第一篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第30講 生活中的數(shù)學(xué)(二)——地板磚上的數(shù)學(xué)

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第三十講 生活中的數(shù)學(xué)(二)——地板磚上的數(shù)學(xué)

隨著人們生活水平的提高，很多家庭都裝修房子，其中鋪地板磚就是一項(xiàng)重要的美化工作．當(dāng)你看到地板磚展鋪成美麗的圖案時(shí)，你是否想到展鋪這美麗圖案的數(shù)學(xué)原理呢？如果你注意到的話，可能會(huì)對(duì)下面的簡(jiǎn)單分析發(fā)生興趣．

地板磚展鋪的圖形，一般都是用幾種全等的平面圖形展鋪開來(lái)的，有時(shí)用由直線構(gòu)成的多邊形組成的圖案，有時(shí)用由曲線組成的圖案，千變?nèi)f化．但是作為基礎(chǔ)還是用平面多邊形展鋪平面．有時(shí)雖然有曲線，卻常常是由多邊形和圓作適當(dāng)變化而得到的．例如，一個(gè)由正方形展鋪的平面圖案(圖1－77(a))，如果對(duì)正方形用圓弧做一些變化(圖1－77(b))，那么把以上兩個(gè)圖形結(jié)合起來(lái)設(shè)計(jì)，就可由比較單調(diào)的正方形圖案，變化曲線形成花紋圖案了(圖1－77(c))．

由于多邊形是構(gòu)成地板磚展鋪復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，因此，下面我們對(duì)利用多邊形展鋪平面圖形做些簡(jiǎn)要分析．

例1 怎樣以三角形為基礎(chǔ)展鋪平面圖案．

分析與解 三角形是多邊形中最簡(jiǎn)單的圖形，如果用三角形為基本圖形來(lái)展鋪平面圖案，那么就要考慮三角形的特點(diǎn)．由于三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°，所以要把三角形的三個(gè)角集中到一起，就組成了一個(gè)平角．如果要在平面上一個(gè)點(diǎn)的周圍集中三角形的角，那么必須使這些角的和為兩個(gè)平角．因此，若把圖1－78中的三角形的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，并進(jìn)行軸對(duì)稱變換或中心對(duì)稱變換，就可以得到集中于一點(diǎn)的六個(gè)角，它們的和為360°，剛好覆蓋上這一點(diǎn)周圍的平面．變換的方法見圖1－79．

在中心對(duì)稱的情況下，三角形不翻折，在軸對(duì)稱的情況下，三角形要翻折．如果把三角形正、反兩面涂上顏色，那么通過(guò)對(duì)稱變換，正、反兩面就會(huì)明顯地反映出來(lái)了．

由上面的分析可知，用三角形為基本圖形展鋪平面圖案，共有以下四種情況，如圖1－80．

例2 怎樣以四邊形為基礎(chǔ)展鋪平面圖案？

分析與解 由于四邊形內(nèi)角和為360°，所以，任何四邊形都可以作為基本圖形來(lái)展鋪平面圖案．圖1－81中的(a)，(b)，(C)，(d)分別是以矩形、菱形、梯形、一般四邊形為基本圖形的平面展鋪圖案．

例3 怎樣以正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案？

分析與解 用正多邊形為基本圖形展鋪平面圖案，集中于一點(diǎn)的周圍的正多邊形的各個(gè)角的和應(yīng)是360°．例如，正五邊形一個(gè)內(nèi)角為

正十邊形一個(gè)內(nèi)角為

如果把兩個(gè)正五邊形的內(nèi)角與一個(gè)正十邊形的內(nèi)角加起來(lái)，則其和為2×108°+144°=360°．但是它們并不能用來(lái)展鋪平面．

如果用同種的正n邊形來(lái)展鋪平面圖案，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍集中了m個(gè)正n邊形的角．由于這些角的和應(yīng)為360°，所以以下等式成立

因?yàn)閙，n都是正整數(shù)，并且m＞2，n＞2．所以m-2，n-2也都必定是正整數(shù)．所以當(dāng)n-2=1，m-2=4時(shí)，則n=3，m=6；當(dāng)n-2=2，m-2=2時(shí)，則n=4，m=4；當(dāng)n-2=4，m-2=1時(shí)，則n=6，m=3．這就證明了只用一種正多邊形展鋪平面圖案，只存在三種情況：

(1)由6個(gè)正三角形拼展，我們用符號(hào)(3，3，3，3，3，3)來(lái)表示(見圖1－82)．

(2)由4個(gè)正方形拼展，我們用符號(hào)(4，4，4，4)來(lái)表示

(見圖1－83)．

(3)由3個(gè)正六邊形來(lái)拼展，我們用符號(hào)(6，6，6)來(lái)表示

(見圖1－84)．

如果用兩種正多邊形來(lái)拼展平面圖案，那么就有以下五種情況：(3，3，3，4，4)，(3，3，3，3，6)，(3，3，6，6)，(3，12，12)以及(4，8，8)．這五種情況中，(3，3，3，4，4)又可有兩種不同的拼展方法，參看下面六種拼展圖形(圖1－85)．

用三種正多邊形展拼平面圖形就比較難設(shè)計(jì)了．下面舉出兩例供同學(xué)們思考(圖1－86)．

有興趣的同學(xué)請(qǐng)自己構(gòu)想出一兩個(gè)例子．

練習(xí)二十三

1．試用三角形和梯形這兩種多邊形拼展平面圖案．

2．試用形如圖1－87的圖形拼展平面圖案．

3．試用邊長(zhǎng)為1的正三角形、邊長(zhǎng)為1的正方形和兩腰為

1、夾角為120°的等腰三角形拼展平面圖案．

4．試用圓弧和多邊形(多邊形可以用圓弧割補(bǔ))設(shè)計(jì)一種平面圖案．

5．試用一個(gè)正方形，仿照?qǐng)D1－76(a)，(b)，(c)的變化方式，設(shè)計(jì)一種平面圖案．

第二篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第32講 自測(cè)題

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第三十二講 自測(cè)題

自測(cè)題一

1．分解因式：x4-x3＋6x2-x+15．

2．已知a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，且滿足

a2＋b2＋c2＋338=10a+24b+26c，試確定這個(gè)三角形的形狀．

3．已知a，b，c，d均為自然數(shù)，且

a5＝b4，c3＝d2，c-a＝19，求d-b的值．

4． a，b，c是整數(shù)，a≠0，且方程ax2＋bx＋c=0的兩個(gè)根為a和b，求a＋b＋c的值．

5．設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，D為BC上的任一點(diǎn)，P在BF上，DP∥CF，Q在CE上，DQ∥BE，PQ交BE于R，交

6．四邊形ABCD中，如果一組對(duì)角(∠A，∠C)相等時(shí)，另一組對(duì)角(∠B，∠D)的平分線存在什么關(guān)系？

7．如圖2-194所示．△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且∠1=∠2=∠3．如果△ABC，△

8．如圖2-195所示．△ABC中，∠B=90°，M為AB上一點(diǎn)，使得AM=BC，N為BC上一點(diǎn)，使得CN=BM，連AN，CM交于P點(diǎn)．求∠APM的度數(shù)．

9．某服裝市場(chǎng)，每件襯衫零售價(jià)為70元，為了促銷，采用以下幾種優(yōu)惠方式：購(gòu)買2件130元；購(gòu)滿5件者，每件以零售價(jià)的九折出售；購(gòu)買7件者送1件．某人要買6件，問(wèn)有幾種購(gòu)物方案(必要時(shí)，可與另一購(gòu)買2件者搭幫，但要兼顧雙方的利益)？哪種方案花錢最少？

自測(cè)題二

1．分解因式：(x2+3x+5)2+2x3+3x2+1Ox．

2．對(duì)于集合

p={x丨x是1到100的整數(shù)}

中的元素a，b，如果a除以b的余數(shù)用符號(hào)表示．例如17除以4，商是4，余數(shù)是1，就表示成<17，4>=1，3除以7，商是0，余數(shù)是3，即表示成<3，7>=3．試回答下列問(wèn)題：

(1)本集合{x丨<78，x>=6，x∈p}中元素的個(gè)數(shù)；

(2)用列舉法表示集合

{x丨==5，x∈P}．

3．已知：x+y+z＝1，x2＋y2+z2=2，x3＋y3+z3=3，試求：(1)xyz的值；(2)x4＋y4＋z4的值．

4．已知方程x2-3x＋a＋4=0有兩個(gè)整數(shù)根．

(1)求證：這兩個(gè)整數(shù)根一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)；

(2)求證：a是負(fù)偶數(shù)；

(3)當(dāng)方程的兩整數(shù)根同號(hào)時(shí)，求a的值及這兩個(gè)根．

5．證明：形如8n+7的數(shù)不可能是三個(gè)整數(shù)的平方和．

7．如圖2-196所示．AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，BE是角平分線，EF⊥BC，EG⊥BE且交BC于G．求證：

8．如圖2-197所示．AD是銳角△ABC的高，O是AD上任意一點(diǎn)，連BO，OC并分別延長(zhǎng)交AC，AB于E，F(xiàn)，連結(jié)DE，DF．求證：∠EDO=∠FDO．

9．甲校需要課外圖書200本，乙校需要課外圖書240本，某書店門市部A可供應(yīng)150本，門市部B可供應(yīng)290本．如果平均每本書的運(yùn)費(fèi)如下表，考慮到學(xué)校的利益，如何安排調(diào)運(yùn)，才能使學(xué)校支出的運(yùn)費(fèi)最少？

自測(cè)題三

2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，方程

(k2＋1)x2-2(a＋k)2x＋k2＋4k＋b＝0

總有一個(gè)根是1，試求實(shí)數(shù)a，b的值及另一個(gè)根的范圍．

4．如圖2-198．ABCD為圓內(nèi)接四邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)A引平行于CD的弦AP交圓于P，并且分別交BC，BD于Q，R．求證：

5．如圖2-199所示．在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線AE交BA上的高CH于D點(diǎn)，過(guò)D引AB的平行線交BC于F．求證：BF=EC．

6．如圖2-200所示．△ABC中，AB＞AC，作∠FBC=∠ECB=

7．已知三角形的一邊是另一邊的兩倍，求證：它的最小邊在它的周8．求最大的自然數(shù)x，使得對(duì)每一個(gè)自然數(shù)y，x能整除7y+12y-1．

9．某公園的門票規(guī)定為每人5元，團(tuán)體票40元一張，每張團(tuán)體票最多可入園10人．

(1)現(xiàn)有三個(gè)單位，游園人數(shù)分別為6，8，9．這三個(gè)單位分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最??？

(2)若三個(gè)單位的游園人數(shù)分別是16，18和19，又分別怎樣買門票使總門票費(fèi)最??？

(3)若游園人數(shù)為x人，你能找出一般買門票最省錢的規(guī)律嗎？

自測(cè)題四

1．求多項(xiàng)式2x2-4xy＋5y2-12y+13的最小值．

2．設(shè)

試求：f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(1999)．

3．如圖2-201所示．在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上任取一點(diǎn)O，過(guò)O作邊BC，AB的平行線交AB，BC于F，E，又在 EO上取一點(diǎn)P．CP與OF交于Q．求證：BP∥DQ．

4．若a，b，c為有理數(shù)，且等式成立，則a=b=c=0 ．

5．如圖2-202所示．△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB，AC于M，N，連接MN，求△AMN的周長(zhǎng)．

6．證明：由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的不重復(fù)六位數(shù)不可能被11整除．

7．設(shè)x1，x2，…，x9均為正整數(shù)，且

x1＜x2＜…＜x9，x1＋x2+…＋x9＝220．

當(dāng)x1+x2+…+x5的值最大時(shí)，求x9-x1的值．

8．某公司有甲乙兩個(gè)工作部門，假日去不同景點(diǎn)旅游，總共有m人參加，甲部門平均每人花費(fèi)120元，乙部門每人花費(fèi)110元，該公司去旅游的總共花去2250元，問(wèn)甲乙兩部門各去了多少人？

9．(1)已知如圖2-203，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，過(guò)AD上一點(diǎn)E引直線EF∥AC交BA延長(zhǎng)線于F．求證：

FA·BC=AE·CD．

(2)當(dāng)E點(diǎn)移動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，命題(1)將會(huì)怎樣？

(3)當(dāng)E點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)又會(huì)怎樣？

自測(cè)題五

2．關(guān)于x的二次方程6x2-(2m-1)x-(m＋1)=0有一根

3．設(shè)x＋y=1，x2＋y2=2，求x7＋y7的值．

4．在三角形ABC內(nèi)，∠B=2∠C．求證：b2=c2＋ac．

5．若4x-y能被3整除，則4x2+7xy-2y2能被9整除．

6．a(chǎn)，b，c是三個(gè)自然數(shù)，且滿足

abc＝a＋b＋c，求證：a，b，c只能是1，2，3中的一個(gè)．

7．如圖2-204所示．AD是△ABC的BC邊上的中線，E是BD的中點(diǎn)，BA=BD．求證：AC=2AE．

8．設(shè)AD是△ABC的中線，(1)求證：AB2＋AC2=2(AD2＋BD2)；

(2)當(dāng)A點(diǎn)在BC上時(shí)，將怎樣？

按沿河距離計(jì)算，B離A的距離AC=40千米，如果水路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半，應(yīng)該怎樣確定在河岸上的D點(diǎn)，從B點(diǎn)筑一條公路到D，才能使A到B的運(yùn)費(fèi)最?。?/p>

第三篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第31講 復(fù)習(xí)題

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第三十一講復(fù)習(xí)題

1．分解因式：3x2+5xy-2y2+x＋9y-4．

2．分解因式：(x2＋xy＋y2)(x2+xy+2y2)-12y4．

5．已知

求ab＋cd的值．

為任意正數(shù)，證明1＜s＜2.7．設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，比較M，N的大?。?/p>

8．求分式 的值．

9．已知：

求證：px＋qy+rz=(p+q+r)(x+y+z)．

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式

求x，y的值．

12．若14(a2+b2+c2)=(a＋2b＋3c)2，求a∶b∶c．

13．解方程：x2＋2x-3丨x+1丨+3=0．

14．已知三個(gè)二次方程x2-3x＋a=0，2x2＋ax-4=0，ax2＋bx-3=0有公共解，試求整數(shù)a和整數(shù)b的值．

15．如圖2-178所示．在△ABC中，過(guò)點(diǎn)B作∠A的平分線的垂線，足為D．DE∥AC交AB于E點(diǎn)．求證：E是AB的中點(diǎn)．

16．求證：直角三角形勾股平方的倒數(shù)和等于弦上的高的平方的倒數(shù)．

17．如圖2-179所示．在△ABC中，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC．若BC中點(diǎn)為E，AD=2AE，求證：AB=BC．

18．如圖2-180所示．ABCD是平行四邊形，BCGH及CDFE都是正方形．求證：AC⊥EG．

19．證明：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連線平行于底，并且等于兩底差的一半．

20．如圖2-181所示．梯形ABCD中，∠ADC=90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是 BC的中點(diǎn)．求證：

CD=CE．

21．如圖2-182所示．梯形ABCD中，AD∥BC(AD＜BC)，AC和BD交于M，EF過(guò)M且平行于AD，EC和FB交于N，GH過(guò)N且平行于AD．求證：

22．如圖2-183所示．在矩形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PM交AC于Q．求證：∠QNM=∠MNP．

23．在(凸)四邊形ABCD中，求證：

AC·BD≤AB·CD＋AD·BC．

24．如圖2-184所示．AD是等腰△ABC底邊BC上的高，BM與BN是∠B的三等分角線，分別交AD于M，N點(diǎn)，連CN并延長(zhǎng)交AB于E．求證：

25．已知n是正整數(shù)，且n2-71能被7n＋55整除，求n的值．

26．求具有下列性質(zhì)的最小正整數(shù)n：

(1)它以數(shù)字6結(jié)尾；

(2)如果把數(shù)字6移到第一位之前，所得的數(shù)是原數(shù)的4倍．

27．求出整數(shù)n，它的2倍被3除余1，3倍被5除余2，5倍被7除余3．

28．把 1，2，3，?，81這 81個(gè)數(shù)任意排列為：a1，a2，a3，?，a81．計(jì)算

丨a1-a2＋a3丨，丨a4-a5＋a6丨，?，丨a79-a80＋a81丨；

再將這27個(gè)數(shù)任意排列為b1，b2，?，b27，計(jì)算

丨b1-b2+b3丨，丨b4-b5+b6丨，?，丨b25-b26＋b27丨．

如此繼續(xù)下去，最后得到一個(gè)數(shù)x，問(wèn)x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

29．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，30．設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求證：

BC＋AD＞AB+CD．

31．如圖2-185．在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別在AB和DC上，EF∥BC，EF平分梯形ABCD的面積，若AD=a，BC=b，求EF的長(zhǎng)．

32．四邊形ABCD的面積為1，M為AD的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，的面積．

33．已知一元二次方程

x2-x+1-m=0 的兩實(shí)根x1，x2滿足丨x1丨+丨x2丨≤5，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

34．求所有的正實(shí)數(shù)a，使得方程x2-ax＋4a=0僅有整數(shù)根．

35．求證：當(dāng)p，q為奇數(shù)時(shí)，方程

x2＋px＋q=0

無(wú)整數(shù)根．

36．如圖2-186．已知圓中四弦AB，BD，DC，CA分別等于a，b，c，d(且cd＞ab)．過(guò)C引直線CE∥AD交AB的延長(zhǎng)線于E，求BE之長(zhǎng)．

37．設(shè)A={2，x，y}，B={2，x，y2}，其中x，y是整數(shù)，并且A∩B={2，4}，A∪B={2，x，2x，16x}，求x，y的值．

38．在梯形ABCD中，與兩條平行底邊平行的直線和兩腰AB，CD交于P，Q(圖2-187)．如果AP∶PB=m∶n，那么PQ的值如何用m，n，AD，BC表示？

39．在平行四邊形ABCD中，設(shè)∠A，∠B，∠C，∠D的平分線兩兩相交的交點(diǎn)分別為P，Q，R，S，那么四邊形PQRS是什么圖形？如果原來(lái)的四邊形ABCD是矩形，那么四邊形PQRS又是什么圖形？

40．在直角三角形ABC中，以邊AB，BC，AC為對(duì)應(yīng)邊分別作三個(gè)相似三角形，那么這三個(gè)相似三角形面積之間有什么關(guān)系？

41．如果三角形的三邊用m2＋n2，m2-n2，2mn來(lái)表示，那么這個(gè)三角形的形狀如何？如果m2＋n2=4mn，又將怎樣？

42．在圓柱形容器中裝水，當(dāng)水的高度為6厘米時(shí)，重4.4千克，水高為10厘米時(shí)，重6.8千克，試用圖像表示水高為0～10厘米時(shí)，水高與重量之間的關(guān)系，并預(yù)測(cè)當(dāng)水高為8厘米時(shí)，水重為多少千克？

43．有7張電影票，10個(gè)人抽簽，為此先做好10個(gè)簽，其中7個(gè)簽上寫“有票”，3個(gè)簽上寫“無(wú)票”，然后10個(gè)人排好隊(duì)按順序抽簽．問(wèn)第一人與第二人抽到的可能性是否相同？

44．在直徑為50毫米(mm)的鐵板中，銃出四個(gè)互相外切，并且同樣大小的墊圈(圖2-188)，那么墊圈的最大直徑是多少？

45．唐代詩(shī)人王之渙的著名詩(shī)篇：

白日依山盡，黃河入海流． 欲窮千里目，更上一層樓．

按詩(shī)人的想象，要看到千里之外的景物，需要站在多高的建筑物上呢？試化成數(shù)學(xué)問(wèn)題加以解釋．

46．在一個(gè)池塘中，一棵水草AC垂直水面，AB為水草在水面上的部分，如圖2-189，問(wèn)如何利用這根水草測(cè)出水深？

47．在一條運(yùn)河的兩側(cè)有兩個(gè)村子A，B，河的兩岸基本上是平行線．現(xiàn)在要在河上架一座橋與河岸垂直，以便使兩岸居民互相往來(lái)，那么這座橋架在什么地方，才能使從A到B的路程最近呢(圖2-190)？

48．要在一條河邊修一座水塔，以便從那里給A，B兩個(gè)城市供水(設(shè)A，B在河岸EF的同側(cè))，那么水塔應(yīng)建在河岸EF的什么地方，才能使水塔到A，B兩市供水管道總長(zhǎng)度最短(圖2-191)？

49．三個(gè)同學(xué)在街頭散步，發(fā)現(xiàn)一輛汽車違反了交通規(guī)則．但他們沒(méi)有完全記住這輛汽車的車號(hào)(車號(hào)由4位數(shù)字組成)，可是第一個(gè)同學(xué)記住車號(hào)的前兩位數(shù)是相同的，第二個(gè)同學(xué)記得后兩位數(shù)也相同，第三個(gè)同學(xué)記得這個(gè)四位數(shù)恰好是一個(gè)數(shù)的平方數(shù)．根據(jù)這些線索，能找出這輛汽車的車號(hào)嗎？

50．圖2-192是一個(gè)彈簧秤的示意圖，其中：圖(a)表示彈簧稱東西前的狀況，此時(shí)刻度0齊上線，彈簧伸長(zhǎng)的初始長(zhǎng)度為b．圖(b)表示彈簧秤上掛有重物時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的狀況．如果彈簧秤上掛上不同重量的砝碼，那么彈簧秤的長(zhǎng)度也相應(yīng)地伸長(zhǎng)．現(xiàn)獲得如下一組數(shù)據(jù)：

(1)以x，y的對(duì)應(yīng)值(x，y)為點(diǎn)的坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖；

(2)求出關(guān)于x的函數(shù)y的表達(dá)式，(3)求當(dāng)x＝500克時(shí)，y的長(zhǎng)度．

第四篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第08講平行四邊形

全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集

第八講平行四邊形

平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅巍匦?、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用．

由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：

(1)平行四邊形對(duì)角相等；

(2)平行四邊形對(duì)邊相等；

(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分．

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

例1 如圖2-32所示．在EF與MN互相平分．

ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：

分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

證 因?yàn)锳BCD是平行四邊形，所以

AD

BC，AB

CD，∠B=∠D．

又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

所以

Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF． ①

又因?yàn)锳F=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF． ②

由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對(duì)角線EF與MN互相平分．

例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過(guò)添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問(wèn)題即可獲解．

證 作GH⊥BC于H，連接EH．因?yàn)锽G是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB． ①

在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以 △ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

因?yàn)锳D∥GH，所以

∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等)． ②

又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤螧EA=∠BEH，等角的補(bǔ)角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

從而

EH∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．

由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

說(shuō)明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過(guò)渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

人們?cè)趯W(xué)習(xí)中，經(jīng)過(guò)刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)我們探索新的問(wèn)題是十分有益的．

例3 如圖2-34所示．∠EMC=3∠BEM．

ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：

分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個(gè)論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過(guò)添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開．

證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知

∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長(zhǎng)線于F．求證：CA=CF．

分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長(zhǎng)DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．

證 延長(zhǎng)DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD． ①

又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以

∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②

由①，②

∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有

CA=CF．

例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)(圖2-36)．求證：

分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2．

證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H，則∠1=∠2=∠3，所以

FA=FH．

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，從而

所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，從而

Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．

分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．

證 因?yàn)镈EBD=FD，所以

BC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又

所以 BC=GC=CD．

因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以

又

所以 ∠HDG=∠GHD，從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．

練習(xí)十二

1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．

3．如圖2-40所示．CB于E．求證：BE=CF．

ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交

4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長(zhǎng)線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．

5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分

第五篇：全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(八年級(jí))教學(xué)案全集第14講 中位線及其應(yīng)用

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第十四講 中位線及其應(yīng)用

中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．

例1 如圖2-53所示．△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，△ABC的面積．

分析 由條件知，EF，EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線．利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系，不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長(zhǎng)．

解 由已知，E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)，所以，EF是△ABD的一條中位線，所以

由條件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米)，從而 AD=8(厘米)，由于E，G分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EG是△ABC的一條中位線，所以

BC=2EG=2×6=12(厘米)，顯然，AD是BC上的高，所以

例2 如圖 2-54 所示．△ABC中，∠B，∠C的平分線BE，CF相交于O，AG⊥BE于G，AH⊥CF于H．

(1)求證：GH∥BC；

(2)若AB=9厘米，AC=14厘米，BC=18厘米，求GH．

分析 若延長(zhǎng)AG，設(shè)延長(zhǎng)線交BC于M．由角平分線的對(duì)稱性可以證明△ABG≌△MBG，從而G是AM的中點(diǎn)；同樣，延長(zhǎng)AH交BC于N，H是AN的中點(diǎn)，從而GH就是△AMN的中位線，所以GH∥BC，進(jìn)而，利用△ABC的三邊長(zhǎng)可求出GH的長(zhǎng)度．

(1)證 分別延長(zhǎng)AG，AH交BC于M，N，在△ABM中，由已知，BG平分∠ABM，BG⊥AM，所以

△ABG≌△MBG(ASA)．

從而，G是AM的中點(diǎn)．同理可證

△ACH≌△NCH(ASA)，從而，H是AN的中點(diǎn)．所以GH是△AMN的中位線，從而，HG∥MN，即

HG∥BC．

(2)解 由(1)知，△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH，所以

AB=BM=9厘米，AC=CN=14厘米．

又BC=18厘米，所以

BN=BC-CN=18-14=4(厘米)，MC=BC-BM=18-9=9(厘米)．

從而

MN=18-4-9=5(厘米)，說(shuō)明(1)在本題證明過(guò)程中，我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的垂線，則這條平分線也是對(duì)邊的中線，這個(gè)三角形是等腰三角形”．

(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的中線，則這個(gè)三角形是等腰三角形，這條平分線垂直于對(duì)邊”．同學(xué)們不妨自己證明．

(3)從本題的證明過(guò)程中，我們得到啟發(fā)：若將條件“∠B，∠C的平分線”改為“∠B(或∠C)及∠C(或∠B)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠B，∠C的外角平分線”(如圖2-56所示)，其余條件不變，那么，結(jié)論GH∥BC仍然成立．同學(xué)們也不妨試證．

例3 如圖2-57所示．P是矩形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，四邊形BCPQ是平行四邊形，A′，B′，C′，D′分別是AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)．求證：A′C′=B′D′．

分析 由于A′，B′，C′，D′分別是四邊形APBQ的四條邊AP，PB，BQ，QA的中點(diǎn)，有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)知道A′B′C′D′是平行四邊形，A′C′

與B′D′則是它的對(duì)角線，從而四邊形A′B′C′D′應(yīng)該是矩形．利用ABCD是矩形的條件，不難證明這一點(diǎn)．

證 連接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，這四條線段依次是△APB，△BPQ，△AQB，△APQ的中位線．從而

A′B′∥AB，B′C′∥PQ，C′D′∥AB，D′A′∥PQ，所以，A′B′C′D′是平行四邊形．由于ABCD是矩形，PCBQ是平行四邊形，所以

AB⊥BC，BC∥PQ．

從而

AB⊥PQ，所以 A′B′⊥B′C′，所以四邊形A′B′C′D′是矩形，所以

A′C′=B′D′． ①

說(shuō)明 在解題過(guò)程中，人們的經(jīng)驗(yàn)?？善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開拓思路、擴(kuò)大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點(diǎn)連線是平行四邊形”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結(jié)，積累經(jīng)驗(yàn)，對(duì)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是很有益處的．

例4 如圖2-58所示．在四邊形ABCD中，CD＞AB，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：

分析 在多邊形的不等關(guān)系中，容易引發(fā)人們聯(lián)想三角形中的邊的不

形中構(gòu)造中位線，為此，取AD中點(diǎn)．

證 取AD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，在△ACD中，EG是它的中位線(已知E是AC的中點(diǎn))，所以

同理，由F，G分別是BD和AD的中點(diǎn)，從而，F(xiàn)G是△ABD的中位線，所以

在△EFG中，EF＞EG-FG． ③

由①，②，③

例5 如圖2-59所示．梯形ABCD中，AB∥CD，E為BC的中點(diǎn)，AD=DC+AB．求證：DE⊥AE．

分析 本題等價(jià)于證明△AED是直角三角形，其中∠AED=90°．

在E點(diǎn)(即直角三角形的直角頂點(diǎn))是梯形一腰中點(diǎn)的啟發(fā)下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形AED的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問(wèn)題獲解．

證 取梯形另一腰AD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF是梯形ABCD的中位線，所以

因?yàn)锳D=AB+CD，所以

從而

∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ADE的內(nèi)角和等于180°)．從而

∠AED=∠2+∠3=90°，所以 DE⊥AE．

例6 如圖2-60所示．△ABC外一條直線l，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)，AA1，F(xiàn)F1，DD1，EE1都垂直l于A1，F(xiàn)1，D1，E1．求證：

AA1+EE1=FF1+DD1．

分析 顯然ADEF是平行四邊形，對(duì)角線的交點(diǎn)O平分這兩條對(duì)角線，OO1恰是兩個(gè)梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．

證 連接EF，EA，ED．由中位線定理知，EF∥AD，DE∥AF，所以ADEF是平行四邊形，它的對(duì)角線AE，DF互相平分，設(shè)它們交于O，作OO1⊥l于O1，則OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位線，所以

即 AA1+EE1=FF1+DD1．

練習(xí)十四

1．已知△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，AE=2CE，CD，BE交于O點(diǎn)，OE=2厘米．求BO的長(zhǎng)．

2．已知△ABC中，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AH⊥BD于H，AF⊥CE于F．若AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求FH的長(zhǎng)．

3．已知在△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)．求證：∠BFE=∠EGD．

4．如圖2-61所示．在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD，BC，分別交FE的延長(zhǎng)線于H，G．求證：∠AHF=∠BGF．

5．在△ABC中，AH⊥BC于H，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB的中點(diǎn)(如圖2-62所示)．求證：∠DEF=∠HFE．

6．如圖2-63所示．D，E分別在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MN分別交AB，AC于P，Q．求證：AP=AQ．

7．已知在四邊形ABCD中，AD＞BC，E，F(xiàn)分別是AB，CD