知：
當(dāng)n＝1時，1≤t<2.當(dāng)n＝2時，2≤t2<3，即≤t<滿足條件．
當(dāng)n＝3時，3≤t3<4，即≤t<滿足條件．
當(dāng)n＝4時，4≤t4<5，即≤t<滿足條件．
當(dāng)n＝5時，5≤t5<6，即≤t<，而>.所以正整數(shù)n的最大值為4.6．(2015·浙江，10，易)已知函數(shù)f(x)＝則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
【解析】 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.當(dāng)x≥1時，f(x)＝x＋－3≥2－3，當(dāng)x<1時，x2＋1≥1，∴l(xiāng)g(x2＋1)≥0.綜上，f(x)min＝2－3.【答案】 0 2－3
7．(2015·山東，14，中)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝________．
【解析】 當(dāng)0 ∴a＋b＝－.當(dāng)a>1時，解得b＝－1，∴＝0，無解．綜上a＋b＝－.【答案】?。?/p> 1．(2014·江西，2，易)函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為() A．(0，1) B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】 C 要使函數(shù)有意義，需滿足x2－x>0，解得x<0或x>1，故選C.2．(2013·陜西，1，易)設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)＝的定義域為M，則?RM為() A．[－1，1] B．(－1，1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】 D 由1－x2≥0得－1≤x≤1，故?RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 3．(2012·江西，3，易)若函數(shù)f(x)＝則f(f(10))＝() A．lg B．2 C．1 D．0 【答案】 B ∵f(10)＝lg 10＝1，∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故選B.4．(2014·江西，3，易)已知函數(shù)f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，則a＝() A．1 B．2 C．3 D．－1 【答案】 A 由已知條件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故選A.5．(2012·安徽，2，易)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是() A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x 【答案】 C 選項A，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)； 選項B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)； 選項C，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)； 選項D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)． 6．(2014·福建，7，中)已知函數(shù)f(x)＝則下列結(jié)論正確的是() A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是增函數(shù) C．f(x)是周期函數(shù) D．f(x)的值域為[－1，＋∞) 【答案】 D 方法一：由x>0得，x2＋1>1，當(dāng)x≤0時，cos x∈[－1，1]，故f(x)∈[－1，＋∞)，選D.方法二(數(shù)形結(jié)合法)：作出f(x)的圖象如圖所示，可排除A，B，C，故D正確． 7．(2014·上海，18，中)設(shè)f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為() A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2] 【答案】 D ∵當(dāng)x≤0時，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0；當(dāng)x>0時，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”．要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范圍是0≤a≤2.故選D.8．(2014·湖北，14，難)設(shè)f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數(shù)，且f(x)>0，對任意a>0，b>0，若經(jīng)過點(a，f(a))，(b，－f(b))的直線與x軸的交點為(c，0)，則稱c為a，b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)，記為Mf(a，b)．例如，當(dāng)f(x)＝1(x>0)時，可得Mf(a，b)＝c＝，即Mf(a，b)為a，b的算術(shù)平均數(shù)． (1)當(dāng)f(x)＝________(x>0)時，Mf(a，b)為a，b的幾何平均數(shù)； (2)當(dāng)f(x)＝________(x>0)時，Mf(a，b)為a，b的調(diào)和平均數(shù).(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可) 【解析】 設(shè)P(a，f(a))，Q(b，－f(b))，則直線PQ的方程為y－f(a)＝(x－a)． 令y＝0得c＝.(1)令幾何平均數(shù)＝?f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝(x>0)； (2)令調(diào)和平均數(shù)＝?＝，可取f(x)＝x(x>0)． 【答案】(1)(2)x(或填(1)k1(2)k2x，其中k1，k2為正常數(shù)均可) 考向1 求函數(shù)的定義域 常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求 (1)分式函數(shù)中分母不等于零． (2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}． (5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x定義域均為R.(6)y＝logax(a＞0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)． (7)y＝tan x的定義域為.(1)(2014·山東，3)f(x)＝的定義域為() A.B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪[2，＋∞) (2)(2015·河南鄭州一模，13)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，2]，則函數(shù)g(x)＝的定義域是________． 【解析】(1)要使函數(shù)有意義，必須 由①得(log2x)2>1，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0 【答案】(1)C(2)[0，1) 【點撥】 解題(1)的關(guān)鍵是正確利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式log2x>1和log2x<－1；解題(2)時易誤認為0≤x≤2，從而0≤2x≤4，出現(xiàn)0≤x<1或1 求函數(shù)定義域的三種常考類型及求解策略 (1)已知函數(shù)的解析式：構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解． (2)抽象函數(shù)： ①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出． ②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域． (3)實際問題：既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義，又要考慮實際問題的要求． (1)求定義域時對于解析式先不要化簡； (2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式． (1)(2012·江西，2)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝定義域相同的函數(shù)為() A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ (2)若典型例題1(2)改為函數(shù)f(x2－1)的定義域為[0，2]，則函數(shù)g(x)＝f(2x)的定義域為________． (1)【答案】 D 函數(shù)y＝的定義域為{x|x≠0，x∈R}，與函數(shù)y＝的定義域相同，故選D.(2)【解析】 ∵0≤x≤2，∴－1≤x2－1≤3，從而函數(shù)f(x)的定義域為[－1，3]． 由－1≤2x≤3，得－≤x≤，所以函數(shù)f(2x)的定義域為.【答案】 考向2 求函數(shù)的解析式 函數(shù)的解析式 (1)函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法． (2)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方法，對于不是y＝f(x)的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式． (3)求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)的定義域的變化，特別是利用換元法求出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯誤． (1)(2014·浙江，6)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0 A．c≤3 B．3 C．6 D．c>9 (2)(2013·安徽，14)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝________.【解析】(1)由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，解得∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c.由0 ＝－x(x＋1)． 【答案】(1)C(2)－x(x＋1) 【點撥】 解題(1)的關(guān)鍵是利用f(－1)＝f(－2)＝f(－3)求出a，b的值，再結(jié)合不等關(guān)系0 求函數(shù)解析式的常見方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可． (2)換元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)時，往往可設(shè)h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元，求出f(t)的解析式，再將t替換為x即可． (3)轉(zhuǎn)化法：已知某區(qū)間上的解析式，求其他區(qū)間上的解析式，將待求變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，利用函數(shù)滿足的等量關(guān)系間接獲得其解析式． (4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f(或f(－x))的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另一個方程構(gòu)成方程組求出f(x)． (2015·四川成都檢測，12)如果f＝，則當(dāng)x≠0，且x≠1時，f(x)＝________． 【解析】 方法一：令＝t，∴x＝，f(t)＝＝，∴f(x)＝.方法二：f＝＝，用x替換，∴f(x)＝.【答案】 考向3 分段函數(shù)及其應(yīng)用 1．分段函數(shù)的概念 (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)法則不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集． 2．解決分段函數(shù)問題的注意事項 分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，處理分段函數(shù)問題時，首先確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間，再選取相應(yīng)的對應(yīng)法則，離開定義域討論分段函數(shù)是毫無意義的． 分段函數(shù)是為了研究問題的需要而進行的分類討論，相當(dāng)于求“并集”，不可與方程組或不等式組的求“交集”相混淆． (1)(2014·四川，12)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1，1)時，f(x)＝則f＝________． (2)(2014·浙江，15)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】(1)∵f(x)是周期為2的函數(shù)，∴f＝f＝f＝－4×＋2＝1.(2)由題意得或 解得f(a)≥－2.由或 解得a≤.【答案】(1)1(2)(－∞，] 【點撥】 解題(1)的關(guān)鍵是借助周期函數(shù)將求f轉(zhuǎn)化為求f的值；解題(2)的關(guān)鍵是分清自變量的取值范圍與所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系． 分段函數(shù)兩種題型的求解策略 (1)根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值 首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解． (2)已知函數(shù)值(或函數(shù)值的范圍)求自變量的值(或范圍) 應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(或范圍)是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍． 當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應(yīng)分類討論． (2015·山東臨沂調(diào)研，5)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實數(shù)a等于() A.B.C．2 D．9 【答案】 C ∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2.∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝22＋2a＝4a，∴a＝2.故選C.1．(2015·安徽宣城三模，3)函數(shù)f(x)＝的定義域是() A．[3，＋∞) B.C.D．(－∞，－3) 【答案】 A 由得 所以x≥3，即定義域為[3，＋∞)． 2．(2015·河南南陽質(zhì)檢，3)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于() A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】 A 因為f(1)＝21＝2，且f(a)＋f(2)＝0，所以f(a)＝－2.因為x>0時，2x>1，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.3．(2015·河北唐山統(tǒng)考，5)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當(dāng)x<0時，f(x)＝() A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 【答案】 C 當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)． ∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)． 4．(2014·山東萊蕪一模，8)已知函數(shù)f(x)的定義域為[3，6]，則函數(shù)y＝的定義域為() A.B.C.D.【答案】 B 要使函數(shù)y＝有意義，需滿足??≤x＜2.故選B.5．(2014·福建廈門一模，7)已知函數(shù)f(x)＝則方程f(x)＝1的解是() A.或2 B.或3 C.或4 D．±或4 【答案】 C 當(dāng)x∈[－1，2]時，由3－x2＝1?x＝或－(舍去)； 當(dāng)x∈(2，5]時，由x－3＝1?x＝4.綜上所述，f(x)＝1的解為或4.6．(2015·山東青島質(zhì)檢，9)設(shè)函數(shù)f(x)＝那么f(2 015)＝() A．27 B．0 C．3 D．1 【答案】 B 由題意知x≥5，f(x)＝f(x－5)． 令x－5＝t，∴x＝5＋t，∴f(5＋t)＝f(t)，∴f(x＋5)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝5，∴f(2 015)＝f(403×5＋0)＝f(0)，而當(dāng)0≤x＜5時，f(x)＝x3，∴f(0)＝03＝0，故f(2 015)＝0，故選B.7．(2015·湖北武漢質(zhì)檢，6)已知函數(shù)f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤0，則a的取值范圍是() A．[－1，1] B．[－2，0] C．[0，2] D．[－2，2] 【答案】 D 依題意可得 或 解得a∈[－2，2]，故選D.8．(2015·安徽合肥二模，7)設(shè)集合A＝，B＝，函數(shù)f(x)＝若x0∈A，且f(f(x0))∈A，則x0的取值范圍是() A.B.C.D.【答案】 C 因為x0∈A，即0≤x0<，所以f(x0)＝x0＋，≤x0＋＜1，即≤f(x0)＜1，即f(x0)∈B，所以f(f(x0))＝2[1－f(x0)]＝1－2x0.因為f(f(x0))∈A，所以0≤1－2x0＜，解得＜x0≤.又因為0≤x0＜，所以＜x0＜，故答案為C.思路點撥：解答本題關(guān)鍵是要分清x0∈A時，f(x0)的取值范圍，以決定如何求f(f(x0))的值． 9．(2015·四川德陽模擬，12)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，則f(x)＝________.【解析】 在f(x)＝2f·－1中，用代替x，得f＝2f(x)－1，① 將①式代入f(x)＝2f－1中，得f(x)＝4f(x)－2－1，故f(x)＝＋.【答案】?。?/p> 10．(2015·陜西榆林二模，12)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范圍是________． 【解析】 由題意知，或 解得－4≤x≤0或0 【答案】 [－4，2] 1．(2015·天津，7，中)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為() A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．c D．c 【答案】 C ∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1.由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)． ∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故選C.2．(2015·湖南，5，中)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是() A．奇函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù) B．奇函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù) C．偶函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù) D．偶函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù) 【答案】 A ∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)． 又∵f′(x)＝＋＝＝，x∈(－1，1)，∴f′(x)在定義域內(nèi)恒大于0，∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)． 1．(2014·陜西，7，易)下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x3 C．f(x)＝ D．f(x)＝3x 【答案】 D ∵f(x＋y)＝f(x)f(y)，∴f(x)為指數(shù)函數(shù)模型，排除A，B.又∵f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴排除C，故選D.2．(2012·廣東，4，易)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是() A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝ D．y＝x＋ 【答案】 A(逐項驗證法)函數(shù)y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)；函數(shù)y＝－在[－1，＋∞)上是減函數(shù)；函數(shù)y＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)；函數(shù)y＝x＋在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)．綜上可得，在(0，＋∞)上是增函數(shù)的是y＝ln(x＋2)，故選A.3．(2012·陜西，2，易)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為() A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x| 【答案】 D(逐項驗證法)對于A，注意到函數(shù)y＝x＋1不是奇函數(shù)；對于B，注意到函數(shù)y＝－x3是在R上的減函數(shù)；對于C，注意到函數(shù)y＝在其定義域上不是增函數(shù)；對于D，注意到－x·|－x|＋x|x|＝0，即函數(shù)y＝x|x|是奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，y＝x|x|＝x2是增函數(shù)，因此函數(shù)y＝x|x|既是奇函數(shù)又是R上的增函數(shù)，故選D.4．(2013·安徽，4，易)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的() A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】 C 充分性：當(dāng)a<0時，x>0，則f(x)＝|(ax－1)x|＝－ax2＋x為開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為x＝<0，故在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)；當(dāng)a＝0時，f(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)． 必要性：當(dāng)a≠0時，f＝0，f(0)＝0，由f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)知，<0，即a<0；當(dāng)a＝0時，f(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，故a≤0.綜上，“a≤0”為“f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)”的充分必要條件． 5．(2011·江蘇，2，易)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________． 【解析】 要使y＝log5(2x＋1)有意義，則2x＋1>0，即x>－.而y＝log5u為(0，＋∞)上的增函數(shù)，當(dāng)x>－時，u＝2x＋1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.【答案】 6．(2011·上海，20，14分，中)已知函數(shù)f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0.(1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)時x的取值范圍． 解：(1)(定義法)a>0，b>0時，任取x1，x2∈R，令x1 ∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)． 同理，當(dāng)a<0，b<0時，函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)． (2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，即a>－2b.當(dāng)a<0，b>0時，>－，則x>log； 當(dāng)a>0，b<0時，<－，則x 1．單調(diào)函數(shù)的定義 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2 當(dāng)x1 當(dāng)x1 圖象 描述 自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的從單調(diào)函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．有的函數(shù)在其定義域的一個區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一個區(qū)間上不是增函數(shù)．例如，函數(shù)y＝x2，當(dāng)x∈[0，＋∞)時是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0]時是減函數(shù)． 2．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論 (1)若f(x)，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)； (2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反； (3)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝的單調(diào)性相反； (4)函數(shù)y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y＝的單調(diào)性相同； (5)奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反． (1)(2014·北京，2)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是() A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) (2)(2014·天津，4)函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 【解析】(1)A項，函數(shù)y＝在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故符合；B項，函數(shù)y＝(x－1)2在(－∞，1)上為減函數(shù)，在[1，＋∞)上為增函數(shù)，故不符合；C項，函數(shù)y＝2－x＝在R上為減函數(shù)，故不符合；D項，函數(shù)y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，故不符合． (2)因為y＝logt在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即求函數(shù)y＝x2－4的單調(diào)減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域x2－4>0，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)． 【答案】(1)A(2)D 判斷函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)的常用方法 (1)定義法：先求定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論． (2)圖象法：若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性(區(qū)間)． (3)復(fù)合函數(shù)法：適用于形如y＝f(φ(x))的復(fù)合函數(shù)，具體規(guī)則如下表： 函數(shù) 增減情況 內(nèi)函數(shù)t＝φ(x) 增 增 減 減 外函數(shù)y＝f(t) 增 減 增 減 y＝f(φ(x)) 增 減 減 增 y＝f(φ(x))的單調(diào)性可以利用口訣——“同增異減”來判斷，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)；單調(diào)性不同時為減函數(shù)． (4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，再確定導(dǎo)數(shù)值的正負，由導(dǎo)數(shù)的正負得函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)． (5)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論，確定簡單的初等函數(shù)的單調(diào)性． (1)(2011·課標全國，2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是() A．y＝x3 B．y＝|x|＋1 C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x| (2)(2015·河南洛陽二模，6)函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0 A.B．[，1] C．(－∞，0)∪ D．[，] (1)【答案】 B y＝x3是奇函數(shù)，y＝－x2＋1和y＝2－|x|在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，故選B.(2)【答案】 B 由圖象可知，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和，單調(diào)遞增區(qū)間為.∵0 1．函數(shù)最值的概念 前提 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足 條件 ①對于任意x∈I，都有f(x)≤M ①對于任意x∈I，都有f(x)≥M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 結(jié)論 M為最大值 M為最小值 函數(shù)的最值是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，即函數(shù)的值域中最大的一個值和最小的一個值． 2．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 (1)比較函數(shù)值的大??； (2)解抽象函數(shù)不等式； (3)求待定參數(shù)的值或取值范圍； (4)求函數(shù)的最值或值域． (1)(2015·云南昆明模擬，6)已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為() A．c>a>b B．c>b>a C．a(chǎn)>c>b D．b>a>c (2)(2015·福建福州一模，6)如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當(dāng)x≥時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數(shù)f(x)在[－2，0]上的最大值與最小值之和為() A．2 B．3 C．4 D．－1 (3)(2012·上海，7)已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))．若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 【思路導(dǎo)引】(1)利用圖象的對稱性，把問題轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較大小；(2)由f(1＋x)＝f(－x)得函數(shù)f(x)關(guān)于x＝對稱，進而求得f(x)在各區(qū)間的單調(diào)性，可得函數(shù)f(x)的最大值與最小值；(3)思路一：先求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)已知條件找出已知區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，求字母的范圍；思路二：求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的范圍． 【解析】(1)根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且在(1，＋∞)上是減函數(shù)．因為a＝f＝f，且2<<3，所以b>a>c.(2)根據(jù)f(1＋x)＝f(－x)，可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱．又函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，故f(x)在上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在[－2，0]上的最大值與最小值之和為f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.(3)方法一：∵f(x)＝e|x－a|＝ ∴f(x)在[a，＋∞)上為增函數(shù)，則[1，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤1.方法二：∵f(x)＝e|x－a|＝ 當(dāng)x≥a時，f(x)＝ex－a，f′(x)＝ex－a.由題意知f′(x)＝ex－a≥0在[1，＋∞)上是恒成立的，此結(jié)論顯然成立． ∴a≤xmin，∴a≤1.當(dāng)x＜a時，f′(x)＝－ex－a＜0恒成立，不符合題意． 綜上所述，a≤1.【答案】(1)D(2)C(3)(－∞，1] 1.比較函數(shù)值大小的思路 比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解． 2．含“f”號不等式的解法 首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意g(x)與h(x)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)． 3．利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 已知函數(shù)在區(qū)間A上是增函數(shù)，求相關(guān)參數(shù)的取值范圍，若函數(shù)是復(fù)合函數(shù)的形式，此類問題應(yīng)理解為區(qū)間A是函數(shù)增區(qū)間的子集，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的單調(diào)性結(jié)論來解決．若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求，則可用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒大于或等于0來解決．如f(x)在區(qū)間A上為增函數(shù)，求參數(shù)a的范圍，則轉(zhuǎn)化為：f′(x)≥0在A上恒成立且f′(x)＝0在A的任意子區(qū)間不恒成立，若求得a≥2，則需檢驗a＝2時是否符合題意． (2014·課標Ⅱ，15)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________． 【解析】 由題知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)，故滿足|x－1|<2，解得－1 1．(2015·四川瀘州三模，3)下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是() A．f(x)＝ln x B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝x3 D．f(x)＝ 【答案】 D 對于A，y＝ln x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故A不滿足； 對于B，函數(shù)在(－∞，1)上是減函數(shù)，(1，＋∞)上是增函數(shù)，故B不滿足； 對于C，函數(shù)在R上是增函數(shù)，故C不滿足； 對于D，函數(shù)在(－1，＋∞)，(－∞，－1)上均為減函數(shù)，則在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故D滿足． 2．(2014·安徽合肥檢測，6)函數(shù)y＝|x|(1－x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是() A．(－∞，0) B.C．[0，＋∞) D.【答案】 B(數(shù)形結(jié)合法)y＝|x|(1－x)＝ ＝ ＝ 畫出函數(shù)的圖象，如圖． 由圖易知原函數(shù)在上單調(diào)遞增．故選B.3．(2015·山西太原模擬，5)已知f(x)＝x2－cos x，則f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小關(guān)系是() A．f(0) B．f(0) C．f(0.6) D．f(－0.5) 【答案】 B ∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)． ∴f(－0.5)＝f(0.5)． 又∵f′(x)＝2x＋sin x，當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)>0.∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，∴f(0) A．－1 B．1 C．6 D．12 【答案】 C 由已知得當(dāng)－2≤x≤1時，f(x)＝x－2； 當(dāng)1 ∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.5．(2014·遼寧五校第二次聯(lián)考，12)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數(shù)，且f＝0，則不等式f(logx)＞0的解集為() A.B．(2，＋∞) C.∪(2，＋∞) D.∪(2，＋∞) 【答案】 C 由已知f(x)在R上為偶函數(shù)，且f＝0，∴f(logx)＞0等價于f(|logx|)＞f.又f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，∴|logx|＞，即logx＞或logx＜－，解得0＜x＜或x＞2，故選C.6．(2015·山東濱州質(zhì)檢，13)對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝設(shè)函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 【解析】 依題意，h(x)＝ 當(dāng)0 7．(2015·河南濮陽模擬，16)函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)． 給出下列命題： ①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)； ②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)； ③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)； ④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)． 其中真命題是________(寫出所有真命題的序號)． 【解析】 對于①，若f(x)＝x2，則f(x1)＝f(x2)時x1＝x2，或x1＝－x2，故①錯誤； 對于②，f(x)＝2x是R上的增函數(shù)，當(dāng)f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，故②正確； 對于③，由單函數(shù)的定義，可知其逆否命題：f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A，若x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)為真命題，故③正確； 對于④，假若f(x1)＝f(x2)時，有x1≠x2，這與單調(diào)函數(shù)矛盾，故④正確． 【答案】?、冖邰?/p> 8．(2014·河北石家莊質(zhì)檢，19，12分)已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0時，有＞0成立． (1)判斷f(x)在[－1，1]上的單調(diào)性，并證明； (2)解不等式f＜f； (3)若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，則－x2∈[－1，1]．∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝·(x1－x2)． 由已知得＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增． (2)∵f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，∴解得－≤x＜－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，∴在[－1，1]上，f(x)≤1.問題轉(zhuǎn)化為m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，對a∈[－1，1]成立． 下面來求m的取值范圍． 設(shè)g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，則g(a)＝0≥0，對a∈[－1，1]恒成立． ②若m≠0，則g(a)為a的一次函數(shù)，若g(a)≥0，對a∈[－1，1]恒成立，必須g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范圍是m＝0或m≥2或m≤－2.1．(2015·安徽，2，易)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是() A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 【答案】 A 由選項可知，A，D為偶函數(shù)，但D中函數(shù)無零點． 2．(2015·廣東，3，易)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是() A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex 【答案】 D A中函數(shù)y＝為偶函數(shù)；B中f(－x)＝－x－＝－f(x)，故為奇函數(shù)；C中f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，故為偶函數(shù)；D中f(－x)＝－x＋e－x，為非奇非偶函數(shù)，故選D.3．(2015·課標Ⅰ，13，易)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________． 【解析】 由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即－xln(－x＋)＝xln(x＋)，即xln(x＋)＋xln(－x＋)＝0，∴xln a＝0.又∵x不恒為0，∴l(xiāng)n a＝0，a＝1.【答案】 1 1．(2014·課標Ⅰ，3，易)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是() A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 【答案】 C 若f(x)為奇函數(shù)，則|f(x)|為偶函數(shù)；若g(x)為偶函數(shù)，則|g(x)|為偶函數(shù)，且兩函數(shù)相乘奇偶性“同偶異奇”，對照選項可知C正確． 2．(2013·山東，3，易)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝() A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】 A 因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故選A.3．(2012·福建，7，中)設(shè)函數(shù)D(x)＝則下列結(jié)論錯誤的是() A．D(x)的值域為{0，1} B．D(x)是偶函數(shù) C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(x)不是單調(diào)函數(shù) 【答案】 C A顯然正確． D(x)＝當(dāng)x∈Q時，－x∈Q，而D(x)＝D(－x)＝1；當(dāng)x為無理數(shù)時，－x也為無理數(shù)，此時D(x)＝D(－x)＝0，∴對任意的x∈R，D(x)＝D(－x)，∴B正確．不妨設(shè)a∈Q且a≠0，當(dāng)x為有理數(shù)時，D(x＋a)＝D(x)＝1，當(dāng)x為無理數(shù)時，D(x＋a)＝D(x)＝0，∴D(x)為周期函數(shù)，∴C不正確．∵x1＝1，D(1)＝1，x2＝2，D(2)＝1，∴D(x1)＝D(x2)，∴D(x)在定義域上不單調(diào)，故D正確，∴選C.4．(2014·湖北，10，難)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為() A.B.C.D.【答案】 B 因為當(dāng)x≥0時，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以當(dāng)0≤x≤a2時，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x； 當(dāng)a2 當(dāng)x≥2a2時，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.綜上，函數(shù)f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0時的解析式等價于f(x)＝ 因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象如下，觀察圖象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則需滿足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.5．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________． 【解析】 由已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，f(1)＝1，得f(1)＋12＋f(－1)＋(－1)2＝0，f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.【答案】 －1 6．(2011·上海，13，中)設(shè)g(x)是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f(x)＝x＋g(x)在區(qū)間[3，4]上的值域為[－2，5]，則f(x)在區(qū)間[－10，10]上的值域為________． 【解析】 ∵g(x)是周期為1的函數(shù)，且f(x)＝x＋g(x)，∴f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋g(x)＋1 ＝f(x)＋1.同理f(x＋2)＝f(x＋1)＋1，…，即對f(x)圖象而言，x每增加1個單位長度，函數(shù)圖象向上平移1個單位長度，反之，x每減少1個單位長度，函數(shù)圖象向下平移1個單位長度，又x∈[3，4]時，f(x)∈[－2，5]，且f(x)最大值與最小值差為7，所以，當(dāng)x∈[4，5]時，f(x)∈[－1，6]；當(dāng)x∈[5，6]時，f(x)∈[0，7]；…；當(dāng)x∈[9，10]時，f(x)∈[4，11]． 同理當(dāng)x∈[－10，－9]時，f(x)∈[－15，－8]． 綜上可知x∈[－10，10]時，f(x)的值域為[－15，11]． 【答案】 [－15，11] 考向1 函數(shù)奇偶性的判斷及其應(yīng)用 1．偶函數(shù)和奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 定義 條件 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 結(jié)論 函數(shù)f(x)叫作偶函數(shù) 函數(shù)f(x)叫作奇函數(shù) 圖象特征 圖象關(guān)于y軸對稱 圖象關(guān)于原點對稱 2.奇偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反． (2)在公共定義域內(nèi) ①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)． ②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)． ③一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)． (3)若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.(1)(2013·廣東，2)定義域為R的四個函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函數(shù)的個數(shù)是() A．4 B．3 C．2 D．1 (2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝() A．－3 B．－1 C．1 D．3 (3)(2011·浙江，11)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________． (4)(2013·江蘇，11)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________． 【解析】(1)(定義法)根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義可知，y＝2x為非奇非偶函數(shù)，y＝x2＋1為偶函數(shù)，y＝x3與y＝2sin x為奇函數(shù)． (2)令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝1.(3)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，則|x－a|＝|x＋a|.∵x∈R，∴a＝0.(4)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.又當(dāng)x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝ ①當(dāng)x＞0時，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5； ②當(dāng)x＝0時，f(x)＞x無解； ③當(dāng)x＜0時，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0.綜上，不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為(－5，0)∪(5，＋∞)． 【答案】(1)C(2)C(3)0(4)(－5，0)∪(5，＋∞) 1.判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法 ①對于較復(fù)雜的解析式，可先對其進行化簡，再利用定義進行判斷，同時應(yīng)注意化簡前后的等價性． ②所給函數(shù)的定義域若不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性． (2)圖象法 2．應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法 (1)求函數(shù)值 將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解． (2)求解析式 先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式． (3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值 利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值． (1)(2011·湖北，6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，則f(2)＝() A．2 B.C.D．a(chǎn)2 (2)(2013·四川，14)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________． (1)【答案】 B ∵g(x)為偶函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，① f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，② 聯(lián)立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝22－2－2＝.故選B.(2)【解析】 當(dāng)x≥0時，由f(x)＝x2－4x<5，解得0≤x<5.因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，所以f(x)<5的解集為－5 考向2 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 1．周期函數(shù)的定義 對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． 2．常見的幾個結(jié)論 周期函數(shù)y＝f(x)滿足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a； (3)若f(x＋a)＝－，則函數(shù)的周期為2a； (4)函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱，那么函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|； (5)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a，0)對稱，又關(guān)于點(b，0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期是2|b－a|； (6)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對稱，又關(guān)于點(b，0)對稱，函數(shù)f(x)的周期是4|b－a|； (7)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為2a； (8)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為4a.(1)(2012·山東，8)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x＜－1時，f(x)＝ －(x＋2)2，當(dāng)－1≤x＜3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝() A．335 B．338 C．1 678 D．2 012 (2)(2014·安徽，6)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．當(dāng)0≤x≤π時，f(x)＝0，則f＝() A.B.C．0 D．－ 【解析】(1)由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.(2)因為f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2π.又因為當(dāng)0≤x<π時，f(x)＝0，所以f＝0，即f＝f＋sin＝0，所以f＝，所以f＝f＝f＝.【答案】(1)B(2)A 【點撥】 解題(1)的關(guān)鍵是求出一個周期內(nèi)的自變量對應(yīng)的函數(shù)的函數(shù)值，找出其中的規(guī)律；解題(2)的關(guān)鍵是判斷出f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)． 函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用 (1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題． (2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期． (2012·江蘇，10)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為________． 【解析】 因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以f＝f，且f(－1)＝f(1)，故f＝f，從而＝－a＋1，即3a＋2b＝－2.① 又因為f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝，即b＝－2a.② 將②代入①得，a＝2，b＝－4.所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.【答案】?。?0 考向3 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 函數(shù)的對稱性常見的結(jié)論 (1)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝對稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)． 特殊：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)； 函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝0對稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))． (2)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(0，0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))． (3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱； y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，0)對稱． (1)(2012·課標全國，16)設(shè)函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.(2)(2015·山東濟南模擬，13)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f(1)＝2，則f(2 015)＝________.【解析】(1)顯然其定義域為全體實數(shù)，f(x)＝＝1＋，設(shè)g(x)＝，∵g(－x)＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.(2)由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)． 由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)，∴f(x)是周期T＝8的偶函數(shù)，∴f(2 015)＝f(7＋251×8)＝f(7)＝f(8－1)＝f(－1)＝f(1)＝2.【答案】(1)2(2)2 【點撥】 解題(1)的關(guān)鍵是將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的奇偶性和對稱性求解；解題(2)時應(yīng)注意通過圖象的對稱性推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，再通過等量關(guān)系推導(dǎo)函數(shù)的周期性． 函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用的注意點 (1)函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，其中奇偶性多與單調(diào)性結(jié)合，而周期性多與抽象函數(shù)結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值． (2)一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到，函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關(guān)系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律．因此在解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題． (2012·重慶，7)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0，1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3，4]上的減函數(shù)”的() A．既不充分也不必要的條件 B．充分而不必要的條件 C．必要而不充分的條件 D．充要條件 【答案】 D?、佟遞(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．∵f(x)為[0，1]上的增函數(shù)，∴f(x)為[－1，0]上的減函數(shù)． 又∵f(x)的周期為2，∴f(x)為區(qū)間[3，4]上的減函數(shù)． ②∵f(x)為[3，4]上的減函數(shù)，且f(x)的周期為2，∴f(x)為[－1，0]上的減函數(shù)． 又∵f(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(x)為[0，1]上的增函數(shù)． 由①②知“f(x)為[0，1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3，4]上的減函數(shù)”的充要條件． 1．(2015·山東煙臺模擬，3)下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是() A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋) C．y＝2x＋2－x D．y＝lg 【答案】 D 對D，函數(shù)定義域為(－1，＋∞)，不關(guān)于原點對稱，故y＝lg不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，選項A為偶函數(shù)，選項B為奇函數(shù)，選項C為偶函數(shù)． 2．(2015·浙江嘉興一模，3)已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝() A．－1 B．1 C．－5 D．5 【答案】 D ∵y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴f(－x)－x＝f(x)＋x，∴f(－2)＝f(2)＋2＋2＝1＋2＋2＝5.3．(2015·遼寧實驗中學(xué)月考，6)函數(shù)y＝f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是() A．f(1) f B．f C．f D．f 【答案】 B ∵f(x＋2)是偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(x)＝f(4－x)，∴f ＝f，f ＝f .又0<<1<<2，f(x)在[0，2]上單調(diào)遞增，∴f .4．(2014·湖南長沙模擬，6)函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集為() A．(1，3) B．(－1，1) C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1) 【答案】 C(利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想求解)f(x)的圖象如圖． 由圖象可知，不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集為x∈(－1，0)∪(1，3)． 5．(2015·河南鄭州調(diào)研，8)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，5]上是奇函數(shù)，在區(qū)間[0，5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(3)＜f(1)，則() A．f(－1)＜f(－3) B．f(0)＞f(－1) C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＞f(－5) 【答案】 A 函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，5]上是單調(diào)函數(shù)，又3＞1，且f(3)＜f(1)，故此函數(shù)在區(qū)間[0，5]上是單調(diào)減函數(shù)． 由已知條件及奇函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－5，5]上是減函數(shù)． 選項A中，－3＜－1，故f(－3)＞f(－1)． 選項B中，0＞－1，故f(0)＜f(－1)． 同理，選項C中f(－1)＞f(1)，選項D中f(－3)＜f(－5)． 6．(2015·湖北名校聯(lián)考，7)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對任意x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝－1.若在區(qū)間(－2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是() A．(1，2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，2) 【答案】 D ∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱． ∵對?x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.∵當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝－1，∴f(x)在區(qū)間(－2，6]內(nèi)的圖象如圖所示，∴在區(qū)間(－2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3個不同的實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖象與y＝loga(x＋2)的圖象有且只有三個不同的交點，則 解得a∈(，2)． 思路點撥：解答本題先根據(jù)條件求得f(x)是周期為4的偶函數(shù)，再將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)． 7．(2014·江蘇徐州二模，10)設(shè)a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函數(shù)，則a＝________.【解析】 方法一：∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立，即＋＝＋，(a2－1)e2x＋1－a2＝0對任意的x恒成立，∴解得a＝1.方法二：∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，∴·＋ae＝＋，e＋＝0，∴(e2－1)＝0，∴a－＝0.又a＞0，∴a＝1.經(jīng)驗證，當(dāng)a＝1時，有f(－x)＝f(x)，∴a＝1.【答案】 1 8．(2015·河北保定三模，15)若偶函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)任意x都有f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈(0，1]時，f(x)＝log2x，則f ＝________． 【解析】 ∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)． ∴f(x＋2)＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為2，∴f ＝f ＝f ＝f ＝log2＝－1.【答案】?。? 9．(2014·吉林長春第一次調(diào)研，16)定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[1.5]＝1，[－1.5]＝ －2.若f(x)＝sin(x－[x])，則下列結(jié)論中： ①f(x)為奇函數(shù)；②f(x)是周期函數(shù)，周期為2π；③f(x)的最小值為0，無最大值；④f(x)無最小值，最大值為sin 1.其中說法正確的序號是________． 【解析】 f(1.5)＝sin(1.5－[1.5]) ＝sin 0.5，f(－1.5) ＝sin(－1.5－[－1.5]) ＝sin 0.5，則f(1.5)＝f(－1.5)，故①錯；f(x＋1)＝sin(x＋1－[x＋1])＝sin(x＋1－[x]－1)＝sin(x－[x])＝f(x)，∴T＝1，故②錯；令g(x)＝x－[x]，則由g(x)在[k，k＋1)(k∈Z)上是單調(diào)遞增函數(shù)，知當(dāng)g(x)∈[0，1)時，故f(x)∈[0，sin 1)，又g(x)的周期為1，故③正確，④錯．綜上，說法正確的序號為③.【答案】 ③ (時間：90分鐘__分數(shù)：120分) 一、選擇題(共10小題，每小題5分，共50分) 1．(2013·江西，2)函數(shù)y＝ln(1－x)的定義域為() A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1] 【答案】 B 由解得0≤x<1，故選B.2．(2015·福建閩江學(xué)院附中模擬，4)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是() A．y＝|x|＋1 B．y＝3x C．y＝－x2＋1 D．y＝ 【答案】 A 由定義域排除選項D；y＝3x是非奇非偶函數(shù)，排除選項B；選項A，C均為偶函數(shù)，但選項C在(0，＋∞)上為減函數(shù)，故選A.3．(2015·江西南昌一模，3)已知f(x)＝那么f(f(1))的值是() A．0 B．－2 C．1 D．－1 【答案】 C ∵f(1)＝1＋1＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝－2＋3＝1.4．(2015·山東菏澤模擬，5)若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(8)－f(4)的值為() A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】 A 由于f(x)周期為5，且為奇函數(shù)，∴f(8)＝f(5＋3)＝f(3)＝f(5－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，f(4)＝f(5－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(8)－f(4)＝－2－(－1)＝－1.5．(2011·浙江，1)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(α)＝4，則實數(shù)α＝() A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 【答案】 B 由或得α＝－4或α＝2，故選B.6．(2015·遼寧沈陽質(zhì)檢，9)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x－1) A.B.C.D.【答案】 A ∵f(x)是偶函數(shù)，∴其圖象關(guān)于y軸對稱，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(2x－1) ?|2x－1| A.B.C.D.【答案】 A ∵2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)． ∵3＋log23＞4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝×＝×＝.8．(2014·山西太原質(zhì)檢，8)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是() A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 【答案】 C?、佼?dāng)a＞0時，∵f(a)＞f(－a)，∴l(xiāng)og2a＞loga＝log2.∴a＞，得a＞1.②當(dāng)a＜0時，∵f(a)＞f(－a)，∴l(xiāng)og(－a)＞log2(－a)＝log.∴－a＜得－1＜a＜0，故C項為正確選項． 9．(2015·湖南長郡中學(xué)模擬，6)設(shè)奇函數(shù)f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，且f(－1)＝－1，若函數(shù)f(x)≤t2－2at＋1對所有的x∈[－1，1]都成立，則當(dāng)a∈[－1，1]時t的取值范圍是() A．－2≤t≤2 B．－≤t≤ C．t≤－2或t＝0或t≥2 D．t≤－或t＝0或t≥ 【答案】 C 由于f(x)為奇函數(shù)，且在[－1，1]上是增函數(shù)，f(－1)＝－1，∴f(1)＝1，∴f(x)在[－1，1]上的最大值為1，∴1≤t2－2at＋1對?a∈[－1，1]恒成立，即2at≤t2對a∈[－1，1]恒成立．當(dāng)t＝0時，滿足要求；當(dāng)t>0時，有1≤，即t≥2；當(dāng)t<0時，有－1≥，即t≤－2.綜上可知，t≤－2或t＝0或t≥2.10．(2015·陜西西安二模，10)已知y＝f(x)是偶函數(shù)，而y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，且對任意0≤x≤1，都有f′(x)≥0，則a＝f，b＝f，c＝f的大小關(guān)系是() A．c B．c C．a(chǎn) D．a(chǎn) 【答案】 B 因為y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)＝f(－x)，① 因為y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(2－x)，② 所以f(－x)＝－f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)． 所以函數(shù)f(x)的周期為4.又因為對任意0≤x≤1，都有f′(x)≥0，所以函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞增，又因為函數(shù)y＝f(x＋1)是奇函數(shù)，所以函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞增，又a＝f ＝f，b＝f ＝f，c＝f ＝f ＝f，所以f 11．(2015·河南焦作模擬，14)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f，f(2 015)＝2，則f(－2)＝________． 【解析】 ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)＝f，以x＋代x，∴f(x＋3)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期為3，∴f(2 015)＝f(2＋671×3)＝f(2)＝2.∴f(－2)＝－f(2)＝－2.【答案】?。? 12．(2014·湖北武漢一模，13)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，則實數(shù)x的取值范圍是________． 【解析】 ∵f(1)＝ln 1＋2＝2，∴f(x2－4)<2可化為f(x2－4) 又f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴ 解得－ 13．(2015·安徽池州模擬，12)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(－2))>f(k)，則實數(shù)k的取值范圍為________． 【解析】 ∵f(f(－2))＝f(4)＝9，∴f(k)<9.當(dāng)k<0時，<9，解得log9 當(dāng)k≥0時，(k－1)2<9，解得0≤k<4.綜上k∈(log9，4)． 【答案】(log9，4) 14．(2014·浙江杭州一模，14)已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足以下三個條件：①對于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對稱；③對于任意的x1，x2∈[0，1]，且x1 【解析】 由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2.因為函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關(guān)于y軸對稱，將函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象向右平移一個單位即得y＝f(x)的圖象，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝1對稱．根據(jù)③可知函數(shù)f(x)在[0，1]上為減函數(shù)，又結(jié)合②知，函數(shù)f(x)在[1，2]上為增函數(shù)．因為f(3)＝f(2＋1)＝f(1)，在區(qū)間[1，2]上，1<<2，所以f(1) 【答案】 f(3) 三、解答題(共4小題，共50分) 15．(12分)(2014·山東煙臺月考，17)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)． (1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由； (2)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0}，當(dāng)a＝0時，f(x)＝x2(x≠0)，顯然為偶函數(shù)； 當(dāng)a≠0時，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，所以函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (2)f′(x)＝2x－＝，當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，則f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)a>0時，令f′(x)＝>0，解得x>.由f(x)在[2，＋∞)上是增函數(shù)，可知≤2，解得0 16.(12分)(2015·河北十校聯(lián)考，18)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)； (2)若f(0)＝a，求f(a)； (3)設(shè)有且僅有一個實數(shù)x0，使得f(x0)＝x0，求函數(shù)f(x)的解析式． 解：(1)因為對任意x∈R，有 f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，所以f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2.又f(2)＝3，從而f(1)＝1.(2)若f(0)＝a，則f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(3)因為對任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，又有且僅有一個實數(shù)x0，使得f(x0)＝x0，故對任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x＋x0＝x0.又因為f(x0)＝x0，所以x0－x＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，則f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有兩個不相同實根，與題設(shè)條件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，則有f(x)＝x2－x＋1，易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件． 綜上，所求函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1.(12分)(2015·遼寧大連質(zhì)檢，18)函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍． 解：(1)∵對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)． (3)依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數(shù)，∴f(x－1)<2?f(|x－1|) 又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． ∴0<|x－1|<16，解得－15 18．(14分)(2015·安徽淮北質(zhì)檢，19)定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)，對任意x，y∈(－1，1)都有：f(x)＋f(y)＝f，且當(dāng)x∈(－1，0)時，f(x)＞0.回答下列問題： (1)判斷f(x)在(－1，1)上的奇偶性，并說明理由； (2)判斷函數(shù)f(x)在(0，1)上的單調(diào)性，并說明理由； (3)若f ＝，試求f －f －f的值． 解：(1)令x＝y(tǒng)＝0?f(0)＝0，令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝0?f(－x)＝－f(x)?f(x)在(－1，1)上是奇函數(shù)． (2)設(shè)0＜x1＜x2＜1，則f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2) ＝f，而x1－x2＜0，0＜x1x2＜1?＜0.又－(－1)＝＞0，故－1＜＜0，則f＞0，即當(dāng)0＜x1＜x2＜1時，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減． (3)由于f －f ＝f ＋f ＝f ＝f .同理，f －f ＝f，f －f ＝f，∴f －f －f ＝2f ＝2×＝1.
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