數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

2.內(nèi)容解析

《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念》是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)實驗教科書選修1-2第三章第一節(jié)的內(nèi)容，大綱課時安排一課時。主要包括數(shù)系概念的發(fā)展簡介，數(shù)系的擴(kuò)充，復(fù)數(shù)相關(guān)概念、代數(shù)形式、相等條件、分類.復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，不僅可以使學(xué)生對于數(shù)的概念有一個更為完整的認(rèn)識，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.在學(xué)習(xí)了這節(jié)課以后，學(xué)生首先能知道數(shù)系是怎么擴(kuò)充的，并且這種擴(kuò)充是必要的，虛數(shù)單位i在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，而復(fù)數(shù)就是一個實數(shù)加上一個實數(shù)乘以i的形式，學(xué)生能清楚的知道一個復(fù)數(shù)什么時候是實數(shù)，什么時候是虛數(shù)，什么時候是純虛數(shù)，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么.本節(jié)課讓學(xué)生在經(jīng)歷一系列的思維活動后，完成對知識的探索，變被動地“接受問題”為主動地“發(fā)現(xiàn)問題”，加強(qiáng)學(xué)生對知識應(yīng)用的靈活性，深化學(xué)生對復(fù)數(shù)的認(rèn)識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：數(shù)系的擴(kuò)充以及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）使學(xué)生體會數(shù)的概念是逐步發(fā)展的，初步體會引入虛數(shù)單位i的合理性；了解引入復(fù)數(shù)的必要性；

（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念；掌握兩復(fù)數(shù)相等的充要條件；能夠?qū)?fù)數(shù)進(jìn)行簡單的分類;

（3）在培養(yǎng)學(xué)生類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法的過程中，激發(fā)學(xué)生勇于探索創(chuàng)新的精神，提高學(xué)生的創(chuàng)新思維和應(yīng)用意識．

2.目標(biāo)解析

（1）學(xué)生對數(shù)的概念已經(jīng)擴(kuò)充到實數(shù)，也已清楚各種數(shù)集之間的包含關(guān)系等內(nèi)容，但知識是零碎、分散的，對數(shù)的生成發(fā)展的歷史和規(guī)律缺乏整體認(rèn)識與理性思考，知識體系還未形成.（2）作為新學(xué)知識，理解復(fù)數(shù)的基本概念，掌握復(fù)數(shù)有關(guān)知識，為今后學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，承上啟下.（3）通過問題設(shè)置，引領(lǐng)學(xué)生追溯歷史，提煉數(shù)系擴(kuò)充原則，幫助學(xué)生合乎情理的建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓數(shù)學(xué)理論自然誕生在學(xué)生的思想中.三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)等數(shù)系，但是對知識的認(rèn)識相對比較零碎、分散，對知識沒有一個系統(tǒng)性的理解，同時由于虛數(shù)單位i的概念非常抽象，又與學(xué)生原有的知識沖突，因此在學(xué)習(xí)過程中可能遇到的問題有：

1.學(xué)生不太容易體會數(shù)系再次擴(kuò)充的必要性.2.由于學(xué)生的認(rèn)知能力有限，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴(kuò)充前后對于運(yùn)算法則的一致性要求.3.由于學(xué)生對數(shù)系擴(kuò)充的知識不熟悉，對了解實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程有困難，也就是對虛數(shù)單位i的引入難以理解.在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，復(fù)數(shù)的概念如果采用單純的講解會顯得比較枯燥無味，教學(xué)時，采用已學(xué)過的數(shù)集的認(rèn)識歷程，讓學(xué)生體會數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實踐的需要，介紹數(shù)的發(fā)展過程，使學(xué)生對數(shù)的形成、發(fā)展的歷史和規(guī)律有著比較清晰的認(rèn)識，讓學(xué)生能夠在問題探索中掌握新知.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：對引入復(fù)數(shù)引入必要性的認(rèn)識以及從實數(shù)到復(fù)數(shù)的擴(kuò)充歷程．

四、教學(xué)支持條件分析

根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，利用圖片展示數(shù)系學(xué)習(xí)歷程，另外通過演示，體會復(fù)數(shù)從無到有的發(fā)展過程.五、教學(xué)過程分析

（一）課題引入

多媒體課件展示“數(shù)學(xué)的魅力在于用數(shù)來詮釋全世界”，引入課題.設(shè)計意圖：采用名言欣賞的方式進(jìn)行情景引入，緊扣主題，展示本節(jié)課學(xué)習(xí)的意義.（二）復(fù)習(xí)回顧

1.已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些數(shù)集？

2.回顧數(shù)的學(xué)習(xí)歷程

情境一

一年級數(shù)學(xué)第一節(jié)

《數(shù)一數(shù)》

情境二

三年級（上）數(shù)學(xué)第八節(jié)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》

情境三

三年級（下）數(shù)學(xué)第七節(jié)《小數(shù)的初步認(rèn)識》

情境四

六年級數(shù)學(xué)第一節(jié)《負(fù)數(shù)》

情境五

七年級數(shù)學(xué)第六節(jié)《實數(shù)》

師：我們回顧了對數(shù)系的認(rèn)識歷程，我們看到數(shù)系在不斷地進(jìn)行擴(kuò)充，從自然數(shù)到整數(shù)，再到有理數(shù)，乃至實數(shù)，請你思考：

（1）

人們?yōu)槭裁床粩嗟財U(kuò)充數(shù)系？

師：

從上述過程可以看出，滿足社會實踐的需要，是數(shù)系擴(kuò)充的一個

重要原因．正所謂自然數(shù)是“數(shù)”出來的，分?jǐn)?shù)是“分”出來的，負(fù)數(shù)是“欠”出來的．

另外，數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展、需求也是一個重要的原因！例如，求下列方程的解：

x+3=1；3x-2=0；x2-2=0．如果沒有數(shù)系的合理擴(kuò)充，這些方程的解就是一個問題，數(shù)學(xué)本身也不可能協(xié)調(diào)的發(fā)展．

因此，數(shù)學(xué)源于社會實踐又服務(wù)于社會實踐，問題或數(shù)學(xué)矛盾是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力．

（2）

數(shù)學(xué)擴(kuò)充的一般原則是什么？

師：數(shù)系的擴(kuò)充不僅僅是增加一種新的數(shù)，它還涉及數(shù)的運(yùn)算．因此，數(shù)系的擴(kuò)充還需保留原來的基本運(yùn)算，用今天的話來講，就是要向前“兼容”，不能推倒小樓建大樓．具體來講，就是加、減、乘、除、乘方和開方的運(yùn)算律應(yīng)得到繼承．比如要滿足加法、乘法的交換率和結(jié)合律以及乘法對加法的分配律．

設(shè)計意圖：通過梳理數(shù)系的學(xué)習(xí)歷程，體會數(shù)系擴(kuò)充的必要性，了解數(shù)系擴(kuò)充前后的聯(lián)系，為后面學(xué)習(xí)做好鋪墊.（三）問題導(dǎo)引

師：數(shù)系的擴(kuò)充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的數(shù)系又是什么呢？

情境六

與數(shù)學(xué)家的對話

16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家達(dá)爾卡諾在他的著作中寫到“將10分成兩部分，使他們的乘積等于40”，這是不可能的，不過我卻用下列方式解決了：

10=5+-15+(5--15)，40=5+-15(5--15)．

師：這樣一個似乎簡單的問題為什么會有爭議呢？這兩個表達(dá)式有什么問題？又包含了有哪些“合理”的成分，沒有讓數(shù)學(xué)家們一巴掌把它拍死？

師：的確，雖然16世紀(jì)實數(shù)理論還沒有完善，但任何一個（實）數(shù)的平方都是一個非負(fù)數(shù)，或者負(fù)數(shù)的開方?jīng)]有意義的道理是人所共知的．這里-15是什么？他有什么意義嗎？是-15個蘋果還是-15斤棉花？你卡爾達(dá)諾能說清楚嗎？

不過，另一方面，根據(jù)當(dāng)時還不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算法則，這兩個式子好像也沒什么大的問題（先不管-15是什么，和為10，積為40也是明顯的），至少就數(shù)學(xué)論數(shù)學(xué)來說，還馬馬虎虎有點(diǎn)意思，不能因為看不順眼就拍死它吧？

設(shè)計意圖：以問題形式吸引學(xué)生注意力，承上啟下，調(diào)動學(xué)生的積極性.（四）問題探究

提出

1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在他的《幾何學(xué)》中把這樣的數(shù)稱為“imaginary”

.（“想象中的數(shù)”,虛數(shù)）

迷茫

“……，它大概是存在和虛妄兩界中的兩物”．

——德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨

“……我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”

——瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉

發(fā)展

1777年，歐拉在其論文中首次用符號“i

”表示

-1，稱為虛數(shù)單位．

1832年，德國數(shù)學(xué)家高斯第一次引入復(fù)數(shù)概念，一個復(fù)數(shù)可以用

a＋bi來表示，其中a，b是實數(shù)，i代表虛數(shù)單位

完善

1837年哈密頓用有序?qū)崝?shù)對(a，b)定義了復(fù)數(shù)及其運(yùn)算，并說明復(fù)數(shù)的加、乘運(yùn)算滿足實數(shù)的運(yùn)算律，把實數(shù)看成特殊的復(fù)數(shù)，建立完整的復(fù)數(shù)系．

復(fù)數(shù)的概念

1.形如a+bi(a,b?R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位

2.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=

a+bi(a,b?R)

其中a

與b分別叫做z的實部與虛部

設(shè)計意圖：通過問題的提出、迷茫、發(fā)展和完善過程，讓學(xué)生感受有實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的歷程，體會數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神和實踐能力，讓學(xué)生參與其中，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生解決問題的自信心.練習(xí)

完成課后練習(xí)1

設(shè)計意圖：鞏固所學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)對復(fù)數(shù)概念的認(rèn)識.（五）自主學(xué)習(xí)

閱讀

請閱讀教材51頁完成下面的問題：

1．兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么？

2．復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R之間有什么關(guān)系？

3．復(fù)數(shù)集是怎么分類的？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過自己去閱讀、思考的方式獲得知識，培養(yǎng)學(xué)生積極參與的意識和自主探索的能力.練習(xí)

完成課后練習(xí)2、3

設(shè)計意圖：及時反饋，學(xué)以致用，加強(qiáng)對知識的認(rèn)識，提高學(xué)生的解題能力.（六）例題講解

例：實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=(m+1)+(m－1)i是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)．

分析：因為m∈R，所以m+1，m-1都是實數(shù)．由復(fù)數(shù)z=a+bi是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù)的條件可以確定m的取值．

解：（1）當(dāng)m-1=0，即m=1時，復(fù)數(shù)z是實數(shù)；

（2）當(dāng)m-1≠0，即m≠1時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；

（3）當(dāng)m+1=0，且m-1≠0即m=-1時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．

設(shè)計意圖：通過例題，強(qiáng)化復(fù)數(shù)相等的充要條件，提高分析、解決問題的能力，規(guī)范做題步驟.變式練習(xí)

實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)

z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i

是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）0.設(shè)計意圖：增加題目難度，檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)情況.（七）課堂小結(jié)

這節(jié)課你學(xué)到了哪些內(nèi)容，你有什么收獲？

學(xué)生活動：學(xué)生發(fā)言交流自己的收獲，其他同學(xué)補(bǔ)充．

設(shè)計意圖：通過學(xué)生總結(jié)，教師提煉，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力，回顧本節(jié)課內(nèi)容，為以后學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).（八）課后作業(yè)

1、書面作業(yè)：習(xí)題3.1

A組

1，2.2、課后探究：請你收集一些從實數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的數(shù)學(xué)史料，并對“自然數(shù)——整數(shù)——有理數(shù)——實數(shù)——復(fù)數(shù)”的數(shù)系擴(kuò)充過程進(jìn)行整理.設(shè)計意圖：鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，同時帶著新的問題走出課堂，擴(kuò)大學(xué)生的視野，加深對知識的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.（九）知識拓展

復(fù)數(shù)的應(yīng)用

師：在本節(jié)課我們看到，虛數(shù)從提出到完善大約經(jīng)歷了300年的歷程,數(shù)學(xué)也就是在這種曲折、矛盾中不斷的向前發(fā)展．復(fù)數(shù)系建立之后，人們又把復(fù)數(shù)和向量聯(lián)系起來，并在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上建立了復(fù)變函數(shù)理論，成為數(shù)學(xué)新的一個分支，其在流體力學(xué)、機(jī)翼理論等方面有著廣泛的應(yīng)用，從我們熟悉的飛機(jī)制造，到引以為傲的高鐵，再到跨世紀(jì)的偉大工程——三峽大壩，復(fù)數(shù)都起到了重要的作用．可謂虛數(shù)不虛，學(xué)海無涯！

設(shè)計意圖：拓展了學(xué)生的知識面，使學(xué)生思想得到升華.教學(xué)評析

本節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面幫助學(xué)生回憶數(shù)系擴(kuò)充的過程，體會虛數(shù)引入的必要性和合理性，讓學(xué)生參與有實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充歷程;一方面，讓學(xué)生理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，為今后的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).從各個環(huán)節(jié)上看，本節(jié)課主要亮點(diǎn)有：

采用名言欣賞的方式進(jìn)行情景引入，緊扣主題，調(diào)動學(xué)生的積極性和求知欲。

在回顧所學(xué)數(shù)系以及數(shù)系擴(kuò)充的歷程中，采用情境再現(xiàn)的方式，引起了學(xué)生極大的興趣，使學(xué)生迅速進(jìn)入角色，在潛移默化中既得到了溫故，又對知識進(jìn)行了升華.在實數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充歷程中，采用問題驅(qū)動教學(xué)模式，再現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充過程中經(jīng)歷的迷茫、發(fā)展到完善的過程，讓學(xué)生參與其中，激發(fā)了學(xué)生思考和創(chuàng)造精神，同時也體驗了數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折歷程，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在概念學(xué)習(xí)上，采用講練結(jié)合，起到了加強(qiáng)鞏固，學(xué)以致用，及時反饋的功效.對于復(fù)數(shù)相等的概念以及復(fù)數(shù)的分類這部分比較簡單易懂的知識，大膽放手讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)并及時反饋，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.小結(jié)方面學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲總結(jié)，老師以簡練的語言在現(xiàn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，提高了學(xué)生的總結(jié)能力，完成了教學(xué)目標(biāo)，同時激發(fā)學(xué)生對后續(xù)學(xué)習(xí)的欲望.最后一個環(huán)節(jié)通過課外引申，拓展了學(xué)生的知識面，使學(xué)生思想得到升華.總之，我感覺整個教學(xué)過程中自然流暢地體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位和老師的主導(dǎo)作用，教學(xué)各環(huán)節(jié)循序漸進(jìn)，張弛有度，目標(biāo)達(dá)成度高.當(dāng)然，本節(jié)課也有遺憾的地方，比如，數(shù)系擴(kuò)充的發(fā)展史是否應(yīng)該應(yīng)讓學(xué)生課前自主查閱，對已學(xué)數(shù)集的回顧是不是應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立完成，復(fù)數(shù)的概念強(qiáng)調(diào)是否不夠，與學(xué)生的互動環(huán)節(jié)是否應(yīng)該再多一些，教師的教學(xué)語言是否能夠再簡練一點(diǎn)等等，這些都是值得反思的.