第一篇：空間幾何問題

用空間直角坐標系求解空間幾何問題：

求解（4種）

①兩直線的夾角：求他們的向量，用夾角公式（會吧）求余弦。

②線面角：求線與平面的法向量的向量，用夾角公式求余弦，即線面角的正弦。

③二面角：即兩平面的法向量的夾角，用兩向量的夾角公式求法向量夾角的余弦

④點到面的距離h：任找一過點的平面的斜線，你可以求平面的法向量，然后就可以求出 他們的夾角的余弦，設為cosα而h=斜線的長*cosα（自己畫圖看看）

證明：（有6種）

①線線平行：（一般不用向量證）建立空間直角坐標系，求線段的向量，由兩直線平行的判定定理證明是否平行。②線面平行：（一般也不用向量證）建立空間直角坐標系，求線段的向量，你證此向量和平面的法向量垂直了，同時線不在平面上，就證明線面平行了。

③面面平行：證法向量平行。

④線線垂直：更簡單了，建立空間直角坐標系，求線段的向量，由兩直線垂直的判定定理證明是否垂直。（類似線線平行的證明）

⑤線面垂直：線段的向量和平面的法向量平行或重合。

⑥面面垂直：兩法向量垂直，或證兩平面的二面角為90°

第二篇：空間幾何證明

立體幾何中平行、垂直關系證明的思路

平行垂直的證明主要利用線面關系的轉化：

線∥線???線∥面???面∥面性質

?判定???線⊥線???線⊥面???面⊥面????

線∥線???線⊥面???面∥面

線面平行的判定：

a∥b，b?面?，a???a∥面?

a b ??

線面平行的性質：

?∥面?，??面?，????b?a∥b

三垂線定理（及逆定理）：

PA⊥面?，AO為PO在?內射影，a?面?，則

a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO

P ??O a

線面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?

a O α b c

面面垂直：

a⊥面?，a?面???⊥?

面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?

α a l β

a⊥面?，b⊥面??a∥b

面?⊥a，面?⊥a??∥?

a b ??

定理：

1.如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。作用：判斷直線是否在平面內；證明點在平面內；檢驗平面。2.過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

作用：確定平面；判斷兩個平面是否重合；證明點線共面。推論：a.經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；

b.經過兩相交直線，有且只有一個平面；

c.經過兩條平行直線，有且只有一個平面。

3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

作用：a.判定兩個不重合平面是否相交；

b.判斷點在直線上。

4.平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞性）。5.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。6.（直線與平面平行的判定定理）

平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。條件：a.一條直線在平面外；

b.一條直線在平面內；

c..這兩條直線互相平行。7.（平面與平面平行的判定定理）

一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。條件：a.兩條相交直線；

b.相交直線在一個平面內；

c.對應平行。

8.（直線與平面平行的性質定理）

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

條件：a.一條直線與一個平面平行；

b.過這條直線的任一個平面與此平面相交；

c.交線與直線平行。9.（平面與平面平行的性質定理）

如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。條件：a.兩個平行平面：平面1和平面2和第三個平面：平面3

b.平面1與3相交，平面2與3相交

c.交線平行

點、線、面的相關證明

一.多點共線和多線共點問題證明

方法：公理3的熟練應用；兩個相交平面有且只有一條公共直線。

1.如下圖，在四邊形ABCD中，已知AB//CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，F(xiàn)，G，H。求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線。

2.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于Q.求證：B，Q，D1三點共線。

3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB 的中點，F(xiàn)為AA1的中點，求證：

a.E，C，D1，F(xiàn)四點共面；

b.CE，D1F，DA三線共點。

二．計算異面直線所成角度

方法：平移法和輔助線（中位線）構造角度

1.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角度為______________.2.如圖所示，正四棱錐P-ABCD的底面面積為3，體積為√2/2，E為側棱PC的中點，則PA與BE 所成的角為____________.3.如圖所示，正三棱錐S-ABC（側面為全等的等腰三角形，底面為正三角形）的側棱長與底面邊長相等，E、F分別是SC、AB的中點，異面直線EF與SA所成的角為____________.4.如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點，已知AB=2，AD=2√2，PA=2.求：（1）三角形PCD的面積；

（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q分別是棱AB、BC、CD、CC1的中點，直線MN與PQ所成的度數(shù)_______________.

第三篇：小學生如何學好空間幾何（本站推薦）

新課程改革以來，小學空間幾何教學知識在原來的基礎增加了不少的新內容，其地位在小學數(shù)學課程資源中越來越重要。關于如何搞好這一部分知識的教學，成為了小學數(shù)學教師面臨的一個新的挑戰(zhàn)。在小學數(shù)學課程標準中，關于空間觀念教學目標確立為：能由實物的形狀想像出幾何圖形，由幾何圖形想像出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化。能根據(jù)條件做出立體模型或畫出圖形；能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系。能描述實物或幾何圖形的運動和變化；能采用適當?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關系；能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。

由于小學生的年齡小，知識基礎比較薄弱、空間觀念還為完全建立等條件的限制，學習這部分知識成為讓學生頭疼的事情，如何激發(fā)學生的學習興趣，提高學生對幾何知識的學習效率，筆者從自身的實踐中發(fā)現(xiàn)，在課堂教學中加強實踐操作應該是最有效的一種方法。一．操作實踐在教學中的作用

1、操作實踐可以讓抽象的幾何知識直觀地呈現(xiàn)在學生面前。

在資源平臺提供的案例中有關于《圓的面積》的教學片段，在課堂中，學生通過對圓形進行折、剪、拼等方法，把圓形轉化成已經熟悉的長方形、平行四邊形、等腰梯形等圖形，然后再通過比較新得到的圖形和圓形各部分的對應關系，從而歸納出圓形面積的計算公式。雖然三位教師的側重點有所不同，但如果不是通過操作，哪怕是再聰明的學生恐怕也很難想象出怎樣來計算圓形的面積。

2、操作實踐有利于學生多元化思維的發(fā)展

在原來教學長方形的認識一課時，我設計了一個小游戲，讓學生利用四個相同的長方形任意擺出自己喜歡的圖形，（設計的意圖只是為了激發(fā)學生學習數(shù)學課程的興趣），但在擺圖形之前，我向學生提出一個要求，就是在擺之前，自己要先估計自己所能擺出的圖形的個數(shù)，學生們不假思索的就寫下了自己的答案：4種、5種……，但學生估計的個數(shù)都不是很多。不一會，學生就擺出了許多的形狀，已經遠遠超過了自己估計的數(shù)據(jù)。通過這一簡單的游戲，學生的思維不再局限于規(guī)范的排列，對頂排列、隨機移動等方法滲透到學生的思維中。雖然這只是一個小小的游戲，但對于容易受慣性思維的小學生來說，影響卻十分深刻。為以后思維的多元化發(fā)展奠定了基礎。

3、操作實踐讓學生感受到數(shù)學學習的樂趣

數(shù)學知識來源于生活，又高于生活，它是對生活中問題的抽象概括。對于小學生來說，學習幾何知識是非常抽象的，學生普遍不容易接受，學習興趣自然就不高。但有經驗的教師往往會利用直觀的材料，讓學生進行實踐活動，在活動中認識幾何圖形的特征，掌握各種幾何圖形之間的內在聯(lián)系，學生學習不僅不會感到枯燥，而且覺得這樣的學習非?！昂猛妗?。起到了事半功倍之效。二．進行幾何知識操作實踐應注意的問題

任何事物多是兩方面的，操作實踐對學習幾何知識的幫助也是如此，如平臺資源中關于“兩條邊之和等于第三條邊也能拼成三角形”就是一個很好的例子。如何避免操作誤導學生，我覺得進行操作教學應該注意以下幾個方面。

1、操作過程要注意其嚴密性

數(shù)學是一門邏輯關系非常嚴密的學科，在操作過程中也許稍有疏忽大意，就會出現(xiàn)和與學科知識截然不同的結論，給學生造成錯誤的認識，失去了操作的實際價值。因此教師在學生的操作過程中一定要加強引導，減少甚至避免學生出現(xiàn)錯誤。

2、精心選擇學生操作所需材料。曾記得原來有一位教師在教學《圓錐的體積》一課時，教師就讓學生通過用圓錐向圓柱內倒水的方法，來驗證圓柱和圓錐體積之間的關系，結果有兩個小組就是得不出正確的結論，于是教師又讓得出正確結論的小組來幫助這兩個小組，可他們也同樣失敗了。這時教室里頓時亂了起來，覺得剛才得出的結論只不過是一種巧合，老師一下子也急出了汗，只好請其他老師去幫忙，結果仔細一看，原來教師提供給這兩個小組的操作材料不是一套，雖然它們外觀和大?。ǖ鹊椎雀撸┫嗤?，可其中一套材質厚，導致了操作驗證不成功。

3、實踐操作要與系統(tǒng)的整理總結相結合。

實踐操作的目的就是通過動手來得出數(shù)學結論，以幫助學生認識知識的來龍去脈，因此教師要積極引導學生對操作過程進行思考回憶，并整理出自己或小組的結論，這樣操作實踐才不會成為只是形式上的熱鬧，才能讓實踐操作真正起到為教學服務的目的。

第四篇：2014年國家公務員考試行測空間幾何問題

2014年國家公務員考試行測：空間還原問題

圖形推理中的空間還原問題是很多考生的薄弱項。圖形的空間還原規(guī)律主要是考查考生的空間想象能力，常見題型是平面與立體的轉化和立體圖形與三視圖的對應兩類。在這兩類中，以平面與立體的轉化難度最高，也是最令考生頭疼的?！?014年國家公務員考試備考教材》針對這類問題，總結了解題技巧，供大家參考。

空間還原類題目主要使用拆（折）紙盒的方法進行解答。折紙盒主要是針對平面圖形變?yōu)榱Ⅲw圖形的題目，而拆紙盒則是針對立體圖形轉化為平面圖形的題目。對于這類題目，簡單直觀的方法就是快速地找到特殊面或者特殊邊，然后根據(jù)這個面或者邊的位置進行折疊，從而分析得出試題的答案。

例1：（2013·國考）

【答案】C 【解析】本題考查空間圖形。A項斜線與空白兩個面應為對立面，不能同時出現(xiàn)。B項斜線、交叉兩個面也是對立面，可以排除，D項三個面排列順序有誤用，排除。答案選C。

例2：（2012·國考）左邊給定的是紙盒的外表面，下面哪一項能由它折疊而成？

【答案】A 【解析】由平面上相對的面在立體圖形中不可能相鄰可知，有一個點的面和有四個點的面不可能相鄰，排除B項;C項正面應為四個點;D項頂面的兩個點不應橫向排列，而應為縱向排列，右側面三個點應為從右上到左下。故選A。

以上是解決此類問題的常規(guī)分析方法，如果有部分考生實在不擅長分析，可以考慮在考場演示的方式，這樣更為直觀。只要是能夠真正解決問題的方法，都是可行的方法。

第五篇：線性代數(shù)與空間幾何,教學大綱

《線性代數(shù)與空間解析幾何》A教學大綱

Linear Algebra and Analytic Geometry A

課程編碼：09A00110

學分：3.課程類別：專業(yè)基礎課（必修課）計劃學時：56

其中講課：56

實驗或實踐：0

上機：0 適用專業(yè)：信息科學與工程、機械工程、自動化與電氣控制、土木建筑、資源與環(huán)境、物理科學與技術等學院理工類各專業(yè)

推薦教材：于朝霞 張?zhí)K梅 苗麗安主編.線性代數(shù)與空間解析幾何(第二版).北京：高等教育出版社，2016.參考書目：

1、鄭寶東主編.線性代數(shù)與空間解析幾何(第三版).北京：高等教育出版社，2015.2、馬柏林等主編.線性代數(shù)與解析幾何.北京：科學出版社，2001.3、黃廷祝，成孝予主編.線性代數(shù)與空間解析幾何(第三版).北京：高等教育出版社，2014.4、馮良貴等編著.線性代數(shù)與解析幾何.北京：科學出版社，2013.5、龔冬保等主編.線性代數(shù)與空間解析幾何要點與解題.西安：西安交通大學出版社，2006.6、黃廷祝，余時偉主編.線性代數(shù)與空間解析幾何學習指導教程.北京：高等教育出版社，2005.課程的教學目的與任務

線性代數(shù)與空間解析幾何具有較強的抽象性與邏輯性，所介紹的方法廣泛地應用于各個學科，是高等學校本科各專業(yè)的一門重要的基礎理論課。

通過本課程的教學，使得學生系統(tǒng)地獲取線性代數(shù)與空間解析幾何的基本知識、基本理論與基本方法，了解代數(shù)與幾何的相互滲透關系，會用代數(shù)理論去解決幾何方面的問題，具有較熟練的運算能力。通過本課程的學習使學生初步熟悉和了解抽象的、嚴格的代數(shù)證明方法，理解具體與抽象、特殊與一般的辯證關系，提高空間想象、抽象思維、邏輯推理的能力。學會理性的數(shù)學思維技術和模式，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和能力，能運用所獲取的知識去分析和解決問題，并為后繼課程的學習和進一步深造打下良好的基礎。

課程的基本要求

通過本課程的學習，要求學生達到以下要求：

1.了解行列式的概念，熟記行列式的性質，掌握行列式的基本計算方法。2.掌握矩陣的基本運算，理解矩陣秩的概念及初等矩陣與初等變換的關系性質。

3.理解線性相關性、向量組的秩的概念，掌握線性相關性的性質及判定定理、三秩相等定理。4.掌握平面、直線、二次曲面的方程及方程所表示的曲面形狀。

5.理解線性方程組解的存在定理、解的結構定理，掌握其在討論空間平面位置關系中的應用。6.理解特征值、特征向量的概念。掌握方陣可相似對角化的條件及方法，正交變換化二次型為標準形的方法。掌握二次型理論在判別三元二次方程所表示的幾何形狀的應用。7.借助矩陣的初等行變換熟練掌握各類線性問題解的刻畫及求解方法步驟。8.掌握線性方程組理論及二次型理論在幾何上的應用。

各章節(jié)授課內容、教學方法及學時分配建議

本課程的內容按教學要求的不同，分為兩個層次.其中，概念、理論用“理解”一詞表述的，方法、運算用“掌握”一詞表述的，屬較高要求，必須使學生深入理解，牢固掌握，熟練應用；概念、理論用“了解”一 詞表述的，方法、運算用“會”或“了解”表述的，也是教學中必不可少的，只是在要求上低于前者。第一章： 行列式

建議學時：8 [教學目的與要求]

1．理解n階行列式的定義。

2．理解行列式的性質，掌握行列式的計算。3.了解克拉默(Cramer)法則。

[教學重點與難點] 行列式的性質，行列式的計算。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容] 1.1 二階與三階行列式 1.1.1 二階行列式 1.1.2 三階行列式

1.2 n階行列式的定義 1.2.1 排列與逆序數(shù) 1.2.2 n階行列式的定義 1.3 行列式的性質與計算

1.3.1 行列式的性質 1.3.2 行列式的計算 1.4 克拉默法則習題課

第二章：矩陣及其運算

建議學時：10 [教學目的與要求]

1．理解矩陣的概念，知道某些特殊矩陣的定義及性質。2．熟練掌握矩陣的線性運算，乘法運算，轉置及相關運算性質。

3．理解伴隨陣概念及性質，理解逆矩陣的概念和性質、矩陣可逆充要條件。4．理解矩陣秩的概念，知道滿秩矩陣及其性質。

5．理解矩陣的初等變換，熟練地用初等行變換求逆矩陣、求矩陣的秩、解矩陣方程。6．了解分塊矩陣的運算，掌握準對角矩陣的運算性質。[教學重點與難點]

重點：矩陣、逆矩陣、矩陣的秩及矩陣的初等變換的概念。矩陣的各類運算及運算性質。矩陣可逆的充要條件。初等矩陣與初等變換的關系性質，用初等變換求逆矩陣、矩陣的秩、矩陣方程的解的方法。

難點：矩陣秩的概念，有關矩陣秩的性質的應用問題。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容]

2.1 矩陣及其運算 2.1.1 矩陣的概念 2.1.2 矩陣的運算 2.2 逆矩陣 2.2.1逆矩陣的定義 2.2.2 方陣可逆的充要條件 2.3 分塊矩陣及其運算 2.3.1 分塊矩陣的概念 2.3.2 分塊矩陣的運算

2.4 矩陣的初等變換與矩陣的秩 2.4.1 矩陣的初等變換 2.4.2 矩陣秩的概念與求法 2.5 初等矩陣

2.5.1 初等矩陣及其性質 2.5.2 用初等變換求逆矩陣習題課

第三章：向量與向量空間

建議學時：10 [教學目的與要求]

1.了解空間直角坐標系、幾何向量的坐標表示及運算。

2.理解n維向量的概念、理解線性相關性概念。會判別向量組的線性相關性。

3.理解向量組的最大無關組、秩的概念，理解三秩相等定理。掌握用矩陣的初等變換求向量組的最大無關組及秩的方法。

4.理解n維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標等概念，會求向量空間的基、維數(shù)。

[教學重點與難點]

重點：向量組的線性相關性的概念及性質，向量組的線性相關性的矩陣判別法及其推論以及上述結論的應用；向量組的最大無關組與秩的概念與求法；三秩相等定理及應用；向量空間、基底及維數(shù)的概念。

難點：向量組的線性相關性、向量組的最大無關組與秩及相關證明題。[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容] 3.1 幾何向量及其線性運算 3.1.1 幾何向量的基本概念 3.1.2 幾何向量的線性運算 3.2 空間直角坐標系 3.2.1 空間直角坐標系 3.2.2 幾何向量的坐標表示 3.2.3 用坐標進行向量運算

3.3 n維向量及其線性運算 3.3.1 n維向量的概念 3.3.2 n維向量的線性運算 3.4 向量組的線性相關性 3.4.1 向量組及其線性組合 3.4.2 線性相關與線性無關的概念 3.4.3 線性相關性的性質 3.4.4 線性相關性的判定 3.5 向量組的秩

3.5.1 最大線性無關組 3.5.2 向量組的秩

3.5.3 矩陣的秩與向量組的秩的關系 3.6 向量空間

3.6.1 向量空間的概念 3.6.2 坐標變換習題課

第四章：歐氏空間

建議學時：8 [教學目的與要求]

1.理解向量的內積、長度、夾角等概念及性質；理解標準正交基、正交矩陣;會求幾何向量的內積和外積。

2.掌握空間直線的標準式方程與平面的點法式、一般式方程。3.理解空間曲面、空間曲線的概念，會求空間曲線在坐標面上的投影。4.知道二次曲面方程及其所表示圖形的形狀。

[教學重點與難點] 標準正交基；直線與平面方程、曲面方程。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容] 4.1 向量的內積

歐氏空間 4.1.1 R3中向量的內積

4.1.2 n維向量的內積

歐氏空間 4.2 標準正交基

4.3 R3中向量的外積和混合積

4.3.1 向量的外積 4.4 R3中的直線與平面 4.4.1平面及其方程 4.4.2 空間直線及其方程 4.4.3 位置關系 4.5 空間曲面及其方程

4.5.1 球面 4.5.2 旋轉曲面 4.5.3 柱面

4.6 空間曲線及其方程 4.6.1 空間曲線的一般方程 4.6.2 空間曲線的參數(shù)方程 4.6.3 空間曲線在坐標面上的投影 4.7 二次曲面 4.7.1 橢球面 4.7.2 拋物面 4.7.3 雙曲面 4.7.4 二次錐面習題課

第五章：線性方程組

建議學時：6 [教學目的與要求]

1．理解齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件。2．理解齊次線性方程組的基礎解系，線性方程組的通解的概念及解的結構。3．熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。

4.掌握線性方程組解的理論在向量組的線性相關性和在幾何上的應用。

[教學重點與難點] 齊次線性方程組有非零解的判斷及基礎解系的概念；非齊次線性方程組有解的判 斷及通解結構；用矩陣的初等行變換求解線性方程組；線性方程組解的理論在幾何上的應用。[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容] 5.1 線性方程組有解的充要條件 5.2 線性方程組解的結構 5.2.1 齊次線性方程組解的結構 5.2.2 非齊次線性方程組解的結構

5.3 用初等變換解線性方程組及線性方程組的應用 5.3.1 用矩陣的初等行變換求解線性方程組

5.3.2 線性方程組應用舉例（只介紹在幾何中的應用）習題課

第六章：特征值、特征向量及相似矩陣

建議學時：8 [教學目的與要求]

1．理解矩陣的特征值與特征向量的概念并掌握其求法。

2．理解相似矩陣的概念與性質，理解矩陣可相似對角化的充要條件。

[教學重點與難點]

重點：矩陣的特征值與特征向量的概念、性質及求法；實對稱矩陣的相似對角化。

難點：矩陣可相似對角化的條件及相關問題。

[授

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法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

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內

容] 6.1 特征值與特征向量 6.1.1 特征值與特征向量的概念 6.1.2 特征值與特征向量的性質 6.2相似矩陣

6.2.1 相似矩陣的概念及性質 6.2.2 方陣的相似對角化問題 6.3 實對稱矩陣及其對角化

6.3.1 實對稱矩陣的特征值與特征向量 6.3.2 實對稱矩陣的正交相似對角化習題課

第七章：二次型

建議學時：6 [教學目的與要求]

1.了解二次型及其矩陣表示、二次型的秩及二次型的標準形等概念。

2.掌握用正交變換將二次型化為標準形的方法,會用配方法化二次型為標準形。3.會用二次型理論討論討論一般二次曲面的形狀。[教學重點與難點] 用正交變換化二次型為標準型。

[授

課

方

法] 以課堂多媒體講授為主，課堂討論和課堂練習為輔。[授

課

內

容] 7.1 二次型

7.1.1 二次型的定義及其矩陣 7.1.2 矩陣的合同 7.2 化二次型為標準形

7.2.1 用正交變換化二次型為標準形 7.2.2 用配方法化二次型為標準形 7.3 正定二次型 7.3.1 二次型的慣性定理 7.3.2 正定二次型

7.4 二次型在研究二次曲面中的應用 7.4.2 二次曲面方程化標準形

習題課

撰稿人：張?zhí)K梅

審核人：楊殿武