08-12年高等數(shù)學(xué)下考點(diǎn)分類(lèi)

一、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用

1.[12]求曲面在點(diǎn)處的切平面和法線方程

解:

令，則

從而切點(diǎn)的法向量為

從而切平面為

法線方程為

2.[08]設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切向量，求函數(shù)在該點(diǎn)沿的方向?qū)?shù)

解：方程組兩端對(duì)求導(dǎo)，得

把代入得，解得，于是在點(diǎn)處的切向量為，單位切向量為

所求方向?qū)?shù)為

3.[08]給定曲面為常數(shù)，其中有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明曲面的切平面通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。

證：令，則

從而曲面在點(diǎn)處的切平面為，其中為動(dòng)點(diǎn)。

顯然時(shí)成立，故切平面均過(guò)。

二、多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可微

1.[12]證明函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，但存在有一階偏導(dǎo)數(shù)。

證明：因?yàn)?/p>

與有關(guān)，故二重極限不存在，因而由連續(xù)定義函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)。

又，或，或

于是函數(shù)在點(diǎn)存在有一階偏導(dǎo)數(shù)。

2.[11]設(shè)函數(shù)。試證在點(diǎn)處是可微的解

用定義求出

3.[10]證明：在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，與存在，但在(0,0)處不可微。

解：（1）

4.[09]

5.[08]

函數(shù)在點(diǎn)處可微是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的必要

條件（填必要、充分或充要），又是它在該點(diǎn)有方向?qū)?shù)的充分

條件（填必要、充分或充要）

三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

1.[12]設(shè)，則

0

2.[12]設(shè),則

3.[12]設(shè),求

解

令，則，于是用公式得

4.[11]設(shè),則

5.[11]設(shè)可微，且，則

6.[11]設(shè)，其中可微，證明

證明

由于

7.，將變換為下的表達(dá)式。

解：

8.[09]

9.[09]

設(shè)，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。

解：

10.[09]

求由方程組所確定的及的導(dǎo)數(shù)及。

解：

11.[08]

設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則

12.[08]

設(shè)，求

解：兩邊取微分，得

從而，四、多元函數(shù)的極值

1.[12]在曲面上找一點(diǎn)，使它到點(diǎn)的距離最短，并求最短距離。

解

設(shè)點(diǎn)為，則

等價(jià)于求在約束之下的最小值。令

且由

解得駐點(diǎn)，最短距離為

2.[11]若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則常數(shù)

3.[11]設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、高分別為，且滿足，求體積最小的長(zhǎng)方體。

解

令，2

由，求出唯一駐點(diǎn)6

由問(wèn)題的實(shí)際意義可知，當(dāng)體積最小長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高均為37

4.5.[09]

求函數(shù)在圓域的最大值和最小值。

解：方法一：當(dāng)時(shí)，找駐點(diǎn)，得唯一駐點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，是條件極值，考慮函數(shù)，解方程組

可得

所求最大值為，最小值為。

方法二：設(shè)，則且，這變成一個(gè)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。最大值為4，最小值為。

方法三：圓域可寫(xiě)成最大值為4，最小值為。

[08]

設(shè)，則它有極小值

五、梯度、方向?qū)?shù)

1.[12]函數(shù)在點(diǎn)處沿指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)

2.3.[09]

求二元函數(shù)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)及梯度，并指出在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向減少得最快？沿哪個(gè)方向值不變？

4.六、二重積分

1.[12]

設(shè)是所圍成的區(qū)域,則

2.[12]計(jì)算二重積分，其中

3.[12]設(shè)函數(shù)在內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足。求

解

用極坐標(biāo)

兩邊求導(dǎo)得，標(biāo)準(zhǔn)化為

于是

由得，故

4.[11]計(jì)算二重積分，其中D是頂點(diǎn)為的三角形閉區(qū)域。

解:

5.[09]

交換二次積分的積分次序：。

6.[09]

求錐面被柱面割下部分曲面面積。

解：

7.[09]（化工類(lèi)做）

計(jì)算二重積分，其中為圓域。

8.[08]

交換二次積分的積分次序

9.[08]

求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積

解：上半球面的部分為七、三重積分

1.[12]設(shè)為兩球的公共部分，計(jì)算三重積分

解

由

當(dāng)時(shí)用垂直于軸的平面截區(qū)域得到截面為圓域，當(dāng)時(shí)用垂直于軸的平面截區(qū)域得到截面為圓域，于是分段先二后一積分，得

2.[10]計(jì)算三重積分，其中是由所圍成的閉球體．

解：

4’

4’

3.[09]

計(jì)算。

解：此三重積分積分區(qū)域在面上的投影為，即圓域的上半部分，設(shè)此部分為，則

原式

4.[08]

計(jì)算三重積分，其中.是由單位球面圍成的閉區(qū)域.解：由對(duì)稱(chēng)性

從而

八、曲線積分

1.[12]設(shè)是拋物線介于點(diǎn)與點(diǎn)之間的那一段弧段，則曲線積分

2.計(jì)算曲線積分，其中為擺線從點(diǎn)到點(diǎn)的弧。

解

由于

補(bǔ)兩條直線是逆向的閉曲線，故

原式

或由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，直接得

原式得

或取，由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，直接得，原式

或者由是全微分表達(dá)式，湊微分，因

及

得

原式

3.[11]假設(shè)L為圓的右半部分，則

4.[11]計(jì)算,其中是橢圓的正向一周解:

由格林公式

5.[11]計(jì)算曲線積分，其中表示第四象限內(nèi)以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的光滑曲線

解

所求解問(wèn)題與路徑無(wú)關(guān)，選折線

6.7.8.[10]計(jì)算

9..[10]計(jì)算

10.[09]

11.[09]

計(jì)算曲線積分，其中表示包含點(diǎn)在內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，沿逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

解：在的內(nèi)部作圓并取逆時(shí)針?lè)较?，的參?shù)方程為

由格林公式有

12.[08]

計(jì)算曲線積分，其中表示第四象限內(nèi)以為起點(diǎn)為終點(diǎn)的光滑曲線。

解：由于，從而只要路徑不經(jīng)過(guò)直線，該曲線積分就與路徑無(wú)關(guān)

取路徑，九、曲面積分

1.[12]

計(jì)算曲面積分，式中是上半球面的上側(cè)

解

補(bǔ)一個(gè)平面，取下側(cè)，則原式

另法（看看:

歸一化，多次換元夠煩的）

即，上半球面指向上側(cè)法線為，從而,原式=

2.[12]

求曲面包含在圓柱面內(nèi)那部分（記為）的面積。

解

記為在部分的面積，或者

3.計(jì)算,其中是平面被圓柱面截出的有限部分

解

由題意或

從而

4.計(jì)算曲面積分,其中為柱面介于與之間的在第一卦限部分的前側(cè).解

補(bǔ)平面區(qū)域取上側(cè)，取下側(cè)，取左側(cè)，取后側(cè)。與原來(lái)曲面形成封閉曲面的外側(cè),圍成由高斯公式

故

原式

5.[10]

計(jì)算

6.[10]

計(jì)算曲面積分其中為上半球面的上側(cè)。

7.[09]

向量場(chǎng)的散度為。

8.[09]

計(jì)算曲面積分，其中是半球面的上則。

解：設(shè)為，并取下則，是圍成的區(qū)域，由高斯公式得原式

9.[08]

向量場(chǎng)的散度為.向量場(chǎng)的旋度為.10.[08]

設(shè)曲面為柱面介于平面與部分的外側(cè)，則曲面積分

0，11.[08]計(jì)算曲面積分，其中是圓錐面位于平面之間下方部分的下側(cè)

解：取上側(cè)，則原式

十、微分方程

1.[12]求定解問(wèn)題的解

解

標(biāo)準(zhǔn)化，由標(biāo)準(zhǔn)方程的解的公式，得

由初值條件，有，于是特解為

2.[12]求微分方程的通解

解

對(duì)應(yīng)的齊次方程為，解得特征根

非齊次項(xiàng)，與標(biāo)準(zhǔn)形式比較，從而得是單根，從而，可設(shè)特解為，從而，代入原來(lái)的微分方程，得

即

于是根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理得，所求通解為

3.[11]求微分方程的通解

解

方程即

4.[11]求微分方程的通解

解

對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為

對(duì)照非齊次項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)形式不是特征根，故

特解的待定形式為，代入非齊次方程，得

從而原方程的通解為

5.求解微分方程初值問(wèn)題

解

是一個(gè)特解2

故通解為4

由，又

從而特解為6

6.[10]設(shè)都是方程的解，則該方程的通解為

7.[10]求微分方程的通解。

8.[10]求微分方程的通解。

9.[10]求微分方程

10.[10]

求微分方程的通解。

11.[09]

求如下初值問(wèn)題的解

解：此為可降階微分方程第三種類(lèi)型。

設(shè)，則，原方程化為

變量分離兩邊積分得

由可得

解可得，由可得

所求解為：。

12.[09]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解為

因?yàn)槭菃翁卣鞲栽匠逃刑亟庑问?，代入原方程?/p>

原方程通解為

13.[08]

求微分方程的通解

解：，14.[08]

計(jì)算滿足下述方程的可導(dǎo)函數(shù)，解：原方程兩端求導(dǎo)得

即，這是標(biāo)準(zhǔn)的一階線性微分方程

原方程令得，代入通解得，從而

15.[08]求解初值問(wèn)題

解：方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，從而對(duì)應(yīng)通解為

容易看出的一個(gè)特解為，因此原方程的通解為

從而，由初值條件可得。

因此

十一、級(jí)數(shù)

1.[12]判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性。

解

由于，故

而是收斂的的級(jí)數(shù)的常數(shù)倍，從而收斂。由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂。

2.[12]求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性。

解

比較標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)，得，從而收斂半徑為，收斂區(qū)間為

當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于，從而與調(diào)和級(jí)數(shù)一樣發(fā)散；當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)化為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，不絕對(duì)收斂，但，前一部分條件收斂，而后一部分減去的級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于而收斂，從而由收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂。

3.[12]將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。

解

利用，從而

4.[11]求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解

當(dāng)時(shí)，由于，級(jí)數(shù)發(fā)散，3

當(dāng)時(shí)，由于，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法知該級(jí)數(shù)收斂，5

故冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?

5.[11]將函數(shù)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)，并確定其成立的區(qū)間.解

由于，3

從而7

6.[11]設(shè)函數(shù)是以為周期的函數(shù)，將其展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，并確定其成立的范圍。.解:，1

所以

7.[10]求冪級(jí)數(shù)的收斂域。

8.[10]將函數(shù)展開(kāi)成邁克勞林級(jí)數(shù)，并確定其成立區(qū)

9.[10]

設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，它在尚的表達(dá)式為，將其展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，并確定其成立范圍。

10.[09]

證明阿貝爾定理：如果冪級(jí)數(shù)收斂，則適合不等式的一切冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂；如果冪級(jí)數(shù)發(fā)散，則適合不等式的一切使冪級(jí)數(shù)發(fā)散。

11.[09]

將函數(shù)展成余弦級(jí)數(shù)。

12.[09]

求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。

13.[08]

設(shè)且，試根據(jù)的值判定級(jí)數(shù)的斂散性。

14.[08]

設(shè)是周期為的周期函數(shù)，它在上的表達(dá)式為，試將展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。

15.[08]

設(shè)，證明滿足微分方程，并求。