第一篇：數(shù)學(xué)大學(xué)中常用不等式

數(shù)學(xué)大學(xué)中常用不等式,放縮技巧

一：

一些重要恒等式

?。?+2+…+n=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 1+2+…+n=(1+2+…+n)

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2a=sin2a／2sina

ⅳ:

e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

ⅴ:三角中的等式（在大學(xué)中很有用）

cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)

cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1

tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

n

n+1

n+133

222

2sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

ⅵ:歐拉等式 e=-1(i是虛數(shù)，是pai)

ⅶ：組合恒等式（你們自己弄吧，我不知怎樣用word

∏i

∏編）

二 重要不等式 1:絕對(duì)值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(別看簡(jiǎn)單，常用)

2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符號(hào)相同且大于-1)3：柯西不等式

(∑ aibi)≤∑ai∑bi2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5;(a+b)≤2max(︱a︱,︱b︱)

(a+b)≤a+ b(0

1)

6:(1+x)≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常見的放縮(√是根號(hào))(均用數(shù)學(xué)歸納法證)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； npp

ppp

pp

p

p

p 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n+1

n

n

n-1 4：n>(n+1)n！≥2

n 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)?。?/p>

6：對(duì)數(shù)不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x

8:均值不等式我不說了（絕對(duì)的重點(diǎn)）9：（1+1/n）n

<4 四：一些重要極限

(書上有，但這些重要極限需熟背如流)

第二篇：大學(xué)中常用的不等式

大學(xué)中常用不等式,放縮技巧 一： 一些重要恒等式

?。?2+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(別看簡(jiǎn)單，常用)2：伯努利不等式（11）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符號(hào)相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑a2i∑b2i 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常見的放縮(√是根號(hào))(均用數(shù)學(xué)歸納法證)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)?。齨 6：對(duì)數(shù)不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8：（1+1/n）n<4 3

第三篇：大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

大學(xué)數(shù)學(xué)中不等式的證明方法

作者：吳瑩

來源：《學(xué)園》2013年第01期

【摘 要】不等式在科學(xué)研究中的地位很重要，但對(duì)不等式的證明有些同學(xué)無從下手，用什么方法是個(gè)難題，所以本文對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)中遇到的不等式的各種證明方法進(jìn)行歸納總結(jié)，并給出了相應(yīng)的例子。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)歸納法 導(dǎo)數(shù) 單調(diào)性 中值定理 最值 積分

【中圖分類號(hào)】O211 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674－4810（2013）01－0076－02

第四篇：考研數(shù)學(xué)中的不等式證明

考研數(shù)學(xué)中的不等式證明

陳玉發(fā)

鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教育處450121

摘要：在研究生入學(xué)考試中，中值定理是一項(xiàng)必考的內(nèi)容，幾乎每年都有與中值定理相關(guān)的證明題．不等式的證明就是其中一項(xiàng)．在不等式的證明中，利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造輔助函數(shù)是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時(shí)這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可使一些不等式的證明簡(jiǎn)化．

關(guān)鍵詞：考研數(shù)學(xué)不等式中值定理冪級(jí)數(shù)

（作者簡(jiǎn)介：陳玉發(fā)，男，漢族，出生于1969年5月工作單位：鄭州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，副教授，碩士，從事數(shù)學(xué)教育研究．郵編：450121）

微分中值定理是微積分學(xué)中的一個(gè)重要定理，在研究生入學(xué)考試中，幾乎每年都會(huì)有與中值定理相關(guān)的證明題．不等式就是其中一項(xiàng)。下面就考研數(shù)學(xué)中的不等式證明談一下中值定理的應(yīng)用． 在不等式的證明中，利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造輔助函數(shù)是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時(shí)這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可以使一些不等式的證明過程得到簡(jiǎn)化．下面就歷年考研數(shù)學(xué)中的不等式證明題談一下．

例1（1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）

(2)設(shè)b?a?e，證明a?b ba

xa對(duì)此不等式的證明，一般我們會(huì)想到構(gòu)造輔助函數(shù)，f(x)?a?x，f(a)?0，然后證明

在x?a時(shí)，f?(x)?0．這個(gè)想法看似簡(jiǎn)單，而實(shí)際過程非常繁瑣，有興趣的讀者可以試著證明一下．下面筆者給出幾個(gè)簡(jiǎn)便的證明．

證：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：ab?ba?b?alogab?b?alnb lna

lnb?lna lna

lnb?lnalna?? b?aa

1???lna，其中e?a???b?lna?b?a?a

?1

??1lna，其中e?a???b． a

原命題得證．

證：Ⅱ 利用微分中值定理，ab??e?blna?alnb

?

?

?

?

?blnb? alnablnb?lna?1? alnab1b?1?ln alnaab1b?1?(ln?ln1)alnaabln?ln1?lna（微分中值定理）?1a

?1

??lna，（1???b）a

原命題得證．

證明Ⅲ 利用冪級(jí)數(shù)展開：

設(shè)b?a?x，原不等式等價(jià)于

aa?xa ?(a?x)a?aa?ax?(a?)x

x?a?(1?

而 xa)，a

ln2a2a?1?lna?x?x?2!xlnnan?x?n!，xxa?(a?1)x2a?(a?1)(a?n?1)xn(1?)a?1?a??()??()?． aa2!an!a

a?(a?1)(a?n?1)n由于x?0，a?e，所以lna?1，lna?．通過比較以上兩個(gè)級(jí)數(shù)可知原na

不等式成立．

對(duì)于不等式a?(1?

一下．

例2（1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）xxa)的證明仍可以利用拉格朗日中值定理證明，有興趣的讀者可以自己證a

設(shè)f??(x)?0，f(0)?0，證明對(duì)任何x1?0,x2?0，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)． 證：不妨設(shè)x1?x2，f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)

f(x1?x2)?f(x2)f(x1)?f(0)?(x1?x2)?(x2)x1?0?

?f?(?1)?f?(?2)，x2??1?x1?x2，0??2?x1?x2，顯然?2??1，而f??(x)?0，所以f?(x)單調(diào)遞減．原不等式得證．

例3（1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）

論證：當(dāng)x?0時(shí),(x2?1)lnx?(x?1)2 ．(x2?1)lnx

證：(x?1)lnx?(x?1)?(x?1)2?1 22

(x?1)lnx?1 x?1

(x?1)lnx?(1?1)ln1??1，（柯西中值定理）x?1?

?ln??(??1)

??1，（?介于1與x之間）

1ln???0． 當(dāng)??1時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)0???1時(shí)，我們可以證明，?

命題得證．

例4（2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第三題）

(15)設(shè)e?a?b?e2，證明lnb?lna?

22224(b?a)． 2e4ln2b?ln2a4證：lnb?lna?2(b?a)??2 e(b?a)e

14?2ln??2，(e?a???b?e2)?e

?1

?ln??2，2e

因?yàn)閑?a???b?e2，所以，?ln??eln?e2?2?2． e?ee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題第（17）題）

證明：當(dāng)0?a?b??時(shí)，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a．

證：令f(x)?xsinx?2cosx??x

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a

?f(b)?f(a)? 0

?f(b)?f(a)?0 b?a

?f?(?)??cos??sin????0，0?a???b??

令f?(x)?xcosx?sinx??，f?(?)?0，f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，0?a?x?b??，所以在(0,?)內(nèi)，f?(x)單調(diào)減少，即f?(x)?0．

原命題得證．

例6（2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第(17)題

(1)比較?1

0lnt[ln(1?t)]ndt與?tnlnt的大小,說明理由。01

解：因?yàn)閘nt[ln(1?t)]n

tnlnt[ln(1?t)]n ?tn

?[ln(1?t)nln(1?t)?ln(1?0)n]?[]（拉格朗日中值定理）tt?0

?()?1，0???t?1，1n

?

所以lnt[ln(1?t)]?tlnt。即nn?1

0lnt?t)]dt?n?10tnlnt。

例7（2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題第（18）題）

1?xx2

?cosx?1?，(?1?x?1)．證明：xln1?x2

證：原不等式等價(jià)于：

x2

x[ln(1?x)?ln(1?x)]?1?cosx? 2

xx2

?（僅當(dāng)x?0時(shí)取等號(hào)）?x[ln(1?x)?ln(1?x)]?2sin222

?[ln(1?x)?ln(1?x)]1?（當(dāng)x?0時(shí)）2xxx2sin2?22

11?1??1??1??，（柯西中值定理，其中0???x?1），sin???x

?21?，0???x?1 2(sin???)(1??)x

因?yàn)?sin???)(1??2)?2??2x，所以不等式成立．

利用同樣的方法可以證明當(dāng)?1?x?0時(shí)，不等式成立．

綜上所述，原不等式成立．

xx例8 證明：當(dāng)x?0時(shí)，x?e?1?xe．

證：當(dāng)x?0時(shí)，ex?1xx?e?1?xe?1??e xxx

ex?e0

?1??ex，（利用柯西中值定理）x?0

?1?e??ex，其中0???x．

原不等式成立．

例9 證明：當(dāng)0?x??

2時(shí)，sinx?tanx?2x．

證明：sinx?tanx?2x?sinx?tanx?2 x

?sinx?tanx?(sin0?tan0)?2 x?0

cos??sec2??2（柯西中值定理）?1

?cos??sec2??2，因?yàn)?/p>

cos??sec2???所以，原不等式成立．

中值定理是證明不等式時(shí)常用的一個(gè)非常有效的工具．我們習(xí)慣于構(gòu)造輔助函數(shù)，利用單調(diào)性來證明不等式．而函數(shù)的單調(diào)性還是通過拉格朗日中值定理進(jìn)行證明的．因此，利用單調(diào)性證明不等式的基礎(chǔ)還是微分中值定理．以上幾例體現(xiàn)了中值定理在證明不等式時(shí)的效果．

?2，

第五篇：數(shù)學(xué)歸納法中不等式類解法

數(shù)學(xué)歸納法中不等式類解法

數(shù)學(xué)歸納法的思想比較特殊，原理是用類似于“多骨諾米牌效應(yīng)”的方法，從n=1，n=2推到所可以達(dá)到的終點(diǎn)，從而推出式子的正確性。也正是如此，數(shù)學(xué)歸納法在遇到不等號(hào)且一邊為常數(shù)時(shí)使用k→k+1的推理便不適用了，因?yàn)閗成立已推不出k+1成立，原因是等號(hào)是精確值，而不等式是范圍。下面用題目體會(huì)一下。

證明：1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2（n為正整數(shù)）證明：1.當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1<2=右邊，明顯成立

2.假設(shè)當(dāng)n=k(k為正整數(shù))時(shí)，等式成立，有

1+1/4+1/9+……+1/（k*k）<2

(當(dāng)n=k+1時(shí)，注意到左邊加了一個(gè)大于0的數(shù)，但右邊沒有加，這是明顯證明不了的，這時(shí)方法就是在左邊減上一個(gè)含有n的數(shù)(對(duì)應(yīng)小于)，右邊數(shù)小了，若成立，即可推原式也成立。)

但是應(yīng)該加什么呢？其實(shí)加的關(guān)鍵就是加了之后把加的數(shù)移到左邊，式子變成單調(diào)遞 減的式子，關(guān)鍵之處需仔細(xì)體會(huì)。

重新證明: 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n 1.略

2.這時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)，n=k時(shí)把1/n移右為1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/n<2 n=k+1時(shí)為1+1/4+1/9+……+1/（n*n）+1/(n+1)(n+1)+1/(n+1)而1/n>[1/(n+1)(n+1)+1/n]，由此第二步證明成功。

由1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2-1/n即可得 1+1/4+1/9+……+1/（n*n）<2

得證。

本方法關(guān)鍵在于選擇加減的數(shù)，使其從k到k+1時(shí)數(shù)會(huì)反而變?。ㄐ∮冢?變大（大于），只要做多兩題，到時(shí)候自然解決。