第一篇：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

6.2.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

●教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤

M

42，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.＋

2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥

2P，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.(二)能力訓(xùn)練要求

通過兩個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握均值不等式定理，并會(huì)用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值.(三)德育滲透目標(biāo)

掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)順序定理及相應(yīng)的一組不等式，使學(xué)生認(rèn)清定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和取“＝”條件.要在分析具體問題的特點(diǎn)的過程中尋求運(yùn)用公式的適當(dāng)形式和具體方式，自覺提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.●教學(xué)重點(diǎn)

基本不等式a＋b≥2ab和

2a?b2

≥ab（a＞0，b＞0）的應(yīng)用，應(yīng)注意：

(1)這兩個(gè)數(shù)(或三個(gè)數(shù))都必須是正數(shù)，例如：當(dāng)xy＝4時(shí)，如果沒有x、y都為正數(shù)的條件，就不能說x＋y有最小值4，因?yàn)槿舳际秦?fù)數(shù)且滿足xy＝4，x＋y也是負(fù)數(shù)，此時(shí)x＋y可以取比4小的值.(2)這兩個(gè)(或三個(gè))數(shù)必須滿足“和為定值”或“積為定值”，如果找不出“定值”的條件，就不能用這個(gè)定理.例如，求當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x2＋

1x

1x的最小值，若寫成y＝x2＋

1x

1x

≥

2x?

2?2x，就說“最小值為2x”是錯(cuò)誤的，因?yàn)閤2·

12x

12x

4不是定值，而2x仍為

1x

隨x變化而變化的值.正確的解法是：由于x2·

12x

·＝為定值，故x2＋＝x2＋

12x

＋≥3·3x?

22x2x

?

?

32，即y的最小值為

322

.(3)要保證等號(hào)確定能成立，如果等號(hào)不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教學(xué)難點(diǎn)

如何湊成兩個(gè)(或三個(gè))數(shù)的和或積是定值.例如“教學(xué)重點(diǎn)”(2)中y＝x2＋

1x

湊成y＝

x2＋

12x

＋

12x

.●教學(xué)方法 啟發(fā)式教學(xué)法 ●教具準(zhǔn)備

投影片一張 記作§６.2.2 A

Ⅰ.課題導(dǎo)入

上一節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了一個(gè)重要定理：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)(以下簡(jiǎn)稱均值不等式).這個(gè)定理有時(shí)可以直接運(yùn)用，有時(shí)用它的變形或推廣形式，(打出投影片§6.2.2 A，教師引導(dǎo)學(xué)生略作分析)，使同學(xué)們掌握下面幾個(gè)重要的不等式：

(1)a＋b≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；(2)(3)(4)

a?b2

?

ab（a＞0，b＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；

ba

?

ab

3≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)；

?

a?b?c

abc（a＞0，b＞0，c＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào)；

(5)a＋b＋c≥3abc（a＞0，b＞0，c＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào).在此基礎(chǔ)上，上述重要不等式有著廣泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等.它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧.今天，我們就來進(jìn)一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用.Ⅱ.講授新課

［例1］已知x、y都是正數(shù)，求證：

(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2P；(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值

4S2.［師］本題顯然是均值不等式的應(yīng)用，在運(yùn)用均值不等式時(shí)應(yīng)注意：“算術(shù)平均數(shù)”是以“和”為其本質(zhì)特征，而“幾何平均數(shù)”是以“積”為其本質(zhì)特征.［生］∵x，y都是正數(shù)

∴

x?y

2?

xy

x?y2

?

P，(1)當(dāng)積xy＝P為定值時(shí)，有即x＋y≥2

P.上式中，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取“＝”號(hào)，因此，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2P.(3)當(dāng)和x＋y＝S為定值時(shí)，有xy?即xy≤

S2，S2.14

上式中，當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)積xy有最大值 S2.［師生共析］通過對(duì)本題的證明，運(yùn)用均值不等式解決函數(shù)的最值問題時(shí)，有下面的方法：若兩個(gè)正數(shù)之和為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的積有最大值；若兩個(gè)正數(shù)之積為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)，它們的和有最小值.在利用均值不等式求函數(shù)的最值問題時(shí)，我們應(yīng)把握好以下兩點(diǎn)：(1)函數(shù)式中，各項(xiàng)(必要時(shí)，還要考慮常數(shù)項(xiàng))必須都是正數(shù).例如，對(duì)于函數(shù)式x＋地認(rèn)為關(guān)系式x＋

1x

1x，當(dāng)x＜0時(shí)，絕不能錯(cuò)誤

1x

≥2成立，并由此得出x＋

1x

1x的最小值是2.事實(shí)上，當(dāng)x＜0時(shí)，x＋＞0?－（x＋

1x的最大值是－2，這是因?yàn)閤＜0?－x＞0，－

1x

1x）＝（－x）＋（－

1x）

≥2(?x)?(?)＝2?x＋≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x＝－1時(shí)取得.(2)函

數(shù)式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)，并且只有當(dāng)各項(xiàng)相等時(shí)，才能利用均值不等式求函數(shù)的最值.［例2］已知a，b，c，d都是正數(shù)，求證（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［師］運(yùn)用均值不等式，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，是證明本題的關(guān)鍵.［生］∵a，b，c，d都是正數(shù)，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0.∴

ab?cd

??

ab?cd＞0，ac?bd＞0.ac?bd

由不等式的性質(zhì)定理4的推論1，得

(ab?cd)(ac?bd)

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd.［師生共析］用均值不等式證明題時(shí)，要注意為達(dá)到目標(biāo)可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運(yùn)用時(shí)，常需先湊形后運(yùn)用；均值不等式和不等式的基本性質(zhì)聯(lián)合起來證題是常用的行之有效的方法.利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理(均值不等式)，可以很容易地解決本章開始的引言中提出的問題：

某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800 m3，深為3 m，如果池底每1 m2的造價(jià)為150元，池壁每1 m的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元?

［師］應(yīng)用題的最值問題，主要是選取適當(dāng)?shù)淖兞浚僖罁?jù)題設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型(即函數(shù)關(guān)系式)，由變量和常量之間的關(guān)系，選取基本不等式求最值.(在教師的引導(dǎo)分析下，師生共同完成解答過程).［生］設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為x m，則另一邊的長(zhǎng)度為

48003x

m，又設(shè)水池總造價(jià)為

ｌ元.根據(jù)題意，得

ｌ＝1５0×

4800

3＋120（2×3x＋2×3×

1600x

48003x）

＝240000＋７20（x＋）.≥240000＋７20×2x?

1600x

＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.當(dāng)x＝

1600x，即x＝40時(shí)，ｌ有最小值297600.因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40 m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.［師生共析］我們應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理(即均值不等式)順利解決了本章引例中的問題.用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：

(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.Ⅲ.課堂練習(xí)

1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2＋分析：注意到x＋

81x的值最小?最小值是多少?

81x

是和的形式，再看x·＞0.81x

＝８1為定值，從而可求和的最小值.解：x≠0?x2＞0，81x

81x

∴x2＋≥2x?

81x

81x

＝1８，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x＝±3時(shí)取“＝”號(hào).81x

故x=±3時(shí)，x+的值最小，其最小值是18.2.一段長(zhǎng)為Ｌ m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?

分析：均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，解題過程中要(1)先構(gòu)造定值，(2)建立函數(shù)關(guān)系式，(3)驗(yàn)證“＝”號(hào)成立，(4)確定正確答案.解法一：設(shè)矩形菜園的寬為x m，則長(zhǎng)為（Ｌ－2x）m，其中0＜x＜

2，其面積

S＝x（Ｌ－2x）

＝

·2x（Ｌ－2x）≤

（2x?L?2x)?

L

8當(dāng)且僅當(dāng)2x＝Ｌ－2x，即x＝

L

L

4時(shí)菜園面積最大，即菜園長(zhǎng)

L2

m，寬為

L4

m時(shí)菜園面

積最大為

m.L?x2

解法二：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m，則寬為

x(L?x)

(x?

L?x)2

m，面積

S＝

?

（x?L?x)

≤?

L

（m2）.L2

當(dāng)且僅當(dāng)x＝Ｌ－x，即x＝

L4

（m）時(shí)，矩形的面積最大.也就是菜園的長(zhǎng)為

L

L2

m，寬為

m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為

m2.3.設(shè)0＜x＜2，求函數(shù)f（x）＝3x(8?3x)的最大值，并求出相應(yīng)的x值.分析：根據(jù)均值不等式：ab?８－3x是否為正數(shù)；二要考查式子

解：∵0＜x＜2 ∴3x＞0，８－3x＞0 ∴f（x）＝3x(8?3x)≤

3x?(8?3x)

24312a?b2，研究3x(8?3x)的最值時(shí)，一要考慮3x與

［3x＋（８－3x）］是否為定值.＝4

當(dāng)且僅當(dāng)3x＝８－3x時(shí)，即x＝時(shí)取“＝”號(hào).4

3故函數(shù)f（x）的最大值為4，此時(shí)x＝.Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其推廣的幾個(gè)重要不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題.在解決問題時(shí)，我們重點(diǎn)從以下三個(gè)方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項(xiàng)都取正值)；二是合理尋求各因式或項(xiàng)的積或和為定值；三是確定等號(hào)能夠成立.只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點(diǎn)的過程當(dāng)中合理運(yùn)用公式的適當(dāng)形式和具體方式，解決某些函數(shù)的最值問題.Ⅴ.課后作業(yè)

(一)課本P11習(xí)題6.24、５、７.(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P12 §６.3.1不等式的證明.2.預(yù)習(xí)提綱：

(1)用比較法證明不等式.(2)用比較法證明不等式的一般步驟：

作差(或商)→變形→判斷差的符號(hào)(或商與1的大小)→得證.●板書設(shè)計(jì)

第二篇：足球比賽與平均數(shù)

足球比賽與平均數(shù)

有這樣一道判斷題：

在一場(chǎng)足球比賽中，南方隊(duì)與北方隊(duì)的比賽結(jié)果是4︰0，那么兩隊(duì)的平均成績(jī)是2個(gè)球。學(xué)生普遍判對(duì)，老師卻分成了兩派，互不相讓。

判對(duì)的老師振振有辭，他們認(rèn)為，根據(jù)求平均數(shù)的方法，平均數(shù)=總數(shù)÷總份數(shù)，兩隊(duì)總共得4球，平均分成2份，每隊(duì)平均得2球。難道這也有錯(cuò)嗎？

咋一聽，是這么回事兒。我卻不這樣認(rèn)為，盡管從計(jì)算方法上看不出毛病，但是回憶我們以前遇到過的求平均數(shù)，譬如，某個(gè)學(xué)生幾門功課的平均成績(jī)，班級(jí)學(xué)生的平均身高，農(nóng)民的平均收入等等，都是能夠反映某種現(xiàn)象，說明某個(gè)問題。說明白點(diǎn)，都是有意義的。而足球比賽中的平均數(shù)能說明什么呢？

舉例來說，兩支足球強(qiáng)隊(duì)水平相當(dāng)，比賽的結(jié)果可能是0︰0，兩隊(duì)的平均成績(jī)是0，另外有兩支水平一般的球隊(duì)，比賽結(jié)果可能是6︰4，兩隊(duì)的平均成績(jī)是（6+4）÷2=5（個(gè)）。你能因此說，前兩支足球隊(duì)的水平不如后兩支隊(duì)的水平嗎？況且，就一場(chǎng)比賽的結(jié)果而言，用平均數(shù)也是很不科學(xué)的，因?yàn)樽闱虮荣愂菍?duì)抗賽，比賽得分只能說明兩支球隊(duì)的差距，不能反映兩支球隊(duì)的水平。

同學(xué)們，足球比賽成績(jī)不適合用平均數(shù)，你還知道哪些比賽同樣不適合用平均數(shù)嗎？ 很明顯，足球比賽屬于對(duì)抗賽，既然足球比賽不適合用平均數(shù)，那么屬于對(duì)抗賽的籃球、排球、乒乓球、水球等運(yùn)動(dòng)顯然也不適合求平均數(shù)。但是，體育運(yùn)動(dòng)中的田徑運(yùn)動(dòng)一般是以時(shí)間、高度或遠(yuǎn)度計(jì)算成績(jī)，這些運(yùn)動(dòng)是可以求平均數(shù)的。

綜上所述，平均數(shù)雖然應(yīng)用范圍廣泛，但也不是適用生產(chǎn)、生活的所有領(lǐng)域。沒有實(shí)際意義、生搬硬套的平均數(shù)是無意義的。

數(shù)學(xué)是生活中的數(shù)學(xué)，是有用的數(shù)學(xué)，為平均數(shù)而求平均數(shù)是無價(jià)值的。

江蘇省興化市釣魚中心校卞書鑒

0523——85268945

第三篇：《算術(shù)平方根》教案

7.1算術(shù)平方根

教材分析：

本課教材所處位置是本章的第一節(jié)，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)要由有理數(shù)范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍，而本課是學(xué)習(xí)無理數(shù)的前提，是學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的銜接與過渡，并且是以后學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，對(duì)以后學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等知識(shí)及實(shí)際問題的解決起著舉足輕重的作用． 學(xué)情分析：

學(xué)生已掌握一些完全平方數(shù)，能說出一些完全平方數(shù)是哪些有理數(shù)的平方，同時(shí)對(duì)乘方運(yùn)算也有一定的認(rèn)識(shí)． 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：1．了解算術(shù)平方根的意義，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根，會(huì)用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根；

2．經(jīng)歷從平方運(yùn)算到求算術(shù)平方根的演變過程，體會(huì)兩者的互逆關(guān)系，發(fā)展思維能力．

過程與方法：經(jīng)歷探索算術(shù)平方根的過程，能用算術(shù)平方根求某非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根． 情感態(tài)度和價(jià)值觀：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際是緊密相連，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． 學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：算術(shù)平方根的概念 難點(diǎn)：算術(shù)平方根的意義 教學(xué)過程： 導(dǎo)入新課

隨著人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展，人們從現(xiàn)實(shí)世界抽象出一種不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)合起來形成了一種新的數(shù)——實(shí)數(shù)．本章將從平方根與立方根等說起，學(xué)習(xí)有關(guān)實(shí)數(shù)的初步知識(shí)，并用這些知識(shí)解決一些實(shí)際問題． 【設(shè)計(jì)意圖】：

通過導(dǎo)入讓學(xué)生知道本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的意義． 交流探究

1、已知正方形的邊長(zhǎng)，我們會(huì)計(jì)算它的面積。反之，如果知道了正方形的面積，你會(huì)求它的邊長(zhǎng)嗎？

（1）一個(gè)正方形的面積是4，它的邊長(zhǎng)是多少？（2）一個(gè)正方形的面積是9，它的邊長(zhǎng)是多少？（3）一個(gè)正數(shù)的平方是16，這個(gè)數(shù)是多少？

2、歸納總結(jié)： 一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2?a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根，記作“a”，讀作“根號(hào)a”。特別地，規(guī)定0的算術(shù)平方根是0.2由此得（a）=a(a?0).點(diǎn)撥：負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．

提示：在上面的問題（）中，12是4的算術(shù)平方根，記作4=2.例1：求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：（1）49；（2）100； 9（3）；（4）0.64.16解：（1）因?yàn)?2=49，所以，49的算術(shù)平方根是7，即49=7；（2）因?yàn)?02=100，所以，100的算術(shù)平方根是10，即100=10；329（3）因?yàn)椋ǎ?，4169393所以，的算術(shù)平方根是，即=；164164（4）因?yàn)?.82=0.64，所以，0.64的算術(shù)平方根是0.8，即0.64=0.8.例2：用大小完全相同的240塊正方形地板磚，鋪一間面積為60平方米的會(huì)議室的地面，每塊地板磚的邊長(zhǎng)是多少？解：設(shè)每塊地板磚的邊長(zhǎng)為x米，由題意，得 122 240x?60,即x?.411于是，x???0.5.42所以，每塊地板磚的邊長(zhǎng)是0.5米?！窘虒W(xué)設(shè)計(jì)】：

1．采取語言敘述和符號(hào)表示互相補(bǔ)充的做法，目的是讓大家明白算術(shù)平方根的概念； 2．從計(jì)算中進(jìn)一步體會(huì)一個(gè)正數(shù)的平方和它的算術(shù)平方根是互為逆運(yùn)算．

3．將算術(shù)平方根引入到實(shí)際生活實(shí)例中，在得出算術(shù)平方根的性質(zhì)，即算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．

當(dāng)堂檢測(cè): 1．判斷：

（1）5是25的算術(shù)平方根；()（2）-6是3 的算術(shù)平方根；()（3）0的算術(shù)平方根是0；()（4）0.01是0.1的算術(shù)平方根；()（5）-5是-25的算術(shù)平方根；()（6）5的算術(shù)平方根是()2．下列各數(shù)沒有算術(shù)平方根的是（）A． 0 B．16 C．－4 D．2 3．若實(shí)數(shù)a的算術(shù)平方根等于3，則a的值是（）A．3 B．－3 C．－9 D．9 4．填空題：

①正數(shù)的算術(shù)平方根是（）0的算術(shù)平方根是（）算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是（②（－4）2的算術(shù)平方根是（）

③1/49的算術(shù)平方根的相反數(shù)的絕對(duì)值是（）

5．16 的算術(shù)平方根等于____，16的值是______，16的算術(shù)平方根是______．

6．??3?2的值等于______．

課堂小結(jié):

1．了解了算術(shù)平方根的概念

2．能利用正方形的面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系求正數(shù)的算術(shù)方根并會(huì)用符號(hào)表示 作業(yè):

課本P.41第1，2題 板書設(shè)計(jì):

7.1算術(shù)平方根

交流與探究 例1 例2）

第四篇：《算術(shù)平方根》說課稿

一、教材分析：

1、說課內(nèi)容：人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十三章《實(shí)數(shù)》第一節(jié)《平方根》第一課時(shí)：算術(shù)平方根。

2、教材的地位與作用

本課教材所處位置是本章的第一節(jié)，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)要由有理數(shù)范圍擴(kuò)大到實(shí)數(shù)范圍，而本課是學(xué)習(xí)無理數(shù)的前提，是學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)的銜接與過渡，并且是以后學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，對(duì)以后學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等知識(shí)及實(shí)際問題的解決起著舉足輕重的作用。

3、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)的重點(diǎn)：算術(shù)平方根概念的引入

教學(xué)的難點(diǎn)：解決實(shí)際問題，動(dòng)手操拼圖

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)：

知識(shí)與技能：

1、說出正數(shù)a的算數(shù)平方根的定義，記住零的算術(shù)平方根;

2、會(huì)用 表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根;

3、知道非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù);

數(shù)學(xué)思考：通過學(xué)習(xí)習(xí)近平方根，建立初步的數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維;

解決問題：通過拼大正方形的活動(dòng)，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展形象思維;在探究活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作并能與他人交流思維的過程和探究的結(jié)果。

情感態(tài)度：通過學(xué)習(xí)習(xí)近平方根，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系;通過探究活動(dòng)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心，提高學(xué)習(xí)熱情。

三、教學(xué)分析：

1、學(xué)情分析：學(xué)生已掌握一些完全平方數(shù)，能說出一些完全平方數(shù)是哪些有理數(shù)的平方，同時(shí)對(duì)乘方運(yùn)算也有一定的認(rèn)識(shí)。

2.相應(yīng)的教法：從一些完全平方數(shù)入手，引入概念，設(shè)置疑問，動(dòng)手操作，再根據(jù)實(shí)踐需要，教師從方法上指導(dǎo)師生合作探究。

3.具體措施：精講多練，教師擔(dān)任設(shè)計(jì)活動(dòng)、調(diào)節(jié)氣氛、整理歸納的導(dǎo)演作用，學(xué)生是表現(xiàn)者、活動(dòng)者。運(yùn)用多媒體提高課堂容量，增加形象感與趣味性。通過聲像并茂、動(dòng)靜皆宜的表現(xiàn)形式，生動(dòng)、形象地展示教學(xué)內(nèi)容，擴(kuò)大學(xué)生視野，有效促進(jìn)課堂教學(xué)的大容量、多信息和高效率，有利于學(xué)生開發(fā)智能、培養(yǎng)能力和提高素質(zhì)，將教學(xué)引入了一個(gè)新的境界。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)：

1、創(chuàng)設(shè)情境 引入新課

結(jié)合通過神州七號(hào)載人飛船發(fā)射成功引入新課，從而激發(fā)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的愛國(guó)熱情。

2、師生互動(dòng)，學(xué)習(xí)新知

以秋天的長(zhǎng)白山為話題，師創(chuàng)設(shè)問題，已知正方形的面積，求邊長(zhǎng)。通過分析問題，引導(dǎo)學(xué)生歸納算術(shù)平方根的概念。在此基礎(chǔ)上師通過想一想試一試練一練加深學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，突出本課的重點(diǎn)，從而歸納出：負(fù)數(shù)沒有平方根，算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性。

3、動(dòng)手操作 學(xué)以致用

從生活中提煉數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中，勤于實(shí)踐，活學(xué)活用，善于用所求的知識(shí)解決一些身邊的實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，通過拼大正方形的活動(dòng)體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，發(fā)展形象思維，在探究活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過程和探究的結(jié)果。

4、隨堂檢測(cè) 反思教學(xué)

通過小測(cè)試，及時(shí)檢測(cè)學(xué)生對(duì)本課知識(shí)的掌握情況，提高學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，同時(shí)反思教學(xué)，查漏補(bǔ)缺.5、提出疑問 留下伏筆

培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納知識(shí)的能力，反思教學(xué)，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)彌補(bǔ).師設(shè)懸念，激發(fā)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

說課綜述：本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，力求為學(xué)生創(chuàng)造一種寬松、和諧、適合學(xué)生發(fā)展的學(xué)習(xí)環(huán)境，創(chuàng)設(shè)一種有利于思考、討論、探索的學(xué)習(xí)氛圍。本節(jié)教學(xué)充分發(fā)揮遠(yuǎn)教資源的便利，在例題的設(shè)計(jì)上、在思考題、拓展練習(xí)的編排上，在教學(xué)重難點(diǎn)的突破上，合理而有效的使用了遠(yuǎn)教資源，使數(shù)學(xué)教學(xué)與遠(yuǎn)教資源的運(yùn)用形成新的整合模式。整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)層層推進(jìn)、步步深入，融基礎(chǔ)性、靈活性、實(shí)踐性、開放性于一體，注重調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，把知識(shí)的形成過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生質(zhì)疑、猜想和驗(yàn)證的過程，堅(jiān)持以學(xué)生為中心以操作為重要手段，以感悟?yàn)閷W(xué)習(xí)的目的，以發(fā)現(xiàn)為宗旨，重視學(xué)生的自主探索、親身實(shí)踐、合作交流學(xué)生在活動(dòng)中理解掌握基本知識(shí)、技能和方法，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)提高興趣、增強(qiáng)信心、提高能力。

第五篇：《平均數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

《平均數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析(人教版小學(xué)數(shù) 學(xué)第八冊(cè))教學(xué)目標(biāo)：

1．通過動(dòng)手操作，經(jīng)歷求平均數(shù)的探索過程，理解平均數(shù)的意義。2．培養(yǎng)學(xué)生操作、觀察、分析和解決問題的能力。

3．讓學(xué)生感受平均數(shù)與日常生活的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)教學(xué)的興趣。[點(diǎn)評(píng)：教學(xué)目標(biāo)明確、具體、全面、有針對(duì)性。各項(xiàng)目標(biāo)都能結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容，針對(duì)學(xué)生實(shí)際，從學(xué)生的學(xué)習(xí)過程入手，將各項(xiàng)目標(biāo)落到實(shí)處。如：第二條“培養(yǎng)學(xué)生操作、觀察、分析和解決問題的能力?！钡谌龡l“讓學(xué)生感受平均數(shù)與日常生活的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)教學(xué)的興趣?！边M(jìn)而將新課標(biāo)的要求落到實(shí)處。]

教學(xué)難點(diǎn)：

1．理解平均數(shù)的含義，構(gòu)建平均數(shù)的概念。2．掌握求平均數(shù)的方法。

教學(xué)關(guān)鍵：引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的解決中。

教學(xué)過程：

一、游戲?qū)耄ぐl(fā)興趣

在課前訓(xùn)練中安排說成語（帶有數(shù)字）的比賽，把全班分為“快樂隊(duì)”和“幸福隊(duì)”，每隊(duì)派出3名選手，比賽規(guī)則是6名選手各自在一分鐘內(nèi)說出帶有數(shù)字的成語，然后算出哪隊(duì)的合計(jì)多，哪隊(duì)為勝。

這樣做的目的是讓學(xué)生更多了解數(shù)學(xué)與其他學(xué)科有非常密切的聯(lián)系，同時(shí)也為下一步新知的探究提供素材。

[點(diǎn)評(píng)：結(jié)合情境，就地取材，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。]

二、探究新知，理解方法 1．感受平均數(shù)產(chǎn)生的需要

老師表示看了剛才激烈的比賽，自己也想加入，這種想法受到了學(xué)生的歡迎。然后，老師在1分鐘內(nèi)說了幾個(gè)成語，并且提出要把成績(jī)加入成績(jī)低的一隊(duì)，算出合計(jì)后宣布這個(gè)隊(duì)獲勝。

這種做法馬上遭到了另一隊(duì)成員的反對(duì)，他們認(rèn)為獲勝隊(duì)用4個(gè)人的成績(jī)和自己隊(duì)3個(gè)人的成績(jī)相比，對(duì)自己隊(duì)很不公平，老師進(jìn)而提問：看來人數(shù)不相等，就沒法用比較總數(shù)的辦法來比較哪組的水平高，這可怎么辦呢？一名學(xué)生提出，可以求出兩隊(duì)所說成語的平均數(shù)，然后再比較。其他學(xué)生紛紛表示贊同。2．探索求平均數(shù)的方法

首先設(shè)計(jì)讓學(xué)生自己想辦法求出獲勝隊(duì)平均每人說幾個(gè)成語，為學(xué)生準(zhǔn)備好小圓片，提示學(xué)生可以用擺一擺和算一算的方法，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生把自己得出的結(jié)果在小組進(jìn)行交流。交流時(shí)，要提醒學(xué)生，不僅要說出結(jié)果，還要說出求平均數(shù)的方法，聽聽其他同學(xué)的意見或建議。

此時(shí)，教師要及時(shí)巡視，參與到學(xué)習(xí)小組中，及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，指導(dǎo)學(xué)生、幫助學(xué)生對(duì)其他同學(xué)的方法、過程進(jìn)行評(píng)議，要引導(dǎo)學(xué)生帶著和同學(xué)共同研究、解決問題的心情，注重傾聽別人的想法，說出自己的看法。

預(yù)計(jì)學(xué)生在匯報(bào)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)計(jì)算（先合后分）和移多補(bǔ)少的方法，用算式計(jì)算的方法學(xué)生以前也有過接觸，因此理解起來比較容易，注重讓學(xué)生講清算理，培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力。移多補(bǔ)少的方法有了學(xué)習(xí)材料（小圓片）的支持，效果會(huì)很直觀，著重讓學(xué)生理解在移的過程中總數(shù)沒變，每個(gè)人說的個(gè)數(shù)變了，移動(dòng)前每人說的個(gè)數(shù)不相等，移動(dòng)后每人說的個(gè)數(shù)變得相等了，然后給出兩種方法的名稱“先合后分”和“移多補(bǔ)少”。

[點(diǎn)評(píng)：這個(gè)環(huán)節(jié)教師成為真正的引導(dǎo)者和合作者，給學(xué)生提供了比較充分的自主學(xué)習(xí)的空間，真正體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，達(dá)到了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究的目的。在“獨(dú)立思考”環(huán)節(jié)，教師積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考，鼓勵(lì)學(xué)生用不同方法求平均數(shù)；在“小組學(xué)習(xí)”環(huán)節(jié)，教師指導(dǎo)學(xué)生合作學(xué)習(xí)，相互交流，學(xué)生通過親身的傾聽、合作、交流，學(xué)習(xí)了怎樣傾聽、怎樣交流，融洽了學(xué)生的人際關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的合作意識(shí)，提高了學(xué)生的交流能力。]

3．理解平均數(shù)的意義

結(jié)合學(xué)生算出的平均數(shù)，讓學(xué)生談?wù)剬?duì)這個(gè)數(shù)的理解，這個(gè)問題對(duì)于學(xué)生來說，也許是意會(huì)得明白，但言傳起來會(huì)很模糊。預(yù)計(jì)學(xué)生能粗淺地談出這個(gè)平均數(shù)介于大數(shù)和小數(shù)中間，它不是某個(gè)人說的，而是這一組平均出來的，如果學(xué)生理解到這種程度，老師會(huì)給予肯定和表揚(yáng)，然后點(diǎn)明平均數(shù)的意義：它不是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的數(shù)，它比較好地反映了一組數(shù)據(jù)的整體水平。

4．溝通平均數(shù)與生活的聯(lián)系

讓學(xué)生回憶一下在生活中什么地方見過平均數(shù)，學(xué)生一定會(huì)結(jié)合體育達(dá)標(biāo)和考試來說明，當(dāng) 談到考試后算出各班的平均分有利于比較各班成績(jī)的差異時(shí)，老師會(huì)及時(shí)肯定并強(qiáng)調(diào)平均數(shù)的另一個(gè)作用，即“幫助我們比較不同組數(shù)量的差別”。然后讓學(xué)生算出另一隊(duì)說成語的平均數(shù)，通過比較最終得出哪隊(duì)是冠軍。

5．對(duì)比平均數(shù)和平均分的差別

先揭示課題，后比較平均數(shù)和平均分的差別，老師做總結(jié)：平均分是說12塊糖平均分給3個(gè)同學(xué)，每人分得4塊，這個(gè)4塊是每個(gè)同學(xué)實(shí)際分得的數(shù)；平均數(shù)是說3個(gè)同學(xué)一共有12塊糖，平均每個(gè)同學(xué)有4塊，這個(gè)4塊就是平均數(shù)，因?yàn)椴灰欢總€(gè)同學(xué)都有4塊。所以說平均數(shù)和平均分的意義不一樣。

[點(diǎn)評(píng)：教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)又一個(gè)情境內(nèi)容，一步一步引導(dǎo)學(xué)生始終自主積極參與整個(gè)學(xué)習(xí)過程。求平均數(shù)是有公式的，但教師并沒有講公式，而是通過巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過正反例對(duì)比，實(shí)實(shí)在在地悟出其中的“對(duì)應(yīng)”思想，從而理解求平均數(shù)的方法。]

三、運(yùn)用方法，練習(xí)提高 基本練習(xí)：

1．出示27頁例2（只出示圖示）讓學(xué)生說說從中獲得了什么信息，在學(xué)生明確了題意和所求問題后，首先讓學(xué)生估計(jì)一下4個(gè)杯子水面的平均高度是多少？培養(yǎng)學(xué)生觀察和估算能力，然后讓學(xué)生自己驗(yàn)證一下，由學(xué)生匯報(bào)驗(yàn)證過程，最后，請(qǐng)開始估計(jì)最準(zhǔn)的同學(xué)說說是怎樣估計(jì)的，進(jìn)而使學(xué)生明白：估算要在最大數(shù)和最小數(shù)之間取值。

2．出示28頁例3，讓學(xué)生說說自己提出什么問題，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，接著讓學(xué)生自己解決問題，把過程寫在練習(xí)本上，反饋時(shí)，提問為什么一個(gè)算式除以7，而另一個(gè)除以6，使學(xué)生加深對(duì)平均數(shù)的理解。

拓展練習(xí)

1．出示平均水深的問題（一條河河水的平均深度是110厘米，小明的身高是135厘米，他從這條河趟過，會(huì)有危險(xiǎn)嗎？），這個(gè)問題是平均數(shù)知識(shí)中最典型的題目，安排這道題目，通過學(xué)生之間的辯論，一定會(huì)加深對(duì)平均數(shù)知識(shí)的理解。

2．出示歌手大賽的問題（在少兒歌手比賽中，幾位評(píng)委分別給1號(hào)選手打分如下：83、98、95、83、92、96、94），先讓學(xué)生自己根據(jù)多個(gè)評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)，算出選手的最后得分，然后出示正確答案，學(xué)生不明白自己算出的分?jǐn)?shù)為什么和正確答案不一樣，最后經(jīng)過討論，學(xué)生就會(huì)明白在正式比賽應(yīng)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，這道題目使學(xué)生明白具體情況應(yīng)該具體分析的道理。

[點(diǎn)評(píng)：在鞏固練習(xí)的環(huán)節(jié)中，教師采用了趣味性、綜合性的手法，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)中深化發(fā)展，進(jìn)而鞏固了本課所學(xué)的知識(shí)。]

四、評(píng)價(jià)反思，感受成功

1．引導(dǎo)學(xué)生回顧本課學(xué)習(xí)內(nèi)容，說一說學(xué)到了哪些知識(shí)，是怎樣學(xué)到的? 2．引導(dǎo)學(xué)生說說這節(jié)課學(xué)習(xí)的感受，體驗(yàn)學(xué)習(xí)成功的喜悅。

[總評(píng)：平均數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)值。新課標(biāo)指出，在教學(xué)中應(yīng)將平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義放在突出地位。本課的設(shè)計(jì)者從學(xué)生們喜愛的游戲入手，當(dāng)說成語的總個(gè)數(shù)出來后，教師又故意參加了輸?shù)哪且唤M，一下子使總數(shù)發(fā)生了變化；這時(shí)，孩子們當(dāng)然不服氣，兩組人數(shù)不等比總數(shù)不公平，在這矛盾激化之中，有的孩子想到了比較各組的平均數(shù)，使學(xué)生感悟到平均數(shù)的產(chǎn)生是實(shí)際生活的需要。平均數(shù)算出來后，又引導(dǎo)學(xué)生將平均數(shù)與原始數(shù)據(jù)做比較，使大家明確這個(gè)平均數(shù)既不是第一個(gè)人說的成語數(shù)，也不是第三個(gè)人說的成語數(shù)，它代表了這一組4個(gè)人說成語的總體水平，恰到好處地明確了平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)中的意義，并使學(xué)生感悟到平均數(shù)的可比性。

在整節(jié)課教學(xué)中，教師一直在組織、在引導(dǎo)，她參與學(xué)生的游戲，引發(fā)學(xué)生思維矛盾，啟發(fā)同學(xué)積極思考，既是學(xué)生的伙伴，更是他們的朋友。教師盡量把發(fā)現(xiàn)的空間、思考的空間、學(xué)習(xí)的空間以及獲展示自我的空間留給了學(xué)生，讓學(xué)生在輕松和諧的氛圍中成分的發(fā)揮潛能和創(chuàng)造欲，從而真正優(yōu)化課堂教學(xué)。]