第一篇：2015考研數(shù)學(xué)：二元函數(shù)條件極值

2015考研數(shù)學(xué)：二元函數(shù)條件極值

二元函數(shù)條件極值也是考研數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，普明考研數(shù)學(xué)崔老師給學(xué)員梳理下這部分知識(shí)點(diǎn)以便共享。

函數(shù)z?f(x,y)在條件?(x,y)?0下的極值稱為條件極值。求條件極值的方法常用如下的拉格朗日乘子法：現(xiàn)構(gòu)造輔助函數(shù)

F(x,y)?f(x,y)???(x,y)，?F??f?(x,y)????(x,y)?0xx?x

??Fy??fy?(x,y)???y?(x,y)?0

?F????(x,y)?0??

得x,y及?，則其中x,y就是可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。

第二篇：導(dǎo)數(shù)--函數(shù)的極值練習(xí)題

導(dǎo)數(shù)--函數(shù)的極值練習(xí)題

一、選擇題

1.下列說法正確的是()

A.當(dāng)f′(x0)=0時(shí)，則f(x0)為f(x)的極大值 B.當(dāng)f′(x0)=0時(shí)，則f(x0)為f(x)的極小值 C.當(dāng)f′(x0)=0時(shí)，則f(x0)為f(x)的極值

D.當(dāng)f(x0)為函數(shù)f(x)的極值且f′(x0)存在時(shí)，則有f′(x0)=0 2.下列四個(gè)函數(shù)，在x=0處取得極值的函數(shù)是()

①y=x3②y=x2+1③y=|x|④y=2x A.①②B.②③C.③④D.①③ 3.函數(shù)y=

6x

1?x2的極大值為()A.3B.4C.2D.5

4.函數(shù)y=x3－3x的極大值為m,極小值為n,則m+n為()A.0B.15.y=ln2x+2lnx+2的極小值為()A.e－B.0C.－1 D.1 6.y=2x3－3x2+a的極大值為6，那么a等于()

A.6B.0C.5D.1

7．對(duì)可導(dǎo)函數(shù),在一點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)是這點(diǎn)為極值點(diǎn)的A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件 8.下列函數(shù)中, x?0是極值點(diǎn)的函數(shù)是()

A.y??x3B.y?cos2xC.y?tanx?xD.y?1x 9.下列說法正確的是()

A.函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大;B.函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值;C.對(duì)于f(x)?x3

?px2

?2x?1,若|p|?6,則f(x)無(wú)極值;

D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上一定存在最值.10.函數(shù)f(x)?x3?ax2?bx?a2

在x?1處有極值10, 則點(diǎn)(a,b)為()

A.(3,?3)B.(?4,11)C.(3,?3)或(?4,11)D.不存在 11.函數(shù)f(x)?|x2

?x?6|的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè) 12.函數(shù)f(x)?

lnx

x

()A.沒有極值B.有極小值C.有極大值D.有極大值和極小值

C.2D.4二．填空題：

13.函數(shù)f(x)?x2lnx的極小值是

14.定義在[0,2?]上的函數(shù)f(x)?e2x?2cosx?4的極值情況是

15.函數(shù)f(x)?x3?3ax?b(a?0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的減區(qū)間是2

16.下列函數(shù)①y?x3,②y?tanx,③y?|x3?x?1|,④y?xex,其中在其定義區(qū)間上存在極值點(diǎn)的函數(shù)序號(hào)是

17.函數(shù)f(x)=x3－3x2+7的極大值為___________.18.曲線y=3x5－5x3共有___________個(gè)極值.19.函數(shù)y=－x3+48x－3的極大值為___________；極小值為___________.20.若函數(shù)y=x3+ax2+bx+27在x=－1時(shí)有極大值，在x=3時(shí)有極小值，則a=___________,b=___________.三．解答題

21.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,當(dāng)x=－1時(shí)，取得極大值7；當(dāng)x=3時(shí)，取得極小值.求這個(gè)極小值及a、b、c的值.22.函數(shù)f(x)=x+a

x

+b有極小值2，求a、b應(yīng)滿足的條件.23.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=2處有極值，其圖象在x＝1處的切線垂直于直線y=1

x-2（1）設(shè)f(x)的極大值為p，極小值為q，求p-q的值；

（2）若c為正常數(shù)，且不等式f(x)>mx2在區(qū)間（0,2）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

第三篇：二元函數(shù)的極限

§2 二元函數(shù)的極限

(一)教學(xué)目的：

掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．

(二)教學(xué)內(nèi)容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限．

基本要求：

(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來(lái)處理極限存在性問題．

(三)教學(xué)建議：

(1)要求學(xué)生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會(huì)他們求多元函數(shù)極

限的方法．

(2)對(duì)較好學(xué)生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．

一二元函數(shù)的極限

先回憶一下一元函數(shù)的極限： limf(x)?A 的“???” 定義(c31)：

x?x0

0設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一空心鄰域U(x0,?1)內(nèi)由定義，如果對(duì)

???0,當(dāng) x?U(x0,?)，即 |x?x0|?? 時(shí)，都有 |f(x)?A|??，???0,???1，則稱x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是 A.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：

設(shè)二元函數(shù)f(x,y)為定義在D?R2上的二元函數(shù)，在點(diǎn)P0(x0,y0)為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是一個(gè)確定的常數(shù)，如果對(duì) ???0,???0，使得當(dāng) P(x,y)?U(P0,?)?D 時(shí)，0都有 |f(P)?A|??，則稱f在D上當(dāng) P?P0時(shí)，以A為極限。記作

P?P0P?Dlimf(P)?A

也可簡(jiǎn)寫為limf(P)?A或

P?P0(x,y)?(x0,y0)

2limf(x,y)?A 例1用定義驗(yàn)證

2lim(x,y)?(2,1)2(x?xy?y)?7 222證明:|x?xy?y?7|?|x?x?6?xy?x?y?1|

?|x?3||x?2|?|x?y?1||y?1|

限制在（2，1）的鄰域 {(x,y)||x?2|?1,|y?1|?1}

|x?3|?6,|x?y?1|?6

取 ??min{1,?/6}，則有

|x?xy?y|??

由二元函數(shù)極限定義lim

(x,y)?(2,1)

(x?xy?y)?7

?x?y,(x,y)?(0,0)?xy22

例2 f(x,y)??x?y，?0,(x,y)?(0,0)?

證明lim

(x,y)?(0,0)

f(x,y)?0

x?yx?y

證|f(x,y)|?|xy

所以

lim

(x,y)?(0,0)

|?|xy|

lim

(x,y)?(0,0)

|f(x,y)|?lim

(x,y)?(0,0)

|xy|?0

|f(x,y)|?0

對(duì)于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點(diǎn)：

P?P0

limf(P)?A 是指： P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)，包括沿任何直線，沿任

何曲線趨于p0(x0,y0)時(shí)，f(x,y)必須趨于同一確定的常數(shù)。

對(duì)于一元函數(shù)，x 僅需沿X軸從x0的左右兩個(gè)方向趨于x0，但是對(duì)于二元函數(shù)，P趨于P0的路線有無(wú)窮多條，只要有兩條路線，P趨于P0時(shí)，函數(shù)f(x,y)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在P0點(diǎn)極限就不存在。

?1,0?y?x2

例1 二元函數(shù)f(x,y)??

?0,rest

請(qǐng)看圖像（x62），盡管P(x,y)沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí)f(x,y)都趨于零，但也不能說該函數(shù)在原點(diǎn)的極限就是零，因?yàn)楫?dāng)P(x,y)沿拋物線 y?kx,0?k?1時(shí)，f(x,y)的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。

(考慮沿直線y?kx的方向極限).?x2y,?

例2設(shè)函數(shù)f(x,y)??x2?y2

?0,?

(x.,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

求證limf(x,y)?0

x?0

y?0

證明因?yàn)閨f(x,y)?0|?

x|y|x?y

?

x|y|x

?|y|

所以，當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)，f(x,y)?0。

請(qǐng)看它的圖像，不管P(x,y)沿任何方向趨于原點(diǎn)，f(x,y)的值都趨于零。

通常為證明極限limf(P)不存在,可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩

P?P0

個(gè)方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意 ,沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在.例3

設(shè)函數(shù)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)

?xy,?22

f(x,y)??x?y

?0,?

證明函數(shù) f(x,y)在原點(diǎn)處極限不 存在。

證明盡管 P(x,y)沿 ｘ軸和ｙ軸

趨于原點(diǎn)時(shí)(f(x,y)的值都趨于零，但沿直線y?mx 趨于原點(diǎn)時(shí)

x?mxx?(mx)

f(x,y)??

mx

(1?m)x

?

m1?m

沿斜率不同的直線趨于原點(diǎn)時(shí)極限不一樣，請(qǐng)看它的圖象, 例１沿任何路線趨于原點(diǎn)時(shí)，極

限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。

例4

非正常極限極限

lim

(x,y)?(x0,y0)

判別函數(shù)f(x,y)?

xy?1?1x?y

在原點(diǎn)是否存在極限.f(x,y)???的定義:

12x?3y

例1設(shè)函數(shù)f(x,y)?證明limf(x,y)??

x?0y?0

證|

12x?3y

|?|

13(x?y)

|

只要取??

16M

|x?0|??,|y?0|??時(shí)，都有

|

12x?3y16?

|?|

13(x?y)

|

??M

12x?3y

請(qǐng)看它的圖象，因此是無(wú)窮大量。

例2求下列極限: i)

lim

xyx?y

;ii)

(x,y)?(0,0)(x,y)?(3,0)

lim

sinxyy

;

iii)

(x,y)?(0,0)

lim

xy?1?1xy

;iV)

(x,y)?(0,0)

lim

ln(1?x?y)

x?y

.二.累次極限: 累次極限

前面講了P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時(shí)的極限，我們稱它為二重極限，對(duì)于兩個(gè)自變量x,y依一定次序趨于x0,y0時(shí) f(x,y)的極限，稱為累次極限。對(duì)于二元函數(shù)f(x,y)在P0(x0,y0)的累次極限由兩個(gè)

limlimf(x,y)和limlimf(x,y)

y?y0x?x0

x?x0y?y0

例1

f(x,y)?

xyx?yx?yx?y

222, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.22

例2 f(x,y)?, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.例3 f(x,y)?xsin

1y

?ysin

1x, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.二重極限與累次極限的關(guān)系:

（１）兩個(gè)累次極限可以相等也可以不相等，所以計(jì)算累次極限時(shí)一定要注意不能隨意改變它們的次序。

例函數(shù) f(x,y)?

x?y?x?y

x?y

22的兩個(gè)累次極限是 y?yyx?xx

limlim

x?y?x?y

x?yx?y?x?y

x?y

y?0x?0

?lim

y?0

?lim(y?1)??1

y?0

?lim(x?1)?1

x?0

limlim

x?0y?0

?lim

x?0

（２）兩個(gè)累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在 例f(x,y)?

xyx?y

xyx?y，兩個(gè)累次極限都存在limlim

y?0x?0

?0,limlim

xyx?y

x?0y?0

?0

但二重極限卻不存在，事實(shí)上若點(diǎn)P(x,)沿直線 y?kx趨于原點(diǎn)時(shí)，kx

f(x,y)?

x?(kx)

?

k1?k

二重極限存在也不能保證累次極限存在二重極限存在時(shí),兩個(gè)累次極限可以不存在.例函數(shù) f(x,y)?xsin

1y?ysin

1x

由|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x ,y)?(0,0).可見二重極限存在 ,但

1x

limsin

x?0

和limsin

y?0

1y

不存在，從而兩個(gè)累次極限不存在。

（4）二重極限極限lim

(x,y)?(x0,y0)

f(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存

x?x0y?y0

在 , 則必相等.(證)

（5）累次極限與二重極限的關(guān)系

若累次極限和二重極限都存在，則它們必相等

第四篇：2012年考研數(shù)學(xué)大綱函數(shù)

2012年考研數(shù)學(xué)大綱函數(shù)、極限和連續(xù)性

（一）考試內(nèi)容 共濟(jì)

函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立。數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及其無(wú)窮小量的比較，極限的四則運(yùn)算，極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限。同濟(jì)大學(xué)四平路函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（二）考試要求 3362 3039

1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系。院

2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性。

3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。336260 37

4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念。濟(jì)

5．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限和右極限）的概念。336 26038

6．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。共濟(jì)網(wǎng)

7．理解無(wú)窮小量的概念和基本性質(zhì)，掌握無(wú)窮小量的比較方法，了解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的關(guān)系。9

8．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)和右連續(xù)），會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。

9．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。共

我們?cè)谇蠼夂瘮?shù)的解析式時(shí)，需要涉及到導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)、微分方程等基本知識(shí)，所以求解函數(shù)解析式往往是一些知識(shí)的綜合應(yīng)用，需要逐步求解。函數(shù)的性質(zhì)是考試的重點(diǎn)，比如奇偶性、周期性，在極限這一章體現(xiàn)的不明顯，但是在定積分和二重積分的運(yùn)算中如果能夠準(zhǔn)確的應(yīng)用就能夠化簡(jiǎn)運(yùn)算，解決難題，所以屬于技巧性的考察，在考研的試題中對(duì)技巧的考察屬于重難點(diǎn)，所以考生應(yīng)該提起重視。函數(shù)的有界性是證明題中經(jīng)常用到的，但要注意閉區(qū)間上應(yīng)用，如果是開區(qū)間，就要求解左端點(diǎn)處的右極限、右端點(diǎn)處的左極限。極限是考研的重點(diǎn)，熟練掌握求解極限的方法是得高分的關(guān)鍵，極限的運(yùn)算法則必須遵從，兩個(gè)極限都存在才可以進(jìn)行極限的運(yùn)算，如果有一個(gè)不存在就無(wú)法進(jìn)行運(yùn)算。無(wú)窮小以及無(wú)窮大量是考察的重點(diǎn)，首先要理解概念，弄清無(wú)窮大與無(wú)界的區(qū)別，無(wú)窮小與有界的區(qū)別，（前者能推出后者，后者不能推出前者。）對(duì)于無(wú)窮小的運(yùn)算，大家最好能夠熟練掌握等價(jià)無(wú)窮小代換，這樣可以化簡(jiǎn)極限運(yùn)算，但在運(yùn)算中要注意等價(jià)無(wú)窮小代換的條件，一般是積式用。在這需要大家注意一下階的概念。極限的保號(hào)性應(yīng)用比較廣泛，要領(lǐng)會(huì)如何“保號(hào)”得到不等式。在證明中還會(huì)用到最值定理，介值定理，零點(diǎn)定理。我們應(yīng)用最值定理估值計(jì)算，應(yīng)用介值定理證明存在零點(diǎn)。函數(shù)的連續(xù)性是考試的重點(diǎn)，可能考察函數(shù)、分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，應(yīng)用左右極限進(jìn)行求解，在求解過程中經(jīng)常會(huì)遇到一些特殊的函數(shù)比如指數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，當(dāng)變量趨近于不同的值時(shí)，極限可能不同。

第五篇：二元函數(shù)極限的研究

二元函數(shù)極限的研究

作者：鄭露遙指導(dǎo)教師：楊翠

摘要 函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容，二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，本文討論了二元函數(shù)極限的定義、二元函數(shù)極限存在或不存在的判定方法、求二元函數(shù)極限的方法、簡(jiǎn)單討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系以及二元函數(shù)極限復(fù)雜的原因、最后討論二重極限與累次極限的關(guān)系。

關(guān)鍵詞 二元函數(shù)極限、累次極限、二重極限、連續(xù)性、判別法、洛必達(dá)法則、運(yùn)算定理引言

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容, 關(guān)于一元函數(shù)的極限及其求法, 各種教材中都有詳盡的說明。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的, 兩者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。例如, 在極運(yùn)算法則上, 它們是一致的, 但隨著變量個(gè)數(shù)的增加, 二元函數(shù)極限比一元函數(shù)極限變得復(fù)雜得多, 但目前的各類教材、教學(xué)參考書中有關(guān)二元函數(shù)極限的求法介紹不夠詳二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的一個(gè)基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí), 函數(shù)值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題。但是, 一 般來(lái)說, 二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限, 無(wú)論從計(jì)算還是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如下探討求一元函數(shù)的極限問題, 主要困難多數(shù)集中于求未定型極限問題, 而所有未定型的極限又總可轉(zhuǎn)化為兩類基本型即00 與∞∞型,解決這兩類基本未定型的有力工具是洛泌達(dá)(LHO SP ital)法則。類似地, 二元函數(shù)基本未定型的極限問題也有相似的洛泌達(dá)法則。為了敘述上的方便, 對(duì)它的特殊情形(即(x0,y0)=(0, 0))作出如下研究, 并得到相應(yīng)的法則與定理。二元函數(shù)的極限是反映函數(shù)在某一領(lǐng)域內(nèi)的重要屬性的 一個(gè)基本概念, 它刻劃了當(dāng)自變量趨向于某一個(gè)定值時(shí), 函數(shù)

值的變化趨勢(shì)。是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的問題。但是, 一

般來(lái)說, 二元函數(shù)的極限比起一元函數(shù)的極限, 無(wú)論從計(jì)算還

是證明都具有更大的難度。本文就二元函數(shù)極限的問題作如

下探討。