第一篇：第43煉,線性規(guī)劃——作圖與求解

第 43 煉 線性規(guī)劃——作圖與求解 一、基礎(chǔ)知識 1、相關(guān)術(shù)語：

（1）線性約束條件：關(guān)于變量 , x y 的一次不等式（或方程）組（2）可行解：滿足線性約束條件的解 ? ? , x y

（3）可行域：所有可行解組成的集合（4）目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于 , x y 的函數(shù)解析式（5）最優(yōu)解：是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 2、如何在直角坐標(biāo)系中作出可行域：

（1）先作出圍成可行域的直線，利用“兩點唯一確定一條直線”可選取直線上的兩個特殊點（比如坐標(biāo)軸上的點），以便快速做出直線（2）如何判斷滿足不等式的區(qū)域位于直線的哪一側(cè)：一條曲線（或直線）將平面分成若干區(qū)域，則在同一區(qū)域的點，所滿足不等式的不等號方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊點判斷其是否符合不等式，如果符合，則該特殊點所在區(qū)域均符合該不等式，具體來說有以下三種情況：

① 豎直線 x a ? 或水平線 y b ? ：可通過點的橫（縱）坐標(biāo)直接進(jìn)行判斷 ② 一般直線 ? ? 0 y kx b kb ? ? ? ：可代入 ? ? 0,0 點進(jìn)行判斷，若符合不等式，則原點所在區(qū)域即為不等式表示區(qū)域，否則則為另一半?yún)^(qū)域。例如：不等式 2 3 0 x y ? ? ?，代入 ? ? 0,0 符合不等式，則 2 3 0 x y ? ? ? 所表示區(qū)域為直線 2 3 0 x y ? ? ? 的右下方 ③ 過原點的直線 ? ? 0 y kx k ? ? ：無法代入 ? ? 0,0，可代入坐標(biāo)軸上的特殊點予以解決，或者利用象限進(jìn)行判斷。例如：

y x ? ：直線 y x ? 穿過一、三象限，二、四象限分居直線兩側(cè)。考慮第四象限的點 0, 0 x y ? ?，所以必有 y x ?，所以第四象限所在區(qū)域含在 y x ? 表示的區(qū)域之中。

（3）在作可行域時要注意邊界是否能夠取到：對于約束條件 ? ? , 0 F x y ?（或 ? ? , 0 F x y ?）邊界不能取值時，在圖像中邊界用虛線表示；對于約束條件 ? ? , 0 F x y ?（或 ? ? , 0 F x y ?）邊界能取值時，在圖像中邊界用實線表示

3、利用數(shù)形結(jié)合尋求最優(yōu)解的一般步驟 （1）根據(jù)約束條件，在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域所代表的區(qū)域（2）確定目標(biāo)函數(shù) z 在式子中的幾何意義，常見的幾何意義有：（設(shè) , a b 為常數(shù)）

① 線性表達(dá)式——與縱截距相關(guān)：例如 z ax by ? ?，則有a zy xb b? ? ?，從而 z 的取值與動直線的縱截距相關(guān)，要注意 b 的符號，若 0 b ?，則 z 的最大值與縱截距最大值相關(guān)；若 0 b?，則 z 的最大值與縱截距最小值相關(guān)。

② 分式——與斜率相關(guān)（分式）：例如y bzx a???：可理解為 z 是可行域中的點 ? ? , x y 與定點 ? ? , a b 連線的斜率。

③ 含平方和——與距離相關(guān)：例如 ? ? ? ?2 2z x a y b ? ? ? ? ：可理解為 z 是可行域中的點? ? , x y 與定點 ? ? , a b 距離的平方。

（3）根據(jù) z 的意義尋找最優(yōu)解，以及 z 的范圍（或最值）

4、線性目標(biāo)函數(shù)影響最優(yōu)解選取的要素：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率符號相同時，目標(biāo)函數(shù)直線斜率與約束條件直線斜率的大小會影響最優(yōu)解的選取。

例如：若變量 , x y 滿足約束條件003 2 122 8xyx yx y? ?????? ???? ??，則 3 4 z x y ? ? 的最大值等于_____ 作出可行域如圖所示，直線 3 2 12 x y ? ? 的斜率132k ? ?，直線 2 8 x y ? ? 的斜率212k ? ?，目標(biāo)函數(shù)的斜率34k ? ?，所以2 1k k k ? ?，所以在平移直線時，目標(biāo)函數(shù)直線的傾斜程度要介于兩直線之間，從而可得到在 ? ? 2,3 A 取得最優(yōu)解。但在作圖中如果沒有考慮斜率間的聯(lián)系，平移的直線比 2 8 x y ? ? 還要平，則會發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在 ? ? 0,4 B 處取得，以及若平移的直線比 3 2 12 x y ? ? 還要陡，則會發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解在 ? ? 4,0 C 處取得，都會造成錯誤。所以在處理目標(biāo)函數(shù)與約束條件的關(guān)系時，要觀察斜率的大小，并確定直線間“陡峭”程度的不同。

（1）在斜率符號相同的情況下：

k 越大，則直線越“陡”

（2）在作圖和平移直線的過程中，圖像不必過于精確，但斜率符號相同的直線之間，陡峭程度要與斜率絕對值大小關(guān)系一致，這樣才能保證最優(yōu)解選取的準(zhǔn)確（3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率與約束條件中的某條直線斜率相同時，有可能達(dá)到最值的最優(yōu)解有無數(shù)多個（位于可行域的邊界上）

（4）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率含參時，涉及到最優(yōu)解選取的分類討論，討論通常以約束條件中同符號的斜率作為分界點。

二、典型例題：

例 1：若變量 , x y 滿足約束條件2 002 2 0x yx yx y? ? ??? ???? ? ??，則 2 z x y ? ? 的最小值等于（）

A.52?

B.?

C.32?

D.2

思路：按照約束條件作出可行域，可得圖形為一個封閉的三角形區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)化為：y x z ? ?，則 z 的最小值即為動直線縱截距的最大值。目標(biāo)函數(shù)的斜率大于約束條件的斜率，所以動直線斜向上且更陡。通過平移 可 發(fā) 現(xiàn) 在 A 點 處，縱 截 距 最 大。

且2 0:2 2 0x yAx y? ? ??? ? ??解得11,2A ???? ?? ?，所以 2 z x y ? ?的最小值 ? ?min1 52 12 2z ? ? ? ? ? ?

答案：A 例 2：設(shè)變量 , x y 滿足約束條件2 02 01x yx yy? ? ? ??? ? ?????，則目標(biāo)函數(shù) 2 z x y ? ? 的最小值為（）

A.2

B.3

C.4

D.5

思路：作出目標(biāo)函數(shù)的可行域，得到一個開放的區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)12 2zy x ? ? ?，通 過平移 可 得 最 優(yōu) 解 為? ?2 0: 1,11x yA Ay? ? ? ?????，所以min3 z ?

答案：B

例 3：若變量 , x y 滿足12 0xx yx y? ?????? ? ??，則2 2z x y ? ? 的最大值為（）

A.10

B.7

C.9

D.10

思路：目標(biāo)函數(shù)2 2z x y ? ? 可視為點到原點距離的平方，所以只需求出可行域里距離原點最遠(yuǎn)的點即可，作出可行域，觀察可得最遠(yuǎn)的點為 ? ? 1, 3 A ?，所以2max10 z OA ? ?

答案：D 例 4：設(shè)變量 , x y 滿足約束條件2 2 02 2 01 0x yx yx y? ? ? ??? ? ???? ? ??，則11ysx???的取值范圍是（）

A.31,2? ?? ?? ?

B.1,12? ?? ?? ?

C.? ? 1,2

D.1,22? ?? ?? ? 思路：所求11ysx???可視為點 ? ? , x y 與定點 ? ? 1, 1 ? ? 連線的斜率。從而在可行域中尋找斜率的取值范圍即可，可得在 ? ? 1,0 處的斜率最小，即? ?? ?min0 1 11 1 2k? ?? ?? ?，在 ? ? 0,1處的斜率最大，為? ?? ?max1 120 1k? ?? ?? ?，結(jié)合圖像可得11ysx???的范圍為1,22? ?? ?? ? 答案：D 例 5：若實數(shù) , x y 滿足條件01 00 1x yx yx? ? ??? ? ???? ??，則 3 x y ? 的最大值為（）

A.6

B.5

C.4

D.3

思路：設(shè) 3 z x y ? ?，則可先計算出 z 的范圍，即可求出 z 的最大值：1 13 3y x z ? ?，則最優(yōu)解為 ? ? ? ? 1, 1 , 1,2 A B ?，所以 ? ? 5,4 z? ?，則max5 z ?

答案：B 例 6 ：

設(shè) O 為 坐 標(biāo) 原 點，點 M 的 坐 標(biāo) 為 ? ? 2,1，若 點 ? ? , N x y 滿 足 不 等 式 組4 3 02 12 01x yx yx? ? ? ??? ? ?????，則使 OM ON ? 取得最大值的點 N 的個數(shù)有（）

A.1

B.2

C.3

D.無數(shù)個 思路：設(shè) 2 z OM ON x y ? ? ? ?，作出可行域，通過平移可發(fā)現(xiàn)達(dá)到最大值時，目標(biāo)函數(shù)與直線 2 12 0 x y ? ? ? 重合，所以有無數(shù)多個點均能使OM ON ? 取得最大值 答案：D 例 7 ：（2015，福 建）

變 量 , x y 滿 足 約 束 條 件02 2 00x yx ymx y? ? ??? ? ???? ??，若 2 z x y ? ? 的最大值為 2，則實數(shù)m 等于（）

A.?

B.?

C.1

D.2

思路：本題約束條件含參，考慮先處理常系數(shù)不等式，作出圖像，直線 y mx ? 為繞原點旋轉(zhuǎn)的直線，從圖像可觀察出可行域為一個封閉三角形，目標(biāo)函數(shù) 2 y x z ? ?，若 z 最大則動直線的縱截距最小，可 觀 察 到 A 為 最 優(yōu) 解。2 2 0 2 2: ,2 1 2 1x y mA Ay mx m m? ? ? ?? ???? ?? ? ?? ? ?，則 有2 22 22 1 2 1mzm m? ? ? ?? ?，解得：m ?

答案：C 小煉有話說：當(dāng)線性約束條件含參數(shù)時，一方面可先處理常系數(shù)不等式，作出可行域的大致

范圍，尋找參數(shù)變化時，可行域的共同特征；另一方面對含參數(shù)的直線確定是否過定點，在變化中尋找區(qū)域的規(guī)律。找到共同的最優(yōu)解所滿足的方程，便可根據(jù)最值求出參數(shù) 例 8：在約束條件2101 0xx y mx y? ??? ? ???? ? ??下，若目標(biāo)函數(shù) 2 z x y ? ? ? 的最大值不超過 4，則實數(shù)m 的取值范圍是（）

A.??3, 3 ?

B.0, 3? ?? ?

C.3,0? ??? ?

D.3, 3? ??? ?

思路：先做出常系數(shù)直線，動直線20 x y m ? ? ? 時注意到20 m ?，斜率為常數(shù) 1，且發(fā)現(xiàn)圍成的區(qū)域恒為一個三角形。目 標(biāo) 函 數(shù) 2 y x z ? ?，通 過 圖 像 可 得 最 優(yōu) 解 為2 221 01 1: ,2 2 0x ym mA Ax y m? ? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?，所 以2 22max1 1 3 122 2 2 2m mz m? ?? ? ? ? ? ?，則23 142 2m ? ? 解得：

3, 3 m? ?? ?? ? 答案：D 例 9：若變量 , x y 滿足約束條件020x yx yy? ? ??? ?????，若 z ax y ? ? 的最大值為 4，則 a ?（）

A.3

B.2

C.?

D.?

思路：如圖作出可行域，目標(biāo)函數(shù)為 y ax z ? ? ?，由于 a 決定直線的方向，且約束條件中的直線斜率有正有負(fù)。所以先考慮 a 的符號：

當(dāng) 0 0 a a ? ? ? ? 時，此時與 y x ? 的斜率進(jìn)行比較：

若 1 1 a a ? ? ? ??，則 z 的最大值為 0，不符題意； 若 0 1 1 0 a a ?? ? ?? ? ?，則最優(yōu)解為 ? ? 1,1 A，代入解得3 a ? 與初始范圍矛盾，故舍去；當(dāng) 0 0 a a ? ? ? ? 時，直線與2 x y ? ? 斜率進(jìn)行比較：

若 1 1 a a ? ?? ? ?，則最優(yōu)解為 ? ? 2,0 B，代入解得 2 a ?，符合題意 若 1 a ?，可得 z 的最大值為 2，不符題意，舍去

若 0 1 0 1 a a ?? ?? ? ? ?，則最優(yōu)解為 ? ? 1,1 A，代入解得 3 a ? 與初始范圍矛盾，舍去 綜上所述：a ?

答案：B 小煉有話說：（1）目標(biāo)函數(shù)的直線陡峭程度不同，會導(dǎo)致最優(yōu)解不同，所以當(dāng)斜率含參時，可在約束條件中尋找斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率同號的直線，則這些直線的斜率通常是分類討論的分界點。

（2）本題也可分別假設(shè)可行域 3 個頂點為最優(yōu)解，求出 a 的值，再帶入驗證。

例 10：設(shè) , x y 滿足約束條件3 2 000, 0x yx yx y? ? ? ??? ???? ??，若目標(biāo)函數(shù) ? ? 0, 0 z ax by a b ? ? ? ? 的最大值為 2，則1 1a b? 的最小值是（）

A.256

B.83

C.2

D.4

思 路 ：

先 做 出 可 行 域，目 標(biāo) 函 數(shù)a zz ax by y xb b? ? ? ? ? ?，由 0, 0 a b ? ? 可得直線的斜率為負(fù)，所以由圖像可得最大值 在 ? ? 1 , 1 處 取 得，即m a x2 z a b ? ? ?，所 以? ?1 1 1 1 1 12 22 2b aa ba b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 答案：C 小煉有話說：本題判斷出斜率為負(fù)是解題的關(guān)鍵，從而能迅速通過平移直線得到最優(yōu)解，而后與均值不等式結(jié)合求出最值 三、歷年好題精選 1、（2016，衡陽聯(lián)考）如果實數(shù) , x y 滿足條件2 01 02 0x yxy? ? ? ??? ???? ??，則yzx a??的最小值為12，則正數(shù) a 的值為__________ 2、(2014，溫州中學(xué)三月考)已知實數(shù) , x y 滿足135 4y xxx y? ? ?????? ??，則2xy的最小值是_________

3、若點 ? ? 1,1 在不等式組02 4 03 3m nx ymx nynx y m? ? ? ??? ? ???? ??所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則2 2m n ? 的取值范圍是_________ 4、（2016，南昌二中四月考）已知實數(shù) , x y 滿足205 01 14 4x yx yy x??? ??? ? ???? ? ??，則? ?222 22x y yx y? ??的取值范圍是________ 5、設(shè)實數(shù) y x, 滿足2 02 5 02 0x yx yy? ? ? ??? ? ???? ?? ,則yxxyu ? ? 的取值范圍為（）

A.??????2 ,31

B.?????? ?2 ,38

C.?????? ?23,38

D.??????23, 0

6、設(shè)實數(shù) , x y 滿足2 412 2x yx yx y? ? ??? ? ???? ??，則 z x y ? ? 為（）

A.有最小值 2，最大值 3

B.有最小值 2，無最大值 C.有最大值 3，無最小值

D.既無最小值，也無最大值 7、設(shè) , x y 滿足約束條件：04 3 12xy xx y? ?????? ??，則2 31x yx? ??的最小值是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

8、（2016，湖南師大附中月考）若實數(shù) , x y 滿足2 01 01x yy xx? ? ? ??? ? ?????，設(shè) 2 , 2 u x y v x y ? ? ? ?，則uv的最大值為（）

A．1

B．54

C．75

D．2 9、（2015，北京）若 , x y 滿足010x yx yx? ? ??? ?????，則 2 z x y ? ? 的最大值為（）

A.0

B.1

C.32

D.2

10、（2015，廣東）若變量 , x y 滿足約束條件4 5 81 30 2x yxy? ? ??? ???? ??，則 3 2 z x y ? ? 的最小值為（）

A．315

B.6

C.235

D.4

11、（2015，新課標(biāo) I）若 , x y 滿足約束條件1 004 0xx yx y? ? ??? ???? ? ??，則yx的最大值為________ 答案：3 12、（2015，新課標(biāo) II）若 , x y 滿足約束條件1 02 02 2 0x yx yx y? ? ? ??? ???? ? ??，則 z x y ? ? 的最大值為____ 13、（2015，山東）已知 , x y 滿足約束條件020x yx yy? ? ??? ?????，若 z ax y ? ? 的最大值為 4，則 a ?（）

A.3

B.2

C.?

D.?

14、（2014，北京）若 , x y 滿足約束條件2 02 00x ykx yy? ? ? ??? ? ?????，且 z y x ? ? 的最小值為 4 ?，則 k 的值為（）

A.2

B.?

C.12

D.12?

習(xí)題答案：、答案：1 解析：根據(jù)約束條件畫出可行域，可知11xy? ????時，min12z ? 即1 111 2aa? ? ?? 2、、答案：

解析：設(shè)2xzy?，則有2x zy ?，則可知拋物線與不等式可行域有公共點，作出可行域，如圖 可 知 當(dāng) 1 y x ? ? 與 拋 物 線 相 切 時，此 時 z 取 得 最 小 值，聯(lián) 立 方 程2201x zyx zx zy x? ?? ? ? ??? ??，所以判別式24 0 4 z z z ? ? ? ? ? ?

3、、答案：9,6110? ?? ?? ? 解析：將 ? ? 1,1 代入02 4 03 3m nx ymx nynx y m? ? ? ??? ? ???? ??可得：1 02 4 03 3 0m nm nm n? ? ? ??? ? ???? ? ??，作出可行域，2 2m n ? 可視為點 ? ? , m n 到原點距離的平方。結(jié)合圖像可知：

? ? 5,6 到原點距離最大，即 ? ?2 2max61 m n ? ?原點到直線 3 3 0 m n ? ? ? 的距離為3 1010，所以 ??2 2min910m n ? ?

4、、答案：13 5,9 3? ?? ?? ? 解析：? ?222 2 2 2 2221 12 21 2yx y y xyxzx y x yyx?? ?? ? ? ? ?? ?? ??? ?? ?，其中ykx? 可視為 ? ? , x y 與? ? 0,0 連線的斜率，作出可行域，數(shù)形結(jié)合可得：直線 ykx ? 與21 14 4y x ? ? 在第一象限相切時，k 取得最大值，解得：

? ? 1,2 k?，21 111 22kzkkk? ? ? ???，而 ? ? 1,2 k? 時，1 92 3,2kk? ?? ? ??? ?，所以13 5,9 3z? ?? ??? ?

5、、答案：C 解析：令ytx?，作出可行域，可知 t 可視為 ? ? ? ? , , 0,0 x y 連線的斜率，1,23t? ?? ??? ?

且1u tt? ? 為1,23t? ?? ??? ?關(guān)于 t 的增函數(shù)，所以8 3,3 2u? ?? ?? ?? ?、答案：B 解析：作出可行域（為開放區(qū)域），再平移直線 y x z ? ? ? 即可得到 z 在 ? ? 2,0 處達(dá)到最小值，即min2 z ?，但沒有最大值 7、答案：B 解析：2 3 11 21 1x y yux x? ? ?? ? ? ?? ?，則11ykx???可視為可行域中的點 ? ? , x y 與 ? ? 1, 1 ? ? 連線的斜率，作出可行域可得：

? ? 1,5 k ?，所以 u 的最小值為 3 8 8、、答案：C 解析：方法一：1 32 1 3 12 22 2 2 22 1x y yu x yxv x y x yy? ??? ? ? ? ?? ?? ?，其中xy為可行域中的點? ? , x y 與原點 ? ? 0,0 連線斜率 k 的倒數(shù)，作出可行域可知：

? ? 1,3 k?，所以1,13xy? ?? ??? ?，從而可計算出71,5uv? ?? ??? ? 方 法 二 ：

由22u x yv x y? ? ??? ??可 得 ：2323v uxu vy? ????????? ?，代 入 到 不 等 式 組 可 得 ：22 03 362 21 0 13 32 3213v u u vu vu v v uu vv uv u? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ??? ????，作出可行域，所求ukv? 為 ? ? , v u 與 ? ? 0,0 連線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可得到最大值為75、答案：D 解析：1 122 2z x y y x z ? ? ? ? ? ?，作出可行域，可得最優(yōu)解為 ? ? 0,1 時，z 取得最大值 2、答案：C 解析：由 3 2 z x y ? ? 可得：32 2zy x ? ? ?，數(shù)形結(jié)合可知32 2zy x ? ? ? 經(jīng)過41,5A ??? ?? ?時，z 取得最小值min4 233 1 25 5z ? ? ? ? ?

11、答案：3 解析：作出可行域（如圖所示），所求分式00y yx x???，即可行域中點與原點連線的斜率最大值，由圖可知點 ? ? 1,3 A 與原點連線斜率最大，所以yx的最大值為 3

12、答案：32

解析：目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?y x z ? ? ?，即求動直線縱截距的最大值，作出可行域，數(shù)形結(jié)合可得直線過11,2D ??? ?? ?，則max32z ?

xy–1 –2 –3 –4 1 2 3 4–1–2–3–41234DCBO、答案：B 解析：由 z ax y ? ? 得 y ax z ?? ?，借助圖形可知：當(dāng) 1 a ? ?，即 1 a ? ? 時在 0 x y ? ? 時有最大值 0，不符合題意；當(dāng) 0 1 a ?? ?，即 1 0 a ? ? ? 時在 1 x y ? ? 時有最大值1 4, 3 a a ? ? ?，不滿足 1 0 a ? ? ? ；當(dāng) 1 0 a ? ?? ?，即 0 1 a ? ? 時在 1 x y ? ? 時有最大值 1 4, 3 a a ? ? ?，不滿足 0 1 a ? ? ；當(dāng) 1 a ? ? ?，即 1 a ? 時在 2, 0 x y ? ? 時有最大值2 4, 2 a a ? ?，滿足 1 a ?，所以 2 a ?、答案：D 解析：目標(biāo)函數(shù)變形為 y x z ? ?，由直線2 0 kx y ? ? ? 可得該直線過定點 ? ? 0,2，分0, 0 k k ? ? 討論，若 0 k ?，則由圖可知 y x z ? ? 縱截距的最小值在直線過 ? ? 2,0 處取得，即min2 z ? ?，不符題意；當(dāng) 0 k ? 時，可知直線 y x z ? ? 縱截距的最小值過 2 0 kx y ? ? ? 與 x 軸的交點2,0k? ??? ?? ?，所以min20 4 zk? ?? ? ? ?? ?? ?，解得12k ? ?

第二篇：《管理運籌學(xué)》第四版 第3章 線性規(guī)劃問題的計算機求解 課后習(xí)題解析

《管理運籌學(xué)》第四版課后習(xí)題解析

第3章線性規(guī)劃問題的計算機求解

1．解：

⑴甲、乙兩種柜的日產(chǎn)量是分別是4和8，這時最大利潤是2720 ⑵每多生產(chǎn)一件乙柜，可以使總利潤提高13.333元 ⑶常數(shù)項的上下限是指常數(shù)項在指定的范圍內(nèi)變化時，與其對應(yīng)的約束條件的對偶價格不變。比如油漆時間變?yōu)?00，因為100在40和160之間，所以其對偶價格不變?nèi)詾?3.333 ⑷不變，因為還在120和480之間。

2．解：

⑴不是，因為上面得到的最優(yōu)解不為整數(shù)解，而本題需要的是整數(shù)解⑵最優(yōu)解為(4，8)．解：

⑴農(nóng)用車有12輛剩余 ⑵大于300 ⑶每增加一輛大卡車，總運費降低192元

4．解：

計算機得出的解不為整數(shù)解，平移取點得整數(shù)最優(yōu)解為(10，8)

5．解：

圓桌和衣柜的生產(chǎn)件數(shù)分別是350和100件，這時最大利潤是3100元 相差值為0代表，不需要對相應(yīng)的目標(biāo)系數(shù)進(jìn)行改進(jìn)就可以生產(chǎn)該產(chǎn)品。

最優(yōu)解不變，因為C1允許增加量20-6=14；C2允許減少量為10-3=7，所有允許增加百分比和允許減少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最優(yōu)解不變。

6．解：

（1）x1?150，x2?70；目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值103 000。

（2）

1、3車間的加工工時數(shù)已使用完；

2、4車間的加工工時數(shù)沒用完；沒用完的加工工時數(shù)為2車間330小時，4車間15小時。（3）50，0，200，0。

含義：1車間每增加1工時，總利潤增加50元；3車間每增加1工時，總利潤增加200元；2車間與4車間每增加一個工時，總利潤不增加。（4）3車間，因為增加的利潤最大。

（5）在400到正無窮的范圍內(nèi)變化，最優(yōu)產(chǎn)品的組合不變。（6）不變，因為在?0,500?的范圍內(nèi)。

（7）所謂的上限和下限值指當(dāng)約束條件的右邊值在給定范圍內(nèi)變化時，約束條件1的右邊值在?200,440?變化，對偶價格仍為50（同理解釋其他約束條件）。

（8）總利潤增加了100×50=5 000，最優(yōu)產(chǎn)品組合不變。（9）不能，因為對偶價格發(fā)生變化。

（10）不發(fā)生變化，因為允許增加的百分比與允許減少的百分比之和（11）不發(fā)生變化，因為允許增加的百分比與允許減少的百分比之和最大利潤為103 000+50×50?60×200=93 500元。

7．解：

（1）4 000，10 000，62 000。

（2）約束條件1：總投資額增加1個單位，風(fēng)險系數(shù)則降低0.057； 約束條件2：年回報額增加1個單位，風(fēng)險系數(shù)升高2.167； 約束條件3：基金B(yǎng)的投資額增加1個單位，風(fēng)險系數(shù)不變。

（3）約束條件1的松弛變量是0，表示投資額正好為1 200 000；約束條件2的剩余變量是0，表示投資回報額正好是60 000；約束條件3的松弛變量為700 000，表示投資B基金的投資額為370 000。

（4）當(dāng)c2不變時，c1在3.75到正無窮的范圍內(nèi)變化，最優(yōu)解不變； 當(dāng)c1不變時，c2在負(fù)無窮到6.4的范圍內(nèi)變化，最優(yōu)解不變。

（5）約束條件1的右邊值在?780000,1500000?變化，對偶價格仍為0.057（其他同理）。（6）不能，因為允許減少的百分比與允許增加的百分比之和

42??100%，理由見百4.253.62550?≤100% 1001005060?≤100%，其140140分之一百法則。

8．解：

（1）18 000，3 000，102 000，153 000。

（2）總投資額的松弛變量為0，表示投資額正好為1 200 000；基金B(yǎng)的投資額的剩余變量為0，表示投資B基金的投資額正好為300 000；（3）總投資額每增加1個單位，回報額增加0.1； 基金B(yǎng)的投資額每增加1個單位，回報額下降0.06。

（4）c1不變時，c2在負(fù)無窮到10的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變；

c2不變時，c1在2到正無窮的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變。

（5）約束條件1的右邊值在300 000到正無窮的范圍內(nèi)變化，對偶價格仍為0.1； 約束條件2的右邊值在0到1 200 000的范圍內(nèi)變化，對偶價格仍為-0.06。

600000300000??100%故對偶價格不變。（6）900000900000

9．解：

（1）x1?8.5，x2?1.5，x3?0，x4?0，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)18.5。

（2）約束條件2和3，對偶價格為2和3.5，約束條件2和3的常數(shù)項增加一個單位目標(biāo)函數(shù)分別提高2和3.5。

（3）第3個，此時最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為22。

（4）在負(fù)無窮到5.5的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變，但此時最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值變化。（5）在0到正無窮的范圍內(nèi)變化，其最優(yōu)解不變，但此時最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值變化。

10．解：

（1）約束條件2的右邊值增加1個單位，目標(biāo)函數(shù)值將增加3.622。（2）x2目標(biāo)函數(shù)系數(shù)提高到0.703，最優(yōu)解中x2的取值可以大于零。

（3）根據(jù)百分之一百法則判定，因為允許減少的百分比與允許增加的百分比之和12?≤100%，所以最優(yōu)解不變。14.583∞（4）因為1565??100%，根據(jù)百分之一百法則，我們不能判定其對偶價格30?9.189111.25?15是否有變化。

第三篇：《線性規(guī)劃》在線作業(yè)題目與答案

《線性規(guī)劃》在線作業(yè)題目與答案

填空題

第1題(5)分

第2題(5)分

第3題(5)分

第4題(5)分

第5題(5)分

第6題(5)分

第7題(5)分

分析題

第8題(10)分

第9題(10)分

第10題(10)分

第11題(5)分

計算題

第12題(15)分

第13題(15)分

答案： 填空題 第1題

第2題

第3題 2?k?3

CN?CBB?1N或CBB?1N?CN

第4題：

minf?9(y1?y2)?7x2?0?x3?0?x4

?4(y1?y2)?5x2?x3?5?s.t.?(y1?y2)?3x2?x4?4?x,x,x?0,y,y?0.12?234第5題：

maxz?bTY,ATY?C

第6題：

XB?Bb，XN?0

第7題： ?1maxW?18y1?10y2?14y3

?7y1?2y3?1??2y?6y?8y?5123??s.t.?8y1?y3??4??y?5y?9

12???y1?0,y2?0分析題 第8題

解：圖形的陰影部分為此問題的可行區(qū)域，將目標(biāo)函數(shù)的等值線4x1?6x2?c（c為常數(shù)）沿它的法線方向移動，于是就得到線性規(guī)劃的解。有無窮多個最優(yōu)解。

第9題：

解：設(shè)x1,x2,x3分別表示生產(chǎn)書桌，餐桌和椅子三種產(chǎn)品的數(shù)量，則最大利潤為

S?70x1?50x2?25x3

木料，漆工和木工的工時約束分別是：

9x1?5x2?2x3?50;5x1?2x2?1.5x3?20;2x1?1.5x2?0.5x3?10.餐桌的生產(chǎn)約束是x2

?4，該問題的數(shù)學(xué)模型即為：

maxS?70x1?50x2?25x3

?9x1?5x2?2x3?50?5x?2x?1.5x?20123??s.t.?2x1?1.5x2?0.5x3?10??x2?4 ??x1,x2,x3?0第10題：

解：原問題的對偶問題為：minW?16y1?25y2

??y1?7y2?4s.t.??y1?5y2?5?2y1?3y2?9 ??y1,y2?0因為，原問題有可行解，如（5,0,0）；對偶問題也有可行解，如（所以，由對偶理論有最優(yōu)解。

第11題

第12題第13題：

4,0），

第四篇：第2課時 旋轉(zhuǎn)作圖與坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換(教案)（模版）

第2課時 旋轉(zhuǎn)作圖與坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換

教學(xué)目標(biāo) 【知識與技能】

進(jìn)一步加深對旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的理解，能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決具體問題及進(jìn)行圖案設(shè)計.【過程與方法】

經(jīng)歷對生活中旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的觀察、推理和分析過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的有關(guān)問題，體驗數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.【情感態(tài)度】

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛生活的情感，體會生活的旋轉(zhuǎn)美，發(fā)展學(xué)生的美感，增強學(xué)生的藝術(shù)創(chuàng)作能力和藝術(shù)欣賞能力.教學(xué)重點

利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)設(shè)計簡單的圖案.教學(xué)難點

利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖.教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識

問題1旋轉(zhuǎn)圖形具有哪些性質(zhì)？還記得嗎？說說看.問題2你能利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出一個圖形繞著某一點按一定方向旋轉(zhuǎn)一個角度后的旋轉(zhuǎn)圖形嗎？不妨試試看：如圖，△AOB繞點O旋轉(zhuǎn)后，G點是B點的對應(yīng)點，作出△AOB旋轉(zhuǎn)后的三角形.【教學(xué)說明】通過學(xué)生回顧前面所學(xué)過知識，并完成畫圖，既鞏固了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的理解，又為新知學(xué)習(xí)作好鋪墊.教學(xué)時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確解讀旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，即按同一方向作出∠AOA′=∠BOG，且OA′=OA，這樣達(dá)到由感性認(rèn)識到理性思考，為利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案埋下伏筆.二、觀察思考，感受新知

出示課件，展示教材P61中圖23.1-9：開始出現(xiàn)一片月芽形圖案，教師手動鼠標(biāo)，慢慢出現(xiàn)兩片、三片，??，形成圖23.1-9中圖案，讓學(xué)生通過觀察，感受圖案的形成過程，然后教師出示問題，讓學(xué)生進(jìn)行思考探究.問題：（1）你能說出上述圖案是怎樣得到的嗎？

（2）如果僅給你一片月芽形圖案，你能設(shè)法得到圖中的圖案嗎？（3）談?wù)勀銓@些圖案形成過程的認(rèn)識，與同伴交流.【教學(xué)說明】通過觀察這些美麗的圖案，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強動手畫出類似美麗圖案的欲望，同時通過思考，感受由旋轉(zhuǎn)而得到美麗圖案的形成過程，加深對旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的理解，掌握利用旋轉(zhuǎn)來設(shè)計美麗圖案的方法.教學(xué)時，應(yīng)讓學(xué)生進(jìn)行充分交流，并讓學(xué)生自主畫圖感受新知.利用課件進(jìn)一步展示“月芽”的旋轉(zhuǎn)效果.（1）手動鼠標(biāo)，保持旋轉(zhuǎn)中心不變而改變旋轉(zhuǎn)角，會出現(xiàn)形如教材P61中圖23.1-7，讓學(xué)生感受不同的旋轉(zhuǎn)效果；

（2）手動鼠標(biāo)，保持旋轉(zhuǎn)角不變而改變旋轉(zhuǎn)中心，出現(xiàn)形如教材P61中圖23.1-8，進(jìn)一步體驗不同的旋轉(zhuǎn)效果.思考（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，產(chǎn)生了形如圖23.1-7，圖23.1-8的不同旋轉(zhuǎn)效果，這是什么原因造成的呢？

（2）你能仿照上述圖示方法進(jìn)行圖案設(shè)計嗎？與同伴交流.【教學(xué)說明】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、嘗試運用和交流觀點的過程，感受利用旋轉(zhuǎn)的思想方法按不同方式可設(shè)計出許多美麗的圖案，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力、創(chuàng)造力，提高審美能力，掌握新知.三、典例精析，掌握新知

例圖（1）中的圖形是某設(shè)計師設(shè)計圖案的一部分，請你運用旋轉(zhuǎn)變換的方法，在方格紙中將圖（1）中圖形繞點P順時針依次旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°，依次畫出旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，你會得到一個美麗的圖案，涂陰影的不要涂錯位置，否則不能出現(xiàn)理想的效果，你來試一試吧?。ㄗⅲ悍礁窦堉行≌叫蔚倪呴L為1個單位長度）

分析：運用“對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等”等旋轉(zhuǎn)的特征，很容易得到旋轉(zhuǎn)后的圖案.解：得到的圖案如圖（2）

【教學(xué)說明】教師提出問題來幫助學(xué)生理清思路，既是對所學(xué)知識的回顧與反思，又為解決問題尋求解題思路，鍛煉學(xué)生分析問題解決問題的能力.四、活動操作，深化理解 問題把一個三角形旋轉(zhuǎn)：

（1）選擇某一固定點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角分別為45°，90°和135°，請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并觀察旋轉(zhuǎn)效果；

（2）選取兩個不同點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角均為30°，請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，觀察旋轉(zhuǎn)效果.（3）改變?nèi)切蔚男螤?，看看旋轉(zhuǎn)的效果.【教學(xué)說明】 讓學(xué)生動手操作，可進(jìn)一步理解旋轉(zhuǎn)中心不變，改變旋轉(zhuǎn)角，與旋轉(zhuǎn)角不變，改變旋轉(zhuǎn)中心產(chǎn)生不同效果的合理性，進(jìn)而可激發(fā)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖案設(shè)計的欲望，鍛煉學(xué)生的藝術(shù)創(chuàng)作力.五、圖案設(shè)計，鞏固提高

請以下列圖形為基本圖形，利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖案設(shè)計，并與同伴交流效果.【教學(xué)說明】一方面讓學(xué)生通過畫圖感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，另一方面由于學(xué)生各自審美觀點不同，創(chuàng)造力不同，學(xué)生所畫出的圖案也各不相同，這時教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在動手操作，設(shè)計圖案過程中思考，怎樣畫才能使畫出的圖形既符合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)又美麗呢？從而更好地理解旋轉(zhuǎn)性質(zhì).六、師生互動，課堂小結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些收獲？你覺得利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖案設(shè)計時應(yīng)注意哪些問題？請與同伴交流.課后作業(yè)

1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題23.1”中選取.2.完成練習(xí)冊中本課時 練習(xí)的“課時 作業(yè)”部分.教學(xué)反思

第五篇：2.1 求解二元一次方程組(第1課時)教學(xué)設(shè)計

第五章 二元一次方程組

2.求解二元一次方程組（第1課時）

一.學(xué)生起點分析

學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：在學(xué)習(xí)本節(jié)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)、整式的運算、一元一次方程等知識，了解了二元一次方程、二元一次方程組及其解等基本概念，具備了進(jìn)一步學(xué)習(xí)二元一次方程組解法的基本能力，會通過列一元一次方程解應(yīng)用題，能通過分析找出題中的等量關(guān)系列出二元一次方程組.學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：有同學(xué)間相互交流合作、自主探索的經(jīng)驗，有在活動過程中總結(jié)經(jīng)驗、歸納知識點的經(jīng)驗.二.教學(xué)任務(wù)分析 《二元一次方程組的解法》是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版實驗教科書八年級（上）第五章《二元一次方程組》的第二節(jié)，要求學(xué)生能利用消元思想熟練的解二元一次方程組，本節(jié)體現(xiàn)的消元方法有代入消元法、加減消元法，教材安排了2個課時分別完成.本節(jié)課為第1課時.基于學(xué)生對二元一次方程及二元一次方程組的基本概念理解的基礎(chǔ)上，教科書從實際問題出發(fā)，通過引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷自主探索和合作交流的活動，學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法——代入消元法.代入消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，它要求從兩個方程中選擇一個系數(shù)比較簡單的方程，將它轉(zhuǎn)換成用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，然后代入另一個方程，求出這個未知數(shù)的值，最后將這個未知數(shù)的值代入已變形的那個方程，求出另一個未知數(shù)的值.在求出方程組的解之后，可以對求出的解進(jìn)行檢驗，這樣可以防止和糾正方程變形和計算過程中可能出現(xiàn)的錯誤.二元一次方程組的解法，其本質(zhì)思想是消元，體會“化未知為已知”的化歸思想.教學(xué)目標(biāo)：（1）會用代入消元法解二元一次方程組；（2）了解“消元”思想，初步體會數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想.教學(xué)重點：用代入消元法解二元一次方程組.教學(xué)難點：在解題過程中體會“消元”思想和“化未知為已知”的化歸思想.三.教學(xué)過程設(shè)計：：第一環(huán)節(jié)：情境引入；第二環(huán)節(jié)：探索新知；第三環(huán)節(jié)：鞏固新知；第四環(huán)節(jié)：練習(xí)提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)；第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè).第一環(huán)節(jié)：情境引入 內(nèi)容：教師引導(dǎo)學(xué)生共同回憶上一節(jié)課討論的“買門票”問題，想一想當(dāng)時是怎么獲得二元一次方程組的解的.?x?y?8,設(shè)他們中有x個成人，y個兒童，我們得到了方程組?成人和

?5x?3y?34.?x?5,兒童到底去了多少人呢？在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗?是

y?3?不是方程x?y?8和方程5x?3y?34的解，從而得知這個解既是x?y?8的?x?5,解，也是5x?3y?34的解，根據(jù)二元一次方程組的解的定義，得出?是

y?3??x?y?8,方程組?的解.所以成人和兒童分別去了5人和3人.?5x?3y?34提出問題：每一個二元一次方程的解都有無數(shù)多個，而方程組的解是方程組中各個方程的公共解，前面的方法中我們找到了這個公共解，但如果數(shù)據(jù)不巧，這可沒那么容易，那么，有什么方法可以獲得任意一個二元一次方程組的解呢？

第二環(huán)節(jié)：探索新知 內(nèi)容：回顧七年級第一學(xué)期學(xué)習(xí)的一元一次方程，是不是也曾碰到過類似的問題，能否利用一元一次方程求解該問題？（由學(xué)生獨立思考解決，教師注意指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)）

解：設(shè)去了x個成人，則去了(8?x)個兒童，根據(jù)題意，得：

5x?3?8?x??34解得：x?5

將x?5代入8?x, 解得：8－5=3.答：去了5個成人，3個兒童.在學(xué)生解決的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較：列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對你解二元一次方程組有何啟示？

（先讓學(xué)生獨立思考，然后在學(xué)生充分思考的前提下，進(jìn)行小組討論，在此基礎(chǔ)上由學(xué)生代表回答，老師適時地引導(dǎo)與補充，力求通過學(xué)生觀察、思考與討論后能得出以下的一些要點.）

1.列二元一次方程組設(shè)有兩個未知數(shù)：x個成人，y個兒童.列一元一次方程只設(shè)了一個未知數(shù)：x個成人，兒童去的個數(shù)通過去的總?cè)藬?shù)與去的成人數(shù)相比較，得出(8?x)個.因此y應(yīng)該等于(8?x).而由二元一次方程組的一個方程x?y?8，根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出y?8?x.2.發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x?3(8?x)?34與方程組中的第二個方程5x?3y?34相類似，只需把5x?3y?34中的“y”用“?8?x?”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識（二元一次方程組）轉(zhuǎn)化為舊知識（一元一次方程）便可.（由學(xué)生來回答）上一節(jié)課我們就已知道方程組中相同的字母表示的是同

?x?y?8,①一個未知量.所以將?中的①變形，得y?8?x③，我們把

5x?3y?34②?即將②中的y用?8?x?代替，這樣就有5x?3?8?x??34.y?8?x代入方程②，“二元”化成“一元”.教師總結(jié)：同學(xué)們很善于思考.這就是我們在數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常用到的“化未知為已知”的化歸思想，通過它使問題得到完美解決.下面我們完整地解一下這個二元一次方程組.（教師把解答的詳細(xì)過程板書在黑板上，并要求學(xué)生一起來完成）

?x?y?8,解：?

?5x?3y?34.由①得：y?8?x.③ 將③代入②得：

5x?3?8?x??34解得：x?5..把x?5代入③得：y?3.?x?5,所以原方程組的解為：?

?y?3.（提醒學(xué)生進(jìn)行檢驗，即把求出的解代入原方程組，必然使原方程組中的每個方程都同時成立，如不成立，則可知解有誤）

下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的“誰的包裹多”的問題.（放手讓學(xué)生用已經(jīng)獲取的經(jīng)驗去解決新的問題，由學(xué)生自己完成，讓兩個學(xué)生在黑板上規(guī)范的板書，教師巡視：發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點以及存在的問題并適時的加以輔導(dǎo)，以期學(xué)生在解答的過程中領(lǐng)會“代入消元法”的真實含義和“化歸”的數(shù)學(xué)思想.）

第三環(huán)節(jié)：鞏固新知 內(nèi)容： 1.例：解下列方程組：

?3x?2y?14,?2x?3y?16,(1)?(2)?

?x?y?3;?x?4y?13.（根據(jù)學(xué)生的情況可以選擇學(xué)生自己完成或教師指導(dǎo)完成）(1)解：將②代入①，得：3?y?3??2y?14.解得：y?1.把y?1代入②，得：x?4.?x?4,所以原方程組的解為：?

y?1.?(2)由②，得：x?13?4y.③ 將③代入①，得：2?13?4y??3y?16.解得：y?2.將y=2代入③，得：x?5.?x?5,所以原方程組的解是?

?y?2.（⑵題需先進(jìn)行恒等變形，教師要鼓勵學(xué)生通過自主探索與交流獲得求解，在求解過程中學(xué)生消元的具體方法可能不同，所以教學(xué)中不必強求解答過程的統(tǒng)一，但要提出如何選擇將哪個方程恒等變形、消去哪個未知數(shù)能使運算較為簡單.讓學(xué)生在解題中進(jìn)行思考）

（教師在解完后要引導(dǎo)學(xué)生再次就解出的結(jié)果進(jìn)行思考，判斷它們是否是原方程組的解.促使學(xué)生進(jìn)一步理解方程組解的含義以及學(xué)會檢驗方程組解的方法.）

2.思考總結(jié)：（教師根據(jù)學(xué)生的實際情況進(jìn)行生與生、師與生之間的相互補充與評價，并提出下面的問題）

⑴給這種解方程組的方法取個什么名字好？ ⑵上面解方程組的基本思路是什么？ ⑶主要步驟有哪些？

⑷我們觀察例題的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步.你認(rèn)為選擇未知數(shù)有何特點的方程變形好呢？

(由學(xué)生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學(xué)生討論中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主探索、討論過程中的獨特想法，請學(xué)生小組的代表回答或?qū)W生舉手回答，其余學(xué)生可以補充，力求讓學(xué)生能夠回答出以下的要點，教師要板書要點，在學(xué)生回答時注意進(jìn)行積極評價)1.在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用含其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，然后代入另一個未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”，達(dá)到消元的目的.我們將這種方法叫代入消元法.2.解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉?3.解上述方程組的步驟：第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當(dāng)?shù)姆匠?，將它的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.第二步：把此代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程.第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值.第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程(一般代入變形后的方程)，求得另一個未知數(shù)的值.第五步：把方程組的解表示出來.第六步：檢驗(口算或筆算在草稿紙上進(jìn)行)，即把求得的解代入每一個方程看是否成立.4.用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值是1的方程進(jìn)行變形；若未知數(shù)的系數(shù)的絕對值都不是1，則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形.第四環(huán)節(jié)：練習(xí)提高內(nèi)容： 1.教材隨堂練習(xí)

2.補充練習(xí)：用代入消元法解下列方程組：

?3x?2y?7,?x?2y?4,?3x?4y?19,?(1)?(2)? ⑶?x?3

?y?0.?2x?y?3;?x?2y?3;??2（注：[2]題可以用整體代入法來解，把第二個方程變?yōu)?y?3?x，再將它代入第一個方程，得

3x?2?x?3??19；[3]題分?jǐn)?shù)線有括號功能；[4]題如果有時間，學(xué)生學(xué)有余力可作為補充題目.）

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)解二元一次方程組的基本思路是“消元”，即把“二元”變?yōu)椤耙辉保?解二元一次方程組的第一種解法——代入消元法，其主要步驟是：將其中的一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程.解這個一元一次方程，便可得到一個未知數(shù)的值，再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數(shù)的值.即求得了方程組的解.第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

1.課本習(xí)題5.2 2.解答習(xí)題5.1第3題 3.預(yù)習(xí)下一課內(nèi)容