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      函數(shù)的周期性教案1解讀

      時間:2019-05-12 23:33:49下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《函數(shù)的周期性教案1解讀》,但愿對你工作學(xué)習(xí)有幫助,當(dāng)然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《函數(shù)的周期性教案1解讀》。

      第一篇:函數(shù)的周期性教案1解讀

      函數(shù)的周期性教案1

      教學(xué)目標(biāo)

      1.使學(xué)生理解函數(shù)周期性的概念,并運用它來判斷一些簡單、常見的三角函數(shù)的周期性.

      2.使學(xué)生掌握簡單三角函數(shù)的周期的求法.

      3.培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)定義進(jìn)行推理的邏輯思維能力,提高學(xué)生的判斷能力和論證能力.

      教學(xué)重點與難點

      函數(shù)周期性的概念.

      教學(xué)過程設(shè)計

      師:上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象.今天我們將利用正弦函數(shù)圖象,研究三角函數(shù)的一個重要性質(zhì).請同學(xué)們觀察y=sinx,x∈R的圖象:

      (老師把圖畫在黑板左上方.)

      師:通過觀察,同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)?

      生:正弦函數(shù)的定義域是全體實數(shù),值域是[-1,1].圖象有規(guī)律地不斷重復(fù)出現(xiàn).

      師:規(guī)律是什么?

      生:當(dāng)自變量每隔2π時,函數(shù)值都相等.

      師:正弦函數(shù)的這種性質(zhì)叫周期性.我們將會發(fā)現(xiàn),不但正弦函數(shù)具有這種性質(zhì),其它的三角函數(shù)和不少的函數(shù)也都具有這樣的性質(zhì),因此我們就把它作為今天研究的課題:函數(shù)的周期性.(老師在黑板左上方寫出課題)

      師:我們先看函數(shù)周期性的定義.(老師板書)

      定義 對于函數(shù) y=f(x),如果存在一個不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù),不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

      師:請同學(xué)們逐字逐句的閱讀定義,找出定義中的要點.

      生:首先T是非零常數(shù),第二是自變量x取定義域內(nèi)的每一個值時都有f(x+T)=f(x).

      師:找得準(zhǔn)!那么為什么要這樣規(guī)定呢?

      師:如果T=0,那么f(x+T)=f(x)恒成立,函數(shù)值當(dāng)然不變,沒有研究價值;如果T為變數(shù),就失去了“周期”的意義了.“每一個值”的含義是無一例外.

      師:除這兩條外,定義中還有一個隱含的條件是什么?

      生:如果x屬于y=f(x)的定義域,則T+x也應(yīng)屬于此定義域.

      師;對.否則f(x+T)就沒有意義.

      師:函數(shù)周期性的定義有什么用途?

      生:它為我們提供判定函數(shù)是否具有周期性的理論依據(jù).

      師:下面我們看例題.

      (老師板書)

      例1 證明 y=sinx是周期函數(shù).

      生:因為由誘導(dǎo)公式有sin(x+2π)=sinx,所以2π是y=sinx是一個周期.故它就是周期函數(shù).

      師:要想判斷T是不是函數(shù)y=f(x)的周期有什么方法?我們現(xiàn)有的理論依據(jù)只有定義,如何使用定義?

      y=sinx的周期.

      義域內(nèi)的每一個x,都有f(x+T)=f(x),而不是有(存在著)某一個x,使f(x+T)=f(x)

      乙是正確的.

      師:分析得好!同學(xué)對概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該做到真正能弄清每句話的含義,而不能只停留在字面的意思讀懂了.這樣才可能透徹地理解概念,為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ).

      例3 已知 f(x+T)=f(x)(T≠0),求證f(x+2T)=f(x).

      師:此題用文字如何敘述?誰能給予證明?

      生:若不等于零的常數(shù)T是f(x)的一個周期,證明2T仍是f(x)的周期.

      因為T是f(x)的周期,所以f(x+T)=f(x),f[(x+T)+T]=f(x+T),即f(x+2T)=f(x).

      因此2T是f(x)的周期.

      師:這個命題推廣可得到什么結(jié)論?

      生:如果T是f(x)的周期,那么2T,3T,?,nT(n∈Z)也都是f(x)的周期.

      師:這說明如果一個函數(shù)是周期函數(shù),所有的周期就構(gòu)成一個無窮集合.這無數(shù)個周期中我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期.這是為什么?

      生甲:如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)存在最小正周期,就可以確定這個函數(shù)的所有周期.

      生乙:更具有實用性.如果找到最小正周期,就可以在其定義域的一個長度為最小正周期的范圍內(nèi)對函數(shù)進(jìn)行研究.

      師:這位同學(xué)思考問題有一定的深刻性.他不但弄清最小正周期的實質(zhì),還進(jìn)一步想到我們研究函數(shù)周期性的目的,那就是要研究一個周期函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì),只要研究它在一個周期內(nèi)的性質(zhì),然后經(jīng)過周期延拓即可.如果能夠確定最小正周期,可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內(nèi).這無疑給我們研究周期函數(shù)的性質(zhì)帶來方便.

      (老師在函數(shù)的周期性定義下板書)

      如果在所有的周期中存在著一個最小正周期,就把它叫做最小正周期.

      例4 證明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π.

      師:例1證明了y=sinx是周期函數(shù),并且找到了一個周期T=2π.例2我們證明

      命題,只要證明什么?

      生:只要證明任何比2π小的正數(shù)都不是它的周期.

      師:如何證?能否逐一證明比2π小的正數(shù)都不行呢?當(dāng)然不行.因為比2π小的正數(shù)是無限的.那這樣的命題應(yīng)如何證?

      生:反證法.假設(shè)存在 T∈(0,2π)使得 y=sinx對于任意的x∈R都成立.推出矛盾即可.

      師:你能具體的給予證明嗎?

      生:假設(shè)T是y=sinx,x∈R的最小正周期,且0<T<2π,那么根據(jù)周期函數(shù)的定義,當(dāng)x為任意值時都有

      sin(x+T)=sinx.

      cosT=1.

      這與 T∈(0,2π)時,cosT<1矛盾.這個矛盾證明了 y=sinx,x∈R的最小正周期是2π.

      師:請同學(xué)們在課堂練習(xí)本上證明y=cosx的最小正周期是2π.

      師:通過上面的例題和練習(xí)我們得出這樣的結(jié)論,正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)和余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)都是周期函數(shù),2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.

      例5 求y=3cosx的周期.

      師:以后求周期如果沒有特殊要求,都求的是最小正周期

      生:因為y=cosx的周期是2π,所以 y=3cosx的周期也是2π.

      師:好.好在他能利用我們總結(jié)出的結(jié)論,也就是新知識歸結(jié)到舊知識上去.你能再具體的證明嗎?

      生:可以從數(shù)和形兩個角度來證明.

      解(一)因為對一切 x∈R,3cos(x+2π)=3cosx,所以 y=3cosx的周期是2π.

      解(二)因為y=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)擴(kuò)大3倍得到的,當(dāng)自變量x(x∈R)增加到x+2π且必須增加到x+2π時,函數(shù)cosx的值才重復(fù)出現(xiàn),因而函數(shù)3cosx的值也才重復(fù)出現(xiàn),因此y=3cosx的周期是2π.

      師:數(shù)和形是我們研究數(shù)學(xué)問題的兩個方面,他都想到了,并且能完整的敘述清楚,若把此題推廣,能得到什么結(jié)論?

      生:y=Asinx,x=Acosx(A≠0,是常數(shù))的周期都是2π,也就是說函數(shù)周期的變化與系數(shù)A無關(guān).

      例6 求y=sin2x的周期.

      (請不同解法的三位同學(xué)在黑板上板演)

      生甲:

      解 因為y=sin(2x+2π)=sin2x,對于任意x∈R都成立.所以y=sin2x的周期是2π.

      生乙:

      解 因為 y=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin2x,所以 y=sin2x的周期是π.

      生?。?/p>

      解 設(shè)2x=u,因為y=sinu的周期是2π,所以

      y=sin(u+2π)=sinu,即

      sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin2x,所以 y=sin2x的周期是π.

      師:我們一起來分析三個同學(xué)的解法.解法一是錯誤的,錯誤在對于周期函數(shù)定義中任意x都有f(x+T)=f(x)的本質(zhì)沒弄清楚,要證明y=sin2x是周期函數(shù),應(yīng)證明對于任意x∈R,都有y=sin2x=sin2(x+T),而不是y=sin2x=sin(2x+T).解法(二),(三)是正確的.區(qū)別在于解法(三)經(jīng)過換元,把要研究的新問題y=sin2x的周期轉(zhuǎn)化為已有的舊知識y=sinu的周期.這種轉(zhuǎn)換的意識、換元的思想是很重要的.

      師:其實這個問題也可以從圖象的變換來考慮.我們先看如何由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=sin2x的圖象.使y=sinx的圖象上的每點的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)是該點橫坐標(biāo)的出現(xiàn),所以 y=sin2x的周期是π.

      師:通過這個例題我們看到,誰對函數(shù)的周期有影響?是x的系數(shù).有怎樣的影響?帶著這個問題同學(xué)們做下面的題目.

      y=2sin(u+2π)=2sinu,又因為

      所以

      師:通過這個例題,進(jìn)一步驗證了我們的猜想,函數(shù)的周期的變化僅與自變量x的系數(shù)有關(guān).我們把例7寫成一般式.

      >0,x∈R)

      sin(u+2π)=sinu,即

      師:這樣就證明了我們的猜想,不但函數(shù)的周期僅與自變量的系數(shù)有關(guān)系,而且

      (老師板書)

      師:以后再求正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的周期,可由上面的結(jié)論直接寫出它的周期.

      師:(總結(jié))通過今天的課,同學(xué)們應(yīng)明確以下幾個問題.

      (一)研究函數(shù)周期的意義是什么?

      周期函數(shù)是反映現(xiàn)實世界中具有周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.如果能找到函數(shù)的最小正周期T,那么只要在以T為長度的區(qū)間內(nèi),就可以研究函數(shù)的圖象與性質(zhì),然后推斷出函數(shù)在整個定義域的圖象和性質(zhì).這給我們研究函數(shù)帶來了方便.

      (二)對于函數(shù)周期的定義應(yīng)注意:

      1.f(x+T)=f(x)是反映周期函數(shù)本質(zhì)屬性的條件.對于任意常數(shù)T(T≠0),如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個x,使f(x+T)=f(x)不成立,我們就斷言y=f(x)不是周期函數(shù).對于某個確定的常數(shù)T≠0,如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個x,使f(x+T)=f(x)不成立.我們能斷言T不是函數(shù)y=f(x)的周期,但不能說明y=f(x)不是周期函數(shù).

      2.定義中的“每一個值”是關(guān)鍵詞.

      此函數(shù)對于任意確定的常數(shù)T≠0,盡管f(x+T)=f(x)對函數(shù)定義域(-∞,+∞)中幾乎所有x都成立.但僅僅由于x的個別值x=0,x=-T時,等式不成立.因此函數(shù)f(x)不是周期函數(shù).

      (三)周期函數(shù)的周期與最小正周期的區(qū)別與聯(lián)系.

      1.周期函數(shù)的周期一定存在,但最小正周期不一定存在,最小正周期如果存在必定唯一.周期函數(shù)的周期有無數(shù)個.

      如:f(x)=c(常數(shù)),任意非零實數(shù)都是它的周期,但由于不存在不等于零的最小正實數(shù),所以f(x)=c沒有最小正周期.這個例子也同時說明不是只有三角函數(shù)才具有周期性.

      2.周期函數(shù)的最小正周期一定是這個函數(shù)的周期,反之不然.

      例如,2π是 y=sinx的最小正周期,也是函數(shù)的周期;4π是函數(shù)的周期,但不是最小正周期.

      作業(yè):課本P178第6題,P132第4題.

      課堂教學(xué)設(shè)計說明

      此教學(xué)方案是按照“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體,課本為主線” 的原則而設(shè)計的.教師的主導(dǎo)作用在于激發(fā)學(xué)生的求知欲,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探索的情境,指引探索的途徑,引導(dǎo)學(xué)生不斷地提出新問題,解決新問題.

      函數(shù)周期性概念的教學(xué)是本節(jié)課的重點.概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要內(nèi)容,不能因其易而輕視,也不能因其難而回避.概念教學(xué)應(yīng)面向全體學(xué)生,但由于函數(shù)的周期的概念比較抽象,所以學(xué)生對它的認(rèn)識不可能一下子就十分深刻.因此,進(jìn)行概念教學(xué)時,除了逐字逐句分析,還要通過不同的例題,讓學(xué)生暴露出問題,通過老師的引導(dǎo),使學(xué)生對概念的理解逐步深入.

      第二篇:函數(shù)的周期性教案(最終版)

      函數(shù)的周期性

      定義:對于函數(shù)y?f?x?,若存在一個不為零的常數(shù)T,使x取定義域中任意一個值時,有f?x?T??f?x?,則稱y?f?x?為周期函數(shù),常數(shù)T為函數(shù)的周期.在所有T的取值中,若存在一個最小的正數(shù)t,則稱t為函數(shù)的最小正周期.(在題目中若沒有特殊強調(diào),則周期均值最小正周期.)性質(zhì):

      1.圖像重復(fù)出現(xiàn),且在對應(yīng)的周期區(qū)間中,增減性,最值相同;

      2.若f?x??f?x?a?,則T?a;

      若f?x?a??f?x?a?,則T?2a;

      若f?x?a??f?x?b?,則T?a?b;

      若f?x?a??f?x?b?,則T?a?b; 例題:

      已知f?x?2??f?x?2?且f??1??2,則f?11??________; 函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù),且f?x?2??f?x?,則f?6??_______;

      函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)且T?4,且x??4,6?時,f?x??2?x2,則f??1??______;

      已知函數(shù)f?x?周期為3,且在x???2,0?為增函數(shù),則在區(qū)間?4,6?上為_____(填增,減); 函數(shù)f?x?為R上的偶函數(shù)且T?2,在區(qū)間??1,0?遞減,則在區(qū)間?2,3?上為_____;

      函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù),且f?x?2???f?x?,x??0,1?時,f?x??x,則f?7.5??__; 函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù),且f?x?2???

      1,x??2,3?時,f?x??x,則f?105.5??__; f?x?

      第三篇:函數(shù)的對稱性和周期性復(fù)習(xí)教案

      函數(shù)的對稱性和周期性

      株洲家教:***

      函數(shù)的對稱性和周期性

      一.明確復(fù)習(xí)目標(biāo)

      1.理解函數(shù)周期性的概念,會用定義判定函數(shù)的周期;

      2.理解函數(shù)的周期性與圖象的對稱性之間的關(guān)系,會運用函數(shù)的周期性處理一些簡單問題。3.掌握常見的函數(shù)對稱問題

      二、建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

      一、兩個函數(shù)的圖象對稱性

      y?f(x)與y??f(x)關(guān)于x軸對稱。

      換種說法:y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)??g(x),即它們關(guān)于y?0對稱。

      2、y?f(x)與y?f(?x)關(guān)于Y軸對稱。

      換種說法:y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(?x),即它們關(guān)于x?0對稱。

      1、y?f(x)與y?f(2a?x)關(guān)于直線x?a對稱。

      換種說法:y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x),即它們關(guān)于x?a對稱。

      4、y?f(x)與y?2a?f(x)關(guān)于直線y?a對稱。

      換種說法:y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(x)?2a,即它們關(guān)于y?a對稱。

      5、y?f(x)與y?2b?f(2a?x)關(guān)于點(a,b)對稱。

      換種說法:y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)?2b,即它們關(guān)于點(a,b)對稱。

      a?b6、y?f(a?x)與y?(x?b)關(guān)于直線x?對稱。

      23、二、單個函數(shù)的對稱性 性質(zhì)1:函數(shù)證明:在函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)時,函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于直線x?y?f(x)上任取一點(x1,y1),則y1?f(x1),點(x1,y1)關(guān)于直線

      a?b對稱。2x?a?b的對稱點(a?b?x1,y1),當(dāng)x?a?b?x1時 2f(a?b?x1)?f[a?(b?x1)]?f[b?(b?x1)]?f(x1)?y1

      y?f(x)圖象上。故點(a?b?x1,y1)也在函數(shù)由于點(x1,y1)是圖象上任意一點,因此,函數(shù)的圖象關(guān)于直線x?(注:特別地,a=b=0時,該函數(shù)為偶函數(shù)。)

      性質(zhì)2:函數(shù)證明:在函數(shù)(a?b對稱。2a?bc,)對稱。22y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)?c時,函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于點(y?f(x)上任取一點(x1,y1),則y1?f(x1),點(x1,y1)關(guān)于點

      a?bc,)的對稱點(a?b?x1,c-y1),當(dāng)x?a?b?x1時,22f(a?b?x1)?c?f[b?(b?x1)]?c?f(x1)?c?y1 即點(a?b?x1,c-y1)在函數(shù)y?f(x)的圖象上。

      由于點(x1,y1)為函數(shù)函數(shù)y?f(x)圖象上的任意一點可知

      a?bc,)對稱。(注:當(dāng)a=b=c=0時,函數(shù)為奇函數(shù)。)22b?a性質(zhì)3:函數(shù)y?f(a?x)的圖象與y?f(b?x)的圖象關(guān)于直線x?對稱。

      2y?f(x)的圖象關(guān)于點(證明:在函數(shù)y1)。y?f(a?x)上任取一點(x1,y1),則y1?f(a?x1),點(x1,y1)關(guān)于直線x?b?a對稱點(b?a?x1,2f[b?(b?a?x1)]?f[b?b?a?x1]?f(a?x1)?y1 故點(b?a?x1,y1)在函數(shù)y?f(b?x)上。由于

      函數(shù)的對稱性和周期性

      株洲家教:*** 由點(x1,y1)是函數(shù)因此y?f(a?x)圖象上任一點

      y?f(a?x)與y?f(b?x)關(guān)于直線x?b?a對稱。

      2三、周期性

      1、一般地,對于函數(shù)么函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x?T)?f(x),那f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。說明:周期函數(shù)定義域必是無界的。

      推廣:若f(x?a)?f(x?b),則f(x)是周期函數(shù),b?a是它的一個周期

      ?0,k?Z)也是周期,所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小2.若T是周期,則kT(k正周期。

      說明:周期函數(shù)并非都有最小正周期。如常函數(shù)

      3、對于非零常數(shù)證明:

      f(x)?C;

      A,若函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)??f(x),則函數(shù)y?f(x)必有一個周期為2A。

      f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x)∴函數(shù)y?f(x)的一個周期為2A。

      14、對于非零常數(shù)A,函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)?,則函數(shù)y?f(x)的一個周期為2A。

      f(x)證明:f(x?2A)?f(x?A?A)?1?f(x)。

      f(x?A)1,則函數(shù)y?f(x)的一個周期為2A。f(x)

      5、對于非零常數(shù)A,函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)??證明:f(x?2A)?f(x?A?A)??A,函數(shù)y?f(x)滿足

      6、對于非零常數(shù)

      1?f(x)。

      f(x?A)A1?f(x)A1?f(x)f(x?)?或f(x?)?21?f(x)21?f(x)則函數(shù)

      y?f(x)的一個周期為2A。

      證明:先看第一個關(guān)系式

      3A)3AAf(x?2A)?f(x? ?)?3A221?f(x?)2A1?1?f(x?A)1?f(x?A?)1?f(x?A)2????f(x?A)A1?f(x?A)1?f(x?A?)1?21?f(x?A)f(x?2A)??f(x?A)f(x?A)?f(x)?f(x)?f(x?2A)

      1?f(x?第二個式子與第一的證明方法相同

      f(x)的定義域為N,且對任意正整數(shù)x

      都有f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)則函數(shù)的一個周期為6a 證明:f(x)?f(x?a)?f(x?a)

      (1)

      f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

      (2)兩式相加得:f(x?a)??f(x?2a)

      f(x)??f(x?3a)?f(x?6a)

      四、對稱性和周期性之間的聯(lián)系

      7、已知函數(shù)性質(zhì)1:函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x),f(b?x)?f(b?x)(a?b),求證:函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù)。

      函數(shù)的對稱性和周期性

      株洲家教:***

      f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x)

      f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x)∴f(2a?x)?f(2b?x)∴f(x)?f(2b?2a?x)

      ∴函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù),且2b?2a是一個周期。

      性質(zhì)2:函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)時,函數(shù)y?f(x)是周期函證明:∵數(shù)。(函數(shù)y?f(x)圖象有兩個對稱中心(a,cc)、(b,)時,函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù),且對稱中心距離的兩倍,22是函數(shù)的一個周期)

      證明:由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c)?f(b?x)??cf(x)?f(2b?x)? c

      f(b?x

      得f(2a?x)?f(2b?x)

      得f(x)?f(2b?2a?x)

      ∴函數(shù)y?f(x)是以2b?2a為周期的函數(shù)。性質(zhì)3:函數(shù)y?f(x)有一個對稱中心(a,c)和一個對稱軸x?b(a≠b)時,該函數(shù)也是周期函數(shù),且一個周期是4(b?a)。

      f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c

      f(b?x)?f(b?x)?f(x)?f(2b?x)

      f(4(b?a)?x)?f(2b?(4a?2b?x))

      f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?2a?x))?2c?f(2b?2a?x)

      ?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a?x)

      ?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x)?f(x)

      推論:若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x?a和點(b,0)(a?b)對稱,則f(x)是周期函數(shù),4(b?a)是證明:它的一個周期

      證明:由已知f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期為4(b?a).舉例:y?sinx等.性質(zhì)4:若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足:f(x?a)?f(x?a),則2a為函數(shù)f(x)的周期。(若f(x)滿足f(x?a)?f(x?a)則f(x)的圖象以x?a為圖象的對稱軸,應(yīng)注意二者的區(qū)別)證明:?f(x?a)?f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

      性質(zhì)5:已知函數(shù)y?f?x?對任意實數(shù)x,都有f?a?x??f?x??b,則y?f?x?是以

      2a為周期的函數(shù) 證明:f(a?x)?b?f(x)

      f(x?2a)?f((x?a)?a)?b?f(x?a)?b?(b?f(x))?f(x)

      五、典型例題

      例1(2005·福建理)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),且f(2)?0,則方程f(x)?0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是()A.2

      B.3 解:

      C.4

      D.5)f(x)是R上的奇函數(shù),則f(0?)0,由f(x?3?f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0

      ∴f(4)?0 ∴x=1,2,3,4,5時,f(x)?0

      這是答案中的五個解。

      ?但是

      f(?1?5)?f(f(x得)f(3)?0,f(2)?0?f(5)?0

      1?5?3)?f(1 ?)?f?(1 5)f(1?5)?0 又

      f(?1?5?知?5)?f(1?5?3?)f(? 4而

      0?f(1知 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立,可知:在(0,6)內(nèi)的解的個數(shù)的最小值為7。例3 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x?2)??f(x),則f(6)的值為()(A)-1

      (B)0

      (C)

      (D)2

      函數(shù)的對稱性和周期性

      株洲家教:*** 解:因為所以所以f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

      f(0)?0,又f(x?4)??f(x?2)?f(x),故函數(shù),f(x)的周期為4 f(6)?f(2)??f(0)?0,選B

      f(x)滿足f(x?2)??f(x),且x?(0,1)時,f(x)?2x,則f(log118)的值為。

      2例4.已知奇函數(shù)解:?f(x?2)??f(x)?f?x???f(x?2)?f(x?4)

      89f(log118)?f(?log218)?f(4?log218)?f(log2)?f(?log2)

      9829log299??f(log2)??28??

      88例5 已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)x?(0,1)時,f(x)?x?1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

      解法1:

      從解析式入手,由奇偶性結(jié)合周期性,將要求區(qū)間上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上

      ∵x?(1,2), 則?x?(?2,?1)

      ∴2?x?(0,1), ∵ T?2,是偶函數(shù)

      ∴ f(x)?f(?x)?f(2?x)?2?x?1?3?x

      x?(1,2)

      解法2:

      f(x)?f(x?2)

      如圖:x?(0,1), f(x)?x?1.∵是偶函數(shù) ∴x?(?1,0)時f(x)?f(?x)??x?1

      又周期為2,x?(1,2)時x?2?(?1,0)∴f(x)?f(x?2)??(x?2)?1?3?x

      例6 f(x)的定義域是R,且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008(從圖象入手也可解決,且較直觀)求 f(2008)的值。

      f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1???f(x?8)解:f(x)?f(x?2)?1f(x?4)?1?1f(x?4)f(x?4)?1周期為8,?f(2008)?f(0)?2008

      1例7 函數(shù)f?x?對于任意實數(shù)x滿足條件f?x?2??,若f?1???5,則f?f?5???

      f?x?_______________。解:由f?x?2??1f?x?得

      f?x?4??1?f(x)f?x?2?,所以

      f(5)?f(1)??5,則

      11??

      f(?1?2)5例8 若函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù),且在??1,0?上是增函數(shù),且f(x?2)??f(x).①求f(x)的周期;

      ②證明f(x)的圖象關(guān)于點(2k,0)中心對稱;關(guān)于直線x?2k?1軸對稱,(k?Z);③討論f(x)在(1,2)上的單調(diào)性; f?f?5???f(?5)?f(?1)?

      解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4),故周期T?4.②設(shè)P(x,y)是圖象上任意一點,則y?f(x),且P關(guān)于點(2k,0)對稱的點為P1(4k?x,?y).P關(guān)于直線x?2k?1對稱的點為P2(4k?2?x,y)

      函數(shù)的對稱性和周期性

      株洲家教:***

      f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴點P1在圖象上,圖象關(guān)于點(2k,0)對稱.又f(x)是奇函數(shù),f(x?2)??f(x)?f(?x)∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

      x?2k?1對稱.∴點P2在圖象上,圖象關(guān)于直線∵x1?x2?2,則?2??x2??x1??1,0?2?x2?2?x1?1

      ∵f(x)在(?1,0)上遞增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*)又f(x?2)??f(x)?f(?x)

      ∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2).所以:f(x2)?f(x1),f(x)在(1,2)上是減函數(shù).例9 已知函數(shù)y?f(x)是定義在R上的周期函數(shù),周期T?5,函數(shù)y?f(x)(?1?x?1)是奇函數(shù).又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數(shù),在[1,4]上是二次函數(shù),且在x?2時函數(shù)取得最小值?5.(1)證明:f(1)?f(4)?0;

      (2)求y?f(x),x?[1,4]的解析式;(3)求y?f(x)在[4,9]上的解析式.解:∵f(x)是以5為周期的周期函數(shù),且在[?1,1]上是奇函數(shù),∴f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4),∴f(1)?f(4)?0.2②當(dāng)x?[1,4]時,由題意可設(shè)f(x)?a(x?2)?5(a?0),22由f(1)?f(4)?0得a(1?2)?5?a(4?2)?5?0,∴a?2,f(x)?2(x?2)2?5(1?x?4).③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函數(shù),∴f(0)?0,又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數(shù),∴可設(shè)f(x)?kx(0?x?1)∴③設(shè)1?f(1)?2(1?2)2?5??3,∴k??3,∴當(dāng)0?x?1時,f(x)??3x,從而?1?x?0時,f(x)??f(?x)??3x,故?1?x?1時,f(x)??3x.∴當(dāng)4?x?6時,有?1?x?5?1,∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15.當(dāng)6?x?9時,1?x?5?4,22∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

      ??3x?15,4?x?6∴f(x)??.2?2(x?7)?5,6?x?9而

      第四篇:高考數(shù)學(xué)函數(shù)的周期性

      函數(shù)的周期性與對稱性、函數(shù)的圖象變換、函數(shù)應(yīng)用問題

      一.教學(xué)內(nèi)容:

      函數(shù)的周期性與對稱性、函數(shù)的圖象變換、函數(shù)應(yīng)用問題

      二.教學(xué)要求:

      1.理解周期函數(shù)的定義,會求簡單周期函數(shù)的周期。

      2.理解函數(shù)圖象關(guān)于點對稱或關(guān)于直線對稱的定義,會解決一些較簡單的對稱問題。

      3.熟悉常見的抽象函數(shù)及其性質(zhì)。

      4.會識圖,即通過給定的函數(shù)圖象分析函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如:范圍,對稱性,周期性,有界性等)。

      5.掌握圖象變換的基本方法,會進(jìn)行較基本的圖象變換。

      6.熟悉解應(yīng)用問題的步驟,能建立較簡單的數(shù)學(xué)模型。

      三.知識串講:

      1.周期函數(shù):

      對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得對定義域內(nèi)的任意一個x,總有f(x+T)=f(x)成立,則稱f(x)是周期函數(shù)。T叫做這個函數(shù)的一個周期,其中最小正數(shù)T叫做最小正周期。

      (定義的實質(zhì),是存在一個常數(shù)T,(T≠0),使f(x+T)=f(x)恒成立,即自變量每增加一個T后,函數(shù)值就會重復(fù)出現(xiàn)一次)

      關(guān)于函數(shù)的周期性,有如下結(jié)論:

      (1)若T為函數(shù)f(x)的一個周期,則kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期,即

      f(x?kT)?f(x)。

      (2)若f(x)是一個以T為周期的函數(shù),則f(ax?b)(a?0)是一個以T為周a期的函數(shù)。

      證明:(證明的方向f[a(x?T)?b]?f(ax?b))a

      T)?b]?f[(ax?b)?T]a

      由T是f(x)的周期設(shè)u?ax?bf(u?T)f(u)?f(ax?b)

      T?是函數(shù)f(ax?b)的周期a

      f[a(x?

      如:y?sinx的周期為T?2?,則y?sin(?x??)(??0)的周期為2??

      (3)若f(x)滿足f(x?a)?f(x?b)恒成立,a,b為常數(shù)且a?b,則T?a?b

      是f(x)的一個周期。

      這是因為f(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)

      ?T?a?b

      (4)若f(x)滿足f(x?a)??f(x?b),則f(x)以T?2(a?b)為一個周期。

      證明:f[x?2(a?b)]?f[(x?2b?a)?a]

      ??f[(x?2b?a)?b]??f[(x?b)?a]

      ??[?f(x?b?b)]?f(x)

      ?T?2(a?b)

      推論:f(x?a)??f(x)

      則f(x)以T?2a為一個周期

      (只要令上式中的b=0即可)

      2.對稱問題:

      (1)若函數(shù)f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)恒成立,(a,b為常數(shù))則f(x)的圖a?b對稱。2

      a?x?b?xa?b這是因為:?,又f(a?x)?f(b?x),即函數(shù)圖象上縱坐2

      2象關(guān)于直線x?標(biāo)相等的兩個點(a?x,f(a?x)),(b?x,f(b?x))連線的中點都在直線x?a?ba?b上,所以f(x)的圖象關(guān)于直線x?對稱。22 y P P’ 0 a-x b+x x a?b 2

      x?a對稱

      當(dāng)a?b時,即f(a?x)?f(a?x),則f(x)圖象關(guān)于直線

      若f(2a?x)?f(x),則f(x)圖象關(guān)于直線x?a對稱

      (2)若函數(shù)f(x)滿足f(a?x)??f(a?x)恒成立,則f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱。

      y a-x 0(a,0)x

      3.函數(shù)圖象變換:

      (1)平移變換:

      右平移a(a>0)f(x-a)圖象 f(x)圖象 左平移a(a>0)f(x+a)圖象 上平移b(fx)+b圖象 f(x)圖象 下平移b(fx)-b圖象

      (2)對稱變換:

      ?f(?x)圖象關(guān)于y軸對稱???f(x)圖象關(guān)于x軸對稱?f(x)圖象與??f(?x)圖象關(guān)于原點對稱?f(2a?x)圖象關(guān)于x?a對稱??1??f(x)圖象關(guān)于y?x對稱

      (3)伸縮變換:設(shè)A?0,??0

      橫坐標(biāo)縮短(??1)f(x)圖象???????????????f(?x)圖象1或伸長(0???1)到原來的倍?

      縱坐標(biāo)伸長(A?1)f(x)圖象???????????????Af(x)圖象或縮短(0?A?1)到原來的A倍

      (4)翻折變換:

      將x軸下方部分f(x)圖象??????????|f(x)|圖象作關(guān)于x軸對稱

      保留圖象的x?0部分,去掉f(x)圖象???????????????f(|x|)圖象x?0部分,再作關(guān)于y軸對稱

      4.函數(shù)的應(yīng)用問題:

      解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的關(guān)鍵有兩點:一是認(rèn)真讀題,縝密審題,明確問題的實際背景,然后進(jìn)行概括,歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題;二是合理選取參變數(shù),設(shè)定變元后,尋找等量(或不等量)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,求解數(shù)學(xué)模型,使問題獲解。即

      讀題建模求解反饋???(數(shù)學(xué)語言)(數(shù)學(xué)計算)(檢驗作答)

      (文字語言)

      【典型例題】

      2(1)函數(shù)f(x)?x?bx?c對任意實數(shù)x,均有f(1?x)?f(1?x),比較

      例1.f(0),f(1),f(3)的大??;

      2(2)若函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于x?1對稱,且x?1時f(x)?x?1,則當(dāng)x?

      1時,求f(x)的表達(dá)式。

      解:(1)由f(1?x)?f(1?x),可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x?1對稱,又函數(shù)圖

      象是開口向上的拋物線,所以f(3)?f(0)?f(1)。

      (2)當(dāng)x?1時,有2?x?1

      所以f(2?x)?(2?x)?1?x?4x?5 22

      又由于y?f(x)圖象關(guān)于x?1對稱

      ?f(2?x)?f(x)

      所以當(dāng)x?1時,f(x)?x?4x?5

      注:(2)題也可以根據(jù)圖象的對稱性,確定頂點坐標(biāo),直接寫出解析式。

      例2.偶函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x?1)?f(x?1)對任意實數(shù)都成立,又當(dāng)0

      2?x?1時,f(x)?2x?1。

      (1)求證f(x)是周期函數(shù),并確定周期。

      (2)求當(dāng)1?x?2時,求f(x)的解析式。

      解:(1)令t?x?1,則x?1?t?2

      由x?R時f(x?1)?f(x?1)恒成立

      得t?R時f(t)?f(t?2)恒成立

      因此f(x)是周期函數(shù),且2k(k?Z且k?0)為其周期

      (2)任取1?x?2

      則?1?x?2?0x0??x?2?1

      ?0?x?1時,f(x)?2?1

      ?x?2?f(?x?2)?2?1

      又f(x)的周期為2,且為偶函數(shù)

      ?f(?x?2)?f(?x)?f(x)

      ?x?2?1?x?2時,f(x)?2?1

      點評:本題的解抓住兩個關(guān)鍵條件,一個是f(x)為偶函數(shù),另一個是f(x)為周期函數(shù)。一般求f(x)在哪個區(qū)間上的解析式,就令x屬于該區(qū)間,再通過平移(周期性),對稱(奇偶性)變換到已知區(qū)間內(nèi),進(jìn)而代入,求出解析式,再利用周期性,奇偶性化簡為f(x)。

      例3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(a≠b)都對稱,且定義域為實數(shù)集R,證明y=f(x)是周期函數(shù),且T=2(b—a)為一個周期。

      證明:由題意有f(a?x)?f(a?x)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(b?x)?f(b?x)

      則f[x?2(b?a)]?f[(x?b?2a)?b]?f[b?(x?b?2a)]?f[?x?2a]?f[(?x?a)?a]

      ?f[a?(?x?a)]?f(x)

      ?f(x)為周期函數(shù),且T?2(b?a)為一個周期

      點評:(1)若題目中沒有指出T=2(b—a)是f(x)的一個周期,可以作草圖分析,猜測出T是該函數(shù)周期,再去證明。如圖。

      y 0 x a b b?a 2

      (2)由本題可知f(x),x∈R,若f(x)的圖象有兩條對稱軸,則f(x)為周期函數(shù),周期為兩條對稱軸距離的2倍。

      思考:若f(x)是偶函數(shù)且有一條對稱軸x=a,那么f(x)是周期函數(shù)嗎?若是,周期為何?

      例4.(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)是________(奇、偶)函數(shù);f(0)=____________。

      (2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),則f(x)是___________(奇、偶)函數(shù);f(1)=__________。

      解析:(1)令x?y?0

      ?f(0?0)?f(0)?f(0)

      令y??x

      ?f(?x)??f(x)

      (2)令x?y??f(1?1)?f(1)?f(1)?f(0)?0

      ?f(0)?f(x)?f(?x)?0

      ?f(x)為奇函數(shù)

      ?f(1)?0

      f(x?x)?f[(?x)(?x)]?f(?x)?f(?x)?2f(?x)

      又f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x)

      ?f(?x)?f(x)?f(x)為偶函數(shù)

      2x?1的圖象,并根據(jù)圖象回答函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,值域。x?1

      例5.作出函數(shù)y?

      解:?x??1

      ?函數(shù)定義域為(??,?1)?(?1,??)

      由y?2x?12(x?1)?11??2?x?1x?1x?1

      ?圖象為中心O'(?1,2)的雙曲線

      直線x??1,y?2是雙曲線的兩條漸近線

      區(qū)間(??,?1),(?1,??)分別為函數(shù)的增區(qū)間;值域為{y|y?R,且y?2} y O’ 2-1 0 x

      例6.(1)函數(shù)y?log4(1?2x?x)的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到y(tǒng)?log2|x|的

      2圖象?

      (2)將函數(shù)y?log1x的圖象沿x軸向右平移1個單位,得圖象C。圖象C'與2C關(guān)于原點對稱,圖象C''與C'關(guān)于直線y?x對稱,求C''對應(yīng)的解析式。

      左平移1個單位22(1)?y?log(1?2x?x)?log(x?1)?log|x?1|????????? 4

      42解:|?log|2x?1)?12x|

      y?log|(2?將函數(shù)y?log(1?2x?x)的圖象向左平移1個單位,得到函數(shù)y?log2|x| 4的圖象

      沿x軸向右平移1個單位(2)y?log1x圖象????????????

      關(guān)于原點對稱C:y?log1(x?1)圖象????????

      關(guān)于直線y?x對稱C':y??log(?x?1)圖象??????????1

      1?xxC'':x??log(?y?1),即y??()?1??2?1122

      32設(shè)f(x)?ax?bx?cx?d的圖象如圖,則b屬于(例7.)

      A.(??,0)B.(0,1)C.(1,2)D.[2,??)

      y 0 1 2 x

      ?f(0)?0?d?0??由圖象得?f(1)?0??a?b?c?0?f(2)?0?8a?4b?2c?0??

      解析一:

      b2解得a??,c??b,d?03b2b?f(x)??x3?bx2?bx??x(x?1)(x?2)333

      圖象可知x?0時,f(x)?0

      又x?1?0,x?2?0

      故選A

      解析二:由圖象知x=0,1,2是方程f(x)=0的三個實根,設(shè)f(x)=ax(x—1)(x—2)

      當(dāng)x?2時,f(x)?0

      ?a?0??b?03?b?0?f(x)?ax3?3ax2?2ax

      32又?f(x)?ax?bx?cx?d

      ?b??3a?0 ?選A

      21關(guān)于函數(shù)f(x)?sin2x?()|x|?,有下面四個結(jié)論:32

      例8.(1)f(x)是奇函數(shù);

      (2)當(dāng)x>2003時,f(x)>1/2恒成立;

      (3)f(x)的最大值是3/2;

      (4)f(x)的最小值是-1/2。

      其中正確結(jié)論的是___________。

      212(1)?f(x)?sinx?()|x|?32

      解析:

      顯然f(?x)??f(x)?(1)錯(是偶函數(shù))

      2(2)當(dāng)x?2003時,?()|x|?0?3

      而sinx?[?1,1]

      2當(dāng)sin2x?0時,f(x)?(3)如果f(x)?12?(2)錯

      32,則sin2x?()|x|?123

      22?sinx?1?()|x|,顯然“?”不成立3

      ?(3)錯

      2(4)當(dāng)x?0時,sin2x?0最小,且?()|x|??13

      11?f(x)?0?1???22

      1?最小值為??(4)對2

      綜上,只有(4)正確

      例9.某工廠有一段舊墻長14m,現(xiàn)利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形,面積為126m2

      a的廠房,工程條件是(1)建1m新墻的費用為a元;(2)修1m舊墻費用是4元;(3)拆去1ma舊墻,用所得的材料建1m新墻的費用為2元。經(jīng)討論有兩種方案:(1)利用舊墻的一段xm(x<14)為矩形廠房一面的邊長;(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14,問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最???(1)(2)兩種方案哪個更好?

      分析:利用舊墻為一面矩形邊長為xm,則矩形的另一面邊長為126m。x

      解:(1)利用舊墻的一段xm(x?14)為矩形一面邊長,則修舊墻的費用為 aa元,將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14?x)?元,其余新墻的費用422?126為(2x??14)?a元,故總費用為x x14?x2?126x36y??a??a?(2x??14)a?7a(??1)(0?x?14)42x4x

      x?

      ?y?7a[2當(dāng)且僅當(dāng)x36??1]?35a4x

      x36?,即x?12m時,ymin?35a4x

      x 126126 xx

      a7(2)若利用舊墻的一面矩形邊長x?14,則修舊墻的費用為?14?a元,42

      2?126建新墻的費用為(2x??14)a元,故總費用為x

      72?1267126y?a?(2x??14)a?a?2a(x??7)(x?14)2x2x

      x 14

      設(shè)14?x1?x2,則(x1?xx?126126126)?(x2?)?(x1?x2)12x1x2x1x2

      ?14?x1?x2

      ?x1?x2?0,x1x2?126

      126在[14,??)上為增函數(shù)x

      7126?x?14時,ymin?a?2a(14??7)?355.a214

      ?y?x?

      綜上,采用方案(1)利用12m舊墻為矩形的一面邊長時,建墻總費用最省,為35a元。

      【模擬試題】

      一.選擇題:

      1.二次函數(shù)f(x)滿足f(2?x)?f(2?x),又f(x)在[0,2]上是增函數(shù),且f(a)?f(0),則實數(shù)a的取值范圍是()

      A.a?0

      B.a?0 D.a?0或a?4

      C.0?a?4

      2.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x?(0,??)時為增函數(shù),且f(1)=0,則不等式f(x?1)?0的解集為()

      A.(??,?1)?(1,??)

      C.(??,?1)?(0,1)

      B.(??,0)?(1,2)

      D.(?1,0)?(0,1)

      x

      3.將函數(shù)y=f(x)的圖象向左、向下分別平移2個單位,得到y(tǒng)=2的圖象,則()

      A.f(x)?2x?2?2

      xB.f(x)?2x?2?2

      x?2f(x)?2?

      2C.x?2f(x)?2?2 D.4.已知函數(shù)f(x)的圖象與g(x)?2?1的圖象關(guān)于點(0,1)對稱,則f(x)=()

      A.?2?3 x

      1?()x?32B.1()x?1D.2

      C.2?1 x

      ?1x?()(x?0)f(x)??2??x2(x?0)?

      5.已知函數(shù),給出代號為a,b,c的三個圖象,再給出序號為1,2,3的三個函數(shù),那么圖象與函數(shù)能建立對應(yīng)關(guān)系的是(用序號和代數(shù)表示)()y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

      A.a?2

      B.a?

      1C.a?2

      D.a?3

      b?1b?2c?3 c?3

      b?3b?2c?1 c?1

      6.已知某林場森林積蓄量每年平均比上一年增長10.4%,經(jīng)過x年可增長到原來的y倍,則函數(shù)y?f(x)圖象大致為()

      y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

      二.填空題:

      7.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x?3)?f(x?3),則f(3)?f(6)=____。

      8.設(shè)定義在R上的函數(shù)y=f(x),在(0,2)上是減函數(shù),且y?f(x?2)為偶函數(shù),則51f(3),f(),f()22的大小順序為____________。

      9.函數(shù)y?f(|x?3|)的圖象關(guān)于_____________對稱。

      10.建一個容積為8000m,深6m的長方體蓄水池(無蓋),池壁造價為a元/m2,池底造價為2a元/m2,把總造價y元表示為底的一邊長xm的函數(shù),其解析式為___________,定義域為3___________,底邊長為________m時,總造價最低是___________元。

      三.解答題:

      11.如圖,A、B、C、D為四個村莊,恰好座落在邊長為2km的正方形頂點上,現(xiàn)修公路網(wǎng),它由一條中心路和4條支路組成,要求四條支路長度相等。

      (1)若道路網(wǎng)的總長不超過5.5km,試求中心路長的取值范圍;

      (2)問中心路長為何值時,道路網(wǎng)的總長度最短。

      A B 中 心 路 C D

      【試題答案】

      1.C 2.B 3.C

      4.A

      5.A

      6.D

      7.0(?f(x)是R上的奇函數(shù)

      令x?3

      令x?0

      ?f(3)?0)

      ?f(0)?0

      ?f(6)?f(0)?0 f(3)?f(?3)??f(3)

      15f()?f(3)?f()22

      8.9.x?3

      10.y?12a(x?80008000208000)?a,x?(0,??),x?3,16030a?a6x333

      11.設(shè)中心路長為2x km

      22(1)則2x?41?(1?x)?55.?48x?40x?7?0

      ?17?x?412

      222

      (2)y?2x?41?(1?x)?(平方)12x?(4y?32)x?32?y?0

      ?x?(0,??)又y?0

      ???0?y?3?23317?[,]??3412 ymin?3?23,此時x?1?

      第五篇:高中數(shù)學(xué)函數(shù)對稱性和周期性小結(jié)

      高中數(shù)學(xué)函數(shù)對稱性和周期性小結(jié)

      一、函數(shù)對稱性:

      1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)關(guān)于x=a對稱

      f(a+x)= f(b-x)==> f(x)關(guān)于 x=(a+b)/2 對稱 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)關(guān)于點(a,0)對稱 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)關(guān)于點(a,b)對稱

      f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)關(guān)于點 [(a+b)/2,c/2] 對稱 y = f(x)與 y = f(-x)關(guān)于 x=0 對稱 y = f(x)與 y =-f(x)關(guān)于 y=0 對稱 y =f(x)與 y=-f(-x)關(guān)于點(0,0)對稱

      例1:證明函數(shù) y = f(a+x)與 y = f(b-x)關(guān)于 x=(b-a)/2 對稱。

      【解析】求兩個不同函數(shù)的對稱軸,用設(shè)點和對稱原理作解。

      證明:假設(shè)任意一點P(m,n)在函數(shù)y = f(a+x)上,令關(guān)于 x=t 的對稱點Q(2t – m,n),那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a,==> t =(b-a)/2,即證得對稱軸為 x=(b-a)/2.例2:證明函數(shù) y = f(ax)上,令關(guān)于 x=t 的對稱點Q(2t – m,n),那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1],等式右邊通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1],即

      /[f(xf(x)] ∴

      /[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

      函數(shù)最小正周期 T=|4a|

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