第一篇：高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性周期性寶典

臨平三中2013屆畢業(yè)典禮主持稿開(kāi)場(chǎng)白

撰稿人：曹嘉懿

男：三年前，當(dāng)我們踏入學(xué)校的時(shí)候，就決定了有今天這樣一個(gè)特殊的日子。

女：此時(shí)此刻，我們每個(gè)人帶著興奮喜悅的心情，帶著絲絲離別的傷感和愁緒，忍著離別的淚水，相聚在這里。

男：如果說(shuō)我們當(dāng)初相見(jiàn)是為了尋求知識(shí)，積蓄力量。那么我們今天相別則是為了實(shí)現(xiàn)理想，大展宏圖。

女：學(xué)校雖是寧?kù)o的港灣，我們終究要駛向廣闊的大海，學(xué)校雖是安全的機(jī)場(chǎng)，我們終究要飛向藍(lán)天。

男：親愛(ài)的老師，謝謝您，為我們插入騰飛的翅膀。

女：可愛(ài)的母校，感謝您，為我們揚(yáng)起遠(yuǎn)航的風(fēng)帆。

男：我們無(wú)悔于自己的青春年華，我們無(wú)愧于三中這個(gè)大家庭，我們已經(jīng)為三年的初中生活畫(huà)上了圓滿的句號(hào)。

女：我們就要畢業(yè)了，滿載多年采擷的累累碩果。我們就要走了，滿載著母校師生的切切深情。男：我們即將在人生的征途上跨出新的一步，我們應(yīng)該為自己而自豪！為母校驕傲！

合：現(xiàn)在我宣布：臨平三中2013屆初中畢業(yè)典禮現(xiàn)在開(kāi)始。

第二篇：高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

一、函數(shù)對(duì)稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)關(guān)于 x=(a+b)/2 對(duì)稱 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)關(guān)于點(diǎn) [（a+b）/2，c/2] 對(duì)稱 y = f(x)與 y = f(-x)關(guān)于 x=0 對(duì)稱 y = f(x)與 y =-f(x)關(guān)于 y=0 對(duì)稱 y =f(x)與 y=-f(-x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱

例1：證明函數(shù) y = f(a+x)與 y = f(b-x)關(guān)于 x=(b-a)/2 對(duì)稱。

【解析】求兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱軸，用設(shè)點(diǎn)和對(duì)稱原理作解。

證明：假設(shè)任意一點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y = f(a+x)上，令關(guān)于 x=t 的對(duì)稱點(diǎn)Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即證得對(duì)稱軸為 x=(b-a)/2.例2：證明函數(shù) y = f(ax)上，令關(guān)于 x=t 的對(duì)稱點(diǎn)Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函數(shù)最小正周期 T=|4a|

第三篇：高考數(shù)學(xué)函數(shù)的周期性

函數(shù)的周期性與對(duì)稱性、函數(shù)的圖象變換、函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題

一.教學(xué)內(nèi)容：

函數(shù)的周期性與對(duì)稱性、函數(shù)的圖象變換、函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題

二.教學(xué)要求：

1.理解周期函數(shù)的定義，會(huì)求簡(jiǎn)單周期函數(shù)的周期。

2.理解函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于直線對(duì)稱的定義，會(huì)解決一些較簡(jiǎn)單的對(duì)稱問(wèn)題。

3.熟悉常見(jiàn)的抽象函數(shù)及其性質(zhì)。

4.會(huì)識(shí)圖，即通過(guò)給定的函數(shù)圖象分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（如：范圍，對(duì)稱性，周期性，有界性等）。

5.掌握?qǐng)D象變換的基本方法，會(huì)進(jìn)行較基本的圖象變換。

6.熟悉解應(yīng)用問(wèn)題的步驟，能建立較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。

三.知識(shí)串講：

1.周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，總有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期函數(shù)。T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期，其中最小正數(shù)T叫做最小正周期。

（定義的實(shí)質(zhì)，是存在一個(gè)常數(shù)T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自變量每增加一個(gè)T后，函數(shù)值就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)一次）

關(guān)于函數(shù)的周期性，有如下結(jié)論：

（1）若T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期，即

f(x?kT)?f(x)。

（2）若f(x)是一個(gè)以T為周期的函數(shù)，則f(ax?b)(a?0)是一個(gè)以T為周a期的函數(shù)。

證明：（證明的方向f[a(x?T)?b]?f(ax?b)）a

T)?b]?f[(ax?b)?T]a

由T是f(x)的周期設(shè)u?ax?bf(u?T)f(u)?f(ax?b)

T?是函數(shù)f(ax?b)的周期a

f[a(x?

如：y?sinx的周期為T(mén)?2?，則y?sin(?x??)(??0)的周期為2??

（3）若f(x)滿足f(x?a)?f(x?b)恒成立，a,b為常數(shù)且a?b，則T?a?b

是f(x)的一個(gè)周期。

這是因?yàn)閒(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)

?T?a?b

（4）若f(x)滿足f(x?a)??f(x?b)，則f(x)以T?2(a?b)為一個(gè)周期。

證明：f[x?2(a?b)]?f[(x?2b?a)?a]

??f[(x?2b?a)?b]??f[(x?b)?a]

??[?f(x?b?b)]?f(x)

?T?2(a?b)

推論：f(x?a)??f(x)

則f(x)以T?2a為一個(gè)周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.對(duì)稱問(wèn)題：

（1）若函數(shù)f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)恒成立，（a,b為常數(shù)）則f(x)的圖a?b對(duì)稱。2

a?x?b?xa?b這是因?yàn)椋?，又f(a?x)?f(b?x)，即函數(shù)圖象上縱坐2

2象關(guān)于直線x?標(biāo)相等的兩個(gè)點(diǎn)（a?x，f(a?x)），（b?x，f(b?x)）連線的中點(diǎn)都在直線x?a?ba?b上，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x?對(duì)稱。22 y P P’ 0 a-x b+x x a?b 2

x?a對(duì)稱

當(dāng)a?b時(shí)，即f(a?x)?f(a?x)，則f(x)圖象關(guān)于直線

若f(2a?x)?f(x)，則f(x)圖象關(guān)于直線x?a對(duì)稱

（2）若函數(shù)f(x)滿足f(a?x)??f(a?x)恒成立，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（a,0）對(duì)稱。

y a-x 0（a,0）x

3.函數(shù)圖象變換：

（1）平移變換：

右平移a（a>0）f（x－a）圖象 f（x）圖象 左平移a（a>0）f（x＋a）圖象 上平移b（fx）＋b圖象 f（x）圖象 下平移b（fx）－b圖象

（2）對(duì)稱變換：

?f(?x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱???f(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱?f(x)圖象與??f(?x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?f(2a?x)圖象關(guān)于x?a對(duì)稱??1??f(x)圖象關(guān)于y?x對(duì)稱

（3）伸縮變換：設(shè)A?0，??0

橫坐標(biāo)縮短(??1)f(x)圖象???????????????f(?x)圖象1或伸長(zhǎng)(0???1)到原來(lái)的倍?

縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A?1)f(x)圖象???????????????Af(x)圖象或縮短（0?A?1）到原來(lái)的A倍

（4）翻折變換：

將x軸下方部分f(x)圖象??????????|f(x)|圖象作關(guān)于x軸對(duì)稱

保留圖象的x?0部分，去掉f(x)圖象???????????????f(|x|)圖象x?0部分，再作關(guān)于y軸對(duì)稱

4.函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題：

解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是認(rèn)真讀題，縝密審題，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行概括，歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；二是合理選取參變數(shù)，設(shè)定變?cè)?，尋找等量（或不等量）關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，使問(wèn)題獲解。即

讀題建模求解反饋???（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）（數(shù)學(xué)計(jì)算）（檢驗(yàn)作答）

（文字語(yǔ)言）

【典型例題】

2（1）函數(shù)f(x)?x?bx?c對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有f(1?x)?f(1?x)，比較

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大??；

2（2）若函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于x?1對(duì)稱，且x?1時(shí)f(x)?x?1，則當(dāng)x?

1時(shí)，求f(x)的表達(dá)式。

解：（1）由f(1?x)?f(1?x)，可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x?1對(duì)稱，又函數(shù)圖

象是開(kāi)口向上的拋物線，所以f(3)?f(0)?f(1)。

（2）當(dāng)x?1時(shí)，有2?x?1

所以f(2?x)?(2?x)?1?x?4x?5 22

又由于y?f(x)圖象關(guān)于x?1對(duì)稱

?f(2?x)?f(x)

所以當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?x?4x?5

注：（2）題也可以根據(jù)圖象的對(duì)稱性，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，直接寫(xiě)出解析式。

例2.偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x?1)?f(x?1)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，又當(dāng)0

2?x?1時(shí)，f(x)?2x?1。

（1）求證f(x)是周期函數(shù)，并確定周期。

（2）求當(dāng)1?x?2時(shí)，求f(x)的解析式。

解：（1）令t?x?1，則x?1?t?2

由x?R時(shí)f(x?1)?f(x?1)恒成立

得t?R時(shí)f(t)?f(t?2)恒成立

因此f(x)是周期函數(shù)，且2k(k?Z且k?0)為其周期

（2）任取1?x?2

則?1?x?2?0x0??x?2?1

?0?x?1時(shí)，f(x)?2?1

?x?2?f(?x?2)?2?1

又f(x)的周期為2，且為偶函數(shù)

?f(?x?2)?f(?x)?f(x)

?x?2?1?x?2時(shí)，f(x)?2?1

點(diǎn)評(píng)：本題的解抓住兩個(gè)關(guān)鍵條件，一個(gè)是f(x)為偶函數(shù)，另一個(gè)是f(x)為周期函數(shù)。一般求f(x)在哪個(gè)區(qū)間上的解析式，就令x屬于該區(qū)間，再通過(guò)平移（周期性），對(duì)稱（奇偶性）變換到已知區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化簡(jiǎn)為f(x)。

例3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a，x=b（a≠b）都對(duì)稱，且定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，證明y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2(b—a)為一個(gè)周期。

證明：由題意有f(a?x)?f(a?x)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(b?x)?f(b?x)

則f[x?2(b?a)]?f[(x?b?2a)?b]?f[b?(x?b?2a)]?f[?x?2a]?f[(?x?a)?a]

?f[a?(?x?a)]?f(x)

?f(x)為周期函數(shù)，且T?2(b?a)為一個(gè)周期

點(diǎn)評(píng)：（1）若題目中沒(méi)有指出T=2(b—a)是f(x)的一個(gè)周期，可以作草圖分析，猜測(cè)出T是該函數(shù)周期，再去證明。如圖。

y 0 x a b b?a 2

（2）由本題可知f(x)，x∈R，若f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸，則f(x)為周期函數(shù)，周期為兩條對(duì)稱軸距離的2倍。

思考：若f(x)是偶函數(shù)且有一條對(duì)稱軸x=a，那么f(x)是周期函數(shù)嗎？若是，周期為何？

例4.（1）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是________（奇、偶）函數(shù)；f(0)=____________。

（2）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，則f(x)是___________（奇、偶）函數(shù)；f(1)=__________。

解析：（1）令x?y?0

?f(0?0)?f(0)?f(0)

令y??x

?f(?x)??f(x)

（2）令x?y??f(1?1)?f(1)?f(1)?f(0)?0

?f(0)?f(x)?f(?x)?0

?f(x)為奇函數(shù)

?f(1)?0

f(x?x)?f[(?x)(?x)]?f(?x)?f(?x)?2f(?x)

又f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x)

?f(?x)?f(x)?f(x)為偶函數(shù)

2x?1的圖象，并根據(jù)圖象回答函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，值域。x?1

例5.作出函數(shù)y?

解：?x??1

?函數(shù)定義域?yàn)???，?1)?(?1，??)

由y?2x?12(x?1)?11??2?x?1x?1x?1

?圖象為中心O'(?1，2)的雙曲線

直線x??1，y?2是雙曲線的兩條漸近線

區(qū)間(??，?1)，(?1，??)分別為函數(shù)的增區(qū)間；值域?yàn)閧y|y?R，且y?2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函數(shù)y?log4(1?2x?x)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可得到y(tǒng)?log2|x|的

2圖象？

（2）將函數(shù)y?log1x的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位，得圖象C。圖象C'與2C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，圖象C''與C'關(guān)于直線y?x對(duì)稱，求C''對(duì)應(yīng)的解析式。

左平移1個(gè)單位22（1）?y?log(1?2x?x)?log(x?1)?log|x?1|????????? 4

42解：|?log|2x?1)?12x|

y?log|(2?將函數(shù)y?log(1?2x?x)的圖象向左平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y?log2|x| 4的圖象

沿x軸向右平移1個(gè)單位（2）y?log1x圖象????????????

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C：y?log1(x?1)圖象????????

關(guān)于直線y?x對(duì)稱C'：y??log(?x?1)圖象??????????1

1?xxC''：x??log(?y?1)，即y??()?1??2?1122

32設(shè)f(x)?ax?bx?cx?d的圖象如圖，則b屬于（例7.）

A.(??，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，??)

y 0 1 2 x

?f(0)?0?d?0??由圖象得?f(1)?0??a?b?c?0?f(2)?0?8a?4b?2c?0??

解析一：

b2解得a??，c??b，d?03b2b?f(x)??x3?bx2?bx??x(x?1)(x?2)333

圖象可知x?0時(shí)，f(x)?0

又x?1?0，x?2?0

故選A

解析二：由圖象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三個(gè)實(shí)根，設(shè)f(x)=ax(x—1)(x—2)

當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?0

?a?0??b?03?b?0?f(x)?ax3?3ax2?2ax

32又?f(x)?ax?bx?cx?d

?b??3a?0 ?選A

21關(guān)于函數(shù)f(x)?sin2x?()|x|?，有下面四個(gè)結(jié)論：32

例8.（1）f(x)是奇函數(shù)；

（2）當(dāng)x>2003時(shí)，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正確結(jié)論的是___________。

212（1）?f(x)?sinx?()|x|?32

解析：

顯然f(?x)??f(x)?（1）錯(cuò)（是偶函數(shù)）

2（2）當(dāng)x?2003時(shí)，?()|x|?0?3

而sinx?[?1，1]

2當(dāng)sin2x?0時(shí)，f(x)?（3）如果f(x)?12?（2）錯(cuò)

32，則sin2x?()|x|?123

22?sinx?1?()|x|，顯然“?”不成立3

?（3）錯(cuò)

2（4）當(dāng)x?0時(shí)，sin2x?0最小，且?()|x|??13

11?f(x)?0?1???22

1?最小值為??（4）對(duì)2

綜上，只有（4）正確

例9.某工廠有一段舊墻長(zhǎng)14m，現(xiàn)利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m2

a的廠房，工程條件是（1）建1m新墻的費(fèi)用為a元；（2）修1m舊墻費(fèi)用是4元；（3）拆去1ma舊墻，用所得的材料建1m新墻的費(fèi)用為2元。經(jīng)討論有兩種方案：（1）利用舊墻的一段xm（x<14）為矩形廠房一面的邊長(zhǎng)；（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x≥14，問(wèn)如何利用舊墻，即x為多少米時(shí)，建墻費(fèi)用最省？（1）（2）兩種方案哪個(gè)更好？

分析：利用舊墻為一面矩形邊長(zhǎng)為xm，則矩形的另一面邊長(zhǎng)為126m。x

解：（1）利用舊墻的一段xm（x?14）為矩形一面邊長(zhǎng)，則修舊墻的費(fèi)用為 aa元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費(fèi)用為(14?x)?元，其余新墻的費(fèi)用422?126為(2x??14)?a元，故總費(fèi)用為x x14?x2?126x36y??a??a?(2x??14)a?7a(??1)（0?x?14）42x4x

x?

?y?7a[2當(dāng)且僅當(dāng)x36??1]?35a4x

x36?，即x?12m時(shí)，ymin?35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用舊墻的一面矩形邊長(zhǎng)x?14，則修舊墻的費(fèi)用為?14?a元，42

2?126建新墻的費(fèi)用為(2x??14)a元，故總費(fèi)用為x

72?1267126y?a?(2x??14)a?a?2a(x??7)（x?14）2x2x

x 14

設(shè)14?x1?x2，則(x1?xx?126126126)?(x2?)?(x1?x2)12x1x2x1x2

?14?x1?x2

?x1?x2?0，x1x2?126

126在[14，??)上為增函數(shù)x

7126?x?14時(shí)，ymin?a?2a(14??7)?355.a214

?y?x?

綜上，采用方案（1）利用12m舊墻為矩形的一面邊長(zhǎng)時(shí)，建墻總費(fèi)用最省，為35a元。

【模擬試題】

一.選擇題：

1.二次函數(shù)f(x)滿足f(2?x)?f(2?x)，又f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，且f(a)?f(0)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a?0

B.a?0 D.a?0或a?4

C.0?a?4

2.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x?(0，??)時(shí)為增函數(shù)，且f(1)=0，則不等式f(x?1)?0的解集為（）

A.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1)?（0，1）

B.(??，0)?(1，2)

D.(?1，0)?(0，1)

x

3.將函數(shù)y=f(x)的圖象向左、向下分別平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=2的圖象，則（）

A.f(x)?2x?2?2

xB.f(x)?2x?2?2

x?2f(x)?2?

2C.x?2f(x)?2?2 D.4.已知函數(shù)f(x)的圖象與g(x)?2?1的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，則f(x)=（）

A.?2?3 x

1?()x?32B.1()x?1D.2

C.2?1 x

?1x?()（x?0）f(x)??2??x2（x?0）?

5.已知函數(shù)，給出代號(hào)為a,b,c的三個(gè)圖象，再給出序號(hào)為1，2，3的三個(gè)函數(shù)，那么圖象與函數(shù)能建立對(duì)應(yīng)關(guān)系的是（用序號(hào)和代數(shù)表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a?2

B.a?

1C.a?2

D.a?3

b?1b?2c?3 c?3

b?3b?2c?1 c?1

6.已知某林場(chǎng)森林積蓄量每年平均比上一年增長(zhǎng)10.4%，經(jīng)過(guò)x年可增長(zhǎng)到原來(lái)的y倍，則函數(shù)y?f(x)圖象大致為（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空題：

7.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x?3)?f(x?3)，則f(3)?f(6)=____。

8.設(shè)定義在R上的函數(shù)y=f(x)，在（0，2）上是減函數(shù)，且y?f(x?2)為偶函數(shù)，則51f(3)，f()，f()22的大小順序?yàn)開(kāi)___________。

9.函數(shù)y?f(|x?3|)的圖象關(guān)于_____________對(duì)稱。

10.建一個(gè)容積為8000m，深6m的長(zhǎng)方體蓄水池（無(wú)蓋），池壁造價(jià)為a元/m2，池底造價(jià)為2a元/m2，把總造價(jià)y元表示為底的一邊長(zhǎng)xm的函數(shù)，其解析式為_(kāi)__________，定義域?yàn)?___________，底邊長(zhǎng)為_(kāi)_______m時(shí)，總造價(jià)最低是___________元。

三.解答題：

11.如圖，A、B、C、D為四個(gè)村莊，恰好座落在邊長(zhǎng)為2km的正方形頂點(diǎn)上，現(xiàn)修公路網(wǎng)，它由一條中心路和4條支路組成，要求四條支路長(zhǎng)度相等。

（1）若道路網(wǎng)的總長(zhǎng)不超過(guò)5.5km，試求中心路長(zhǎng)的取值范圍；

（2）問(wèn)中心路長(zhǎng)為何值時(shí)，道路網(wǎng)的總長(zhǎng)度最短。

A B 中 心 路 C D

【試題答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（?f(x)是R上的奇函數(shù)

令x?3

令x?0

?f(3)?0）

?f(0)?0

?f(6)?f(0)?0 f(3)?f(?3)??f(3)

15f()?f(3)?f()22

8.9.x?3

10.y?12a(x?80008000208000)?a，x?(0，??)，x?3，16030a?a6x333

11.設(shè)中心路長(zhǎng)為2x km

22（1）則2x?41?(1?x)?55.?48x?40x?7?0

?17?x?412

222

（2）y?2x?41?(1?x)?(平方)12x?(4y?32)x?32?y?0

?x?(0，??)又y?0

???0?y?3?23317?[，]??3412 ymin?3?23，此時(shí)x?1?

第四篇：函數(shù)的周期性教案（最終版）

函數(shù)的周期性

定義：對(duì)于函數(shù)y?f?x?，若存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使x取定義域中任意一個(gè)值時(shí)，有f?x?T??f?x?，則稱y?f?x?為周期函數(shù)，常數(shù)T為函數(shù)的周期.在所有T的取值中，若存在一個(gè)最小的正數(shù)t，則稱t為函數(shù)的最小正周期.（在題目中若沒(méi)有特殊強(qiáng)調(diào)，則周期均值最小正周期.）性質(zhì)：

1.圖像重復(fù)出現(xiàn)，且在對(duì)應(yīng)的周期區(qū)間中，增減性，最值相同；

2.若f?x??f?x?a?，則T?a；

若f?x?a??f?x?a?，則T?2a；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b； 例題：

已知f?x?2??f?x?2?且f??1??2，則f?11??________； 函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)，且f?x?2??f?x?，則f?6??_______；

函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)且T?4，且x??4,6?時(shí)，f?x??2?x2，則f??1??______；

已知函數(shù)f?x?周期為3，且在x???2,0?為增函數(shù)，則在區(qū)間?4,6?上為_(kāi)____（填增，減）； 函數(shù)f?x?為R上的偶函數(shù)且T?2，在區(qū)間??1,0?遞減，則在區(qū)間?2,3?上為_(kāi)____；

函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)，且f?x?2???f?x?，x??0,1?時(shí)，f?x??x，則f?7.5??__； 函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)，且f?x?2???

1，x??2,3?時(shí)，f?x??x，則f?105.5??__； f?x?

第五篇：高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，假設(shè)有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于任意一個(gè)x都有唯一確定的一個(gè)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量，x的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，相應(yīng)y的取值范圍叫做函數(shù)的值域。下面小編給大家分享一些高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)一、一次函數(shù)定義與定義式：

自變量x和因變量y有如下關(guān)系：

y=kx+b

則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正比例函數(shù)。

即：y=kx(k為常數(shù)，k≠0)

二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b(k為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù))

2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。

三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

1.作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟

(1)列表;

(2)描點(diǎn);

(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn))

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。

3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：

當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大;

當(dāng)k<0時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。

當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限;

當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)

當(dāng)b<0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。

特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。

這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限;當(dāng)k<0時(shí)，直線只通過(guò)二、四象限。

四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

已知點(diǎn)A(x1，y1);B(x2，y2)，請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表達(dá)式。

(1)設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式y(tǒng)=kx+b。所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解這個(gè)二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。

五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：

1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長(zhǎng)：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根號(hào)下(x1-x2)與(y1-y2)的平方和)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)2

二次函數(shù)

I.定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：

y=ax’2+bx+c

(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)

則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)’2+k[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]

交點(diǎn)式：y=a(x-x?)(x-x?)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a

III.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x’2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線

x=-b/2a。

對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為

P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ=b’2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。

|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

Δ=b’2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b’2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

Δ=b’2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x=-b±√b’2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a)

V.二次函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax’2+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax’2+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)3

反比例函數(shù)

形如y=k/x(k為常數(shù)且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)。

反比例函數(shù)圖像性質(zhì)：

反比例函數(shù)的圖像為雙曲線。

由于反比例函數(shù)屬于奇函數(shù)，有f(-x)=-f(x),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

另外，從反比例函數(shù)的解析式可以得出，在反比例函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，向兩個(gè)坐標(biāo)軸作垂線，這點(diǎn)、兩個(gè)垂足及原點(diǎn)所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負(fù)(2和-2)時(shí)的函數(shù)圖像。

當(dāng)K>0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)一，三象限，是減函數(shù)

當(dāng)K<0時(shí)，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)二，四象限，是增函數(shù)

反比例函數(shù)圖像只能無(wú)限趨向于坐標(biāo)軸，無(wú)法和坐標(biāo)軸相交。

知識(shí)點(diǎn)：

1.過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線段，這兩條垂線段與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對(duì)于雙曲線y=k/x，若在分母上加減任意一個(gè)實(shí)數(shù)(即y=k/(x±m(xù))m為常數(shù))，就相當(dāng)于將雙曲線圖象向左或右平移一個(gè)單位。(加一個(gè)數(shù)時(shí)向左平移，減一個(gè)數(shù)時(shí)向右平移)

對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。

右圖給出對(duì)于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：

可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過(guò)的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。

(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)槿繉?shí)數(shù)集合。

(3)函數(shù)總是通過(guò)(1，0)這點(diǎn)。

(4)a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸;a小于1大于0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

(5)顯然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)