第一篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第26講 含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第二十六講 含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題

對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的實(shí)根情況，可以用判別式Δ=b2-4ac來(lái)判別，但是對(duì)于一個(gè)含參數(shù)的一元二次方程來(lái)說(shuō)，要判斷它是否有整數(shù)根或有理根，那么就沒(méi)有統(tǒng)一的方法了，只能具體問(wèn)題具體分析求解，當(dāng)然，經(jīng)常要用到一些整除性的性質(zhì)．本講結(jié)合例題來(lái)講解一些主要的方法．

例1 m是什么整數(shù)時(shí)，方程

(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0

有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根．

解法1 首先，m2-1≠0，m≠±1．Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得

由于x1，x2是正整數(shù)，所以

m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2．這時(shí)x1=6，x2=4．

解法2 首先，m2-1≠0，m≠±1．設(shè)兩個(gè)不相等的正整數(shù)根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系知

所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即

m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5．

經(jīng)檢驗(yàn)，只有m=2時(shí)方程才有兩個(gè)不同的正整數(shù)根．

說(shuō)明 一般來(lái)說(shuō)，可以先把方程的根求出來(lái)(如果比較容易求的話(huà))，然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問(wèn)題，解法1就是

這樣做的．有時(shí)候也可以利用韋達(dá)定理，得到兩個(gè)整數(shù)，再利用整除性質(zhì)求解，解法2就是如此，這些都是最自然的做法．

例2 已知關(guān)于x的方程

a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0

(其中a是非負(fù)整數(shù))至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值．

分析 “至少有一個(gè)整數(shù)根”應(yīng)分兩種情況：一是兩個(gè)都是整數(shù)根，另一種是一個(gè)是整數(shù)根，一個(gè)不是整數(shù)根．我們也可以像上題一樣，把它的兩個(gè)根解出來(lái)．

解 因?yàn)閍≠0，所以

所以

所以只要a是3或5的約數(shù)即可，即a=1，3，5．

例3 設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程

mx2-(m-1)x＋1＝0

有有理根，求m的值．

解 一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)．令

Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非負(fù)整數(shù)，于是

m2-6m+1=n2，所以(m-3)2-n2=8，(m-3＋n)(m-3-n)＝8．

由于m-3＋n≥m-3-n，并且

(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)

是偶數(shù)，所以m-3＋n與m-3-n同奇偶，所以

說(shuō)明 一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問(wèn)題解決．

例4 關(guān)于x的方程

ax2+2(a-3)x+(a-2)=0

至少有一個(gè)整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值．

解 當(dāng)a=0時(shí)，原方程變成-6x-2=0，無(wú)整數(shù)解．

當(dāng)a≠0時(shí)，方程是一元二次方程，它至少有一個(gè)整數(shù)根，說(shuō)明判別式

Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)

為完全平方數(shù)，從而9-4a是完全平方數(shù)．令9-4a=n2，則n是正奇數(shù)，要使x1為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1，從而a=2．要使x2為整數(shù)，即n-3｜4，n可取1，5，7，從而a=2，-4，-10．

綜上所述，a的值為2，-4，-10．

說(shuō)明 本題是前面兩種方法的“綜合”．既要用判別式是平方數(shù)，又要用直接求根．有時(shí)候，往往是幾種方法一同使用．

例5 已知關(guān)于x的方程

x2＋(a-6)x＋a=0 的兩根都是整數(shù)，求a的值．

解 設(shè)兩個(gè)根為x1≥x2，由韋達(dá)定理得

從上面兩式中消去a得

x1x2+x1+x2＝6，所以(x1＋1)(x2+1)=7，所以a=x1x2=0或16．

說(shuō)明 利用韋達(dá)定理，然后把參數(shù)消去，得到的是關(guān)于x1，x2的不定方程，而求解這個(gè)對(duì)稱(chēng)的不定方程往往是容易入手的．

例6 求所有有理數(shù)r，使得方程

rx2+(r+1)x＋(r-1)=0 的所有根是整數(shù)．

分析 首先對(duì)r=0和r≠0進(jìn)行討論．r=0時(shí)，是關(guān)于x的一次方程；r≠0時(shí)，是關(guān)于x的二次方程，由于r是有理數(shù)，處理起來(lái)有些困難，這時(shí)用直接求根或用判別式來(lái)做，均不能奏效．可用韋達(dá)定理，先把這個(gè)有理數(shù)r消去．

解 當(dāng)r=0時(shí)，原方程為x-1=0，所以x=1．

當(dāng)r≠0時(shí)，原方程是關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)它的兩個(gè)整數(shù)根為x1，x2，且x1≥x2，則

消去r得

x1x2-x1-x2＝2，所以(x1-1)(x2-1)=3．

例7 已知a是正整數(shù)，且使得關(guān)于x的一元二次方程

ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0

至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值．

解 將原方程變形為

(x＋2)2a= 2(x＋6)．

顯然x＋2≠0，于是

由于a是正整數(shù)，所以a≥1，即

所以 x2+2x-8≤0，(x＋4)(x-2)≤0，所以-4≤x≤2(x≠-2)．

當(dāng)x=-4，-3，-1，0，1，2時(shí)，得a的值為1，6，10，3，說(shuō)明 從解題過(guò)程中知，當(dāng)a=1時(shí)，有兩個(gè)整數(shù)根-4，2；當(dāng)a=3，6，10時(shí)，方程只有一個(gè)整數(shù)根．有時(shí)候，在關(guān)于x的一元二次方程中，如果參數(shù)是一次的，可以先對(duì)這個(gè)參數(shù)來(lái)求解．

例8 已知方程x2+bx+c=0與x2+cx＋b=0各有兩個(gè)整數(shù)根x1，x2

(2)求證：b-1≤c≤b＋1；

(3)求b，c的所有可能的值．

解(1)由x1x2＞0知，x1與x2同號(hào)．若x1＞0，則x2＞0，(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韋達(dá)定理

c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1

=(x1＋1)(x2+1)≥0，所以 c≥b-1．

同理有

所以 c≤b+1，所以 b-1≤c≤b+1．

(3)由(2)可知，b與c的關(guān)系有如下三種情況：

(i)c=b＋1．由韋達(dá)定理知

x1x2=-(x1＋x2)＋1，所以(x1＋1)(x2＋1)=2，解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．

(ii)c=b．由韋達(dá)定理知

x1x2=-(x1＋x2)，所以(x1+1)(x2＋1)=1，所以x1=x2=-2，從而b=4，c=4．

(iii)c=b-1．由韋達(dá)定理知

所以

綜上所述，共有三組解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．

練習(xí)二十六

1．填空：

(1)方程x2+px+1997=0恰有兩個(gè)正整數(shù)根x1，x2，(2)已知k為整數(shù)，且關(guān)于x的方程

(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0

有兩個(gè)不相同的正整數(shù)根，則k=____．

(3)兩個(gè)質(zhì)數(shù)a，b恰好是關(guān)于x的方程x2-21x＋t=0的兩個(gè)根，(4)方程x2+px＋q=0的兩個(gè)根都是正整數(shù)，并且p+q=1992，則方程較大根與較小根的比等于____．

(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有兩個(gè)不相等的負(fù)整數(shù)根，則整數(shù)a的值是____．

2．設(shè)m為整數(shù)，且4＜m＜40，又方程

(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0

有兩個(gè)整數(shù)根，求m的值及方程的根．

3．已知關(guān)于x的一元二次方程

x2+(m-17)x+m-2=0 的兩個(gè)根都是正整數(shù)，求整數(shù)m的值．

4．求使關(guān)于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的兩根都是整數(shù)的所有正數(shù)a．

5．求所有的整數(shù)a，使得關(guān)于x的二次方程

ax2＋2ax＋a-9＝0

至少有一個(gè)整數(shù)根．

第二篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第12講平行線問(wèn)題

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第十二講平行線問(wèn)題

平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ?jiàn)的圖形．練習(xí)本每一頁(yè)中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對(duì)邊、桌面的對(duì)邊、教室墻壁的對(duì)邊等等均是互相平行的線段．

正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識(shí)及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識(shí)．

正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來(lái)很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對(duì)象．歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們?cè)谑谷藗冋J(rèn)識(shí)宇宙空間中起著非常重要的作用．

現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個(gè)公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”．

在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理．下面我們舉例說(shuō)明這些知識(shí)的應(yīng)用．

例1 如圖 1－18，直線a∥b，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90°

．

分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角，因此∠1+∠2=

過(guò)C點(diǎn)作直線 l，使 l∥a(或 b)即可通過(guò)平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移．

證 過(guò)C點(diǎn)作直線l，使l∥a(圖1－19)．因?yàn)閍∥b，所以b∥l，所以

∠1+∠2=180°(同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ))．

因?yàn)锳C平分∠1，BC平分∠2，所以

又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以

∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

說(shuō)明 做完此題不妨想一想這個(gè)問(wèn)題的“反問(wèn)題”是否成立，即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線，若∠C=90°，問(wèn)直線a與直線b是否一定平行？”

由于這個(gè)問(wèn)題與上述問(wèn)題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問(wèn)題的解決方法來(lái)試解．

例2 如圖1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．

分析 本題對(duì)∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒(méi)有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個(gè)角的大小無(wú)關(guān)．也就是說(shuō)，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即

∠A1+∠A2=∠B1． ①

猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發(fā)我們過(guò)B1點(diǎn)引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將∠B1一分為二．

證 過(guò)B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個(gè)角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．

因?yàn)锳A1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而

∠1=∠A1，∠2=∠A2(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以

∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．

說(shuō)明(1)從證題的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點(diǎn)之間的折線段的數(shù)目無(wú)關(guān)，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有

∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．

(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．

進(jìn)一步可以推廣為

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋?-∠Bn-1+∠An=0．

這時(shí)，連結(jié)A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，?，Bn-1An(當(dāng)然，仍要保持 AA1∥BAn)．

推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如果抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問(wèn)題推廣到復(fù)雜的情況．

(2)這個(gè)問(wèn)題也可以將條件與結(jié)論對(duì)換一下，變成一個(gè)新問(wèn)題．

問(wèn)題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問(wèn)AA1與BA2是否平行？

問(wèn)題2 如圖1－25所示．若

∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1，問(wèn)AA1與BAn是否平行？

這兩個(gè)問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)加以思考．

例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

分析 利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個(gè)頂點(diǎn)處，這是最理想不過(guò)的了，過(guò)F點(diǎn)作BC的平行線恰能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)．

解 過(guò)F到 FG∥CB，交 AB于G，則

∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(內(nèi)錯(cuò)角相等)．

因?yàn)?AE∥BD，所以

∠1=∠BFA(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以

∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．

說(shuō)明(1)運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧．

(2)在學(xué)過(guò)“三角形內(nèi)角和”知識(shí)后，可有以下較為簡(jiǎn)便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即

∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．

例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180°．

分析平角為180°．若能運(yùn)用平行線的性質(zhì)，將三角形三個(gè)內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個(gè)平角，問(wèn)題即可解決，下面方法是最簡(jiǎn)單的一種．

證 如圖1－27所示，在△ABC中，過(guò)A引l∥BC，則

∠B=∠1，∠C=∠2(內(nèi)錯(cuò)角相等)．

顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

說(shuō)明 事實(shí)上，我們可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)，通過(guò)添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論．如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處，不過(guò)，解法將較為麻煩．同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法．

例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360°．

分析 應(yīng)用例3類(lèi)似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€，將這四個(gè)角“聚合”在一起使它們之和恰為一個(gè)周角．在添加平行線中，盡可能利用原來(lái)的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過(guò)程．

證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過(guò)頂點(diǎn)B引BE∥AD，BF∥CD，并延長(zhǎng) AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．

∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對(duì)頂角相等)．

由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

說(shuō)明(1)同例3，周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變．

(2)總結(jié)例

3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：

三角形內(nèi)角和=180°=(3-2)×180°，四邊形內(nèi)角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．

人們不禁會(huì)猜想：

五邊形內(nèi)角和=(5-2)×180°=540°，?????????? n邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°．

這個(gè)猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過(guò)三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡(jiǎn)單．

(3)在解題過(guò)程中，將一些表面并不相同的問(wèn)題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問(wèn)題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法．

例6 如圖1－29所示．直線l的同側(cè)有三點(diǎn)A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上．

分析A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，該點(diǎn)分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過(guò)B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B處．

證 過(guò)B作直線 BD，交l于D．因?yàn)锳B∥l，CB∥l，所以

∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(內(nèi)錯(cuò)角相等)．

又∠1+∠2=180°，所以

∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．

A，B，C三點(diǎn)共線．

思考 若將問(wèn)題加以推廣：在l的同側(cè)有n個(gè)點(diǎn)A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，?，n-1)．是否還有同樣的結(jié)論？

例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．

求證：∠3=∠B．

分析 如果∠3=∠B，則應(yīng)需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應(yīng)有EF∥AD．這一點(diǎn)從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得．

證 因?yàn)椤?=∠2，所以

AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．

因?yàn)椤螪=90°及EF⊥CD，所以

AD∥EF(同位角相等，兩直線平行)．

所以 BC∥EF(平行公理)，所以

∠3=∠B(兩直線平行，同位角相等)．

練習(xí)十二

1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．

3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問(wèn)：EF與EG中有沒(méi)有與AB平行的直線，為什么？

4．證明：五邊形內(nèi)角和等于540°．

5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB．

第三篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第32講 自測(cè)題

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第三十二講 自測(cè)題

自測(cè)題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個(gè)三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，D為BC上的任一點(diǎn)，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對(duì)角(∠A，∠C)相等時(shí)，另一組對(duì)角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連AN，CM交于P點(diǎn)．求∠APM的度數(shù)．

9．某服裝市場(chǎng)，每件襯衫零售價(jià)為70元，為了促銷(xiāo)，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購(gòu)買(mǎi)2件130元；購(gòu)滿(mǎn)5件者，每件以零售價(jià)的九折出售；購(gòu)買(mǎi)7件者送1件．某人要買(mǎi)6件，問(wèn)有幾種購(gòu)物方案(必要時(shí)，可與另一購(gòu)買(mǎi)2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢(qián)最少？

自測(cè)題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對(duì)于集合

p={x丨x是1到100的整數(shù)}

中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號(hào)表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問(wèn)題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個(gè)數(shù)；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個(gè)整數(shù)根．

(1)求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)；

(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；

(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號(hào)時(shí)，求a的值及這兩個(gè)根．

5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點(diǎn)，連BO，OC并分別延長(zhǎng)交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書(shū)200本，乙校需要課外圖書(shū)240本，某書(shū)店門(mén)市部A可供應(yīng)150本，門(mén)市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書(shū)的運(yùn)費(fèi)如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運(yùn)，才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少？

自測(cè)題三

2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個(gè)根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個(gè)根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點(diǎn)，過(guò)D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門(mén)票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．

(1)現(xiàn)有三個(gè)單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個(gè)單位分別怎樣買(mǎi)門(mén)票使總門(mén)票費(fèi)最省？

(2)若三個(gè)單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買(mǎi)門(mén)票使總門(mén)票費(fèi)最??？

(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買(mǎi)門(mén)票最省錢(qián)的規(guī)律嗎？

自測(cè)題四

1．求多項(xiàng)式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設(shè)

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)O，過(guò)O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點(diǎn)P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)．

6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．

7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時(shí)，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個(gè)工作部門(mén)，假日去不同景點(diǎn)旅游，總共有m人參加，甲部門(mén)平均每人花費(fèi)120元，乙部門(mén)每人花費(fèi)110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問(wèn)甲乙兩部門(mén)各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過(guò)AD上一點(diǎn)E引直線EF∥AC交BA延長(zhǎng)線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，命題(1)將會(huì)怎樣？

(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)又會(huì)怎樣？

自測(cè)題五

2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a(chǎn)，b，c是三個(gè)自然數(shù)，且滿(mǎn)足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個(gè)．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時(shí)，將怎樣？

按沿河距離計(jì)算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn)，從B點(diǎn)筑一條公路到D，才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最省？

第四篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第三十一講復(fù)習(xí)題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大小．

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個(gè)二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點(diǎn)．求證：E是AB的中點(diǎn)．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC．若BC中點(diǎn)為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點(diǎn)．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過(guò)M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過(guò)N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點(diǎn)，連CN并延長(zhǎng)交AB于E．求證：

25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：

(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；

(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．

27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個(gè)數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計(jì)算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個(gè)數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計(jì)算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續(xù)下去，最后得到一個(gè)數(shù)x，問(wèn)x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長(zhǎng)．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1，x2滿(mǎn)足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

34．求所有的正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．

35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時(shí)，方程

x2＋px＋q=0

無(wú)整數(shù)根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過(guò)C引直線CE∥AD交AB的延長(zhǎng)線于E，求BE之長(zhǎng)．

37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點(diǎn)分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來(lái)的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對(duì)應(yīng)邊分別作三個(gè)相似三角形，那么這三個(gè)相似三角形面積之間有什么關(guān)系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來(lái)表示，那么這個(gè)三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時(shí)，重4.4千克，水高為10厘米時(shí)，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時(shí)，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測(cè)當(dāng)水高為8厘米時(shí)，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個(gè)人抽簽，為此先做好10個(gè)簽，其中7個(gè)簽上寫(xiě)“有票”，3個(gè)簽上寫(xiě)“無(wú)票”，然后10個(gè)人排好隊(duì)按順序抽簽．問(wèn)第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個(gè)互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩(shī)人王之渙的著名詩(shī)篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩(shī)人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解釋?zhuān)?/p>

46．在一個(gè)池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問(wèn)如何利用這根水草測(cè)出水深？

47．在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個(gè)村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來(lái)，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個(gè)城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長(zhǎng)度最短(圖2-191)？

49．三個(gè)同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車(chē)違反了交通規(guī)則．但他們沒(méi)有完全記住這輛汽車(chē)的車(chē)號(hào)(車(chē)號(hào)由4位數(shù)字組成)，可是第一個(gè)同學(xué)記住車(chē)號(hào)的前兩位數(shù)是相同的，第二個(gè)同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個(gè)同學(xué)記得這個(gè)四位數(shù)恰好是一個(gè)數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車(chē)的車(chē)號(hào)嗎？

50．圖2-192是一個(gè)彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱(chēng)東西前的狀況，此時(shí)刻度0齊上線，彈簧伸長(zhǎng)的初始長(zhǎng)度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長(zhǎng)度也相應(yīng)地伸長(zhǎng)．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：

(1)以x，y的對(duì)應(yīng)值(x，y)為點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出散點(diǎn)圖；

(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時(shí)，y的長(zhǎng)度．

第五篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第08講平行四邊形

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第八講平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅巍匦?、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用．

由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：

(1)平行四邊形對(duì)角相等；

(2)平行四邊形對(duì)邊相等；

(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分．

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：

分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因?yàn)锳F=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對(duì)角線EF與MN互相平分．

例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過(guò)添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問(wèn)題即可獲解．

證 作GH⊥BC于H，連接EH．因?yàn)锽G是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

因?yàn)锳D∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤螧EA=∠BEH，等角的補(bǔ)角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

從而

EH∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

說(shuō)明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過(guò)渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

人們?cè)趯W(xué)習(xí)中，經(jīng)過(guò)刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)我們探索新的問(wèn)題是十分有益的．

例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個(gè)論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過(guò)添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開(kāi)．

證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長(zhǎng)線于F．求證：CA=CF．

分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長(zhǎng)DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

證 延長(zhǎng)DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36)．求證：

分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2．

證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，從而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

分析 準(zhǔn)確地畫(huà)圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

證 因?yàn)镈EBD=FD，所以

BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習(xí)十二

1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長(zhǎng)線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分