第一篇：四年級奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)資料庫 第10講 數(shù)字謎(二)

第10講 數(shù)字謎

（二）例1 把下面算式中缺少的數(shù)字補上：

分析與解：一個四位數(shù)減去一個三位數(shù)，差是一個兩位數(shù)，也就是說被減數(shù)與減數(shù)相差不到100。四位數(shù)與三位數(shù)相差不到100，三位數(shù)必然大于900，四位數(shù)必然小于1100。由此我們找出解決本題的突破口在百位數(shù)上。

（1）填百位與千位。由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差是兩位數(shù)，所以減數(shù)的百位應(yīng)填9，被減數(shù)的千位應(yīng)填1，百位應(yīng)填0，且十位相減時必須向百位借1。

（2）填個位。由于被減數(shù)個位數(shù)字是0，差的個位數(shù)字是1，所以減數(shù)的個位數(shù)字是9。

（3）填十位。由于個位向十位借1，十位又向百位借1，所以被減數(shù)十位上的實際數(shù)值是18，18分解成兩個一位數(shù)的和，只能是9與9，因此，減數(shù)與差的十位數(shù)字都是9。

所求算式如右式。

由例1看出，考慮減法算式時，借位是一個重要條件。

例2 在下列各加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求出這兩個算式：

分析與解：（1）這是一道四個數(shù)連加的算式，其特點是相同數(shù)位上的數(shù)字相同，且個位與百位上的數(shù)字相同，即都是漢字“學(xué)”。

用心

愛心

專心 1

從個位相同數(shù)相加的情況來看，和的個位數(shù)字是8，有兩種可能情況：2＋2＋2＋2＝8與7＋7＋7＋7＝28，即“學(xué)”＝2或7。

如果“學(xué)”＝2，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加的和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字6。此時，百位上的和為“學(xué)”＋“學(xué)”＋1＝2＋2＋1＝5≠4。因此“學(xué)”≠2。

如果“學(xué)”＝7，那么要使三個“數(shù)”所代表的數(shù)字相加再加上個位進位的2，和的個位數(shù)字為8，“數(shù)”只能代表數(shù)字2。百位上兩個7相加要向千位進位1，由此可得“我”代表數(shù)字3。

滿足條件的解如右式。

（2）由千位看出，“努”=4。由千、百、十、個位上都有“努”，5432-4444=988，可將豎式簡化為左下式。同理，由左下式看出，“力”=8，988-888=100，可將左下式簡化為下中式，從而求出“學(xué)”=9，“習”=1。

滿足條件的算式如右下式。

例2中的兩題形式類似，但題目特點并不相同，解法也不同，請同學(xué)們注意比較。

例3 下面豎式中每個漢字代表一個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求被乘數(shù)。

分析與解：由于個位上的“賽”ד賽”所得的積不再是“賽”，而是另一個數(shù)，所以“賽”的取值只能是2，3，4，7，8，9。

下面采用逐一試驗的方法求解。

用心

愛心

專心 2

（1）若“賽”＝2，則“數(shù)”＝4，積=444444。被乘數(shù)為444444÷2＝222222，而被乘數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字各不相同，所以“賽”≠2。

（2）若“賽”＝3，則“數(shù)”=9，仿（1）討論，也不行。

（3）若“賽”＝4，則“數(shù)”＝6，積=666666。666666÷4得不到整數(shù)商，不合題意。

（4）若“賽”＝7，則“數(shù)”＝9，積=999999。被乘數(shù)為999999÷7＝142857，符合題意。

（5）若“賽”＝8或9，仿上討論可知，不合題意。

所以，被乘數(shù)是142857。

例4 在□內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下式的乘法豎式成立。

分析與解：為清楚起見，我們用A，B，C，D，…表示□內(nèi)應(yīng)填入的數(shù)字（見右上式）。

由被乘數(shù)大于500知，E=1。由于乘數(shù)的百位數(shù)與被乘數(shù)的乘積的末位數(shù)是5，故B，C中必有一個是5。若C＝5，則有

6□□×5=（600+□□）×5=3000+□□×5，不可能等于□5□5，與題意不符，所以B=5。再由B=5推知G=0或5。若G=5，則F=A=9，此時被乘數(shù)為695，無論C為何值，它與695的積不可能等于□5□5，與題意不符，所以G=0，F(xiàn)=A=4。此時已求出被乘數(shù)是645，經(jīng)試驗只有645×7滿足□5□5，所以C=7；最后由B=5，G=0知D為偶數(shù)，經(jīng)試驗知D=2。

右式為所求豎式。

用心

愛心

專心 3

此類乘法豎式題應(yīng)根據(jù)已給出的數(shù)字、乘法及加法的進位情況，先填比較容易的未知數(shù)，再依次填其余未知數(shù)。有時某未知數(shù)有幾種可能取值，需逐一試驗決定取舍。

例5 在□內(nèi)填入適當數(shù)字，使左下方的除法豎式成立。

分析與解：把左上式改寫成右上式。根據(jù)除法豎式的特點知，B=0，D=G=1，E=F=H=9，因此除數(shù)應(yīng)是99的兩位數(shù)的約數(shù)，可能取值有11，33和99，再由商的個位數(shù)是5以及5與除數(shù)的積是兩位數(shù)得到除數(shù)是11，進而知A＝C-9。至此，除數(shù)與商都已求出，其余未知數(shù)都可填出（見右式）。

此類除法豎式應(yīng)根據(jù)除法豎式的特點，如商的空位補0、余數(shù)必須小于除數(shù)，以及空格間的相互關(guān)系等求解，只要求出除數(shù)和商，問題就迎刃而解了。例6 把左下方除法算式中的*號換成數(shù)字，使之成為一個完整的式子（各*所表示的數(shù)字不一定相同）。

用心

愛心

專心 4 分析與解：由上面的除法算式容易看出，商的十位數(shù)字“*”是0，即商為。

因為除數(shù)與8的積是兩位數(shù)，除數(shù)與商的千位數(shù)字的積是三位數(shù)，知商的千位數(shù)是9，即商為9807。

因為“除數(shù)×9”是三位數(shù)，所以除數(shù)≥12；又因為“除數(shù)×8”是兩位數(shù)，所以除數(shù)≤12。推知除數(shù)只能是12。被除數(shù)為9807×12＝117684。

除法算式如上頁右式。

練習10

1．在下面各豎式的□內(nèi)填入合適的數(shù)字，使豎式成立：

2．右面的加法算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字。問：“小”代表什么數(shù)字？

3．在下列各算式中，不同的漢字代表不同的數(shù)字相同的漢字代表相同的數(shù)字。求出下列各式：

用心

愛心

專心 5

4．在下列各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。這些算式中各字母分別代表什么數(shù)字？

用心

愛心

專心 6

第二篇：四年級奧數(shù)第五講_等差數(shù)列(二)_教師版

唯思達教育 小學(xué)四年級奧數(shù)一對一講義 教師版

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引申

1、一些同樣粗細的圓木,像如圖所示一樣均勻地堆放在一起,已知最下面一層有70根。一共有多少根圓木？ 答案：2485根。

2、用3根等長的火柴棍擺成一個等邊三角形,用這樣的等邊三角形，按下圖所示鋪滿一個大的等邊三角形,如果這個大的等邊三角形的底邊能放10根火柴棒,那么這個大的等邊三角形中一共要放多少根火柴棒?

解:如果把圖中最上端的一個三角形看做

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引申

1、有60把鎖的鑰匙搞亂了,為了使每把鎖都配上自己的鑰匙,至多試多少次?

解：59+58+57+?+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)

2、有一些鎖的鑰匙搞亂了,已知至多要試28次,就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了? 答: 一共有8把鎖的鑰匙搞亂了。

3、一輛公共汽車有66個座位,空車出發(fā)后,

第三篇：小學(xué)奧數(shù)之第10講 數(shù)論綜合(一)

第10講 數(shù)論綜合（一）

涉及知識點多、解題過程比較復(fù)雜的整數(shù)綜合題，以及基本依靠數(shù)論手段求解的其他類型問題．

1．如果把任意n個連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個位數(shù)字只有兩種可能，那么n是多少?

【分析與解】 我們知道如果有5個連

續(xù)的自然數(shù)，因為其內(nèi)必有2的倍數(shù)，也有5的倍數(shù)，則它們乘積的個位數(shù)字只能是0。

所以n小于5．

:當n為4時，如果其內(nèi)含有5的倍數(shù)(個位數(shù)字為O或5)，顯然其內(nèi)含有2的倍數(shù)，那么它們乘積的個位數(shù)字為0；

如果不含有5的倍數(shù)，則這4個連續(xù)的個位數(shù)字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它們的積的個位數(shù)字都是4；

所以，當n為4時，任意4個連續(xù)自然數(shù)相乘，其積的個位數(shù)字只有兩科可能．

：當n為3時，有1×2×3的個位數(shù)字為6，2×3×4的個位數(shù)字為4，3×4×5的個位數(shù)字為0，……，不滿足．

：當n為2時，有1×2，2×3，3×4，4×5的個位數(shù)字分別為2，6，4，0，顯然不滿足．

至于n取1顯然不滿足了．

所以滿足條件的n是4．

2．如果四個兩位質(zhì)數(shù)a，b，c，d兩兩不同，并且滿足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?

【分析與解】兩位的質(zhì)數(shù)有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小為11+19=13+17=30，最大為97+71=89+79=168．

所以滿足條件的a+b最小可能值為30，最大可能值為168．

3．如果某整數(shù)同時具備如下3條性質(zhì)：

①這個數(shù)與1的差是質(zhì)數(shù)；

②這個數(shù)除以2所得的商也是質(zhì)數(shù)；

③這個數(shù)除以9所得的余數(shù)是5．

那么我們稱這個整數(shù)為幸運數(shù)．求出所有的兩位幸運數(shù)．

【分析與解】 條件①也就是這個數(shù)與1的差是2或奇數(shù)，這個數(shù)只能是3或者偶數(shù)，再根據(jù)條件③，除以9余5，在兩位的偶數(shù)中只有14，32，50，68，86這5個數(shù)滿足條件．

其中86與50不符合①，32與68不符合②，三個條件都符合的只有14．

所以兩位幸運數(shù)只有14．

4．在555555的約數(shù)中，最大的三位數(shù)是多少?

【分析與解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37 顯然其最大的三位數(shù)約數(shù)為777．

5．從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形．按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得正方形的邊長是多少毫米?

【分析與解】 從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙板上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數(shù)恰好是2002除以847所得的商．而余數(shù)恰好是剩下的長方形的寬，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．

不難得知，最后剪去的正方形邊長為77毫米．

6．已知存在三個小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)．請寫出所有可能的答案．

【分析與解】 設(shè)這三個數(shù)為a、b、c，且a＜b＜c，因為兩兩不互質(zhì)，所以它們均是合數(shù)．

小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個數(shù)，但是14=2×7，其中質(zhì)因數(shù)7只有14含有，無法找到兩個不與14互質(zhì)的數(shù)．

所以只剩下6，10，12，15，18這5個數(shù)存在可能的排列．

所以，所有可能的答案為(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．

7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每一組中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1．那么最少要分成多少組?

【分析與解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．

由于質(zhì)因數(shù)13出現(xiàn)在26、91、143三個數(shù)中，故至少要分成三組，可以分成如下3組：

將26、33、35分為一組，91、34、33分為一組，而143、63、85分為一組． 所以，至少要分成3組．

8．圖10-1中兩個圓只有一個公共點A，大圓直徑48厘米，小圓直徑30厘米．兩只甲蟲同時從A出發(fā)，按箭頭所指的方向以相同的速度分別爬了幾圈時，兩只甲蟲首次相距最遠?

【分析與解】 圓內(nèi)的任意兩點，以直徑兩端點得距離最遠．如果沿小圓爬行的甲蟲爬到A點，沿大圓爬行的甲蟲恰好爬到B點，兩甲蟲的距離便最遠．

小圓周長為?×30=307r，大圓周長為48?，一半便是24?，30與24的最小公倍數(shù)時120．

120÷30=4．120÷24=5．

所以小圓上甲蟲爬了4圈時，大圓上甲蟲爬了5個兩只甲蟲相距最遠．

1圓周長，即爬到了過A的直徑另一點B．這時2

9．設(shè)a與b是兩個不相等的非零自然數(shù)．

(1)如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么這兩個自然數(shù)的和有多少種可能的數(shù)值?

(2)如果它們的最小公倍數(shù)是60，那么這兩個自然數(shù)的差有多少種可能的數(shù)值? 【分析與解】(1)a與b的最小公倍數(shù)72=2×2×2×3×3，有12個約數(shù)：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨設(shè)a＞b．

:當a=72時，b可取小于72的11種約數(shù)，a+b≥72+1=73；

:當a=36時，b必須取8或24，a+b的值為44或60，均不同第一種情況中的值；

：當a=24時，b必須取9或18，a+b的值為33或42，均不同第一、二種情況中的值； 當a=18時，b必須取8，a+b=26，不同于第一、二、三種情況的值； ：當a=12時，b無解；

:當a=9時，b必須取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情況中的值．

總之，a+b可以有l(wèi)l+2+2+1+1=17種不同的值．

(2)60=2×2×3×5，有12個約數(shù)：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a(chǎn)、b為60的約數(shù)，不妨設(shè)a＞b． ：當a=60時，b可取60外的任何一個數(shù)，即可取11個值，于是a－b可取11種不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30； ．當a=30時，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10； ：當a=20時，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；

當a=15時，b可取4，12，所以a－b可取11，3； : 當a=12時，b可取5，10，所以a－b可取7，2．

總之，a－b可以有11+3+4+2+2=22種不同的值．

10．狐貍和黃鼠狼進行跳躍比賽，狐貍每次跳4次．比賽途中，從起點開始每隔12少米?

13米，黃鼠狼每次跳2米，它們每秒鐘都只跳一243米設(shè)有一個陷阱，當它們之中有一個掉進陷阱時，另一個跳了多83111339÷4=，12÷2=． 82484233 所以狐貍跳4個12米的距離時將掉進陷阱，黃鼠狼跳2個12米的距離時，將掉進陷阱．

【分析與解】 由于12 又由于它們都是一秒鐘跳一次，因此當狐貍掉進陷阱時跳了11秒，黃鼠狼掉進陷阱時跳了9秒，因此黃鼠狼先掉進陷阱，此時狐貍跳了9秒.距離為9×41=40.5(米)． 2

11.在小于1000的自然數(shù)中，分別除以18及33所得余數(shù)相同的數(shù)有多少個?(余數(shù)可以為0)

【分析與解】 我們知道18，33的最小公倍數(shù)為[18，33]=198，所以每198個數(shù)一次．

1～198之間只有1，2，3，…，17，198(余O)這18個數(shù)除以18及33所得的余數(shù)相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99個這樣的數(shù)．

12．甲、乙、丙三數(shù)分別為603，939，393．某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍．求A等于多少?

【分析與解】 由題意知4倍393除以A的余數(shù)，等于2倍939除以A的余數(shù)，等于甲603除以A的余數(shù)．

即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．

于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．

所以A為1275，306，969的約數(shù)，(1275，306，969)=17×3=51．

于是，A可能是51，17(不可能是3，因為不滿足余數(shù)是另一余數(shù)的4倍)．

當A為51時，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不滿足；

當A為17時，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；滿足．

所以，除數(shù)4為17．

13．證明：形如11，111，1111，11111，…的數(shù)中沒有完全平方數(shù)．

【分析與解】

我們知道奇數(shù)的完全平方數(shù)是奇數(shù)，偶數(shù)的完全平方數(shù)為偶數(shù)，而奇數(shù)的完全平方數(shù)除以4余1，偶數(shù)的完全平方數(shù)能被4整除．

現(xiàn)在這些數(shù)都是奇數(shù)，它們除以4的余數(shù)都是3，所以不可能為完全平方數(shù)．

評注：設(shè)奇數(shù)為2n+1，則它的平方為4n+4n+1，顯然除以4余1．

14．有8個盒子，各盒內(nèi)分別裝有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44塊．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的2倍．問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖?

【分析與解】 我們知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的塊數(shù)是丁所取糖塊數(shù)的5倍．

八盒糖總塊數(shù)為9+17+24+28+30+31+33+44=216．

從216減去5的倍數(shù)，所得差的個位數(shù)字只能是1或6．

觀察各盒糖的塊數(shù)發(fā)現(xiàn)，沒有個位數(shù)字是6的，只有一個個位數(shù)字是1的數(shù)31．

因此甲取走的一盒中有3l塊奶糖．

15．在一根長木棍上，有三種刻度線．第一種刻度線將木棍分成10等份；第二種將木棍分成12等份；第三種將木棍分成15等份．如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段?

【分析與解】 10，12，15的最小公倍數(shù)[10，12，15]=60，把這根木棍的1作為一個長度單位，這60樣，木棍10等份的每一等份長6個單位；12等份的每等份長5個單位；15等份的每等份長4單位．

不計木棍的兩個端點，木棍的內(nèi)部等分點數(shù)分別是9，11，14(相應(yīng)于10，12，15等份)，共計34個．

由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等份的等分點在30單位處相重，必須從34中減1．

又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等份的等分點在20單位和40單位兩處相重，必須再減去2．

同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等份的等分點在12，24，36，48單位處相重，必須再減去4．

由于這些相重點各不相同，所以從34個內(nèi)分點中減去1，再減去2，再減去4，得27個刻度點．沿這些刻度點把木棍鋸成28段．

第四篇：五年級數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)課程教案(30講)

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(五年級)

第1講數(shù)字迷

（一）第2講 數(shù)字謎(二)第3講 定義新運算(一)第4講 定義新運算(二)第5講 數(shù)的整除性(一)第6講 數(shù)的整除性(二)第7講 奇偶性

（一）第8講 奇偶性

（二）第9講 奇偶性

（三）第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 第11講 分解質(zhì)因數(shù)

第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

（一）第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

（二）第14講 余數(shù)問題

第15講 孫子問題與逐步約束法 第16講 巧算24 第17講 位置原則 第18講 最大最小

第19講 圖形的分割與拼接 第20講 多邊形的面積 第21講 用等量代換求面積 第22 用割補法求面積 第23講 列方程解應(yīng)用題 第24講 行程問題

（一）第25講 行程問題

（二）第26講 行程問題

（三）第27講 邏輯問題

（一）第28講 邏輯問題

（二）第29講 抽屜原理(一)第30講 抽屜原理(二)

第1講 數(shù)字謎

（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級和四年級都講過，同學(xué)們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。

這兩講除了復(fù)習鞏固學(xué)過的知識外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。

例1 把+，-，×，÷四個運算符號，分別填入下面等式的○內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析與解：因為運算結(jié)果是整數(shù)，在四則運算中只有除法運算可能出現(xiàn)分數(shù)，所以應(yīng)首先確定“÷”的位置。

當“÷”在第一個○內(nèi)時，因為除數(shù)是13，要想得到整數(shù)，只有第二個括號內(nèi)是13的倍數(shù)，此時只有下面一種填法，不合題意。

（5÷13-7）×（17+9）。

當“÷”在第二或第四個○內(nèi)時，運算結(jié)果不可能是整數(shù)。

當“÷”在第三個○內(nèi)時，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 將1～9這九個數(shù)字分別填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

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6-23

解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位的積都是四位

數(shù)，所以x=112，被除數(shù)為989×112=110768。右上式為所求豎式。

代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。

例4 在□內(nèi)填入適當數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。

分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥闯觯龜?shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=2×5的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是2=8的倍數(shù)，另一個是5=125的奇數(shù)倍，因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點知a=9，從而除數(shù)應(yīng)是96

333的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24和16。因為，c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)，所以除數(shù)只能是16，進而推知b=6。因為商的后三位數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.375×16=102。右式即為所求豎式。

求解此類小數(shù)除法豎式題，應(yīng)先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個0，則在除數(shù)和商中，一個含有因子2（不含因子5），另一個含有因子5（不含因子2），以此為突破口即可求解。

例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（2），求這個五位數(shù)。n

n

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根據(jù)以上的規(guī)定，求10△6 的值。

3，x>=2，求x的值。

分析與解：按照定義的運算，<1，2，3，x>=2，x=6。

由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應(yīng)避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應(yīng)使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。

分析與解：按新運算的定義，符號“⊙”表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。

四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。

按通常的規(guī)則從左至右進行運算。

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7.對于任意的兩個數(shù)P，Q，規(guī)定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

8.定義： a△b=ab-3b，a 9.已知： 2 4 求（4

第4講 定義新運算

（二）例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“※”化簡，再求結(jié)果。

a※b=（a+b）-（a-b）

=a+b-a+b=2b。

所以，9※2=2×2=4。

由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。

例2 定義運算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

（1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？

（2）當k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新運算“⊙”符合交換律？

分析與解：（1）首先應(yīng)當確定新運算中的常數(shù)k。因為5⊙2=3×5+5×5×2+k×2

=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

因為244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新運算的定義，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。

對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

當新運算是a⊙b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a。

例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因為定義的新運算“☆”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x，只能用推理的方法。3=2×3×4，3）的值。5=4×5×6×7×8，??

4）÷（3b=4a-b/a。計算：（4△3）△（2b）。

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因為6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)[6，x]只能是28，29，30，33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。

例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180°，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90°，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“◎”表示“接著做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

分析與解： a◎b表示先順時針轉(zhuǎn)90°，再順時針轉(zhuǎn)180°，等于順時針轉(zhuǎn)270°，也等于逆時針轉(zhuǎn)90°，所以a◎b=c。

b◎c表示先順時針轉(zhuǎn)180°，再逆時針轉(zhuǎn)90°，等于順時針轉(zhuǎn)90°，所以b◎c=a。

c◎a表示先逆時針轉(zhuǎn)90°，再順時針轉(zhuǎn)90°，等于沒轉(zhuǎn)動，所以c◎a=d。

對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關(guān)于“◎”的運算表（見下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c◎b的結(jié)果。因為運算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。

例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；

（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；

（2）f（g（2））+g（f（2））

=f（2×2）+g（2×2+1）

=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；

（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。

練習4

2.定義兩種運算“※”和“△”如下：

a※b表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，a△b表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。

比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

計算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。

4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。

5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：

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a表示順時針旋轉(zhuǎn)240°，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120°，c表示不旋轉(zhuǎn)。

運算“∨”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。

6.對任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為a

（1）計算：1998

（2）已知112000，（519）

19，5

（195）；

x=4，x小于20，求x的值。

b。比如7

3=1，5

29=4，4-10

因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選擇①為突破口。有兩種情況：

（1）五位數(shù)由一個7和四個9組成；

（2）五位數(shù)由兩個8和三個9組成。

上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979，98989。

例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？

分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。

假設(shè)題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知1～10的和也應(yīng)能被3整除。實際上，1～10的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。

練習5

1.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？

2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？

3.173□是個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個□中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除?！眴枺簲?shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少？

班有多少名學(xué)生？

6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？

第6講 數(shù)的整除性

（二）我們先看一個特殊的數(shù)——1001。因為1001=7×11×13，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。

能被7，11和13整除的數(shù)的特征：

如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或11或13整除。

例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？

解：因為371-306=65，65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。

例3 已知10□8971能被13整除，求□中的數(shù)。

解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的個位數(shù)是7，若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的數(shù)是8。

2位數(shù)進行改寫。根據(jù)十進制數(shù)的意義，有

因為100010001各數(shù)位上數(shù)字之和是3，能夠被3整除，所以這個12位數(shù)能被3整除。

根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的特征，100010001與（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

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同理，100009與（100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

因為91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知這個12位數(shù)能被7和13整除。

7.九位數(shù)8765□4321能被21整除，求中間□中的數(shù)。

8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？

1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。

9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？

55119，55537，62899，71258，186637，872231，5381717。

第7講 奇偶性

（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

0，2，4，6，8，10，12，14，16，?（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，?

整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：

（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。

（2）奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。

（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。

（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。

（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。

（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

因為（2n）=42=4×n，所以（2n）能被4整除；

因為（2n+1）=4n+4n+1=4×（n+n）+1，所以（2n+1）除以4余1。

（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。

整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。

例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

1+2+3+4+?+1997+1998。

分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。1～1998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。

例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。2

2222n2

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數(shù)的和能不能等于99999？

分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式：

例1用0～9這十個數(shù)碼組成五個兩位數(shù)，每個數(shù)字只用一次，要求它們的和是奇數(shù)，那么這五個兩位數(shù)的和最大是多

要使組成的五個兩位數(shù)的和最大，應(yīng)該把十個數(shù)碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個位上放0，1，2，3，4。根據(jù)奇數(shù)的定義，這樣組成的五個兩位數(shù)中，有兩個是奇數(shù)，即個位是1和3的兩個兩位數(shù)。

要滿足這五個兩位數(shù)的和是奇數(shù)，根據(jù)奇、偶數(shù)相加減的運算規(guī)律，這五個數(shù)中應(yīng)有奇數(shù)個奇數(shù)。現(xiàn)有兩個奇數(shù)，即個位數(shù)是1，3的兩位數(shù)。所以五個數(shù)的和是偶數(shù)，不合要求，必須調(diào)整。調(diào)整的方法是交換十位與個位上的數(shù)字。要使五個數(shù)有奇數(shù)個奇數(shù)，并且五個數(shù)的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數(shù)與一個偶數(shù)交換，并且交換的兩個的數(shù)碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設(shè)要求的五個兩位數(shù)的十位上的數(shù)碼是4，6，7，8，9，個位上的數(shù)碼是0，1，2，3，5，所求這五個數(shù)的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。

例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的2只杯子。能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領(lǐng)。如果我們分析一下每次翻轉(zhuǎn)后杯口朝上的杯子數(shù)的奇偶性，就會發(fā)現(xiàn)問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數(shù)；第一次翻轉(zhuǎn)后，杯口朝上的變?yōu)?只，仍是奇數(shù)；再繼續(xù)翻轉(zhuǎn)，因為只能翻轉(zhuǎn)兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數(shù)仍是奇數(shù)。類似的分析可以得到，無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝上的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)其中的（m-1）只杯子。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能使杯口全部朝上嗎？

分析與解：當m是奇數(shù)時，（m-1）是偶數(shù)。由例2的分析知，如果每次翻轉(zhuǎn)偶數(shù)只杯子，那么無論經(jīng)過多少次翻轉(zhuǎn)，杯口朝上（下）的杯子數(shù)的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數(shù)是奇數(shù)，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）即偶數(shù)只杯子。無論翻轉(zhuǎn)多少次，杯口朝下的杯子數(shù)永遠是奇數(shù)，不可能全部朝上。

當m是偶數(shù)時，（m-1）是奇數(shù)。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉(zhuǎn)3只杯子，保持不動的杯子用*號標記。翻轉(zhuǎn)情況如下：

由上表看出，只要翻轉(zhuǎn)4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態(tài)，需要翻奇數(shù)次。對于m只杯子，當m是偶數(shù)時，因為（m-1）是奇數(shù)，所以每只杯子翻轉(zhuǎn)（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態(tài)。要做到這一點，只需要翻轉(zhuǎn)m次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不動，這樣在m次翻轉(zhuǎn)中，每只杯子都有一次沒有翻轉(zhuǎn)，即都翻轉(zhuǎn)了（m-1）次。

綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)（m-1）只。當m是奇數(shù)時，無論翻轉(zhuǎn)多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態(tài)；當m是偶數(shù)時，翻轉(zhuǎn)m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態(tài)。

例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數(shù)分別是1，2，3，?，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數(shù)頁碼的最多有幾篇？

分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)時的規(guī)律。一篇有奇數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數(shù)頁的文章，第一面是奇數(shù)頁碼，最后一面也是奇數(shù)頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數(shù)頁碼上。一篇有偶數(shù)頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數(shù)頁的文章，第一面是奇（偶）數(shù)頁碼，最后一面應(yīng)是偶（奇）數(shù)頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）數(shù)頁碼上。

以上說明本題的解答主要是根據(jù)奇偶特點來處理。

題目要求第一面排在奇數(shù)頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數(shù)頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上（如第1頁），那么接著每一篇有偶數(shù)頁的文章都會是第一面排在奇數(shù)頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數(shù)頁的文章，第一篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數(shù)頁碼上，第三篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上，如此等等。在8篇奇數(shù)頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數(shù)頁碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇數(shù)頁碼上。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內(nèi)裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內(nèi)裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內(nèi)隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內(nèi)。問：從大盒內(nèi)摸了1999次棋子后，大盒內(nèi)還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？

分析與解：大盒內(nèi)裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。

從大盒內(nèi)每次摸2枚棋子有以下兩種情況：

（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內(nèi)取一枚黑棋子放入大盒內(nèi)。當所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內(nèi)少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內(nèi)多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內(nèi)少了一枚黑棋子。

綜合（1）（2），每摸一次，大盒內(nèi)的黑棋子總數(shù)不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數(shù)的奇偶性。原來大盒內(nèi)有1000枚即偶數(shù)枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數(shù)枚黑棋子。因為大盒內(nèi)只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。

例6 一串數(shù)排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?

到這串數(shù)的第1000個數(shù)為止，共有多少個偶數(shù)？

分析與解：首先分析這串數(shù)的組成規(guī)律和奇偶數(shù)情況。

1+1=2，2+3=5，3+5=8，5+8=13，?

這串數(shù)的規(guī)律是，從第三項起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)的和。根據(jù)奇偶數(shù)的加法性質(zhì)，可以得出這串數(shù)的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，??

容易看出，這串數(shù)是按“奇，奇，偶”每三個數(shù)為一組周期變化的。1000÷3=333??1，這串數(shù)的前1000個數(shù)有333組又1個數(shù)，每組的三個數(shù)中有1個偶數(shù)，并且是第3個數(shù)，所以這串數(shù)到第1000個數(shù)時，共有333個偶數(shù)。

練習8

1.在11，111，1111，11111，?這些數(shù)中，任何一個數(shù)都不會是某一個自然數(shù)的平方。這樣說對嗎？

2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，?，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數(shù)頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數(shù)頁碼開始的？

3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉(zhuǎn)5只杯子，那么至少翻轉(zhuǎn)多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

4.70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數(shù)的和，這一行數(shù)的最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，?問：最右邊的一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

5.學(xué)校組織運動會，小明領(lǐng)回自己的運動員號碼后，小玲問他：“今天發(fā)放的運動員號碼加起來是奇數(shù)還是偶數(shù)？”小明說：“除開我的號碼，把今天發(fā)的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100。”今天發(fā)放的運動員號碼加起來，到底是奇數(shù)還是偶數(shù)？

6.在黑板上寫出三個整數(shù)，然后擦去一個換成所剩兩數(shù)之和，這樣繼續(xù)操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數(shù)能否是1，3，5？

7.將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數(shù)件禮品的小朋友是奇數(shù)還是偶數(shù)？

第9講 奇偶性

（三）利用奇、偶數(shù)的性質(zhì)，上兩講已經(jīng)解決了許多有關(guān)奇偶性的問題。本講將繼續(xù)利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無關(guān)的問題。

例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？

分析與解：題目說在指定的這條對角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設(shè)這個說法不對，即對角線上沒放棋子。如下圖所示，因為題目要求擺放的棋子以MN為對稱軸，所以對于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A＇，A與A＇關(guān)于MN對稱，所以A與A＇要么都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數(shù)應(yīng)是偶數(shù)。而題設(shè)每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇數(shù)，與上面的推論矛盾。所以假設(shè)不成立，即在指定的對角線上的格子中必定至少有一枚棋子。

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分析與解：馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？

為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點處相間標上○和●，圖中共有22個○和23個●。因為馬走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點跳到同色的點（指○或●），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在○點，要跳回這一點，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有23+22=45（個）點，不可能做到不重復(fù)地走遍所有的點后回到出發(fā)點。

討論：如果馬的出發(fā)點不是在○點上而是在●點上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個點，最后回到出發(fā)點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點”的要求，那么情況就不一樣了。從某點出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點以外的其它44點，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點和終點應(yīng)是同色的點（指○或●）。因為44步跳過的點○與點●各22個，所以起點必是●，終點也是●。也就說是，當不要求回到出發(fā)點時，只要從●出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點。

練習9

1.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個學(xué)生。一周后，每個學(xué)生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學(xué)交換座位。問：能不能換成？為什么？

2.房間里有5盞燈，全部關(guān)著。每次拉兩盞燈的開關(guān)，這樣做若干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？

3.左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同的長方形？

4.一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右上圖）。守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋。可以做到嗎？

5.紅光小學(xué)五年級一次乒乓球賽，共有男女學(xué)生17人報名參加。為節(jié)省時間不打循環(huán)賽，而采取以下方式：每人只打5場比賽，每兩人之間用抽簽的方法決定只打一場或不賽。然后根據(jù)每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？

6.如下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報出一個數(shù)a（在1～12之間），那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？

第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)

自然數(shù)按照能被多少個不同的自然數(shù)整除可以分為三類：

第一類：只能被一個自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個，就是1。

第二類：只能被兩個不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因為任何自然數(shù)都能被1和它本身整除，所以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）。例如，2，3，5，7，?

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一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如，4，6，8，9，15，?

上面的分類方法將自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

例1 1～100這100個自然數(shù)中有哪些是質(zhì)數(shù)？

分析與解：先把前100個自然數(shù)寫出來，得下表：

分析與解：這道題要判別的數(shù)很大，不能直接用例

1、例2的方法。我們在四年級學(xué)過a的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及a除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2的個位數(shù)隨著n的從小到大，按照2，4，8，6每4個一組循環(huán)出現(xiàn)，98÷4=24??2，所以2的個位數(shù)是4，（2+1）的個位數(shù)是5，能被5整除，說明（2+1）是合數(shù)。

（2+3）是奇數(shù)，不能被2整除； 2不能被3整除，所以（2+3）也不能被3整除；（2+1）能被5整除，（2+3）比（2+1）大2，所以（2+3）不能被5整除。再判斷（2+3）能否被7整除。首先看看2÷7的余數(shù)的變化規(guī)律：

9898

n98

989898

98n

n

n

因為98÷3的余數(shù)是2，從上表可知2除以7的余數(shù)是4，（2+3）除以7的余數(shù)是4+3=7，7能被7整除，即（2+3）能被7整除，所以（2+3）是合數(shù)。

例5 已知A是質(zhì)數(shù)，（A+10）和（A+14）也是質(zhì)數(shù)，求質(zhì)數(shù)A。

分析與解：從最小的質(zhì)數(shù)開始試算。

A=2時，A+10=12，12是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，所以A≠2。

A=3時，A+10=13，是質(zhì)數(shù)；A+14=17也是質(zhì)數(shù)，所以A等于3是所求的質(zhì)數(shù)。

A除了等于3外，還可以是別的質(zhì)數(shù)嗎？因為質(zhì)數(shù)有無窮多個，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。

A，（A+1），（A+2）除以3的余數(shù)各不相同，而（A+1）與（A+10）除以3的余數(shù)相同，（A+2）與（A+14）除以3的余數(shù)相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余數(shù)各不相同。因為任何自然數(shù)除以3只有整除、余

1、余2三種情況，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一個能被3整除。能被3整除的質(zhì)數(shù)只有3，因為（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是說，本題唯一的解是A=3。

練習10

1.現(xiàn)有1，3，5，7四個數(shù)字。

（1）用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)（數(shù)字可以重復(fù)使用）？（2）用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質(zhì)數(shù)？ 2.a，b，c都是質(zhì)數(shù)，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。

3.A是一個質(zhì)數(shù)，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足要求的質(zhì)數(shù)A。

989898

5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。

6.判斷2+3是不是質(zhì)數(shù)。

7.把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù)a寫在另一個兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)b后邊，得到一個三位數(shù)，這個三位數(shù)是a的87倍，求a和b。

第11講 分解質(zhì)因數(shù)

自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成若干個質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如，60=2×3×5，1998=2×3×37。

例1 一個正方體的體積是13824厘米，它的表面積是多少？

分析與解：正方體的體積是“棱長×棱長×棱長”，現(xiàn)在已知正方體的體積是13824厘米，若能把13824寫成三個相同的數(shù)相乘，則可求出棱長。為此，我們先將13824分解質(zhì)因數(shù)：

3236688

把這些因數(shù)分成三組，使每組因數(shù)之積相等，得13824=（2×3）×（2×3）×（2×3），于是，得到棱長是2×3=24（厘米）。所求表面積是24×24×6=3456（厘米）。3

2333

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分法？

7.同學(xué)們?nèi)ド浼?，?guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學(xué)各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。

第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

（一）如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。

如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)a1，a2，?，an的最大公約數(shù)通常用符號（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a1，a2，?，an的最小公倍數(shù)通常用符號[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。

例1 用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？

分析與解：因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的袋數(shù)應(yīng)是144，180，240的公約數(shù)。題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是144，180，240的最大公約數(shù)。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是60÷12=5（元）。

為節(jié)約篇幅，除必要時外，在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時，將不再寫出短除式。

例2 用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？

分析與解：因為498，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求數(shù)是（48，36，84）=12。

例3 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？

分析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因為1111=101×11，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比如取三個數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。

例4 在一個30×24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經(jīng)過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？

分析與解：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6個相同的矩形，那么每個矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個）

小方格組成。在6×6的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線，所以經(jīng)過5個格點（見左下圖）。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的5×4個小方格中，對角線不經(jīng)過任何格點（見右下圖）。

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分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11，求這兩個自然數(shù)?！?/p>

改變以后的兩個數(shù)的乘積是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有5×6，且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個數(shù)是5和6，故原來的兩個自然數(shù)是

7×5=35和7×6=42。

例3 已知a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。

分析與解：因為12，15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當是12與15的公倍數(shù)，即是[12，15]=60的倍數(shù)。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又因為[a，b，c]=120=2×3×5，所以c=15。

因為a是c的倍數(shù)，所以求a，b的問題可以簡化為：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b?！?/p>

當a=60時，b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷60=24；

當a=120時，b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷120=12。

所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。

要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？

分析與解：如果三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個問題，可以將重量分別乘以某個數(shù)，將分數(shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個數(shù)。為此，先求幾個分母的最小公倍數(shù)，[6，4，9]=36，三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?50，135和80，（150，135，80）=5。

上式說明，若三種溶液分別重150，135，80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪嶋H重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多裝

3在例4中，出現(xiàn)了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分數(shù)問題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分數(shù)中。

如果若干個分數(shù)（含整數(shù)）都是某個分數(shù)的整數(shù)倍，那么稱這個分數(shù)是這若干個分數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最大公約數(shù)。

由例4的解答，得到求一組分數(shù)的最大公約數(shù)的方法：

（1）先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；

（2）求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；

（3）求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；

類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分數(shù)中。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分數(shù)的最小公倍數(shù)。

求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：（1）先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；

（2）求出各個分數(shù)的分子的最小公倍數(shù)a；（3）求出各個分數(shù)的分母的最大公約數(shù)b；

于同一處只有一次，求圓形綠地的周長。

第14講 余數(shù)問題

在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產(chǎn)生余數(shù)，所以余數(shù)問題在小學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要。

余數(shù)有如下一些重要性質(zhì)（a，b，c均為自然數(shù)）：

（1）余數(shù)小于除數(shù)。

（2）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)；

除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商；

商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)。

（3）如果a，b除以c的余數(shù)相同，那么a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的余數(shù)都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個和除以c的余數(shù)）。例如，23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（23+16）除以5的余數(shù)等于3+1=4。注意：當余數(shù)之和大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如，23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以（23+19）除以5的余數(shù)等于（3+4）除以5的余數(shù)。

（5）a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以c的余數(shù)）。例如，23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數(shù)等于3×1=3。注意：當余數(shù)之積大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如，23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以（23×19）除以5的余數(shù)等于（3×4）除以5的余數(shù)。

性質(zhì)（4）（5）都可以推廣到多個自然數(shù)的情形。

例1 5122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個兩位數(shù)。

分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)×商=被除數(shù)-余數(shù)。

5122-66=5056，5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將5056分解質(zhì)因數(shù)，得到

5056=2×79。

由性質(zhì)（1）知，除數(shù)應(yīng)大于66，再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在67～99之間，符合題意的5056的約數(shù)只有79，所以這個兩位數(shù)是79。

例2 被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是2143，已知商是33，余數(shù)是52，求被除數(shù)和除數(shù)。

解：因為被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)

=除數(shù)×33+52，被除數(shù)=2143-除數(shù)-商-余數(shù)

=2143-除數(shù)-33-52

=2058-除數(shù)，所以 除數(shù)×33+52=2058-除數(shù)，所以 除數(shù)=（2058-52）÷34=59，被除數(shù)=2058-59=1999。

答：被除數(shù)是1999，除數(shù)是59。

例3 甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù)。

解：因為 甲=乙×11+32，所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以 乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

答：甲數(shù)是1000，乙數(shù)是88。

例4 有一個整數(shù)，用它去除70，110，160得到的三個余數(shù)之和是50。求這個數(shù)。6

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數(shù)大于16。由三個余數(shù)之和是50知，除數(shù)不應(yīng)大于70，所以除數(shù)在17～70之間。

在上面的數(shù)中，再找滿足“除以7余3”的數(shù)，可以找到31。同時滿足“除以5余1”、“除以7余3”的數(shù)，彼此之

在上面的數(shù)中，再找滿足“除以8余5”的數(shù)，可以找到101。因為101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然數(shù)是101。

在例

1、例2中，各有三個約束條件，我們先解除兩個約束條件，求只滿足一個約束條件的數(shù)，然后再逐步加上第二個、第三個約束條件，最終求出了滿足全部三個約束條件的數(shù)。這種先放寬條件，再逐步增加條件的解題方法，叫做逐步約束法。

例3 在10000以內(nèi)，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)有幾個？

解：滿足“除以3余2”的數(shù)有5，8，11，14，17，20，23，?

再滿足“除以7余3”的數(shù)有17，38，59，80，101，?

再滿足“除以11余4”的數(shù)有59。

因為陽[3，7，11]=231，所以符合題意的數(shù)是以59為首項，公差是231的等差數(shù)列。（10000-59）÷231=43??8，所以在10000以內(nèi)符合題意的數(shù)共有44個。

例4 求滿足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然數(shù)。

分析與解：如果給所求的自然數(shù)加3，所得數(shù)能同時被6，8，9整除，所以這個自然數(shù)是

[6，8，9]-3=72-3=69。

例5學(xué)校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？

分析與解：設(shè)需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=66。

這個方程有兩個未知數(shù)，我們沒有學(xué)過它的解法，但由4y和66都是偶數(shù)，推知7x也是偶數(shù)，從而x是偶數(shù)。

當x=2時，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一個解。

因為當x增大4，y減小7時，7x增大28，4y減小28，所以對于方程的一個解x=2，y=13，當x增大4，y減小7時，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一個解。

所以本題安排2個大房間、13個小房間或6個大房間、6個小房間都可以。

就是說，方程7x+4y=66有無數(shù)個解。由于這類方程的解的不確定性，所以稱這類方程為不定方程。

根據(jù)實際問題列出的不定方程，往往需要求整數(shù)解或自然數(shù)解，這時的解有時有無限個，有時有有限個，有時可能是唯一的，甚至無解。例如：

x-y=1有無限個解，因為只要x比y大1就是解；

3x+2y=5只有x=1，y=1一個解；

3x+2y=1沒有解。

例6 求不定方程5x+3y=68的所有整數(shù)解。

解：容易看出，當y=1時，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一個解。

因為x=13，y=1是一個解，當x減小3，y增大5時，5x減少15，3y增大15，方程仍然成立，所以對于x=13，y=1，x每減小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整數(shù)解有5個：

由例

5、例6看出，只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數(shù)值得到。限于我們學(xué)到的知識，尋找第一個解的方法更多的要依賴“拼湊”。

練習15

1.一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小自然數(shù)。

2.有一堆蘋果，3個3個數(shù)余1個，5個5個數(shù)余2個，6個6個數(shù)余4個。這堆蘋果至少有多少個？

3.在小于1000的自然數(shù)中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數(shù)是幾？

4.在5000以內(nèi)，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然數(shù)有多少個？

5.有一個兩位數(shù)，除以2與除以3都余1，除以4與除以5都余3，求這個數(shù)。

6.用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？

7.五年級一班的43名同學(xué)去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？

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第16講 巧算24

我們知道，符合“數(shù)學(xué)24”游戲規(guī)則的每個具體算式中，一定要出現(xiàn)四個數(shù)和三個運算符號。也就是說，一定要進行三次運算，出現(xiàn)三個運算結(jié)果。其中前兩次結(jié)果是運算過程中的中間結(jié)果，第三次即最后一次的運算結(jié)果必須是24。

當我們還是小學(xué)低年級的學(xué)生時，由于知識水平所限，解題總是圍繞運算結(jié)果是整數(shù)展開討論。當我們升入小學(xué)高年級，接觸到分數(shù)以后，我們的眼界變得開闊了，就可以打破整數(shù)這個框框，允許前兩次的運算結(jié)果出現(xiàn)分數(shù)，這樣，我們將會找到更多的、更好的思考辦法。

例9 1，5，5，5。

有效的思考辦法。

由上面的算式可以看出，我們以前接觸的僅僅是其中的2×12，3×8，4×6三個整數(shù)乘法基本算式?，F(xiàn)在我們學(xué)了分數(shù)以后，乘法基本算式就增加了許多：

在這些分數(shù)乘法基本算式中，固定的一個因數(shù)只能是5，7，9，10，至此，應(yīng)用乘法玩“數(shù)學(xué)24”游戲的過程才是完整的。

下面，我們再來看看用分數(shù)除法來玩“數(shù)學(xué)24”游戲。

例10 3，3，8，8。

8÷（3-8÷3）=24。

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同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“5”，寫在個位上，就表示5個一；寫在十位上，就表示5個十；寫在百位上，就表示5個百；等等。這種把數(shù)字和數(shù)位結(jié)合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原則。

我們通常使用的是十進制計數(shù)法，其特點是“滿十進一”。就是說，每10個某一單位就組成和它相鄰的較高的一個單位，即10個一，叫做“十”，10個十叫做“百”，10個百叫做“千”，等等。寫數(shù)時，從右端起，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見下圖）。

用阿拉伯數(shù)字和位值原則，可以表示出一切整數(shù)。例如，926表示9個百，2個十，6個一，即926=9×100+2×10+6。根據(jù)問題的需要，有時我們也用字母代替阿拉伯數(shù)字表示數(shù)，如：

其中a可以是1～9中的數(shù)碼，但不能是0，b和c是0～9中的數(shù)碼。

下面，我們利用位值原則解決一些整數(shù)問題。

個數(shù)之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍數(shù)。

例2有一個兩位數(shù)，把數(shù)碼1加在它的前面可以得到一個三位數(shù)，加在它的后面也可以得到一個三位數(shù)，這兩個三位數(shù)相差666。求原來的兩位數(shù)。

分析與解：由位值原則知道，把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)前面，等于加了100；把數(shù)碼1加在一個兩位數(shù)后面，等于這個兩位數(shù)乘以10后再加1。

設(shè)這個兩位數(shù)為x。由題意得到

（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100，9x=765，x=85。

原來的兩位數(shù)是85。

例3 a，b，c是1～9中的三個不同的數(shù)碼，用它們組成的六個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)之和是（a+b+c）的多少倍？

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分析與解：用a，b，c組成的六個不同數(shù)字是

結(jié)論1如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大。

例2比較下面兩個乘積的大小：

a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。

分析與解：對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應(yīng)因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細觀察兩組對應(yīng)因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即 57128463+87596512=57128460+87596515。

因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據(jù)結(jié)論1可得a＞b。

例3用長36米的竹籬笆圍成一個長方形菜園，圍成菜園的最大面積是多少？

分析與解：已知這個長方形的周長是36米，即四邊之和是定數(shù)。長方形的面積等于長乘以寬。因為 長+寬=36÷2=18（米），由結(jié)論知，圍成長方形的最大的面積是9×9=81（米）。

例3說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。

例4兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最小？ 分析與解：48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，兩個自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：

48=1×48，1+48=49；

48=2×24，2+24=26；

48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

48=6×8，6+8=14。

兩個因數(shù)之和最小的是6+8=14。

結(jié)論2兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小。

例5要砌一個面積為72米的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？

解：將72分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。由結(jié)論2，豬圈圍墻長9米、寬8米時，圍墻總長最少，為（8+9）×2=34（米）。

答：圍墻最少長34米。

例6把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？

分析與解：假設(shè)分成的自然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因為1×a＜1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數(shù)要比分成1和a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有1。

如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應(yīng)該有大于4的數(shù)。

如果分成的自然數(shù)中有4，因為4=2+2=2×2，所以可以將4分成兩個2。

22小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因為2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。

由例6的分析得到：

結(jié)論3把一個數(shù)拆分成若干個自然數(shù)之和，如果要使這若干個自然數(shù)的乘積最大，那么這些自然數(shù)應(yīng)全是2或3，且2最多不超過兩個。

例7把49分拆成幾個自然數(shù)的和，這幾個自然數(shù)的連乘積最大是多少？

解：根據(jù)結(jié)論3，由49=3×15+2+2，所以最大的積是

練習18

1.試求和是91，乘積最大的兩個自然數(shù)。最大的積是多少？

之和的最小值是多少？

3.比較下面兩個乘積的大小：

123456789×987654321，123456788×987654322。

4.現(xiàn)計劃用圍墻圍起一塊面積為5544米的長方形地面，為節(jié)省材料，要求圍墻最短，那么這塊長方形地的圍墻有多少米長？

5.把19分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的積最大？

6.1～8這八個數(shù)字各用一次，分別寫成兩個四位數(shù)，使這兩個數(shù)相乘的乘積最大。那么這兩個四位數(shù)各是多少？

7.在數(shù)***?9899100中劃去100個數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個新數(shù)，這個新數(shù)最大是多少？最小是多少？

第19講 圖形的分割與拼接

怎樣把一個圖形按照要求分割成若干部分？怎樣把一個圖形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一個圖形？這就是本講要解決的問題。

例1請將一個任意三角形分成四個面積相等的三角形。

分析與解：本題要求分成面積相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面積相等”這一性質(zhì)來分割。

方法一：將某一邊等分成四份，連結(jié)各分點與頂點（見左下圖）。

方法二：畫出某一邊的中線，然后將中線二等分，連結(jié)分點與另兩個頂點（見右上圖）。

方法三：找出三條邊上的中點，然后如左下圖所示連結(jié)。

方法四：將三條邊上的中點兩兩連結(jié)（見右上圖）。

前三種方法可以看成先將三角形分割成面積相等的兩部分，然后分別將每部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有更多的分割方法。

例2將右圖分割成五個大小相等的圖形。

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分析與解：因為圖中共有15個小正方形，所以分割成的圖形的面積應(yīng)該等于15÷5=3（個）小正方形的面積。3個小正方形有和兩種形式，于是可得到很多種分割方法，下圖是其中的三種。

例3右圖是一個4×4的方格紙，請在保持每個小方格完整的情況下，將它分割成大小、形狀完全相同的兩部分。

分析與解：因為分割成完全相同的兩塊，所以每塊有8個小方格，并且這兩塊關(guān)于中心點對稱。下面是六種分割方法。

例4將下圖分割成兩塊，然后拼成一個正方形。

分析與解：圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為1，那么拼成的正方形的邊長應(yīng)是4。因為題圖是缺角長方形，長為6寬為3，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應(yīng)向上平移1（原來寬為3，向上平移1使寬為4），向左平移2（原來長為6，向左平移2使長為4）。考慮到缺角這一特點，可做下圖所示的分割和拼接。

例5有一塊長4.8米、寬3米的長方形地毯，現(xiàn)在把它鋪到長4米、寬3.6米的房間中。請將它剪成形狀相同、面積相等的兩塊，使其正好鋪滿房間。

分析與解：首先驗證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如何

以可將原來的長分為4份，寬分為3份（見下頁左上圖），現(xiàn)在的長與寬如下頁右上圖。

容易得到下圖所示的分割與拼接的方法。

小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

分析：因為題目條件中黃球、藍球個數(shù)都是與紅球個數(shù)進行比較，所以

答：袋中共有74個球。

在例1中，求膠鞋有多少雙，我們設(shè)膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個球，我們設(shè)紅球有x個，求出紅球個數(shù)后，再求共有多少個球。像例1那樣，直接設(shè)題目所求的未知數(shù)為x，即求什么設(shè)什么，這種方法叫直接設(shè)元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設(shè)題目所求的未知數(shù)，而間接設(shè)題目中另外一個未知數(shù)為x，這種方法叫間接設(shè)元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡便。在小學(xué)階段，大多數(shù)題目可以使用直接設(shè)元法。

例3某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米，灰磚30米，那么，紅磚缺40米，灰磚剩40米。問：計劃修建住宅多少座？

分析與解一：用直接設(shè)元法。設(shè)計劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米，灰磚有（30x+40）米。根據(jù)紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程

80x-40=（30x+40）×2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6（座）。

分析與解二：用間接設(shè)元法。設(shè)有灰磚x米，則紅磚有2x米。根據(jù)修建住宅的座數(shù)，列出方程。

333

（x-40）×80=（2x+40）×30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米）。

由灰磚有220米，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

同理，也可設(shè)有紅磚x米。留給同學(xué)們做練習。

例4教室里有若干學(xué)生，走了10個女生后，男生是女生人數(shù)的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍。問：最初有多少個女生？

分析與解：設(shè)最初有x個女生，則男生最初有（x-10）×2個。根據(jù)走了10個女生、9個男生后，女生是男生人數(shù)的5倍，可列方程

x-10=[（x-10）×2-9]×5，x-10=（2x-29）×5，x-10=10x-145，9x=135，33

3小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（五年級）

x=15（個）。

例5一群學(xué)生進行籃球投籃測驗，每人投10次，按每人進球數(shù)統(tǒng)計的部分情況如下表：

7.一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)剩下的羊中，公羊與母羊的只數(shù)比是9∶7；過了一會跑走的公羊又回到了羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又數(shù)了數(shù)羊的只數(shù)，發(fā)現(xiàn)公羊與母羊的只數(shù)比是7∶5。這群羊原來有多少只？ 第24講 行程問題

（一）路程、時間、速度是行程問題的三個基本量，它們之間的關(guān)系如下： 路程=時間×速度，時間=路程÷速度，速度=路程÷時間。

這一講就是通過例題加深對這三個基本數(shù)量關(guān)系的理解。

例1 一個車隊以4米/秒的速度緩緩?fù)ㄟ^一座長200米的大橋，共用115秒。已知每輛車長5米，兩車間隔10米。問：這個車隊共有多少輛車？

分析與解：求車隊有多少輛車，需要先求出車隊的長度，而車隊的長度等于車隊115秒行的路程減去大橋的長度。由“路程=時間×速度”可求出車隊115秒行的路程為4×115=460（米）。

故車隊長度為460-200=260（米）。再由植樹問題可得車隊共有車（260-5）÷（5+10）+1=18（輛）。

例2騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到。如果希望中午12點到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進？

分析與解：這道題沒有出發(fā)時間，沒有甲、乙兩地的距離，也就是說既沒有時間又沒有路程，似乎無法求速度。這就需要通過已知條件，求出時間和路程。

假設(shè)A，B兩人同時從甲地出發(fā)到乙地，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到。B到乙地時，A距乙地還有10×2=20（千米），這20千米是B從甲地到乙地這段時間B比A多行的路程。因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從甲地到乙地所用的時間是

20÷（15-10）=4（時）。

由此知，A，B是上午7點出發(fā)的，甲、乙兩地的距離是

15×4=60（千米）。

要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，速度應(yīng)為

60÷（12-7）=12（千米/時）。

例3 劃船比賽前討論了兩個比賽方案。第一個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行賽程的一半；第二個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行比賽時間的一半。這兩個方案哪個好？

分析與解：路程一定時，速度越快，所用時間越短。在這兩個方案中，速度不是固定的，因此不好直接比較。在第二個方案中，因為兩種速度劃行的時間相同，所以以3.5米/秒的速度劃行的路程比以2.5米/秒的速度劃行的路程長。用單線表示以2.5米/秒的速度劃行的路程，用雙線表示以3.5米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個方案的比較圖。其中，甲段+乙段=丙段。

在甲、丙兩段中，兩個方案所用時間相同；在乙段，因為路程相同，且第二種方案比第一種方案速度快，所以第二種方案比第一種方案所用時間短。

綜上所述，在兩種方案中，第二種方案所用時間比第一種方案少，即第二種方案好。

例4 小明去爬山，上山時每小時行2.5千米，下山時每小時行4千米，往返共用3.9時。問：小明往返一趟共行了多少千米？

分析與解：因為上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的時間，則可以求出上山及下山的總路程。

因為上山、下山各走1千米共需

所以上山、下山的總路程為

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在行程問題中，還有一個平均速度的概念：平均速度=總路程÷總時間。

例如，例4中上山與下山的平均速度是

例5一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊爬行，如果它在三條邊上每分鐘分別爬行50，20，40厘米，那么螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？

解：設(shè)等邊三角形的邊長為l厘米，則螞蟻爬行一周需要的時間為

螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行

在行程問題中有一類“流水行船”問題，在利用路程、時間、速度三者之間的關(guān)系解答這類問題時，應(yīng)注意各種速度的含義及相互關(guān)系：

順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度，靜水速度=（順流速度+逆流速度）÷2，水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2。

此處的靜水速度、順流速度、逆流速度分別指船在靜水中、船順流、船逆流的速度。

例6 兩個碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全程需11時，逆流而上行完全程需19時。求這條河的水流速度。

解：水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2

=（418÷11-418÷19）÷2

=（38-22）÷2

=8（千米/時）

答：這條河的水流速度為8千米/時。練習24

1.小燕上學(xué)時騎車，回家時步行，路上共用50分鐘。若往返都步行，則全程需要70分鐘。求往返都騎車需要多少時間。

2.某人要到60千米外的農(nóng)場去，開始他以5千米/時的速度步行，后來有輛速度為18千米/時的拖拉機把他送到了農(nóng)場，總共用了5.5時。問：他步行了多遠？

3.已知鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時間為80秒。求火車的速度和長度。

4.小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘。已知小紅下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3時50分，那么下山用了多少時間？

5.汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達后立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度。

6.兩地相距480千米，一艘輪船在其間航行，順流需16時，逆流需20時，求水流的速度。

7.一艘輪船在河流的兩個碼頭間航行，順流需要6時，逆流需要8時，水流速度為2.5千米/時，求輪船在靜水中的速度。

第25講 行程問題

（二）本講重點講相遇問題和追及問題。在這兩個問題中，路程、時間、速度的關(guān)系表現(xiàn)為： 相遇問題：

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例5如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方

分析與解：當甲、乙在同一條邊（包括端點）上時甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需

300÷（90-70）=15（分），此時甲、乙的距離是一條邊長，而甲走了90×15÷300=4.5（條邊），位于某條邊的中點，乙位于另一條邊的中點，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需

例6 獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠才能追上野兔？

分析與解：這道題條件比較隱蔽，時間、速度都不明顯。為了弄清兔子與獵狗的速度的關(guān)系，我們將條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什么這樣變換）：

（1）獵狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；

（2）獵狗跑12步的時間等于兔子跑16步的時間。

由此知，在獵狗跑12步的這段時間里，獵狗能跑12步，相當于兔子跑

也就是說，獵狗每跑21米，兔子跑16米，獵狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。練習25

1.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發(fā)步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發(fā)，又經(jīng)過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？

2.甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，它們相遇時距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。

3.小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠？

4.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢長的車長是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少秒？

5.甲、乙二人同時從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結(jié)果在甲即將休息的時刻兩人同時到達B地。問：A，B兩地相距多遠？

6.甲、乙兩人從周長為1600米的正方形水池相對的兩個頂點同時出發(fā)逆時針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發(fā)后多長時間兩人第一次在同一邊上行走？

7.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子跳4次。兔子跑出多遠將被獵狗追上？ 第26講 行程問題

（三）在行程問題中，經(jīng)常會碰到相遇問題、追及問題、時間路程速度的關(guān)系問題等交織在一起的綜合問題，這類問題難度較大，往往需要畫圖幫助搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，并把綜合問題分解成幾個單一問題，然后逐次求解。

例1 兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發(fā)12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時他們距十字路口多少米？

分析與解：如左下圖所示，出發(fā)12分鐘后，甲由A點到達B點，乙由O點到達C點，且OB=OC。如果乙改為向南走，那么這個條件相當于“兩人相距1800米，12分鐘相遇”的相遇問題，所以每分鐘兩人一共行1800÷12=150（米）。

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如右上圖所示，出發(fā)75分鐘后，甲由A點到達E點，乙由O點到達F點，且OE=OF。如果乙改為向北走，那么這個條件相當于“兩人相距1800米，75分鐘后甲追上乙”的追及問題，所以每分鐘兩人行走的路程差是1800÷75=24（米）。

再由和差問題，可求出乙每分鐘行（150-24）÷2=63（米），出發(fā)后75分鐘距十字路口63×75=4725（米）。

例2 小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時、48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠？

分析與解：如下圖所示，面包車與小轎車在A點相遇，此時大客車到達B點，大客車與面包車行BA這段路程共需30分鐘。

由大客車與面包車的相遇問題知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；

小轎車比大客車多行BA（45千米）需要的時間，由追及問題得到45÷（60-42）=2.5（時）；

在這2.5時中，小轎車與面包車共行甲、乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲、乙兩地相距（60+48）×2.5=270（千米）。

由例

1、例2看出，將較復(fù)雜的綜合問題分解為若干個單一問題，可以達到化難為易的目的。

例3 小明放學(xué)后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？

分析與解：這是一道數(shù)量關(guān)系非常隱蔽的難題，有很多種解法，但大多數(shù)解法復(fù)雜且不易理解。為了搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，我們對題目條件做適當變形。

假設(shè)小明在路上向前行走了63分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于[7，9]=63。這時在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）車，后63分鐘有63÷9=7（輛）車追上他，那么在兩個63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車，則發(fā)車的時間間隔為

例4 甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時分別從水池的兩端出發(fā)，來回共游了11分鐘，如果不計轉(zhuǎn)向的時間，那么在這段時間里，他們共相遇了多少次？

分析與解：甲游一個單程需30÷1=30（秒），乙游一個單程需30÷0.6=50（秒）。甲游5個單程，乙游3個單程，各自到了不同的兩端又重新開始，這個過程的時間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次（見下圖），實折線與虛折線的交點表示相遇點。

以2.5分鐘為一個周期，11分鐘包含4個周期零1分鐘，而在一個周期中的第1分鐘內(nèi)，從圖中看出兩人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。

例4用畫圖的方法，直觀地看出了一個周期內(nèi)相遇的次數(shù)，由此可見畫圖的重要性。

例5甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時乙距山頂還有400米，甲回到山腳時乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂?shù)木嚯x。

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問題就可能變得容易些。

如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，那么題中“甲回到山腳時

分析與解：題中給出的已知條件較復(fù)雜，我們用列表法求解。先設(shè)計出右圖的表格，表內(nèi)用“√”表示肯定，用“×”表示否定。因為題目說“每人教兩門”，所以每一橫行都應(yīng)有2個“√”；因為每門課只有一人教，所以每一豎列都只有1個“√”，其余均為“×”。

由（3）知，張聰不是體育、數(shù)學(xué)老師；由（5）知，王仁不是語文、音樂老師；由（2）（4）知，王仁不是體育老師，推知陳來是體育老師。至此，得到左下表

由（3）知，體育老師與數(shù)學(xué)老師不是一個人，即陳來不是數(shù)學(xué)老師，推知王仁是數(shù)學(xué)老師；由（1）知，數(shù)學(xué)老師王仁不是英語老師，推知王仁是美術(shù)老師。至此，得到右上表。

由（4）知，體育老師陳來與語文老師不是一個人，即陳來不是語文老師，推知張聰是語文老師；由（5）知，語文老師張聰不是音樂老師，推知陳來是音樂老師；最后得到張聰是英語老師，見下表。

所以，張聰教語文、英語，王仁教數(shù)學(xué)、美術(shù)，陳來教音樂、體育。

以上推理過程中，除充分利用已知條件外，還將前面已經(jīng)推出的正確結(jié)果作為后面推理的已知條件，充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個“√”，每列只有一個“√”，其余都是“×”這個隱含條件。

例1的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選取符合條件的結(jié)論，這種方法叫做排他法。

例2 小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項，并分別在一小、二小、三小中的一所小學(xué)上學(xué)。現(xiàn)知道：

（1）小明不在一?。?/p>

（2）小芳不在二??；

（3）愛好乒乓球的不在三??；

（4）愛好游泳的在一?。?/p>

（5）愛好游泳的不是小芳。

問：三人上各愛好什么運動？各上哪所小學(xué)？

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出的關(guān)系用下面的表

1、表

2、表3表示：

3.三戶人家每家有一個孩子，分別是小平（女）、小紅（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。

（1）老王和李玲的孩子都參加了少年女子體操隊；

（2）老張的女兒不是小紅；

（3）老陳和方麗不是一家人。

請你將三戶人家區(qū)分開。

4.甲、乙、丙三人，他們的籍貫分別是遼寧、廣西、山東，他們的職業(yè)分別是教師、工人、演員。已知：

（1）甲不是遼寧人，乙不是廣西人；

（2）遼寧人不是演員，廣西人是教師；

（3）乙不是工人。

求這三人各自的籍貫和職業(yè)。

5.甲說：“乙和丙都說謊?！币艺f：“甲和丙都說謊?！北f：“甲和乙都說謊?！备鶕?jù)三人所說，你判斷一下，下面的結(jié)論哪一個正確：

（1）三人都說謊；

（2）三人都不說謊；

（3）三人中只有一人說謊；

（4）三人中只有一人不說謊。

6.五號樓住著四個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的女孩比最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的女孩也大4歲，求最大的男孩的歲數(shù)。第28講 邏輯問題

（二）例1老師拿來五頂帽子，兩頂紅的三頂白的。他讓三個聰明的同學(xué)甲、乙、丙按甲、乙、丙的順序排成一路縱隊，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子，同時把余下的帽子藏起來。當他們睜開眼后，乙和丙都判斷不出自己所戴帽子的顏色，而站在最前面的甲卻根據(jù)此情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。

甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？

分析與解：這是一個典型的邏輯推理問題。甲站在最前面，雖然看不見任何一頂帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是紅帽子，因為一共只有兩頂紅帽子，那么丙就會判斷出自己戴的是白帽子。丙判斷不出自己戴的帽子的顏色，說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。

甲接著想：乙也很聰明，當他看到丙判斷不出自己戴的帽子的顏色時，他也能判斷出我們兩人戴的帽子是兩白或一白一紅。此時，如果他看到我戴是紅帽子，那么他就會知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子時，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是白帽子。

例1中，甲的分析非常精采，嚴密而無懈可擊。

例2三個盒子各裝兩個球，分別是兩個黑球、兩個白球、一個黑球一個白球。封裝后，發(fā)現(xiàn)三個盒子的標簽全部貼錯。如果只允許打開一個盒子，拿出其中一個球看，那么能把標簽全部糾正過來嗎？

分析與解：因為“三個盒子的標簽全部貼錯”了，貼錯的情況見下圖（○表示白球，●表示黑球）:

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950-

2.五年級有四個班，每個班有兩名班長，每次召開年級班長會議時各班參加一名班長。參加第一次會議的是A，B，C，D，參加第二次會議的是E，B，F(xiàn)，D，參加第三次會議的是A，E，B，G。已知H三次會都沒參加，請問每個班各是哪兩位班長？

3.甲、乙、丙、丁四個學(xué)生坐在同一排的相鄰座位上，座號是1號至4號。一個專說謊話的人說：“乙坐在丙的旁邊，甲坐在乙和丙的中間，乙的座位不是3號?！眴枺鹤?號座位上的是誰？

4.李大娘問三位青年人的年齡。

小張說：“我22歲。比小吳小2歲。比小徐大1歲?！?/p>

小吳說：“我不是年齡最小的。小徐和我差3歲。小徐25歲?！?/p>

小徐說：“我比小張年齡小。小張23歲。小吳比小張大3歲。”

這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯的。李大娘難辯真真假假，請你幫助李大娘弄清這三人的年齡。

5.A，B，C三支足球隊舉行循環(huán)比賽（每隊之間賽一場），下面是記有詳細比賽情況的表。但后來發(fā)現(xiàn)表中有四個數(shù)是錯誤的。請按規(guī)定重制一張正確的表格。（勝一場記2分，負一場記0分，平一場雙方各記1分。）

6.某次數(shù)學(xué)測驗，共有六道試題，均是是非題。正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。每題答對得2分，不答得1分，答錯得0分。甲、乙、丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。

第29講 抽屜原理(一)

我們在四年級已經(jīng)學(xué)過抽屜原理，并能夠解答一些簡單的 抽屜原理問題。這兩講先復(fù)習一下抽屜原理的概念，然后結(jié)合一些較復(fù)雜的抽屜原理問題，討論如何構(gòu)造抽屜。

抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于（m+1）件。

理解抽屜原理要注意幾點：(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規(guī)定每個抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個抽屜放物品的個數(shù)。

（3）抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個，但這里只需保證存在一個達到要求的抽屜就夠了。

（4）將a件物品放入n個抽屜中，如果a÷n= m??b，其中b是自然數(shù)，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個抽屜中的物品數(shù)不少于（m+1）件。

例1 五年級有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，成績都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績在60分以下，其余學(xué)生的成績均在75～95分之間。問：至少有幾名學(xué)生的成績相同？

分析與解：關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜。既然是問“至少有幾名學(xué)生的成績相同”，說明應(yīng)以成績?yōu)槌閷希瑢W(xué)生為物品。除3名成績在60分以下的學(xué)生外，其余成績均在75～95分之間，75～95共有21個不同分數(shù)，將這21個分數(shù)作為21個抽屜，把47-3=44（個）學(xué)生作為物品。

44÷21= 2??2，根據(jù)抽屜原理2，至少有1個抽屜至少有3件物品，即這47名學(xué)生中至少有3名學(xué)生的成績是相同的。

第五篇：四年級奧數(shù) 第29講 抽屜原理

第29講 抽屜原理

（一）如果將5個蘋果放到3個抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。道理很簡單，如果每個抽屜中放的蘋果都少于2個，即放1個或不放，那么3個抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個抽屜中放的蘋果不少于2個。

同樣，有5只鴿子飛進4個鴿籠里，那么一定有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子。

以上兩個簡單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。

抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

說明這個原理是不難的。假定這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個抽屜中所放物品的總數(shù)就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個抽屜中，每一個抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。

從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個抽屜中每個都放入1件物品，共放入n件物品，此時再放入1件物品，無論放入哪個抽屜，都至少有1個抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。

例1某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個抽屜，將367名小朋友看作367個物品。這樣，把367個物品放進366個抽屜里，至少有一個抽屜里不止放一個物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2在任意的四個自然數(shù)中，是否其中必有兩個數(shù)，它們的差能被3整除？

分析與解：因為任何整數(shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個“抽屜”。一個整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個“抽屜”里。

將四個自然數(shù)放入三個抽屜，至少有一個抽屜里放了不止一個數(shù)，也就是說至少有兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個數(shù)的差必能被3整除。

例3在任意的五個自然數(shù)中，是否其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)？

分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2?，F(xiàn)在，對于任意的五個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來加以討論。

第一種情形。有三個數(shù)在同一個抽屜里，即這三個數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因為這三個數(shù)的余數(shù)之和是其中一個余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個數(shù)之和能被3整除。

第二種情形。至多有兩個數(shù)在同一個抽屜里，那么每個抽屜里都有數(shù)，在每個抽屜里各取一個數(shù)，這三個數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個數(shù)之和能被3整除。

綜上所述，在任意的五個自然數(shù)中，其中必有三個數(shù)的和是3的倍數(shù)。

例4在長度是10厘米的線段上任意取11個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于1厘米？ 分析與解：把長度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長度是1厘米（見下圖）。

將每段線段看成是一個“抽屜”，一共有10個抽屜。現(xiàn)在將這11個點放到這10個抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的點（包括這些線段的端點）。由于這兩個點在同一個抽屜里，它們之間的距離當然不會大于1厘米。

所以，在長度是10厘米的線段上任意取11個點，至少存在兩個點，它們之間的距離不大于1厘米。

例5有蘋果和桔子若干個，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？ 分析與解：由于題目只要求判斷兩堆水果的個數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個數(shù)的奇、偶性上來考慮抽屜的設(shè)計。

對于每堆水果中的蘋果、桔子的個數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中蘋果、桔子個數(shù)的搭配就有4種情形：

（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號中的第一個字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個字表示桔子數(shù)的奇偶性。

將這4種情形看成4個抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情形。由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)。

例6用紅、藍兩種顏色將一個2×5方格圖中的小方格隨意涂色（見右圖），每個小方格涂一種顏色。是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？

分析與解：用紅、藍兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色，只有下面四種情形：

將上面的四種情形看成四個“抽屜”。根據(jù)抽屜原理，將五列放入四個抽屜，至少有一個抽屜中有不少于兩列，這兩列的小方格中涂的顏色完全相同。

在上面的幾個例子中，例1用一年的366天作為366個抽屜；例2與例3用整數(shù)被3除的余數(shù)的三種情形0，1，2作為3個抽屜；例4將一條線段的10等份作為10個抽屜；例5把每堆水果中，蘋果數(shù)與桔子數(shù)的奇偶搭配情形作為4個抽屜；例6將每列中兩個小方格涂色的4種情形作為4個抽屜。由此可見，利用抽屜原理解題的關(guān)鍵，在于恰當?shù)貥?gòu)造抽屜。