第一篇：高考卷,07屆,普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）文科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）文科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）全解全析 注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第一部分和第二部分。第一部分為選擇題，第二部分為非選擇題。

2.考生領(lǐng)到試卷后，須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并在答題卡上填涂對(duì)應(yīng)的試卷類型信息點(diǎn)。

3.所有答案必須在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（共60分）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的（本大題共12小題，每小題5分，共60分）。

1.已知全集，則集合CuA等于 （A）{1，4}（B）{4，5}（C）{1，4，5}（D）{2，3，6} 解析：選C 2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ˋ）［0，1］（B）（-1，1）（C）［-1，1］（D）（-∞，-1）∪（1，+∞）解析：由1-x2>0得-1

①設(shè)a,bR,且>1,則＜1;②四個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b、c、d依次成等比數(shù)列的充要條件是ad=bc;③若f(x)=logix,則f（|x|）是偶函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③ 解析：①，所以＜1成立；

②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比數(shù)列，如取a=d=-1，b=c=1；

③由偶函數(shù)定義可得 12.某生物生長過程中，在三個(gè)連續(xù)時(shí)段內(nèi)的增長量都相等，在各時(shí)段內(nèi)平均增長速度分別為v1，v2,v3,該生物在所討論的整個(gè)時(shí)段內(nèi)的平均增長速度為（A）（B）（C）（D）解析：設(shè)三個(gè)連續(xù)時(shí)段為t1，t2，t3，各時(shí)段的增長量相等，設(shè)為M，則M= v1 t1= v2 t2=v3 t3，整個(gè)時(shí)段內(nèi)的平均增長速度為=，選D 第二部分（共90分）二、填空題：把答案填在答題卡相應(yīng)題號(hào)后的橫線上（本大題共4小題，每小題4分，共16分）.13.的展開式中的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）解析：項(xiàng)為，填40 14.已知實(shí)數(shù)、滿足條件則的最大值為.解析：畫出可行域知在兩直線交點(diǎn)（2，3）處取得最大值8 15.安排3名支教教師去4所學(xué)校任教，每校至多2人，則不同的分配方案共有 種.（用數(shù)字作答）解析：分2類：（1）每校最多1人：；

（2）每校至多2人，把3人分兩組，再分到學(xué)校：，共有60種 16.如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且＝＝1，＝.若＝的值為.解析：過C作與的平行線與它們的延長線相交，可得平行四邊形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四邊形的邊長為和，+= 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟（本大題共6小題，共74分）.17.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).其中向量.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值;（Ⅱ）求函數(shù)的最小值.解：（Ⅰ），得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，的最小值為． 18.（本小題滿分12分）某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則 即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為、、、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（Ⅰ）求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率;（Ⅱ）求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）解：（Ⅰ）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，，該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率．（Ⅱ）該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率 19.(本小題滿分12分)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐v ,BC=6.(Ⅰ)求證:BD(Ⅱ)求二面角的大小.解法一：（Ⅰ）平面，平面．． A E D P C B 又，．，，即． 又．平面．（Ⅱ）連接．平面．，． 為二面角的平面角． 在中，，A E D P C B y z x 二面角的大小為． 解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系，則，，，，，．，又，面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，解得．，．二面角的大小為． 20.(本小題滿分12分)已知實(shí)數(shù)列等比數(shù)列,其中成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)數(shù)列的前項(xiàng)和記為證明: ＜128…).解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，從而，． 因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，． 所以．故．（Ⅱ）． 21.(本小題滿分12分)已知在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù),又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在區(qū)間(m＞0)上恒有≤x成立,求m的取值范圍.解：（Ⅰ），由已知，即解得，，．（Ⅱ）令，即，或． 又在區(qū)間上恒成立，． 22.(本小題滿分14分)已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值.解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)，．（1）當(dāng)軸時(shí)，．（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為． 由已知，得． 把代入橢圓方程，整理得，． ． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，綜上所述． 當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值．

第二篇：高考卷 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）全解全析

第I卷（共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

（1）“”是“”的（）

Ａ．充分而不必要條件

Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充分必要條件

Ｄ．既不充分也不必要條件

【答案】：A

【分析】：由可得,可得到,但得不到.故選A.（2）若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：由由

故選D.（3）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：D

【分析】：解法一(利用相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為(2-x,y)

在直線上,化簡得故選答案D.解法二：根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點(diǎn)在直線選答案D.（4）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個(gè)草坪

都能噴灑到水．假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個(gè)數(shù)最少是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】B

【分析】：因?yàn)辇堫^的噴灑面積為36π，正方形面積為256,故至少三個(gè)龍頭。

由于，故三個(gè)龍頭肯定不能

保證整個(gè)草坪能噴灑到水。當(dāng)用四個(gè)

龍頭時(shí)，可將正方形均分四個(gè)小正方形，同時(shí)將四個(gè)龍頭分別放在它們的中心，由于，故可以保證整個(gè)草坪能噴灑到水。

（5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）

A．

B．

C．

D，【答案】：A

【分析】：由又

故選A.（6）若兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（）

Ａ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行

Ｂ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直

Ｃ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交

Ｄ．過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面

【答案】：B

【分析】：設(shè)過點(diǎn)P的直線為，若與l、m都平行，則l、m平行，與已知矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

由于l、m只有惟一的公垂線，而過點(diǎn)P與

公垂線平行的直線只有一條，故B正確。

對(duì)于選項(xiàng)C、D可參考右圖的正方體，設(shè)AD為直線l，為直線m;

若點(diǎn)P在P1點(diǎn)，則顯然無法作出直線與兩直線都相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

若P在P2點(diǎn)，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

（7）若非零向量滿足，則（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：C

【分析】：

由于是非零向量，則必有故上式中等號(hào)不成立。

∴。故選C.（8）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：檢驗(yàn)易知A、B、C均適合，D中不管哪個(gè)為均不成立。

（9）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：B

【分析】：設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于A點(diǎn).在中，又,化簡得,故選答案B

（10）設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：C

【分析】：要的值域是，則又是二次函數(shù)，定義域連續(xù)，故不可能同時(shí)結(jié)合選項(xiàng)只能選C.第II卷（共100分）

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．

（11）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)

．

【答案】：

【分析】：

（12）已知，且，則的值是

．

【答案】：

【分析】：本題只需將已知式兩邊平方即可。∵

∴兩邊平方得：，即，∴

.（13）不等式的解集是

．

【答案】：

【分析】：

（14）某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種.小張用10元錢買雜志

（每種至多買一本，10元錢剛好用完），則不同買法的種數(shù)是

（用數(shù)字作答）．

【答案】：266

【分析】：根據(jù)題意，可有以下兩種情況：①用10元錢買2元1本共有

②用10元錢買2元1本的雜志4本和1元1本的雜志2本共有

故210+56=266.（15）隨機(jī)變量的分布列如下：

其中成等差數(shù)列，若則的值是

．

【答案】：

【分析】：成等差數(shù)列，有

聯(lián)立三式得

（16）已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在內(nèi)，且．若對(duì)于內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角的大小是

．

【答案】：

【分析】：設(shè)直線OP與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只

有作于H,則面,故為.（17）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是

．

【答案】：

【分析】：作圖易知,設(shè)若不成立;

故當(dāng)且斜率大于等于時(shí)方成立.三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

（18）（本題14分）已知的周長為，且．

（I）求邊的長；

（II）若的面積為，求角的度數(shù)．

解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得．

（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以．

（第19題）

（19）（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn)．

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角．

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．滿分14分．

方法一：

（I）證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以．

又平面，所以．

（II）解：過點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長交于點(diǎn)，連結(jié)，．是直線和平面所成的角．

因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，則平面，因此．

設(shè)，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，所以，，得是直角三角形，其中，所以．

在中，所以，故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，．，．

（I）證明：因?yàn)?，所以，故?/p>

（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，即，．

因?yàn)?，所以，即，直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，因此直線與平面所成的角是．

（第20題）

（20）（本題14分）如圖，直線與橢圓

交于兩點(diǎn)，記的面積為．

（I）求在，的條件下，的最大值；

（II）當(dāng)，時(shí)，求直線的方程．

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，．

②

設(shè)到的距離為，則，又因?yàn)椋?，代入②式并整理，得，解得，代入①式檢驗(yàn)，故直線的方程是

或或，或．

（21）（本題15分）已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且．

（I）求，，；

（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）記，求證：．

本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．滿分15分．

（I）解：方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，所以．

（II）解：

．

（III）證明：，所以，．當(dāng)時(shí)，，同時(shí)，．

綜上，當(dāng)時(shí)，．

（22）（本題15分）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記．

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）求證：（?。┊?dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；

（Ⅲ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力．滿分15分．

（I）解：．由，得．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：

對(duì)任意固定的，令，則，由，得．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

下面證明的唯一性：

當(dāng)，時(shí)，，由（i）得，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立．

故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：對(duì)任意，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使

對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即，①

又因?yàn)椋坏仁舰俪闪⒌某浞直匾獥l件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

第三篇：高考卷 07普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（福建卷）數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（福建卷）數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

第I卷

（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},則（CUB）等于

A.{2}

B.{5}

C.{3,4}

D.{2,3,4,5}

解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，選C

(2)等比數(shù)列{an}中，a4=4,則a2·a6等于

A.4

B.8

C.16

D.32

解析：a2·a6=

a42=16，選C

(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于

A.0

B.C.D.1

解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=

sin215°+cos215°=1，選D

（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由|x|<2得-2

x2-x-6<0得-2

（5）函數(shù)y=sin(2x+)的圖象

A.關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱

B.關(guān)于直線x=對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱

D.關(guān)于直線x=對(duì)稱

解析：由2x+=kπ得x=，對(duì)稱點(diǎn)為（，0）（），當(dāng)k=1時(shí)為（，0），選A

（6）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、BC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

解析：連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于.60°，選B

（7）已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

A.（-，1）

B.（1，+）

C.（-，0）（0，1）

D.（-，0）（1，+）

解析：由已知得解得或x>1，選D

（8）對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是

A.若a·b＝0，則a=0或b=0

B.若a=0,則＝0或a=0

C.若a2=b2,則a=b或a=-b

D.若a-b=a·c，則b=c

解析：

a⊥b時(shí)也有a·b＝0，故A不正確；同理C不正確；由a·b=a·c得不到b=c，如a為零向量或a與b、c垂直時(shí)，選B

(9)已知m,n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

A.∥，n∥

∥

B.∥，m∥n

C.m⊥，m⊥nn∥

D.n∥m,n⊥m⊥

解析：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個(gè)平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在內(nèi)，不正確，選D

(10)以雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為圓心，且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是

A.x2+y2-4x-3=0

B.x2+y2-4x+3=0

C.x2+y2+4x-5=0

D.x2+y2+4x+5=0

解析：雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為（2，0），即圓心為（2，0），右準(zhǔn)線為x=1，半徑為1，圓方程為，即x2+y2-4x+3=0，選B

(11)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f（-x）=-f

(x)，g(-x)=g(x),且x>0時(shí)f’’(x)>0,g’

(x)

>0,則x<0時(shí)

A.f’(x)>0,g’(x)>0

B.f

’(x)>0,g’(x)<0

C.f

’(x)<0,g’(x)<0

D.f

’

(x)<0,g’(x)<0

解析：由已知f(x)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相同;g(x)為偶函數(shù),在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反,x>0時(shí)f’’(x)>0,g’

(x)

>0,遞增,當(dāng)x<0時(shí),f(x)

遞增,f

’(x)>0;

g(x)遞減,g’(x)<0,選B

(12)某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個(gè)號(hào)碼.公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為

A.2000

B.4096

C.5904

D.8320

解析：10000個(gè)號(hào)碼中不含4、7的有84=4096，故這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為10000-4096=5904，選C

第Ⅱ卷（非選擇題

共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

（13）（x2+）6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

.（用數(shù)字作答）

解析：法一：由組合數(shù)性質(zhì)，要使出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)必須取2個(gè)x2，4個(gè)，故常數(shù)項(xiàng)為

法二：展開后可得常數(shù)項(xiàng)為15

（14）已知實(shí)數(shù)x、y滿足則z=2x-y的取值范圍是

.解析：畫出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范圍是[-5，7]

（15）已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。

解析：由已知C=2，（16）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“-”滿足以下三個(gè)條件：

（1）自反性：對(duì)于任意a∈A,都有a-a;

(2)對(duì)稱性：對(duì)于a,b∈A，若a-b,則有b-a;

(3)傳遞性：對(duì)于a,b,c∈A,若a-b,b-c,則有a-c.則稱“-”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）.請(qǐng)你再列出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系：

.解析：答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分）

在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;

(II)若AB邊的長為，求BC邊的長

本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識(shí)以及推理知運(yùn)算能力.滿分12分.解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)=

又∵0

(II)由且A∈（0，），得sinA=

∵∴BC＝AB·.（18）（本小題滿分12分）

甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：

（I）甲試跳三次，第三次才能成功的概率;

(II)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;

(III)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.解：記“甲第i次試跳成功”為事件A1，“乙第i次試跳成功”為事件B1.依題意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互獨(dú)立.(I)“甲第三次試跳才成功”為事件A3，且三次試跳相互獨(dú)立，∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063.(II)甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C，解法一：C＝A1彼此互斥，∴P（C）

＝

＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6

=

0.88.解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.（III）設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件Mi（i=0,1,2）,“乙在兩次試跳中成功i次”為事件Ni(i=0,1,2),∵事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1為互斥事件.∴所求的概率為

＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4

=0.0672+0.2352

=0.3024.答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.（19）（本小題滿分12分）

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點(diǎn).(I)求證：AB1⊥平面A1BD;

(II)求二面角A-A1D-B的大小.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，三面角的大小等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力

解法一：（I）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1,連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分別為BC、CC1的中點(diǎn)，∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連結(jié)AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG為二面A-A1B-B的平面角.在△AA1D中，由等面積法可求得AF＝，又∵AG＝=,∴sin∠AFG=,所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin.解法二：（I）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中點(diǎn)O1，以a為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1,0,0）,D

(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),∴

∵

∴⊥⊥,∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)平面A1AD的法向量為n=(x,y,z).∵n⊥⊥,∴

∵

∴

令z=1得a=(-,0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量.由（I）知AB1⊥A1BD.∴為平面A1BD的法向量.cos===-.∴二面角A-A1D-B的大小為arccos.(20)（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f

(x)的最小值h(t);

(II)若h(t)<-2t+m對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力.解：（I）∵

（），∴當(dāng)x=-t時(shí)，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合題意，舍去）.當(dāng)t變化時(shí)g’(t)、g(t)的變化情況如下表：

T

(0,1)

(1,2)

g’(t)

+

0

g(t)

遞增

極大值1-m

遞減

∴g(t)在（0，2）內(nèi)有最大值g(1)=1-m

h(t)<-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)<0在（0，2）內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1-m<0

所以m的取值范圍為m>1

（21）（本小題滿分12分）

數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn

(n∈N*).(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;

(II)求數(shù)列｛nan｝的前n項(xiàng)和T.本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.解：（I）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴數(shù)列｛Sn｝是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(n∈N*).∴當(dāng)n2時(shí)，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an=

(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當(dāng)n=1時(shí)，T1=1;

當(dāng)n2時(shí)，Tn=1+4·30+6·31+2n·3

n-2,…………①

3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②

①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3

n-1

=2+2·

=-1+(1-2n)·3n-1

∴Tn=+(n-)3n-1

(n2).又∵Tn=a1=1也滿足上式，∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*)

(22)（本小題滿分14分）

如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l:x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·

（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

（II）過點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M.（1）已知的值;

(2)求||·||的最小值.本小題考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（I）設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則Q（-1，y）,由得：

(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：y2=4x.(II)（1）設(shè)直線AB的方程為：

x=my+1(m≠0).設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.聯(lián)立方程組,消去x得：

y2-4my-4=0,△

=(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,∴

=

=-2-

=0.解法二：（I）由

∴·，∴=0,∴

所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x.(II)(1)由已知

則：…………①

過點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)l的垂線，垂足分別為A1、B1,則有：…………②

由①②得：

（II）（2）解：由解法一：

·＝（）2|y1-yM||y2-yM|

=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|

=(1+m2)|-4+

×4m+|

=

=4(2+m2+)

4(2+2)=16.當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時(shí)等號(hào)成立，所以·最小值為16.

第四篇：高考卷 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）理工類數(shù)學(xué)試題「全解全析版」

2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)

數(shù)學(xué)試題（理工類）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1.已知集合則（）

A．[2,3]

B．（-2,3

]

C．[1,2)

D．

【答案】B

考點(diǎn)：1、一元二次不等式；2、集合的并集、補(bǔ)集．

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】解一元二次不等式時(shí)，的系數(shù)一定要保證為正數(shù)，若的系數(shù)是負(fù)數(shù)，一定要化為正數(shù)，否則很容易出錯(cuò)．

2.已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足

則（）

A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

【答案】C

【解析】

試題分析：由題意知，．故選C．

考點(diǎn)：空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．

【思路點(diǎn)睛】解決這類空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．

3.在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域

中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（）

A．2

B．4

C．3

D．

【答案】C

【解析】

考點(diǎn)：線性規(guī)劃．

【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)不等式組畫出可行域，再根據(jù)題目中的定義確定的值．畫不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要注意通過特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．

4.命題“，使得”的否定形式是（）

A．，使得

B．，使得

C．，使得

D．，使得

【答案】D

【解析】

試題分析：的否定是，的否定是，的否定是．故選D．

考點(diǎn)：全稱命題與特稱命題的否定．

【方法點(diǎn)睛】全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題．對(duì)含有存在（全稱）量詞的命題進(jìn)行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結(jié)論加以否定．

5.設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（）

A．與b有關(guān)，且與c有關(guān)

B．與b有關(guān)，但與c無關(guān)

C．與b無關(guān)，且與c無關(guān)

D．與b無關(guān)，但與c有關(guān)

【答案】B

考點(diǎn)：1、降冪公式；2、三角函數(shù)的最小正周期．

【思路點(diǎn)睛】先利用三角恒等變換（降冪公式）化簡函數(shù)，再判斷和的取值是否影響函數(shù)的最小正周期．

6.如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，（）.若（）

A．是等差數(shù)列

B．是等差數(shù)列

C．是等差數(shù)列

D．是等差數(shù)列

【答案】A

【解析】

試題分析：表示點(diǎn)到對(duì)面直線的距離（設(shè)為）乘以長度一半，即，由題目中條件可知的長度為定值，那么我們需要知道的關(guān)系式，過作垂直得到初始距離，那么和兩個(gè)垂足構(gòu)成了等腰梯形，那么，其中為兩條線的夾角，即為定值，那么，作差后：，都為定值，所以為定值．故選A．

考點(diǎn)：等差數(shù)列的定義．

【思路點(diǎn)睛】先求出的高，再求出和的面積和，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義可得為定值，即可得是等差數(shù)列．

7.已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則（）

A．m>n且e1e2>1

B．m>n且e1e2<1

C．m1

D．m

【答案】A

考點(diǎn)：1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】計(jì)算橢圓的焦點(diǎn)時(shí)，要注意；計(jì)算雙曲線的焦點(diǎn)時(shí)，要注意．否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．

8.已知實(shí)數(shù)a，b，c（）

A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，則a2+b2+c2<100

B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，則a2+b2+c2<100

C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，則a2+b2+c2<100

D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，則a2+b2+c2<100

【答案】D

【解析】

試題分析：舉反例排除法：

A.令，排除此選項(xiàng)，B.令，排除此選項(xiàng)，C.令，排除此選項(xiàng)，故選D．

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)．

【方法點(diǎn)睛】對(duì)于判斷不等式恒成立問題，一般采用舉反例排除法．解答本題時(shí)能夠?qū)λ膫€(gè)選項(xiàng)逐個(gè)利用賦值的方式進(jìn)行排除，確認(rèn)成立的不等式．

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．

9.若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______．

【答案】

【解析】

試題分析：

考點(diǎn)：拋物線的定義．

【思路點(diǎn)睛】當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般會(huì)想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．解答本題時(shí)轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點(diǎn)到軸的距離．

10.已知2cos2x+sin

2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，則A=______，b=________．

【答案】

考點(diǎn)：1、降冪公式；2、輔助角公式．

【思路點(diǎn)睛】解答本題時(shí)先用降冪公式化簡，再用輔助角公式化簡，進(jìn)而對(duì)照可得和．

11.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是

cm2，體積是

cm3.【答案】

【解析】

試題分析：幾何體為兩個(gè)相同長方體組合，長方體的長寬高分別為4,2,2，所以體積為，由于兩個(gè)長方體重疊部分為一個(gè)邊長為2的正方形，所以表面積為

考點(diǎn)：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積與體積．

【方法點(diǎn)睛】解決由三視圖求空間幾何體的表面積與體積問題，一般是先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再準(zhǔn)確利用幾何體的表面積與體積公式計(jì)算該幾何體的表面積與體積．

12.已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，則a=，b=

.【答案】

考點(diǎn)：1、指數(shù)運(yùn)算；2、對(duì)數(shù)運(yùn)算．

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在解方程時(shí)，要注意，若沒注意到，方程的根有兩個(gè)，由于增根導(dǎo)致錯(cuò)誤．

13.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則a1=，S5=

.【答案】

【解析】

試題分析：，再由，又，所以

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的定義；2、等比數(shù)列的前項(xiàng)和．

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】由轉(zhuǎn)化為的過程中，一定要檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)是否滿足，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．

14.如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是

.【答案】

由余弦定理可得，所以.過作直線的垂線，垂足為.設(shè)

則，即，解得.而的面積.（2）當(dāng)時(shí)，有，故.此時(shí)，.由（1）可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故.綜上，四面體的體積的最大值為.考點(diǎn)：1、空間幾何體的體積；2、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．

【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)已知條件求出四面體的體積，再對(duì)的取值范圍討論，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得四面體的體積的最大值．

15.已知向量a、b,｜a｜

=1，｜b｜

=2，若對(duì)任意單位向量e，均有

｜a·e｜+｜b·e｜,則a·b的最大值是

．

【答案】

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積．

【易錯(cuò)點(diǎn)睛】在兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為的過程中，很容易忘記右邊的進(jìn)行平方而導(dǎo)致錯(cuò)誤．

三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16.（本題滿分14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b+c=2a

cos

B.（I）證明：A=2B；

（II）若△ABC的面積，求角A的大小.【答案】（I）證明見解析；（II）或．

試題分析：（I）先由正弦定理可得，進(jìn)而由兩角和的正弦公式可得，再判斷的取值范圍，進(jìn)而可證；（II）先由三角形的面積公式可得，進(jìn)而由二倍角公式可得，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大小．

試題解析：（I）由正弦定理得，故，于是．

又，故，所以

或，因此（舍去）或，所以，．

考點(diǎn)：1、正弦定理；2、兩角和的正弦公式；3、三角形的面積公式；4、二倍角的正弦公式．

【思路點(diǎn)睛】（I）用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；（II）先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大?。?/p>

17.(本題滿分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面，BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求證：EF⊥平面ACFD；

(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）證明見解析；（II）．[

【解析】

試題分析：（I）先證，再證，進(jìn)而可證平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中計(jì)算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：

先建立空間直角坐標(biāo)系，再計(jì)算平面和平面的法向量，進(jìn)而可得二面角的平面角的余弦值．

（II）方法一：

過點(diǎn)作，連結(jié)．

因?yàn)槠矫?，所以，則平面，所以．

所以，是二面角的平面角．

在中，，得．

在中，，得．

所以，二面角的平面角的余弦值為．

方法二：

如圖，延長，相交于一點(diǎn)，則為等邊三角形．

取的中點(diǎn)，則，又平面平面，所以，平面．

以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線，的方向?yàn)?，的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意得，，，．

因此，，．

考點(diǎn)：1、線面垂直；2、二面角．

【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，證明線線垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線合一”和菱形、正方形的對(duì)角線．

18.（本小題15分）已知，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}=

（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍；

（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；

（ii）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．

（II）（i）設(shè)函數(shù)，則，所以，由的定義知，即

．

（ii）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

所以，．

考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性與最值；2、分段函數(shù)；3、不等式．

【思路點(diǎn)睛】（I）根據(jù)的取值范圍化簡，即可得使得等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（ii）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進(jìn)而可得．

19.（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；

（II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）．

（II）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足

．

記直線，的斜率分別為，且，．

由（I）知，，故，所以．

由于，得，因此，①

因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以

．

因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為．

考點(diǎn)：1、弦長；2、圓與橢圓的位置關(guān)系；3、橢圓的離心率．

【思路點(diǎn)睛】（I）先聯(lián)立和，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）利用對(duì)稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍．

20.（本題滿分15分）設(shè)數(shù)列滿足，．

（I）證明：，；

（II）若，證明：，．

【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析．

[

（II）任取，由（I）知，對(duì)于任意，故

．

從而對(duì)于任意，均有

．

考點(diǎn)：1、數(shù)列；2、累加法；3、證明不等式．

【思路點(diǎn)睛】（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）的結(jié)論及已知條件可得，再利用的任意性可證．

第五篇：高考卷 普通高等學(xué)校招生考試湖南 數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖南卷

數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．不等式的解集是

A．

B.C.D.【答案】D

【解析】由得x（x-1）>0，所以解集為

2．若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是

A．

B.C.D.【答案】B

【解析】由向量的減法知

3.設(shè)，有實(shí)根，則是的A．充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】判別式大于0，關(guān)于的方程有實(shí)根；但關(guān)于的方程有實(shí)根，判別可以等于0

4．在等比數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為

A．

B.C.D.【答案】B

【解析】由，所以

5．在的二項(xiàng)展開式中，若只有的系數(shù)最大，則

A．8

B.9

C.10

D.11

【答案】C

【解析】只有的系數(shù)最大，是展開式的第6項(xiàng)，第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，展開式共有11項(xiàng)，故n=10

6．如圖1，在正四棱柱

中，E、F

分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是

A．

B.C.D.【答案】D

圖1

【解析】連B1C，則B1C交BC1于F且F為BC1中點(diǎn)，三角

形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以；又AC⊥BD，所以。由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1

7．根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖（如圖2），從圖中可以看出，該水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是

A．48米

B.49米

C.50米

D.51米

圖2

【答案】C

【解析】由頻率分布直方圖知水位為50米的頻率/組距為1%，即水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。

8．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A．1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】由圖像可知交點(diǎn)共有3個(gè)。

9．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是

A．

B.C.D.【答案】D

【解析】由已知P（），所以化簡得

10.設(shè)集合，的含兩個(gè)元素的子集，且滿

足：對(duì)任意的，都有.則的最大值是

A．10

B.11

C.12

D.13

【答案】B

【解析】含2個(gè)元素的子集有15個(gè)，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一個(gè)；{1，3}、{2，6}只能取一個(gè)；{2，3}、{4，6}只能取一個(gè)，故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有11個(gè)。

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上.11.圓心為且與直線相切的圓的方程是

.【答案】

【解析】半徑R=，所以圓的方程為

12.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，若，則

A=.【答案】

【解析】由正弦定理得，所以A=

13.若.【答案】3

【解析】由得，所以

b

14.設(shè)集合，（1）的取值范圍是

.（2）若且的最大值為9，則的值是

.【答案】（1）（2）

【解析】（1）由圖象可知的取值范圍是；（2）若則（x，y）在圖中的四邊形內(nèi)，t=在（0，b）處取得最大值，所0+2b=9，所以b=

15.棱長為1的正方形的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是

；設(shè)分別是該正方形的棱的中點(diǎn)，則直線被球O截得的線段長為

.【答案】，【解析】正方體對(duì)角線為球直徑，所以，所以球的表面積為；由已知所求EF是正方體在球中其中一個(gè)截面的直徑，d=，所以，所以EF=2r=。

三．解答題：本大題共６小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.（本小題滿分１２分）

已知函數(shù).求：

(Ⅰ)函數(shù)的最小正周期；

（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.解：

．

（I）函數(shù)的最小正周期是；

（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）．

17.（本小題滿分１２分）

某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響.(Ⅰ)任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；

(Ⅱ)任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率.解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，．

（I）解法一　任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二　任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是

該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是．

所以該人參加過培訓(xùn)的概率是．

（II）解法一　任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是．

解法二　任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過培訓(xùn)的概率是

．

3人都沒有參加過培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過培訓(xùn)的概率是

18.（本小題滿分１4分）

如圖，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為.(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)求二面角的大小.解：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?，所以，A

B

C

Q

P

O

H

又因?yàn)?，所以?/p>

而，所以，．從而．又，所以平面．因?yàn)槠矫妫剩?/p>

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

在中，所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

19.（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）.（Ｉ）證明為常數(shù)；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程.解：由條件知，設(shè)，．

（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，此時(shí)．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是

．

綜上所述，為常數(shù)．

（II）解法一：設(shè)，則，，．由得：

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即．

又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．

將代入上式，化簡得．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）

有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，由④⑤得，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．

20.（本小題滿分13分）

設(shè)，.（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；

（Ⅱ）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng).解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．

因?yàn)?，所以?/p>

…………………………①

于是．

…………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．

所以，．

由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．

若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得．此時(shí)，由得，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．

（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)A處穿過的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即．又由，得．故．

解法二：同解法一得

．

因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在（）．

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則．

所以．又由，得，故．