第一篇：高考卷,07普通高等學(xué)校招生考試全國(guó)2,理科數(shù)學(xué)（必修+選修II）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷Ⅱ)理科數(shù)學(xué)(必修+選修II)全解全析 注意事項(xiàng): 1． 本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共4頁(yè),總分150分考試時(shí)間120分鐘.2． 答題前，考生須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在本試題卷指定的位置上。

3． 選擇題的每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上。

4． 非選擇題必須使用0.5毫米的黑色字跡的簽字筆在答題卡上書寫，字體工整，筆跡清楚。

5． 非選擇題必須按照題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域或在其它題的答題區(qū)域內(nèi)書寫的答案無(wú)效；

在草稿紙、本試題卷上答題無(wú)效。

6． 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的。

球的表面積公式 S=4 其中R表示球的半徑，球的體積公式 V=，其中R表示球的半徑 參考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，那么 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率 Pn(k)=CPk(1－P)n－k 一．選擇題 1．sin2100 =(A)(B)-(C)(D)-2．函數(shù)f(x)=|sinx|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(A)（－，）(B)（，）(C)（p，）(D)（，2p）3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則z =(A)-2+i(B)-2-i(C)2-i(D)2+i 4．以下四個(gè)數(shù)中的最大者是(A)(ln2)2(B)ln(ln2)(C)ln(D)ln2 5．在?ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2，=,則l=(A)(B)(C)-(D)-6．不等式:>0的解集為(A)(-2, 1)(B)(2, +∞)(C)(-2, 1)∪(2, +∞)(D)(-∞,-2)∪(1, +∞)7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于(A)(B)(C)(D)8．已知曲線的一條切線的斜率為,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(A)3(B)2(C)1(D)9．把函數(shù)y=ex的圖象按向量a=(2,3)平移，得到y(tǒng)=f(x)的圖象，則f(x)=(A)ex-3+2(B)ex+3－2(C)ex-2+3(D)ex+2－3 10．從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有(A)40種(B)60種(C)100種(D)120種 11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，則雙曲線離心率為(A)(B)(C)(D)12．設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若=0，則|FA|+|FB|+|FC|=(A)9(B)6(C)4(D)3 第II卷（非選擇題）本卷共10題，共90分。

二．填空題 13．（1+2x2）(x－)8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為。（用數(shù)字作答）14．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果x服從正態(tài)分布N（1，s2）（s>0），若x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則x在（0，2）內(nèi)取值的概率為。

15．一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm2.16．已知數(shù)列的通項(xiàng)an=－5n+2,其前n項(xiàng)和為Sn, 則=。

三．解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.在 ?ABC中，已知內(nèi)角A=,邊 BC=2,設(shè)內(nèi)角B=x, 周長(zhǎng)為y（1）求函數(shù)y=f(x)的解析式和定義域；

A B C D P E F（2）求y的最大值 18.從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p;（2）若該批產(chǎn)品共有100件，從中任意抽取2件，x表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求x的分布列 19.如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥ 底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn)（1）求證：EF∥平面SAD（2）設(shè)SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小 20．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線：x-y=4相切（1）求圓O的方程（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求的取值范圍。

21．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1), an=，n=2,3,4…（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求證<，其中n為正整數(shù)。

22.已知函數(shù)f(x)=x3－x（1）求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t, f(t))處的切線方程（2）設(shè)a>0,如果過(guò)點(diǎn)（a, b）可作曲線y=f(x)的三條切線，證明：－a

1． 本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則． 2． 對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度．可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；

如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3． 解答右側(cè)所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4． 只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分． 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D A C A A C B B B 1．sin2100 =，選D。

2．函數(shù)f(x)=|sinx|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(p，)，選C。

3．設(shè)復(fù)數(shù)z=,(a，b∈R)滿足=i，∴，∴ z =，選C。

4．∵，∴ ln(ln2)<0，(ln2)2< ln2，而ln=ln2

5．在?ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若=2，=，則 =，∴ l=，選A。

6．不等式:>0，∴，原不等式的解集為(-2, 1)∪(2, +∞)，選C。

7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，取A1C1的中點(diǎn)D1，連接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角，選A。

8．已知曲線的一條切線的斜率為，=，解得x=3或x=－2，由選擇項(xiàng)知，只能選A。

9．把函數(shù)y=ex的圖象按向量=(2,3)平移，即向右平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，平移后得到y(tǒng)=f(x)的圖象，f(x)=，選C。

10．從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有種，選B。

11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)。若雙曲線上存在點(diǎn)A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，設(shè)|AF2|=1，|AF1|=3，雙曲線中，∴ 離心率，選B。

12．設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若=0，則F為△ABC的重心，∴ A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為F點(diǎn)橫坐標(biāo)的3倍，即等于3，∴ |FA|+|FB|+|FC|=，選B。

二、填空題 題號(hào) 13 14 15 16 答案 13．(1+2x2)(x－)8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為=－42。

14．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果x服從正態(tài)分布N（1，s2）（s>0），正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為x=1，x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，可知，隨機(jī)變量ξ在(1，2)內(nèi)取值的概率于x在(0，1)內(nèi)取值的概率相同，也為0.4，這樣隨機(jī)變量ξ在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.8。

15．一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為球的直徑，現(xiàn)正四棱柱底面邊長(zhǎng)為1cm，設(shè)正四棱柱的高為h，∴ 2R=2=，解得h=，那么該棱柱的表面積為2+4cm2.16．已知數(shù)列的通項(xiàng)an=－5n+2，其前n項(xiàng)和為Sn，則=－。

三、解答題 17．解：（1）的內(nèi)角和，由得． 應(yīng)用正弦定理，知，． 因?yàn)?，所以，?）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值． 18．解：（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”． 則互斥，且，故 于是． 解得（舍去）．（2）的可能取值為． 若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ． ． ． 所以的分布列為 0 1 2 A E B C F S D H G M 19．解法一：

（1）作交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)． 連結(jié)，又，故為平行四邊形．，又平面平面． 所以平面．（2）不妨設(shè)，則為等 腰直角三角形． 取中點(diǎn)，連結(jié)，則． 又平面，所以，而，所以面． 取中點(diǎn)，連結(jié)，則． 連結(jié)，則． 故為二面角的平面角 A A E B C F S D G M y z x ． 所以二面角的大小為． 解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)，則，． 取的中點(diǎn)，則．平面平面，所以平面．（2）不妨設(shè)，則． 中點(diǎn) 又，所以向量和的夾角等于二面角的平面角． ． 所以二面角的大小為． 20．解：（1）依題設(shè)，圓的半徑等于原點(diǎn)到直線的距離，即 ． 得圓的方程為．（2）不妨設(shè)．由即得 ． 設(shè)，由成等比數(shù)列，得，即 ． 由于點(diǎn)在圓內(nèi)，故 由此得． 所以的取值范圍為． 21．解：（1）由 整理得 ． 又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得（2）方法一：

由（1）可知，故． 那么，又由（1）知且，故，因此 為正整數(shù)． 方法二：

由（1）可知，因?yàn)椋?． 由可得，即 兩邊開平方得 ． 即 為正整數(shù)． 22．解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

． 曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即 ．（2）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)，則存在，使 ． 于是，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根． 記，則 ． 當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：

0 0 0 極大值 極小值 由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根． 綜上，如果過(guò)可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則 即 ．

第二篇：高考卷 普通高等學(xué)校招生考試湖南 數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖南卷

數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．不等式的解集是

A．

B.C.D.【答案】D

【解析】由得x（x-1）>0，所以解集為

2．若O、E、F是不共線的任意三點(diǎn)，則以下各式中成立的是

A．

B.C.D.【答案】B

【解析】由向量的減法知

3.設(shè)，有實(shí)根，則是的A．充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】判別式大于0，關(guān)于的方程有實(shí)根；但關(guān)于的方程有實(shí)根，判別可以等于0

4．在等比數(shù)列中，若，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為

A．

B.C.D.【答案】B

【解析】由，所以

5．在的二項(xiàng)展開式中，若只有的系數(shù)最大，則

A．8

B.9

C.10

D.11

【答案】C

【解析】只有的系數(shù)最大，是展開式的第6項(xiàng)，第6項(xiàng)為中間項(xiàng)，展開式共有11項(xiàng)，故n=10

6．如圖1，在正四棱柱

中，E、F

分別是的中點(diǎn)，則以下結(jié)論中不成立的是

A．

B.C.D.【答案】D

圖1

【解析】連B1C，則B1C交BC1于F且F為BC1中點(diǎn)，三角

形B1AC中EF，所以EF∥平面ABCD，而B1B⊥面ABCD，所以；又AC⊥BD，所以。由EF，AC∥A1C1得EF∥A1C1

7．根據(jù)某水文觀測(cè)點(diǎn)的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到某條河流水位的頻率分布直方圖（如圖2），從圖中可以看出，該水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是

A．48米

B.49米

C.50米

D.51米

圖2

【答案】C

【解析】由頻率分布直方圖知水位為50米的頻率/組距為1%，即水文觀測(cè)點(diǎn)平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是50米。

8．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A．1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】由圖像可知交點(diǎn)共有3個(gè)。

9．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是其右準(zhǔn)線上縱坐標(biāo)為（為半焦距）的點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是

A．

B.C.D.【答案】D

【解析】由已知P（），所以化簡(jiǎn)得

10.設(shè)集合，的含兩個(gè)元素的子集，且滿

足：對(duì)任意的，都有.則的最大值是

A．10

B.11

C.12

D.13

【答案】B

【解析】含2個(gè)元素的子集有15個(gè)，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一個(gè)；{1，3}、{2，6}只能取一個(gè)；{2，3}、{4，6}只能取一個(gè)，故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有11個(gè)。

二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在橫線上.11.圓心為且與直線相切的圓的方程是

.【答案】

【解析】半徑R=，所以圓的方程為

12.在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為，若，則

A=.【答案】

【解析】由正弦定理得，所以A=

13.若.【答案】3

【解析】由得，所以

b

14.設(shè)集合，（1）的取值范圍是

.（2）若且的最大值為9，則的值是

.【答案】（1）（2）

【解析】（1）由圖象可知的取值范圍是；（2）若則（x，y）在圖中的四邊形內(nèi)，t=在（0，b）處取得最大值，所0+2b=9，所以b=

15.棱長(zhǎng)為1的正方形的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積是

；設(shè)分別是該正方形的棱的中點(diǎn)，則直線被球O截得的線段長(zhǎng)為

.【答案】，【解析】正方體對(duì)角線為球直徑，所以，所以球的表面積為；由已知所求EF是正方體在球中其中一個(gè)截面的直徑，d=，所以，所以EF=2r=。

三．解答題：本大題共６小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.（本小題滿分１２分）

已知函數(shù).求：

(Ⅰ)函數(shù)的最小正周期；

（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.解：

．

（I）函數(shù)的最小正周期是；

（II）當(dāng)，即（）時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）．

17.（本小題滿分１２分）

某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn).已知參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響.(Ⅰ)任選1名下崗人員，求該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率；

(Ⅱ)任選3名下崗人員，求這3人中至少有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率.解：任選1名下崗人員，記“該人參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，．

（I）解法一　任選1名下崗人員，該人沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是

所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是．

解法二　任選1名下崗人員，該人只參加過(guò)一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是

該人參加過(guò)兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是．

所以該人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是．

（II）解法一　任選3名下崗人員，3人中只有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是

．

3人都參加過(guò)培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是．

解法二　任選3名下崗人員，3人中只有1人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是

．

3人都沒(méi)有參加過(guò)培訓(xùn)的概率是．

所以3人中至少有2人參加過(guò)培訓(xùn)的概率是

18.（本小題滿分１4分）

如圖，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為.(Ⅰ)證明；

(Ⅱ)求二面角的大小.解：（I）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?，所以，A

B

C

Q

P

O

H

又因?yàn)?，所以?/p>

而，所以，．從而．又，所以平面．因?yàn)槠矫妫剩?/p>

（II）解法一：由（I）知，又，，所以．

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，．

在中，所以，于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)椋允呛推矫嫠傻慕?，則．

不妨設(shè)，則，．

A

B

C

Q

P

O

x

y

z

在中，所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．

19.（本小題滿分13分）

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）.（Ｉ）證明為常數(shù)；

（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程.解：由條件知，設(shè)，．

（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，此時(shí)．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，于是

．

綜上所述，為常數(shù)．

（II）解法一：設(shè)，則，，．由得：

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即．

又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即．

將代入上式，化簡(jiǎn)得．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）

有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，由④⑤得，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．

20.（本小題滿分13分）

設(shè)，.（Ⅰ）證明數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；

（Ⅱ）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng).解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．

因?yàn)?，所以?/p>

…………………………①

于是．

…………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．

所以，．

由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．

若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得．此時(shí)，由得，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．

（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說(shuō)明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn).（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)A處穿過(guò)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且．于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即．又由，得．故．

解法二：同解法一得

．

因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)．于是存在（）．

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

設(shè)，則

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．

由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則．

所以．又由，得，故．

第三篇：高考卷 07普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（福建卷）數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（福建卷）數(shù)學(xué)（文史類）全解全析

第I卷

（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

（1）已知全集U=|1,2,3,4,5|,且A＝{2,3,4},B={1,2},則（CUB）等于

A.{2}

B.{5}

C.{3,4}

D.{2,3,4,5}

解析：（CUB）={3，4，5}，（CUB）={3，4}，選C

(2)等比數(shù)列{an}中，a4=4,則a2·a6等于

A.4

B.8

C.16

D.32

解析：a2·a6=

a42=16，選C

(3)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于

A.0

B.C.D.1

解析：sin15°cos75°+cos15°sin105°=

sin215°+cos215°=1，選D

（4）“|x|<2”是“x2-x-6<0”的A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：由|x|<2得-2

x2-x-6<0得-2

（5）函數(shù)y=sin(2x+)的圖象

A.關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱

B.關(guān)于直線x=對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱

D.關(guān)于直線x=對(duì)稱

解析：由2x+=kπ得x=，對(duì)稱點(diǎn)為（，0）（），當(dāng)k=1時(shí)為（，0），選A

（6）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、BC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角等于

A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

解析：連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于.60°，選B

（7）已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

A.（-，1）

B.（1，+）

C.（-，0）（0，1）

D.（-，0）（1，+）

解析：由已知得解得或x>1，選D

（8）對(duì)于向量a、b、c和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是

A.若a·b＝0，則a=0或b=0

B.若a=0,則＝0或a=0

C.若a2=b2,則a=b或a=-b

D.若a-b=a·c，則b=c

解析：

a⊥b時(shí)也有a·b＝0，故A不正確；同理C不正確；由a·b=a·c得不到b=c，如a為零向量或a與b、c垂直時(shí)，選B

(9)已知m,n為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

A.∥，n∥

∥

B.∥，m∥n

C.m⊥，m⊥nn∥

D.n∥m,n⊥m⊥

解析：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個(gè)平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在內(nèi)，不正確，選D

(10)以雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為圓心，且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是

A.x2+y2-4x-3=0

B.x2+y2-4x+3=0

C.x2+y2+4x-5=0

D.x2+y2+4x+5=0

解析：雙曲線x2-y2=2的右焦點(diǎn)為（2，0），即圓心為（2，0），右準(zhǔn)線為x=1，半徑為1，圓方程為，即x2+y2-4x+3=0，選B

(11)已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f（-x）=-f

(x)，g(-x)=g(x),且x>0時(shí)f’’(x)>0,g’

(x)

>0,則x<0時(shí)

A.f’(x)>0,g’(x)>0

B.f

’(x)>0,g’(x)<0

C.f

’(x)<0,g’(x)<0

D.f

’

(x)<0,g’(x)<0

解析：由已知f(x)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相同;g(x)為偶函數(shù),在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反,x>0時(shí)f’’(x)>0,g’

(x)

>0,遞增,當(dāng)x<0時(shí),f(x)

遞增,f

’(x)>0;

g(x)遞減,g’(x)<0,選B

(12)某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，從“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000個(gè)號(hào)碼.公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為

A.2000

B.4096

C.5904

D.8320

解析：10000個(gè)號(hào)碼中不含4、7的有84=4096，故這組號(hào)碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為10000-4096=5904，選C

第Ⅱ卷（非選擇題

共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。

（13）（x2+）6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

.（用數(shù)字作答）

解析：法一：由組合數(shù)性質(zhì)，要使出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)必須取2個(gè)x2，4個(gè)，故常數(shù)項(xiàng)為

法二：展開后可得常數(shù)項(xiàng)為15

（14）已知實(shí)數(shù)x、y滿足則z=2x-y的取值范圍是

.解析：畫出可行域知z=2x-y在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范圍是[-5，7]

（15）已知長(zhǎng)方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為。

解析：由已知C=2，（16）中學(xué)數(shù)學(xué)中存在許多關(guān)系，比如“相等關(guān)系”、“平行關(guān)系”等等.如果集合A中元素之間的一個(gè)關(guān)系“-”滿足以下三個(gè)條件：

（1）自反性：對(duì)于任意a∈A,都有a-a;

(2)對(duì)稱性：對(duì)于a,b∈A，若a-b,則有b-a;

(3)傳遞性：對(duì)于a,b,c∈A,若a-b,b-c,則有a-c.則稱“-”是集合A的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.例如：“數(shù)的相等”是等價(jià)關(guān)系，而“直線的平行”不是等價(jià)關(guān)系（自反性不成立）.請(qǐng)你再列出兩個(gè)等價(jià)關(guān)系：

.解析：答案不唯一，如“圖形的全等”、“圖形的相似”、“非零向量的共線”、“命題的充要條件”等等.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.（17）（本小題滿分12分）

在△ABC中，tanA=,tanB=.(I)求角C的大小;

(II)若AB邊的長(zhǎng)為，求BC邊的長(zhǎng)

本小題主要考查兩角和差公式，用同角三角函數(shù)關(guān)系等解斜三角形的基本知識(shí)以及推理知運(yùn)算能力.滿分12分.解：（I）∵C＝-(A+B),∴tanC=-tan(A+B)=

又∵0

(II)由且A∈（0，），得sinA=

∵∴BC＝AB·.（18）（本小題滿分12分）

甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7、0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒(méi)有影響，求：

（I）甲試跳三次，第三次才能成功的概率;

(II)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;

(III)甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.本小題主要考查概率的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.解：記“甲第i次試跳成功”為事件A1，“乙第i次試跳成功”為事件B1.依題意得P（A1）＝0.7，P（B1）＝0.6，且A1B1（i=1,2,3）相互獨(dú)立.(I)“甲第三次試跳才成功”為事件A3，且三次試跳相互獨(dú)立，∴P（A3）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.答：甲第三次試跳才成功的概率為0.063.(II)甲、乙兩支在第一次試跳中至少有一人成功為事件C，解法一：C＝A1彼此互斥，∴P（C）

＝

＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6

=

0.88.解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.答：甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率為0.88.（III）設(shè)“甲在兩次試跳中成功i次”為事件Mi（i=0,1,2）,“乙在兩次試跳中成功i次”為事件Ni(i=0,1,2),∵事件“甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次”可表示為M1N0+M2N1,且M1N0、M2N1為互斥事件.∴所求的概率為

＝×0.7×0.3×0.42+0.72××0.6×0.4

=0.0672+0.2352

=0.3024.答：甲、乙每人試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率為0.3024.（19）（本小題滿分12分）

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn).(I)求證：AB1⊥平面A1BD;

(II)求二面角A-A1D-B的大小.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，三面角的大小等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力

解法一：（I）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1,∴AO⊥平面BCC1B1,連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C中,O、D分別為BC、CC1的中點(diǎn)，∴B1O⊥BD,∴AB1⊥BD.在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)AB1與A1B交于點(diǎn)C，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，連結(jié)AF，由（I）得AB1⊥平面A1BD，∴∠AFG為二面A-A1B-B的平面角.在△AA1D中，由等面積法可求得AF＝，又∵AG＝=,∴sin∠AFG=,所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin.解法二：（I）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO.∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC.∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中點(diǎn)O1，以a為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則B（1,0,0）,D

(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),∴

∵

∴⊥⊥,∴AB1⊥平面A1BD.(II)設(shè)平面A1AD的法向量為n=(x,y,z).∵n⊥⊥,∴

∵

∴

令z=1得a=(-,0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量.由（I）知AB1⊥A1BD.∴為平面A1BD的法向量.cos===-.∴二面角A-A1D-B的大小為arccos.(20)（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).(I)求f

(x)的最小值h(t);

(II)若h(t)<-2t+m對(duì)t∈(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.解：（I）∵

（），∴當(dāng)x=-t時(shí)，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g’(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合題意，舍去）.當(dāng)t變化時(shí)g’(t)、g(t)的變化情況如下表：

T

(0,1)

(1,2)

g’(t)

+

0

g(t)

遞增

極大值1-m

遞減

∴g(t)在（0，2）內(nèi)有最大值g(1)=1-m

h(t)<-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)<0在（0，2）內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1-m<0

所以m的取值范圍為m>1

（21）（本小題滿分12分）

數(shù)列{an}的前N項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn

(n∈N*).(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;

(II)求數(shù)列｛nan｝的前n項(xiàng)和T.本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.解：（I）∵an+1=2Sn，∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴數(shù)列｛Sn｝是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(n∈N*).∴當(dāng)n2時(shí)，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an=

(II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan.當(dāng)n=1時(shí)，T1=1;

當(dāng)n2時(shí)，Tn=1+4·30+6·31+2n·3

n-2,…………①

3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1,…………②

①-②得：-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3

n-1

=2+2·

=-1+(1-2n)·3n-1

∴Tn=+(n-)3n-1

(n2).又∵Tn=a1=1也滿足上式，∴Tn=+(n-)3n-1(n∈N*)

(22)（本小題滿分14分）

如圖，已知點(diǎn)F（1，0），直線l:x=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且·

（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;

（II）過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M.（1）已知的值;

(2)求||·||的最小值.本小題考查直線、拋物線、向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法以及研究曲線幾何特征的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分14分.解法一：（I）設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則Q（-1，y）,由得：

(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡(jiǎn)得C：y2=4x.(II)（1）設(shè)直線AB的方程為：

x=my+1(m≠0).設(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),又M（-1,-）.聯(lián)立方程組,消去x得：

y2-4my-4=0,△

=(-4m)2+12>0,由得：，整理得：,∴

=

=-2-

=0.解法二：（I）由

∴·，∴=0,∴

所以點(diǎn)P的軌跡C是拋物線，由題意，軌跡C的方程為：y2=4x.(II)(1)由已知

則：…………①

過(guò)點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)l的垂線，垂足分別為A1、B1,則有：…………②

由①②得：

（II）（2）解：由解法一：

·＝（）2|y1-yM||y2-yM|

=(1+m2)|y1y2-yM(y1+y2)|+yM2|

=(1+m2)|-4+

×4m+|

=

=4(2+m2+)

4(2+2)=16.當(dāng)且僅當(dāng)，即m=1時(shí)等號(hào)成立，所以·最小值為16.

第四篇：高考卷 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）全解全析

第I卷（共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

（1）“”是“”的（）

Ａ．充分而不必要條件

Ｂ．必要而不充分條件

Ｃ．充分必要條件

Ｄ．既不充分也不必要條件

【答案】：A

【分析】：由可得,可得到,但得不到.故選A.（2）若函數(shù)，（其中，）的最小正周期是，且，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：由由

故選D.（3）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：D

【分析】：解法一(利用相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則它關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為(2-x,y)

在直線上,化簡(jiǎn)得故選答案D.解法二：根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線斜率是互為相反數(shù)得答案A或D,再根據(jù)兩直線交點(diǎn)在直線選答案D.（4）要在邊長(zhǎng)為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個(gè)草坪

都能噴灑到水．假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個(gè)數(shù)最少是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】B

【分析】：因?yàn)辇堫^的噴灑面積為36π，正方形面積為256,故至少三個(gè)龍頭。

由于，故三個(gè)龍頭肯定不能

保證整個(gè)草坪能噴灑到水。當(dāng)用四個(gè)

龍頭時(shí)，可將正方形均分四個(gè)小正方形，同時(shí)將四個(gè)龍頭分別放在它們的中心，由于，故可以保證整個(gè)草坪能噴灑到水。

（5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）

A．

B．

C．

D，【答案】：A

【分析】：由又

故選A.（6）若兩條異面直線外的任意一點(diǎn)，則（）

Ａ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行

Ｂ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直

Ｃ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交

Ｄ．過(guò)點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面

【答案】：B

【分析】：設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為，若與l、m都平行，則l、m平行，與已知矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤。

由于l、m只有惟一的公垂線，而過(guò)點(diǎn)P與

公垂線平行的直線只有一條，故B正確。

對(duì)于選項(xiàng)C、D可參考右圖的正方體，設(shè)AD為直線l，為直線m;

若點(diǎn)P在P1點(diǎn)，則顯然無(wú)法作出直線與兩直線都相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。

若P在P2點(diǎn)，則由圖中可知直線均與l、m異面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

（7）若非零向量滿足，則（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：C

【分析】：

由于是非零向量，則必有故上式中等號(hào)不成立。

∴。故選C.（8）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）

y

x

O

y

x

O

y

x

O

y

x

O

A．

B．

C．

D．

【答案】：D

【分析】：檢驗(yàn)易知A、B、C均適合，D中不管哪個(gè)為均不成立。

（9）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

【答案】：B

【分析】：設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于A點(diǎn).在中，又,化簡(jiǎn)得,故選答案B

（10）設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】：C

【分析】：要的值域是，則又是二次函數(shù)，定義域連續(xù)，故不可能同時(shí)結(jié)合選項(xiàng)只能選C.第II卷（共100分）

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．

（11）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)

．

【答案】：

【分析】：

（12）已知，且，則的值是

．

【答案】：

【分析】：本題只需將已知式兩邊平方即可?！?/p>

∴兩邊平方得：，即，∴

.（13）不等式的解集是

．

【答案】：

【分析】：

（14）某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種.小張用10元錢買雜志

（每種至多買一本，10元錢剛好用完），則不同買法的種數(shù)是

（用數(shù)字作答）．

【答案】：266

【分析】：根據(jù)題意，可有以下兩種情況：①用10元錢買2元1本共有

②用10元錢買2元1本的雜志4本和1元1本的雜志2本共有

故210+56=266.（15）隨機(jī)變量的分布列如下：

其中成等差數(shù)列，若則的值是

．

【答案】：

【分析】：成等差數(shù)列，有

聯(lián)立三式得

（16）已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在內(nèi)，且．若對(duì)于內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角的大小是

．

【答案】：

【分析】：設(shè)直線OP與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只

有作于H,則面,故為.（17）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是

．

【答案】：

【分析】：作圖易知,設(shè)若不成立;

故當(dāng)且斜率大于等于時(shí)方成立.三、解答題：本大題共5小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

（18）（本題14分）已知的周長(zhǎng)為，且．

（I）求邊的長(zhǎng)；

（II）若的面積為，求角的度數(shù)．

解：（I）由題意及正弦定理，得，兩式相減，得．

（II）由的面積，得，由余弦定理，得，所以．

（第19題）

（19）（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn)．

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角．

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．滿分14分．

方法一：

（I）證明：因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以．

又平面，所以．

（II）解：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．是直線和平面所成的角．

因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，則平面，因此．

設(shè)，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，所以，，得是直角三角形，其中，所以．

在中，所以，故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，．，．

（I）證明：因?yàn)?，所以，故?/p>

（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，即，．

因?yàn)?，所以，即，直線與平面所成的角是與夾角的余角，所以，因此直線與平面所成的角是．

（第20題）

（20）（本題14分）如圖，直線與橢圓

交于兩點(diǎn)，記的面積為．

（I）求在，的條件下，的最大值；

（II）當(dāng)，時(shí)，求直線的方程．

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，解得，所以．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值．

（Ⅱ）解：由

得，．

②

設(shè)到的距離為，則，又因?yàn)?，所以，代入②式并整理，得，解得，代入①式檢驗(yàn)，故直線的方程是

或或，或．

（21）（本題15分）已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且．

（I）求，，；

（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）記，求證：．

本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．滿分15分．

（I）解：方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以；

當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，所以．

（II）解：

．

（III）證明：，所以，．當(dāng)時(shí)，，同時(shí)，．

綜上，當(dāng)時(shí)，．

（22）（本題15分）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記．

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）求證：（?。┊?dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；

（Ⅲ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力．滿分15分．

（I）解：．由，得．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：

對(duì)任意固定的，令，則，由，得．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

下面證明的唯一性：

當(dāng)，時(shí)，，由（i）得，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立．

故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：對(duì)任意，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使

對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即，①

又因?yàn)?，不等式①成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

第五篇：高考卷 普通高等學(xué)校招生考試湖北理 數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）全解全析

2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷）

數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）全解全析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．如果的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為（）

Ａ．3

Ｂ．5

Ｃ．6

Ｄ．10

答案：選Ｂ

解析：由展開式通項(xiàng)有

由題意得，故當(dāng)時(shí)，正整數(shù)的最小值為5，故選Ｂ

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察二項(xiàng)式定理的基本知識(shí)，以通項(xiàng)公式切入探索，由整數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得所求。本題中“

非零常數(shù)項(xiàng)”為干擾條件。

易錯(cuò)點(diǎn)：將通項(xiàng)公式中誤記為，以及忽略為整數(shù)的條件。

2．將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：選Ａ

解析：法一

由向量平移的定義，在平移前、后的圖像上任意取一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則，帶入到已知解析式中可得選Ａ

法二

由平移的意義可知，先向左平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察向量與三角函數(shù)圖像的平移的基本知識(shí)，以平移公式切入，為簡(jiǎn)單題。

易錯(cuò)點(diǎn)：將向量與對(duì)應(yīng)點(diǎn)的順序搞反了，或死記硬背以為是先向右平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，誤選Ｃ

3．設(shè)和是兩個(gè)集合，定義集合，如果，那么等于（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

答案：選Ｂ

解析：先解兩個(gè)不等式得。由定義，故選Ｂ

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)考察兩類簡(jiǎn)單不等式的求解，進(jìn)一步考察對(duì)集合的理解和新定義的一種運(yùn)算的應(yīng)用，體現(xiàn)了高考命題的創(chuàng)新趨向。此處的新定義一般稱為兩個(gè)集合的差。

易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)新定義理解不全，忽略端點(diǎn)值而誤選Ａ，以及解時(shí)出錯(cuò)。

4．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題：

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

①；

②；

③與相交與相交或重合；

④與平行與平行或重合．

其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（）

Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4

答案：選Ｄ

解析：由射影的概念以及線線垂直關(guān)系的判定方法，可知①②③④均錯(cuò),具體可觀察如圖的正方體：

但不垂直，故①錯(cuò)；但在底面上的射影都是

故②錯(cuò)；相交，但異面，故③錯(cuò)；但異面，故④錯(cuò)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察空間線面之間位置關(guān)系，以及射影的意義理解。關(guān)鍵是要理解同一條直線在不同平面上的射影不同；線在面內(nèi)，線面平行，線面相交的不同位置下，射影也不相同。要從不用的方向看三垂線定理，充分發(fā)揮空間想象力。

易錯(cuò)點(diǎn)：空間想象力不夠，容易誤判③、④正確，而錯(cuò)選Ｂ或Ｃ

5．已知和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)，且，則（）

A．0

B．1

C．

D．

答案：選C

解析：法一

特殊值法，由題意取，則，可見(jiàn)應(yīng)選C

法二

令，分別取和，則原式化為

所以原式=（分子、分母1的個(gè)數(shù)分別為個(gè)、個(gè)）

點(diǎn)評(píng)：本題考察數(shù)列的極限和運(yùn)算法則，可用特殊值探索結(jié)論，即同時(shí)考察學(xué)生思維的靈活性。當(dāng)不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則時(shí)，首先化簡(jiǎn)變形，后用法則即可。本題也體現(xiàn)了等比數(shù)列求和公式的逆用。

易錯(cuò)點(diǎn)：取特值時(shí)忽略和是兩個(gè)不相等的正整數(shù)的條件，誤選B；或不知變形而無(wú)法求解，或者認(rèn)為是型而誤選B，看錯(cuò)項(xiàng)數(shù)而錯(cuò)選D

6．若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”．

甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（）

A．甲是乙的充分條件但不是必要條件

B．甲是乙的必要條件但不是充分條件

C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：選B

解析：由等比數(shù)列的定義數(shù)列，若乙：是等比數(shù)列，公比為，即則甲命題成立；反之，若甲：數(shù)列是等方比數(shù)列，即

即公比不一定為，則命題乙不成立，故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解、轉(zhuǎn)換。要是等比數(shù)列，則公比應(yīng)唯一確定。

易錯(cuò)點(diǎn)：本題是易錯(cuò)題。由，得到的是兩個(gè)等比數(shù)列，而命題乙是指一個(gè)等比數(shù)列，忽略等比數(shù)列的確定性，容易錯(cuò)選C

x

y

M

F1

F2

D

L

O

7．雙曲線的左準(zhǔn)線為，左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和；拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為與的一個(gè)交點(diǎn)為，則等于

（）A．

B．

C．

D．

答案：選A

解析：由題設(shè)可知點(diǎn)同時(shí)滿足雙曲線和拋物線的定義，且在雙曲線右支上,故

由定義可得

故原式，選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察雙曲線和拋物線的定義和性質(zhì)，幾何條件列方程組，消元后化歸曲線的基本量的計(jì)算，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合方法的重要性。

易錯(cuò)點(diǎn)：由于畏懼心理而胡亂選擇，不能將幾何條件有機(jī)聯(lián)系轉(zhuǎn)化，缺乏消元意識(shí)。

8．已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得

為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A．2

B．3

C．4

D．5

答案：選D

解析：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和及等差中項(xiàng)，可得，故時(shí)，為整數(shù)。故選D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)的綜合應(yīng)用，以及部分分式法，數(shù)的整除性

是傳統(tǒng)問(wèn)題的進(jìn)一步深化，對(duì)教學(xué)研究有很好的啟示作用。

易錯(cuò)點(diǎn)：不能將等差數(shù)列的項(xiàng)與前項(xiàng)和進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，胡亂選擇。

9．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（）

A．

B．

C．

D．

答案：選C

解析：由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線上及其下方時(shí)，滿足，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為個(gè)，而位于直線上及其下方的點(diǎn)有個(gè)，故所求概率，選C

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察向量夾角，等可能事件概率的計(jì)算以及數(shù)形結(jié)合的知識(shí)和方法。

易錯(cuò)點(diǎn)：不能數(shù)形直觀，確定點(diǎn)的位置，或忽略?shī)A角范圍中的，而誤選A

10．已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（）

A．60條

B．66條

C．72條

D．78條

答案：選A

解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，而圓

上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為，前8個(gè)點(diǎn)中，過(guò)任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；12個(gè)點(diǎn)中過(guò)任意兩點(diǎn)，構(gòu)成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過(guò)原點(diǎn)（圓上點(diǎn)的對(duì)稱性），故滿足題設(shè)的直線有52條。綜上可知滿足題設(shè)的直線共有條，選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察直線與圓的概念，以及組合的知識(shí)，既要數(shù)形結(jié)合，又要分類考慮，要結(jié)合圓上點(diǎn)的對(duì)稱性來(lái)考慮過(guò)點(diǎn)的直線的特征。是較難問(wèn)題

易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確理解題意，甚至混淆。對(duì)直線截距式方程認(rèn)識(shí)不明確，認(rèn)識(shí)不到三類特殊直線不能用截距式方程表示；對(duì)圓上的整數(shù)點(diǎn)探索不準(zhǔn)確，或分類不明確，都會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，胡亂選擇。

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應(yīng)位置上．

11．已知函數(shù)的反函數(shù)是，則；

．

答案：

解析：由互反函數(shù)點(diǎn)之間的對(duì)稱關(guān)系，取特殊點(diǎn)求解。在上取點(diǎn)，得點(diǎn)

在上，故得；又上有點(diǎn)，則點(diǎn)在點(diǎn)評(píng)：本題主要考察反函數(shù)的概念及其對(duì)稱性的應(yīng)用。直接求反函數(shù)也可，較為簡(jiǎn)單。

易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算錯(cuò)誤導(dǎo)致填寫其他錯(cuò)誤答案。

12．復(fù)數(shù)，且，若是實(shí)數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對(duì)可以是

．（寫出一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)即可）

答案：或滿足的任意一對(duì)非零實(shí)數(shù)對(duì)

解析：由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可知，由題意得，答案眾多，如也可。

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考察復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算，有一般結(jié)論需要寫出一個(gè)具體結(jié)果，屬開放性問(wèn)題。

易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算出錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)果寫錯(cuò)，或?qū)忣}馬虎，只寫出，不合題意要求。

x

y

o

13．設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

答案：

解析：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，令，顯然當(dāng)平行直線過(guò)點(diǎn)

時(shí)，取得最小值為

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線性規(guī)劃的基本知識(shí)，考察學(xué)生的動(dòng)手能力作圖觀察能力。

易錯(cuò)點(diǎn)：不能準(zhǔn)確畫出不等式組的平面區(qū)域，把上下位置搞錯(cuò)，以及把直線間的相對(duì)位置搞錯(cuò)，找錯(cuò)點(diǎn)的位置而得到錯(cuò)誤結(jié)果。

14．某籃運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率

．（用數(shù)值作答）

答案：

解析：由題意知所求概率

點(diǎn)評(píng)：本題考察次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件恰好發(fā)生次的概率，直接用公式解決。

易錯(cuò)點(diǎn)：把“恰好投進(jìn)3個(gè)球”錯(cuò)誤理解為某三次投進(jìn)球，忽略“三次”的任意性。

（毫克）

（小時(shí)）

15為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；

藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示．

據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題：

（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間

（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；

（II）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么，藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過(guò)

小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．

答案：（I）（II）

解析：（I）由題意和圖示，當(dāng)時(shí)，可設(shè)（為待定系數(shù)），由于點(diǎn)在直線上，；同理，當(dāng)時(shí)，可得

（II）由題意可得，即得或或，由題意至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．

點(diǎn)評(píng)：本題考察函數(shù)、不等式的實(shí)際應(yīng)用，以及識(shí)圖和理解能力。

易錯(cuò)點(diǎn)：只單純解不等式，而忽略題意，在（II）中填寫了其他錯(cuò)誤答案。

三、解答題：本大題共6小題，共75分．

16．本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力．

解：（Ⅰ）設(shè)中角的對(duì)邊分別為，則由，可得，．

（Ⅱ）

．，．

即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

17．本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計(jì)總體分布的統(tǒng)計(jì)方法，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

解：（Ⅰ）

分組

頻數(shù)

頻率

0.04

0.25

0.30

0.29

0.10

0.02

合計(jì)

1.00

樣本數(shù)據(jù)

頻率/組距

1.30

1.34

1.38

1.42

1.46

1.50

1.54

（Ⅱ）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為．

（Ⅲ）總體數(shù)據(jù)的期望約為

．

18．本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力以及應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．

解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又是的中點(diǎn)，又底面．．于是平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ）

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作于，則由（Ⅰ）知平面．

連接，于是就是直線與平面所成的角．

在中，；

設(shè)，在中，．，A

D

B

C

H

V，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法2：（Ⅰ）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，，．

從而，即．

同理，即．又，平面．

又平面．平面平面．

A

D

B

C

V

x

y

z

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，則由．

得

可取，又，于是，，．

又，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法3：（Ⅰ）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，．

從而，即．

同理，即．

又，平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個(gè)法向量為，則由，得

A

D

B

C

V

x

y

可取，又，于是，，．

又，即直線與平面所成角的取值范圍為．

解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．

設(shè)．

A

D

B

C

V

x

y

z

（Ⅰ），即．，即．

又，平面．

又平面，平面平面．

（Ⅱ）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個(gè)非零法向量，則取，得．

可取，又，于是，關(guān)于遞增．，．

即直線與平面所成角的取值范圍為．

19．本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力．

解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，N

O

A

C

B

y

x

直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．

由韋達(dá)定理得，．

于是．，當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，N

O

A

C

B

y

x

l

則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．

從而，當(dāng)時(shí)，．

（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．

設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．

解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當(dāng)，即時(shí)，；

當(dāng)，即時(shí)，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．

（Ⅱ）設(shè)，則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．

21．本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算技能，考查分析問(wèn)題能力和推理能力．

解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以左邊右邊，原不等式成立?/p>

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時(shí)，不等式也成立．

綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，于是，．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，．

即．即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

故只需要討論的情形：

當(dāng)時(shí)，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，等式成立；

當(dāng)時(shí)，等式成立；

當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；

當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立．

綜上，所求的只有．

解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)，且時(shí)，．　?、?/p>

（?。┊?dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以，即左邊右邊，不等式①成立?/p>

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式①成立，即，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋裕?/p>

于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時(shí)，不等式①也成立．

綜上所述，所證不等式成立．

（Ⅱ）證：當(dāng)，時(shí)，，而由（Ⅰ），．

（Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有．　　　　?、?/p>

又由（Ⅱ）可得，與②式矛盾．

故當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)．

下同解法1．