第一篇：逆向思維數(shù)學(xué)應(yīng)用

談“逆向思維”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用和培養(yǎng)

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談“逆向思維”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用和培養(yǎng)

俄羅斯著名教育家加里寧說：“數(shù)學(xué)是思維的體操”。正如體操鍛煉可以改變?nèi)说捏w質(zhì)一樣，通過數(shù)學(xué)思維的恰當(dāng)訓(xùn)練，逐步掌握數(shù)學(xué)思維方法與規(guī)律，是可以改變?nèi)说闹橇湍芰?，也可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用多種思維方法教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生能力的重要途徑之一，思維是智力的核心。觀察、分析、想象、推理、判斷都與思維密切聯(lián)系在一起。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)素質(zhì)教育的關(guān)鍵，也是數(shù)學(xué)科素質(zhì)教育的核心。近幾年來，部分省市中考數(shù)學(xué)試卷時(shí)有出現(xiàn)一類需用逆向思維來求解的題目，下面就逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用和如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，談幾點(diǎn)看法：

一、“逆向思維”在解題中的作用 問題的引入

甲、乙、丙、丁四個(gè)數(shù)的和為43，甲數(shù)的2倍加8，乙數(shù)的3倍，丙數(shù)的4倍，丁數(shù)的5倍減4，結(jié)果相等，問甲、乙、丙、丁各是多少？

本題若從正面分析，正面列式完全是可以解出來的，但要假設(shè)4個(gè)未知數(shù)，列4個(gè)方程，解起來會(huì)比較麻煩，而運(yùn)用“逆向思維”卻“輕而易舉”?？梢栽O(shè)這四個(gè)運(yùn)算結(jié)果相等的數(shù)為x，這樣就可以比較快地求出甲、乙、丙、丁這四個(gè)數(shù)分別是14、12、9、8。這樣一種思維方式就是逆向思維。它的特點(diǎn)是不盲從別人的觀點(diǎn)而善于提出新思路、新方法的一種創(chuàng)造性思維，它是從反面考慮問題的一種方式，通常要打破習(xí)慣性的思維方法，有意做出與習(xí)慣思維方向（正向思維）完全相反的探索，順推不行時(shí)考慮逆推；直接解決麻煩或復(fù)雜時(shí)考慮間接；探討可能性發(fā)生困難時(shí)，要考慮不可能性；應(yīng)用公式法則不湊效時(shí)，反過來用??因此當(dāng)反復(fù)思考某個(gè)問題卻“山窮水盡”時(shí)，逆向思維經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明”的境地，還會(huì)達(dá)到事半功倍的好效果。也就是說，對(duì)于某些問題，有時(shí)逆向思維優(yōu)于正向思維。例如－，－，－，－ 的大小，按慣例是先通分母再比較大小，但本題分母較大，通分母比較麻煩，于是有人另僻蹊徑，不通分分母而先通分分子，再比較大小，于是原題就變?yōu)楸容^ 的大小，這樣不但節(jié)約了時(shí)間，而且還培養(yǎng)逆向思維的習(xí)慣，從而提高了智力。此外，逆向思維在某些問題還會(huì)對(duì)正向思維起到推動(dòng)和促進(jìn)作用。

例 已知：x+y+z= + + =1 求證：x、y、z中至少有一個(gè)等于1。

分析：本題結(jié)論反面情況是x、y、z都不等于1即(x－1)(y－1)(z－1)≠0將左邊展開后再與條件比較，發(fā)現(xiàn)矛盾。即得原題的結(jié)論。證明：設(shè)x、y、z都不等于1 則x－1≠0 y－1≠0 z－1≠0

∴(x－1)(y－1)(z－1)≠0

即xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1≠0(1)又∵x+y+z=1 xyz=xy+yz+zx(2)∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0(3)(1)、(3)式發(fā)生矛盾 ∴原結(jié)論成立。

完成這個(gè)證明過程后，我們又可以從中得到啟發(fā)，啟發(fā)我們?nèi)魪臈l件出發(fā)，用正向思維完全可以推得(x－1)(y－1)(z－1)＝0，即得x、y、z至少有一個(gè)等于1。證明：由條件得x+y+z－1＝0(1)xyz－(xy+yz+xz)＝0(2)(1)＋(2)得 ∴xyz－(xy+yz+xz)+x+y+z－1＝0 分解因式得(x－1)(y－1)(z－1)＝0 ∴x－1＝0或y－1=0或z－1=0 即x、y、z中至少有一個(gè)等于1。

二、“逆向思維”在解題中的應(yīng)用

1、“逆向思維”在解方程有關(guān)問題中的應(yīng)用 例1 已知關(guān)于x的二次方程

ax2＋2bx＋c＝0

bx2＋2cx＋a＝0

cx2＋2ax＋b＝0 中，至少有一個(gè)方程有不同的實(shí)數(shù)根，試求出a、b、c應(yīng)滿足的條件。

分析：這題若從正面出擊，因情況復(fù)雜難以下手，但是若從“三個(gè)二次方程至少有一個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”的反面，即從“三個(gè)二次方程都沒有不同的實(shí)數(shù)根”去考慮，則比較容易得到它的結(jié)果。

解：設(shè)這三個(gè)二次方程都沒有不同的實(shí)數(shù)根

三式相加，除以4得 a2＋b2＋c2＋ab－bc－ca≤0 整理得 〔（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2〕≤0 但（a－b）2≥0

（b－c）2≥0

（c－a）2≥0 ∴a＝b＝c 又已知a≠0 b≠0 c≠0故求得原題應(yīng)滿足的條件為：a，b，c為不全相等的非零實(shí)數(shù)。例2 若解關(guān)于x的分式方程

時(shí)不會(huì)產(chǎn)生增根，求k的取值范圍。

分析：考慮到不會(huì)產(chǎn)生增根的反面是產(chǎn)生增根，從全體實(shí)數(shù)中除去產(chǎn)生增根時(shí)k的值即為原題的解。

解：去分母得

(x+2)(k－k2)=x2－5x－2 若方程產(chǎn)生增根，則(x+2)(x－2)＝0 此時(shí)x1=－2 x2＝2 ①當(dāng)x=－2時(shí)，k無(wú)實(shí)數(shù)解

②x＝2時(shí)，解得k1=－1 k2＝2 ∴當(dāng)k≠－1且k≠2時(shí)，原方程不會(huì)產(chǎn)生增根。

2、“逆向思維”在解決有關(guān)函數(shù)問題中的應(yīng)用

例 若二次函數(shù)y＝mx2＋(m－3)x＋1的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求m的取值范圍。

解：從正面考慮，情況比較復(fù)雜，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)都不在原點(diǎn)的右側(cè)，則y＝0時(shí)，方程有兩個(gè)根都小于或等于0，于是有 由此解得m≥9

其反面是m＜9，又因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像與x軸有交點(diǎn)，所以還必須有△≥0，且m≠0，即 ∴m的取值范圍是m≤1且m≠0.3、“逆向思維”在幾何證題中的應(yīng)用

例 設(shè)o是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AO、BO、CO延長(zhǎng)后，分別交對(duì)邊于D、E、F。試證： 三個(gè)中至少有一個(gè)不大于2。

證明：本題若從正面考慮有三種情況比較復(fù)雜，從反面考慮

設(shè) 都大于2。

即

由此推得AO＞2OD，AD＞3OD, 同理

故命題得證。

4、“逆向思維”在排列組合中的應(yīng)用

例 今有一角幣一張，二角幣一張，五角幣一張，一元幣4張，五元幣二張，用這些紙幣任意付款，則可以付出不同數(shù)額的款共有多少種？

分析：從正面去分析，涉及重復(fù)排列組合，顯然十分復(fù)雜，故應(yīng)改從反面去分析，從一角到最高幣值148角共有148種幣值，從中去掉不可能構(gòu)成的幣值就可以，而不能構(gòu)成的幣值應(yīng)該是4角、9角、1元4角、1元9角?到14元4角共29種幣值，故148－29＝119，即剩119種。

5、“逆向思維”在數(shù)論中的應(yīng)用

例1 求1～50各整數(shù)中，不能被7整除的所有數(shù)字之和。

分析：要直接求出1～50各整數(shù)中，不能被7整除的整數(shù)之和S1是有些費(fèi)事，但1～50各整數(shù)之和可以用數(shù)學(xué)家高斯簡(jiǎn)捷算法很快可以求得S=1275且1～50各整數(shù)中能被7整除各數(shù)7，14、21、28、35、42、49之和S2＝196，從而求得S1＝S－S2＝1079。解 ：（略）。

例2 1984年美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽有這樣一道題目：不能寫成兩個(gè)奇合數(shù)之和的最大偶數(shù)是多少？

分析：從正面推算甚是復(fù)雜，但從反面去思考，一一去掉那些能分成兩個(gè)奇合數(shù)之和的偶數(shù)卻十分容易，組成偶數(shù)的末位數(shù)應(yīng)是0、2、4、6、8，共5種，因此，（1）末位為0者，經(jīng)驗(yàn)算10、20合格，但30＝15＋15，40＝15＋25?故應(yīng)去掉30及30以上的末位為0的整數(shù)。

（2）末位為2者，經(jīng)驗(yàn)算2、12、22、32均合格，但42＝27＋15 52＝27＋25?故應(yīng)去掉42及42以上末位為2的整數(shù)。

（3）末位為4者，經(jīng)驗(yàn)算4、14都合格，但應(yīng)去掉24＝9＋15 34＝9＋25?即24及24以上末位為4者。

（4）末位為6者，經(jīng)驗(yàn)算6、16、26均合格，但36＝21＋15 46＝21＋25?應(yīng)去掉36及36以上末位為6的整數(shù)。

（5）末位為8者，經(jīng)驗(yàn)算8、18、28、38均合格，但48＝33＋15 58＝33＋25?故應(yīng)去掉48及48以上末位為8的整數(shù)。綜上所述，合題意的應(yīng)是38。

6、“逆向思維”在實(shí)際問題中的應(yīng)用

例 一個(gè)人以每小時(shí)3公里的速度沿一條有電車過往的街道行走，他注意到，在有40輛與它同向的車從身邊駛過的時(shí)侯，有60輛車相向駛過，請(qǐng)問電車的平均速度是多少？

分析：在這個(gè)問題中，人和車都是動(dòng)的，如果從這方面分析問題就比較復(fù)雜，但是動(dòng)的反面是靜的，將行走著的人想象為站立不動(dòng)，且設(shè)電車的車速為x公里/小時(shí)，這樣與人同向電車的車速為（x－3）公里/小時(shí)，與人逆向的電車車速為（x＋3）公里/小時(shí)，此時(shí)車速與車輛數(shù)成正比，即，解得x＝15公里/小時(shí)。

三、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的有效途徑

從以上幾個(gè)例子，我們可以看出，“逆向思維”在解決一些數(shù)學(xué)問題與一些實(shí)際問題時(shí)，確是起到“柳暗花明又一村”的作用，但在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)如何培養(yǎng)和提高學(xué)生的“逆向思維”的能力呢？

1、教師在平時(shí)教學(xué)中要多講一些有關(guān)要用到“逆向思維”的例子，鼓勵(lì)學(xué)生要有采用“逆向思維”的勇氣與良好的意志，要諄諄告誡學(xué)生，當(dāng)一切“正向思維”已山窮水盡時(shí)，這表明犯了方向性的錯(cuò)誤，此路不通就要反其道而行之，這樣就可能會(huì)馬上奏效。

2、培養(yǎng)學(xué)生的“逆向思維”，要在平時(shí)的教學(xué)過程中，從最簡(jiǎn)單、最基本以及日常生活中的實(shí)例開始，要不失時(shí)機(jī)用互為逆運(yùn)算、逆變形來簡(jiǎn)化解題過程，訓(xùn)練逆向思維，使學(xué)生慢慢培養(yǎng)和具備逆轉(zhuǎn)心理的習(xí)慣，使學(xué)生能從多角度和全方位地研究數(shù)學(xué)問題。下面就初中數(shù)學(xué)中比較常遇到的要用逆公式、逆法則、逆定理來解題作一個(gè)簡(jiǎn)要介紹。（1）逆用分式加減法則 例1 計(jì)算 分析：∵ 同理

解：原式＝

＝??＝ 例2 化簡(jiǎn) 解：∵

∴原式＝

＝ ＝

＝1（2）逆用同底數(shù)冪乘法法則[ am2an＝am + n，am÷an ＝ am2n(ab)m＝am bm，(am)n＝an m ] 例1 已知10m＝2，10n＝3。

求（1）103m－2n(2)102m＋n 的值 解：（1）103m－2n＝(10m)3÷(10n)2＝23÷32=(2)102m＋n＝(10m)2210n=2223＝12。例2 計(jì)算(0.125)20013[(－2)2001]3 解：原式＝(0.125)20013[(－2)3]2001 ＝[0.1253(－2)3]2001＝－1（3）逆用乘法公式[(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a±b)2=a2±2ab+b2] 例1 分解因式：a2n－b2n－2bn－1 解：原式＝(an)2－[(bn)2+2bn+1] ＝(an＋bn ＋1)(an－bn －1)例2 計(jì)算 解：原式＝

＝2(2 － 2)＝ 4 －8（4）逆用二次根式中的公式 ＝|a| 例：求的值。解：

（5）逆用一元二次方程根的判別式

例 已知a、b、c、d為非零實(shí)數(shù)且滿足(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 求證：b2＝ac 證明：∵a、b、c、d為實(shí)數(shù)且(a2+b2)d2－2bd(a+c)+b2+c2=0 ∴一元二次方程(a2+b2)x2－2b(a+c)x+b2+c2=0有一根為d（d為實(shí)數(shù)）∴△≥0即[2b(a+c)]2－4(a2+b2)(b2+c2)＝－4(b2－ac)2≥0，∴(b2－ac)2≤0

∴b2－ac＝0 ∴b2＝ac 故命題得證。（6）逆用韋達(dá)定理

例 已知實(shí)數(shù)a、b、c 滿足a＝6－b，c＝ab－9。求證：a＝b

3、注意訓(xùn)練學(xué)生“反向變題”能力

為了說明問題的方便，特引入“反向變題”這個(gè)概念。所謂“反向變題”就是把數(shù)學(xué)題中的“已知”和“求證”在一定條件下互相轉(zhuǎn)換，而形式有異于原題基本思想的新題型。例如“在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，求證：AC ＝AD2AB。對(duì)于此題，我們可以把反過來，“在ABC中，CD⊥AB于D且AC ＝AD2AB”。求證∠ACB＝90°”。像這樣可以互相轉(zhuǎn)換的題目在初中數(shù)學(xué)課本中是可以找出不少。

綜上所述，逆向思維在解決一些數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題時(shí)，確是可以起到一種令人意想不到的效果，它可以改變?nèi)藗冊(cè)谔剿骱驼J(rèn)識(shí)事物的常規(guī)方法和思維的習(xí)慣，也可以培養(yǎng)和提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，因而可以比較容易引發(fā)超常的效應(yīng)，但是要掌握好它決非一日之功，這需在平時(shí)的教學(xué)中逐步滲透和培養(yǎng)。當(dāng)然我們?cè)谙驅(qū)W生滲透“逆向思維”時(shí)要反復(fù)強(qiáng)調(diào)運(yùn)用“逆向思維”來解決問題應(yīng)視具體情況而定，只有在反復(fù)思考某個(gè)問題，“正向思維”已“山窮水盡”時(shí)，才考慮運(yùn)用“逆向思維”來解決問題。

第二篇：讀書筆記__逆向思維

讀書筆記：“逆向思維，出奇制勝”

人類的思維具有方向性，存在著正向與反向之差異，由此產(chǎn)生了正向思維與反向思維兩種形式。

正反向思維起源于事物的方向性，客觀世界存在著互為逆向的事物，由于事物的正反向，才產(chǎn)生思維的正反向，兩者是密切相關(guān)的。人們解決問題時(shí)，習(xí)慣于按照熟悉的常規(guī)的思維路徑去思考，即采用正向思維，有時(shí)能找到解決問題的方法，收到令人滿意的效果。然而，實(shí)踐中也有很多事例，對(duì)某些問題利用正向思維卻不易找到正確答案，一旦運(yùn)用反向思維，常常會(huì)取得意想不到的功效。這說明反向思維是擺脫常規(guī)思維羈絆的一種具有創(chuàng)造性的思維方式。

逆向思維能令學(xué)生打破常規(guī)的束縛，立新創(chuàng)意，起到柳暗花明的教學(xué)效果。經(jīng)典案例：

我國(guó)著名教育家葉圣陶大師對(duì)如何啟發(fā)學(xué)生的逆向思維方面就頗有研究。

我們來看看葉先生在作文教學(xué)中的精彩片斷。

葉先生問學(xué)生：“你們誰(shuí)能說說?飛蛾撲火?這個(gè)成語(yǔ)的意思？” 這個(gè)問題太小兒科了，學(xué)生們紛紛舉手。

“太簡(jiǎn)單了，自取滅亡?！薄ⅰ白圆涣苛??！?/p>

“不就是明知山有虎，偏向虎山行的意思嗎？”

……

學(xué)生們你一言我一語(yǔ)爭(zhēng)先恐后地回答。

葉先生微微一笑：“大家都說對(duì)了。但是，我們能不能從另外一個(gè)角度去解釋這個(gè)成語(yǔ)呢？”

學(xué)生們面面相覷、抓耳搔腮?！傲硗庖粋€(gè)角度？”

“怎么解釋啊？”

大師不急不忙：“我給大家一個(gè)提示，就是從另一個(gè)相反的角度去考慮，或者說，換位思考，站在第三立場(chǎng)上思考這個(gè)成語(yǔ)?！?/p>

還是沒有學(xué)生舉手發(fā)言。

葉先生耐心地說道：“我剛才聽見有同學(xué)在解釋?飛蛾撲火?時(shí)，說?明知山有虎，偏向虎山行?。這個(gè)解釋很好。你們?cè)傧胂?，這只飛蛾明知前方有危險(xiǎn)，但還是勇敢地沖上去，這是一種什么精神？”

學(xué)生們恍然大悟：“啊。?飛蛾撲火?可以理解成?不怕犧牲、舍生取義??！?葉先生吁了一口氣：“對(duì)，你們真是太聰明了。”

學(xué)生們終于找到了感覺“就是從反義的角度考慮考慮啊?！薄斑€可以理解成?追求光明?，是嗎？” ……

學(xué)生們的思維拓展的越來越寬。

葉先生十分高興：“飛蛾撲火本來是個(gè)貶義詞，但我們卻通過某種客觀分析，把它變成了褒義詞?！边@就是我今天要講的?在作文寫作中如何應(yīng)用逆向思維?的內(nèi)容。逆向思維就是突破常規(guī)、常識(shí)，從一個(gè)相反的角度去寫，往往使作文寫起來比較有新意。有些同學(xué)所寫的作文當(dāng)中，幾乎是千篇一律，根源就在于我們學(xué)生不能突破常識(shí)，不能從新的角度去挖掘……”

學(xué)生們豁然開朗，很快就明白了老師的用意。

葉先生見學(xué)生們都理解得差不多了，便道：“如果我讓大家寫一篇以?我看狐假虎威?命題的作文，你們準(zhǔn)備怎么去寫？”

很快就有學(xué)生舉起了手：“老師，這篇作文可以從以下幾個(gè)方面著手。一是從狐貍的聰明才智上著手，它為了能在動(dòng)物中混得一席之地，借力打力應(yīng)該是個(gè)很不錯(cuò)的方法。二是從老虎的虛榮心上著手，它只是為了排場(chǎng)，以顯示百獸之王的威風(fēng)……”

一次看電視，有一位教授講了一個(gè)故事，讓我銘記在心。說的是眾人皆知的“兔子和烏龜賽跑”的故事。第一天，兔子因?yàn)橹型舅擞X，結(jié)果兔子吸取了教訓(xùn)，中途沒有睡覺，一口起跑到終點(diǎn)，兔子贏了；第三天，烏龜不服氣，說要重新選擇路線，它選了一條有大河的路，兔子不會(huì)游泳，過不去，結(jié)果烏龜慢慢地游了過去，烏龜贏了；第四天，兔子和烏龜商量，陸地上我背著你跑，在大河里你馱著我游。烏龜心眼小，擔(dān)心兔子中途使壞，把自己摔個(gè)鼻青臉腫，所以沒有同意；第五天，烏龜又提出重新跑，兔子心想：即便是跑到天邊，我也不怕你，于是，欣然答應(yīng)。誰(shuí)知兔子剛跑到終點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)烏龜早在終點(diǎn)等著它，兔子那里知道，烏龜讓它的弟弟提前在終點(diǎn)等候，烏龜長(zhǎng)相都差不多，兔

子那里知道這是計(jì)策，只好認(rèn)輸。這個(gè)故事讓我悟出許多道理。還有人們常說的?愚翁移山?是破壞了大山的環(huán)境和植被，人們因?yàn)橥谏?，窮得連個(gè)媳婦都娶不上，那里來的子子孫孫？；打虎的武松竟被公安局抓起來了，因?yàn)樗蛩懒藝?guó)家的一級(jí)保護(hù)動(dòng)物；?一個(gè)和尚有水吃，三個(gè)和尚沒水吃?也被進(jìn)行了改編，說的是三個(gè)和尚搞技術(shù)革新，直接把水從山上引到廟里，水多得吃不完的故事。人們常說的?孔融讓梨?也成了問題，因?yàn)榭兹谥?，大梨是化學(xué)藥品催大的，所以才要了最小的梨；大家熟知的司馬光砸缸救人的故事，其實(shí)他砸的缸是國(guó)家一級(jí)保護(hù)文物，理應(yīng)判刑等等。這些故事雖近荒唐，但是說明了一個(gè)道理，任何事物都有幾重性，遇事最好是多問幾個(gè)為什么才好。呂淑湘先生說：“如果說一種教法是一把鑰匙，那么，在各種教法之上還有一把總鑰匙，他的名字叫做?活??！背晒Φ慕處熤猿晒?，就是因?yàn)樗颜n教“活”了。葉圣陶老先生還認(rèn)為好的先生不是教書，不是教學(xué)生，乃是教學(xué)生學(xué)。教是為了不需要教。……就是說咱們當(dāng)教師的人要引導(dǎo)他們，使他們能夠自己學(xué)，自己學(xué)一輩子，學(xué)到老。教育改革，首先要改革的便是教育工作者的工作方式，撤銷掉禁錮學(xué)生的思想籬笆，讓學(xué)生海闊天空、百花齊放！讓他們的逆向思維也來個(gè)百家爭(zhēng)鳴！當(dāng)然，逆向思維立意的目的不是鼓勵(lì)學(xué)生們面面獵奇，不是亂發(fā)議論，不是任何情況都可以使用，他同樣要求論之有理，述之有據(jù)，要有說服力。這才能達(dá)到有利發(fā)展學(xué)生智力，使學(xué)生的思維如萬(wàn)馬奔騰般活躍的目的。

第三篇：逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

所謂數(shù)學(xué)思想，是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)。所謂數(shù)學(xué)方法，是指某一數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性和可操作性等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的表現(xiàn)形式和得以實(shí)現(xiàn)的手段，因此，人們把它們稱為數(shù)學(xué)思想方法。

古往今來，數(shù)學(xué)思想方法不計(jì)其數(shù)，每一種數(shù)學(xué)思想方法都閃爍著人類智慧的火花。一則由于小學(xué)生的年 齡特點(diǎn)決定有些數(shù)學(xué)思想方法他們不易接受，二則要想把那么多的數(shù)學(xué)思想方法滲透給小學(xué)生也是不大現(xiàn)實(shí)的。因此，我們應(yīng)該有選擇地滲透一些數(shù)學(xué)思想方法。現(xiàn)在我重點(diǎn)論述的是逆向思維在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

什么是逆向思維? 逆向思維也叫求異思維，是指由果索因，知本求源，從原問題的相反方向著手的一種思維方式。也就是我們通常所說的“反過來想一想”。逆向思維新穎獨(dú)特，與其他思維方式相輔相成，是創(chuàng)新思維不可或缺的組成部分。逆向思維，在“逆”字上做文章，摒棄常規(guī)的順向思路，從對(duì)立的方向?qū)で蠼鉀Q問題的策略，是創(chuàng)新思維訓(xùn)練的一大好方法，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)目標(biāo)。

小學(xué)階段，學(xué)生的思維已具有了可逆性，重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，有利于加速學(xué)生思維能力的提高，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。教學(xué)中，可以從以下幾方面進(jìn)行訓(xùn)練：

1、逆用概念法則，培養(yǎng)逆向思維的意識(shí)；

2、注重公式的逆運(yùn)用，激發(fā)逆向思維的興趣；

3、重視非常規(guī)的解題方法，努力追求思維的獨(dú)創(chuàng)性；

4、注意數(shù)學(xué)問題的逆向轉(zhuǎn)換，提高逆向思維的自覺性。

一、從一道應(yīng)用題的解答說起數(shù)學(xué)課上，老師出了這樣一題：“5箱一樣重的巧克力，如果從每個(gè)箱子里取出12千克，那么，5只箱子里剩下的巧克力的質(zhì)量等于原來2只箱子里巧克力的質(zhì)量。原來每個(gè)箱子有巧克力多少千克？” 思路一：分析發(fā)現(xiàn)，用 算術(shù)方法很難解決。不妨設(shè)每箱巧克力重X千克，根據(jù)“5只箱子里剩下的巧克力的質(zhì)量等于原來2只箱子里巧克力的質(zhì)量”，列式為：2X=5X―12 × 5，解得X=20 思路二：本例中，因?yàn)槭Ｏ碌那煽肆Φ那Э藬?shù)不好直接求出，不妨先求出“取出巧克力的千克數(shù)”。列式為：12×5=60（千克）；又因?yàn)椤笆Ｏ碌那煽肆Φ馁|(zhì)量等于原來2箱的質(zhì)量”，反過來，取出的巧克力的千克數(shù)就是（5-2）箱的質(zhì)量，那么，每箱巧克力的質(zhì)量為：（12×5）÷（5-2）=20（千克）

比較以上兩種思路可知：我們?cè)诮鉀Q同一個(gè)問題時(shí)，可以按人們認(rèn)識(shí)事物的過程來考慮，即從條件到結(jié)論，從現(xiàn)象到本質(zhì)；也可以從結(jié)論出發(fā)，追溯使結(jié)論成立的充分條件，按事物變化的反方向進(jìn)行思考。思路二就是人們常說的逆向思維。在小學(xué)階段，由于小學(xué)生的思維水平和語(yǔ)言文字的理解能力相對(duì)較低，習(xí)慣于順向思考問題，對(duì)于一些需要逆向思考的問題很難理解。

例如：池塘水面上生長(zhǎng)著一些浮萍，它們所占水面每天增加1倍，經(jīng)過100天，整個(gè)池塘的水面長(zhǎng)滿浮萍。經(jīng)過多少天池塘中的浮萍的面積為水面面積的一半？一些學(xué)生憑直覺得到答案為99天，但很少有人 能說清理由。此題如果運(yùn)用逆向思維，則可迎刃而解。

二、逆向思維及其作用逆向思維是思維向直接相反方向重建的過程。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念、性質(zhì)、運(yùn)算、思路、方法等都具有可逆性。如加法和減法、乘法和除法、擴(kuò)大和縮小、計(jì)量單位間的聚化、正反比例，要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的這種可逆性，就必須具有相應(yīng)的心理過程，即逆向思維的過程。有研究表明，小學(xué)階段，學(xué)生的思維已具有了可逆性，逆向思維的形成，說明學(xué)生思維的活動(dòng)已達(dá)到抽象推理的水平。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練，有利于加速學(xué)生思維能力的提高，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生良好的逆向思維品質(zhì)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的訓(xùn)練可以從以下幾方面著手：

1、逆用概念法則，培養(yǎng)逆向思維的意識(shí)概念法則的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán) 節(jié)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解，對(duì)運(yùn)算法則的熟練應(yīng)用，僅靠正向思維是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過逆向思維方面的訓(xùn)練來加深理解基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)學(xué)中的許多概念法則來源于問題或問題本身存在著的互逆關(guān)系，這些都是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的極好素材。例如：在學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識(shí)”之后，（1）、3的4倍是（），2的6倍是（）；（正向思維）一個(gè)數(shù)的3倍是12，這個(gè)數(shù)是（）；（逆向思維）12是（）的（）倍；（逆向思維）

2、注重公式的逆運(yùn)用，激發(fā)逆向思維的興趣在數(shù)學(xué)上不少公式是由已知知識(shí)逆向思維，通過猜測(cè)并驗(yàn)證而得到的，解題中，一些所謂技巧和靈活性也是由此而來的。而學(xué)生往往只習(xí)慣于從左往右地運(yùn)用公式，缺乏逆向思維的自覺性和基本功。顯然，這對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高是相當(dāng)不利的。在教學(xué)中注重對(duì)公式的逆運(yùn)用，往往能達(dá)到出奇制勝的效果。

3、重視非常規(guī)的解題方法，努力追求思維的獨(dú)創(chuàng)性對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題，在運(yùn)用正向思維去解答時(shí)，教師也可以注意啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用逆向思維去求解，由此尋找解決問題的方法，這將產(chǎn)生意想不到的效果。正難則反，往往取得成功。如解答分?jǐn)?shù)計(jì)算題：1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 分析：此題若按常規(guī)解法，即先通分再計(jì)算，顯然很繁瑣，學(xué)生往往感到困難，教師若引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，則可給學(xué)生提供一種新的解題思路。即：1/6=1/2―1/3，1/12=1/3―1/4，1/20=1/4―1/5，1/30=1/5―1/6，1/42=1/6―1/7，由此將此題化為不通分而簡(jiǎn)算之： 1/6+1/12+1/20+1/30+1/42 =（1/2―1/3）+（1/3―1/4）+（1/4―1/5）+（1/5―1/6）+（1/6―1/7）=1/2―1/7 =5/14 教學(xué)中，應(yīng)注意經(jīng)常擺脫習(xí)慣的、傳統(tǒng)的、常規(guī)的、群眾的思維束縛，以便形成標(biāo)新立異的構(gòu)思，提高學(xué)生逆向思維的獨(dú)創(chuàng)性。

4、注意數(shù)學(xué)問題的逆向轉(zhuǎn)換，提高逆向思維的自覺性。在數(shù)學(xué)問題解決過程中，任何一個(gè)正向問題都可以轉(zhuǎn)換為逆向問題，給出的條件越多，轉(zhuǎn)換成逆向思維的數(shù)量則越多。在學(xué)生正向理解某種數(shù)量關(guān)系后，可指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題的逆向轉(zhuǎn)換，對(duì)原題實(shí)行倒向改編。如：鐵路工人鋪鐵路，平均每天鋪了6天，還有320米沒有鋪。這段鐵路長(zhǎng)多少米？分析發(fā)現(xiàn)，此題的數(shù)量關(guān)系十分簡(jiǎn)單，即：每天鋪的米數(shù)×天數(shù)+沒鋪的米數(shù)=鐵軌的長(zhǎng)度，據(jù)此列式為：50×6+320=620（米）。教學(xué)中僅僅滿足于解答完就算，顯然過于淺顯，可將正向問題轉(zhuǎn)換為逆向問題，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由順而倒的思維轉(zhuǎn)換，可把問題作為條件，把三個(gè)條件 分別作為問題，這樣一題就變?yōu)槿滥嫦蝾}：

1、鐵路工人鋪一段長(zhǎng)620米的鐵軌，平均每天鋪50米，鋪了6天，還有多少米沒有鋪？

2、鐵路工人鋪一段長(zhǎng)620米的鐵軌，鋪了6天，還有320米沒有鋪，平均每天鋪多少米？

3、鐵路工人鋪一段長(zhǎng)620米的鐵軌，平均每天鋪50米，還有320米沒有鋪，鋪了多少天？改編的三道題的數(shù)量關(guān)系表征與原題是一樣的，但在具體解答過程中，需要作逆向思考，難度則更大一些。而學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過最多的往往是一些逆向問題。因此，在平時(shí)教學(xué)中，教師應(yīng)適時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行先順后逆的思維訓(xùn)練，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的自覺性是大有裨益的?？傊谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力是一項(xiàng)長(zhǎng)期而艱巨的工作，教師要有意識(shí)有步驟地培養(yǎng)和訓(xùn)練。相信只要學(xué)生掌握了這種思維方式，他們考慮問題時(shí)的思路會(huì)更開闊，思維會(huì)更活躍。

教學(xué)實(shí)踐告訴我們，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展是整體進(jìn)行的，而逆向思維總是與順向思維交織在一起。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中進(jìn)行思維訓(xùn)練時(shí)，也要注意逆向思維的培養(yǎng)，把培養(yǎng)學(xué)生逆向思維作為素質(zhì)教育的重要方面。緊扣在教學(xué)教材中存在著大量的順逆運(yùn)算、順逆公式、順逆關(guān)系，注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行順向思維的訓(xùn)練的同時(shí)，也要重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng)，“思維能力的發(fā)展是學(xué)生智力發(fā)展的核心，也是智力發(fā)展的重要標(biāo)志”。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要充分挖掘教材中的互逆因素，有機(jī)地訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

主要參考書目

1)周述岐

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)哲學(xué)

北京：中國(guó)人名大學(xué)出版社

1993 2)席振偉

數(shù)學(xué)的思維方式

南京：江蘇教育出版社

1995 3)黃翔

數(shù)學(xué)方法論選講

重慶：重慶大學(xué)出版社

1995

第四篇：逆向思維作文 學(xué)生

“班門弄斧”未嘗不可

高二五班

劉賓濤

中國(guó)人的謙遜和內(nèi)斂造就一個(gè)千古不變的真理“不要班門弄斧，自取其辱”，正是因?yàn)檫@不知多少有志青年變得碌碌無(wú)為。如果他們敢于挑戰(zhàn)權(quán)威的話。他們也能成功。所以我更要說“班門弄斧未嘗不可”。

五千年的文化積沉淀造就了國(guó)人的謙遜，使國(guó)人成為了公認(rèn)的儒雅君子，但也同時(shí)使國(guó)人失去了那種創(chuàng)造力和韌勁，使國(guó)人畏怯權(quán)威。創(chuàng)造力――一個(gè)國(guó)家民族發(fā)展的動(dòng)力，失去了創(chuàng)造力，我們國(guó)家如何發(fā)展！而創(chuàng)造力的源泉是什么？是那種拼勁，是那種敢于挑戰(zhàn)權(quán)威的沖勁。更是班門弄斧的精神，所以我更要說“班門弄斧未嘗不可”。

在歷史的長(zhǎng)河之中，多少成功人士不就是憑借于班門弄斧的精神而走向成功的嗎，他們的名字和事跡是如此熟悉：

毛遂，一個(gè)名不經(jīng)傳的門客，就是憑借那敢于班門弄斧的精神，才成就了“毛遂自薦”這個(gè)千古流傳的故事。

小澤征爾，一位普通的音樂指揮家，也就是憑借著那種敢于班門弄斧的精神，勇于指出樂譜中的錯(cuò)誤，在音樂界才脫穎而出。最終成為了世界著名的交響樂指揮家。

愛因斯坦一位普通的物理學(xué)家，因?qū)εｎD的理論提出質(zhì)疑，也是出于那種敢于班門弄斧 的精神，最終提出狹義相對(duì)論，使自己走向了不平凡。

。。。

。。。

同樣又有多少人因畏懼權(quán)威而迷失自我，走向默默無(wú)聞，他們的名字也是歷歷在目：

舍勒，18世紀(jì)瑞典著名的化學(xué)家，在1774年發(fā)現(xiàn)了氯氣，但他因受當(dāng)時(shí)“權(quán)威學(xué)說”-----一切氯中含有氧的束縛，從而錯(cuò)過了發(fā)現(xiàn)氯真面目的機(jī)會(huì)。

沃泰默，法國(guó)著名學(xué)者，但也受當(dāng)時(shí)學(xué)說的影響，最終于揭示激素存在失之交臂。

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。。。

人非圣賢，孰能無(wú)過。人人都有出錯(cuò)的時(shí)候，我們?yōu)楹尾荒馨嚅T弄斧！

班門弄斧不是狂妄自大，而是自己對(duì)自己的認(rèn)可，當(dāng)今世界，競(jìng)爭(zhēng)如此激烈，我們不班門弄斧，如何能夠被人發(fā)現(xiàn)、賞識(shí)呢！所以我要說“班門弄斧未嘗不可”

第五篇：逆向思維----教案

逆向思維

一、教學(xué)目標(biāo)

了解逆向思維方法，通過對(duì)活動(dòng)的探究，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的思維的能力。在學(xué)生自己操作、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、解決問題的嘗試過程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力、探究能力。通過學(xué)生參與、體驗(yàn)、交流、合作，增強(qiáng)學(xué)生逆向思考學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)、思考的興趣。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，滲透轉(zhuǎn)化變換的思想方法以及解決問題的能力。

難點(diǎn)：尋找解決問題的途徑可以是執(zhí)因索果，也可以執(zhí)果索因，即不僅可以從正面入手，也可以逆向思維考慮。

三、教學(xué)方法

啟發(fā)式教學(xué)法 探究教學(xué)法

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 【導(dǎo)入新課】

活動(dòng)一：出謀劃策

教師活動(dòng)：（給出條件，請(qǐng)同學(xué)們來出謀劃策，解決問題）

話說：“阿拉伯有一個(gè)大財(cái)主，在去世前對(duì)兩個(gè)兒子說：“你們?nèi)ベ愸R，終點(diǎn)是沙漠中的綠洲，誰(shuí)的馬后到，我的全部財(cái)產(chǎn)就給誰(shuí)?！?/p>

假設(shè)兩個(gè)人的馬實(shí)力相當(dāng)并且他們的水和糧食都是有限的，他們要怎么做才能既不會(huì)慘死沙漠又能得到父親的財(cái)產(chǎn)？”

學(xué)生活動(dòng)：????

根據(jù)學(xué)生回答，具體進(jìn)行引導(dǎo)。并給出逆向思考的一個(gè)設(shè)計(jì)“兩人換馬騎”： “因?yàn)楦赣H說要看哪匹馬后到，兩人一換馬，比慢的賽馬就變成了比快的賽馬。換了馬，騎的是對(duì)方的馬，對(duì)方的馬先到了，自己的馬就會(huì)后到?！?/p>

教師活動(dòng)：那么我們來看這個(gè)思路與同學(xué)們所想的有什么不同呢？我們會(huì)發(fā)現(xiàn)大家所思考的方向是圍繞用怎樣的方式使得誰(shuí)的馬后到來解決問題，從這個(gè)方向入手是很難找到合適的方法達(dá)成目標(biāo)的；而我們所給出的思路，卻是反其道而行，如何讓誰(shuí)的馬后到轉(zhuǎn)換為誰(shuí)的馬先到，由此交換雙方的馬就使得問題迎刃而解。這種思路就是我們今天所要學(xué)習(xí)的“逆向思維”的思考方式。

----逆向思維（板書）【講授新課】

一、逆向思維的含義

教師活動(dòng)：那么逆向思維是什么呢？

?逆向思維也稱反向思維或求異思維，它是對(duì)司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過來思考的一種思維方式。

?世界上的事物都有正反兩個(gè)方面，人們也應(yīng)該從正反兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)事物。但是長(zhǎng)期的思維習(xí)慣往往使人們只看到其中的一面，使思維的過程和結(jié)果越來越雷同，沒有新意。利用事物的另一面，逆向思考可以獲得意想不到的效果。

二、逆向思維訓(xùn)練

活動(dòng)二：看一看

給出一張圖片（正面：老太婆，反面：漂亮少女）

教師活動(dòng)：有時(shí)候換一種思維，事物將會(huì)呈現(xiàn)另一番景象。

活動(dòng)三：想一想

教師活動(dòng)：現(xiàn)在假設(shè)你在這樣一種場(chǎng)景中，你也是其中的一個(gè)應(yīng)聘人員，你會(huì)如何來解決這個(gè)問題呢？

“某警局招聘?jìng)商?，為考察?yīng)聘人員的應(yīng)變能力，特設(shè)計(jì)考題如下：將應(yīng)聘人員關(guān)入一間沒有窗戶而僅有一扇門的房間內(nèi)，門外有荷槍實(shí)彈的軍人把守，要求應(yīng)聘人員逃離該房間。如果你前來應(yīng)聘，你能走出這個(gè)房間嗎？”

學(xué)生活動(dòng)：??? 教師活動(dòng)：有一種答案是這樣的，即告訴面試官“我不應(yīng)聘”。很多人往往會(huì)想到如何主動(dòng)出去，而用逆向思維去思考的人就會(huì)想到怎樣被動(dòng)出去，即被放出去。

放棄應(yīng)聘反而能應(yīng)聘成功，所以有的時(shí)候失去也是一種獲得。活動(dòng)四：拼一拼

（給出一張圖片，一面為世界地圖，一面為人物畫像，將其分解為幾個(gè)部分，請(qǐng)同學(xué)們將其粘合）

教師活動(dòng)：現(xiàn)在給大家一張圖片，原為世界地圖，而今它被分解為幾個(gè)部分，請(qǐng)同學(xué)們將其粘合。

學(xué)生活動(dòng)：…………….教師活動(dòng)：很多同學(xué)根據(jù)正面的世界地圖來拼，花費(fèi)的時(shí)間比較多；而有的同學(xué)根據(jù)反面的人物來拼，花費(fèi)時(shí)間較少。有的時(shí)候用逆向思維解決問題更有效率。

三、逆向思維給我們的啟示

1.幫助我們轉(zhuǎn)變心態(tài)

Eg1：我國(guó)古代有這樣一個(gè)故事，一位母親有兩個(gè)兒子，大兒子開染布作坊，小兒子做雨傘生意。每天，這位老母親都愁眉苦臉，天下雨了怕大兒子染的布沒法曬干；天晴了又怕小兒子做的傘沒有人買。一位鄰居開導(dǎo)她，叫她反過來想：雨天，小兒子的傘生意做得紅火；晴天，大兒子染的布很快就能曬干。逆向思維使這位老母親眉開眼笑，活力再現(xiàn)。

2.幫助我們克服困難，找到解決問題的方法

Eg1:一對(duì)夫妻帶著一個(gè)5歲的孩子決定搬去城里住，他們跑了一天才好不容易看到一張公寓出租的廣告。于是就前去敲門詢問，這時(shí)，溫和的房東出來，遺憾地對(duì)他們說:“實(shí)在對(duì)不起，我們公寓不招有孩子的住戶?！?丈夫和妻子聽了，一時(shí)不知如何是好，于是，他們默默地走開 了。

那5歲的孩子，又去敲房東的大門。這時(shí)，丈夫和妻子已走出5米來遠(yuǎn)，都回頭望著。門開了，房東又出來了。這孩子精神抖擻地說:“老爺爺，這個(gè)房子我租了。我沒有孩子，我只帶來兩個(gè)大人。”房東聽了之后，高聲笑了起來，決定把房子租給他們住。

3.促進(jìn)創(chuàng)新：促進(jìn)新產(chǎn)品的開發(fā)、新技術(shù)的發(fā)明 Eg1：發(fā)電機(jī)----英國(guó)科學(xué)家法拉第，他在研究中注意到：既然線圈中有電流通過時(shí)線圈就會(huì)受力而運(yùn)動(dòng)，那么線圈在磁場(chǎng)中受外力運(yùn)作時(shí)是否會(huì)產(chǎn)生電流呢？經(jīng)過反復(fù)的研究和實(shí)驗(yàn)，終于在公元1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)原理，并建造了第一座發(fā)電機(jī)原型。

Eg2：留聲機(jī)----愛迪生在改進(jìn)電話機(jī)的過程中，因?yàn)橛叶犃Σ缓茫陀靡桓撫槾嬗叶鷣頇z驗(yàn)傳話膜片的震動(dòng)。當(dāng)他用鋼針觸動(dòng)膜片時(shí)，隨著講話聲調(diào)的高低，送話器發(fā)出了有規(guī)律的顫音。愛迪生靈機(jī)一動(dòng)，不由地想到：如果反過來，使短針顫動(dòng)，能不能復(fù)原出聲音呢？經(jīng)過廢寢忘食的研究，他終于發(fā)明出了留聲機(jī)。

Eg3：吸塵器----1901年，倫敦舉行了吹塵器的表演，它用強(qiáng)大的氣流將灰塵吹走。吹塵器除塵后，地面是干凈了，可吹起的灰塵卻嗆得人透不過氣來。一位設(shè)計(jì)師卻由此聯(lián)想如果反過來吸塵是否可行呢？不久，一個(gè)簡(jiǎn)易的利用負(fù)壓的吸塵器誕生了。我們今天使用的真空吸塵器，還是根據(jù)這一原理設(shè)計(jì)的。