第一篇：2014年河南專升本《高等數(shù)學(xué)》教材

2014年河南專升本高數(shù)教材

2014年河南專升本考試專用教材，由河南省專升本命題研究中心組編，葛云飛教授主編的一本為大學(xué)?？茖哟蔚膶W(xué)生和讀者編寫的高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)及輔導(dǎo)類教材。

全書共分三部分：第一部分包括第一章至第十二章，主要內(nèi)容有函數(shù)、極限與連續(xù)，一元函數(shù)微分學(xué)，一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用，不定積分，定積分，定積分的應(yīng)用，常微分方程，向量代數(shù)與空間解析幾何，多元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)，曲線積分，無窮級數(shù)，其中包含了課后習(xí)題，題型點撥等；第二部分是真題聚焦，包含了自河南專升本以來的歷年所有真題；第三部分是模擬試卷，是由河南專升本命題研究組根據(jù)歷年河南專升本命題趨向編制的針對2013年河南專升本考生的模擬試題。

本書內(nèi)容通俗淺顯，各章配有基本要求、基本知識、典型例題、同步練習(xí)和綜合測試題，模擬試題，能夠滿足不同程度學(xué)生的要求，適應(yīng)面廣，可伸縮性強。本書可作為高等職業(yè)院校、高等?？圃盒?、成人高等院校、本科院校舉辦的二級職業(yè)技術(shù)學(xué)院相關(guān)專業(yè)的教學(xué)用書，也可供五年制高職院校、中等職業(yè)學(xué)校及其他有關(guān)人員使用，對于從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作的高職高專院校的老師也是一本內(nèi)容詳實的參考書。

自此教材出版以來，每年均有90%以上的考高數(shù)的河南專升本考生選用此教材。這本教材對參加河南專升本的考生會是一個不錯的選擇

第二篇：2014年河南專升本《高等數(shù)學(xué)》教材

2014年河南專升本高數(shù)教材

2014年考試專用教材，由葛云飛教授主編的一本為大學(xué)?？茖哟蔚膶W(xué)生和讀者編寫的高等數(shù)學(xué)教材。

全書共分三部分：第一部分是河南專升本高等數(shù)學(xué)考試基礎(chǔ)知識及重難點（共十二章，三十節(jié)），其中包含了課后習(xí)題，題型點撥等內(nèi)容；第二部分是真題聚焦，包含了自河南專升本以來的歷年真題；第三部分是模擬試卷，是由河南專升本命題研究組根據(jù)歷年河南專升本命題趨向編制的針對2014年河南專升本考生的模擬試題。

本書內(nèi)容通俗淺顯，融復(fù)習(xí)內(nèi)容與考試內(nèi)容與一體，不僅有助于考生系統(tǒng)地復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識，更有助于考生準確掌握考試的重點、難點，提高應(yīng)試能力。同時，本書試題涵蓋不同層面的知識，能夠滿足不同程度學(xué)生的要求，適應(yīng)面廣，可伸縮性強。對參加河南專升本的考生來說本書會是一個不錯的選擇。

第三篇：專升本高等數(shù)學(xué)(二)

成人高考（專升本）高等數(shù)學(xué)二

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。2.會求函數(shù)的間斷點。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。

第二章一元函數(shù)微分學(xué) 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)。

2.會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對數(shù)求導(dǎo)法。會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.熟練掌握用洛必達法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。

2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡單的不等式。

3.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應(yīng)用題。

4.會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。5.會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

第一節(jié)不定積分

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。

4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡單有理函數(shù)不定積分的計算。

第二節(jié)定積分及其應(yīng)用

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件 2.掌握定積分的基本性質(zhì)

3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。

7.掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

第四章多元函數(shù)微分學(xué)

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。

3.理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4.掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5.會求二元函數(shù)的無條件極值和條件極值。

6.會用二元函數(shù)的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。

第五章概率論初步

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解隨機現(xiàn)象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。

2.掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對立關(guān)系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規(guī)律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計算。5.會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。

6.了解隨機變量的概念及其分布函數(shù)。

7.理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8.會求離散性隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標準差。

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。[主要知識內(nèi)容]

（一）數(shù)列的極限 1.數(shù)列

定義按一定順序排列的無窮多個數(shù)

稱為無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列，記作{xn}，數(shù)列中每一個數(shù)稱為數(shù)列的項，第n項xn為數(shù)列的一般項或通項，例如

（1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差數(shù)列）（2）（3）（等比數(shù)列）（遞增數(shù)列），?（震蕩數(shù)列）（4）1，0，1，0，?都是數(shù)列。它們的一般項分別為（2n-1）,。

對于每一個正整數(shù)n，都有一個xn與之對應(yīng)，所以說數(shù)列{xn}可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當自變量n依次取1,2,3?一切正整

數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。

在幾何上，數(shù)列{xn}可看作數(shù)軸上的一個動點，它依次取數(shù)軸上的點x1,x2,x3,...xn,?。2.數(shù)列的極限

定義對于數(shù)列{xn}，如果當n→∞時，xn無限地趨于一個確定的常數(shù)A，則稱當n趨于無窮大時，數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作

比如：

無限的趨向0，無限的趨向1 否則，對于數(shù)列{xn}，如果當n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數(shù)，稱數(shù)列{xn}沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

依次用數(shù)軸上的點表示，若數(shù)數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項列{xn}以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：

無限的趨向0 無限的趨向1

（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運算法則 1.數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1.1（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數(shù)列{xn}收斂，則它必定有界。

注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，?

有界：0，1 2.數(shù)列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1）（2），則，定理1.4若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。3.數(shù)列極限的四則運算定理。定理1.5

（1）（2）（3）當時，（三）函數(shù)極限的概念 1.當x→x0時函數(shù)f（x）的極限（1）當x→x0時f（x）的極限

定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→x0時）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左極限

當x→x0時f（x）的左極限

定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→x0時，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作

或f（x0-0）=A（3）右極限

當x→x0時，f（x）的右極限

定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數(shù)f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→x0時，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作

或f（x0+0）=A 例子：分段函數(shù)，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數(shù)1。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有

當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)-1。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是-1，即有

顯然，函數(shù)的左極限系：

定理1.6當x→x0時，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是

反之，如果左、右極限都等于A，則必有

x→1時f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

對于函數(shù)，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。

右極限

與函數(shù)的極限

之間有以下關(guān)

2.當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限（1）當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱

當x→∞時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→∞時）

（2）當x→+∞時，函數(shù)f（x）的極限

定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→+∞時，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

這個定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n→+∞的n是正整數(shù)；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實數(shù)。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當x→+∞時，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）當x→-∞時，函數(shù)f（x）的極限

定義對于函數(shù)y=f（x），如果當x→-∞時，f（x）無限地趨于一個常數(shù)A，則稱當x→-∞時，f（x）的極限是A，記作

x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函數(shù)，當x→-∞時，f（x）→？

解：當x→-∞時，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是A充分必要條件是當x→+∞以及x→-∞時，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)，當x→-∞時，f（x）無限地趨于常數(shù)1，當x→+∞時，f（x）的極限是1，記作 也無限地趨于同一個常數(shù)1，因此稱當x→∞時

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數(shù)y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。

（四）函數(shù)極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)滿足條件：（1），（2）

在點的某個鄰域內(nèi)（可除外）則有。

注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運算定理 定理1.9如果（1）（2）

則

（3）當時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：

（1）（2）

（3）

用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。

（五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡稱無窮?。┒x對于函數(shù)常用希臘字母定理1.10函數(shù)，如果自變量x在某個變化過程中，函數(shù)

為無窮小量，一般記作，?來表示無窮小量。以A為極限的必要充分條件是： 的極限為零，則稱在該變化過程中，可表示為A與一個無窮小量之和。

注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。

（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴格區(qū)分開，一個很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮小量。

（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關(guān)的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結(jié)論也不盡相同。例如：

振蕩型發(fā)散

（4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。

（5）無窮小量不是一個常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的一個數(shù)，這是因為。

2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無。

或

。限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作注意：無窮大（∞）不是一個數(shù)值，“∞”是一個記號，絕不能寫成3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關(guān)系，見以下的定理。

定理1.11在同一變化過程中，如果如果當當為無窮小量，且無窮大 無窮小 為無窮小，則

為無窮大量，則為無窮大量。

為無窮小量；反之，無窮大

4.無窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量；

性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質(zhì)4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較 定義設(shè)（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一變化過程中的無窮小量，即則稱

是比較高階的無窮小量，記作

。；

則稱與為同階的無窮小量； 則稱與則稱

為等價無窮小量，記為是比較低價的無窮小量。當

；

等價無窮小量代換定理：

如果當時存在，則又有。

均為無窮小

均為無窮小量，又有且

這個性質(zhì)常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有： 當時，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）兩個重要極限 1.重要極限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式

令

這個公式很重要，應(yīng)用它可以計算三角函數(shù)的其結(jié)構(gòu)式為：

型的極限問題。

2.重要極限Ⅱ

重要極限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是個常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對數(shù)的底，它的值為 e=2.7***045?? 其結(jié)構(gòu)式為：

重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。

（七）求極限的方法：

1.利用極限的四則運算法則求極限； 2.利用兩個重要極限求極限； 3.利用無窮小量的性質(zhì)求極限； 4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

5.利用洛必達法則求未定式的極限； 6.利用等價無窮小代換定理求極限?；緲O限公式

（2）（3）

（4）例1.無窮小量的有關(guān)概念

（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是 A.C.A.B.D.發(fā)散

[答]C

D.（2）[0202]當時，與x比較是 A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量

C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量 [答]B 解:當,與x是

極限的運算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解約分求極限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]計算解: 例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.當時求

型的極限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要極限Ⅰ求極限

（1）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要極限Ⅱ求極限

（1）[0416]計算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]計算

[答]

解:

例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限 [0407]解:，[答]0

例8.用等價無窮小代換定理求極限 [0317]解:當 [答]0

例9.求分段函數(shù)在分段點處的極限（1）[0307]設(shè)則在的左極限[答]1 [解析]

（2）[0406]設(shè)[解析] ,則

[答]1

例10.求極限的反問題（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必達法則）

即（2）若[解析]型未定式.當時，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.則常數(shù)

，即，得，.求a,b的值..，得，..，則k=_____.（答:ln2）

前面我們講的內(nèi)容：

極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量階的比較。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解函數(shù)在一點處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點處連續(xù)性的方法。2.會求函數(shù)的間斷點。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會利用函數(shù)連續(xù)性求極限。[主要知識內(nèi)容]

（一）函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)在點x0處連續(xù)

定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時，相應(yīng)的函數(shù)的改變量△y也趨近于0，即

則稱函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)。

函數(shù)y=f（x）在點x0連續(xù)也可作如下定義：

定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當x→x0時，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即

定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點x0處連續(xù)，則f（x）在點x0處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)

定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的每一點X處都連續(xù)，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并稱f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即f（x）在左端點a處是右連續(xù)，在右端點b處是左連續(xù)。

可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3.函數(shù)的間斷點

定義如果函數(shù)f（x）在點x0處不連續(xù)則稱點x0為f（x）一個間斷點。由函數(shù)在某點連續(xù)的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一：（1）在點x0處，f（x）沒有定義；

（2）在點x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點x0處f（x）有定義，且，則點x0是f（x）一個間斷點。

存在，但，則f（x）在

A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù) C.x=0處間斷，x=1處連續(xù) D.x=0處連續(xù)，x=1處間斷

解：x=0處，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點 x=1處，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續(xù) ［答案］C [9703]設(shè)A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0處連續(xù)，則k等于

［答案］B 例3[0209]設(shè)解：f（0）=e0=1

在x=0處連續(xù)，則a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

定理1.12（四則運算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續(xù)（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。

定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處連續(xù)。

在求復(fù)合函數(shù)的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應(yīng)的

定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴格單調(diào)增加（或嚴格單調(diào)減少）。

（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數(shù)C，在[a，b]上至少存

處連續(xù)，則極限符號可以與函數(shù)符號交換。即

在一個ξ，使得

推論（零點定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個點ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函數(shù)的連續(xù)性

由函數(shù)在一點處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。

定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點，則

f（x）在x0處連續(xù)

也就是說，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點處的極限值，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可。［0407］

[0611]

例1.證明三次代數(shù)方程x3-5x+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個實根.證：設(shè)f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續(xù) f（0）=1 f（1）=-3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內(nèi)至少有一個實根。本章小結(jié)

函數(shù)、極限與連續(xù)是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

這一章的內(nèi)容在考試中約占15%，約為22分左右。現(xiàn)將本章的主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：

一、概念部分

重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續(xù)的概念。

極限概念應(yīng)該明確極限是描述在給定變化過程中函數(shù)變化的性態(tài)，極限值是一個確定的常數(shù)。

函數(shù)在一點連續(xù)性的三個基本要素：（1）f（x）在點x0有定義。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、運算部分

重點：求極限，函數(shù)的點連續(xù)性的判定。1.求函數(shù)極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運算法則求極限；

對于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個重要極限求極限；

（3）利用無窮小量的性質(zhì)求極限；（4）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； 若f（x）在x0處連續(xù)，則。

（5）利用等價無窮小代換定理求極限；（6）會求分段函數(shù)在分段點處的極限；（7）利用洛必達法則求未定式的極限。

2.判定函數(shù)的連續(xù)性，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理證明方程的根的存在性。

第四篇：高等數(shù)學(xué)教材 2

目錄

一、函數(shù)與極限 ·························································································································· 21、集合的概念 ···················································································································· 22、常量與變量 ···················································································································· 32、函數(shù) ······························································································································· 33、函數(shù)的簡單性態(tài) ············································································································ 44、反函數(shù)···························································································································· 55、復(fù)合函數(shù) ························································································································ 56、初等函數(shù) ························································································································ 67、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) ································································································· 78、數(shù)列的極限 ···················································································································· 89、函數(shù)的極限 ···················································································································· 910、函數(shù)極限的運算規(guī)則 ································································································· 11

第五篇：專升本高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題15

數(shù)學(xué)分析3試卷（2）

一、（12%）判別下列級數(shù)的斂散性：

?

（1）?

n?1(n!)2?(2n)!（2）?

n?1nnn(2n?1)

二、（20%）證明

11?xsin?ysin?yx（1）f(x,y)??

?0?xy?0xy?0(x,y?)在原點(0,(0,0)的 極限是0.（2）g(x,y)??xy

x?y22在原點(0,0)不存在極限.??x?y

三、（10%）證明函數(shù)f(x,y)????0xy?0xy?0在(0,0)存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，但是在(0,0)

不可微.四、（10%）求復(fù)合函數(shù)??f(x,y),x?2(s?t),y?st的二階偏導(dǎo)數(shù).五、（12%）驗證方程x3?y3?z3?2xyz?6在點(1,1,2)的鄰域存在以x,y為自變量的隱函數(shù)并求?z

?x與?z

?y.六、（10%）求函數(shù)z?3x?3y?6xy的極值.七、（10%）求曲面z?x?y?1在點(1,1,1)的切平面方程與法線的方程.?2233

八、（10%）.設(shè)f(x)??1?nn?1

42x4x2(n?0)?（1）判定級數(shù)?

n?1x1?nx的一致收斂性.（2）證明和函數(shù)f(x)在(0,??)連續(xù).