第一篇：命題與證明 平行四邊形 教案

《命題與證明》

1、定義（一般地，能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義）

2、命題（一般地，判斷一件事情的句子叫做命題）命題是一個“判斷句”，判斷“是”或“非”．其中正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，如“對頂角相等”是真命題，“相等的角是對頂角”是假命題.注意：(1)命題是語句，而且必須是能判斷正確和錯誤的句子．(2)錯誤的命題也是命題．

過直線外一點做一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點做一條直線，要么與已知直線相交，要么與已知直線平行。

3、每個命題是由條件（題設(shè)）和結(jié)論（題斷）兩部分組成．條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，命題常寫成“如果……那么……”的形式．一般形式是“如果p，那么q”，其中用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分是結(jié)論．（判斷清楚哪些是條件，哪些是結(jié)論）

寫成“如果，那么”的形式

①在同一個三角形中 等角對等邊

②角平分線上的點到角兩邊的距離相等

③同角的余角相等

3、公理、定理、推論

人們在長期實踐中檢驗所得的真命題，并作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做公理．如“過兩點有且只有一條直線”；“兩點之間，線段最短”等等．有些命題的正確性是通過推理證實的，并被選定作為判定其它命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫定理．由公理、定理直接得出的真命題叫做推論． 如 三角形內(nèi)角和定理三角形的內(nèi)角和等于180°．

推論1 直角三角形的兩銳角互余．

推論2 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．

推論3 三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．

4、證明真命題的方法

根據(jù)題設(shè)、定義、公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫證明.證明一個真命題一般按以下步驟進行：

（1）審題，分清命題的條件與結(jié)論.（2）畫圖，依題意畫出圖形，畫圖時應(yīng)做到圖形正確且具有一般性，切忌將圖形特殊化.（3）寫“已知”“求證”，按照圖形，分析、探求解題思路，然后寫出證明過程，證明的每一步都要做到敘述清楚，而且要有理有據(jù).5、證明假命題的方法

證明一個命題是假命題，只需舉一個“反例”即可，也就是舉出一個符合命題的條件而不符合結(jié)論的例子.用反證證明下列命題是假命題

有一條邊、兩個角相等的兩個三角形全等

任何三條線段都能組成三角形

6、重難點及歸納

①命題的理解：本節(jié)的一個難點是找出一個命題的題設(shè)和結(jié)論，它是后面證明中，書寫已知求證的基礎(chǔ)，對那些條件結(jié)論不明顯的命題．應(yīng)在學(xué)習(xí)中多練，必要時結(jié)合圖形來區(qū)分．例如命題“如果兩條直線和

第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，其中“兩條直線和第三條直線平行”是條件，“這兩條直線也平行”是結(jié)論．再如命題，“對頂角相等”，它的條件和結(jié)論不明顯，應(yīng)將它改成“如果兩個角為對頂角，那么這兩個角相等”，再指出條件和結(jié)論．

②定義、命題、公理和定理之間的聯(lián)系與區(qū)別

這四者都是句子，都可以判斷真假，即定義、公理和定理也是命題，不同的是定義、公理和定理都是真命題，都可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，只不過公理是最原始的依據(jù)，而命題不一定是真命題，因而它不一定能作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)．

③證明真命題的方法和步驟，難點是分析證明思路，有條理地寫出推理過程．

④三角形內(nèi)角和定理的三個推論常用來求角的大小和進行角的比較．

7、證明的思路： ①從已知出發(fā)，推出可能的結(jié)果，并與要證明的結(jié)論比較，直至推出最后的結(jié)果。②從

要證明的結(jié)論出發(fā)，探索要使結(jié)論成立，需要什么條件，并與已知條件對照，直到找到所需要的并且是已知的條件。

探索證明：在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角大于或等于60度

9、用反證法（證明的思路如何，苦李子的故事）

用反證法證明命題，一般有三個步驟：

反設(shè) 假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)命題結(jié)論的反面成立）

歸謬 推出矛盾（和已知或?qū)W過的定義、定理、公理相矛盾，或者與假設(shè)所推出的任何一個已知相矛盾）結(jié)論 從而得出命題結(jié)論正確。

例如用反證法證明：

在同一個平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

在三角形的內(nèi)角中，至少有一個角大于或等于60度

例1兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行

已知：如圖∠1＝∠2A1B

求證：AB∥CD

證明：設(shè)AB與CD不平行C2D

那么它們必相交，設(shè)交點為MD

這時，∠1是△GHM的外角A

1∴∠1＞∠2G這與已知條件相矛盾

2∴AB與CD不平行的假設(shè)不能成立H

∴AB∥CDC

例2.求證兩條直線相交只有一個交點

證明：假設(shè)兩條直線相交有兩個交點，那么這兩條直線都經(jīng)過相同的兩個點，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”的直線公理相矛盾，所以假設(shè)不能成立，因此兩條直線相交只有一個交點。

（從以上兩例看出，證明中的三個步驟，最關(guān)鍵的是第二步——推出矛盾。但有的題目，第一步“反設(shè)”也要認真對待）。

例3.已知：m2是3的倍數(shù)，求證：m 也是3的倍數(shù)

例4.求證：2不是有理數(shù)

《平行四邊形》

1、四邊形的定義

2、定理：四邊形的內(nèi)角和等于360度

推論：四邊形的外角和等于360度

N邊形的內(nèi)角和外角和（為什么）

正五邊形能鑲嵌平面嗎（為什么）

單獨和鑲嵌平面的正多邊形有哪幾種？為什么只有這幾種？

（2011浙江省，8，3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分別找一點M,N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數(shù)為（）（如何作輔助線，培養(yǎng)感覺）

A.100°B．110°C.120°D.130°

3、平行四邊形的定義性質(zhì)

定理：平行四邊形的對角相等

定理1：平行四邊形的兩組對邊分別相等。

推論1：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

推論1：夾在兩條平行線間的垂線段相等。

定理2：平行四邊形的對角線互相平分。

4、中心對稱圖形定義 對稱中心

性質(zhì)：對稱中心平分兩個對稱點的線段。（在平面直角坐標(biāo)系中，點（x，y）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是多少？為什么？）

5、平行四邊形的判定

①定義②定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形③定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形④定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

6、三角形的中位線定理（如何證明？）

7、逆命題與逆定理

兩個命題，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。每個命題都有逆命題。每個定理都有逆命題。如果一個定理的逆命題也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中的一個定理叫做另一個定理的逆定理。

因此，每個命題有逆命題；每個定理有逆命題，但不一定有逆定理。

1.（2011浙江金華，15，4分）如圖，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H，則△DEF的面積是

.3.（2011四川成都，20,10分）如圖，已知線段AB∥CD，AD與BC相交于點K，E是線段AD上一動點.5CD

1(1)若BK=2KC，求AB的值；(2)連接BE，若BE平分∠ABC，則當(dāng)AE=2AD時，猜想線段AB、BC、CD三者之間有怎樣的等量關(guān)系?請寫出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)AE=nAD(n?2)，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD三者之間又有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

6、如圖，已知△ABC中，?ABC?45，F(xiàn)是高AD和BE的交點，CD?4，則線段DF的長度為（）.A

．B． 4C

．D

．

?

第二篇：命題與證明平行四邊形練習(xí)

典型例題剖析

例

1、將下列各句改寫成“如果……，那么……”的形式．

（1）對頂角相等；

（2）等角的余角相等；

（3）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；

（4）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

分析：

省略掉詞語的命題通常采取仔細分析，把省略掉的詞語重新補上，或根據(jù)命題畫出準確圖形，再根據(jù)圖形，把命題完整寫出來，根據(jù)這些方法研究，我們便可著手改寫了．

解：

（1）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

（2）如果兩個角是等角的余角，那么這兩個角相等；

（3）如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行；

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行；

例

2、指出下列命題的條件部分和結(jié)論部分

（1）直角都相等；

（2）互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直；

（3）直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短；

（4）大于90°而小于180°的角是鈍角；

（5）兩個角的和等于平角時，這兩個角互為補角．

分析：

解答這類問題，必須弄清命題由哪兩部分組成，進一步弄明白條件與結(jié)論所表示的意思．便可找出條件與結(jié)論．對省略掉詞語的命題應(yīng)先設(shè)法補上，再著手找題設(shè)與結(jié)論．命題的條件與結(jié)論不好用文字敘述時，要用符號寫出條件和結(jié)論，但必須說明符號所表示的意義．

解：（1）條件：兩個角都是直角；

結(jié)論：這兩個角相等．

（2）條件：互為鄰補角的兩個角的兩條平分線；

結(jié)論：這兩條角平分線互相垂直．

（3）條件：直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段；

結(jié)論：垂線段最短．

（4）條件：90°＜∠

結(jié)論：∠＜180°； 是鈍角．

（5）條件：兩個角的和等于平角；

結(jié)論：這兩個角互補．

例

3、判斷下列命題的真假，如果是假命題，請說明理由．

（1）兩點之間，線段最短．

（2）如果一個數(shù)的平方是9，那么這個數(shù)是3．

（3）同旁內(nèi)角互補．

（4）過一點有且只有一條直線與已知直線平行．

（5）如果a＋b=0，那么a=0，b=0．

（6）兩個銳角的和是銳角．

分析：

要判定一個命題是假命題，只要舉出一個例子（反例）即可．于是以上各題真假便眉目分明了． 解：

（1）真命題，這是關(guān)于線段的一個公理．

（2）假命題，因為一個數(shù)的平方是9，這個數(shù)也可能是－3．

（3）假命題，任意二條直線被第三條直線所截，都有同旁內(nèi)角產(chǎn)生，只有兩條平行線被第三直線所截，才有同旁內(nèi)角互補的結(jié)論．

（4）假命題，如果這個點在已知直線上，就無法作出一條直線與已知直線平行．

（5）假命題，如果a=2，b=－2，2＋(－2)=0，但a＝2≠0，b=－2≠0．

（6）假命題，如60°和50°的角都是銳角，但它們的和是鈍角．

例

4、區(qū)分下列語句中，哪些是定義，哪些是公理，哪些是定理：

（1）經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線；

（2）兩點之間，線段最短；

（3）有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角；

（4）對頂角相等；

（5）垂線段最短．

分析：

只要理解定義，公理，定理的意義，便可一一區(qū)分誰是定義，誰是公理，誰是定理．

解：(1)、(2)是公理；(3)是定義；(4)、(5)是定理．

例

5、完成以下證明，并在括號內(nèi)填寫理由：

已知：如圖所示，∠1=∠2，∠A=∠3.求證：AC∥DE.例

6、如下圖，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E

．求證：

．

例

7、如圖，CE是△ABC的外角∠ACM的平分線，CE交BA的延長線于點E，試說明∠BAC＞∠B成立的理由

.例

8、已知：如圖AD為∠ABC的角平分線 E為BC的中點過E作EF∥ AD，交AB于M，交CA延長線于F。CN∥ AB交FE的延長線于N。

求證：

BM=CF

例

9、求證：沒有一個有理數(shù)的平方等于

3例

10、求證：三角形的三條邊的垂直平分線交于一點

例

11、求證：等腰三角形的底角是銳角

第三篇：八上期末專題復(fù)習(xí)之(命題與證明、平行四邊形)

期末專題復(fù)習(xí)之四—命題與證明、平行四邊形

學(xué)號__________姓名____________

一、知識回顧：

（一）命題與證明

1．定義：能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的意義的句子叫做該名稱或術(shù)語的定義.（1）概念：對一個事件作出正確或不正確的_______的句子

①

（2）分類

2．命題② 假命題（可通過

（3）形式：命題都可寫成命題與證明（4）互逆命題

1）公理：一部分人們通過后公認為正確的命題

3.公理與定理

（2.（14.證明

（2__________________矛盾

______________

（二）平行四邊形

1、n邊形的內(nèi)角和_________________,外角和：____________,對角線條數(shù)：______________

2、平行四邊形定義：_______________的四邊形叫做平行四邊形。

3、平行四邊形性質(zhì)：

（1）角：平行四邊形__________________________________;

（2）邊：平行四邊形__________________________________;

（3）對角線：平行四邊形______________________________；

（4）對稱性：平行四邊形是______________；

4、平行四邊形判定：

用邊判定：⑴__________________________________;

⑵__________________________________;

⑶__________________________________;

用對角線判定：_____________________________________________。

5、三角形中位線性質(zhì)定理：____________________________________；

逆定理：_______________________________________

6、平行線之間的距離定義：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。

平行線之間的距離特征1：______________________________。

平行線之間的距離特征2：夾在兩條平行線之間的__________相等。

二、典型例題：

1、命題的證明： 例1：（1）證明“全等三角形對應(yīng)角平分線相等”是真命題．

（2）用反例證明下列命題是假命題：①若x≠2，則分式

x

有意義；② 三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．

2x?

4（3）①用反證法證明命題“三角形的三個內(nèi)角中，至少有一個大于或等于60°”時，?應(yīng)假設(shè)____________②用反證法證明：在一個三角形中，如果兩個角不等，那么它們所對的邊也不相等．

2、平行四邊形的性質(zhì)和判定

例2 已知如圖：在四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，點E、F分別在BC和AD邊上，AF＝CE，EF和對角線BD相交于點O，求證：點O是BD的中點。

D C

練

1、如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊上的一點，連結(jié)DE并延長，交AB的延長線于F點，且DE=EF，AB=BF．再添加一個條件，你認為下面四個條件中不能使四邊形ABCD是平

E

行四邊形的是（）A．AD?BC

B．CD?BF

C．?A??C

D．?F??CDE

A

B

F

練2：如圖，已知平行四邊形ABCD的周長為30cm，AE⊥BC于E點，AF⊥CD于F點，若AE∶AF=2∶3，∠C=120°.求S □ABCD ＝________________.變式：已知平行四邊形ABCD的面積為12，過點A作直線BC的垂線交BC于點E，過點A作直線CD的垂線交CD于點F，若AB＝4，BC＝6，則CE＋CF的值為.3、中點四邊形

例3：已知如圖：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。

變式1：順次連結(jié)矩形四邊中點所得的四邊形是__________。

變式2：順次連結(jié)菱形四邊中點所得的四邊形是__________。

2圖

變式3：順次連結(jié)正方形四邊中點所得的四邊形是__________。變式4：順次連結(jié)等腰梯形四邊中點所得的四邊形是__________。

變式5：若AC＝BD，AC⊥BD，則四邊形EFGH是__________。

變式6：在四邊形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分別為AD、BC、BD、AC的中點，則四邊形EFGH是____________.變式7：如圖：在四邊形ABCD中，E為邊AB上的一點，△ADE和△BCE都是等

孌式6圖

邊三角形，P、Q、M、N分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形

PQMN是菱形。

練3：如圖四邊形ABCD中,AB=CD.∠ABD=20°，∠BDC=70°，E、F、G分別是BC,AD,BD的中點，則∠GEF=____________°

孌式7圖

課內(nèi)練習(xí)：

1、下列句子中不是命題的是()A 明天可能下雨B 臺灣是中國不可分割的部分

C 直角都相等D 中國是2008年奧運會的舉辦國

2、下列命題中的真命題是（）A 銳角大于它的余角B 銳角大于它的補角 C 鈍角大于它的補角D 銳角與鈍角等于平角

3、下列命題中，屬于假命題的是（）A.若a⊥c，b⊥c，則a⊥bB.若a∥b，b∥c，則a∥c C.若a⊥c，b⊥c，則a∥bD.若a⊥c，b∥a，則b⊥c4、若等腰三角形的一個外角為110°，則它的底角為（）A.55°B.70°C.55°或70°D.以上答案都不對

5、對于命題“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能說明它是假命題的例子是（）A.∠1=50°，∠2=40°B.∠1=50°，∠2=50°C.∠1=∠2=45°D.∠1=40°，∠2=40°

6、下列給出的四個命題:

①若a?b,則aa?bb;②若a?5a?5?

0③(a?1)

?a?1；

??a④若方程x2?px?q?0的兩個實根中有且只有一個根為0，那么p?0,q?0.1?a

其中是真命題是()

A．①②B．②③C．②④D．③④

7、如圖，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，D 為BC上一點，∠DAC=30°，BD=2，AB=23，則AC = ．

C

D

H

B

B

G

CD

A

C

A

l1l2l

3第9題

A

第7

題

B8、如圖，正方形ABCD與正方形EFGH的面積分別為8cm和16cm，線段CD，EH在同一直線上，則△

AED與△BHC的面積之和為cm．

9、如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2 , l2，l3之間的距離為3 ,則AC的長是______________

10、一個六邊形的六個內(nèi)角都是120度，連續(xù)四邊的長為1，3，4，2，則該六邊形的周長是．

11、如圖，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于點D，動點P從點A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動．設(shè)動點運動時間為t秒．（1）求AD的長．（2）當(dāng)△PDC的面積為15平方厘米時，求t的值．

（3）動點M從點C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運動．點M與點P同時出發(fā)，且當(dāng)點P運動到終點D時，點M也停止運動．是否存在t，使得S△PMD?請說明理由．

S△ABC？若存在，請求出t的值；若不存在，12

第四篇：《命題+定理與證明》教案

《命題、定理與證明》教案

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：

1、了解命題、定義的含義；對命題的概念有正確的理解；會區(qū)分命題的條件和結(jié)論；知道判斷一個命題是假命題的方法；

2、了解命題、公理、定理的含義；理解證明的必要性.過程與方法：

1、結(jié)合實例讓學(xué)生意識到證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生說理有據(jù)，有條理地表達自己想法的良好意識；

2、結(jié)合實例讓學(xué)生意識到證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生說理有據(jù)，有條理地表達自己想法的良好意識.情感、態(tài)度與價值觀：

初步感受公理化方法對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價值.重點

找出命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論； 知道什么是公理，什么是定理.難點

命題概念的理解； 理解證明的必要性.教學(xué)過程

【一】

一、復(fù)習(xí)引入

BADC教師：我們已經(jīng)學(xué)過一些圖形的特性，如“三角形的內(nèi)角和等于180度”，“等腰三角形兩底角相等”等.根據(jù)我們已學(xué)過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確.1、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

2、兩直線平行，同位角相等；

3、同旁內(nèi)角相等，兩直線平行；

4、平行四邊形的對角線相等；

5、直角都相等.二、探究新知

（一）命題、真命題與假命題

學(xué)生回答后，教師給出答案：根據(jù)已有的知識可以判斷出句子1、2、5是正確的，句子3、4是錯誤的.像這樣可以判斷出它是正確的還是錯誤的句子叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題.教師：在數(shù)學(xué)中，許多命題是由題設(shè)（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成的.題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項，這樣的命題?？蓪懗伞叭绻?......，那么.......”的形式.用“如果”開始的部分就是題設(shè)，而用“那么”開始的部分就是結(jié)論.例如，在命題1中，“兩個角是對頂角”是題設(shè)，“這兩個角相等”就是結(jié)論.有的命題的題設(shè)與結(jié)論不十分明顯，可以將它寫成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的題設(shè)和結(jié)論了.例如，命題5可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等.”

（二）實例講解

1、教師提出問題1（例1）：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果.......，那么.......”的形式，并分別指出命題的題設(shè)和結(jié)論.學(xué)生回答后，教師總結(jié)：這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”.這個命題的題設(shè)是“一個三角形的三個角都相等”，結(jié)論是“這個三角形是等邊三角形”.2、教師提出問題2：把下列命題寫成“如果.....，那么......”的形式，并說出它們的條件和結(jié)論，再判斷它是真命題，還是假命題.（1）對頂角相等；

（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；（3）菱形的四條邊都相等；（4）全等三角形的面積相等.學(xué)生小組交流后回答，學(xué)生回答后，教師給出答案.（1）條件：如果兩個角是對頂角；結(jié)論：那么這兩個角相等，這是真命題.（2）條件：如果a＞b，b＞c；結(jié)論：那么a=c；這是假命題.（3）條件：如果一個四邊形是菱形；結(jié)論：那么這個四邊形的四條邊相等.這是真命題.（4）條件：如果兩個三角形全等；結(jié)論：那么它們的面積相等，這是真命題.（三）假命題的證明

教師講解：要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設(shè)而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了，在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”.例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只要舉出一個反例：60度角是銳角，100度角是鈍角，但它們的和不是180度即可.三、隨堂練習(xí)

課本P55練習(xí)第1、2題.四、總結(jié)

1、什么叫命題？什么叫真命題？什么叫假命題？

2、命題都可以寫成“如果.....，那么.......”的形式.3、要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了.【二】

一、復(fù)習(xí)引入

教師講解：前一節(jié)課我們講過，要證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了.這節(jié)課，我們將探究怎樣證明一個命題是真命題.二、探究新知

（一）公理

教師講解：數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理.我們已經(jīng)知道下列命題是真命題：

一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等.在本書中我們將這些真命題均作為公理.（二）定理

教師引導(dǎo)學(xué)生通過舉反例來說明下面兩題中歸納出的結(jié)論是錯誤的.從而說明證明的重要性.1、教師講解：請大家看下面的例子： 當(dāng)n=1時，（n2-5n+5)2=1； 當(dāng)n=2時，（n2-5n+5)2=1； 當(dāng)n=3時，（n2-5n+5)2=1.我們能不能就此下這樣的結(jié)論：對于任意的正整數(shù)（n2-5n+5)2的值都是1呢？ 實際上我們的猜測是錯誤的，因為當(dāng)n=5時，（n2-5n+5)2=25.2、教師再提出一個問題讓學(xué)生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我們猜想：當(dāng)a＞b時，a2＞b2.這個命題是真命題嗎？

［答案：不正確，因為3＞-5，但32＜（-5）2］

教師總結(jié)：在前面的學(xué)習(xí)過程中，我們用觀察、驗證、歸納、類比等方法，發(fā)現(xiàn)了很多幾何圖形的性質(zhì).但由前面兩題我們又知道，這些方法得到的結(jié)論有時不具有一般性.也就是說，由這些方法得到的命題可能是真命題，也可能是假命題.教師講解：數(shù)學(xué)中有些命題可以從公理出發(fā)用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進一步作為推斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.(三）例題與證明

例如，有了“三角形的內(nèi)角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數(shù)量關(guān)系的命題：直角三角形的兩個銳角互余.教師板書證明過程.教師講解：此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據(jù)，因此我們把它也作為定理.定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的依據(jù).三、隨堂練習(xí)

課本P58練習(xí)第1、2題.四、課時總結(jié)

1、在長期實踐中總結(jié)出來為真命題的命題叫做公理.2、用邏輯推理的方法證明它們是正確的命題叫做定理

第五篇：§24.3命題與證明

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§24.3 命題與證明

1.定義、命題與定理

試一試

觀察圖24.3.1中的圖形，找出其中的平行四邊形．

圖

24.3.1要解決這個問題，首先要弄清楚怎樣的圖形才能稱為平行四邊形．你還記得 以前學(xué)過的知識嗎？

“有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”這句話說明了平行四邊形 的含義以及區(qū)別于其他圖形的特征．一般地，能明確指出概念含義或特征的句子，稱為定義（definition）.還可以舉出如下的一些定義：

（1）有一個角是直角的三角形，叫做直角三角形．

（2）有六條邊的多邊形，叫做六邊形．

（3）在同一平面內(nèi)，兩條不相交的直線叫做平行線．

定義必須是嚴密的．一般避免使用含糊不清的術(shù)語，比如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)．正確的定義能把被定義的事物或名詞與其他的 事物或名詞區(qū)別開來．

思 考

試判斷下列句子是否正確．

（1）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；

（2）三角形的內(nèi)角和是180°；

（3）同位角相等；

（4）平行四邊形的對角線相等；

（5）菱形的對角線相互垂直．

根據(jù)已有的知識可以判斷出句子（1）、（2）、（5）是正確的，句子（3）、（4）是錯誤的．像這樣可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做命題（proposition）．正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題．

在數(shù)學(xué)中，許多命題是由題設(shè)（或條件）和結(jié)論兩部分組成的．題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項．這種命題?？蓪懗伞叭绻??那么??”的形式．其中，用“如果”開始的部分是題設(shè)，用“那么”開始的部分是結(jié)論．例-1-

如，在命題（1）中，“兩個角是對頂角”是題設(shè)，“這兩個角相等”是結(jié)論．例1 把命題“在一個三角形中，等角對等邊”改寫成“如果??那么??”的形式，并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論．

解這個命題可以寫成：“如果在一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.” 這里的題設(shè)是“在一個三角形中有兩個角相等”，結(jié)論是“這兩個角所對的邊也相等”.數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理（axiom）．例如，我們通過探索，已經(jīng)知道下列命題是正確的：

（1）一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等；

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線

平行；

（3）如果兩個三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分

別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；

（4）全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等．

我們把這些作為不需要證明的基本事實，即作為公理．

此外，我們把等式、不等式的有關(guān)性質(zhì)以及等量代換（即在等式或不等式中，一個量用它的等量替代）都作為邏輯推理的依據(jù)．

有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理（theorem）．

例如，運用公理“兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等”，可以得到定理：“兩角及其一角的對邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等．”

定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進一步確認其他命題真假的根據(jù)．

練習(xí)

1.找出右圖中的銳角，并試著對“銳角”寫出一個確切的定義

.2.把下列命題改寫成“如果??那么??”的形式，并指出它的題設(shè)和結(jié)論.（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；

（2）平行四邊形的地邊相等.3.指出下列命題中的真命題和假命題.（1）同位角相等，兩直線平行；

（2）多邊形的內(nèi)角和等于180°；

（3）如果兩個三角形有三個角分別相等，那么這兩個三角形全等.2.證明

思 考

一位同學(xué)在鉆研數(shù)學(xué)題時發(fā)現(xiàn)：

2＋1＝3，2×3＋1＝7，2×3×5＋1＝31，2×3×5×7＋1＝211．

于是，他根據(jù)上面的結(jié)果并利用素數(shù)表得出結(jié)論： 從素數(shù)2開始，排在前 面的任意多個素數(shù)的乘積加1一定也是素數(shù)．他的結(jié)論正確嗎？

如圖24.3.2所示，一個同學(xué)在畫圖時發(fā)現(xiàn)： 三角形三條邊的垂直平分線的 交點都在三角形的內(nèi)部．于是他得出結(jié)論： 任何一個三角形三條邊的垂直平分線的交點都在三角形的內(nèi)部．他的結(jié)論正確嗎？

圖

24.3.2我們曾經(jīng)通過計算四邊形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形等的內(nèi)角和，得到一個結(jié)論： n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180°．這個結(jié)果可靠嗎？是否有一個多邊形的內(nèi)角和不滿足這一規(guī)律？

上面幾個例子說明： 通過特殊的事例得到的結(jié)論可能正確，也可能不正確．因此，通過這種方式得到的結(jié)論，還需進一步加以證實．

根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等，經(jīng)過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明（proof）．

前面的學(xué)習(xí)已經(jīng)告訴我們： 一條直線截兩條平行線所得的內(nèi)錯角相等．下面我們運用前面所提到的基本事實，即公理來證明這個結(jié)論．

例1 證明： 一條直線截兩條平行直線所得的內(nèi)錯角

相等．

已知： 如圖24.3.3，直線l1∥l2，直線l3分別和l1、l

2相交于點A、B．

求證： ∠1＝∠3．

證明 因為l1∥l2（已知），所以∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．

圖

24.3.3 又∠2＝∠3（對頂角相等），所以∠1＝∠3（等量代換）．

如果要證明或判斷一個命題是假命題，那么我們只要舉出一個符合命題題設(shè)而不符合結(jié)論的例子就可以了，這稱為“舉反例”．例如，要證明“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只需舉一個反例，例如銳角等于30°，鈍角等于120°，但它們的和就不等于180°，從而說明這個命題是假命題．

練習(xí)

1.根據(jù)下列命題，畫出圖形并寫出“已知”、“求證”（不必證明）；

（1）兩條邊及其中一邊上的中線分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等；

（2）在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角

形是直角三角形.2.判斷“同位角相等”是真命題還是假命是，并說明理由.在以往的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道下面的例題所表述的結(jié)論

是正確的，現(xiàn)在通過推理的方式給予證明．

例2 內(nèi)錯角相等，兩直線平行．

已知：如圖24.3.4，直線l3分別交l1、l2于點A、點B，∠

1＝∠2．

求證： l1∥l2．

圖

24.3.4證明 因為∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（對頂角相等），所以∠2＝∠3（等量代換），所以l1∥l2（同位角相等，兩直線平行）．

例3 已知：如圖24.3.5，AB和CD相交于點O，∠A＝

∠B．

求證： ∠C＝∠D．

證明 因為∠A＝∠B（已知），所以AC∥BD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）． 圖

24.3.5 所以∠C＝∠D（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

試一試請在下面題目證明中的括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碛桑阎喝鐖D24.3.6，AD＝BC，CE∥DF，CE＝DF．求證： ∠E＝∠F．證明： 因為CE∥DF（），所以∠1＝∠2（）.在△AFD和△BEC中，因為 圖

24.3.6DF＝CE（），∠1＝∠2（），AD＝BC（），所以△AFD≌△BEC（），所以∠E＝∠F（）．

練習(xí)

1.已知：如圖，直線AB、CD被EF、GH所截，∠1＝∠2，求證：∠3＝∠4.（第1題）

（第2題）

2.已知：如圖，AB=AC, ∠BAO＝∠CAO.求證：OB＝OC.習(xí)題24.31.判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，則舉一個反例加以說明.（1）兩個銳角的和等于直角；

（2）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；

（3）有兩條邊和一個角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.2.把下列命題改成“如果??那么??”的形式.（1）三角形全等，對應(yīng)邊相等；

（2）菱形的對角線相互垂直；

（3）三個內(nèi)角都等于60°的三角形是等邊三角形.3.證明：平等四邊形的兩組對邊分別相等.（提示：連結(jié)AC）

(第3題)（第4題）

4.如圖，OA＝OB，PA＝PB，試證明：OP平分∠AOB.5.證明：矩形的兩條對角線長相等.(第5題)（第6題）

6.如圖，已知：DC＝AB，AD＝BC，點E、F在AC上，AE＝CF.試找出圖中所有的全等三角形，并用有關(guān)全等三角形的基本事實加以證明.