第一篇：函數(shù)的周期性教案1解讀

函數(shù)的周期性教案1

教學目標

1．使學生理解函數(shù)周期性的概念，并運用它來判斷一些簡單、常見的三角函數(shù)的周期性．

2．使學生掌握簡單三角函數(shù)的周期的求法．

3．培養(yǎng)學生根據(jù)定義進行推理的邏輯思維能力，提高學生的判斷能力和論證能力．

教學重點與難點

函數(shù)周期性的概念．

教學過程設計

師：上節(jié)課我們學習了利用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象．今天我們將利用正弦函數(shù)圖象，研究三角函數(shù)的一個重要性質．請同學們觀察y=sinx，x∈R的圖象：

(老師把圖畫在黑板左上方．)

師：通過觀察，同學們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：正弦函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，值域是[－1，1]．圖象有規(guī)律地不斷重復出現(xiàn)．

師：規(guī)律是什么？

生：當自變量每隔2π時，函數(shù)值都相等．

師：正弦函數(shù)的這種性質叫周期性．我們將會發(fā)現(xiàn)，不但正弦函數(shù)具有這種性質，其它的三角函數(shù)和不少的函數(shù)也都具有這樣的性質，因此我們就把它作為今天研究的課題：函數(shù)的周期性．(老師在黑板左上方寫出課題)

師：我們先看函數(shù)周期性的定義．(老師板書)

定義 對于函數(shù) y=f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，f(x＋T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．

師：請同學們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點．

生：首先T是非零常數(shù)，第二是自變量x取定義域內的每一個值時都有f(x＋T)=f(x)．

師：找得準！那么為什么要這樣規(guī)定呢？

師：如果T=0，那么f(x＋T)=f(x)恒成立，函數(shù)值當然不變，沒有研究價值；如果T為變數(shù)，就失去了“周期”的意義了．“每一個值”的含義是無一例外．

師：除這兩條外，定義中還有一個隱含的條件是什么？

生：如果x屬于y=f(x)的定義域，則T＋x也應屬于此定義域．

師；對．否則f(x＋T)就沒有意義．

師：函數(shù)周期性的定義有什么用途？

生：它為我們提供判定函數(shù)是否具有周期性的理論依據(jù)．

師：下面我們看例題．

(老師板書)

例1 證明 y=sinx是周期函數(shù)．

生：因為由誘導公式有sin(x＋2π)=sinx，所以2π是y=sinx是一個周期．故它就是周期函數(shù)．

師：要想判斷T是不是函數(shù)y=f(x)的周期有什么方法？我們現(xiàn)有的理論依據(jù)只有定義，如何使用定義？

y=sinx的周期．

義域內的每一個x，都有f(x＋T)=f(x)，而不是有(存在著)某一個x，使f(x＋T)=f(x)

乙是正確的．

師：分析得好！同學對概念的學習應該做到真正能弄清每句話的含義，而不能只停留在字面的意思讀懂了．這樣才可能透徹地理解概念，為進一步的學習打下牢固的基礎．

例3 已知 f(x＋T)=f(x)(T≠0)，求證f(x＋2T)=f(x)．

師：此題用文字如何敘述？誰能給予證明？

生：若不等于零的常數(shù)T是f(x)的一個周期，證明2T仍是f(x)的周期．

因為T是f(x)的周期，所以f(x＋T)=f(x)，f[(x＋T)＋T]=f(x＋T)，即f(x＋2T)=f(x)．

因此2T是f(x)的周期．

師：這個命題推廣可得到什么結論？

生：如果T是f(x)的周期，那么2T，3T，?，nT(n∈Z)也都是f(x)的周期．

師：這說明如果一個函數(shù)是周期函數(shù)，所有的周期就構成一個無窮集合．這無數(shù)個周期中我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期．這是為什么？

生甲：如果發(fā)現(xiàn)一個函數(shù)存在最小正周期，就可以確定這個函數(shù)的所有周期．

生乙：更具有實用性．如果找到最小正周期，就可以在其定義域的一個長度為最小正周期的范圍內對函數(shù)進行研究．

師：這位同學思考問題有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的實質，還進一步想到我們研究函數(shù)周期性的目的，那就是要研究一個周期函數(shù)在整個定義域上的性質，只要研究它在一個周期內的性質，然后經過周期延拓即可．如果能夠確定最小正周期，可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內．這無疑給我們研究周期函數(shù)的性質帶來方便．

(老師在函數(shù)的周期性定義下板書)

如果在所有的周期中存在著一個最小正周期，就把它叫做最小正周期．

例4 證明f(x)=sinx(x∈R)的最小正周期是2π．

師：例1證明了y=sinx是周期函數(shù)，并且找到了一個周期T=2π．例2我們證明

命題，只要證明什么？

生：只要證明任何比2π小的正數(shù)都不是它的周期．

師：如何證？能否逐一證明比2π小的正數(shù)都不行呢？當然不行．因為比2π小的正數(shù)是無限的．那這樣的命題應如何證？

生：反證法．假設存在 T∈(0，2π)使得 y=sinx對于任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．

師：你能具體的給予證明嗎？

生：假設T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根據(jù)周期函數(shù)的定義，當x為任意值時都有

sin(x＋T)=sinx．

即

cosT=1．

這與 T∈(0，2π)時，cosT＜1矛盾．這個矛盾證明了 y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．

師：請同學們在課堂練習本上證明y=cosx的最小正周期是2π．

師：通過上面的例題和練習我們得出這樣的結論，正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)和余弦函數(shù)y=cosx(x∈R)都是周期函數(shù)，2πk(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．

例5 求y=3cosx的周期．

師：以后求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因為y=cosx的周期是2π，所以 y=3cosx的周期也是2π．

師：好．好在他能利用我們總結出的結論，也就是新知識歸結到舊知識上去．你能再具體的證明嗎？

生：可以從數(shù)和形兩個角度來證明．

解(一)因為對一切 x∈R，3cos(x＋2π)=3cosx，所以 y=3cosx的周期是2π．

解(二)因為y=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點的橫坐標不變，縱坐標擴大3倍得到的，當自變量x(x∈R)增加到x＋2π且必須增加到x＋2π時，函數(shù)cosx的值才重復出現(xiàn)，因而函數(shù)3cosx的值也才重復出現(xiàn)，因此y=3cosx的周期是2π．

師：數(shù)和形是我們研究數(shù)學問題的兩個方面，他都想到了，并且能完整的敘述清楚，若把此題推廣，能得到什么結論？

生：y=Asinx，x=Acosx(A≠0，是常數(shù))的周期都是2π，也就是說函數(shù)周期的變化與系數(shù)A無關．

例6 求y=sin2x的周期．

(請不同解法的三位同學在黑板上板演)

生甲：

解 因為y=sin(2x＋2π)=sin2x，對于任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．

生乙：

解 因為 y=sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

生?。?/p>

解 設2x=u，因為y=sinu的周期是2π，所以

y=sin(u＋2π)=sinu，即

sin(2x＋2π)=sin2(x＋π)=sin2x，所以 y=sin2x的周期是π．

師：我們一起來分析三個同學的解法．解法一是錯誤的，錯誤在對于周期函數(shù)定義中任意x都有f(x＋T)=f(x)的本質沒弄清楚，要證明y=sin2x是周期函數(shù)，應證明對于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2(x＋T)，而不是y=sin2x=sin(2x＋T)．解法(二)，(三)是正確的．區(qū)別在于解法(三)經過換元，把要研究的新問題y=sin2x的周期轉化為已有的舊知識y=sinu的周期．這種轉換的意識、換元的思想是很重要的．

師：其實這個問題也可以從圖象的變換來考慮．我們先看如何由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=sin2x的圖象．使y=sinx的圖象上的每點的縱坐標不變，橫坐標是該點橫坐標的出現(xiàn)，所以 y=sin2x的周期是π．

師：通過這個例題我們看到，誰對函數(shù)的周期有影響？是x的系數(shù)．有怎樣的影響？帶著這個問題同學們做下面的題目．

y=2sin(u＋2π)=2sinu，又因為

所以

師：通過這個例題，進一步驗證了我們的猜想，函數(shù)的周期的變化僅與自變量x的系數(shù)有關．我們把例7寫成一般式．

＞0，x∈R)

sin(u＋2π)=sinu，即

即

師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數(shù)的周期僅與自變量的系數(shù)有關系，而且

(老師板書)

師：以后再求正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的周期，可由上面的結論直接寫出它的周期．

師：(總結)通過今天的課，同學們應明確以下幾個問題．

(一)研究函數(shù)周期的意義是什么？

周期函數(shù)是反映現(xiàn)實世界中具有周期現(xiàn)象的數(shù)學模型．如果能找到函數(shù)的最小正周期T，那么只要在以T為長度的區(qū)間內，就可以研究函數(shù)的圖象與性質，然后推斷出函數(shù)在整個定義域的圖象和性質．這給我們研究函數(shù)帶來了方便．

(二)對于函數(shù)周期的定義應注意：

1．f(x＋T)=f(x)是反映周期函數(shù)本質屬性的條件．對于任意常數(shù)T(T≠0)，如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個x，使f(x＋T)=f(x)不成立，我們就斷言y=f(x)不是周期函數(shù)．對于某個確定的常數(shù)T≠0，如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個x，使f(x＋T)=f(x)不成立．我們能斷言T不是函數(shù)y=f(x)的周期，但不能說明y=f(x)不是周期函數(shù)．

2．定義中的“每一個值”是關鍵詞．

此函數(shù)對于任意確定的常數(shù)T≠0，盡管f(x＋T)=f(x)對函數(shù)定義域(－∞，＋∞)中幾乎所有x都成立．但僅僅由于x的個別值x=0，x=－T時，等式不成立．因此函數(shù)f(x)不是周期函數(shù)．

(三)周期函數(shù)的周期與最小正周期的區(qū)別與聯(lián)系．

1．周期函數(shù)的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函數(shù)的周期有無數(shù)個．

如：f(x)=c(常數(shù))，任意非零實數(shù)都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正實數(shù)，所以f(x)=c沒有最小正周期．這個例子也同時說明不是只有三角函數(shù)才具有周期性．

2．周期函數(shù)的最小正周期一定是這個函數(shù)的周期，反之不然．

例如，2π是 y=sinx的最小正周期，也是函數(shù)的周期；4π是函數(shù)的周期，但不是最小正周期．

作業(yè)：課本P178第6題，P132第4題．

課堂教學設計說明

此教學方案是按照“教師為主導，學生為主體，課本為主線” 的原則而設計的．教師的主導作用在于激發(fā)學生的求知欲，為學生創(chuàng)設探索的情境，指引探索的途徑，引導學生不斷地提出新問題，解決新問題．

函數(shù)周期性概念的教學是本節(jié)課的重點．概念教學是中學數(shù)學教學的一項重要內容，不能因其易而輕視，也不能因其難而回避．概念教學應面向全體學生，但由于函數(shù)的周期的概念比較抽象，所以學生對它的認識不可能一下子就十分深刻．因此，進行概念教學時，除了逐字逐句分析，還要通過不同的例題，讓學生暴露出問題，通過老師的引導，使學生對概念的理解逐步深入．

第二篇：函數(shù)的周期性教案（最終版）

函數(shù)的周期性

定義：對于函數(shù)y?f?x?，若存在一個不為零的常數(shù)T，使x取定義域中任意一個值時，有f?x?T??f?x?，則稱y?f?x?為周期函數(shù)，常數(shù)T為函數(shù)的周期.在所有T的取值中，若存在一個最小的正數(shù)t，則稱t為函數(shù)的最小正周期.（在題目中若沒有特殊強調，則周期均值最小正周期.）性質：

1.圖像重復出現(xiàn)，且在對應的周期區(qū)間中，增減性，最值相同；

2.若f?x??f?x?a?，則T?a；

若f?x?a??f?x?a?，則T?2a；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b；

若f?x?a??f?x?b?，則T?a?b； 例題：

已知f?x?2??f?x?2?且f??1??2，則f?11??________； 函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)，且f?x?2??f?x?，則f?6??_______；

函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)且T?4，且x??4,6?時，f?x??2?x2，則f??1??______；

已知函數(shù)f?x?周期為3，且在x???2,0?為增函數(shù)，則在區(qū)間?4,6?上為_____（填增，減）； 函數(shù)f?x?為R上的偶函數(shù)且T?2，在區(qū)間??1,0?遞減，則在區(qū)間?2,3?上為_____；

函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)，且f?x?2???f?x?，x??0,1?時，f?x??x，則f?7.5??__； 函數(shù)f?x?為R上的奇函數(shù)，且f?x?2???

1，x??2,3?時，f?x??x，則f?105.5??__； f?x?

第三篇：函數(shù)的對稱性和周期性復習教案

函數(shù)的對稱性和周期性

株洲家教：***

函數(shù)的對稱性和周期性

一.明確復習目標

1.理解函數(shù)周期性的概念，會用定義判定函數(shù)的周期；

2.理解函數(shù)的周期性與圖象的對稱性之間的關系，會運用函數(shù)的周期性處理一些簡單問題。3.掌握常見的函數(shù)對稱問題

二、建構知識網絡

一、兩個函數(shù)的圖象對稱性

y?f(x)與y??f(x)關于x軸對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)??g(x)，即它們關于y?0對稱。

2、y?f(x)與y?f(?x)關于Y軸對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(?x)，即它們關于x?0對稱。

1、y?f(x)與y?f(2a?x)關于直線x?a對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)，即它們關于x?a對稱。

4、y?f(x)與y?2a?f(x)關于直線y?a對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(x)?2a，即它們關于y?a對稱。

5、y?f(x)與y?2b?f(2a?x)關于點(a,b)對稱。

換種說法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)?2b，即它們關于點(a,b)對稱。

a?b6、y?f(a?x)與y?(x?b)關于直線x?對稱。

23、二、單個函數(shù)的對稱性 性質1：函數(shù)證明：在函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)時，函數(shù)y?f(x)的圖象關于直線x?y?f(x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(x1,y1)關于直線

a?b對稱。2x?a?b的對稱點(a?b?x1,y1)，當x?a?b?x1時 2f(a?b?x1)?f[a?(b?x1)]?f[b?(b?x1)]?f(x1)?y1

y?f(x)圖象上。故點(a?b?x1,y1)也在函數(shù)由于點(x1,y1)是圖象上任意一點，因此，函數(shù)的圖象關于直線x?（注：特別地，a=b=0時，該函數(shù)為偶函數(shù)。）

性質2：函數(shù)證明：在函數(shù)（a?b對稱。2a?bc，）對稱。22y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)?c時，函數(shù)y?f(x)的圖象關于點（y?f(x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(x1,y1)關于點

a?bc，）的對稱點（a?b?x1，c－y1），當x?a?b?x1時，22f(a?b?x1)?c?f[b?(b?x1)]?c?f(x1)?c?y1 即點（a?b?x1，c－y1）在函數(shù)y?f(x)的圖象上。

由于點(x1,y1)為函數(shù)函數(shù)y?f(x)圖象上的任意一點可知

a?bc，）對稱。（注：當a=b=c=0時，函數(shù)為奇函數(shù)。）22b?a性質3：函數(shù)y?f(a?x)的圖象與y?f(b?x)的圖象關于直線x?對稱。

2y?f(x)的圖象關于點（證明：在函數(shù)y1）。y?f(a?x)上任取一點(x1,y1)，則y1?f(a?x1)，點(x1,y1)關于直線x?b?a對稱點（b?a?x1，2f[b?(b?a?x1)]?f[b?b?a?x1]?f(a?x1)?y1 故點（b?a?x1，y1）在函數(shù)y?f(b?x)上。由于

函數(shù)的對稱性和周期性

株洲家教：*** 由點(x1,y1)是函數(shù)因此y?f(a?x)圖象上任一點

y?f(a?x)與y?f(b?x)關于直線x?b?a對稱。

2三、周期性

1、一般地，對于函數(shù)么函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x?T)?f(x)，那f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。說明：周期函數(shù)定義域必是無界的。

推廣：若f(x?a)?f(x?b)，則f(x)是周期函數(shù)，b?a是它的一個周期

?0,k?Z)也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說的周期是指函數(shù)的最小2.若T是周期，則kT(k正周期。

說明：周期函數(shù)并非都有最小正周期。如常函數(shù)

3、對于非零常數(shù)證明：

f(x)?C；

A，若函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)??f(x)，則函數(shù)y?f(x)必有一個周期為2A。

f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x)∴函數(shù)y?f(x)的一個周期為2A。

14、對于非零常數(shù)A，函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)?，則函數(shù)y?f(x)的一個周期為2A。

f(x)證明：f(x?2A)?f(x?A?A)?1?f(x)。

f(x?A)1，則函數(shù)y?f(x)的一個周期為2A。f(x)

5、對于非零常數(shù)A，函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)??證明：f(x?2A)?f(x?A?A)??A，函數(shù)y?f(x)滿足

6、對于非零常數(shù)

1?f(x)。

f(x?A)A1?f(x)A1?f(x)f(x?)?或f(x?)?21?f(x)21?f(x)則函數(shù)

y?f(x)的一個周期為2A。

證明：先看第一個關系式

3A)3AAf(x?2A)?f(x? ?)?3A221?f(x?)2A1?1?f(x?A)1?f(x?A?)1?f(x?A)2????f(x?A)A1?f(x?A)1?f(x?A?)1?21?f(x?A)f(x?2A)??f(x?A)f(x?A)?f(x)?f(x)?f(x?2A)

1?f(x?第二個式子與第一的證明方法相同

f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x

都有f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)則函數(shù)的一個周期為6a 證明：f(x)?f(x?a)?f(x?a)

（1）

f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

（2）兩式相加得：f(x?a)??f(x?2a)

f(x)??f(x?3a)?f(x?6a)

四、對稱性和周期性之間的聯(lián)系

7、已知函數(shù)性質1：函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求證：函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù)。

函數(shù)的對稱性和周期性

株洲家教：***

f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x)

f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x)∴f(2a?x)?f(2b?x)∴f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù)，且2b?2a是一個周期。

性質2：函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)時，函數(shù)y?f(x)是周期函證明：∵數(shù)。（函數(shù)y?f(x)圖象有兩個對稱中心（a，cc）、（b，）時，函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù)，且對稱中心距離的兩倍，22是函數(shù)的一個周期）

證明：由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c)?f(b?x)??cf(x)?f(2b?x)? c

f(b?x

得f(2a?x)?f(2b?x)

得f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數(shù)y?f(x)是以2b?2a為周期的函數(shù)。性質3：函數(shù)y?f(x)有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸x?b（a≠b）時，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一個周期是4(b?a)。

f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c

f(b?x)?f(b?x)?f(x)?f(2b?x)

f(4(b?a)?x)?f(2b?(4a?2b?x))

f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?2a?x))?2c?f(2b?2a?x)

?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a?x)

?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x)?f(x)

推論：若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關于直線x?a和點(b,0)(a?b)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，4(b?a)是證明：它的一個周期

證明：由已知f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期為4(b?a).舉例:y?sinx等.性質4：若函數(shù)f(x)對定義域內的任意x滿足：f(x?a)?f(x?a),則2a為函數(shù)f(x)的周期。（若f(x)滿足f(x?a)?f(x?a)則f(x)的圖象以x?a為圖象的對稱軸，應注意二者的區(qū)別)證明：?f(x?a)?f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

性質5：已知函數(shù)y?f?x?對任意實數(shù)x,都有f?a?x??f?x??b，則y?f?x?是以

2a為周期的函數(shù) 證明：f(a?x)?b?f(x)

f(x?2a)?f((x?a)?a)?b?f(x?a)?b?(b?f(x))?f(x)

五、典型例題

例1（2005·福建理）f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)?0，則方程f(x)?0在區(qū)間（0，6）內解的個數(shù)的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0?)0，由f(x?3?f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0

∴f(4)?0 ∴x=1，2，3，4，5時，f(x)?0

這是答案中的五個解。

?但是

f(?1?5)?f(f(x得)f(3)?0，f(2)?0?f(5)?0

1?5?3)?f(1 ?)?f?(1 5)f(1?5)?0 又

f(?1?5?知?5)?f(1?5?3?)f(? 4而

0?f(1知 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立，可知：在（0，6）內的解的個數(shù)的最小值為7。例3 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x?2)??f(x)，則f(6)的值為（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函數(shù)的對稱性和周期性

株洲家教：*** 解：因為所以所以f(x)是定義在R上的奇函數(shù)

f(0)?0，又f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函數(shù)，f(x)的周期為4 f(6)?f(2)??f(0)?0，選B

f(x)滿足f(x?2)??f(x),且x?(0,1)時,f(x)?2x,則f(log118)的值為。

2例4．已知奇函數(shù)解：?f(x?2)??f(x)?f?x???f(x?2)?f(x?4)

89f(log118)?f(?log218)?f(4?log218)?f(log2)?f(?log2)

9829log299??f(log2)??28??

88例5 已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當x?(0,1)時，f(x)?x?1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

從解析式入手，由奇偶性結合周期性，將要求區(qū)間上問題轉化為已知解析式的區(qū)間上

∵x?(1,2), 則?x?(?2,?1)

∴2?x?(0,1), ∵ T?2，是偶函數(shù)

∴ f(x)?f(?x)?f(2?x)?2?x?1?3?x

x?(1,2)

解法2：

f(x)?f(x?2)

如圖：x?(0,1), f(x)?x?1.∵是偶函數(shù) ∴x?(?1,0)時f(x)?f(?x)??x?1

又周期為2，x?(1,2)時x?2?(?1,0)∴f(x)?f(x?2)??(x?2)?1?3?x

例6 f(x)的定義域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008（從圖象入手也可解決，且較直觀）求 f(2008)的值。

f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1???f(x?8)解：f(x)?f(x?2)?1f(x?4)?1?1f(x?4)f(x?4)?1周期為8，?f(2008)?f(0)?2008

1例7 函數(shù)f?x?對于任意實數(shù)x滿足條件f?x?2??，若f?1???5,則f?f?5???

f?x?_______________。解：由f?x?2??1f?x?得

f?x?4??1?f(x)f?x?2?，所以

f(5)?f(1)??5，則

11??

f(?1?2)5例8 若函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且在??1，0?上是增函數(shù)，且f(x?2)??f(x).①求f(x)的周期；

②證明f(x)的圖象關于點(2k,0)中心對稱;關于直線x?2k?1軸對稱,(k?Z);③討論f(x)在(1,2)上的單調性； f?f?5???f(?5)?f(?1)?

解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4.②設P(x,y)是圖象上任意一點,則y?f(x),且P關于點(2k,0)對稱的點為P1(4k?x,?y).P關于直線x?2k?1對稱的點為P2(4k?2?x,y)

函數(shù)的對稱性和周期性

株洲家教：***

f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴點P1在圖象上,圖象關于點(2k,0)對稱.又f(x)是奇函數(shù),f(x?2)??f(x)?f(?x)∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

x?2k?1對稱.∴點P2在圖象上,圖象關于直線∵x1?x2?2，則?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1

∵f(x)在(?1,0)上遞增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*)又f(x?2)??f(x)?f(?x)

∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2).所以：f(x2)?f(x1)，f(x)在(1,2)上是減函數(shù).例9 已知函數(shù)y?f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T?5，函數(shù)y?f(x)(?1?x?1)是奇函數(shù).又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x?2時函數(shù)取得最小值?5.（1）證明：f(1)?f(4)?0；

（2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式；（3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，且在[?1,1]上是奇函數(shù)，∴f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)，∴f(1)?f(4)?0.2②當x?[1,4]時，由題意可設f(x)?a(x?2)?5(a?0)，22由f(1)?f(4)?0得a(1?2)?5?a(4?2)?5?0，∴a?2，f(x)?2(x?2)2?5(1?x?4).③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函數(shù)，∴f(0)?0，又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，∴可設f(x)?kx(0?x?1)∴③設1?f(1)?2(1?2)2?5??3，∴k??3，∴當0?x?1時，f(x)??3x，從而?1?x?0時，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1時，f(x)??3x.∴當4?x?6時，有?1?x?5?1，∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15.當6?x?9時，1?x?5?4，22∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

??3x?15,4?x?6∴f(x)??.2?2(x?7)?5,6?x?9而

第四篇：高考數(shù)學函數(shù)的周期性

函數(shù)的周期性與對稱性、函數(shù)的圖象變換、函數(shù)應用問題

一.教學內容：

函數(shù)的周期性與對稱性、函數(shù)的圖象變換、函數(shù)應用問題

二.教學要求：

1.理解周期函數(shù)的定義，會求簡單周期函數(shù)的周期。

2.理解函數(shù)圖象關于點對稱或關于直線對稱的定義，會解決一些較簡單的對稱問題。

3.熟悉常見的抽象函數(shù)及其性質。

4.會識圖，即通過給定的函數(shù)圖象分析函數(shù)的有關性質（如：范圍，對稱性，周期性，有界性等）。

5.掌握圖象變換的基本方法，會進行較基本的圖象變換。

6.熟悉解應用問題的步驟，能建立較簡單的數(shù)學模型。

三.知識串講：

1.周期函數(shù)：

對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對定義域內的任意一個x，總有f(x+T)=f(x)成立，則稱f(x)是周期函數(shù)。T叫做這個函數(shù)的一個周期，其中最小正數(shù)T叫做最小正周期。

（定義的實質，是存在一個常數(shù)T，（T≠0），使f(x+T)=f(x)恒成立，即自變量每增加一個T后，函數(shù)值就會重復出現(xiàn)一次）

關于函數(shù)的周期性，有如下結論：

（1）若T為函數(shù)f(x)的一個周期，則kT(k?Z且k?0)也是f(x)的周期，即

f(x?kT)?f(x)。

（2）若f(x)是一個以T為周期的函數(shù)，則f(ax?b)(a?0)是一個以T為周a期的函數(shù)。

證明：（證明的方向f[a(x?T)?b]?f(ax?b)）a

T)?b]?f[(ax?b)?T]a

由T是f(x)的周期設u?ax?bf(u?T)f(u)?f(ax?b)

T?是函數(shù)f(ax?b)的周期a

f[a(x?

如：y?sinx的周期為T?2?，則y?sin(?x??)(??0)的周期為2??

（3）若f(x)滿足f(x?a)?f(x?b)恒成立，a,b為常數(shù)且a?b，則T?a?b

是f(x)的一個周期。

這是因為f(x?a?b)?f[(x?b)?a]?f[(x?b)?b]?f(x)

?T?a?b

（4）若f(x)滿足f(x?a)??f(x?b)，則f(x)以T?2(a?b)為一個周期。

證明：f[x?2(a?b)]?f[(x?2b?a)?a]

??f[(x?2b?a)?b]??f[(x?b)?a]

??[?f(x?b?b)]?f(x)

?T?2(a?b)

推論：f(x?a)??f(x)

則f(x)以T?2a為一個周期

（只要令上式中的b=0即可）

2.對稱問題：

（1）若函數(shù)f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)恒成立，（a,b為常數(shù)）則f(x)的圖a?b對稱。2

a?x?b?xa?b這是因為：?，又f(a?x)?f(b?x)，即函數(shù)圖象上縱坐2

2象關于直線x?標相等的兩個點（a?x，f(a?x)），（b?x，f(b?x)）連線的中點都在直線x?a?ba?b上，所以f(x)的圖象關于直線x?對稱。22 y P P’ 0 a-x b+x x a?b 2

x?a對稱

當a?b時，即f(a?x)?f(a?x)，則f(x)圖象關于直線

若f(2a?x)?f(x)，則f(x)圖象關于直線x?a對稱

（2）若函數(shù)f(x)滿足f(a?x)??f(a?x)恒成立，則f(x)的圖象關于點（a,0）對稱。

y a-x 0（a,0）x

3.函數(shù)圖象變換：

（1）平移變換：

右平移a（a>0）f（x－a）圖象 f（x）圖象 左平移a（a>0）f（x＋a）圖象 上平移b（fx）＋b圖象 f（x）圖象 下平移b（fx）－b圖象

（2）對稱變換：

?f(?x)圖象關于y軸對稱???f(x)圖象關于x軸對稱?f(x)圖象與??f(?x)圖象關于原點對稱?f(2a?x)圖象關于x?a對稱??1??f(x)圖象關于y?x對稱

（3）伸縮變換：設A?0，??0

橫坐標縮短(??1)f(x)圖象???????????????f(?x)圖象1或伸長(0???1)到原來的倍?

縱坐標伸長(A?1)f(x)圖象???????????????Af(x)圖象或縮短（0?A?1）到原來的A倍

（4）翻折變換：

將x軸下方部分f(x)圖象??????????|f(x)|圖象作關于x軸對稱

保留圖象的x?0部分，去掉f(x)圖象???????????????f(|x|)圖象x?0部分，再作關于y軸對稱

4.函數(shù)的應用問題：

解答數(shù)學應用問題的關鍵有兩點：一是認真讀題，縝密審題，明確問題的實際背景，然后進行概括，歸納為相應的數(shù)學問題；二是合理選取參變數(shù)，設定變元后，尋找等量（或不等量）關系，建立相應的數(shù)學模型，求解數(shù)學模型，使問題獲解。即

讀題建模求解反饋???（數(shù)學語言）（數(shù)學計算）（檢驗作答）

（文字語言）

【典型例題】

2（1）函數(shù)f(x)?x?bx?c對任意實數(shù)x，均有f(1?x)?f(1?x)，比較

例1.f(0)，f(1)，f(3)的大?。?/p>

2（2）若函數(shù)y?f(x)的圖象關于x?1對稱，且x?1時f(x)?x?1，則當x?

1時，求f(x)的表達式。

解：（1）由f(1?x)?f(1?x)，可知函數(shù)f(x)的圖象關于x?1對稱，又函數(shù)圖

象是開口向上的拋物線，所以f(3)?f(0)?f(1)。

（2）當x?1時，有2?x?1

所以f(2?x)?(2?x)?1?x?4x?5 22

又由于y?f(x)圖象關于x?1對稱

?f(2?x)?f(x)

所以當x?1時，f(x)?x?4x?5

注：（2）題也可以根據(jù)圖象的對稱性，確定頂點坐標，直接寫出解析式。

例2.偶函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x?1)?f(x?1)對任意實數(shù)都成立，又當0

2?x?1時，f(x)?2x?1。

（1）求證f(x)是周期函數(shù)，并確定周期。

（2）求當1?x?2時，求f(x)的解析式。

解：（1）令t?x?1，則x?1?t?2

由x?R時f(x?1)?f(x?1)恒成立

得t?R時f(t)?f(t?2)恒成立

因此f(x)是周期函數(shù)，且2k(k?Z且k?0)為其周期

（2）任取1?x?2

則?1?x?2?0x0??x?2?1

?0?x?1時，f(x)?2?1

?x?2?f(?x?2)?2?1

又f(x)的周期為2，且為偶函數(shù)

?f(?x?2)?f(?x)?f(x)

?x?2?1?x?2時，f(x)?2?1

點評：本題的解抓住兩個關鍵條件，一個是f(x)為偶函數(shù)，另一個是f(x)為周期函數(shù)。一般求f(x)在哪個區(qū)間上的解析式，就令x屬于該區(qū)間，再通過平移（周期性），對稱（奇偶性）變換到已知區(qū)間內，進而代入，求出解析式，再利用周期性，奇偶性化簡為f(x)。

例3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=a，x=b（a≠b）都對稱，且定義域為實數(shù)集R，證明y=f(x)是周期函數(shù)，且T=2(b—a)為一個周期。

證明：由題意有f(a?x)?f(a?x)x-2 x-1 0 1 2 x-x+2 f(b?x)?f(b?x)

則f[x?2(b?a)]?f[(x?b?2a)?b]?f[b?(x?b?2a)]?f[?x?2a]?f[(?x?a)?a]

?f[a?(?x?a)]?f(x)

?f(x)為周期函數(shù)，且T?2(b?a)為一個周期

點評：（1）若題目中沒有指出T=2(b—a)是f(x)的一個周期，可以作草圖分析，猜測出T是該函數(shù)周期，再去證明。如圖。

y 0 x a b b?a 2

（2）由本題可知f(x)，x∈R，若f(x)的圖象有兩條對稱軸，則f(x)為周期函數(shù)，周期為兩條對稱軸距離的2倍。

思考：若f(x)是偶函數(shù)且有一條對稱軸x=a，那么f(x)是周期函數(shù)嗎？若是，周期為何？

例4.（1）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是________（奇、偶）函數(shù)；f(0)=____________。

（2）定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y)，則f(x)是___________（奇、偶）函數(shù)；f(1)=__________。

解析：（1）令x?y?0

?f(0?0)?f(0)?f(0)

令y??x

?f(?x)??f(x)

（2）令x?y??f(1?1)?f(1)?f(1)?f(0)?0

?f(0)?f(x)?f(?x)?0

?f(x)為奇函數(shù)

?f(1)?0

f(x?x)?f[(?x)(?x)]?f(?x)?f(?x)?2f(?x)

又f(x?x)?f(x)?f(x)?2f(x)

?f(?x)?f(x)?f(x)為偶函數(shù)

2x?1的圖象，并根據(jù)圖象回答函數(shù)的單調區(qū)間，值域。x?1

例5.作出函數(shù)y?

解：?x??1

?函數(shù)定義域為(??，?1)?(?1，??)

由y?2x?12(x?1)?11??2?x?1x?1x?1

?圖象為中心O'(?1，2)的雙曲線

直線x??1，y?2是雙曲線的兩條漸近線

區(qū)間(??，?1)，(?1，??)分別為函數(shù)的增區(qū)間；值域為{y|y?R，且y?2} y O’ 2-1 0 x

例6.（1）函數(shù)y?log4(1?2x?x)的圖象經過怎樣的變換可得到y(tǒng)?log2|x|的

2圖象？

（2）將函數(shù)y?log1x的圖象沿x軸向右平移1個單位，得圖象C。圖象C'與2C關于原點對稱，圖象C''與C'關于直線y?x對稱，求C''對應的解析式。

左平移1個單位22（1）?y?log(1?2x?x)?log(x?1)?log|x?1|????????? 4

42解：|?log|2x?1)?12x|

y?log|(2?將函數(shù)y?log(1?2x?x)的圖象向左平移1個單位，得到函數(shù)y?log2|x| 4的圖象

沿x軸向右平移1個單位（2）y?log1x圖象????????????

關于原點對稱C：y?log1(x?1)圖象????????

關于直線y?x對稱C'：y??log(?x?1)圖象??????????1

1?xxC''：x??log(?y?1)，即y??()?1??2?1122

32設f(x)?ax?bx?cx?d的圖象如圖，則b屬于（例7.）

A.(??，0)B.(0，1)C.(1，2)D.[2，??)

y 0 1 2 x

?f(0)?0?d?0??由圖象得?f(1)?0??a?b?c?0?f(2)?0?8a?4b?2c?0??

解析一：

b2解得a??，c??b，d?03b2b?f(x)??x3?bx2?bx??x(x?1)(x?2)333

圖象可知x?0時，f(x)?0

又x?1?0，x?2?0

故選A

解析二：由圖象知x=0，1，2是方程f(x)=0的三個實根，設f(x)=ax(x—1)(x—2)

當x?2時，f(x)?0

?a?0??b?03?b?0?f(x)?ax3?3ax2?2ax

32又?f(x)?ax?bx?cx?d

?b??3a?0 ?選A

21關于函數(shù)f(x)?sin2x?()|x|?，有下面四個結論：32

例8.（1）f(x)是奇函數(shù)；

（2）當x>2003時，f(x)>1/2恒成立；

（3）f(x)的最大值是3/2；

（4）f(x)的最小值是－1/2。

其中正確結論的是___________。

212（1）?f(x)?sinx?()|x|?32

解析：

顯然f(?x)??f(x)?（1）錯（是偶函數(shù)）

2（2）當x?2003時，?()|x|?0?3

而sinx?[?1，1]

2當sin2x?0時，f(x)?（3）如果f(x)?12?（2）錯

32，則sin2x?()|x|?123

22?sinx?1?()|x|，顯然“?”不成立3

?（3）錯

2（4）當x?0時，sin2x?0最小，且?()|x|??13

11?f(x)?0?1???22

1?最小值為??（4）對2

綜上，只有（4）正確

例9.某工廠有一段舊墻長14m，現(xiàn)利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m2

a的廠房，工程條件是（1）建1m新墻的費用為a元；（2）修1m舊墻費用是4元；（3）拆去1ma舊墻，用所得的材料建1m新墻的費用為2元。經討論有兩種方案：（1）利用舊墻的一段xm（x<14）為矩形廠房一面的邊長；（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14，問如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最?。浚?）（2）兩種方案哪個更好？

分析：利用舊墻為一面矩形邊長為xm，則矩形的另一面邊長為126m。x

解：（1）利用舊墻的一段xm（x?14）為矩形一面邊長，則修舊墻的費用為 aa元，將剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14?x)?元，其余新墻的費用422?126為(2x??14)?a元，故總費用為x x14?x2?126x36y??a??a?(2x??14)a?7a(??1)（0?x?14）42x4x

x?

?y?7a[2當且僅當x36??1]?35a4x

x36?，即x?12m時，ymin?35a4x

x 126126 xx

a7（2）若利用舊墻的一面矩形邊長x?14，則修舊墻的費用為?14?a元，42

2?126建新墻的費用為(2x??14)a元，故總費用為x

72?1267126y?a?(2x??14)a?a?2a(x??7)（x?14）2x2x

x 14

設14?x1?x2，則(x1?xx?126126126)?(x2?)?(x1?x2)12x1x2x1x2

?14?x1?x2

?x1?x2?0，x1x2?126

126在[14，??)上為增函數(shù)x

7126?x?14時，ymin?a?2a(14??7)?355.a214

?y?x?

綜上，采用方案（1）利用12m舊墻為矩形的一面邊長時，建墻總費用最省，為35a元。

【模擬試題】

一.選擇題：

1.二次函數(shù)f(x)滿足f(2?x)?f(2?x)，又f(x)在[0，2]上是增函數(shù)，且f(a)?f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a?0

B.a?0 D.a?0或a?4

C.0?a?4

2.設f(x)是R上的奇函數(shù)，當x?(0，??)時為增函數(shù)，且f(1)=0，則不等式f(x?1)?0的解集為（）

A.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1)?（0，1）

B.(??，0)?(1，2)

D.(?1，0)?(0，1)

x

3.將函數(shù)y=f(x)的圖象向左、向下分別平移2個單位，得到y(tǒng)=2的圖象，則（）

A.f(x)?2x?2?2

xB.f(x)?2x?2?2

x?2f(x)?2?

2C.x?2f(x)?2?2 D.4.已知函數(shù)f(x)的圖象與g(x)?2?1的圖象關于點（0，1）對稱，則f(x)=（）

A.?2?3 x

1?()x?32B.1()x?1D.2

C.2?1 x

?1x?()（x?0）f(x)??2??x2（x?0）?

5.已知函數(shù)，給出代號為a,b,c的三個圖象，再給出序號為1，2，3的三個函數(shù)，那么圖象與函數(shù)能建立對應關系的是（用序號和代數(shù)表示）（）y y y 1 1 1 0 x 0 x-1 0 x a b c 1.y=f(|x|)2.y=|f(x)| 3.y=f(x+1)

A.a?2

B.a?

1C.a?2

D.a?3

b?1b?2c?3 c?3

b?3b?2c?1 c?1

6.已知某林場森林積蓄量每年平均比上一年增長10.4%，經過x年可增長到原來的y倍，則函數(shù)y?f(x)圖象大致為（）

y y y y 1 1 0 x 0 1 x 0 1 x 0 x A B C D

二.填空題：

7.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x?3)?f(x?3)，則f(3)?f(6)=____。

8.設定義在R上的函數(shù)y=f(x)，在（0，2）上是減函數(shù)，且y?f(x?2)為偶函數(shù)，則51f(3)，f()，f()22的大小順序為____________。

9.函數(shù)y?f(|x?3|)的圖象關于_____________對稱。

10.建一個容積為8000m，深6m的長方體蓄水池（無蓋），池壁造價為a元/m2，池底造價為2a元/m2，把總造價y元表示為底的一邊長xm的函數(shù)，其解析式為___________，定義域為3___________，底邊長為________m時，總造價最低是___________元。

三.解答題：

11.如圖，A、B、C、D為四個村莊，恰好座落在邊長為2km的正方形頂點上，現(xiàn)修公路網，它由一條中心路和4條支路組成，要求四條支路長度相等。

（1）若道路網的總長不超過5.5km，試求中心路長的取值范圍；

（2）問中心路長為何值時，道路網的總長度最短。

A B 中 心 路 C D

【試題答案】

1.C 2.B 3.C

4.A

5.A

6.D

7.0（?f(x)是R上的奇函數(shù)

令x?3

令x?0

?f(3)?0）

?f(0)?0

?f(6)?f(0)?0 f(3)?f(?3)??f(3)

15f()?f(3)?f()22

8.9.x?3

10.y?12a(x?80008000208000)?a，x?(0，??)，x?3，16030a?a6x333

11.設中心路長為2x km

22（1）則2x?41?(1?x)?55.?48x?40x?7?0

?17?x?412

222

（2）y?2x?41?(1?x)?(平方)12x?(4y?32)x?32?y?0

?x?(0，??)又y?0

???0?y?3?23317?[，]??3412 ymin?3?23，此時x?1?

第五篇：高中數(shù)學函數(shù)對稱性和周期性小結

高中數(shù)學函數(shù)對稱性和周期性小結

一、函數(shù)對稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)關于x=a對稱

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)關于 x=(a+b)/2 對稱 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)關于點（a，0）對稱 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)關于點（a，b）對稱

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)關于點 [（a+b）/2，c/2] 對稱 y = f(x)與 y = f(-x)關于 x=0 對稱 y = f(x)與 y =-f(x)關于 y=0 對稱 y =f(x)與 y=-f(-x)關于點(0,0)對稱

例1：證明函數(shù) y = f(a+x)與 y = f(b-x)關于 x=(b-a)/2 對稱。

【解析】求兩個不同函數(shù)的對稱軸，用設點和對稱原理作解。

證明：假設任意一點P（m，n）在函數(shù)y = f(a+x)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即證得對稱軸為 x=(b-a)/2.例2：證明函數(shù) y = f(ax)上，令關于 x=t 的對稱點Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函數(shù)最小正周期 T=|4a|