第一部分

教材知識(shí)梳理·系統(tǒng)復(fù)習(xí)

第一單元

數(shù)與式

第1講

實(shí)

數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的概念及分類

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.實(shí)數(shù)

（1）按定義分

（2）按正、負(fù)性分

正有理數(shù)

有理數(shù)

0

有限小數(shù)或

正實(shí)數(shù)

負(fù)有理數(shù)

無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)

0

實(shí)數(shù)

正無(wú)理數(shù)

負(fù)實(shí)數(shù)

無(wú)理數(shù)

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

（1）0既不屬于正數(shù)，也不屬于負(fù)數(shù).（2）無(wú)理數(shù)的幾種常見(jiàn)形式判斷：①含π的式子；②構(gòu)造型：如3.010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間多個(gè)0）就是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；③開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)：如，；④三角函數(shù)型：如sin60°，tan25°.（3）失分點(diǎn)警示：開(kāi)得盡方的含根號(hào)的數(shù)屬于有理數(shù)，如=2，=-3，它們都屬于有理數(shù).知識(shí)點(diǎn)二

：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念

2.數(shù)軸

（1）三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度

（2）特征：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；數(shù)軸右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大

例：

數(shù)軸上-2.5表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是2.5.3.相反數(shù)

（1）概念：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)

（2）代數(shù)意義：a、b互為相反數(shù)ó

a+b=0

（3）幾何意義：數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等

a的相反數(shù)為-a，特別的0的絕對(duì)值是0.例：3的相反數(shù)是-3，-1的相反數(shù)是1.4.絕對(duì)值

（1）幾何意義：數(shù)軸上表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

（2）運(yùn)算性質(zhì)：|a|=

a

(a≥0)；

|a-b|=

a-b(a≥b)

-a(a＜0).b-a(a＜b)

（3）非負(fù)性：|a|≥0，若|a|+b2=0,則a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），則x=±a.（2）對(duì)絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù).例：5的絕對(duì)值是5；|-2|=2；絕對(duì)值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒數(shù)

（1）概念：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).a的倒數(shù)為1/a(a≠0)

（2）代數(shù)意義：ab=1óa(chǎn),b互為倒數(shù)

例：

-2的倒數(shù)是-1/2

；倒數(shù)等于它本身的數(shù)有±1.知識(shí)點(diǎn)三

：科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)

6.科學(xué)記數(shù)法

（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)

（2）確定n的方法：對(duì)于數(shù)位較多的大數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)為減去1；對(duì)于小數(shù)，寫(xiě)成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原數(shù)中左起至第一個(gè)非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)）

例：

21000用科學(xué)記數(shù)法表示為2.1×104；

19萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為1.9×105；0.0007用科學(xué)記數(shù)法表示為7×10-4.7.近似數(shù)

（1）定義：一個(gè)與實(shí)際數(shù)值很接近的數(shù).（2）精確度：由四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.例：

3.14159精確到百分位是3.14；精確到0.001是3.142.知識(shí)點(diǎn)四

：實(shí)數(shù)的大小比較

8.實(shí)數(shù)的大小比較

（1）數(shù)軸比較法：數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.（2）性質(zhì)比較法：正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而

小.（3）作差比較法：a-b＞0óa(chǎn)＞b；a-b=0óa(chǎn)=b；a-b＜0óa(chǎn)＜b.（4）平方法：a＞b≥0óa(chǎn)2＞b2.例：

把1，-2,0，-2.3按從大到小的順序排列結(jié)果為_(kāi)__1＞0＞-2＞-2.3_.知識(shí)點(diǎn)五

：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

9.常見(jiàn)運(yùn)算

乘

方

幾個(gè)相同因數(shù)的積;

負(fù)數(shù)的偶（奇）次方為正（負(fù)）

例：

（1）計(jì)算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;

3-1=_1/3_;π0=__1__;

(2)64的平方根是_±8__,算術(shù)平方根是__8_,立方根是__4__.失分點(diǎn)警示：類似

“的算術(shù)平方根”計(jì)算錯(cuò)誤.例：相互對(duì)比填一填：16的算術(shù)平方根是

4___,的算術(shù)平方根是___2__.零次冪

a0=_1_(a≠0)

負(fù)指數(shù)冪

a-p=1/ap（a≠0，p為整數(shù)）

平方根、算術(shù)平方根

若x2=a（a≥0）,則x=.其中是算術(shù)平方根.立方根

若x3=a,則x=.10.混合運(yùn)算

先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算，從左

向右進(jìn)行；如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)一次進(jìn)行.計(jì)算時(shí)，可以結(jié)合運(yùn)算律，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化

第2講

整式與因式分解

一、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：代數(shù)式及相關(guān)概念

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.代數(shù)式

（1）代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式．

（2）求代數(shù)式的值：用具體數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，計(jì)算得出的結(jié)果，叫做求代數(shù)式的值．

求代數(shù)式的值常運(yùn)用整體代入法計(jì)算.例：a－b＝3，則3b－3a＝－9.2.整式

（單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）

（1）單項(xiàng)式：表示數(shù)字與字母積的代數(shù)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式.其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù).（2）多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和.多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做多項(xiàng)式的次數(shù).（3）整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.（4）同類項(xiàng)：所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).例：

（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中屬于單項(xiàng)式的是①③⑤⑦；多項(xiàng)式是②⑥；同類項(xiàng)是①和⑤.（2）多項(xiàng)式7m5n-11mn2+1是六次三項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)是

__1

.知識(shí)點(diǎn)二：整式的運(yùn)算

3.整式的加減運(yùn)算

(1)合并同類項(xiàng)法則:同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．

(2)去括號(hào)法則:

若括號(hào)外是“＋”，則括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；若括號(hào)外是“－”，則括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào).(3)整式的加減運(yùn)算法則：先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).失分警示：去括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)外面是符號(hào)，一定要變號(hào)，且與括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)相乘，不要有漏項(xiàng).例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.冪運(yùn)算法則

(1)同底數(shù)冪的乘法：am·an＝am＋n；

(2)冪的乘方：(am)n＝amn；

(3)積的乘方：(ab)n＝an·bn；

(4)同底數(shù)冪的除法：am÷an＝am－n

(a≠0).其中m,n都在整數(shù)

(1)計(jì)算時(shí)，注意觀察，善于運(yùn)用它們的逆運(yùn)算解決問(wèn)題.例：已知2m+n=2,則3×2m×2n=6.（2）在解決冪的運(yùn)算時(shí)，有時(shí)需要先化成同底數(shù).例：2m·4m=23m.5.整式的乘除運(yùn)算

(1)單項(xiàng)式×單項(xiàng)式：①系數(shù)和同底數(shù)冪分別相乘；②只有一個(gè)字母的照抄．

(2)單項(xiàng)式×多項(xiàng)式：

m(a+b)=ma+mb.(3)多項(xiàng)式×多項(xiàng)式:

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)單項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：將系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除.(5)多項(xiàng)式÷單項(xiàng)式：①多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式；②商相加．

失分警示：計(jì)算多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)，注意不能漏乘，不能丟項(xiàng)，不能出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò).例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法

公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.注意乘法公式的逆向運(yùn)用及其變形公式的運(yùn)用

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.變形公式：

a2+b2=(a±b)2?2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】

/2

6.混合運(yùn)算

注意計(jì)算順序，應(yīng)先算乘除，后算加減；若為化簡(jiǎn)求值，一般步驟為：化簡(jiǎn)、代入替換、計(jì)算．

例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知識(shí)點(diǎn)五：因式分解

7.因式分解

(1)定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式．

(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步驟：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③檢查各因式能否繼續(xù)分解.(1)

因式分解要分解到最后結(jié)果不能再分解為止，相同因式寫(xiě)成冪的形式；

(2)

因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算．

第3講

分

式

二、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：分式的相關(guān)概念

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.分式的概念

（1）分式：形如

(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最簡(jiǎn)分式：分子和分母沒(méi)有公因式的分式.在判斷某個(gè)式子是否為分式時(shí)，應(yīng)注意：（1）判斷化簡(jiǎn)之間的式子；（2）π是常數(shù)，不是字母.例：下列分式：①;②;

③;④，其中是分式是②③④；最簡(jiǎn)分式

③.2.分式的意義

(1)無(wú)意義的條件：當(dāng)B＝0時(shí)，分式無(wú)意義；

(2)有意義的條件：當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；

(3)值為零的條件：當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)，分式＝0.失分點(diǎn)警示：在解決分式的值為0，求值的問(wèn)題時(shí)，一定要注意所求得的值滿足分母不為0.例：

當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，則x＝-1.3.基本性質(zhì)

（1)

基本性質(zhì)：(C≠0)．

（2）由基本性質(zhì)可推理出變號(hào)法則為：；

.由分式的基本性質(zhì)可將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)：

例：化簡(jiǎn)：=.知識(shí)點(diǎn)三

：分式的運(yùn)算

4.分式的約分和通分

(1)約分(可化簡(jiǎn)分式)：把分式的分子和分母中的公因式約去，即；

(2)通分(可化為同分母)：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化為同分母的分式，即

分式通分的關(guān)鍵步驟是找出分式的最

簡(jiǎn)公分母，然后根據(jù)分式的性質(zhì)通分.例：分式和的最簡(jiǎn)公分母為.5.分式的加減法

(1)同分母：分母不變，分子相加減.即±＝；

(2)異分母：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.即±＝.例：

＝－1.6.分式的乘除法

(1)乘法：·＝；

(2)除法：＝；

(3)乘方：＝

(n為正整數(shù)).例：＝；＝2y；

＝.7.分式的混合運(yùn)算

(1)僅含有乘除運(yùn)算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后約分.(2)含有括號(hào)的運(yùn)算：注意運(yùn)算順序和運(yùn)算律的合理應(yīng)用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號(hào)，先算括號(hào)里面的．

失分點(diǎn)警示：分式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，要先將分式化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)分式或整式的形式，再代入求值.代入數(shù)值時(shí)注意要使原分式有意義.有時(shí)也需運(yùn)用到整體代入.第4講

二次根式

三、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：二次根式

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.有關(guān)概念

（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.（2）二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于或等于0.（3）最簡(jiǎn)二次根式：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號(hào)）；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式

失分點(diǎn)警示：當(dāng)判斷分式、二次根式組成的復(fù)合代數(shù)式有意義的條件時(shí)，注意確保各部分都有意義，即分母不為0，被開(kāi)方數(shù)大于等于0等.例：若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是x＞1.2.二次根式的性質(zhì)

（1）雙重非負(fù)性：

①被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即a≥0；

②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即≥0.注意：初中階段學(xué)過(guò)的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值、偶冪、算式平方根、二次根式.利用二次根式的雙重非負(fù)性解題：

（1）值非負(fù):當(dāng)多個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，可得各個(gè)非負(fù)數(shù)均為0.如+=0，則a=-1，b=1.（2）被開(kāi)方數(shù)非負(fù):當(dāng)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)同時(shí)出現(xiàn)在二次根式的被開(kāi)方數(shù)下時(shí)，可得這一對(duì)相反數(shù)的數(shù)均為0.如已知b=+,則a=1,b=0.(2)兩個(gè)重要性質(zhì)：

①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；

(3)積的算術(shù)平方根：＝·(a≥0，b≥0)；

(4)商的算術(shù)平方根：

(a≥0，b＞0)．

例：計(jì)算：

＝3.14；＝2；

=；=2；

知識(shí)點(diǎn)二

：二次根式的運(yùn)算

3.二次根式的加減法

先將各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．

例：計(jì)算：＝.4.二次根式的乘除法

（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；

（2）除法：

=

(a≥0，b＞0)．

注意：將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.例：計(jì)算：＝1；4.5.二次根式的混合運(yùn)算

運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的（或先去括號(hào)）．

運(yùn)算時(shí)，注意觀察，有時(shí)運(yùn)用乘法公式會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)便.例：計(jì)算：(+1)（-1)=

.第二單元

方程(組)與不等式(組)

第5講

一次方程(組)

四、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：方程及其相關(guān)概念

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.等式的基本性質(zhì)

(1)性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c

.(2)性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．

(3)性質(zhì)3：（對(duì)稱性）若a=b,則b=a.(4)性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.失分點(diǎn)警示：在等式的兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)必須不為0.例：判斷正誤.(1)若a=b,則a/c=b/c.(×)

(2)若a/c=b/c，則a=b.(√)

2.關(guān)于方程的基本概念

(1)一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程．

(2)二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程．

(3)二元一次方程組：含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程．

(4)二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解．

在運(yùn)用一元一次方程的定義解題時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)不等于0.例：若(a-2)是關(guān)于x的一元一次方程，則a的值為0.知識(shí)點(diǎn)二

：解一元一次方程和二元一次方程組

3.解一元一次方程的步驟

(1)去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；

(2)去括號(hào)：括號(hào)外若為負(fù)號(hào)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)均要變號(hào)；

(3)移項(xiàng)：移項(xiàng)要變號(hào)；

(4)合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=-b(a≠0)；

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=-b/a.失分點(diǎn)警示：方程去分母時(shí)，應(yīng)該將分子用括號(hào)括起來(lái)，然后再去括號(hào)，防止出現(xiàn)變號(hào)錯(cuò)誤.4.二元一次

方程組的解法

思路：消元，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.已知方程組，求相關(guān)代數(shù)式的值時(shí)，需注意觀察，有時(shí)不需解出方程組，利用整體思想解決解方程組.例：

已知?jiǎng)tx-y的值為x-y=4.方法：

(1)代入消元法:從一個(gè)方程中求出某一個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式，再把“它”代入另一個(gè)方程，進(jìn)行求解；

(2)

加減消元法：把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)的方法.知識(shí)點(diǎn)三

：一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用

5.列方程(組)

解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；

(2)設(shè)未知數(shù)；

(3)列方程(組)：找出等量關(guān)系，列方程（組）；

(4)解方程(組)；

(5)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否正確或是否滿足符合題意；

(6)作答：規(guī)范作答，注意單位名稱．

（1）設(shè)未知數(shù)時(shí)，一般求什么設(shè)什么，但有時(shí)為了方便，也可間接設(shè)未知數(shù).如題目中涉及到比值，可以設(shè)每一份為x.（2）列方程（組）時(shí)，注意抓住題目中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，如共是、等于、大（多）多少、?。ㄉ伲┒嗌?、幾倍、幾分之幾等.6.常見(jiàn)題型及關(guān)系式

（1）利潤(rùn)問(wèn)題：售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣，銷售額=售價(jià)×銷量，利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100%.（2）利息問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù)，本息和=本金+利息.（3）工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間.（4）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間.①相遇問(wèn)題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及問(wèn)題：a.同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.第6講

一元二次方程

五、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程及其解法

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.一元二次方程的相關(guān)概念

(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．

(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a、b、c分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)．

例：方程是關(guān)于x的一元二次方程，則方程的根為－1.2.一元二次方程的解法

（1）直接開(kāi)平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開(kāi)平方求解.（2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.（3)公式法:一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.(4)配方法：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí)，也可以考慮用配方法．

解一元二次方程時(shí)，注意觀察，先特殊后一般，即先考慮能否用直接開(kāi)平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時(shí)，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0變形為(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知識(shí)點(diǎn)二

：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系

3.根的判別式

(1)當(dāng)Δ＝>0時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

(2)當(dāng)Δ＝=0時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

(3)當(dāng)Δ＝<0時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

例：方程的判別式等于8，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程的判別式等于－8，故該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.*4.根與系數(shù)的關(guān)系

（1）基本關(guān)系：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是△≥0.（2）解題策略：已知一元二次方程，求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時(shí)，先把所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求解.與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式的常見(jiàn)變形：

(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.失分點(diǎn)警示

在運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系解題時(shí)，注意前提條件時(shí)△=b2-4ac≥0.知識(shí)點(diǎn)三

：一元二次方程的應(yīng)用

4.列一元二次方程解應(yīng)用題

（1）解題步驟：①審題；②

設(shè)未知數(shù)；③

列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗(yàn)根是否有意義；⑥作答．

運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方程一般有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.（2）應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長(zhǎng)率問(wèn)題、面積問(wèn)題等方面應(yīng)用.①平均增長(zhǎng)率（降低率）問(wèn)題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長(zhǎng)率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；

②利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本×100%；

③傳播、比賽問(wèn)題：

④面積問(wèn)題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過(guò)割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.第8講

一元一次不等式(組)

六、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：不等式及其基本性質(zhì)

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.不等式的相關(guān)概念

（1）不等式：用不等號(hào)(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等關(guān)系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍.例：“a與b的差不大于1”用不等式表示為a－b≤1.2.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：若a＞b,則

a±c>b±c；

性質(zhì)2：若a＞b,c>0，則ac>bc，>；

性質(zhì)3：若a＞b,c<0，則ac

：一元一次不等式

3.定義

用不等號(hào)連接，含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1的，左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式.例：若是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為-1.4.解法

（1）步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；系數(shù)化為1.失分點(diǎn)警示

系數(shù)化為1時(shí)，注意系數(shù)的正負(fù)性，若系數(shù)是負(fù)數(shù)，則不等式改變方向.（2）解集在數(shù)軸上表示:

x≥a

x＞a

x≤a

x＜a

知識(shí)點(diǎn)三

：一元一次不等式組的定義及其解法

5.定義

由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組．

（1）在表示解集時(shí)“≥”，“≤”表示含有，要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圓點(diǎn)表示．

（2）已知不等式（組）的解集情況，求字母系數(shù)時(shí)，一般先視字母系數(shù)為常數(shù)，再逆用不等式（組）解集的定義，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，則a的取值范圍是a＜1.6.解法

先分別求出各個(gè)不等式的解集，再求出各個(gè)解集的公共部分

7.不等式組解集的類型

假設(shè)a＜b

解集

數(shù)軸表示

口訣

x≥b

大大取大

x≤a

小小取小

a≤x≤b

大小，小大中間找

無(wú)解

大大，小小取不了

知識(shí)點(diǎn)四

：列不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題

8.列不等式解應(yīng)用題

（1）一般步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；找出不等式關(guān)系；列不等式；解不等式；驗(yàn)檢是否有意義.（2）應(yīng)用不等式解決問(wèn)題的情況：

a.關(guān)鍵詞：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（?。┯凇薄ⅰ俺^(guò)（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隱含不等關(guān)系：如“更省錢”、“更劃算”等方案決策問(wèn)題，一般還需根據(jù)整數(shù)解，得出最佳方案

注意：

列不等式解決實(shí)際問(wèn)題中，設(shè)未知數(shù)時(shí)，不應(yīng)帶“至少”、“最多”等字眼，與方程中設(shè)未知數(shù)一致.第9講

平面直角坐標(biāo)系與函數(shù)

七、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：平面直角坐標(biāo)系

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.相關(guān)概念

（1）定義：在平面內(nèi)有公共原點(diǎn)且互相垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系．

（2）幾何意義：坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)．

點(diǎn)的坐標(biāo)先讀橫坐標(biāo)(x軸)，再讀縱坐標(biāo)(y軸).2.點(diǎn)的坐標(biāo)特征

（1)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征（如圖所示）：

點(diǎn)P(x,y)在第一象限?x＞0，y＞0；

點(diǎn)P(x,y)在第二象限?x＜0，y＞0；

點(diǎn)P（x,y）在第三象限?x＜0，y＜0；

點(diǎn)P（x,y）在第四象限?x＞0，y＜0.（2）

坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

①在橫軸上?y＝0；②在縱軸上?x＝0；③原點(diǎn)?x＝0，y＝0.（3）各象限角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)

①第一、三象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等；

②第二、四象限角平分線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

（4）點(diǎn)P（a,b）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

①關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(a，－b)；②關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－a，b)；

③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(－a，－b)．

（5）點(diǎn)M（x,y）平移的坐標(biāo)特征：

M（x,y）

M1(x+a,y)

M2(x+a,y+b)

（1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限.（2）平面直角坐標(biāo)系中圖形的平移，圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)變化情況相同.（3）平面直角坐標(biāo)系中求圖形面積時(shí)，先觀察所求圖形是否為規(guī)則圖形，若是，再進(jìn)一步尋找求這個(gè)圖形面積的因素，若找不到，就要借助割補(bǔ)法，割補(bǔ)法的主要秘訣是過(guò)點(diǎn)向x軸、y軸作垂線，從而將其割補(bǔ)成可以直接計(jì)算面積的圖形來(lái)解決.3.坐標(biāo)點(diǎn)的距離問(wèn)題

（1）點(diǎn)M(a,b)到x軸，y軸的距離：到x軸的距離為|b|；)到y(tǒng)軸的距離為|a|．

（2）平行于x軸，y軸直線上的兩點(diǎn)間的距離：

點(diǎn)M1(x1,0)，M2(x2,0)之間的距離為|x1－x2|，點(diǎn)M1(x1，y)，M2(x2，y)間的距離為|x1－x2|；

點(diǎn)M1(0，y1)，M2(0，y2)間的距離為|y1－y2|，點(diǎn)M1(x，y1)，M2(x，y2)間的距離為|y1－y2|．

平行于x軸的直線上的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等.知識(shí)點(diǎn)二：函

數(shù)

4.函數(shù)的相關(guān)概念

（1）常量、變量：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．

（2）函數(shù)：在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么就稱x是自變量，y是x的函數(shù)．函數(shù)的表示方法有：列表法、圖像法、解析法.（3）函數(shù)自變量的取值范圍：一般原則為：整式為全體實(shí)數(shù)；分式的分母不為零；二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)；使實(shí)際問(wèn)題有意義．

失分點(diǎn)警示

函數(shù)解析式，同時(shí)有幾個(gè)代數(shù)式，函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是各個(gè)代數(shù)式中自變量的公共部分.例：函數(shù)y=中自變量的取值范圍是x≥-3且x≠5.5.函數(shù)的圖象

（1）分析實(shí)際問(wèn)題判斷函數(shù)圖象的方法：

①找起點(diǎn)：結(jié)合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對(duì)應(yīng)到圖象中找對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

②找特殊點(diǎn)：即交點(diǎn)或轉(zhuǎn)折點(diǎn)，說(shuō)明圖象在此點(diǎn)處將發(fā)生變化；

③判斷圖象趨勢(shì)：判斷出函數(shù)的增減性，圖象的傾斜方向.（2）以幾何圖形（動(dòng)點(diǎn)）為背景判斷函數(shù)圖象的方法：

①設(shè)時(shí)間為t（或線段長(zhǎng)為x），找因變量與t(或x)之間存在的函數(shù)關(guān)系，用含t(或x)的式子表示，再找相應(yīng)的函數(shù)圖象.要注意是否需要分類討論自變量的取值范圍.讀取函數(shù)圖象增減性的技巧：①當(dāng)函數(shù)圖象從左到右呈“上升”（“下降”）狀態(tài)時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大（減?。虎诤瘮?shù)值變化越大，圖象越陡峭；③當(dāng)函數(shù)y值始終是同一個(gè)常數(shù)，那么在這個(gè)區(qū)間上的函數(shù)圖象是一條平行于x軸的線段.第10講

一次函數(shù)

八、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一

：一次函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.一次函數(shù)的相關(guān)概念

（1）概念：一般來(lái)說(shuō)，形如y＝kx＋b(k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)．特別地，當(dāng)b

＝0時(shí)，稱為正比例函數(shù)．

（2）圖象形狀：一次函數(shù)y＝kx＋b是一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,b）和（-b/k,0）的直線.特別地，正比例函數(shù)y＝kx的圖象是一條恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）的直線.例：當(dāng)k＝1時(shí)，函數(shù)y＝kx＋k－1是正比例函數(shù),2.一次函數(shù)的性質(zhì)

k，b

符號(hào)

K＞0，b＞0

K＞0，b＜0

K＞0，b=0

k<0，b>0

k<0，b<0

k<0，b＝0

（1）一次函數(shù)y=kx+b中，k確定了傾斜方向和傾斜程度，b確定了與y軸交點(diǎn)的位置.（2）比較兩個(gè)一次函數(shù)函數(shù)值的大?。盒再|(zhì)法，借助函數(shù)的圖象，也可以運(yùn)用數(shù)值代入法.例：已知函數(shù)y=－2x＋b，函數(shù)值y隨x的增大而減小(填“增大”或“減小”)．

大致

圖象

經(jīng)過(guò)象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四

圖象性質(zhì)

y隨x的增大而增大

y隨x的增大而減小

3.一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)

(1)交點(diǎn)坐標(biāo)：求一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，只需令y=0,解出x即可；求與y軸的交點(diǎn)，只需令x=0,求出y即可.故一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)是，與y軸的交點(diǎn)是(0，b)；

(2)正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0，0)．

例：

一次函數(shù)y＝x＋2與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,0），與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,2）.知識(shí)點(diǎn)二

：確定一次函數(shù)的表達(dá)式

4.確定一次函數(shù)表達(dá)式的條件

（1）常用方法：待定系數(shù)法，其一般步驟為：

①設(shè)：設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b(k≠0)；

②代：將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解方程或方程組；

③解：求出k與b的值，得到函數(shù)表達(dá)式．

（2）常見(jiàn)類型：

①已知兩點(diǎn)確定表達(dá)式；②已知兩對(duì)函數(shù)對(duì)應(yīng)值確定表達(dá)式；

③平移轉(zhuǎn)化型：如已知函數(shù)是由y=2x平移所得到的，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1），則可設(shè)要求函數(shù)的解析式為y=2x+b,再把點(diǎn)（0,1）的坐標(biāo)代入即可.(1)確定一次函數(shù)的表達(dá)式需要兩組條件，而確定正比例函數(shù)的表達(dá)式，只需一組條件即可.(2)只要給出一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出b的值,b值為其縱坐標(biāo)，可快速解題.如:已知一次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,2），則可知b=2.5.一次函數(shù)圖象的平移

規(guī)律：①一次函數(shù)圖象平移前后k不變，或兩條直線可以通過(guò)平移得到，則可知它們的k值相同.②若向上平移h單位，則b值增大h；若向下平移h單位，則b值減小h.例：將一次函數(shù)y=-2x+4的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+2．

知識(shí)點(diǎn)三

：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系

6.一次函數(shù)與方程

一元一次方程kx+b=0的根就是一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).例：

（1）已知關(guān)于x的方程ax+b=0的解為x=1,則函數(shù)y=ax+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）.（2）一次函數(shù)y=-3x+12中，當(dāng)x

＞4時(shí)，y的值為負(fù)數(shù)．

7.一次函數(shù)與方程組

y=k2x+b

y=k1x+b

二元一次方程組的解兩個(gè)一次函數(shù)y=k1x+b

和y=k2x+b圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).8.一次函數(shù)與不等式

（1）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＞0時(shí)，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＞0的解集

（2）函數(shù)y=kx+b的函數(shù)值y＜0時(shí)，自變量x的取值范圍就是不等式kx+b＜0的解集

知識(shí)點(diǎn)四

：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

9.一般步驟

（1）設(shè)出實(shí)際問(wèn)題中的變量；

（2）建立一次函數(shù)關(guān)系式；

（3）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)關(guān)系式；

（4）確定自變量的取值范圍；

（5）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求相應(yīng)的值，對(duì)所求的值進(jìn)行檢驗(yàn)，是否符合實(shí)際意義；

（6）做答.一次函數(shù)本身并沒(méi)有最值，但在實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值往往有一定的限制，其圖象為射線或線段.涉及最值問(wèn)題的一般思路：確定函數(shù)表達(dá)式→確定函數(shù)增減性→根據(jù)自變量的取值范圍確定最值.10.常見(jiàn)題型

（1）求一次函數(shù)的解析式.（2）利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決方案問(wèn)題.第11講

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

九、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：反比例函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.反比例函數(shù)的概念

（1）定義：形如y＝(k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實(shí)數(shù)．

（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：

①y＝；②y=kx-1;

③xy=k.(其中k為常數(shù)，且k≠0)

例：函數(shù)y=3xm+1，當(dāng)m=－2時(shí)，則該函數(shù)是反比例函數(shù)．

2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

k的符號(hào)

圖象

經(jīng)過(guò)象限

y隨x變化的情況

（1）判斷點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：①把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入看是否滿足其解析式；②把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘，判斷其乘積是否等于k.失分點(diǎn)警示

（2）反比例函數(shù)值大小的比較時(shí)，首先要判斷自變量的取值是否同號(hào)，即是否在同一個(gè)象限內(nèi)，若不在則不能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行比較，可以畫(huà)出草圖，直觀地判斷.k>0

圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限

（x、y同號(hào)）

每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.k<0

圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限

（x、y異號(hào)）

每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而增大.3.反比例函數(shù)的圖象特征

（1）由兩條曲線組成，叫做雙曲線；

（2）圖象的兩個(gè)分支都無(wú)限接近x軸和y軸，但都不會(huì)與x軸和y軸相交；

（3）圖象是中心對(duì)稱圖形，原點(diǎn)為對(duì)稱中心；也是軸對(duì)稱圖形，2條對(duì)稱軸分別是平面直角坐標(biāo)系一、三象限和二、四象限的角平分線．

例：若(a，b)在反比例函數(shù)的圖象上，則(－a，－b)在該函數(shù)圖象上.(填“在“、“不在“)

4.待定系數(shù)法

只需要知道雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式，代入求出反比例函數(shù)系數(shù)k即可.例：已知反比例函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（－3，－1），則它的解析式是y=3/x.知識(shí)點(diǎn)二

：反比例系數(shù)的幾何意義及與一次函數(shù)的綜合5.系數(shù)k的幾何意義

（1）意義：從反比例函數(shù)y＝(k≠0)圖象上任意一點(diǎn)向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|,以該點(diǎn)、一個(gè)垂足和原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為1/2|k|.（2）常見(jiàn)的面積類型：

失分點(diǎn)警示

已知相關(guān)面積，求反比例函數(shù)的表達(dá)式，注意若函數(shù)圖象在第二、四象限，則k＜0.例：已知反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線所圍成矩形為3，則該反比例函數(shù)解析式為：或.6.與一次函數(shù)的綜合（1）確定交點(diǎn)坐標(biāo)：【方法一】已知一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（a,b），則根據(jù)中心對(duì)稱性，可得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-a,-b）.【方法二】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，利用方程思想求解.（2）確定函數(shù)解析式：利用待定系數(shù)法，先確定交點(diǎn)坐標(biāo)，再分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式中求解

（3）在同一坐標(biāo)系中判斷函數(shù)圖象：充分利用函數(shù)圖象與各字母系數(shù)的關(guān)系，可采用假設(shè)法，分k＞0和k＜0兩種情況討論，看哪個(gè)選項(xiàng)符合要求即可.也可逐一選項(xiàng)判斷、排除.（4）比較函數(shù)值的大?。褐饕ㄟ^(guò)觀察圖象，圖象在上方的值大，圖象在下方的值小，結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)，確定出解集的范圍.涉及與面積有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，①要善于把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為圖形的邊長(zhǎng)，對(duì)于不好直接求的面積往往可分割轉(zhuǎn)化為較好求的三角形面積；②也要注意系數(shù)k的幾何意義.例：如圖所示，三個(gè)陰影部分的面積按從小到大的順序排列為：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知識(shí)點(diǎn)三：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

.一般步驟

（1題意找出自變量與因變量之間的乘積關(guān)系；

（2設(shè)出函數(shù)表達(dá)式；

（3）依題意求解函數(shù)表達(dá)式；

（4）根據(jù)反比例函數(shù)的表達(dá)式或性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題.第12講

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

十、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念及解析式

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.一次函數(shù)的定義

形如y＝ax2＋bx＋c

(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).例：如果函數(shù)y=(a－1)x2是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是a≠0.2.解析式

（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）;

③交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；解方程（組），求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式.若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值，可設(shè)頂點(diǎn)式；若已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)交點(diǎn)式.知識(shí)點(diǎn)二

：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

圖象

（1）比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法：①直接代入求值法；②性質(zhì)法：當(dāng)自變量在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷；當(dāng)自變量在對(duì)稱軸異側(cè)時(shí)，可先利用函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè)，再利用性質(zhì)比較；④圖象法：畫(huà)出草圖，描點(diǎn)后比較函數(shù)值大小.失分點(diǎn)警示

（2）在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時(shí)，首先考慮對(duì)稱軸是否在取值范圍內(nèi)，而不能盲目根據(jù)公式求解.例：當(dāng)0≤x≤5時(shí)，拋物線y=x2+2x+7的最小值為7

.開(kāi)口

向上

向下

對(duì)稱軸

x＝

頂點(diǎn)坐標(biāo)

增減性

當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減小.當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而增大.最值

x=，y最小＝.x=，y最大＝.3.系數(shù)a、b、c

a

決定拋物線的開(kāi)口方向及開(kāi)口大小

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；

當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下.某些特殊形式代數(shù)式的符號(hào)：

①

a±b+c即為x=±1時(shí)，y的值；②4a±2b+c即為x=±2時(shí)，y的值.③

2a+b的符號(hào)，需判斷對(duì)稱

軸-b/2a與1的大小.若對(duì)稱軸在直線x=1的左邊，則-b/2a＞1，再根據(jù)a的符號(hào)即可得出結(jié)果.④2a-b的符號(hào)，需判斷對(duì)稱軸與-1的大小.a、b

決定對(duì)稱軸（x=-b/2a）的位置

當(dāng)a，b同號(hào)，-b/2a＜0，對(duì)稱軸在y軸左邊；

當(dāng)b＝0時(shí)，-b/2a=0，對(duì)稱軸為y軸；

當(dāng)a，b異號(hào)，-b/2a＞0，對(duì)稱軸在y軸右邊．

c

決定拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置

當(dāng)c＞0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上；

當(dāng)c＝0時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；

當(dāng)c＜0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.b2－4ac

決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

b2－4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);

b2－4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);

b2－4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)三

：二次函數(shù)的平移

4.平移與解析式的關(guān)系

注意：二次函數(shù)的平移實(shí)質(zhì)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移，因此只要找出原函數(shù)頂點(diǎn)的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式

失分點(diǎn)警示：

拋物線平移規(guī)律是“上加下減，左加右減”,左右平移易弄反.例：將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個(gè)單位后所得拋物線的解析式是y=（x－2）2．

知識(shí)點(diǎn)四

：二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式

5.二次函數(shù)與一元二次方程

二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0，兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0，兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0，無(wú)實(shí)根

例：已經(jīng)二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1,0），則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為2,1.6.二次函數(shù)與不等式

拋物線y=

ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對(duì)應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對(duì)應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.第13講

二次函數(shù)的應(yīng)用

十一、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的應(yīng)用

關(guān)鍵點(diǎn)撥

實(shí)物拋物線

一般步驟

若題目中未給出坐標(biāo)系，則需要建立坐標(biāo)系求解，建立的原則：①所建立的坐標(biāo)系要使求出的二次函數(shù)表達(dá)式比較簡(jiǎn)單；②使已知點(diǎn)所在的位置適當(dāng)（如在x軸，y軸、原點(diǎn)、拋物線上等），方便求二次函數(shù)丶表達(dá)式和之后的計(jì)算求解.①

據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；

②確定自變量的取值范圍；

③根據(jù)圖象，結(jié)合所求解析式解決問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題中

求最值

①

分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；

②

研究自變量的取值范圍；

③

確定所得的函數(shù)；

④

檢驗(yàn)x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；

⑤解決提出的實(shí)際問(wèn)題.解決最值應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)：

①設(shè)未知數(shù)，在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（最?。钡脑O(shè)問(wèn)中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；

②求解最值時(shí)，一定要考慮頂點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)）的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).結(jié)合幾何圖形

①

根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，探求圖形中的關(guān)系式；

②

根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式；

③

利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問(wèn)題

由于面積等于兩條邊的乘積，所以幾何問(wèn)題的面積的最值問(wèn)題通常會(huì)通過(guò)二次函數(shù)來(lái)解決.同樣需注意自變量的取值范圍.第四單元

圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形

第14講

平面圖形與相交線、平行線

十二、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：直線、線段、射線

關(guān)鍵點(diǎn)撥

1.基本事實(shí)

（1）直線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．

（2）線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間，線段最短．

例：在墻壁上固定一根橫放的木條，則至少需要2枚釘子，依據(jù)的是兩點(diǎn)確定一條直線.知識(shí)點(diǎn)二

：角、角平分線

2.概念

（1）角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形．

（2）角平分線：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線

例：

（1）15°25＇＝15.5°；

37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇.（2）32°的余角是58°，32°的補(bǔ)角是148°.3.角的度量

1°＝60′，1′＝60＇＇，1°＝3600＇＇

4.余角和補(bǔ)角

（1)

余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；

（2)

補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角.（3）性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等．

知識(shí)點(diǎn)三

：相交線、平行線

5.三線八角

（1）同位角：形如”F”;（2）內(nèi)錯(cuò)角：形如“Z”;(3)同旁內(nèi)角：形如“U”.一個(gè)角的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角可能不止一個(gè)，要注意多方位觀察

6.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

（1）概念：兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)而沒(méi)有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角之和為180°.例：在平面中，三條直線相交于1點(diǎn)，則圖中有6組對(duì)頂角.7.垂線

（1）概念：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線．

（2）性質(zhì)：①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．

②垂線段最短．

（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度

例：如圖所示，點(diǎn)

A到BC的距離為AB，點(diǎn)B到AC的距離為BD，點(diǎn)C到AB的距離為BC.8.平行線

（1）平行線的性質(zhì)與判定

①同位角相等兩直線平行

②內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行

（2）平行公理及其推論

①經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行．

②平行于同一條直線的兩直線平行．

（1）如果出現(xiàn)兩條平行線被其中一條折線所截，那么一般要通過(guò)折點(diǎn)作已知直線的平行線.（2）在平行線的查考時(shí)，通常會(huì)結(jié)合對(duì)頂角、角平分線、三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角性質(zhì)，解題時(shí)注意這些性質(zhì)的綜合運(yùn)用.知識(shí)點(diǎn)四

：命題與證明

9.命題與證明

（1）概念：對(duì)某一事件作出正確或不正確判斷的語(yǔ)句(或式子)叫做命題，正確的命題稱為真命題；錯(cuò)誤的命題稱為假命題.（2）命題的結(jié)構(gòu)：由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，命題常寫(xiě)成“如果p，那么q“的形式，其中p是題設(shè)，q是結(jié)論.（3）證明：從一個(gè)命題的題設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理來(lái)判斷命題是否成立的過(guò)程.證明一個(gè)命題是假命題時(shí)，只要舉出一個(gè)反例署名命題不成立就可以了.例：下列命題是假命題的有（③)

①相等的角不一定是對(duì)頂角；

②同角的補(bǔ)角相等；

③如果某命題是真命題，那么它的逆命題也是真命題；

④若某個(gè)命題是定理，則該命題一定是真命題.第15講

一般三角形及其性質(zhì)

十三、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：三角形的分類及性質(zhì)

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.三角形的分類

（1）按角的關(guān)系分類

（2）按邊的關(guān)系分類

失分點(diǎn)警示：

在運(yùn)用分類討論思想計(jì)算等腰三角形周長(zhǎng)時(shí)，必須考慮三角形三邊關(guān)系.例：等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和6，則該三角形的周長(zhǎng)為15.2.三邊關(guān)系

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．

3.角的關(guān)系

（1）內(nèi)角和定理：

①三角形的內(nèi)角和等180°；

②推論：直角三角形的兩銳角互余.（2）外角的性質(zhì)：

①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.②三角形的任意一個(gè)外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角.利用三角形的內(nèi)、外角的性質(zhì)求角度時(shí)，若所給條件含比例，倍分關(guān)系等，列方程求解會(huì)更簡(jiǎn)便.有時(shí)也會(huì)結(jié)合平行、折疊、等腰（邊）三角形的性質(zhì)求解.4.三角形中的重要線段

四線

性

質(zhì)

（1）角平分線、高結(jié)合求角度時(shí)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)角和為180°這一隱含條件.（2）當(dāng)同一個(gè)三角形中出現(xiàn)兩條高，求長(zhǎng)度時(shí)，注意運(yùn)用面積這個(gè)中間量來(lái)列方才能夠求解.角平分線

（1）

角平線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

（2）

三角形的三條角平分線的相交于一點(diǎn)（內(nèi)心）

中線

（1）

將三角形的面積等分

（2）

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

高

銳角三角形的三條高相交于三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高相交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高相交于三角形的外部

中位線

平行于第三邊，且等于第三邊的一半

5.三角形中內(nèi)、外角與角平分線的規(guī)律總結(jié)

如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，則∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；

如圖②，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，則有∠O=∠A+90°；

如圖③，BO、CO分別為∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分線，則∠O=∠A，∠O’=∠O；

如圖④，BO、CO分別為∠CBD、∠BCE的平分線，則∠O=90°-∠A.對(duì)于解答選擇、填空題，可以直接通過(guò)結(jié)論解題，會(huì)起到事半功倍的效果.知識(shí)點(diǎn)二

：三角形全等的性質(zhì)與判定

6.全等三角形的性質(zhì)

(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．

(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高相等．

(3)全等三角形的周長(zhǎng)等、面積等．

失分點(diǎn)警示：運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角.7.三角形全等的判定

一般三角形全等

SSS（三邊對(duì)應(yīng)相等）

SAS（兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等）

ASA（兩角和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等）

AAS（兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等）

失分點(diǎn)警示

如圖，SSA和AAA不能判定兩個(gè)三角形全等.直角三角形全等

(1)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）

(2)證明兩個(gè)直角三角形全等同樣可以用

SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的運(yùn)用

（1）利用全等證明角、邊相等或求線段長(zhǎng)、求角度：將特征的邊或角放到兩個(gè)全等的三角形中，通過(guò)證明全等得到結(jié)論.在尋求全等的條件時(shí)，注意公共角、公共邊、對(duì)頂角等銀行條件.（2）全等三角形中的輔助線的作法：

①直接連接法：如圖①，連接公共邊，構(gòu)造全等.②倍長(zhǎng)中線法：用于證明線段的不等關(guān)系，如圖②，由SAS可得△ACD≌△EBD，則AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截長(zhǎng)補(bǔ)短法：適合證明線段的和差關(guān)系，如圖③、④.例：

如圖，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，則CE=3.第16講

等腰、等邊及直角三角形

十四、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：等腰和等邊三角形

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.等腰三角形

（1）性質(zhì)

①等邊對(duì)等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；

②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高

互相重合;

③對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，直線AD是對(duì)稱軸.（2）判定

①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；

②等角對(duì)等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個(gè)條件中，只要滿足其中兩個(gè)，其余均成立.如：如左圖，已知AD⊥BC,D為BC的中點(diǎn)，則三角形的形狀是等腰三角形.失分點(diǎn)警示：當(dāng)?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時(shí)，需分類討論.如若等腰三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角為30°，則另外兩個(gè)角的度數(shù)為30°、120°或75°、75°.2.等邊三角形

（1）性質(zhì)

①邊角關(guān)系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

②對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對(duì)稱軸.（2）判定

①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個(gè)角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；

③任一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形.（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質(zhì).（2）等邊三角形有一個(gè)特殊的角60°，所以當(dāng)?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時(shí)，會(huì)結(jié)合直角三角形30°角的性質(zhì)，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長(zhǎng)為9.知識(shí)點(diǎn)二

：角平分線和垂直平分線

3.角平分線

（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．即若

∠1

＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.（2）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的角平

分線上．

例：如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD=2，則AC=6.4.垂直平分線圖形

（1）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.（2）判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．

知識(shí)點(diǎn)三：直角三角形的判定與性質(zhì)

5.直角三角形的性質(zhì)

(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；

(2)

30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；

(3)

斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.(4)

勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即

a2＋b2＝c2

.（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊，c為斜邊，h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個(gè)中間量解決與高相關(guān)的求長(zhǎng)度問(wèn)題.（2）已知兩邊，利用勾股定理求長(zhǎng)度，若斜邊不明確，應(yīng)分類討論.（3）在折疊問(wèn)題中，求長(zhǎng)度，往往需要結(jié)合勾股定理來(lái)列方程解決.6.直角三角形的判定

(1)

有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則△ABC是Rt△；

(2)

如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△

(3)

勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.第17講

相似三角形

十五、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：比例線段

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.比例

線段

在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．

列比例等式時(shí)，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂.2.比例的基本性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)：?

ad＝bc；（b、d≠0）

(2)合比性質(zhì)：?＝；（b、d≠0）

(3)等比性質(zhì)：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)?

＝k.（b、d、···、n≠0）

已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個(gè)參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中的一個(gè)表示出其他的字母，再代入求解.如下題可設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.例：若，則.3.平行線分線段成比例定理

（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線

段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則.利用平行線所截線段成比例求線段長(zhǎng)或線段比時(shí)，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運(yùn)用比例基本性質(zhì)求解.例：如圖，已知D，E分別是△ABC的邊BC和AC上的點(diǎn)，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應(yīng)等于.（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)

線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若AB∥CD，則.（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似．

如圖所示，若DE∥BC，則△ADE∽△ABC.4.黃金分割

點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割．其中點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比．

例：把長(zhǎng)為10cm的線段進(jìn)行黃金分割，那么較長(zhǎng)線段長(zhǎng)為5(－1)cm．

知識(shí)點(diǎn)二

：相似三角形的性質(zhì)與判定

5.相似三角形的判定

(1)

兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(AAA).如圖，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①條件中若有平行

線，可用平行線找出相等的角而判定；②條

件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找

夾這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例；③條件中

若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例可找?jiàn)A角相等；④條件

中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證

明直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例；⑤條件中若有

等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對(duì)底角相等

或找底、腰對(duì)應(yīng)成比例.(2)

兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似．

如圖，若∠A＝∠D，則△ABC∽△DEF.(3)

三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．如圖，若，則△ABC∽△DEF.6.相似

三角形的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．

(2)周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．

(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．

例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為3，△DEF的周長(zhǎng)為2，則△ABC與△DEF的面積之比為9：4.(2)

如圖，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，則AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解問(wèn)題的基本圖形，可以迅速找到解題思路，事半功倍.（2）證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊.然后，通過(guò)證明這兩個(gè)三角形相似，從而得出結(jié)果.第18講

解直角三角形

十六、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.銳角三角函數(shù)

正弦:

sinA＝＝

余弦:

cosA＝＝

正切:

tanA＝＝.根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值

度數(shù)

三角函數(shù)

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

知識(shí)點(diǎn)二

：解直角三角形

3.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形．

科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：

已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；

已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；

已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；

已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；

已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；

已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，則c=10,b=5.4.解直角三角形的常用關(guān)系

(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；

(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；

(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.知識(shí)點(diǎn)三

：解直角三角形的應(yīng)用

5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）

(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα.（如圖②）

(3)方向角：平面上，通過(guò)觀察點(diǎn)Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角．（如圖③）

解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：

（1）

疊合式

（2）背靠式

解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過(guò)這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過(guò)公共邊相等，列方程求解.6.解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；

(3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解．

第五單元

四邊形

第19講

多邊形與平行四邊形

十七、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：多邊形

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.多邊形的相關(guān)概念

（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．

（2）對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n－2)個(gè)三角形；n邊形對(duì)角線條數(shù)為．

多邊形中求度數(shù)時(shí)，靈活選擇公式求度數(shù)，解決多邊形內(nèi)角和問(wèn)題時(shí)，多數(shù)列方程求解.例：

(1)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1440°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10．

(2)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引對(duì)角線，可以把這個(gè)多邊形分割成7個(gè)三角形，則該多邊形為九邊形．

2.多邊形的內(nèi)角和、外角和

（1)

內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n－2)·180°

（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.3.正多邊形

（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.（2）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為，每一個(gè)外角為360°/n.（3)

正n邊形有n條對(duì)稱軸.（4）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.知識(shí)點(diǎn)二

：平行四邊形的性質(zhì)

4.平行四邊形的定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“□”表示.利用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)的一些常用到的結(jié)論和方法：

（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半.（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來(lái)解題.（3）過(guò)平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng).例：

如圖，□ABCD中，EF過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)O，AB=4，AD=3，OF=1.3，則四邊形BCEF的周長(zhǎng)為9.6.5.平行四邊形的性質(zhì)

（1）

邊：兩組對(duì)邊分別平行且相等.即AB∥CD

且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.（2）角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ).即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.（3）對(duì)角線：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD

（4）對(duì)稱性：中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱.6.平行四邊形中的幾個(gè)解題模型

（1）如圖①，AF平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABF為等腰三角形，即AB=BF.（2）平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；

兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性，可得經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心O的線段與對(duì)角線所組成的居于中心對(duì)稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.（3）

如圖③，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）

根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD.知識(shí)點(diǎn)三

：平行四邊形的判定

7.平行四邊形的判定

（1）方法一（定義法）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是□.（2）方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是□.（3）方法三：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD是□.（4）方法四：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是□.（5）方法五：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是□.例：如圖四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,AO=CO，請(qǐng)你添加一個(gè)條件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一個(gè)即可），使四邊形ABCD為平行四邊形.第20講

特殊的平行四邊形

一、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.性質(zhì)

（具有平行四邊形的一切性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等）

矩

形

菱

形

正方形

(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC;

_兩

對(duì)全等的等腰三角形.所以經(jīng)常結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)解題.（2）菱形中，有兩對(duì)全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，則△ABC和△ADC為

等邊

三角形，且四個(gè)直角三角形中都有一個(gè)30°的銳角.（3）正方形中有8個(gè)等腰直角三角形，解題時(shí)結(jié)合等腰直角三角形的銳角為45°，斜邊=直角邊.（1）四個(gè)角都是直角

（2）對(duì)角線相等且互相平分.即

AO=CO=BO=DO.（3）面積=長(zhǎng)×寬

=2S△ABD=4S△AOB.（1）四邊相等

（2）對(duì)角線互相垂直、平分，一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（3）面積=底×高

=對(duì)角線_乘積的一半

(1)四條邊都相等，四個(gè)角都是直角

(2)對(duì)角線相等且互相垂直平分

(3)面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)

=2S△ABD

=4S△AOB

2.判定

（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形

（2）有三個(gè)角是直角

（3）對(duì)角線相等的平行四邊形

（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形

（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形

（3）四條邊都相等的四邊形

（1）定義法：有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形

（2）一組鄰邊相等的矩形

（3）一個(gè)角是直角的菱形

（4）對(duì)角線相等且互相垂直、平分

例：判斷正誤.鄰邊相等的四邊形為菱形.（）

有三個(gè)角是直角的四邊形式矩形.（）

對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.（）

對(duì)邊相等的矩形是正方形.（）

3.聯(lián)系

包含關(guān)系：

知識(shí)點(diǎn)二：特殊平行四邊形的拓展歸納

4.中點(diǎn)四邊形

（1）任意四邊形多得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.（2）對(duì)角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.如圖，四邊形ABCD為菱形，則其中點(diǎn)四邊形EFGD的形狀是矩形.5.特殊四邊形中的解題模型

（1）矩形：如圖①，E為AD上任意一點(diǎn)，EF過(guò)矩形中心O，則△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如圖②，若EF⊥MN，則EF=MN;如圖③，P為AD邊上任意一點(diǎn)，則PE+PF=AO.（變式：如圖④，四邊形ABCD為矩形，則PE+PF的求法利用面積法，需連接PO.）

圖①

圖②

圖③

圖④

第六單元

圓

第21講

圓的基本性質(zhì)

十八、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：圓的有關(guān)概念

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.與圓有關(guān)的概念和性質(zhì)

（1）圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形．如圖所示的圓記做⊙O.（2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過(guò)

圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦.（3）弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.（4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.（5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)

交點(diǎn)的角叫做圓周角.（6）弦心距：圓心到弦的距離.（1）經(jīng)過(guò)圓心的直線是該圓的對(duì)稱軸，故圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條；

（2）3點(diǎn)確定一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)1點(diǎn)或2點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè).（3）任意三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即該三角形的外接圓.知識(shí)點(diǎn)二

：垂徑定理及其推論

2.垂徑定理及其推論

定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過(guò)圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形.推論

(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.延伸

根據(jù)圓的對(duì)稱性，如圖所示，在以下五條結(jié)論中：

①

弧AC=弧BC;

②弧AD=弧BD；

③AE=BE;

④AB⊥CD;⑤CD是直徑.只要滿足其中兩個(gè)，另外三個(gè)結(jié)論一定成立，即推二知三.知識(shí)點(diǎn)三

：圓心角、弧、弦的關(guān)系

3.圓心角、弧、弦的關(guān)系

定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等．

圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立.推論

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．

知識(shí)點(diǎn)四

：圓周角定理及其推論

4.圓周角定理及其推論

（1）定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.如圖a,∠A=1/2∠O.圖a

圖b

圖c

（2)推論：

①

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.如圖b，∠A=∠C.②

直徑所對(duì)的圓周角是直角.如圖c,∠C=90°.③

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).如圖a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.在圓中求角度時(shí)，通常需要通過(guò)一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過(guò)兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等.例：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，∠BAC=40°，則∠D的度數(shù)為130°．

第22講

與圓有關(guān)的位置關(guān)系

十九、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系

關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d.(1)d

?點(diǎn)在⊙O內(nèi)；(2)d＝r

?點(diǎn)在⊙O上；(3)d>r?點(diǎn)在⊙O外．

判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可.2.直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系

相離

相切

相交

由于圓是軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形，所以關(guān)于圓的位置或計(jì)算題中常常出現(xiàn)分類討論多解的情況.例：已知：⊙O的半徑為2，圓心到直線l的距離為1，將直線l沿垂直于l的方向平移，使l與⊙O相切，則平移的距離是1或3.圖形

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

0個(gè)

1個(gè)

2個(gè)

數(shù)量關(guān)系

d＞r

d＝r

d＜r

知識(shí)點(diǎn)二

：切線的性質(zhì)與判定

3.切線的判定

（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）.（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線.（3）經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑.4.切線的性質(zhì)

（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn).（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑.（3）切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，通常連過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.*5.切線長(zhǎng)

（1）定義：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).（2）切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，兩切線長(zhǎng)相等，圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.例：如圖，AB、AC、DB是⊙O的切線，P、C、D為切點(diǎn)，如果AB=5，AC=3，則BD的長(zhǎng)為2.知識(shí)點(diǎn)四

：三角形與圓

5.三角形的外接圓

圖形

相關(guān)概念

圓心的確定

內(nèi)、外心的性質(zhì)

內(nèi)切圓半徑與三角形邊的關(guān)系：

（1）任意三角形的內(nèi)切圓（如圖a），設(shè)三角形的周長(zhǎng)為C，則S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的內(nèi)切圓（如圖b）

①若從切線長(zhǎng)定理推導(dǎo)，可得r=1/2(a+b+c);若從面積推導(dǎo)，則可得r=.這兩種結(jié)論可在做選擇題和填空題時(shí)直接應(yīng)用.例：已知△ABC的三邊長(zhǎng)a=3，b=4，c=5，則它的外切圓半徑是2.5.經(jīng)過(guò)三角形各定點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形

三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)

到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

6.三角形的內(nèi)切圓

與三角形各邊都相

切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫

圓的外切三角形

到三角形三條角平分線的交點(diǎn)

到三角形的三條邊的距離相等

第七單元

圖形與變換

第24講

平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)與位似

二十、知識(shí)清單梳理

知識(shí)點(diǎn)一：圖形變換

關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例

1.圖形的軸對(duì)稱

（1）定義：①軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿某一條直線翻折過(guò)去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱．

②軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸.（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；反過(guò)來(lái)，成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分.常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形：等腰三角形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等.2.圖形的平移

（1）定義：在平面內(nèi)，將某個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移．

（2）性質(zhì)：①平移后，對(duì)應(yīng)線段相等且平行，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段相等且平行；②平移后，對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行、方向相同；

③平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩個(gè)圖形全等．

畫(huà)位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．

3.圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角．

（2）性質(zhì)：①在圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形上每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同角度；②注意每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角度都叫旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)角都相等；③對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．

4.圖形的中心對(duì)稱

（1）把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，該點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．

（2）①關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；②關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心,并且被對(duì)稱中心平分；③關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等.5.圖形的位似

（1）如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這樣的圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．

（2）性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊之比等于位似比；②位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比．

知識(shí)點(diǎn)二

：網(wǎng)格作圖

2.坐標(biāo)與圖形的位置及運(yùn)動(dòng)

圖形的平移變換

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加上(或減去)一個(gè)正數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度．

在平面直角坐標(biāo)系中或網(wǎng)格中作已知圖形的變換是近幾年安徽必考題型，注意根據(jù)圖形變化的性質(zhì)先確定圖形變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.例：平面直角坐標(biāo)系中，有一條線段AB，其中A（2，1）、B（2，0），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：1，將線段AB放大為線段A′B′，那么A′點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2）或（-4，-2）.圖形關(guān)于坐標(biāo)軸成對(duì)稱變換

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于x軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等．

圖形關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．

圖形關(guān)于原點(diǎn)成位似變換

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果兩個(gè)圖形的位似中心為原點(diǎn)，相似比為k，那么這兩個(gè)位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k．