第一篇：數(shù) 學(xué) 開 放 題 參 考 文 獻

數(shù) 學(xué) 開 放 題 參 考 文 獻

專 著

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

[10] [11] ICMI.國際展望:九十年代的數(shù)學(xué)教育.上海:上海教育出版社,1990,79 NRC.人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來.北京:世界圖書出版公司,1993.NCTM.美國學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標準.北京:人民教育出版社,1994.張奠宙 戴再平.中學(xué)數(shù)學(xué)問題集.上海:華東師大出版社,1996.戴再平.初中數(shù)學(xué)習(xí)題研究.長沙：湖南教育出版社,1996.戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論(第二版).上海：上海教育出版社,1996.張奠宙等.素質(zhì)教育教案精編.北京：中國青年出版社，2000.戴再平倪明等.高中數(shù)學(xué)開放題集.上海：上海教育出版社,2000.戴再平龔雷等.初中數(shù)學(xué)開放題集.上海：上海教育出版社,2000.戴再平朱樂平等.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題集(上).上海：上海教育出版社,2000.戴再平朱樂平等.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題集(下).上海：上海教育出版社,2000.總 論

[12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] 王慧斌.數(shù)學(xué)教學(xué)新方法:開智法簡介.外國教育資料,1988(1).王慧斌.開放性數(shù)學(xué)問題研究.王建軍.學(xué)生的認知發(fā)展與習(xí)題改革.教育研究,1988(10).周學(xué)祁.“開放型題”及其思維對策.數(shù)學(xué)通報,1990(6).張世賢.高中數(shù)學(xué)教材中的“開放性問題”.湖南教育,1991(12);中國人大復(fù)印資料 忻再義.從上海市新編教材看開放性問題的編制與使用.數(shù)學(xué)教學(xué),1992(3).凌振吉.從培養(yǎng)發(fā)散思維能力的角度談編制開放性問題.數(shù)學(xué)教師,1993(6).戴再平.數(shù)學(xué)開放題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1993(12).張必華.試談探索性題的分類.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1993(12).梁俊奇.“開放型題”的幾個特點.中等數(shù)學(xué),1993(1).戴再平.一組開放型題的試驗與分析.數(shù)學(xué)教育學(xué)報,Vol.2(2),1993(11).北京開放型問題研討組。對開放型問題的認識.數(shù)學(xué)通報,1994(3).劉梅金等.開放探索型命題解法分析.數(shù)學(xué)通報,1995(4).龔 雷.數(shù)學(xué)開放題的分類.中學(xué)數(shù)學(xué),1995(4).趙雄輝.開放性問題教學(xué)初探.數(shù)學(xué)通報,1996(9).李國安.淺談初中數(shù)學(xué)中的開放型問題.中學(xué)生數(shù)學(xué),1996(5).伊 紅.開放題的功能淺析.教學(xué)月刊(中學(xué)理科版),1997(9).熊躍農(nóng).隱去結(jié)論,讓學(xué)生自己去探索.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1997(4).曾 峰.做一點開放題,開拓你的思路.中學(xué)生數(shù)學(xué),1997(10).宋世良.一個綜合圖形的性質(zhì)和應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)(蘇),1998(3).何龍泉.開放題在思維培養(yǎng)中的積極作用.湖南數(shù)學(xué)通訊,1998(3).劉 萍.數(shù)學(xué)開放題與學(xué)生主體意識的培養(yǎng).中學(xué)數(shù)學(xué),1998(4).范黎明．淺談數(shù)學(xué)開放題與教學(xué)的課堂文化，數(shù)學(xué)教學(xué),199８(5).李永桃.數(shù)學(xué)開放題之我見.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），1998（7-8）.戴再平.時代的呼喚—談數(shù)學(xué)開放題.小學(xué)教學(xué),1999(4).G35,1992(1).1 [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60]

[61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] 全國教育科學(xué)“九五”規(guī)劃重點課題組.開放題—數(shù)學(xué)教學(xué)的新模式.小學(xué)教 俞求是.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的開放題.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,1999(1).俞求是.中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的開放題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1999(4).戴再平.時代的呼喚—數(shù)學(xué)開放題研究進展綜述.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1999(4).編輯部.“數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)”學(xué)術(shù)研討會在滬舉行.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1999(4).龔 雷.數(shù)學(xué)開放題的常見題型.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.1999（5）.戴再平.數(shù)學(xué)開放題——一個方興未艾的領(lǐng)域。教學(xué)月刊(中學(xué)理科版),1999(7-8).張奠宙.數(shù)學(xué)教育中的“創(chuàng)新”工程大綱.數(shù)學(xué)教學(xué),1999(4).孔企平黃毅英.開放性問題對數(shù)學(xué)教學(xué)的意義.數(shù)學(xué)教學(xué),1999(4).錢從新.有關(guān)開放題的幾點探討.數(shù)學(xué)通報,1999(11).朱樂平.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的含義及分類.小學(xué)教學(xué),1999(4).朱樂平.小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教育價值..小學(xué)教學(xué),1999(6).林敏鶴.淺談數(shù)學(xué)開放性命題解題能力的培養(yǎng).趙小平等.隨機思想〃歸納推理〃問題開放——九年制義務(wù)教育“統(tǒng)計” 知識的學(xué)習(xí)戴運恩.淺談數(shù)學(xué)開放題.中小學(xué)數(shù)學(xué)(小學(xué)版).1999(6).顧建華.談“不附圖”的幾何題與開放性.數(shù)學(xué)教學(xué),1999(3).胡挺員.關(guān)于一題多解的開放性的認識.數(shù)學(xué)教學(xué),1999(3).曹始好.從另一側(cè)面看應(yīng)用題的教訓(xùn).數(shù)學(xué)教學(xué),1999(4).張遠增等.對數(shù)學(xué)開放性問題的幾點認識。數(shù)學(xué)教育學(xué)報，Vol.9（4），2000（4）.朱樂平.談開放性應(yīng)用題.小學(xué)數(shù)學(xué)教師,2000(3).高軍民.淺談開放型題的思維價值。中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2000(8)姚祥尹.應(yīng)用開放題是數(shù)學(xué)教育的新趨勢.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊.2000(5).任明中.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)呼喚開放題。數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2000（11）.張樹興.開放型問題的解題策略.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2000（11）.陳國良.“開放型題”及其思維對策.數(shù)學(xué)通訊，2001（1）.人大復(fù)印資料G35 李興貴.數(shù)學(xué)開放性問題探究.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2001（1）.中 研.數(shù)學(xué)開放題的解法.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.2001（3）.鄭毓信.開放題與開放式教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2001(3).學(xué),1999(4).的比較研究之二, 數(shù)學(xué)教學(xué),1999(2).2001（8）.鄭迪華.一類半開放性問題的解答策略.數(shù)學(xué)通訊,2001(7).何光峰.數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)的研究綜述.數(shù)學(xué)通報，2001（5）；人大復(fù)印資料G35 2001（9）.何龍泉.開發(fā)數(shù)學(xué)開放題 培養(yǎng)創(chuàng)造性能力.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2001（3）.何龍泉.數(shù)學(xué)開放題求解與創(chuàng)造性能力培養(yǎng).中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2001（6）； 人大復(fù)印資料

G35，2001（10）.教學(xué)設(shè)計與教學(xué)記實

[69] 戴再平.鐘面數(shù)字問題.備課資料集粹.杭州:浙江教育出版社,1993.2 [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] 王利明等.探索隱含條件,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.浙江教學(xué)研究,1993(5).單慶國.“正方體的截面形狀”教學(xué)記實.數(shù)學(xué)通報,1994(12).戴再平林 霄.激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,提高思維能力.數(shù)學(xué)教師,1994(6).戴再平丁沛華等.重要的是讓學(xué)生參與.中學(xué)數(shù)學(xué),1994(9).趙仁安等.運用開放型問題進行教學(xué)的一次嘗試.數(shù)學(xué)教學(xué),1995(1).高向斌.發(fā)現(xiàn)平行四邊形判定方法的一個教學(xué)設(shè)計.數(shù)學(xué)通報,1996(6).湯伯禹等.一堂強化參與意識的好課---尋找數(shù)組規(guī)律.數(shù)學(xué)通報,1996(6).趙雄輝.開放性問題教學(xué)初探.數(shù)學(xué)通報,1996(9).時承權(quán).一道課本習(xí)題的挖掘.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1997（7）.貝躍敏.滾珠有多少顆——開放題教學(xué)設(shè)計一例.數(shù)學(xué)通報.1998(9).王吉林．一堂培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的復(fù)習(xí)課．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué),1998(6).彭雅雅.開放--引導(dǎo)式教學(xué)的實踐與認識.福建中學(xué)數(shù)學(xué),1998(1).羅綺薇.“充要條件”的“開放性”教學(xué)模式設(shè)計.數(shù)學(xué)教學(xué),1998(3).王世忠等.“答案開放型”問題教學(xué)初探.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.1998(1).鄔云德等.關(guān)于數(shù)學(xué)開放題能否進課堂的研究.中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),1998(9).龔 雷.數(shù)學(xué)開放題的設(shè)問方式.數(shù)學(xué)教學(xué),1998(5).毛淑麗.格點三角形.數(shù)學(xué)教學(xué),199８(5).劉 萍.用開放題引入“平行線的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)想.中學(xué)數(shù)學(xué),1999(3).劉 萍.建構(gòu)觀下數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)探索.數(shù)學(xué)通訊,1999(4).孫聯(lián)榮等.“簡單郵路問題”的設(shè)計和實踐.小學(xué)教學(xué),1999(4).上海市金匯學(xué)校課題組.簡單郵路問題與對稱.數(shù)學(xué)教學(xué),1999(2).王朝明.初中數(shù)學(xué)開放題研究與實踐.中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),1999(8).張雪霖.“問題解決——可以發(fā)展的問題”的教學(xué)實踐與研究．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué),1999(５).王邴圖.一堂開放式習(xí)題教學(xué)課的嘗試.福建中學(xué)數(shù)學(xué),1999(6).王井文.挖掘教材中開放性例習(xí)題之我見。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,1999(8).張嘉瑾.解析幾何中的開放型題及其思維對策.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1999（3）.王思儉.數(shù)學(xué)開放題教學(xué)思考。中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2000(2).趙雄輝 戴再平朱.樂平等.讓開放性問題進入課堂.湖南教育,2000(10).孔企平、黃毅英.開放性問題對教育評估改革的意義。小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（6）.吳玉蘭等。設(shè)計租車方案。小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[100] 郭瑾芳等.游樂園中的數(shù)學(xué)問題.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[101] 羅永軍等.可能性的大小.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[102] 張鈺平等.方向和路線.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[103] 項海剛等.長方體物體的包裝.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[104] 徐偉榮等。大數(shù)量的估算.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[105] 鄭建等.用立方體拼擺立體圖形。小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[106] 張浩強等。購物問題.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[107] 徐偉國等.收集數(shù)據(jù).小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.3 [108] 朱樂平.主動參與，迎接數(shù)學(xué)教學(xué)的變革。小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2000（7，8）.[109] 唐紹友.論數(shù)學(xué)開放式教學(xué)及其數(shù)學(xué)教育功能。數(shù)學(xué)通報,2000(8).[110] 任升錄、張遠增.對數(shù)學(xué)開放性問題的認識及其教學(xué)嘗試.數(shù)學(xué)教學(xué)，2000（6）.[111] 徐國勝.例談眾數(shù)、中位數(shù)的開放型教學(xué)。中學(xué)數(shù)學(xué)，2000（7）.[112] 羅秋佳.一道平面幾何問題的開放性教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)，2001（2）.[113] 張維忠 周曉紅.培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)案例簡析.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參

考,2001(4).[114] 張緒瓊.讓學(xué)生在探索中創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2001（4）.[115] 陶興模等.一道開放性例題的教學(xué)實錄.中學(xué)數(shù)學(xué)，2001（6）.[116] 楊海燕.一堂開放性應(yīng)用題教學(xué)實錄.數(shù)學(xué)通報,2001(7).開放式教學(xué)

[117] 王 凝.中小學(xué)數(shù)學(xué)的開放式教學(xué)法評介.課程〃教材〃教法，1988（2）.中國人大復(fù)

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第二篇：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文 數(shù)學(xué)開放題

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文：數(shù)學(xué)開放題

人類已進入二十一世紀的信息時代，國民創(chuàng)新素質(zhì)的高低將成為衡量一個國家競爭力的重要標志。江總書記曾指出：“創(chuàng)新是一個民族的靈魂，是一個國家興旺發(fā)達的不竭動力?！币虼颂岣呷褡逅刭|(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神也就必然成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所面臨的迫切任務(wù)。反觀我國的基礎(chǔ)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，課程仍在“學(xué)科中心”理念的支配之下，教材還一直采取“定義—定理—練習(xí)”的編寫方式，只突出學(xué)科系統(tǒng)性的編寫方法，而把學(xué)生的個性發(fā)展置于無足輕重的地位；教學(xué)模式也過分單一，教學(xué)要求同一化；學(xué)生厭學(xué)，產(chǎn)生大量的“差生”，學(xué)有余力的學(xué)生的興趣和能力也得不到充分發(fā)展；學(xué)生只埋頭于題海中、“模擬試卷”中，學(xué)生被訓(xùn)練成了解題機器；而數(shù)學(xué)教材中的習(xí)題又基本是為了使學(xué)生了解和牢記數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計的，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生了以死記硬背代替主動參與，以機械模仿代替智力活動的傾向……。為了突破我國數(shù)學(xué)教育當(dāng)前的局面，改變這一狀況，順應(yīng)時代的發(fā)展和需要，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引進了數(shù)學(xué)開放題，作為積極推進數(shù)學(xué)素質(zhì)教育、創(chuàng)新教學(xué)的一個切入口，同時希望通過開放題的引入，促進數(shù)學(xué)教育的改革和發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)開放題的含義

1、特征

數(shù)學(xué)開放題相對于傳統(tǒng)的封閉題而言。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)習(xí)題條件完備、結(jié)論確定，此類題稱為封閉題。而數(shù)學(xué)開放題通常是指那些條件不完備、結(jié)論不確定的習(xí)題，或稱為“問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余”的習(xí)題。數(shù)學(xué)開放題一般具有下列特征：

⑴ 問題的條件不完備

開放題的條件可以不足，也可以多余。條件不足時要求學(xué)生予以補充，條件多余時可要求學(xué)生有所選擇。

例

1、小敏有一些1元和5角的硬幣，合起來是10元錢。小敏有幾個硬幣？

在本題中，給出的條件不足以確定硬幣的個數(shù)，學(xué)生需要補充一些條件才能得出結(jié)論。正是由于條件的不足，從而使本題的結(jié)論具有很大的開放性。

例2、從2、3、4、5、6、7、8這七個數(shù)中，挑出六個數(shù)填在下面的括號內(nèi)，使等式成立

（）+（）=（）+（）=（）+（）

在本題中，可根據(jù)七個數(shù)中的某六個數(shù)就可確定算式，條件是多余的。多余的條件使本題的解題策略具有開放性。

⑵ 問題的答案不確定

開放題的答案具有多樣性，它決定了能夠滿足各種層次水平的學(xué)生的需求，使他們可以在自己的能力范圍內(nèi)解決問題，從而體現(xiàn)出層次性。

例3、小剛家離學(xué)校45米，小紅家離學(xué)校55米，小剛家與小紅家之間有多少米？

在道題有三種不同層次的解答思路：①小剛和小紅家在一條直線上且在學(xué)校的兩邊，倆家相距 45+55=100（米）②小剛和小紅家在一條直線上且在學(xué)校的一邊，倆家相距 55－45=10（米）③小剛和小紅家不在一條直線上，倆家相距大于10米，小于100米

⑶問題的解決策略具有創(chuàng)新性

解答開放題時，沒有一般的解題模式可以遵循，有時需要打破原有的思想模式，從多個不同的角度思考問題，有時發(fā)現(xiàn)一個新的解答需要一種新的方法或開拓一個新的研究領(lǐng)域。

例

4、一次，小敏、小紅、小麗三位朋友合乘一輛出租車，大家商定，出租車費一定要合理分攤，小敏在全程三分之一處下了車，到了三分之二處，小紅也下了車，最后小麗一個人坐到終點，付出18元錢，他們?nèi)巳绾纬袚?dān)車費比較合理。

本題的一般解題方法是：按路程的多少來合理分配車費。因路程的比是1∶2∶3，所以小敏：18÷（1+2+3）=3（元）；

小紅：18÷（1+2+3）×2=6（元）；

小麗：18÷（1+2+3）×3=9（元）。

本題還有特殊的解題方法：共有三段路，每段6元，每段路所花的錢平均分配。第一段路三人都乘，每人應(yīng)付2元；第二段路小紅和小麗合乘，兩人各付3元。這樣每人應(yīng)承擔(dān)的車費如下：

小敏：2（元）小紅：2+3=5（元）小麗：2+3+6=11（元）

如果考慮出租車的起步價，車費的分配又有所不同。

解答本題時并沒有一定的解題模式可以遵循，思維呈發(fā)散性，如能找到一個新角度，就可以發(fā)現(xiàn)新的解答。

2、分類

對數(shù)學(xué)開放題進行分類，這不但有助于我們對開放題有一個深入的認識，而且也有利于開放題的各種研究工作。數(shù)學(xué)開放題可以選擇不同的標準進行不同的分類。以下僅從思維形式這一角度對開放題進行分類。數(shù)學(xué)命題一般可根據(jù)思維形式分成“假設(shè)—推理—判斷”三個部分。

⑴一個數(shù)學(xué)開放題若其未知的要素是假設(shè)，則為條件開放題。這類開放題給出了結(jié)論，要求從多種不同角度去尋求這個結(jié)論成立的條件。

例

5、有三個整數(shù)，問這三個數(shù)具備什么條件時，它們的和能被3整除？

⑵一個數(shù)學(xué)開放題若其未知的要素是推理，則為策略開放題.這類開放題一般都給出了條件和結(jié)論，而怎樣由條件去推斷結(jié)論或怎樣根據(jù)條件去判斷結(jié)論是否成立的策略未知。

例6 制作書架時需要一塊長100厘米，寬20厘米的木板，現(xiàn)只有一塊長80厘米，寬30厘米的木板。問怎樣將木板鋸開，可以拼接成所需尺寸的木板？

⑶一個數(shù)學(xué)開放題若其未知的要素是判斷，則為結(jié)論開放題。結(jié)論開放題就是給出了一定的條件，滿足條件的答案有多個。

例

7、在2、4、6、7、10的五個數(shù)中，哪一個與眾不同？

⑷有的問題只給出一定的情境，其條件、解題策略與結(jié)論要求主體在情境中自行設(shè)計與尋找，這類題稱為綜合開放題。

例

8、在一個3×4（米）的長方形地塊上，欲辟出一部分作為花壇，使花壇的面積是長方形地塊的一半，請給出你的設(shè)計。

二、數(shù)學(xué)開放題的使用價值

由于開放題的特點是條件開放、結(jié)論開放、策略開放的問題，開放題教學(xué)作為一種新的教學(xué)形式，為學(xué)生由課堂走向社會實際架起了一座橋梁，為新知和學(xué)做的結(jié)合開辟了課程的新渠道。本人通過對開放題教學(xué)的研究，覺得數(shù)學(xué)教學(xué)中引進開放題是必要的也是必須的，其獨特的作用主要有以下幾個方面：

1、有利于全體學(xué)生的積極參與

素質(zhì)教育的本質(zhì)應(yīng)該體現(xiàn)在面向全體和全面發(fā)展上，而每個學(xué)生發(fā)展的關(guān)鍵是要在教與學(xué)的活動中給每個學(xué)生 提供參與機會，使他們在參與中得到發(fā)展。新鮮而具有豐富答案的開放題使每個學(xué)生都可以從事自己力所能及的探索，優(yōu)生可做得多而深一些，基礎(chǔ)差的學(xué)生也不至于無從下手，而通過自己的努力發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或設(shè)計的方案，無論程度如何，都會給學(xué)生帶來快樂，而沒有無可奈何的被迫練習(xí)的感覺，這樣的參與帶有極大的主動性。每個學(xué)生在這樣的參與中都得到更好的發(fā)展。開放題教學(xué)讓每個學(xué)生在積極參與中求得了發(fā)展。

2、有利于學(xué)生的主體地位得以保障、自信心得以增加

素質(zhì)教育觀中，主體性是衡量學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量高低的主要標志。學(xué)生的主體性越突出，獨立探索的機會就越多；創(chuàng)造性情感就越強；其創(chuàng)新意識和實踐能力越有可能得以培養(yǎng)。在開放題教學(xué)中，由于學(xué)生的活動是開放的，學(xué)生自己可以提出問題來展開并進一步發(fā)展教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生可以按自己的意愿來選擇其所喜歡的思維方式解決問題。這樣的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生的自主權(quán)受到尊重，使他們的主體地位得以保障。同時學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方式是學(xué)生自己感興趣的，從而激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)積極性和主動性，增強了他們對學(xué)習(xí)的自信心。

3、有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力

素質(zhì)教育的制高點就是要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力，開放題教學(xué)具有此功能。在解決開放性問題時，學(xué)生探求多種答案，有利于培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性、發(fā)散性；學(xué)生發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的多種條件時，有利于提高學(xué)生聯(lián)想、猜測、直覺等非邏輯思維能力及分析、綜合、抽象、概括等邏輯思維能力；學(xué)生在尋找多答案中的最優(yōu)解與在尋找多種條件中最優(yōu)條件時，訓(xùn)練了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。又開放題教學(xué)能夠提供學(xué)生提高創(chuàng)新思維的空間。學(xué)生間的討論、師生間的交流、學(xué)生提出質(zhì)疑時，學(xué)生發(fā)展了自己、超越了自己，使創(chuàng)新思維能力得到有效提高。

4、有利于因材施教，發(fā)掘每個學(xué)生的潛能

心理學(xué)家加德納（Howard Gardner）曾指出：每個人都具備有多種智慧，其差異之一，僅僅是某人這幾方面的智慧占優(yōu)勢，某人那幾方面的智慧占優(yōu)勢；

其差異之二，某些智慧已被人所顯示（顯能），某些智慧還沒有被人所顯示（潛能）；人人都具有多方面的智慧。這告訴我們，起主導(dǎo)地位的教師應(yīng)該為每個學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個良好的情境，以使每個學(xué)生的智慧得以展示，使每個學(xué)生的潛能得以發(fā)掘。以開放題為載體的開放式教學(xué)就為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個這樣好的情境：開放題由于答案、條件的不唯一性，方法的多樣性，起點低、層次多，適應(yīng)多層次的學(xué)生，為因材施教提供了好的材料，為每個學(xué)生提供了更多的參與機會和成功可能。

20世紀已離我們遠去了，數(shù)學(xué)教育的觀念已發(fā)生了巨大的變化，數(shù)學(xué)不再僅僅是為未來的科學(xué)家和工程師作準備，而是21世紀每一個公民的基本素質(zhì)之一。在這種觀念下，我們可以看到，數(shù)學(xué)開放題較為有效地反映了學(xué)生高層次的思維，在開放題的解答過程中，往往沒有固定的、現(xiàn)成的模式可循，僅靠死記硬背、機械模仿不可能找到問題的解答，學(xué)生必須充分調(diào)動自己的知識儲備，積極開展探索活動，從多角度用多種思維方法進行探索。課堂中引進數(shù)學(xué)開放題，可以較好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力，數(shù)學(xué)開放題，創(chuàng)新教學(xué)的切入口。

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第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略研究

小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略研究

摘 要：隨著我國素質(zhì)教育和創(chuàng)新教育的推進，以計算技能和解決常規(guī)問題為重點的數(shù)學(xué)教育已經(jīng)不能滿足時代發(fā)展的需要了。開放題教學(xué)作為一種新的教學(xué)形式，更好的為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)作補充使其得以發(fā)展，使學(xué)生的創(chuàng)新意識和“雙基”訓(xùn)練得到科學(xué)的平衡。本文著重探討了小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)策略及教學(xué)過程中的注意事項。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；開放題教學(xué)；教學(xué)策略數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)策略

所謂教學(xué)策略是指當(dāng)教學(xué)目標確定以后，根據(jù)己定的教學(xué)任務(wù)和學(xué)生的實際情況，有針對性地選擇和組織相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)組織形式、教學(xué)方法和手段，從而形成具有較高效率的特定的教學(xué)方案。它既包含解決某一實際問題的教學(xué)理論，又包含解決某一實際問題帶有規(guī)律性的教學(xué)方法，具有綜合性、可操作性和靈活性的特點。根據(jù)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)原則，本文提出如下數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略。

1.1 展示問題，開放有度

教學(xué)中展示的開放題要有趣、有新意，開放度要適當(dāng)，能激發(fā)所有學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。所以，教師要努力研究如何才能讓學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣是非常必要的，這就需要教師用心去了解每位學(xué)生，不但要了解他們的學(xué)習(xí)狀況，而且要明白他們所處于青春期的叛逆心理，教師要走進他們的內(nèi)心世界，讓學(xué)生喜歡上你，和你沒有距離感，才能相信你，信任你，這樣才會喜歡上你的課。教師必須更高的要求自已，教師必須考慮教材中有關(guān)教學(xué)內(nèi)容的可開放性和開放度：分析哪些內(nèi)容學(xué)生可以自主探究獲得，哪些內(nèi)容不適合開放題教學(xué)，要考慮學(xué)生現(xiàn)有的認知基礎(chǔ)和思維能力，很好的去理解所學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。同時，在開放題課堂教學(xué)中，開放題編排能夠圍繞教學(xué)目標，由易到難、由舊知識到新知識逐步過渡，開放題的數(shù)量和開放度都要適中。教師要相信每位學(xué)生，課堂的主動權(quán)要交給學(xué)生，保證學(xué)生在掌握“雙基”的基礎(chǔ)上能得到最大限度的發(fā)展。教師在課前要做好準備工作，考慮到課堂上學(xué)生出現(xiàn)的各種狀況都能處理的恰到好處，教師要非常熟練教學(xué)內(nèi)容，要有清晰的思路，一環(huán)緊扣一環(huán)的引導(dǎo)和啟發(fā)，使學(xué)生學(xué)起來水到渠成。

1.2 探究問題，及時反饋

分析所展示的開放性問題，要做好心理暗示，我們通過合作、討論探究一定能把問題解決的心理，這樣你就有一股永不服輸?shù)牧α恐沃阌峦鼻?，達不到目的永不罷休的蠻勁。在數(shù)學(xué)開放題教學(xué)中，教師不能簡單的只看學(xué)生解決問題的答案對與錯，而更應(yīng)注重觀察學(xué)生的解題方法和過程，教師要及時糾正和指導(dǎo)。解決數(shù)學(xué)開放題不要受時間的限制，要留給學(xué)生足夠時間讓他們充分發(fā)揮自已的智慧和想象思維能力。教師要認真細心地記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的每一個細節(jié)、動向、情景等表現(xiàn)，逐一進行研究、探討、反思總結(jié)得失，為數(shù)學(xué)開放題收集資料，積累經(jīng)驗。

1.3 討論辨析，多向交流

由于數(shù)學(xué)開放題的特征，它們有的有多個條件，有的有多個答案，有的有多種解法。因此課堂教學(xué)中要留出相對充足的時間給學(xué)生，讓學(xué)生自由發(fā)言、討論。歸納總結(jié)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。打破教師事先準備控制課堂教學(xué)過程的習(xí)慣，代之形成根據(jù)學(xué)生課堂的反應(yīng)確定教學(xué)過程的習(xí)慣。其中有的問題不可能由一個學(xué)生在有限的時間內(nèi)完成，需要有幾個人的力量和集體的智慧去解決。因此在數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)中，要采用集體教學(xué)、小組教學(xué)、個別教學(xué)相結(jié)合等多種渠道相結(jié)合的方式，并合理優(yōu)化分組，讓每個小組中的每個成員都能暢所欲言、發(fā)表所見、集思廣義、同力協(xié)作，并讓不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，解決不同的層次的問題。根據(jù)合作學(xué)習(xí)理論，學(xué)生在小組中要有不同的角色地位，每個人應(yīng)明確責(zé)任，各有側(cè)重，讓學(xué)生具有獨立、競爭、合作三種意識。在這個過程中，教師要起到教學(xué)組織者、調(diào)控者的作用，使課堂環(huán)境井然有序，生機勃勃。當(dāng)小組討論遇到困難和挫折時，教師應(yīng)給予啟發(fā)幫助和鼓勵，及時引導(dǎo)并幫助小組走出困境；當(dāng)小組討論有成果時，教師應(yīng)及時給予恰如其分的鼓勵和贊揚，并引導(dǎo)他們的思維更上一層樓向高一級活動升級。

1.4 點評小結(jié)，尋找規(guī)律

當(dāng)開放題教學(xué)進入尾聲，即各種解題方法都以運用，結(jié)論都推斷出來時，應(yīng)及時讓學(xué)生自已進行總結(jié)。開放題教學(xué)的課堂總結(jié)應(yīng)作為畫龍點睛的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生比一比各種策略孰優(yōu)孰劣，找一找各種結(jié)論的規(guī)律乃至上升到理論的途徑。教師做好最后的評判，對學(xué)生的解題情況和結(jié)果進行正確的點評并給予鼓勵表揚。歸納總結(jié)，啟發(fā)學(xué)生對結(jié)論一般化的認識，尋找數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，能挖掘題目中所包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。通過開放題教學(xué)實踐，需注意的事項

2.1 做好開放題教學(xué)課堂前的準備工作

問題的科學(xué)性是衡量問題質(zhì)量的重要標志，要按照數(shù)學(xué)課程標準要求設(shè)計開放性問題，要反映數(shù)學(xué)核心知識、基本方法和基本技能。開放性問題的內(nèi)容要正確無誤，陳述性語言要精確，不能有歧義。數(shù)學(xué)課堂中開展開放題教學(xué)要恰到好處，比如在一章知識點講完以后需要大量的練習(xí)，并且要把知識點達到綜合性的應(yīng)用，就應(yīng)該引進一節(jié)開放題教學(xué)進行學(xué)習(xí)，在開放題的解決過程中，學(xué)生通過交流合作運用所學(xué)的知識和已有的解題技能，有創(chuàng)意的方法或途徑解決開放題，有助于學(xué)生對所學(xué)知識的理解和鞏固。教師在編制開放題時要考慮到學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)以及學(xué)生在情感方面的需要，通過解決開放題，學(xué)生對所學(xué)的知識進行鞏固和提升。

2.2 要精心設(shè)計教學(xué)過程

開放題教學(xué)是對教師臨場應(yīng)變能力的一種挑戰(zhàn)，教師要了解每位學(xué)生，不能低估不同能力水平學(xué)生的潛能，要耐心、細心的指導(dǎo)任何一位需要幫助的學(xué)生，教師既要關(guān)注到差生的解答情況，又要鼓勵優(yōu)生尋找最佳的解答方法。教師要為學(xué)生們提供平等、和諧的學(xué)習(xí)氛圍。教師要給每一位學(xué)生動手實踐、創(chuàng)造發(fā)明的機會，事實上學(xué)生動手能力最強、想象力最豐富的學(xué)生并非是數(shù)學(xué)成績最好的學(xué)生，教師要利用開放題這個載體發(fā)掘每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能。

2.3 教師需明確自己角色，課后進行總結(jié)

在開放題的教學(xué)中，教師明確自己的地位是非常重要的。在開放題教學(xué)中教師是知識的呈現(xiàn)者，學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，紀律的管理者，還是課堂學(xué)習(xí)過程中各種信息的重組者。問題的開放度要有層次，在設(shè)計這類問題時要遵循學(xué)生的學(xué)習(xí)實際，既要考慮深化發(fā)展又要依據(jù)基礎(chǔ)知識的掌握情況，既要考慮優(yōu)等生的發(fā)展，又要照顧到學(xué)習(xí)困難的學(xué)生，做到難易結(jié)合，由低到高，節(jié)節(jié)上升，推進對開放題的認知和解決。

開放題教學(xué)對教師綜合能力和素質(zhì)提出了較高的要求。課前、課中、課后教師需要花費更多的時間進行思考和反思，課前要根據(jù)所授課的學(xué)生的學(xué)習(xí)情況而進行開放性問題的設(shè)置，同時要想到學(xué)生在課堂上的反應(yīng)，所以教師要精心設(shè)計開放題。課后教師要及時的反思和總結(jié)，修正自己在課堂教學(xué)中的不足以及在那些方面做的比較滿意，并對所授新知進行總結(jié)讓學(xué)生能有個整體的把握。在開放題教學(xué)中教師要重新建立起教學(xué)觀念，要時刻關(guān)注學(xué)生、關(guān)心學(xué)生，讓學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和能力終身受用，用把眼光放長遠，不僅要求學(xué)生有好數(shù)學(xué)成績，而且更希望的是學(xué)生要學(xué)會解決各種數(shù)學(xué)問題的能力，在教學(xué)中教師要尊重學(xué)生、相信學(xué)生、讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。

參考文獻

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[2]孔琴.《有效實施小學(xué)數(shù)學(xué)開放式教學(xué)探析》[J].基礎(chǔ)教育研究，2015.06

第四篇：例談小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略

例談小學(xué)數(shù)學(xué)開放題教學(xué)策略

小學(xué)數(shù)學(xué)開放題由于具有題目條件不充分或結(jié)論不唯一等特征，其解題過程具有較強的探究性、發(fā)展性與創(chuàng)新性等特點。因此，開放題的解題策略更加靈活多變，要求學(xué)生靈活運用已學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等必要的邏輯思維去得出結(jié)論，其解題過程更加關(guān)注學(xué)生分析問題與解決問題的能力，以及創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。

由于數(shù)學(xué)開放題具有不同的結(jié)構(gòu)特點，其教學(xué)策略更加靈活多變。如何更好地提高數(shù)學(xué)開放題教學(xué)的實效呢？本文擬根據(jù)開放題的類型特點提幾點意見供參考。

一、條件開放型教學(xué)策略

條件開放型開放題具有多種表現(xiàn)形式：可以是條件不充分或條件有余，可以是解決問題的條件具有多種可能性。解決這類問題的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的本質(zhì)和要害，從眾多已知條件中排除各種表象的干擾。同時要防止長期解答封閉題形成的思維定勢影響。其教學(xué)策略可概括為“認真審題、深刻分析、準確思考、創(chuàng)造性解決問題”。

例1，習(xí)題“少年宮美術(shù)組有24人，航模組比美術(shù)組少6人，書法組的人數(shù)是美術(shù)組的3倍，美術(shù)組和航模組一共有多少人？”通過審題分析條件和問題可知：書法組人數(shù)是美術(shù)組的3倍為多余條件。面對多余條件，教學(xué)的重點是訓(xùn)練學(xué)生不受干擾，不因思維定勢影響正確解題。

例2，習(xí)題 “李強有5角硬幣1枚，2角硬幣4枚，1角硬幣8枚，他想從這些錢中拿出8角購買水筆，請問他可以怎樣拿？”本題的結(jié)果就是要拿出8角錢買筆，而怎樣從這些硬幣中拿出8角就變成這一結(jié)果的條件，是典型的條件開放題。教學(xué)的關(guān)鍵在引導(dǎo)學(xué)生思考：用這些硬幣組成8角錢有幾種可能性？同時在分析各種可能性的同時培養(yǎng)學(xué)生思考及解決問題的條理性，學(xué)會用枚舉的方法有序分析、全面考慮、一個不漏，最后用列表的方法將分析思考的結(jié)果表示出來。

例3，習(xí)題“從58盒牛奶中拿走幾盒后，余下的能夠平均放在8個盤子中嗎？”本題的“拿走幾盒”是使余下的能平均放在8個盤子里的條件。因此屬于條件開放且要補充完整的題型。其解題策略的關(guān)鍵在于讓學(xué)生理解“余下的能平均放在8個盤子中”，并將其轉(zhuǎn)化成余下的數(shù)量可以平均分成8份這個數(shù)學(xué)模型。在學(xué)生很快想到56之后，還要啟發(fā)學(xué)生思考還有無其他可能情況，培養(yǎng)其開放思維及勇于探索的意識。并通過本問題的解決培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、求異性，并從中悟到拿出的盒數(shù)與“2”和“8”的關(guān)系，從而建立數(shù)學(xué)模型。

二、結(jié)論開放型教學(xué)策略

結(jié)論開放型習(xí)題，其答案不唯一是因為這類問題的條件和情境存在多種可能性，這就需要教師在教學(xué)過程中適時對學(xué)生進行組織、管理與調(diào)控，并輔以必要的巡視、聆聽、指導(dǎo)與糾錯，以促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變并掌握一定的學(xué)習(xí)方法。

例4，習(xí)題“小明家離學(xué)校450米，小紅家離學(xué)校550米，小明與小紅他們兩家之間大約相距多少米？”教學(xué)這道題時，教師先組織學(xué)生在理解題意的基礎(chǔ)上聯(lián)系生活實際進行想象、思考和討論：小明、小紅的家與學(xué)校這三幢建筑物可能存在怎樣的空間位置關(guān)系？教師引導(dǎo)學(xué)生用線段圖或直觀空間圖幫助理解，并在此基礎(chǔ)上尋求解決問題的方法。學(xué)生在畫圖理解的基礎(chǔ)上就能從幾個角度來思考：即小明與小紅的家與學(xué)校都在同一條直路上，或小明、小紅的家與學(xué)校都不在一條路上。而三者都在同一條直路上又存在幾種不同情況。通過聯(lián)系生活實際學(xué)生都能得出小明與小紅兩家之間的距離在100米到1000米之間。這樣的教學(xué)，使學(xué)生逐步學(xué)會用運動變化的觀點分析和解決問題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思考的方法和魅力。

例5，習(xí)題“把24個邊長為1厘米的小正方形拼成一個大長方形，拼成的長方形的周長與面積各是多少？”這類題型的教學(xué)策略關(guān)鍵在引導(dǎo)學(xué)生動手操作，通過實際的拼擺，學(xué)生化抽象為具體，能夠較好地理解題意。同時教師還要引導(dǎo)學(xué)生在計算每個拼擺成的長方形周長與面積后去探索發(fā)現(xiàn)，并總結(jié)得出“雖然拼成的長方形面積都一樣大，但它們的周長卻各不相同”。在此基礎(chǔ)上又組織學(xué)生研究“用一根24厘米長的細鐵絲圍成一個長方形，長方形的面積是多少？”有上一題的教學(xué)做基礎(chǔ)，學(xué)生有了學(xué)習(xí)與思考方法的牽引，他們通過畫圖分析和思考，把本題的條件轉(zhuǎn)化成為已知拼成的長方形周長24厘米，并通過推導(dǎo)得出這個長方形的一條長與一條寬的和是12厘米。在此基礎(chǔ)上通過數(shù)形結(jié)合，把12分拆成“1+11、2+10、3+9、4+8、5+7、6+6”這六種情況。最后在學(xué)生計算出每個長方形面積的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進一步歸納發(fā)現(xiàn)：周長相等的長方形，他們的面積不一定相等。通過這樣的兩道題的學(xué)習(xí)，學(xué)生對長方形的面積與周長的意義有了進一步的理解，并不斷地進行對比、發(fā)現(xiàn)，也對學(xué)生鞏固長方形面積與周長的計算起到較好的促進作用，以此方式學(xué)到的知識都是活的數(shù)學(xué)知識。

類似的還有策略型、綜合型開放題的教學(xué)，其關(guān)鍵是在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)寬松和諧的學(xué)習(xí)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生積極、主動、創(chuàng)造性地思考，通過師生共同研究，集體合作等方式，讓學(xué)生體驗做數(shù)學(xué)開放題的樂趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：福建省廈門雙十中學(xué)海滄附屬學(xué)校）

第五篇：數(shù)學(xué)建模文獻綜述

數(shù)學(xué)建模文獻綜述

摘要：綜述 數(shù)學(xué)建模方法

前言：數(shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實際問題來建立數(shù)學(xué)模型，對數(shù)學(xué)模型來進行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實際問題。數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號，數(shù)學(xué)式子，程序，圖形等對實際課題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。應(yīng)用知識從實際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。在21世紀新時代下，信息技術(shù)的快速發(fā)展使得數(shù)學(xué)建模成了解決實際問題的一個重要的有效手段。

正文：自從20世紀以來，隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計算機的日益普及，人們對各種問題的要求越來越精確，使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和深入，特別是在21世紀這個知識經(jīng)濟時代，數(shù)學(xué)科學(xué)的地位會發(fā)生巨大的變化，它正在從國家經(jīng)濟和科技的后備走到了前沿。經(jīng)濟發(fā)展的全球化、計算機的迅猛發(fā)展、數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴充，使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個重要組成部分和思想庫，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方面。而數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)方面的分支，在其中起到了關(guān)鍵性的作用。

談到數(shù)學(xué)建模的過程，可以分為以下幾個部分：

一.模型準備

了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來包容問題的精髓，數(shù)學(xué)思路貫穿問題的全過程，進而用數(shù)學(xué)語言來描述問題。要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準確。

二.模型假設(shè)

根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

三.模型建立

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

四.模型計算

利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（或近似計算）。其中需要應(yīng)用到一些計算工具，如matlab。

五.模型分析

對所要建立模型的思路進行闡述，對所得的結(jié)果進行數(shù)學(xué)上的分析。

六.模型檢驗

將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程。

數(shù)學(xué)建模中比較重要的是，我們需要根據(jù)實際問題，適當(dāng)調(diào)整，采取正確的數(shù)學(xué)建模方法，以較為準確地對實際問題發(fā)展的方向進行有據(jù)地預(yù)測，達到我們解決實際問題的目的，在近些年，數(shù)學(xué)建模涉及到的實際問題有關(guān)于各個領(lǐng)域，包括病毒傳播問題、人口增長預(yù)測問題、衛(wèi)星的導(dǎo)航跟蹤、環(huán)境質(zhì)量的評價和預(yù)測等等，這些就能說明數(shù)學(xué)建模涉及領(lǐng)域之廣泛，針對這些問題我們需要采取對應(yīng)的數(shù)學(xué)建模方法，采用不同的數(shù)學(xué)模型，再綜合起來分析，得出結(jié)論，這需要我們要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和掌握一些應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，以適應(yīng)各種實際問題類型的研究，也應(yīng)該在一些數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上，進行不斷地拓展和延伸，這也是在新時代下對于數(shù)學(xué)工作者的基本要求，我們對數(shù)學(xué)建模的所能達到的要求就是實現(xiàn)對實際問題的定性分析達到定量的程度，更能直觀地展現(xiàn)其中的內(nèi)在關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的巨大作用。

而在對數(shù)學(xué)建模中的數(shù)據(jù)處理中，我們往往采用十類算法：

一.蒙特卡羅算法

也稱統(tǒng)計模擬方法，是二十世紀四十年代中期由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機的發(fā)明，而被提出的一種以概率統(tǒng)計理論為指導(dǎo)的一類非常重要的數(shù)值計算方法。當(dāng)所求解問題是某種隨機事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，通過某種“實驗”的方法，以這種事件出現(xiàn)的頻率估計這一隨機事件的概率，或者得到這個隨機變量的某些數(shù)字特征，并將其作為問題的解。如粒子輸運問題。

二.數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法

比賽中通常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具，而在其中有一些要用到參數(shù)估計的方法，包括矩估計、極大似然法、一致最小方差無偏估計、最小風(fēng)險估計、同變估計、最小二乘法、貝葉斯估計、極大驗后法、最小風(fēng)險法和極小化極大熵法。最基本的方法是最小二乘法和極大似然法。數(shù)據(jù)擬合在數(shù)學(xué)建模中常常有應(yīng)用，與圖形處理有關(guān)的問題很多與擬合有關(guān)系。

三.線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類問題

建模競賽大多數(shù)問題屬于最優(yōu)化問題，很多時候這些問題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實現(xiàn)。它尤其適用于傳統(tǒng)搜索方法難于解決的復(fù)雜和非線性問題，在運籌學(xué)和模糊數(shù)學(xué)中也有應(yīng)用。

四.圖論算法

這類算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問題可以用這些方法解決，需要認真準備，其中，圖論具有廣泛的應(yīng)用價值,圖論可將各種復(fù)雜的工程系統(tǒng)和管理問題用“圖”來描述,然后用數(shù)學(xué)方法求得最優(yōu)結(jié)果，圖論是解決許多工程問題中算法設(shè)計的一種有效地數(shù)學(xué)模型,便于計算分析和計算機存儲。

五.動態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法

動態(tài)規(guī)劃的應(yīng)用極其廣泛，包括工程技術(shù)、經(jīng)濟、工業(yè)生產(chǎn)、軍事以及自動化控制等領(lǐng)域，并在背包問題、生產(chǎn)經(jīng)營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問題等中取得了顯著的效果?；厮菟惴ㄊ巧疃葍?yōu)先策略的典型應(yīng)用，回溯算法就是沿著一條路向下走，如果此路不同了，則回溯到上一個分岔路，在選一條路走，一直這樣遞歸下去，直到遍歷萬所有的路徑。八皇后問題是回溯算法的一個經(jīng)典問題，還有一個經(jīng)典的應(yīng)用場景就是迷宮問題?；厮菟惴ㄊ巧疃葍?yōu)先，那么分支限界法就是廣度優(yōu)先的一個經(jīng)典的例子。回溯法一般來說是遍歷整個解空間，獲取問題的所有解，而分支限界法則是獲取一個解。分治算法的基本思想是將一個規(guī)模為N的問題分解為K個規(guī)模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質(zhì)相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程序算法，簡單問題可用二分法完成。

這些算法是算法設(shè)計中比較常用的方法，很多場合可以用到競賽中。

六.最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法

模擬退火算法的依據(jù)是固體物質(zhì)退火過程和組合優(yōu)化問題之間的相似性。物質(zhì)在加熱的時候，粒子間的布朗運動增強，到達一定強度后，固體物質(zhì)轉(zhuǎn)化為液態(tài)，這個時候再-進行退火，粒子熱運動減弱，并逐漸趨于有序，最后達到穩(wěn)定。
　　“物競天擇，適者生存”，是進化論的基本思想。遺傳算法就是模擬自然界想做的事。遺傳算法可以很好地用于優(yōu)化問題，若把它看作對自然過程高度理想化的模擬，更能-顯出它本身的優(yōu)雅——雖然生存競爭是殘酷的。遺傳算法以一種群體中的所有個體為對象，并利用隨機化技術(shù)指導(dǎo)對一個被編碼的參數(shù)空間進行高效搜索。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從名字就知道是對人腦的模擬。它的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)，它的構(gòu)成與作用方式都是在模仿人腦，但是也僅僅是粗糙的模仿，遠沒有達到完美的地步。和馮·諾依曼機不同-，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算非數(shù)字，非精確，高度并行，并且有自學(xué)習(xí)功能。

這些問題是用來解決一些較困難的最優(yōu)化問題的算法，對于有些問題非常有幫助，但是算法的實現(xiàn)比較困難，需慎重使用。

七.網(wǎng)格算法和窮舉法

對于小數(shù)據(jù)量窮舉法就是最優(yōu)秀的算法，網(wǎng)格算法就是連續(xù)問題的枚舉。網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點的算法，在很多競賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點討論模型本身而輕視算法的時候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級語言作為編程工具。

八.一些連續(xù)離散化方法

很多問題都是實際來的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計算機只認的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。

九.數(shù)值分析算法

在比賽中采用高級語言進行編程的話,那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫庫函數(shù)進行調(diào)用。

十.圖像處理法

賽題中有一類問題與圖形有關(guān)，即使與圖形無關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問題，通常使用Matlab進行處理。

這十類算法對于數(shù)據(jù)處理有很大的幫助，甚至從其中可以發(fā)現(xiàn)在它們中的很多算法都是數(shù)學(xué)某些分支的延伸，可能我們不一定能掌握里面的所有算法，但是我們可以盡可能學(xué)習(xí)，相信這對我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有很大的幫助，然后，就是數(shù)學(xué)模型的類別。

常見的數(shù)學(xué)模型有離散動態(tài)模型、連續(xù)動態(tài)模型、庫存模型、線性回歸模型、線性規(guī)劃模型、綜合評價模型、傳染病模型等數(shù)學(xué)模型、常微分方程模型、常微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性、人口模型、差分方程模型，這些模型都有針對性地從實際問題中抽象出來，得到這些模型的建立，我們在其中加入適當(dāng)合理的簡化，但要保證能反映原型的特征，在數(shù)學(xué)模型中，我們能進行理性的分析，也能進行計算和演繹推導(dǎo)，我們最終都會通過實踐檢驗數(shù)學(xué)建模的正確性，加以完善和提升，在對現(xiàn)實對象進行建模時，人們常常對預(yù)測未來某個時刻變量的值感興趣，變量可能是人口、房地產(chǎn)的價值或者有一種傳染病的人數(shù)。數(shù)學(xué)模型常常能幫助人們更好的了解一種行為或者規(guī)劃未來，可以把數(shù)學(xué)模型看做一種研究特定的實際系統(tǒng)或者人們感興趣的行為而設(shè)計的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

例如人口增長模型：

中國是世界上人口最多的發(fā)展中國家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對不足，是我國的基本國情，人口問題一直是制約中國經(jīng)濟發(fā)展的首要因素。人口數(shù)量、質(zhì)量和年齡分布直接影響一個地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展、資源配置、社會保障、社會穩(wěn)定和城市活力。在我國現(xiàn)代化進程中，必須實現(xiàn)人口與經(jīng)濟、社會、資源、環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展，進一步控制人口數(shù)量，提高人口質(zhì)量，改善人口結(jié)構(gòu)。對此，單純的人口數(shù)量控制（如已實施多年的計劃生育）不能體現(xiàn)人口規(guī)劃的科學(xué)性。政府部門需要更詳細、更系統(tǒng)的人口分析技術(shù)，為人口發(fā)展策略的制定提供指導(dǎo)和依據(jù)。長期以來，對人口年齡結(jié)構(gòu)的研究僅限于粗線條的定性分析，只能預(yù)測年齡結(jié)構(gòu)分布的大致范圍，無法用于分析年齡結(jié)構(gòu)的具體形態(tài)。隨著對人口規(guī)劃精準度要求的提高，通過數(shù)學(xué)方法來定量計算各種人口指數(shù)的方法日益受到重視，這就是人口控制和預(yù)測。

人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災(zāi)害、環(huán)境、社會、經(jīng)濟等諸多因素影響和制約的共同結(jié)果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復(fù)雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統(tǒng)具有明顯的灰色性，適宜采用灰色模型去發(fā)掘和認識原始時間序列綜合灰色量所包含的內(nèi)在規(guī)律?；疑A(yù)測模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點是單數(shù)列預(yù)測，在形式上只用被預(yù)測對象的自身序列建立模型，根據(jù)其自身數(shù)列本身的特性進行建模、預(yù)測，與其相關(guān)的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，看成是灰色信息即灰色量，對灰色量進行預(yù)測，不必拼湊數(shù)據(jù)不準、關(guān)系不清、變化不明的參數(shù)，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發(fā)現(xiàn)和認識內(nèi)在規(guī)律進行預(yù)測。

基于以上思想我們建立了灰色預(yù)測模型：

灰色建模的思路是：從序列角度剖析微分方程，是了解其構(gòu)成的主要條件，然后對近似滿足這些條件的序列建立近似的微分方程模型。而對序列而言（一般指有限序列）只能獲得有限差異信息，因此，用序列建立微分方程模型，實質(zhì)上是用有限差異信息建立一個無限差異信息模型。

在灰色預(yù)測模型中，與起相關(guān)的因素并沒有直接參與，但如果考慮到直接影響人口增長的因素，例如出生率、死亡率、遷入遷出人口數(shù)等，根據(jù)具體的數(shù)據(jù)進行計算，則可以根據(jù)年齡移算理論，從某一時點的某年齡組人數(shù)推算一年或多年后年齡相應(yīng)增長一歲或增長多歲的人口數(shù)。在這個人口數(shù)的基礎(chǔ)上減去相應(yīng)年齡的死亡人數(shù)，就可以得到未來某年齡組的實際人口數(shù)。對于0 歲的新生人口，則需要通過生育率作重新計算。當(dāng)社會經(jīng)濟條件變化不大時，各年齡組死亡率比較穩(wěn)定，相應(yīng)活到下一年齡組的比例即存活率也基本上穩(wěn)定不變。因而可以根據(jù)現(xiàn)有的分性別年齡組存活率推算未來各相應(yīng)年齡組的人數(shù)。

通過這樣的實例就能很細致地說明數(shù)學(xué)建模的方法應(yīng)用，數(shù)學(xué)模型方法是把實際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。它是將研究的某種事物系統(tǒng)，采用數(shù)學(xué)形式化語言把該系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系，抽象出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的方法，這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就叫數(shù)學(xué)模型。一般地，一個實際問題系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是抽象的數(shù)學(xué)表達式，如代數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程、邏輯關(guān)系式，甚至是一個計算機的程序等等。由這種表達式算得某些變量的變化規(guī)律，與實際問題系統(tǒng)中相應(yīng)特征的變化規(guī)律相符。一個實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就是對其中某些特征的變化規(guī)律作出最精煉的概括。

數(shù)學(xué)模型為人們解決現(xiàn)實問題提供了十分有效和足夠精確的工具，在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常用模型的思想來認識和改造世界，模型是針對原型而言的，是人們?yōu)榱艘欢ǖ哪康膶υ瓦M行的一個抽象。

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)與現(xiàn)代化管理等方面獲得越來越廣泛而深入的應(yīng)用，尤其是在經(jīng)濟發(fā)展方面，數(shù)學(xué)建模也有很重要的作用。數(shù)學(xué)模型這個詞匯越來越多地出現(xiàn)在現(xiàn)代人的生產(chǎn)、工作和社會活動中，從而使人們逐漸認識到建立數(shù)學(xué)模型的重要性。數(shù)學(xué)模型就是要用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻畫實際，是由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號組成的，描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法。也可以這樣描述：對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，做出必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模的作用在21實際毋庸置疑，我們通過不斷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建可以掌握解決實際問題的強大武器。

參考文獻：數(shù)學(xué)建模方法與案例，張萬龍，等編著，國防工業(yè)出版社（2014）.數(shù)學(xué)模型建模分析，蔡常豐編著，科學(xué)出版社，(1995)．

數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)，王樹禾編著，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，(1996).