第一篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第28講 怎樣把實(shí)際問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題(一)
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第二十八講 怎樣把實(shí)際問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題(一)
數(shù)學(xué)從邏輯上講，是訓(xùn)練思維的工具．通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以使人更加聰明，辦事更有條理，思維更加靈活而富于創(chuàng)造性．另一方面，如果從應(yīng)用上講，數(shù)學(xué)也是一種應(yīng)用技術(shù)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、原理和方法可以解決各種實(shí)際問(wèn)題．那么怎樣把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決呢？這是一個(gè)比較復(fù)雜的過(guò)程，大體上可以通過(guò)以下步驟進(jìn)行：
(1)了解實(shí)際問(wèn)題中量的關(guān)系和圖形元素的關(guān)聯(lián)；
(2)根據(jù)量或圖形間的關(guān)系，尋找相應(yīng)的數(shù)學(xué)模式；
(3)考慮數(shù)學(xué)模式中的條件與結(jié)論的蘊(yùn)涵關(guān)系，提出數(shù)學(xué)問(wèn)題；
(4)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、原理，求出數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答；
(5)由數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答，對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出解釋與討論；
(6)推廣數(shù)學(xué)模式所能解決的更廣泛的實(shí)際問(wèn)題．
但是由于實(shí)際問(wèn)題千變?nèi)f化，特別復(fù)雜，所以當(dāng)把實(shí)際問(wèn)題化成數(shù)學(xué)問(wèn)題求解時(shí)，也有不同的思考方法．下面提出幾點(diǎn)較為常見(jiàn)的方法，供讀者參考．
1．抽象分析法
例1 “七橋問(wèn)題”．在18世紀(jì)東普魯士的首府哥尼斯堡有一條河，叫作布勒格爾河，橫貫城區(qū)，在這條河上共架有七座橋(圖2-146)．所謂“七橋問(wèn)題”就是：一個(gè)人要一次走過(guò)這七座橋，但對(duì)每一座橋只許通過(guò)一次，問(wèn)如何走才能成功？這個(gè)問(wèn)題，引起當(dāng)時(shí)德國(guó)人的好奇，很多人都熱衷于解決它，但誰(shuí)也沒(méi)有成功．
歐拉(Euler)是一位大數(shù)學(xué)家，由于千百人的失敗，使他猜想：這種走法可能根本不存在．但是怎樣證明這種走法不可能呢？歐拉運(yùn)用抽象分
析法，將之化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，于1736年證明了他的猜想，使“七橋問(wèn)題”得到圓滿(mǎn)的解決．那么歐拉是怎樣抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行思考的呢？
使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．
作為解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，要盡可能使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．為此要抓住問(wèn)題的要點(diǎn)，做初步的抽象處理．顯然島的大小和橋的長(zhǎng)短與問(wèn)題無(wú)關(guān)，因此可以不加考慮．如果把島及陸地用點(diǎn)表示，橋用線(xiàn)表示，那么這個(gè)問(wèn)題就成了一筆畫(huà)問(wèn)題(圖2-147)．
在圖2-147中，由A到B有橋1；由B到D有橋2，橋3；由D到C有橋4，橋5；由C到A有橋7；由A到D有橋6，共七座橋．這樣，就把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化了，使問(wèn)題的解決推進(jìn)了一步．
一般說(shuō)來(lái)，在數(shù)學(xué)思考中，常把原問(wèn)題不改變本質(zhì)地加以變形，使其簡(jiǎn)單化，以利于找到解答．例如，列方程解應(yīng)用問(wèn)題就是這種思想的一種體現(xiàn)．先把實(shí)際問(wèn)題化成含有已知量和未知量的方程，然后再把方程作同解變形，化為最簡(jiǎn)方程，較容易地求出方程的解，實(shí)際問(wèn)題也就解決了．
尋找解決問(wèn)題的方法．
問(wèn)題簡(jiǎn)化了，也不一定能得到解決，關(guān)鍵是如何抓住本質(zhì)加以分析，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律性．為此，我們還是從更特殊的情況進(jìn)行觀察分析．
(1)假如只有三座橋(圖2-148)．對(duì)于圖2-148(a)來(lái)說(shuō)，無(wú)論從哪個(gè)端點(diǎn)起一筆畫(huà)出總是可能的．但對(duì)圖2-148(b)來(lái)說(shuō)，無(wú)論從哪個(gè)端點(diǎn)起，一筆畫(huà)完總是不可能的．
(2)假如有四座橋(圖2-149)．對(duì)于圖2-149(a)，(b)來(lái)說(shuō)，顯然可以一筆畫(huà)成．但對(duì)圖2-149(c)來(lái)說(shuō)，卻不能一筆畫(huà)成．
研究了這些簡(jiǎn)單例子，對(duì)我們有什么啟發(fā)呢？為此，數(shù)學(xué)家提出了網(wǎng)絡(luò)這一概念，以便利用新概念的特性，解決已經(jīng)提出的問(wèn)題．
定義 網(wǎng)絡(luò)是由有限個(gè)點(diǎn)(稱(chēng)作網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn))和有限條線(xiàn)(稱(chēng)作網(wǎng)絡(luò)的弧)所組成的圖形．這些點(diǎn)和線(xiàn)滿(mǎn)足以下條件：
(i)每條弧都以不同的兩個(gè)頂點(diǎn)作為端點(diǎn)；
(ii)每個(gè)頂點(diǎn)至少是一條弧的端點(diǎn)；
(iii)各弧彼此不相交．
這樣，所謂一筆畫(huà)問(wèn)題，就是網(wǎng)絡(luò)中的同一條弧不許畫(huà)兩次，而把網(wǎng)絡(luò)全部勾畫(huà)出來(lái)的問(wèn)題．
(3)研究網(wǎng)絡(luò)能一筆畫(huà)出的特點(diǎn)，尋找解決問(wèn)題的方法．我們假定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)能一筆畫(huà)出來(lái)，那么這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中顯然有一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一點(diǎn)為終點(diǎn)，其他各點(diǎn)為通過(guò)點(diǎn)．設(shè)某點(diǎn)為起點(diǎn)，如果以某點(diǎn)為頂點(diǎn)的弧不只一條，那么由某點(diǎn)沿一條弧畫(huà)出去，必沿另一條弧畫(huà)回來(lái)，因此，最初是畫(huà)出去，然后進(jìn)出若干次后，把集中在某點(diǎn)的弧全部通過(guò)完畢為止，最后一次必須是畫(huà)出去，所以在起點(diǎn)集中的弧必須是奇數(shù)條．而終點(diǎn)的情況剛好與起點(diǎn)相反，先是畫(huà)進(jìn)，再畫(huà)出，進(jìn)出若干次，最后一次必是畫(huà)進(jìn)，因此終點(diǎn)也集中奇數(shù)條?。瘘c(diǎn)與終點(diǎn)同為一點(diǎn)時(shí)，必是先出后進(jìn)，中間或許經(jīng)過(guò)若干次進(jìn)出，最終回到起點(diǎn)．因此在該點(diǎn)集中的弧必是偶數(shù)條，而在中途通過(guò)的點(diǎn)所集中的弧顯然也必定是偶數(shù)條．
通過(guò)上面分析可知：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的點(diǎn)可分為兩類(lèi)，一類(lèi)頂點(diǎn)集中了偶數(shù)條弧，另一類(lèi)頂點(diǎn)集中了奇數(shù)條?。覀兎Q(chēng)前者為偶點(diǎn)，后者為奇點(diǎn)．例如，在圖2-149(b)中，A，B為奇點(diǎn)，C，D為偶點(diǎn)．通過(guò)對(duì)圖2-148和圖2-149的考察，我們可以直觀地想到如下結(jié)論：
(i)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)若能一筆畫(huà)出來(lái)，其中偶點(diǎn)個(gè)數(shù)必須是0或2．
(ii)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)若是0或2，那么這個(gè)網(wǎng)絡(luò)一定能一筆畫(huà)出來(lái)．
歐拉證明了以上兩條猜想，得到了著名的歐拉定理：一個(gè)網(wǎng)絡(luò)能一筆畫(huà)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的任意兩個(gè)頂點(diǎn)都有弧連接，并且奇數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于0或2．
(4)回到原問(wèn)題．利用歐拉定理，“七橋問(wèn)題”很容易就解決了．因?yàn)樵趫D2-147中，奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是4，不滿(mǎn)足歐拉定理的條件，因此不可能按約定條件通過(guò)七座橋．
(5)推廣．如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)不是0或2，則這個(gè)網(wǎng)絡(luò)不可能一筆畫(huà)成．那么要多少筆才能畫(huà)成呢？這就成為多筆畫(huà)的問(wèn)題了．多筆畫(huà)的研究發(fā)展了網(wǎng)絡(luò)理論的研究與應(yīng)用，后來(lái)發(fā)展成現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——圖論．
歸納上述分析方法，可以大致看出利用抽象分析法解決實(shí)際問(wèn)題的思維過(guò)程：
(1)把實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題．
(2)解決問(wèn)題是靠發(fā)現(xiàn)事物間由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般的內(nèi)在聯(lián)系．
(3)發(fā)現(xiàn)的思路是以具體實(shí)例作為經(jīng)驗(yàn)觀察，由簡(jiǎn)到繁地考察構(gòu)成實(shí)例間的基本事實(shí)和關(guān)系；再由諸特例作出一般的歸納猜想，并加以理論證明．
(4)應(yīng)用論證后的法則，解決各種難題，實(shí)際上是化難為易．
(5)把法則加以推廣，以解決更多的實(shí)際問(wèn)題，并擴(kuò)展數(shù)學(xué)的理論和應(yīng)用．
2．?dāng)?shù)據(jù)處理法
有些實(shí)際問(wèn)題需要收集問(wèn)題中的若干對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)中觀察相關(guān)變量的依存關(guān)系或?qū)?yīng)關(guān)系，可以得到大致體現(xiàn)實(shí)際問(wèn)題有關(guān)變量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，從而解答實(shí)際問(wèn)題．下面舉一個(gè)實(shí)例，說(shuō)明這種方法的應(yīng)用．
例2 怎樣由樹(shù)的斷面直徑來(lái)推斷樹(shù)的高度．
解 第一步：設(shè)計(jì)變量．根據(jù)這個(gè)問(wèn)題，我們可以設(shè)預(yù)測(cè)的某種樹(shù)的高度為y，離地面1.5米處的直徑為x厘米．
第二步：收集x，y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，為此我們測(cè)量12棵樹(shù)的x，y的對(duì)應(yīng)值，列表如表28．1．
第三步：由對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)求出y對(duì)x的函數(shù)關(guān)系式．
常用的方法是作圖法．把直徑x看作自變量，高度y看作因變量．每一對(duì)(x，y)看作一個(gè)點(diǎn)，畫(huà)在坐標(biāo)紙上(圖2-150)，作成散點(diǎn)圖．從散點(diǎn)圖可以直觀地看出兩個(gè)變量之間的大致關(guān)系．我們從圖2-150可看出，y隨x的增大而增大，并且這些點(diǎn)的分布近似一條直線(xiàn)．
這時(shí)，我們?cè)趫D上畫(huà)出盡可能接近這些點(diǎn)的一條直線(xiàn)，自然，有些點(diǎn)正好在直線(xiàn)上，有的點(diǎn)卻有所偏離，不在直線(xiàn)上，這說(shuō)明有些誤差，但如果重復(fù)測(cè)量幾次，誤差不會(huì)太大．因此，我們所畫(huà)出的直線(xiàn)近似地表示著x和y之間的線(xiàn)性關(guān)系，所以這條直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式——一次函數(shù)式就可作為樹(shù)的高度y和直徑x間的關(guān)系式了．下面我們就來(lái)求出這個(gè)一次函數(shù)式．
設(shè)這條直線(xiàn)的一次函數(shù)式為：
y=ax＋b．
為了求出常數(shù)a，b，在直線(xiàn)上取兩點(diǎn)，取點(diǎn)的原則是：為使直線(xiàn)位置穩(wěn)定，取直線(xiàn)上距離較遠(yuǎn)的兩點(diǎn)；為便于計(jì)算，取坐標(biāo)數(shù)據(jù)整齊些的兩點(diǎn)．為此，我們?nèi)↑c(diǎn)(4，8.6)和(40，26)，將此兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax＋b，得方程組
所以 y=0.48x+6.68．
第四步：利用上述函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)直徑x的數(shù)值，預(yù)報(bào)樹(shù)高y的數(shù)值．例如，當(dāng)x=15厘米時(shí)，樹(shù)高y等于多少米？顯然，此時(shí)
y=0.48×15＋6.68=13.88(厘米)．
這就是說(shuō)，當(dāng)樹(shù)的直徑為15厘米時(shí)，樹(shù)高為13.88米．
上面是用兩對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(兩個(gè)點(diǎn))求出的直線(xiàn)方程．利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的信息較少，因此準(zhǔn)確性較差．下面利用平均值法改進(jìn)一下，作法是：在直線(xiàn)的上、下取兩組靠近直線(xiàn)的點(diǎn)，如(4，8.6)，(9.3，10.7)，(14.3，13.5)為一組；(32，22.4)，(40，26)，(42，28)為一組，用每組x，y的平均值(9.2，10.93)和(38，25.47)作為兩點(diǎn)，再按上面的方法求出直線(xiàn)方程y=0.50x＋6.28，以此作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，y對(duì)x間的函數(shù)關(guān)系就比較準(zhǔn)確些．
說(shuō)明 上面的方法，是數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的一種應(yīng)用，經(jīng)常用在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為有序數(shù)對(duì)(x，y)時(shí)，相應(yīng)地在直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(x，y)的散點(diǎn)圖．如果散點(diǎn)圖近于一條直線(xiàn)，要找出變量x，y間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，就可用這種方法．然而由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作出的散點(diǎn)圖不一定近于直線(xiàn)，而近于一條曲線(xiàn)時(shí)，也可找到x，y間的函數(shù)關(guān)系式，不過(guò)需要更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們?cè)诖司筒唤榻B了．
3．運(yùn)籌優(yōu)化法
有些實(shí)際問(wèn)題，可以根據(jù)問(wèn)題的要求，首先籌劃一些可行的處理方案，然后比較這些方案的優(yōu)劣，選擇其中一種或幾種方案加以?xún)?yōu)化組合，并用數(shù)學(xué)方法加以處理，以便得到最佳的解決方案．下面舉一個(gè)實(shí)例說(shuō)明這種方法的應(yīng)用．
例3 要做20個(gè)矩形鋼框，每個(gè)由2.2米和1.5米的鋼材各兩根組成，已知原鋼材長(zhǎng)4.6米，應(yīng)如何下料，使用的原鋼材最?。?/p>
分析與解 要做成20個(gè)矩形的鋼框，就需要2.2米和1.5米的鋼材各40根．一種簡(jiǎn)單的想法是：在每一根原料上截取2.2米和1.5米的鋼材各一根，這樣每根原鋼材剩下0.9米的料頭，要做20個(gè)鋼框，就要用原鋼材40根，而剩下的料頭總數(shù)為0.9×40=36米．
顯然，上述想法，浪費(fèi)材料，不太合理．因此，我們可以考慮合理套裁，就可以節(jié)省原料．下面有三種下料方案可供采用．
為了省料而得到20個(gè)鋼框，需要混合使用各種下料方案．設(shè)用第Ⅰ種方案下料的原材料根數(shù)為x1；用第Ⅱ種方案下料的原材料根數(shù)為x2；用第Ⅲ種方案下料的原材料根數(shù)為x3．所謂原材料最省，也就是使所剩下的料頭總和最少．為此根據(jù)表28．2的方案，可以列出以下的數(shù)學(xué)模型
y=0.1x1+0.2x2＋0.9x3，解之得
其中0≤x3≤40．把x1，x2代入y得
可以看出，x3越大，y的值也越大，所以x3的取值應(yīng)盡量?。?/p>
當(dāng)x3=0時(shí)，可取x1=14，x2=20．
當(dāng)x3=1時(shí)，x1=13，x2=20，都是用原材料34根，料頭的總數(shù)為
y=34×4.6-(2.2+1.5)×40=8.4(米)．
所以，原材料最省的下料方案是：按方案Ⅰ下料13(或14)根，用方案Ⅱ下料20根，用方案Ⅲ下料1(或0)根，這樣只需34根原材料就可做出20個(gè)鋼框．
練習(xí)二十八
1．下列圖形是否可以一筆畫(huà)出？
2．圖2-154是3×3的方格型道路網(wǎng)，如果每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1千米，那么由A點(diǎn)出發(fā)走完全部路段，最后又回到A點(diǎn)，最少要走多少千米？
3．設(shè)x表示排在彈簧上的物品的重量(千克)，y表示彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度(厘米)，已知(x，y)有如下的對(duì)應(yīng)測(cè)量值：
(1)畫(huà)出此組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；
(2)求出y關(guān)于x的函數(shù)表示式；
(3)當(dāng)x=2.3千克時(shí)，試預(yù)報(bào)彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度．
4．有一批長(zhǎng)50米的鋼筋，現(xiàn)要截成長(zhǎng)度為9.5米和7米的兩種鋼筋備用，問(wèn)怎樣截法可使原材料的利用率最高？并求利用率是多少？
第二篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第01講因式分解(一)
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第一講 因式分解(一)
多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹．
1．運(yùn)用公式法
在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)．
運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)
2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．
分析 我們已經(jīng)知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)．
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
說(shuō)明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為
a3+b3+c3-3abc
顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有
等號(hào)成立的充要條件是x=y=z．這也是一個(gè)常用的結(jié)論．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開(kāi)始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來(lái)分解．
解 因?yàn)?/p>
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以
說(shuō)明 在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．
2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法
因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者稱(chēng)為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．
解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加兩項(xiàng)-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
說(shuō)明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解(1)將-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)將4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
說(shuō)明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．
3．換元法
換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 將原式展開(kāi)，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了．
解 設(shè)x2+x=y，則
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
說(shuō)明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試．
例7 分解因式：
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2，則
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
說(shuō)明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)．
例8 分解因式：
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解 設(shè)x2+4x+8=y，則
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
說(shuō)明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃危瑩Q元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式．
例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2
=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x
2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
說(shuō)明 本解法實(shí)際上是將x2-1看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體．
解法2
原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱(chēng)式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．
解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，則
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2．
練習(xí)一
1．分解因式：
(2)x10+x5-2；
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
2．分解因式：
(1)x3+3x2-4；
(2)x4-11x2y2+y2；
(3)x3+9x2+26x+24；
(4)x4-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；
(2)x4+7x3+14x2+7x+1；
(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
第一講 因式分解(一)
多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用．初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法．本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹．
1．運(yùn)用公式法
在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：
(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)．
運(yùn)用公式法分解因式時(shí)，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式．
例1 分解因式：
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；
(2)x3-8y3-z3-6xyz；
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；
(4)a7-a5b2+a2b5-b7．
解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)
2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
＝(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2．
本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．
本題實(shí)際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)．
分析 我們已經(jīng)知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正確性，現(xiàn)將此公式變形為
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．
這個(gè)式也是一個(gè)常用的公式，本題就借助于它來(lái)推導(dǎo)．
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．
說(shuō)明 公式(6)是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為
a3+b3+c3-3abc
顯然，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，則a3+b3+c3=3abc；當(dāng)a+b+c＞0時(shí)，則a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．
如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，則有
等號(hào)成立的充要條件是x=y=z．這也是一個(gè)常用的結(jié)論．
例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．
分析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)x15開(kāi)始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應(yīng)用公式an-bn來(lái)分解．
解 因?yàn)?/p>
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以
說(shuō)明 在本題的分解過(guò)程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．
2．拆項(xiàng)、添項(xiàng)法
因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算．在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零．在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng)，前者稱(chēng)為拆項(xiàng)，后者稱(chēng)為添項(xiàng)．拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解．
例4 分解因式：x3-9x+8．
分析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧．
解法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9．
原式=x3-9x-1+9
=(x3-1)-9x+9
=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法2 將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x．
原式=x3-x-8x+8
=(x3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法3 將三次項(xiàng)x3拆成9x3-8x3．
原式=9x3-8x3-9x+8
=(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)
=(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加兩項(xiàng)-x2+x2．
原式=x3-9x+8
=x3-x2+x2-9x+8
=x2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x2+x-8)．
說(shuō)明 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種．
例5 分解因式：
(1)x9+x6+x3-3；
(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；
(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；
(4)a3b-ab3+a2+b2+1．
解(1)將-3拆成-1-1-1．
原式=x9+x6+x3-1-1-1
=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)
=(x3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．
(2)將4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn
=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn
=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
=(mn+1)2-(m-n)2
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．
原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4
=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2
=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．
(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab．
原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab
=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b2+1)
=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．
說(shuō)明(4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn)．
3．換元法
換元法指的是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個(gè)整體，并用一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算，從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰．
例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．
分析 將原式展開(kāi)，是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將x2+x看作一個(gè)整體，并用字母y來(lái)替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題了．
解 設(shè)x2+x=y，則
原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．
說(shuō)明 本題也可將x2+x+1看作一個(gè)整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試．
例7 分解因式：
(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．
分析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合．
解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．
令y=2x2+5x+2，則
原式=y(y+1)-90=y2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)
=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．
說(shuō)明 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)．
例8 分解因式：
(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．
解 設(shè)x2+4x+8=y，則
原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x2+6x+8)(x2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．
說(shuō)明 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變?cè)托伦冊(cè)梢砸黄鹱冃?，換元法的本質(zhì)是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式．
例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2
=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2
=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2
=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2
=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
說(shuō)明 本解法實(shí)際上是將x2-1看作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體．
解法2
原式=x2[6(t2+2)+7t-36]
=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)
=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．
分析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱(chēng)式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式．
解 原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，則
原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)
=u4-6u2v+9v2
=(u2-3v)2
=(x2+2xy+y2-3xy)2
=(x2-xy+y2)2．
練習(xí)一
1．分解因式：
(2)x10+x5-2；
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
2．分解因式：
(1)x3+3x2-4；
(2)x4-11x2y2+y2；
(3)x3+9x2+26x+24；
(4)x4-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；
(2)x4+7x3+14x2+7x+1；
(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；
(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
第三篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第12講平行線(xiàn)問(wèn)題
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第十二講平行線(xiàn)問(wèn)題
平行線(xiàn)是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ?jiàn)的圖形．練習(xí)本每一頁(yè)中的橫線(xiàn)、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線(xiàn)”以及黑板框的對(duì)邊、桌面的對(duì)邊、教室墻壁的對(duì)邊等等均是互相平行的線(xiàn)段．
正因?yàn)槠叫芯€(xiàn)在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識(shí)及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識(shí)．
正因?yàn)槠叫芯€(xiàn)在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線(xiàn)成為古往今來(lái)很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對(duì)象．歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們?cè)谑谷藗冋J(rèn)識(shí)宇宙空間中起著非常重要的作用．
現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個(gè)公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與這條直線(xiàn)平行”．
在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線(xiàn)的判定定理及性質(zhì)定理．下面我們舉例說(shuō)明這些知識(shí)的應(yīng)用．
例1 如圖 1－18，直線(xiàn)a∥b，直線(xiàn) AB交 a與 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求證：∠C=90°
．
分析 由于a∥b，∠1，∠2是兩個(gè)同側(cè)內(nèi)角，因此∠1+∠2=
過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn) l，使 l∥a(或 b)即可通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移．
證 過(guò)C點(diǎn)作直線(xiàn)l，使l∥a(圖1－19)．因?yàn)閍∥b，所以b∥l，所以
∠1+∠2=180°(同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ))．
因?yàn)锳C平分∠1，BC平分∠2，所以
又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以
∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
說(shuō)明 做完此題不妨想一想這個(gè)問(wèn)題的“反問(wèn)題”是否成立，即“兩條直線(xiàn)a，b被直線(xiàn)AB所截(如圖1－20所示)，CA，CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線(xiàn)，若∠C=90°，問(wèn)直線(xiàn)a與直線(xiàn)b是否一定平行？”
由于這個(gè)問(wèn)題與上述問(wèn)題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問(wèn)題的解決方法來(lái)試解．
例2 如圖1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．
分析 本題對(duì)∠A1，∠A2，∠B1的大小并沒(méi)有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個(gè)角的大小無(wú)關(guān)．也就是說(shuō)，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的．我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即
∠A1+∠A2=∠B1． ①
猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明．①式給我們一種啟發(fā)，能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2．這就引發(fā)我們過(guò)B1點(diǎn)引AA1(從而也是BA2)的平行線(xiàn)，它將∠B1一分為二．
證 過(guò)B1引B1E∥AA1，它將∠A1B1A2分成兩個(gè)角：∠1，∠2(如圖1－22所示)．
因?yàn)锳A1∥BA2，所以B1E∥BA2．從而
∠1=∠A1，∠2=∠A2(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以
∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．
說(shuō)明(1)從證題的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于AA1∥BA2，它與連接A1，A2兩點(diǎn)之間的折線(xiàn)段的數(shù)目無(wú)關(guān)，如圖1－23所示．連接A1，A2之間的折線(xiàn)段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．
進(jìn)一步可以推廣為
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋?-∠Bn-1+∠An=0．
這時(shí)，連結(jié)A1，An之間的折線(xiàn)段共有n段A1B1，B1A2，?，Bn-1An(當(dāng)然，仍要保持 AA1∥BAn)．
推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如果抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問(wèn)題推廣到復(fù)雜的情況．
(2)這個(gè)問(wèn)題也可以將條件與結(jié)論對(duì)換一下，變成一個(gè)新問(wèn)題．
問(wèn)題1 如圖1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，問(wèn)AA1與BA2是否平行？
問(wèn)題2 如圖1－25所示．若
∠A1+∠A2+?+∠An=∠B1+∠B2+?+∠Bn-1，問(wèn)AA1與BAn是否平行？
這兩個(gè)問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)加以思考．
例3 如圖1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．
分析 利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能將∠1，∠2，∠C“集中”到一個(gè)頂點(diǎn)處，這是最理想不過(guò)的了，過(guò)F點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)恰能實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)．
解 過(guò)F到 FG∥CB，交 AB于G，則
∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(內(nèi)錯(cuò)角相等)．
因?yàn)?AE∥BD，所以
∠1=∠BFA(內(nèi)錯(cuò)角相等)，所以
∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50°．
說(shuō)明(1)運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)，將角集中到適當(dāng)位置，是添加輔助線(xiàn)(平行線(xiàn))的常用技巧．
(2)在學(xué)過(guò)“三角形內(nèi)角和”知識(shí)后，可有以下較為簡(jiǎn)便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即
∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．
例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180°．
分析平角為180°．若能運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)，將三角形三個(gè)內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn)，并得到一個(gè)平角，問(wèn)題即可解決，下面方法是最簡(jiǎn)單的一種．
證 如圖1－27所示，在△ABC中，過(guò)A引l∥BC，則
∠B=∠1，∠C=∠2(內(nèi)錯(cuò)角相等)．
顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角，所以 ∠A+∠B+∠C=180°．
說(shuō)明 事實(shí)上，我們可以運(yùn)用平行線(xiàn)的性質(zhì)，通過(guò)添加與三角形三條邊平行的直線(xiàn)，將三角形的三個(gè)內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論．如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處，不過(guò)，解法將較為麻煩．同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法．
例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360°．
分析 應(yīng)用例3類(lèi)似的方法，添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€(xiàn)，將這四個(gè)角“聚合”在一起使它們之和恰為一個(gè)周角．在添加平行線(xiàn)中，盡可能利用原來(lái)的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過(guò)程．
證 如圖1－28所示，四邊形ABCD中，過(guò)頂點(diǎn)B引BE∥AD，BF∥CD，并延長(zhǎng) AB，CB到 H，G．則有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．
∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對(duì)頂角相等)．
由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以
∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
說(shuō)明(1)同例3，周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變．
(2)總結(jié)例
3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：
三角形內(nèi)角和=180°=(3-2)×180°，四邊形內(nèi)角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．
人們不禁會(huì)猜想：
五邊形內(nèi)角和=(5-2)×180°=540°，?????????? n邊形內(nèi)角和=(n-2)×180°．
這個(gè)猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過(guò)三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡(jiǎn)單．
(3)在解題過(guò)程中，將一些表面并不相同的問(wèn)題，從形式上加以適當(dāng)變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問(wèn)題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法．
例6 如圖1－29所示．直線(xiàn)l的同側(cè)有三點(diǎn)A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求證： A，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．
分析A，B，C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上可以理解為∠ABC為平角，即只要證明射線(xiàn)BA與BC所夾的角為180°即可，考慮到以直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，該點(diǎn)分直線(xiàn)所成的兩條射線(xiàn)為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過(guò)B作與l相交的直線(xiàn)，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B處．
證 過(guò)B作直線(xiàn) BD，交l于D．因?yàn)锳B∥l，CB∥l，所以
∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(內(nèi)錯(cuò)角相等)．
又∠1+∠2=180°，所以
∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．
A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)．
思考 若將問(wèn)題加以推廣：在l的同側(cè)有n個(gè)點(diǎn)A1，A2，?，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，?，n-1)．是否還有同樣的結(jié)論？
例7 如圖1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．
求證：∠3=∠B．
分析 如果∠3=∠B，則應(yīng)需EF∥BC．又知∠1=∠2，則有BC∥AD．從而，應(yīng)有EF∥AD．這一點(diǎn)從條件EF⊥CD及∠D=90°不難獲得．
證 因?yàn)椤?=∠2，所以
AD∥BC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行)．
因?yàn)椤螪=90°及EF⊥CD，所以
AD∥EF(同位角相等，兩直線(xiàn)平行)．
所以 BC∥EF(平行公理)，所以
∠3=∠B(兩直線(xiàn)平行，同位角相等)．
練習(xí)十二
1．如圖1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．
2．如圖1－32所示．CD是∠ACB的平分線(xiàn)，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．
3．如圖1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．問(wèn)：EF與EG中有沒(méi)有與AB平行的直線(xiàn)，為什么？
4．證明：五邊形內(nèi)角和等于540°．
5．如圖1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求證：EF平分∠DEB．
第四篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第32講 自測(cè)題
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第三十二講 自測(cè)題
自測(cè)題一
1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．
2．已知a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足
a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個(gè)三角形的形狀．
3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且
a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．
4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)根為a和b，求a＋b＋c的值．
5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，D為BC上的任一點(diǎn)，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交
6．四邊形ABCD中，如果一組對(duì)角(∠A，∠C)相等時(shí)，另一組對(duì)角(∠B，∠D)的平分線(xiàn)存在什么關(guān)系？
7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△
8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連AN，CM交于P點(diǎn)．求∠APM的度數(shù)．
9．某服裝市場(chǎng)，每件襯衫零售價(jià)為70元，為了促銷(xiāo)，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購(gòu)買(mǎi)2件130元；購(gòu)滿(mǎn)5件者，每件以零售價(jià)的九折出售；購(gòu)買(mǎi)7件者送1件．某人要買(mǎi)6件，問(wèn)有幾種購(gòu)物方案(必要時(shí)，可與另一購(gòu)買(mǎi)2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢(qián)最少？
自測(cè)題二
1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．
2．對(duì)于集合
p={x丨x是1到100的整數(shù)}
中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號(hào)表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問(wèn)題：
(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個(gè)數(shù)；
(2)用列舉法表示集合
{x丨
3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．
4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個(gè)整數(shù)根．
(1)求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)；
(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；
(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號(hào)時(shí)，求a的值及這兩個(gè)根．
5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和．
7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線(xiàn)，BE是角平分線(xiàn)，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：
8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點(diǎn)，連BO，OC并分別延長(zhǎng)交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．
9．甲校需要課外圖書(shū)200本，乙校需要課外圖書(shū)240本，某書(shū)店門(mén)市部A可供應(yīng)150本，門(mén)市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書(shū)的運(yùn)費(fèi)如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運(yùn)，才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少？
自測(cè)題三
2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程
(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0
總有一個(gè)根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個(gè)根的范圍．
4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：
5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線(xiàn)AE交BA上的高CH于D點(diǎn)，過(guò)D引AB的平行線(xiàn)交BC于F．求證：BF=EC．
6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=
7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．
9．某公園的門(mén)票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．
(1)現(xiàn)有三個(gè)單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個(gè)單位分別怎樣買(mǎi)門(mén)票使總門(mén)票費(fèi)最??？
(2)若三個(gè)單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買(mǎi)門(mén)票使總門(mén)票費(fèi)最?。?/p>
(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買(mǎi)門(mén)票最省錢(qián)的規(guī)律嗎？
自測(cè)題四
1．求多項(xiàng)式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．
2．設(shè)
試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．
3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上任取一點(diǎn)O，過(guò)O作邊BC，AB的平行線(xiàn)交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點(diǎn)P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．
4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．
5．如圖2-202所示．△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)．
6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．
7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且
x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．
當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時(shí)，求x9-x1的值．
8．某公司有甲乙兩個(gè)工作部門(mén)，假日去不同景點(diǎn)旅游，總共有m人參加，甲部門(mén)平均每人花費(fèi)120元，乙部門(mén)每人花費(fèi)110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問(wèn)甲乙兩部門(mén)各去了多少人？
9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過(guò)AD上一點(diǎn)E引直線(xiàn)EF∥AC交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于F．求證：
FA·BC=AE·CD．
(2)當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，命題(1)將會(huì)怎樣？
(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)又會(huì)怎樣？
自測(cè)題五
2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根
3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．
4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．
5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．
6．a(chǎn)，b，c是三個(gè)自然數(shù)，且滿(mǎn)足
abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個(gè)．
7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線(xiàn)，E是BD的中點(diǎn)，BA=BD．求證：AC=2AE．
8．設(shè)AD是△ABC的中線(xiàn)，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；
(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時(shí)，將怎樣？
按沿河距離計(jì)算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn)，從B點(diǎn)筑一條公路到D，才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最??？
第五篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題
全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集
第三十一講復(fù)習(xí)題
1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．
2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．
5．已知
求ab＋cd的值．
為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>
8．求分式 的值．
9．已知：
求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．
11．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足等式
求x，y的值．
12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．
13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．
14．已知三個(gè)二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．
15．如圖2-178所示．在△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作∠A的平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，足為D．DE∥AC交AB于E點(diǎn)．求證：E是AB的中點(diǎn)．
16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．
17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC．若BC中點(diǎn)為E，AD=2AE，求證：AB=BC．
18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．
19．證明：梯形對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)的連線(xiàn)平行于底，并且等于兩底差的一半．
20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點(diǎn)．求證：
CD=CE．
21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過(guò)M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過(guò)N且平行于AD．求證：
22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，P是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．
23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：
AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．
24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線(xiàn)，分別交AD于M，N點(diǎn)，連CN并延長(zhǎng)交AB于E．求證：
25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．
26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：
(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；
(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．
27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．
28．把 1，2，3，?，81這 81個(gè)數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計(jì)算
丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；
再將這27個(gè)數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計(jì)算
丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．
如此繼續(xù)下去，最后得到一個(gè)數(shù)x，問(wèn)x是奇數(shù)還是偶數(shù)？
29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：
BC＋AD＞AB+CD．
31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長(zhǎng)．
32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，的面積．
33．已知一元二次方程
x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1，x2滿(mǎn)足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
34．求所有的正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．
35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時(shí)，方程
x2＋px＋q=0
無(wú)整數(shù)根．
36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過(guò)C引直線(xiàn)CE∥AD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，求BE之長(zhǎng)．
37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．
38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線(xiàn)和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？
39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線(xiàn)兩兩相交的交點(diǎn)分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來(lái)的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？
40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對(duì)應(yīng)邊分別作三個(gè)相似三角形，那么這三個(gè)相似三角形面積之間有什么關(guān)系？
41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來(lái)表示，那么這個(gè)三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？
42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時(shí)，重4.4千克，水高為10厘米時(shí)，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時(shí)，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測(cè)當(dāng)水高為8厘米時(shí)，水重為多少千克？
43．有7張電影票，10個(gè)人抽簽，為此先做好10個(gè)簽，其中7個(gè)簽上寫(xiě)“有票”，3個(gè)簽上寫(xiě)“無(wú)票”，然后10個(gè)人排好隊(duì)按順序抽簽．問(wèn)第一人與第二人抽到的可能性是否相同？
44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個(gè)互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？
45．唐代詩(shī)人王之渙的著名詩(shī)篇：
白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．
按詩(shī)人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解釋?zhuān)?/p>
46．在一個(gè)池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問(wèn)如何利用這根水草測(cè)出水深？
47．在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個(gè)村子A，B，河的兩岸基本上是平行線(xiàn)．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來(lái)，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？
48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個(gè)城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長(zhǎng)度最短(圖2-191)？
49．三個(gè)同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車(chē)違反了交通規(guī)則．但他們沒(méi)有完全記住這輛汽車(chē)的車(chē)號(hào)(車(chē)號(hào)由4位數(shù)字組成)，可是第一個(gè)同學(xué)記住車(chē)號(hào)的前兩位數(shù)是相同的，第二個(gè)同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個(gè)同學(xué)記得這個(gè)四位數(shù)恰好是一個(gè)數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線(xiàn)索，能找出這輛汽車(chē)的車(chē)號(hào)嗎？
50．圖2-192是一個(gè)彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱(chēng)東西前的狀況，此時(shí)刻度0齊上線(xiàn)，彈簧伸長(zhǎng)的初始長(zhǎng)度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長(zhǎng)度也相應(yīng)地伸長(zhǎng)．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：
(1)以x，y的對(duì)應(yīng)值(x，y)為點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出散點(diǎn)圖；
(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時(shí)，y的長(zhǎng)度．
點(diǎn)擊咨詢(xún) 