第一篇：曲線積分與路徑無關(guān)的問題之證明
設(shè)平面上的單連通區(qū)域G內(nèi)分別以A和B兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的弧???
有連續(xù)向量函數(shù)F(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j，要使該函數(shù)的曲線積分與路徑無關(guān)，就有?AFB，AEB和弧???AEBPdx?Qd?y??AFBP?dx,于Qdy是有
即?
??AEBPdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,AFB?AEB?Pdx?Qdy???Pdx?Qdy?0,實(shí)際上弧?AEB和弧BFABFA構(gòu)成了一封閉曲線L，上式等價(jià)為
內(nèi)可以取??Pdx?Qdy?0L任意大小。，記L圍起的區(qū)域?yàn)镈，D在G用格林公式
?Q?P(?)dxdy??Pdx?Qdy???L?x?yD，因?yàn)?/p>
???Q?PPdx?Qdy?0，得到??(?)dxdy?0，又因?yàn)長?x?yD
?Q?P?Q?P???0D可以取任意小，于是有，或者?x?y。這就得到了函數(shù)?x?y
曲面積分與路徑無關(guān)的條件。
第二篇：曲線積分與格林公式總結(jié)
一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)
曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上? 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長)?
任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質(zhì)量的近似值?(?i ? ?i)?si?
整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M???(?i,?i)?si?
i?1n
令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為
M?lim??(?i,?i)?si?
??0i?1n
這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會遇到?
定義
設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧? 函數(shù)f(x? y)在L上有界? 在L上任意插入一點(diǎn)列M1? M2? ? ? ?? Mn?1把L分在n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的長度為?si? 又(?i? ?i)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)? 作乘積f(?i? ?i)?si?(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作和?f(?i,?i)?si? 如果當(dāng)各小弧
i?1n段的長度的最大值??0? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對弧長
n的曲線積分或第一類曲線積分? 記作
lim?f(?i,?i)?si?
?Lf(x,y)ds? 即?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?
設(shè)函數(shù)f(x? y)定義在可求長度的曲線L上? 并且有界?
將L任意分成n個(gè)弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長?
在每一弧段?si上任取一點(diǎn)(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si?
i?1n
令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對弧長的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作
n?Lf(x,y)ds? 即
lim?f(?i,?i)?si?
?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?
曲線積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)? 對弧長的曲線積分是存在的?
以后我們總假定f(x? y)在L上是連續(xù)的?
?Lf(x,y)ds
根據(jù)對弧長的曲線積分的定義?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分
?L?(x,y)ds的值? 其中?(x? y)為線密度?
對弧長的曲線積分的推廣?
lim?f(?i,?i,?i)?si?
??f(x,y,z)ds???0i?1n
如果L(或?)是分段光滑的? 則規(guī)定函數(shù)在L(或?)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規(guī)定
?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?
L1L
2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數(shù)f(x? y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作
?Lf(x,y)ds?
對弧長的曲線積分的性質(zhì)?
性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則
?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?
性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則
?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?
2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x? y)?g(x? y)? 則
?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?
?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds 特別地? 有
|
二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法
根據(jù)對弧長的曲線積分的定義? 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為
?Lf(x,y)ds?
x??(t)? y??(t)(??t??)?
另一方面? 若曲線L的參數(shù)方程為 則質(zhì)量元素為
f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質(zhì)量為
即
??2(t)???2(t)dt?
???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
???L
定理 設(shè)f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)? L的參數(shù)方程為
x??(t)? y??(t)(??t??)?
其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分且
?Lf(x,y)ds存在?
?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?
??
證明（略）
應(yīng)注意的問題? 定積分的下限?一定要小于上限??
討論?
(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?
ab
(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??cdf[?(y),y]??2(y)?1dy?
(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?
則??f(x,y,z)ds??
提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?
??
例1 計(jì)算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點(diǎn)O(0? 0)與點(diǎn)B(1? 1)之間的一段弧?
解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此
?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?
001
2例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為??1)?
解 取坐標(biāo)系如圖所示? 則I?
曲線L的參數(shù)方程為
x?Rcos?? y?Rsin?(????
于是
I???Ly2ds?
?Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?
??
?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)?
3?
例3 計(jì)算曲線積分
??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2?的一段弧?
解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且
ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?
于是
??(x2?y2?z2)ds??(a2?k2t2)a2?k2dt
02?
?2?a2?k2(3a2?4?2k2)?
3小結(jié)? 用曲線積分解決問題的步驟?
(1)建立曲線積分?
(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)? 確定參數(shù)的變化范圍?
(3)將曲線積分化為定積分?
(4)計(jì)算定積分?
§10? 對坐標(biāo)的曲線積分
一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)
變力沿曲線所作的功?
設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動到點(diǎn)B? 試求變力F(x? y)所作的功?
用曲線L上的點(diǎn)A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個(gè)小弧段?
設(shè)Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則
AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?
???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為
F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功
W??從而
W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?
L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(diǎn)(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?
n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?
k?
1把L分成n個(gè)小弧段? L1?
L2? ? ? ??
Ln?
變力在Li上所作的功近似為?
F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?
變力在L上所作的功近似為?
?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1nn
變力在L上所作的功的精確值?
W?lim??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1其中?是各小弧段長度的最大值?
提示?
用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量? 用?si表示?si的模?
對坐標(biāo)的曲線積分的定義?
定義 設(shè)函數(shù)f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個(gè)有向小弧段L1?
L2? ? ? ??
Ln? 小弧段Li的起點(diǎn)為(xi?1? yi?1)? 終點(diǎn)為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為Li上任意一點(diǎn)? ?為各小弧段長度的最大值?
如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數(shù)
i?1n f(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分? 記作
?Lf(x,y)dx? 即
lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx???0i?1
如果極限limn??0?f(?i,?i)?yi總存在? 則稱此極限為函數(shù)
i?1n f(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分? 記作
?Lf(x,y)dy? 即
lim?f(?i,?i)?yi?
?Lf(x,y)dy???0i?1
設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?
如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義
n?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?
?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds? 前者稱為函數(shù)P(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分? 后者稱為函數(shù)Q(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)y的曲線積分? 對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分?
定義的推廣?
設(shè)?為空間內(nèi)一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(diǎn)(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)
??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?
??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?
nlim?f(?i,?i,?i)?xi?
?Lf(x,y,z)dx???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?yi?
?Lf(x,y,z)dy???0i?1lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式?
nn?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?
?
對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)?
(1)如果把L分成L1和L2? 則
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
2(2)設(shè)L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則
??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
兩類曲線積分之間的關(guān)系?
設(shè){cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?
lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n
?limf(?i,?i)cos?i?si??f(x,y)cos?ds?
?L??0i?1nn
lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?
i?1n即
?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?
?LA?dr??LA?tds? 或
其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?
類似地有
或
??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?
??A?dr???A?tds???Atds?
其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(diǎn)(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?
二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算?
定理? 設(shè)P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線 L? x??(t)? y??(t)?
上的連續(xù)函數(shù)? 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由?變到?時(shí)? 點(diǎn)M(x? y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動到終點(diǎn)B? 則
討論? 提示?
??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?
?LQ(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?
???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?
??
定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線
L?
x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續(xù)函數(shù)? L的方向與t的增加方向一致? 則
??LP(x,y)dx???P[?(t),?(t)]??(t)dt?
簡要證明? 不妨設(shè)???? 對應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}? 所以cos????(t)?
22??(t)???(t)從而
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds
?????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt
??2(t)???2(t)
? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
應(yīng)注意的問題?
下限a對應(yīng)于L的起點(diǎn)? 上限? 對應(yīng)于L的終點(diǎn)? ?不一定小于? ?
例1?計(jì)算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點(diǎn)A(1? ?1)到點(diǎn)B(1? 1)的一段弧?
2解法一? 以x為參數(shù)? L分為AO和OB兩部分?
AO的方程為y??x? x從1變到0? OB 的方程為y?x? x從0變到1?
因此
?Lxydx??AOxydx??OBxydx
??1x(?10x)dx??xxdx?2?0113x2dx?4? 05
第二種方法? 以y為積分變量? L的方程為x?y2? y從?1變到1? 因此?
22?4xydx?yy(y)dy?2ydy??L??1??1
51例2? 計(jì)算?Ly2dx?
(1)L為按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 ?
(2)從點(diǎn)A(a? 0)沿x軸到點(diǎn)B(?a?
0)的直線段?
解
(1)L 的參數(shù)方程為 x?a cos?? y?a sin??
?從0變到??
因此
4a3?
22232ydx?asin?(?asin?)d??a(1?cos?)dcos????L?0?032?a??(2)L的方程為y?0? x從a變到?a?
因此
?Lydx??a0dx?0?
2例
3計(jì)算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?
解
(1)L? y?x2? x從0變到1? 所以
?L2xydx?x2dy??(2x?x2?x2?2x)dx?4?x3dx?1?
0021211(2)L? x?y2? y從0變到1? 所以
?L2xydx?xdy??0(2y?y?2y?y)dy?5?y4dy?1 ?
041
(3)OA? y?0? x從0變到1? AB? x?1? y從0變到1?
?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy
?(2x?0?x2?0)dx?(2y?0?1)dy?0?1?1? ?01?01
例4? 計(jì)算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點(diǎn)A(3? 2? 1)到點(diǎn)B(0? 0? 0)的直線段AB?
解? 直線AB的參數(shù)方程為
x?3t? y?2t? x?t?
t從1變到0? 所以 所以
I?87?
3223[(3t)?3?3t(2t)?2?(3t)?2t]dt?87tdt???1?1400
例5? 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比? F
x2?y2?1的方向恒指向原點(diǎn)?
此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a? 0)沿橢圓2按逆時(shí)針方向移動到點(diǎn)B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?
x2?y2?1
例5? 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下從點(diǎn)A(a? 0)沿橢圓2按逆時(shí)針方向移動到點(diǎn)
ab2B(0? b)? F的大小與質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成正比? 方向恒指向原點(diǎn)? 求力F所作的功W?
解? 橢圓的參數(shù)方程為x?acost? y?bsint ? t從0變到? ??
r?OM?xi?yj? F?k?|r|?(?其中k>0是比例常數(shù)?
r)??k(xi?yj)?
|r|?xdx?ydy?
于是
W??? ?kxdx?kydy??k?A ABB
??k
?02(?a2costsint?b2sintcost)dt
????k(a2?b2)02sintcostdt?k(a2?b2)?
三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系
由定義? 得
?LPdx?Qdy??L(Pcos??Qsin?)ds ?L?L
?{P,Q}?{cos?,sin?}ds?F?dr?
其中F?{P? Q}? T?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x? y)處單位切向量? dr?Tds?{dx? dy}?
類似地有
??Pdx?Qdy?Rdz???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds ????
?{P,Q,R}?{cos?,cos?,cos?}ds?F?dr?
其中F?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(diǎn)(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }?
一、格林公式
單連通與復(fù)連通區(qū)域?
設(shè)D為平面區(qū)域? 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D?
則稱D為平面單連通區(qū)域? 否則稱為復(fù)連通區(qū)域?
對平面區(qū)域D的邊界曲線L? 我們規(guī)定L的正向如下? 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)? D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊?
區(qū)域D的邊界曲線L的方向?
定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?
L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?
簡要證明?
僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明?
設(shè)D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因?yàn)?/p>
?P連續(xù)? 所以由二重積分的計(jì)算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?
21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有
?LPdx??LPdx??LPdx??aP[x,?1(x)]dx??bP[x,?2(x)]dx
12ba
?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?
因此
??ab?Pdxdy?Pdx? ???y?LD
設(shè)D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證
?Q???xdxdy??LQdx?
D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時(shí)成立? 兩式合并即得
??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?
???L?x?y?D?
應(yīng)注意的問題?
對復(fù)連通區(qū)域D? 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向?
設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得
2??dxdy??Lxdy?ydx? 或A???dxdy?2?Lxdy?ydx?
D1D
例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?
分析?
只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?
?x?y?x?yDD
解? 設(shè)D是由橢圓x=acos? ? y=bsin? 所圍成的區(qū)域?
令P??1y? Q?1x? 則?Q??P?1?1?1?
?x?y2222于是由格林公式?
A?1ydx?1xdy?1?ydx?xdy dxdy?????L222?LD
?2?112?(absin22??abcos?)d??ab?d???ab?
?0220
例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明
?L2xydx?x2dy?0?
?Q?P??2x?2x?0?
?x?y
證? 令P?2xy? Q?x2? 則因此? 由格林公式有?L2xydx?x2dy????0dxdy?0?(為什么二重積分前有“?”號？)
D2
例3? 計(jì)算??e?ydxdy? 其中D是以O(shè)(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域?
D
分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?
?x?y
2解? 令P?0? Q?xe?y? 則
?Q?P?y2??e? 因此? 由格林公式有 ?x?y?y2
??eD?y2dxdy?OA?AB?BO?xedy??xeOA?y2dy??xe?xdx?1(1?e?1)?
0212
例4 計(jì)算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線? L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向?
?y?Qy2?x2?Px22
解? 令P?2? Q?2? 則當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈? 當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Lx2?y2?0?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1? 應(yīng)用格林公式得
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針方向?
2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydxd??2?? ??22 ??于是?0Lx2?y2lx?yr2
解 記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?
D
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r2(r?0)? 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D1? 應(yīng)用格林公式得 xdy?ydx?Q?P?(?L?lx2?y2???x??y)dxdy?0?
D1即xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l(wèi)的方向取順時(shí)針方向?
于是
xdy?ydxxdy?ydx2?r2cos2??r2sin2?d??2?? ??Lx2?y2?l?x2?y2??0r2?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2
第三篇：關(guān)于定積分、曲線積分與二重積分的簡單總結(jié)
關(guān)于定積分、曲線積分與二重積分的簡單總結(jié)
***
（吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南 吉首 416000）
摘要：微積分的內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用.在此主要討論和簡單總結(jié)一些有關(guān)定積分、曲線積分與二重積分的問題.關(guān)鍵詞：定積分 曲線積分 二重積分
英文部分
引言：
微積分是一套關(guān)于變化率的理論.積分學(xué)包括求積分運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積提供了一套通用的方法.通常積分計(jì)算問題都涉及到天文、力學(xué)、幾何學(xué)等.這里主要通過有關(guān)定積分、曲線積分與二重積分的一些實(shí)例來對這些知識作一個(gè)回顧性總結(jié).1、定積分
1(1?23?33???n3);4n??n1、1利用定積分求極限：lim
解：lim1333(1?2?3???n)n??n4
1?12n?=lim?()3?()3??()3? n??nnn??n
i1=lim?()3 n??ni?1nn
設(shè)f(x)?x3，則f(x)在[0,1]上連續(xù)且可積.取?xi?1i,?i?為區(qū)間nn
i?1i??xi?1,xi???,?的右端點(diǎn),i=1,2…,n.所以上式為函數(shù)f(x)?x3在區(qū)間[0,1]??nn?
上的一個(gè)積分的極限，從而有
111411333lim4(1?2???n)??xdx?x?.0n??n40
4回顧分析：由定積分的定義知，若f(x)在[a,b]上可積，則可對[a,b]用某種特定的方法，并可取特殊的點(diǎn)，此時(shí)所得積分的極限就是f(x)在[a,b]上的定積分，因此本題可將和式化為某個(gè)可積函數(shù)的積分和，然后用定積分求此極限.定積分在物理中的某些應(yīng)用1、2 有一等腰梯形閘門，它的上、下兩條邊各長為10米和6米，高為20米，計(jì)算當(dāng)水面與上底邊相齊時(shí)閘門一側(cè)所受的靜壓力.解：考慮建立直角坐標(biāo)系，這里B(0,5),C(20,3).1則BC的方程為：x+20y-50=0.即y=5-x.10
由于在相同深度處水的靜壓力相同?gx,故當(dāng)?x很小時(shí)，閘門上從深度x到x+?x 這一狹條A上受的靜壓力為
1x)?x?x???g?dx.10
20202011p??dp??2?(5?x)?x?x???gdx??(10x2?x3)dx 000105
=14373.33(kN).1、3 設(shè)有半徑為r的半圓形導(dǎo)線，均勻帶點(diǎn)電荷密度為?，在圓心處有一單位E電荷，試求它們之間作用力的大小.解：同樣考慮坐標(biāo)，取??所對應(yīng)的一段導(dǎo)線，電荷電量為d????r?d?.，它圓心處電荷E在垂直方向上的引力為
sr??sin?ks???F?k??sin? rr2?p?dp?2?y?x?dx?x???g?2?(5?
則導(dǎo)線與電荷作用力為??
0k?sin?2k? ??rr
回顧分析：據(jù)以上例題可知，在解決積分實(shí)際問題中，確定積分區(qū)域是解決問題的關(guān)鍵，另外對于定積分我們還應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
⑴周期函數(shù)的定積分，其積分上下限可任意改變，只要積分區(qū)間的長度始終等于周期，則定積分的值不變。
⑵定積分存在的兩個(gè)條件：
①積分區(qū)間有限;②被積函數(shù)有界
⑶對于定積分f(x)可積，則加上絕對值也一定可積，若其絕對值可積，但去掉絕對值卻不一定可積.2、曲線積分2、1第一型曲線積分2、1、1證明：若函數(shù)f(x,y)在光滑曲線L:x=x(t),y=y(t),t?[?,?]上連續(xù),則存在點(diǎn)((x0,y0)?L使得?f(x,y)ds?f(x0,y0)?L l
其中?L為L的弧長 證明：因?yàn)?f(x,y)ds??f(x(t),y(t))x?(t)2?y?(t)2dt l??
記F(t)?f(x(t),y(t)),G(t)?x?(t)2?y?(t)2
由已知條件知F(t)在??,??上連續(xù),G(t)在??,??上連續(xù)且非負(fù)（不變號），則根據(jù)推廣的定積分第一中值定理知，存在t0???,??,對應(yīng)點(diǎn)(x0,y0)?(x(t0),y(t0)), 使?f(x,y)ds?f(x(t0),y(t0))?lx?(t)2?y?(t)2dt?f(x0,y0)?L
回顧分析:運(yùn)用推廣的定積分第一中值定理是證明此題的關(guān)鍵.2、2第二型曲線積分
2.2.1求?y2dx?z2dy?x2dz，其中，L是維維安尼曲線x2?y2?z2?a2，L
x2?y2?ax(z?0,a?0)若從軸正向看去，L是沿逆時(shí)針方向進(jìn)行的.解：選擇好參數(shù)方程確定好積分區(qū)域正是解此題的關(guān)鍵.將 x2?y2?z2?a2表示為 ?2?a2，x2?y2?ax
表示為r2?ax 或 r?ax
令 x?acos2? 則 y?asin??cos?,z?a?cos2??asin?，于是L:x?acos2?,y?asin??cos?,z?a?cos2?
??
2????
2,所以
?Ly2dx?z2dy?x2dz
?
??2?[a2sin2?cos2?(?2acos?sin?)?a2(1?cos2?)?a(cos2???2
sin?)?acos?acos?sin?(1?cos?)]d?
?2242?12
?2a3?2(sin2?cos2??sin4?)d?0
3351?a3[?(,)??(,)]2222
???
4a
3通過以上實(shí)例分析可知，曲線積分有著較為廣泛和重要的作用.因此對于曲線積分，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
⑴第一型曲線積分：第一型曲線積分上限、一定要大于積分下限； ⑵第二型曲線積分：
①曲線和有方向，方向改變后第二型曲線積分二值就要反向，即變號；
②第二型曲線積分的計(jì)算，在化為定積分時(shí)，積分上限可以小于積分下限，起點(diǎn)即為下限，終點(diǎn)即為上限.⑶曲線積分是定積分的推廣.⑷對?ds,即表示L的弧長，即f(x,y)=1.l
3.二重積分3、1計(jì)算??(x?y)2d?，其中D??0,1???0,1?.，D
解：應(yīng)用定理即：設(shè)f(x,y)在矩形區(qū)域D??a,b???c,d?.上可積，且對每個(gè)x??a,b?積分?d
cf(x,y)dy存在，則累次積分
bd?badx?f(x,y)dy也存在，且cd??f(x,y)d???dx?Dacf(x,y)dy 有??f(x,y)d???dx?(x?y)2dx?
D00117 6
回顧分析：對于一般區(qū)域，通?？梢苑纸鉃槿缦聝深悈^(qū)域來進(jìn)行計(jì)算.稱平面點(diǎn)集D?{(x,y)y1(x)?y?y2(x),a?x?b}為x型區(qū)域
稱平面點(diǎn)集D?{(x,y)x1(y)?x?x2(y),c?y?d}為y型區(qū)域.3、2關(guān)于x型區(qū)域的實(shí)例3、2、1計(jì)算二重積分??d?，其中D為由直線y=2x,x=2y及x+y=3所圍的三角
D
形區(qū)域.解：把D看作x型區(qū)域時(shí)，相應(yīng)的?2x,0?x?1x ,y1(x)?, y2(x)??2?3?x,1?x?2
???dx???d????d???dxxdy??dxxdy DD1D2021212x23?x
12xx??(2x?)dx??(3?x?)dx0122
3?3?3????x2???3x?x2??4?12?4?0?123、2、2關(guān)于x,y混合型區(qū)域的實(shí)例
求由坐標(biāo)平面x=2,y=3,x+y+z=4所圍二角柱體的體積.解：
V???zdxdy???(4?x?y)dxdy
DD
??dx?(4?x?y)dy??dx?0011324?x0(4?x?y)dy
?55
6回顧分析：
對于二重積分應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
⑴ 二重積分化為累次積分，積分上限一定要大于積分下限.⑵ 二重積分的許多性質(zhì)與定積分的幾乎完全相同.⑶ n(n?2)重積分的計(jì)算都是轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算.⑷ 掌握型區(qū)域和型區(qū)域的二重積分的計(jì)算是計(jì)算一般平面上二重積分的基礎(chǔ).⑸ 解決了x型區(qū)域或y型區(qū)域上二重積分的計(jì)算問題，那么一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算問題也就得到了解決.參考文獻(xiàn)：
【1】 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001
【1】 林益等編數(shù)學(xué)分析習(xí)題詳解（上、下）[M].武漢 華中科技大學(xué)出版社.2005
第四篇：曲線積分與曲面積分重點(diǎn)總結(jié)+例題
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
第十章
曲線積分與曲面積分
【教學(xué)目標(biāo)與要求】
1.理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2.掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。
3.熟練掌握格林公式并會運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會求全微分的原函數(shù)。4.了解第一類曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握計(jì)算第一類曲面積分的方法。
【教學(xué)重點(diǎn)】
1.兩類曲線積分的計(jì)算方法； 2.格林公式及其應(yīng)用；
3.第一類曲面積分的計(jì)算方法；
【教學(xué)難點(diǎn)】
1.兩類曲線積分的關(guān)系及第一類曲面積分的關(guān)系； 2.對坐標(biāo)的曲線積分與對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算； 3.應(yīng)用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分； 6.兩類曲線積分的計(jì)算方法；
7.格林公式及其應(yīng)用格林公式計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分；
【參考書】
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
§11.1 對弧長的曲線積分
一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)
曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上? 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x? y)處的線密度為?(x? y)? 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?
把曲線分成n小段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn(?si也表示弧長)?
任取(?i ? ?i)??si? 得第i小段質(zhì)量的近似值?(?i ? ?i)?si?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M???(?i,?i)?si?
i?1n
令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}?0? 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為
M?lim??(?i,?i)?si?
??0i?1n
這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會遇到?
定義
設(shè)函數(shù)f(x? y)定義在可求長度的曲線L上? 并且有界?，將L任意分成n個(gè)弧段? ?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn? 并用?si表示第i段的弧長? 在每一弧段?si上任取一點(diǎn)(?i? ?i)? 作和?f(?i,?i)?si? 令??max{?s1? ?s2? ? ? ?? ?sn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 這和的極限總存在? 則稱此i?1n極限為函數(shù)f(x? y)在曲線弧L上對弧長的 曲線積分或第一類曲線積分? 記作
?Lf(x,y)ds? 即
n
lim?f(?i,?i)?si?
?Lf(x,y)ds???0i?1其中f(x? y)叫做被積函數(shù)? L 叫做積分弧段?
曲線積分的存在性? 當(dāng)f(x? y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)? 對弧長的曲線積分?Lf(x,y)ds是存在的?
以后我們總假定f(x? y)在L上是連續(xù)的?
根據(jù)對弧長的曲線積分的定義?曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分中?(x? y)為線密度?
對弧長的曲線積分的推廣?
?L?(x,y)ds的值? 其
lim?f(?i,?i,?i)?si?
??f(x,y,z)ds???0i?1n
如果L(或?)是分段光滑的? 則規(guī)定函數(shù)在L(或?)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和? 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2? 則規(guī)定
?L?L12f(x,y)ds??f(x,y)ds??f(x,y)ds?
L1L
2閉曲線積分? 如果L是閉曲線? 那么函數(shù)f(x? y)在閉曲線L上對弧長的曲線積分記作
?Lf(x,y)ds?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
對弧長的曲線積分的性質(zhì)?
性質(zhì)1 設(shè)c1、c2為常數(shù)? 則
?L[c1f(x,y)?c2g(x,y)]ds?c1?Lf(x,y)ds?c2?Lg(x,y)ds?
性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2? 則
?Lf(x,y)ds??Lf(x,y)ds??L1f(x,y)ds?
2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x? y)?g(x? y)? 則
特別地? 有
|?Lf(x,y)ds??Lg(x,y)ds?
?Lf(x,y)ds|??L|f(x,y)|ds
二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法
根據(jù)對弧長的曲線積分的定義? 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x? y)? 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 ?Lf(x,y)ds?
x??(t)? y??(t)(??t??)?
另一方面? 若曲線L的參數(shù)方程為 則質(zhì)量元素為
f(x,y)ds?f[?(t), ?(t)]曲線的質(zhì)量為
即
??2(t)???2(t)dt?
???f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
f(x,y)ds??f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt?
???L
定理 設(shè)f(x? y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)? L的參數(shù)方程為 x??(t)? y??(t)(??t??)?
其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且??2(t)???2(t)?0? 則曲線積分在? 且
應(yīng)注意的問題? 定積分的下限?一定要小于上限??
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
?Lf(x,y)ds存?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt(?
??高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
討論?
(1)若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x?x? y??(x)(a?x?b)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[x,?(x)]1???2(x)dx?
ab
(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)? 則提示?
L的參數(shù)方程為x??(y)? y?y(c?y?d)?
?Lf(x,y)ds?? ?Lf(x,y)ds??f[?(y),y]??2(y)?1dy?
cd
(3)若曲?的方程為x??(t)? y??(t)? z??(t)(??t??)?
則??f(x,y,z)ds??
提示? ??f(x,y,z)ds??f[?(t),?(t),?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt?
??
例1 計(jì)算?Lyds? 其中L是拋物線y?x2上點(diǎn)O(0? 0)與點(diǎn)B(1? 1)之間的一段弧?
解 曲線的方程為y?x2(0?x?1)? 因此
?L11yds??x21?(x2)?2dx??x1?4x2dx?1(55?1)?
001
2例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度為??1)?
解 取坐標(biāo)系如圖所示? 則I??Ly2ds?
曲線L的參數(shù)方程為
x?Rcos?? y?Rsin?(????
于是
I??Ly2ds??R2sin2?(?Rsin?)2?(Rcos?)2d?
???
?R3???sin2?d??R(??sin? cos?)? 3?
例3 計(jì)算曲線積分??(x2?y2?z2)ds? 其中?為螺旋線x?acost、y?asint、z?kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2?的一段弧?
解 在曲線?上有x2?y2?z2?(a cos t)2?(a sin t)2?(k t)2?a2?k 2t 2? 并且
ds?(?asint)2?(acost)2?k2dt?a2?k2dt?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
于是
?22z2)ds??2??(x?y?0(a2?k2t2)a2?k2dt
?23?a2?k2(3a2?4?2k2)?
小結(jié)
用曲線積分解決問題的步驟?
(1)建立曲線積分?
(2)寫出曲線的參數(shù)方程(或直角坐標(biāo)方程)? 確定參數(shù)的變化范圍?
(3)將曲線積分化為定積分?
(4)計(jì)算定積分?
教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題
在教學(xué)過程中要注意曲線積分解決問題的步驟，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動設(shè)計(jì)
1.已知橢圓L:x2y2??1周長為a，求?(2xy?3x2?4y243)ds。L2.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線r?a,??0及???4所圍成區(qū)域的邊界，I??ex2?y2ds
C講課提綱、板書設(shè)計(jì)
作業(yè) P190: 3（1）（3）（5）（7）
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
求高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
§11? 對坐標(biāo)的曲線積分
一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)
變力沿曲線所作的功?
設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動到點(diǎn)B? 試求變力F(x? y)所作的功?
用曲線L上的點(diǎn)A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n個(gè)小弧段?
設(shè)Ak?(xk ? yk)? 有向線段AkAk?1的長度為?sk? 它與x軸的夾角為?k ? 則
AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?
???顯然? 變力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似為
F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 變力F(x? y)所作的功
W??從而
W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?
L這里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲線L在點(diǎn)(x? y)處的與曲線方向一致的單位切向量?
把L分成n個(gè)小弧段? L1?
L2? ? ? ??
Ln?變力在Li上所作的功近似為?
F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ?
變力在L上所作的功近似為?
n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?
k?1?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1nn
變力在L上所作的功的精確值?
W?lim ??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?
i?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
其中?是各小弧段長度的最大值?
提示?
用?si?{?xi??yi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量? 用?si表示?si的模?
對坐標(biāo)的曲線積分的定義?
定義 設(shè)函數(shù)f(x? y)在有向光滑曲線L上有界? 把L分成n個(gè)有向小弧段L1?
L2? ? ? ??
Ln? 小弧段Li的起點(diǎn)為(xi?1? yi?1)? 終點(diǎn)為(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1?(?i? ?)為Li上任意一點(diǎn)? ?為各小弧段長度的最大值?
如果極限lim??0?f(?i,?i)?xi總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)i?1nx的曲線積分? 記作
lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx? 即?Lf(x,y)dx???0i?1n
設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線? {cos?? sin?}是與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y)、Q(x? y)在L上有定義?
如果下列二式右端的積分存在? 我們就定義
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds?
?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?
前者稱為函數(shù)P(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)x的曲線積分? 后者稱為函數(shù)Q(x? y)在有向曲線L上對坐標(biāo)y的曲線積分? 對坐標(biāo)的曲線積分也叫第二類曲線積分?
定義的推廣?
設(shè)?為空間內(nèi)一條光滑有向曲線? {cos?? cos?? cos?}是曲線在點(diǎn)(x? y? z)處的與曲線方向一致的單位切向量? 函數(shù)P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定義? 我們定義(假如各式右端的積分存在)
??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds?
??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?
nnlim?f(?i,?i,?i)?xi? ?f(x,y,z)dy?lim?f(?i,?i,?i)?yi?
?Lf(x,y,z)dx??L?0??0i?1i?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1對坐標(biāo)的曲線積分的簡寫形式?
n?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?
?對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)?
(1)如果把L分成L1和L2? 則
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
2(2)設(shè)L是有向曲線弧? ?L是與L方向相反的有向曲線弧? 則
??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?
兩類曲線積分之間的關(guān)系?
設(shè){cos?i? sin?i}為與?si同向的單位向量? 我們注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?
lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n
?lim??0?f(?i,?i)cos?i?si??Lf(x,y)cos?ds?
i?1nn
lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i??lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?
i?1n即
?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds?
?LA?dr??LA?tds?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 或
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}為有向曲線弧L上點(diǎn)(x? y)處單位切向量? dr?tds?{dx? dy}?
類似地有
或
??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds?
??A?dr???A?tds???Atds?
其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}為有向曲線弧?上點(diǎn)(x? y? z)處單們切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t為向量A在向量t上的投影?
二、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算?
定理? 設(shè)P(x? y)、Q(x? y)是定義在光滑有向曲線L? x??(t)? y??(t)? 上的連續(xù)函數(shù)? 當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由?變到?時(shí)? 點(diǎn)M(x? y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動到終點(diǎn)B? 則
??L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
?Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?
??討論?
提示?
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？
???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?
定理? 若P(x? y)是定義在光滑有向曲線 L?
x??(t)? y??(t)(??t??)上的連續(xù)函數(shù)? L的方向與t的增加方向一致? 則
??LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
?
簡要證明? 不妨設(shè)???? 對應(yīng)于t點(diǎn)與曲線L的方向一致的切向量為{??(t)? ??(t)}?
所以
cos????(t)?
22??(t)???(t)從而
?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds
????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt
??2(t)???2(t)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
?
?應(yīng)注意的問題? ??P[?(t),?(t)]??(t)dt?
下限a對應(yīng)于L的起點(diǎn)? 上限? 對應(yīng)于L的終點(diǎn)? ?不一定小于? ?
討論?
若空間曲線?由參數(shù)方程x??t)? y =?(t)? z??(t)給出? 那么曲線積分
如何計(jì)算？提示?
???P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？
??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz
? ?{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt? ?其中?對應(yīng)于?的起點(diǎn)? ?對應(yīng)于?的終點(diǎn)?
例題?
例1?計(jì)算?Lxydx? 其中L為拋物線y?x上從點(diǎn)A(1? ?1)到點(diǎn)B(1? 1)的一段弧?
2例2? 計(jì)算?Ly2dx?
(1)L為按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 ?
(2)從點(diǎn)A(a? 0)沿x軸到點(diǎn)B(?a?
0)的直線段?
例3 計(jì)算?L2xydx?x2dy?(1)拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(2)拋物線x?y2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?(3)從O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R(1? 1)的有向折線OAB ?
例4? 計(jì)算??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是從點(diǎn)A(3? 2? 1)到點(diǎn)B(0? 0? 0)的直線段AB?
例5? 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在M(x? y)處受到力F的作用? F的大小與M到原點(diǎn)O的距離成正比? F
x2?y2?1的方向恒指向原點(diǎn)?
此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)A(a? 0)沿橢圓2按逆時(shí)針方向移動到點(diǎn)B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?
小結(jié)
1.第二類曲線積分的定義；
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
2.第二類曲線積分的計(jì)算方法。
教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題
在教學(xué)過程中要注意第二類曲線積分的定義和計(jì)算方法，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動設(shè)計(jì)
1.已知?為折線ABCOA，計(jì)算I?dx?dy?ydz
??講課提綱、板書設(shè)計(jì) 作業(yè) P200: 3（1）（3）（5）（7），4
§11?3 格林公式及其應(yīng)用
一、格林公式
單連通與復(fù)連通區(qū)域?
設(shè)D為平面區(qū)域? 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D?
則稱D為平面單連通區(qū)域? 否則稱為復(fù)連通區(qū)域?
對平面區(qū)域D的邊界曲線L? 我們規(guī)定L的正向如下? 當(dāng)觀察者沿L的這個(gè)方向行走時(shí)? D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊?
區(qū)域D的邊界曲線L的方向?
定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有
??(D?Q?P?)dxdy??Pdx?Qdy?
L?x?y其中L是D的取正向的邊界曲線?
簡要證明? 僅就D即是X－型的又是Y－型的區(qū)域情形進(jìn)行證明?
設(shè)D?{(x? y)|?1(x)?y??2(x)? a?x?b}? 因?yàn)?/p>
?P連續(xù)? 所以由二重積分的計(jì)算法有 ?y?Pdxdy?b{?2(x)?P(x,y)dy}dx?b{P[x,?(x)]?P[x,?(x)]}dx?
21???y?a??1(x)?y?aD另一方面? 由對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)及計(jì)算法有
?Pdx??Pdx??Pdx??P[x,?1(x)]dx??P[x,?2(x)]dx
LL1L2abba
?{P[x,?1(x)]?P[x,?2(x)]}dx?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
?ab高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
因此
??Pdxdy?Pdx?
???y?LD
設(shè)D?{(x? y)|?1(y)?x??2(y)? c?y?d}? 類似地可證
?Q???xdxdy??LQdx?
D由于D即是X－型的又是Y－型的? 所以以上兩式同時(shí)成立? 兩式合并即得
??Q?P???dxdy??Pdx?Qdy?
???L?x?y?D?
應(yīng)注意的問題?
對復(fù)連通區(qū)域D? 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分? 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向?
設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L? 取P??y? Q?x? 則由格林公式得
21xdy?ydx? dxdy?xdy?ydx? 或A?dxdy????L???L2DD
例1? 橢圓x?a cos? ? y?b sin? 所圍成圖形的面積A?
分析?
只要?Q?P?Q??1? 就有??(??P)dxdy???dxdy?A?
?x?y?x?yDD
例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線? 證明
?L2xydx?x2dy?0?
??e?ydxdy? 其中D是以O(shè)(0? 0)? A(1? 1)? B(0? 1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域?
D
2例3? 計(jì)算
分析? 要使?Q?P?y22??e? 只需P?0? Q?xe?y?
?x?y
例4 計(jì)算xdy?ydx?Lx2?y2? 其中L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線?
L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向?
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
?y?Qy2?x2?Px2
2解? 令P?2? Q?2? 則當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈? 當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Lx2?y2?0?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 在D內(nèi)取一圓周l? x2?y2?r 2(r>0)? 由L及l(fā)圍成了一個(gè)復(fù)連通區(qū)域D 1? 應(yīng)用格林公式得
xdy?ydxxdy?ydx?Lx2?y2??lx2?y2?0?
其中l(wèi)的方向取逆時(shí)針方向?
于是
2?r2cos2??r2sin2?xdy?ydxxdy?ydx?d??2?? ? 2?Lx2?y2?lx2?y2?0r記L 所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈?
當(dāng)(0? 0)?D時(shí)? 由格林公式得
xdy?ydx?Q?P?(?Lx2?y2???x??y)dxdy?0?
D?y?Qy2?x2?Px22分析? 這里P?2? Q?2? 當(dāng)x?y?0時(shí)? 有?
???x(x2?y2)2?yx?y2x?y2
二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件
曲線積分與路徑無關(guān)?
設(shè)G是一個(gè)開區(qū)域? P(x? y)、Q(x? y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 如果對于G內(nèi)任意指定的兩個(gè)點(diǎn)A、B以及G內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的任意兩條曲線L
1、L 2? 等式
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy
12恒成立? 就說曲線積分
設(shè)曲線積分的曲線? 則有
?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)? 否則說與路徑有關(guān)?
1和?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)? L
L 2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?
12高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
因?yàn)?/p>
?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?0
121
2??LPdx?Qdy??L1?2Pdx?Qdy?0??L1?(L2?)Pdx?Qdy?0?
所以有以下結(jié)論?
曲線積分?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意
?LPdx?Qdy等于零? 閉曲線C的曲線積分
定理2 設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則曲線積分?LPdx?Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）
?P??Q ?y?x的充分必要條件是等式
在G內(nèi)恒成立?
充分性易證?
若?P??Q? 則?Q??P?0? 由格林公式? 對任意閉曲線L? 有
?y?x?x?y
??Q?P?Pdx?Qdy???dxdy?0?
?L????x?y?D?
必要性?
假設(shè)存在一點(diǎn)M0?G? 使?Q?P?Q?P????0? 不妨設(shè)?>0? 則由?的連續(xù)性? 存在?x?y?x?y?Q?P???? 于是沿鄰域U(M0, ?)邊界l 的?x?y2M0的一個(gè)? 鄰域U(M0, ?)? 使在此鄰域內(nèi)有閉曲線積分
?Pdx?Qdy?lU(M0,?)??(?Q?P??)dxdy????2?0?
?x?y2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
這與閉曲線積分為零相矛盾? 因此在G內(nèi) 應(yīng)注意的問題?
?Q?P??0?
?x?y
定理要求? 區(qū)域G是單連通區(qū)域? 且函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?
如果這兩個(gè)條件之一不能滿足? 那么定理的結(jié)論不能保證成立?
破壞函數(shù)P、Q及?P?Q、連續(xù)性的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)?
?y?x
例5 計(jì)算?L2xydx?x2dy? 其中L為拋物線y?x2上從O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?
解? 因?yàn)?P??Q?2x在整個(gè)xOy面內(nèi)都成立?
?y?x所以在整個(gè)xOy面內(nèi)? 積分
?L2xydx?x2dy與路徑無關(guān)?
?L2xydx?x2dy??OA2xydx?x2dy??AB2xydx?x2dy
?12dy?1? ?01討論?
設(shè)L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線? L的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向? 問xdy?ydx?Lx2?y2?0是否一定成立？
?yx在點(diǎn)(0? 0)不連續(xù)?
Q?和x2?y2x2?y2提示? 這里P??Qy2?x2?P因?yàn)楫?dāng)x?y?0時(shí)? ? 所以如果(0? 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi)? 則結(jié)論???x(x2?y2)2?y22成立? 而當(dāng)(0? 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時(shí)? 結(jié)論未必成立?三、二元函數(shù)的全微分求積
曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)? 表明曲線積分的值只與起點(diǎn)從點(diǎn)(x0? y0)與終點(diǎn)(x? y)有關(guān)?
如果
(x,y)?LPdx?Qdy與路徑無關(guān)? 則把它記為?(x0,y0)Pdx?Qdy
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
(x,y)
即 ?L0Pdx?Qdy??(x0,y0)Pdx?Qdy?
若起點(diǎn)(x0? y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn)? 終點(diǎn)(x? y)為G內(nèi)的動點(diǎn)? 則
u(x? y)??(x,y)Pdx?Qdy
0(x,y)為G內(nèi)的的函數(shù)?
二元函數(shù)u(x? y)的全微分為du(x? y)?ux(x? y)dx?uy(x? y)dy?
表達(dá)式P(x? y)dx+Q(x? y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu)? 但它未必就是某個(gè)函數(shù)的全微分? 那么在什么條件下表達(dá)式P(x? y)dx+Q(x? y)dy是某個(gè)二元函數(shù)u(x? y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時(shí)怎樣求出這個(gè)二元函數(shù)呢？
定理3 設(shè)開區(qū)域G是一個(gè)單連通域? 函數(shù)P(x? y)及Q(x? y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則P(x? y)dx?Q(x? y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x? y)的全微分的充分必要條件是等式
?P??Q ?y?x在G內(nèi)恒成立?
簡要證明?
必要性? 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x? y)? 使得du?P(x? y)dx?Q(x? y)dy?
則有 ?P??(?u)??2u? ?Q??(?u)??2u? 因?yàn)?2u??P、?2u??Q連續(xù)?
?y?y?x?x?y?x?x?y?y?x?x?y?y?y?x?x22?Q?u??u?
即?P?所以?
?y?x?x?y?y?x
充分性? 因?yàn)樵贕內(nèi)?P??Q? 所以積分P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G內(nèi)與路徑無關(guān)?
?L?y?x在G內(nèi)從點(diǎn)(x0? y0)到點(diǎn)(x? y)的曲線積分可表示為 u(x? y)?因?yàn)?/p>
u(x? y)?
?所以
y?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
00(x,y)?(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy
00(x,y)?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?
00x?u??yQ(x,y)dy??xP(x,y)dx?P(x,y)? 0?x?x?y0?x?x0高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
類似地有數(shù)的全微分? ?u?Q(x,y)? 從而du ?P(x? y)dx?Q(x? y)dy? 即P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某一函?y
求原函數(shù)的公式?
u(x,y)?
u(x,y)?
u(x,y)?
例6 驗(yàn)證?數(shù)?
解? 這里P??(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy?
00(x,y)?xx0P(x,y0)dx??Q(x,y)dy?
y0x0y?yQ(x0,y)dy??xP(x,y)dx?
0yxdy?ydx在右半平面(x>0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分? 并求出一個(gè)這樣的函x2?y2?yx?
Q??
x2?y2x2?y
2因?yàn)镻、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且有
?Qy2?x2?P
?
???x(x2?y2)2?y所以在右半平面內(nèi)? xdy?ydx是某個(gè)函數(shù)的全微分?
22x?y
取積分路線為從A(1? 0)到B(x? 0)再到C(x? y)的折線? 則所求函數(shù)為
u(x,y)??(1, 0)(x,y)yxdyxdy?ydxy?0??
?arctan?0x2?y2x2?y2x問? 為什么(x0? y0)不取(0? 0)?
例7 驗(yàn)證? 在整個(gè)xOy面內(nèi)? xy2dx?x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分? 并求出一個(gè)這樣的函數(shù)?
解
這里P?xy2? Q?x2y?
因?yàn)镻、Q在整個(gè)xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且有
?Q?2xy??P?
?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
所以在整個(gè)xOy面內(nèi)? xy2dx?x2ydy是某個(gè)函數(shù)的全微分?
取積分路線為從O(0? 0)到A(x? 0)再到B(x? y)的折線? 則所求函數(shù)為
u(x,y)?(x,y)yy?(0, 0)xydx?xydy?0??0x222ydy?x2?0x2y2ydy??
2思考與練習(xí)?
1?在單連通區(qū)域G內(nèi)? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且恒有
?Q?P?? 那么 ?x?y(1)在G內(nèi)的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無關(guān)? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?
?Q?P?? ?x?y(2)在G內(nèi)的閉曲線積分(3)在G內(nèi)P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數(shù)u(x? y)的全微分?
2?在區(qū)域G內(nèi)除M0點(diǎn)外? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且恒有G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域? 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否與路徑無關(guān)? ?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy是否為零?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分(3)在G 1內(nèi)P(x? y)dx?Q(x? y)dy是否是某一函數(shù)u(x? y)的全微分?
3? 在單連通區(qū)域G內(nèi)? 如果P(x? y)和Q(x? y)具有一階連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)? ?P??Q? 但?Q??P非常簡單? 那么 ?y?x?x?y(1)如何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分?(2)如何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分?(3)計(jì)算?L(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy? 其中L為逆時(shí)針方向的
上半圓周(x?a)2?y2?a 2? y?0?
小結(jié)
Pdx?Qdy?1.格林公式 L
2.格林公式中的等價(jià)條件。???Q?P???D???x??y??dxdy??教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
在教學(xué)過程中要注意格林公式和其中的等價(jià)條件，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動設(shè)計(jì)
講課提綱、板書設(shè)計(jì)
作業(yè) P214: 2(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)
§11? 4 對面積的曲面積分
一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)
物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題? 設(shè)?為面密度非均勻的物質(zhì)曲面? 其面密度為?(x? y? z)? 求其質(zhì)量?
把曲面分成n個(gè)小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)?求質(zhì)量的近似值?
??(?i,?i,?i)?Sii?1nn((?i? ?i? ?i)是?Si上任意一點(diǎn))? 取極限求精確值?
M?lim??(?i,?i,?i)?Si(?為各小塊曲面直徑的最大值)?
??0i?
1定義
設(shè)曲面?是光滑的? 函數(shù)f(x? y? z)在?上有界? 把?任意分成n小塊? ?S1? ?S2 ? ? ? ?? ?Sn(?Si也代表曲面的面積)? 在?Si上任取一點(diǎn)(?i? ?i? ?i)? 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值??0時(shí)? 極限lim?f(?i,?i,?i)?Si總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在曲面?上對??0i?1n面積的曲面積分或第一類曲面積分? 記作n??f(x,y,z)dS? 即
?
lim?f(?i,?i,?i)?Si? ??f(x,y,z)dS???0i?1?其中f(x? y? z)叫做被積函數(shù)? ?叫做積分曲面?
對面積的曲面積分的存在性?
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曲線積分與曲面積分
我們指出當(dāng)f(x? y? z)在光滑曲面?上連續(xù)時(shí)對面積的曲面積分是存在的? 今后總假定f(x? y? z)在?上連續(xù)?
根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)?(x? y? z)的光滑曲面?的質(zhì)量M可表示為?(x? y? z)在?上對面積的曲面積分?
M???f(x,y,z)dS
?如果?是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在?上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的
各片曲面上對面積的曲面積分之和? 例如設(shè)?可分成兩片光滑曲面?1及?2(記作???1??2)就規(guī)定
?1??2??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
?1?
2對面積的曲面積分的性質(zhì)?
(1)設(shè)c
1、c 2為常數(shù)? 則
??[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dS?c1??f(x,y,z)dS?c2??g(x,y,z)dS?
???
(2)若曲面?可分成兩片光滑曲面?1及?2? 則
??f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS???f(x,y,z)dS?
??1?
2(3)設(shè)在曲面?上f(x? y? z)?g(x? y? z)? 則
(4)??f(x,y,z)dS???g(x,y,z)dS?
????dS?A? 其中A為曲面?的面積?
?
二、對面積的曲面積分的計(jì)算
面密度為f(x? y? z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為M?lim?f(?i,?i,?i)?Si???0i?1n??f(x,y,z)dS?
?另一方面? 如果?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 ? 那么 曲面的面積元素為
2dA?1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
質(zhì)量元素為
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
2f[x,y,z(x,y)]dA?f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?z2y(x,y)dxdy?
根據(jù)元素法? 曲面的質(zhì)量為
M?y(x,y)dxdy?
??f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2D因此
y(x,y)dxdy?
??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?D
化曲面積分為二重積分? 設(shè)曲面?由方程z?z(x? y)給出? ?在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy? 函數(shù)z?z(x? y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 被積函數(shù)f(x? y? z)在?上連續(xù)? 則
y(x,y)dxdy?
??f(x,y,z)dS???f[x,y,z(x,y)]1?zx2(x,y)?z2?Dxy
如果積分曲面?的方程為y?y(z? x)? Dzx為?在zOx面上的投影區(qū)域? 則函數(shù)f(x? y? z)在?上對面積的曲面積分為
??f(x,y,z)dS???f[x,y(z,x),z]?Dzx221?yz(z,x)?yx(z,x)dzdx?
如果積分曲面?的方程為x?x(y? z)? Dyz為?在yOz面上的投影區(qū)域? 則函數(shù)f(x? y? z)在?上對面積的曲面積分為
22f(x,y,z)dS?f[x(y,z),y,z]1?x(y,z)?x(y,z)dydz? yz?????Dyz
例1 計(jì)算曲面積分1dS? 其中?是球面x2?y2?z2?a2被平面 ??z?z?h(0?h?a)截出的頂部?
解 ?的方程為z?a2?x2?y2? Dxy ?
x2?y2?a2?h2?
因?yàn)?/p>
zx??y?x? zy??
222222a?x?ya?x?yadxdy?
222a?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 dS?1?zx?z2ydxdy? 高等數(shù)學(xué)教案
曲線積分與曲面積分
所以
1dS?a??z??a2?x2?y2dxdy
?Dxy
?a提示? ?02?d??a2?h20rdr1ln(a2?r2)]a2?h2?2?alna?
?2?a[?0a2?r2h221?zx?z2y2y2xa?1?222?222??
222a?x?ya?x?ya?x?y
例2 計(jì)算邊界曲面?
??xyzdS? 其中?是由平面x?0? y?0? z?0及x?y?z?1所圍成的四面體的整個(gè)?
解 整個(gè)邊界曲面?在平面x?0、y?0、z?0及x?y?z?1上的部分依次記為?
1、?
2、?3及?4? 于是
??xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS???xyzdS
??1?2?3??0?0?0???xyzdS????43xy(1?x?y)dxdy
1Dxy
?3xdx提示? ?4? z?1?x?y? ?021?01?x(1?x)3dx?3?
y(1?x?y)dy?3?x?06120
dS?1?z?
y3dxd?yx?z?ydxd?2小結(jié)
1.對面積的曲面積分的定義和計(jì)算
2.格林公式中的等價(jià)條件。
教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題
在教學(xué)過程中要注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式，簡化計(jì)算的技巧.，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。
師生活動設(shè)計(jì)
課后習(xí)題：1，3，7 講課提綱、板書設(shè)計(jì)
作業(yè) P218: 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8
高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
第五篇：直線與曲線聯(lián)立問題
四棱錐P?ABCD中，底面為矩形，PA?底，E為PD中點(diǎn)（1）證明：PB||面AEC
(2)AP?1,AD?,VP?ABD?
4,求A到面PBD的距離
弦長公式：|AB|??k2|x2?x1|??k2(x21?x2)?4x1x2
21.直線y??x?1與曲線xy2
3?2
?1相交于A,B兩點(diǎn)，求|AB| 85
2.直線y?k(x?1)(k?0)與曲線
x
?y2?1相交，求x1?x2
3.??y?2?k(x?2)
y2?4x
?
?y?k(x?1)4.???
x2?4
?y23?1
2x2y2
5.過點(diǎn)（1,0）且斜率為5?4
?1交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)
原點(diǎn)，則?OAB的面積53
6.已知一直線與曲線4x2?9y2?36相交于A,B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）
求直線AB的方程
4x?9y?13?0
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