第一篇：§23.2一元二次方程的解法(配方法)

§23.2一元二次方程的解法（配方法）

(第3課時)

授課班級_______ 姓名____________ 典例分析

說明不論m為何值時，關(guān)于x的方程

(m2?8m?17)x2

?2mx?1?0都是一元二次方

程。

點評：關(guān)鍵是看二次項系數(shù)是否有可能為0。課下練習(xí)

一、選擇題：

1.將一元二次方程x2?6x?5?0化成(x?a)2

?b的形式，則b等于（）.A.-4B.4C.-14D.14 2.用配方法解方程x2?2x?5?0時，原方程應(yīng)變形為（）A．?x?1?2

?6B．?x?1?2

?6 C．?x?2?2

?9

D．?x?2?2

?9

3.已知方程x2

?6x?q?0可以配成(x?p)2?7 的形式，那么x2

?6x?q?2可以配成下列的（）A.(x?p)2?5B.(x?p)2

?9 C.(x?p?2)2

?9D.(x?p?2)?5

二、填空題 4.x2

?

nm

x?_____?(x?___)2

.5.二次三項式x2

?7x?1的最小值為______.6.若方程x2

?px?q?0可化為(x?12

32)?

4，則p=_____，q=______.7.方程2y2?3?7y配方后得2(y?

74)2

=___.8.當(dāng)x=______時，?3x2?6x?2有最大值，這個最大值是_______.三、解答下列各題 9.用配方法解下列方程 ①3x2?12x?21?0

②(x?2)(x?3)?1

③(x?1)2?(x?1)?1

2④x2?4x?2?0．

10.如果a、b、c是△ABC的三邊，且滿足式子

a2?2b2?c2

?2ab?2bc，請指出△ABC的形狀，并給出論證過程.11.說明代數(shù)式2x2?4x?1總大于x2

?2x?4.

第二篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知識點回顧：

定義：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

解法一 ——直接開方法

適用范圍：可解部分一元二次方程

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±√n

歸納小結(jié)：

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．?我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無解

自主練習(xí)：1：用直接開平方法解下列方程：

（1）x2?225；（2）(x?1)2

?9；

（3）(6x?1)2

?25?0．（4）4(x?2)2

?81?0

（5）5(2y?1)2

?180；（61(3x?1)2?64；（7）6(x?2)2

4?1；

2.關(guān)于x的方程x2?9a2?12ab?4b2

?0的根x1?，x2?．

3.關(guān)于x的方程x2

?2ax?b2

?a2

?0的解為解法二——分解因式法

適用范圍：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級上學(xué)期學(xué)完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個方程都可以寫成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移項提取公因式x；（2）等號右側(cè)移項到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達(dá)到分解因式；一邊為兩個一次

式的乘積，?另一邊為0的形式解：（1）移項，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移項，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代數(shù)式aba2?b2

b?a?ab的值．

分析：要求aba2b??b2

a?ab的值，首先要對它進(jìn)行化簡，然后從已知條

件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比

較容易發(fā)生錯誤．

解：原式=

a2?b2?a2?b2ab??2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b當(dāng)a=-23b時，原式=-2b

=3，當(dāng)a=2b時，原式?23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

適用范圍：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移項→x2+6x=16

兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方拓展題．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因為如果展開（6x+7）2，那么方程就變得很復(fù)雜，如果把（6x+7）

看為一個數(shù)y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y?的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法． 6

1111y+，x+1=y-解：設(shè)6x+7=y則3x+4=

法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解．

配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項系數(shù)為1；（3）常數(shù)項移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．

用配方法解一元二次方程小口訣

二次系數(shù)化為一；常數(shù)要往右邊移；一次系數(shù)一半方；兩邊加上最相當(dāng) 例1．用配方法解下列關(guān)于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來 完成，即配一個含有x的完全平方．

2266

依題意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

當(dāng)y=3時，6x+7=36x=-4x=-

當(dāng)y=-3時，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根為x2

51=-3，x2=-3

例5.求證:無論y取何值時,代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老師）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正確的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=

12．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（）．

A．0個B．1個C．2個D．3個

3．如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解結(jié)果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三項式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0應(yīng)把它先變形為（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有實數(shù)解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．將二次三項式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左邊化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正確的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關(guān)于x的完全平方式，則m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2

?

x?1?0左邊配成一個完全平方式，所得的方程是． 9．代數(shù)式x2?x?2

x2?1的值為0，則x的值為________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．

11．無論x、y取任何實數(shù)，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數(shù)． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

?x?1?0（4）3x2

?6x?1?0

（5）(x?1)2?2(x?1)?

14．如果x-4x+y2

（6）2x2?5x?4?0 ?0

（4）?x?2??3?x?2?（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x2?7x?2?0（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法證明：

（1）a2

?a?1的值恒為正；（2）?9x2

?8x?2的值恒小于0．

（3）多項式2x4

?4x2

?1的值總大于x4

?2x2

?4的值．

16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

第三篇：一元二次方程解法——配方法 教學(xué)設(shè)計

《解一元二次方程——配方法》 教學(xué)設(shè)計

漳州康橋?qū)W校

陳金玉

一、教材分析

1、對于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推導(dǎo)建立在直接開平方法的基礎(chǔ)上，他又是公式法的基礎(chǔ)：同時一元二次方程又是今后學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)等知識的基礎(chǔ).一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一，在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位.我們從知識的發(fā)展來看，學(xué)生通過一元二次方程的學(xué)習(xí)，可以對已學(xué)過的一元二次方程、二次根式、平方根的意義、完全平方式等知識加以鞏固.初中數(shù)學(xué)中，一些常用的解題方法、計算技巧以及主要的數(shù)學(xué)思想，如觀察、類比、轉(zhuǎn)化等，在本章教材中都有比較多的體現(xiàn)、應(yīng)用和提升.我們想通過一元二次方程來解決實際問題，首先就要學(xué)會一元二次方程的解法.解一元二次方程的基本策略是將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這就是降次.2、本節(jié)課由簡到難展開學(xué)習(xí)，使學(xué)生認(rèn)識配方法的基本原理并掌握具體解法.二、學(xué)情分析

1、知識掌握上，九年級學(xué)生學(xué)習(xí)了平方根的意義和兩個重要公式——平方差公式和完全平方公式，這對配方法解一元二次方程打好了基礎(chǔ).2、學(xué)生對配方法怎樣配系數(shù)是個難點，老師應(yīng)該予以簡單明白、深入淺出的分析.3、教學(xué)時必須從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征出發(fā)，分析初中學(xué)生的心理特征，他們有強(qiáng)烈的好奇心和求知欲.當(dāng)他們在解決實際問題時發(fā)現(xiàn)要解的方程不再是以前所學(xué)過的一元一次方程或可化為一元一次方程的其他方程時，他們自然會想進(jìn)一步研究和探索解方程的問題.而從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上來看，前面我們已經(jīng)系統(tǒng)的研究了完全平方式、二次根式，這就為我們繼續(xù)研究用配方法解一元二次方程打好了基礎(chǔ).三、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識技能目標(biāo)

1、會用直接開平方法解形如?x?m??n（n?0）.22、會用配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程.（二）能力訓(xùn)練目標(biāo)

1、理解配方法；知道“配方”是一種常用的數(shù)學(xué)方法.2、了解用配方法解一元二次方程的基本步驟.（三）情感與價值觀要求

1、通過用配方法將一元二次方程變形的過程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.2、能根據(jù)具體問題的實際意義，驗證結(jié)果的合理性.四、教學(xué)重點和難點

教學(xué)重點：用配方法解一元二次方程 教學(xué)難點：理解配方法的形成過程

五、教學(xué)過程(一)活動1：提出問題

要使一塊長方形場地的長比寬多6m，并且面積為16m，場地的長和寬各是多少？ 設(shè)計意圖：讓學(xué)生在解決實際問題中學(xué)習(xí)一元二次方程的解法.師生行為：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧列方程解決實際問題的基本思路，學(xué)生討論分析.（二）活動2：溫故知新

21、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列各式成立，并總結(jié)其中的規(guī)律.（1）x?6x? ??x?3?(2)x?8x? ?（x?)2222（3）x?12x? ?(x?)2(4)x?5x? ?(x?)

222(5)a?2ab? ?(a?)(6)a?2ab? ?(a?)2

2222、用直接開平方法解方程：x2?6x?9?2

設(shè)計意圖：第一題為口答題，復(fù)習(xí)完全平方公式，旨在引出配方法，培養(yǎng)學(xué)生探究的興趣.(三)活動2：自主學(xué)習(xí)

自學(xué)課本思考下列問題：

1、仔細(xì)觀察教材問題2，所列出的方程x2?6x?16?0利用直接開平方法能解嗎？

2、怎樣解方程x2?6x?16?0？看教材框圖，能理解框圖中的每一步嗎？（同學(xué)之間可以交流、師生間也可交流.）

3、討論：在框圖中第二步為什么方程兩邊加9？加其它數(shù)行嗎？

4、什么叫配方法？配方法的目的是什么？

5、配方的關(guān)鍵是什么？

交流與點撥：

重點在第2個問題，可以互相交流框圖中的每一步，實際上也是第3個問題的討論，教師這時對框圖中重點步驟作講解，特別是兩邊加9是配方的關(guān)鍵，使之配成完全平方式.利用a±2ab+b=(a±b).222注意：9=（），而6是方程一次項系數(shù).所以得出配方的關(guān)鍵是方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，從而配成完全平方式.設(shè)計意圖：學(xué)生通過自學(xué)經(jīng)歷思考、討論、分析的過程，最終形成把一個一元二次方程配成完全平方式形式來解方程的思想(四)活動4：例題學(xué)習(xí)

例：解下列方程：

（1）x?8x?1?0（2）2x?1??3x（3）3x?6x?4?0

教師要選擇例題書寫解題過程，通過例題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生仔細(xì)體會用配方法解方程的一般步驟.交流與點撥：用配方法解一元二次方程的一般步驟：

（1）將方程化成一般形式并把二次項系數(shù)化成1；（方程兩邊都除以二次項系數(shù)）（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數(shù)項.（3）配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（4）原方程變?yōu)?mx?n??p的形式.22222（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可用直接開平方法求取方程的解.設(shè)計意圖：牢牢把握通過配方將原方程變?yōu)?mx?n??p的形式方法.2（五）課堂練習(xí)：導(dǎo)學(xué)練上面的【課堂檢測】習(xí)題

師生行為：對于解答題根據(jù)時間可以分兩組完成，學(xué)生板演，教師點評.設(shè)計意圖：通過練習(xí)加深學(xué)生用配方法解一元二次方程的方法.六、歸納與小結(jié)：

1、理解配方法解方程的含義.2、要熟練配方法的技巧，來解一元二次方程，3、掌握配方法解一元二次方程的一般步驟，并注意每一步的易錯點.4、配方法解一元二次方程的解題思想：“降次”由二次降為一次.

第四篇：一元二次方程的解法(配方法)教學(xué)設(shè)計

一元二次方程的解法（配方法）教學(xué)設(shè)計

一、教材版本：義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（華師大版）九年級上冊第二十三章第二節(jié)

二、教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析：

本節(jié)內(nèi)容是初中數(shù)學(xué)九年級上冊教材第二十三章第二節(jié)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的直接開平方法和完全平方公式，這為過渡到本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用。配方法雖然不是解一元二次方程的主要方法，但是通過配方法可以推導(dǎo)出公式法的求根公式，并且是今后運用配方的思想解決一些數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。所以，本節(jié)內(nèi)容在教材中起到承前啟后的作用，在整個初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都起到至關(guān)重要的作用。

三、教學(xué)目標(biāo)：

（一）知識與技能目標(biāo)：

1、理解并掌握用配方法解簡單的一元二次方程。

2、能利用配方法解決實際問題，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力。

（二）過程與方法目標(biāo)：

1、理解配方法的思想方法。

2、體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)：

1、通過師生的共同活動，培養(yǎng)學(xué)生積極參與、主動探索、敢于發(fā)表見解的精神。

2、在探索中尋求解決問題的方法和途徑，從而不斷拓展數(shù)學(xué)思維。

四、教學(xué)重點、難點：

重點：利用配方法解簡單的一元二次方程。

難點：通過配方把一元二次方程轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n(n≥0)的形式。關(guān)鍵：如何把x2+bx配成一個關(guān)于x 的完全平方式。

五、教法：

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點及學(xué)生的年齡、心理特征及已有的知識水平，本節(jié)課采用問題教學(xué)和對比教學(xué)法，用“創(chuàng)設(shè)情境——建立數(shù)學(xué)模型——鞏固與運用——反思、拓展”來展示教學(xué)活動。

六、學(xué)法：

本節(jié)課要求學(xué)生多觀察，勤思考，從而幫助學(xué)生形成分析、對比和歸納的思想方法，在對比學(xué)習(xí)中，提高學(xué)生利用已有的知識去主動獲取新知識的能力，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主體。

七、教學(xué)過程

教學(xué)過程

教學(xué)內(nèi)容

（一）創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)疑引新 在實際生活中，我們常常會遇到一些

學(xué)生活動

教學(xué)說明 從實際問題出發(fā)，讓學(xué)生感受到“生活中處處問題，需要用一元二次方程來解決。學(xué)生觀看課件，思考老師提有數(shù)學(xué)”，并感受到問題例如：

【請你幫幫忙】小明用一段長為20米的竹籬笆圍成一個矩形，怎樣設(shè)計才可以使得該矩形的面積為9米2？

（二）復(fù)習(xí)舊知

練習(xí)：用直接開平方法解下列方程（1）9x2=4(2)(x+3)2=0 總結(jié)：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用直接開平方法解形如（x+m）2=n(n≥0)的方程。

（三）嘗試指導(dǎo)，學(xué)習(xí)新知

1、提問：這樣的方程你能解嗎？

x2＋6x＋9＝0 ①

2、提問：這樣的方程你能解嗎？

x2＋6x＋4＝0 ②

思考：方程②與方程①有什么不同？能否把它化成方程①的形式呢？

【歸納】配方法：

通過配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的解，這樣的解法叫做配方法。

配方法的依據(jù)：完全平方公式。

(四)合作討論，自主探究 下面我們研究對于一般的一元二次方程怎樣配方。

1、配方訓(xùn)練 課本87頁練習(xí)第一題。補(bǔ)充：x2+mx＋()＝[x+()]2

出的問題，得到：設(shè)該矩形的存在，從而激發(fā)學(xué)生的長為x米，依題意得

x(10－x)=9 但是發(fā)現(xiàn)所列方程無法用的求知欲。的基礎(chǔ)。

直接開平方法解。于是引入直接開平方法是配方法

新課。

學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，方程的先讓學(xué)生獨立解題，感左邊是一個完全平方式，可受到解題的困難，然后以化為(x+3)2=0，然后就引導(dǎo)學(xué)生去觀察方程的可以運用上節(jié)課學(xué)過的直接開平方法解了。

方程②的左邊不是一個完

特點，尋找解一元二次方程的新的解法，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。

方程，發(fā)現(xiàn)它們之間的全平方式，于是不能直接開引導(dǎo)學(xué)生通過對比兩個

平方。

學(xué)生陷入思考。給學(xué)生充分聯(lián)系，從而找到解決問思考、交流的時間和空間。題的突破口，依據(jù)完全在學(xué)生思考的時候，老師引導(dǎo)學(xué)生將方程②與方程①進(jìn)行對比分析，然后得到：

x2＋6x＝－4 x2＋6x＋9＝－4＋9

（x+3）2=5 從而可以用直接開平方法

解。

給出完整的解題過程。

礎(chǔ)上總結(jié)：配方時，常數(shù)項為一次項系數(shù)的一半的平

方。

平方公式進(jìn)行配方。

初步體會和理解配方

法。

具體到抽象的思維過

程。

通過練習(xí)深化配方的過程，為下一步學(xué)習(xí)配方

法做鋪墊。

在學(xué)生充分思考、討論的基體會從特殊到一般，從

2、將下列方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式。（1）x2－4x＋3＝0（2）x2＋3x－1＝0 然后進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生用配方法解以上兩個方程。

3、鞏固提高：課本87頁練習(xí)第二題。

（五）總結(jié)、拓展

【總結(jié)】

1、用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的基本思路：先將方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式，然后兩邊開平方就可以得到方程的解。

2、用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程的一般步驟：（1）移項（常數(shù)項移到方程右邊）

（2）配方（方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方）

（3）開平方（4）解出方程的根 思考：為什么配方的過程中，方程的兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方？

點撥：用圖形直觀地表示。（如課本86頁例題）

3、幫助小明解決問題。

5、【拓展】請判斷： x2－4x＋3的值能否等于－2？

點撥：先通過移項將方程左邊化為x2＋ax形式，然后兩邊同時加上一次項系數(shù)

幾個問題的設(shè)計是層層遞進(jìn)，化解了教學(xué)的難的一半的配方進(jìn)行配方，然度。學(xué)生在探索、交流后直接開平方求解。強(qiáng)調(diào)：當(dāng)一次項系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要注意運算的準(zhǔn)

確性。

組合作交流。

學(xué)生歸納后教師再做相應(yīng)的補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào)。

讓學(xué)生注意體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。

學(xué)生練習(xí)。

方。

據(jù)。

【方法一】若x2－4x＋3＝的過程掌握了知識，培

養(yǎng)了能力。

配方法的解題步驟，并體會配方法和直接開平方法的聯(lián)系?；A(chǔ)訓(xùn)練是為了鞏固學(xué)生對重點

內(nèi)容的掌握。

將所學(xué)的知識進(jìn)行歸納、總結(jié)，可以進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，使學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容有較為系統(tǒng)的再認(rèn)識。

前后呼應(yīng)。

將知識的獲得和技能的形成融合與問題解決的過程中。通過拓展練習(xí)進(jìn)一步理解配方法的運用。

要檢查學(xué)生的練習(xí)情況。小通過練習(xí)，進(jìn)一步體會

4、【變式題】解方程（x+1）(x+2)=1 學(xué)生發(fā)現(xiàn)：應(yīng)先展開再配（從而指出該式的最小值為－1。）有兩個方法，強(qiáng)調(diào)變形的依

(六)布置作業(yè)

思考：

1、利用配方法說明：無論x為何值，代數(shù)式x2－x＋1的值均不會小于 ？

2、當(dāng)二次項系數(shù)不是1時，用配方法如何解2x2－5x＋2＝0？

八、教學(xué)設(shè)計說明：

—2，那么有（x—2）2=－1，∵－1<0 原方程無解?！痉椒ǘ縳2－4x＋3 ＝x2－4x＋4－4＋3 ＝（x—2）2－1 ∵（x—2）2≥0 ∴（x—2）2－1≥－1 ∴x2－4x＋3的最小值為－

1，不可能為－2。

課后作業(yè)第1題是檢查學(xué)生對知識的靈活運用，第2題是使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握配方法，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行知識遷移、轉(zhuǎn)化的能力。

配方法是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要思想方法。本節(jié)課我在教材的處理上，既注意到新教材、新理念的實施，又考慮到傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢的傳承，使自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的牢固掌握、靈活應(yīng)用有效結(jié)合。新的課程標(biāo)準(zhǔn)突出了數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用，所以在教學(xué)實際中，我力求將解方程的基本技能訓(xùn)練與實際問題的解決融為一體，在解決實際問題的過程中提高學(xué)生的解題能力。因此，我先創(chuàng)設(shè)了一個實際問題的情境，讓學(xué)生感受到“生活中處處有數(shù)學(xué)”。為了突破本節(jié)課的難點，我在教學(xué)中注意找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，主要以啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究的形式展開。在知識探究的過程中，設(shè)計了幾個既有聯(lián)系又層層遞進(jìn)的問題，使學(xué)生在探究的過程中能體會到成功的喜悅。本節(jié)的重點是配方法解一元二次方程的探究，讓學(xué)生體會從特殊到一般，從具體到抽象的思維過程。在教學(xué)中，自主探究，合作交流，學(xué)生在探究的過程中掌握了和理解了配方法。小結(jié)的時候教師要根據(jù)實際情況進(jìn)行補(bǔ)充和強(qiáng)調(diào)，主要是以下兩個方面：在知識方面，要回顧配方法解方程的一般步驟和依據(jù)；在方法方面，注意解一元二次方程的思想是“降次”。課后作業(yè)注重基礎(chǔ)知識和基本技能的訓(xùn)練，又注意為下一節(jié)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

第五篇：一元二次方程配方法

解一元二次方程練習(xí)題(配方法)

步驟：（1）移項；

（2）化二次項系數(shù)為1；

（3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；

（5）如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負(fù)數(shù)，則一元二次方程無解．

一、選擇題

1.方程x2?8x?5?0的左邊配成一個完全平方式后得到的方程是（）Ａ．(x?6)2?11Ｂ．(x?4)2?11Ｃ．(x?4)2?21Ｄ．(x?6)2?

212.用直接開平方法解方程(x?3)2?8，方程的根為（）

Ａ．x?3?

Ｂ．x?3?

Ｃ．x1?3?

x2?3?

Ｄ．x1?3?

x2?3?

3.方程2x2?3x?1?0化為(x?a)2?b的形式，則正確的結(jié)果為（）

331A．(x?)2?16 B．2(x?)2? 2416

31(x?)2?C．416 D． 以上都不對

4.用配方法解一元二次方程x2+6x-11=0，則方程可變形為（）

A．(x+3)2=2 B．(x-3)2=20 C．(x+3)2=20 D．(x-3)2=2

27?7?2??5.用配方法解方程x2?x??????x?????過程中，括號內(nèi)填（）2??4??

77499

A．4B．2C．16 D．

46.(x+m)2=n(n>0)的根是（）

A．m+n B．-m±n C．m+n D．m±n

7.已知方程x2?6x?q?0可以配方成(x?p)2?7的形式，那么x2?6x?q?2可以配方成下列的（）

A．(x?p)2?5B．(x?p)2?9C．(x?p?2)2?9 D．(x?p?2)2?

58.已知(x2?y2?1)2?4，則x2?y2的值為（）

A．1或?3B．1C．?3D．以上都不對

9.小明用配方法解下列方程時，只有一個配方有錯誤，請你確定小明錯的是（）

A．x2?2x?99?0化成(x?1)2?100

B．x2?8x?9?0化成(x?4)2?25

?7?81C．2t?7t?4?0化成?t??? ?4?1622

2?10?D．3y2?4y?2?0化成?y??? 3?9?

310.把方程x2?x?4?0左邊配成一個完全平方式后，所得方程是（）2

3?55?A．?x???4?16?

3?15?C．?x???2?4?2223?15? B．?x???? 2?4?3?73? D．?x??? 4?16?22

211.用配方法解方程x2?x?1?0，正確的解法是（）

311?8?A．?x???，x??33?

9?

221?8?B．?x????，無實根 3?9?222?52?5??C．?x???，x?D．?x????，無實根 3?

93?9??

12.用配方法解下列方程，其中應(yīng)在兩端同時加上4的是（）

A．x2?2x?5B．2x2?4x?5C．x2?4x?5D．x2?2x?5

13．若x2+6x+m2是一個完全平方式，則m的值是（）

A．3B．-3C．±3D．以上都不對

14．用配方法將二次三項式a2-4a+5變形，結(jié)果是（）

A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-1

15．把方程x+3=4x配方，得（）

A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=2

16．用配方法解方程x2+4x=10的根為（）

A．2

B．-2

C．

D．

17．不論x、y為什么實數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x-4y+7的值（）

A．總不小于2B．總不小于7

C．可為任何實數(shù)D．可能為負(fù)數(shù)

18．將二次三項式4x2－4x+1配方后得（）

A．（2x－2）2+3B．（2x－2）2－

3C．（2x+2）2D．（x+2）2－3

19．已知x2－8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（）

A．x2－8x+（－4）2=31B．x2－8x+（－4）2=

1C．x2+8x+42=1D．x2－4x+4=－11

二、填空題

1．用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：

①、x2（）2；

②、x2－5x+=（x－）2；

③、x2=（2；

④、x2－9x+=（x－）

2⑤、x2?10x?()?(x?)2； 3)?(x?)2； ⑥x2?x?（2⑦9x2?12x?()?9(x?)2?(3x?)2．

⑧x2+5x+()=(x+_____)2 52⑨x2?x?(____)??x?(____)? 2222⑩y?x?(____)??y?(____)? 32．將二次三項式2x2-3x-5進(jìn)行配方，其結(jié)果為_________．

3．已知4x2-ax+1可變?yōu)椋?x-b）2的形式，則ab=_______．

4．將一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式為_______，?所以方程的根為________

5.方程(5x)2?21?4的解是

6.方程3y2?9?7的解的情況是．

7.x2?2x?3?(x?）2＋．

8.方程(x?1)2?2的解是________．

9.． 若方程ax2?bx?c?0(a?0)經(jīng)過配方得到2(x?1)2?3，則a?b?，c?．

10.若方程4x2?(m?2)x?1?0的左邊是一個完全平方式，則m的值是

11.用配方法解方程2x2 +4x +1 =0，配方后得到的方程是

12.若代數(shù)式(2x?1)2的值為9，則x的值為____________．

三、計算題

（1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9（3）x2+12x-15=0

1（4）x2-x-4=0（5）x2?6x?11?0；（6）2x2?6?7x．

42?25?0（8）.x2?4x?5?0（9）25x2?36?0（7）.（x?2）

四、證明題

1.用配方法證明5x2?6x?11的值恒大于零．

2.證明：無論a為何值，關(guān)于x的方程(a2?4a?5)x2?2x?1?0總是一元二次方程．

五、應(yīng)用題

1.用配方法求代數(shù)式x2?5x?7的最小值．

2.求2x2-7x+2的最小值 ；

3.求-3x2+5x+1的最大值。

4．如果x2－4x+y2，求（xy）z的值

5．已知一元二次方程x2－4x+1+m=5請你選取一個適當(dāng)?shù)膍的值，使方程能用直接開平方法求解，并解這個方程。

（1）你選的m的值是；（2）解這個方程．