第一篇：函數(shù)習題教案

習題講解課教案

一、教學目標

1、情感目標：明確問題所在，增強進步的信心；

2、知識目標：回顧函數(shù)相關知識，掌握類似題型的解題方法；

3、能力目標：提高分析題干信息、進行邏輯推理的能力，培養(yǎng)類似題型的解題思路。

二、教學重難點

重點：直線與x軸、y軸所圍成的三角形面積取值范圍的計算方法； 難點：“一帶一路”關系的成立條件。

三、教學方法

啟發(fā)誘導

四、教學過程

1、試題回放

若拋物線L：y=ax+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過y軸上的一點P，且拋物線L的頂點Q在直線l上，則稱此直線l與該拋物線L具有“一帶一路”關系．此時，直線l叫做拋物線L的“帶線”，拋物線L叫做直線l的“路線”．

（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關系，求m，n的值；（2）若某“路線”L的頂點在反比例函數(shù)y=的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4，求此“路線”L的解析式；

（3）當常數(shù)k滿足≤k≤2時，求拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍．

2、題干分析

“一帶一路”關系成立條件：

1)拋物線L為y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0），即a≠0，b≠0，c≠0 22)拋物線L與直線1都經(jīng)過y軸的一點P 3)拋物線L的頂點Q在直線1上

當三個條件成立時，則1是拋物線L的“帶線”，L是直線1的“路線”。

3、解題步驟

（1）若直線y=mx+1與拋物線y=x2﹣2x+n具有“一帶一路”關系，求m，n的值； 解析：

1)找出直線y=mx+1與y軸的交點坐標，此坐標即點P坐標，拋物線L經(jīng)過點P，因此，將點P坐標代入拋物線解析式中即可求出n的值；

2)再根據(jù)拋物線的解析式找出頂點Q坐標，直線1經(jīng)過點Q，因此，將點Q坐標代入直線解析式中即可得出m的值。解答：

解：令直線y=mx+1中x=0，則y=1，即直線與y軸的交點為點P（0，1）； 將P（0，1）代入拋物線y=x2﹣2x+n中，得n=1．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴拋物線的頂點坐標為Q（1，0）． 將點Q（1，0）代入到直線y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1． ∴m的值為﹣1，n的值為1．

（2）若某“路線”L的頂點在反比例函數(shù)y=的圖象上，它的“帶線”l的解析式為y=2x﹣4，求此“路線”L的解析式； 解析：

1)L的頂點Q在反比例函數(shù)y=的圖象上，且Q在直線1：y=2x-4上，所以點Q是反比例函數(shù)和直線1的交點；

2)根據(jù)反比例函數(shù)和直線1的解析式，求出兩者的交點坐標，即拋物線的頂點坐標，由此設出拋物線的解析式；

3)根據(jù)直線1的解析式找出直線1與x軸的交點坐標，即點P坐標，拋物線經(jīng)過點P，因此，將點P坐標代入拋物線解析式中即可得出結(jié)論。解答：

解：將y=2x﹣4代入到y(tǒng)=中有，2x﹣4=，即2x2﹣4x﹣6=0 2x2﹣4x﹣6=0(x+1)(x-3)=0 解得：x1=﹣1，x2=3．

將其代入y=2x﹣4，得出y1=-6，y2=2 ∴該“路線”L的頂點Q坐標為（﹣1，﹣6）或（3，2）． 令“帶線”l：y=2x﹣4中x=0，則y=﹣4，∴“路線”L的圖象過點P（0，﹣4）．

設該“路線”L的解析式為y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，由題意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，解得：m=2，n=﹣．

∴此“路線”L的解析式為y=2（x+1）2﹣6或y=﹣（x﹣3）2+2．

（3）當常數(shù)k滿足≤k≤2時，求拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”1與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍． 解析：

1)由拋物線解析式找出拋物線與y軸的交點坐標P； 2)再根據(jù)拋物線的解析式找出其頂點坐標Q；

3)由兩點坐標結(jié)合待定系數(shù)法即可得出與該拋物線對應的“帶線”1的解析式； 4)找出直線1與x、y軸的交點坐標，結(jié)合三角形的面積找出面積S關于k的關系上； 5)由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出三角形面積S的取值范圍。解答：

令拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，則y=k，即該拋物線與y軸的交點P為（0，k）． 拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的頂點Q坐標為（﹣，），設“帶線”l的解析式為y=px+k，∵點（﹣，）在y=px+k上，∴=﹣p+k，解得：p=．

∴“帶線”l的解析式為y=x+k．

令∴“帶線”l：y=x+k中y=0，則0=x+k，解得：x=﹣．

即“帶線”l與x軸的交點為（﹣，0），與y軸的交點為（0，k）．

∴“帶線”l與x軸，y軸所圍成的三角形面積S=|﹣∵≤k≤2，∴≤≤2，|×|k|．

∴S===

當=1時，S有最大值，最大值為； 當=2時，S有最小值，最小值為．

故拋物線L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“帶線”1與x軸，y軸所圍成的三角形面積的取值范圍為≤S≤．

4、試題總結(jié)

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題以及二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)“一帶一路”關系找出兩函數(shù)的交點坐標；（2）根據(jù)直線與反比例函數(shù)的交點設出拋物線的解析式；（3）找出“帶線”l與x軸、y軸的交點坐標。

本題屬于中檔題，前兩小問難度不大；第三問數(shù)據(jù)稍顯繁瑣，解決該問時，借用三角形的面積公式找出面積S與k之間的關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出S的取值范圍，在簡化公式和求值時要特別細心。

五、教學反思

第二篇：二次函數(shù)習題及答案

基礎達標驗收卷

一、選擇題:

1.(2003?大連)拋物線y=(x-2)2+3的對稱軸是（）.A.直線x=-3

B.直線x=3

C.直線x=-2

D.直線x=2

2.(2004?重慶)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,則點M(b,)在（）.A.第一象限;B.第二象限;C.第三象限;

D.第四象限

3.(2004?天津)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,則一定有（）.A.b2-4ac>0

B.b2-4ac=0

C.b2-4ac<0

D.b2-4ac≤0

4.(2003?杭州)把拋物線y=x2+bx+c的圖象向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是y=x2-3x+5,則有（）.A.b=3,c=7

B.b=-9,c=-15 C.b=3,c=3

D.b=-9,c=21 5.(2004?河北)在同一直角坐標系中,一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=ax2+c的圖象大致為（）.6.(2004?昆明)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的頂點P的橫坐標是4,?圖象交x軸于點A(m,0)和點B,且m>4,那么AB的長是（）.A.4+m

B.m

C.2m-8

D.8-2m

二、填空題

1.(2004?河北)若將二次函數(shù)y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式,則 y=_______.2.(2003?新疆)請你寫出函數(shù)y=(x+1)2與y=x2+1具有的一個共同性質(zhì)_______.3.(2003?天津)已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過點(1,4)和點(5,0),則該拋物線的解析式為_________.4.(2004?武漢)已知二次函數(shù)的圖象開口向下,且與y軸的正半軸相交,請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的解析式:_________.5.(2003?黑龍江)已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交點的橫坐標為-1,則a+c=_____.6.(2002?北京東城)有一個二次函數(shù)的圖象,三位學生分別說出了它的一些特點:

甲:對稱軸是直線x=4;

乙:與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù);

丙:與y軸交點的縱坐標也是整數(shù),且以這三個交點為頂點的三角形面積為3.請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式:

三、解答題

1.(2003?安徽)已知函數(shù)y=x2+bx-1的圖象經(jīng)過點(3,2).(1)求這個函數(shù)的解析式;

(2)畫出它的圖象,并指出圖象的頂點坐標;(3)當x>0時,求使y≥2的x取值范圍.2.(2004?濟南)已知拋物線y=-x2+(6-)x+m-3與x軸有A、B兩個交點,且A、B兩點關于y軸對稱.(1)求m的值;

(2)寫出拋物線解析式及頂點坐標;(3)根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系將此題的條件換一種說法寫出來.3.(2004?南昌)在平面直角坐標系中,給定以下五點A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2,),E(0,-6),從這五點中選取三點,使經(jīng)過這三點的拋物線滿足以平行于y?軸的直線為對稱軸.我們約定:把經(jīng)過三點A、E、B的拋物線表示為拋物線AEB(如圖所示).(1)問符號條件的拋物線還有哪幾條?不求解析式,?請用約定的方法一一表示出來;

(2)在(1)中是否存在這樣的一條拋物線,它與余下的兩點所確定的直線不相交?如果存在,試求出解析式及直線的解析式;如果不存在,請說明理由.能力提高練習

一、學科內(nèi)綜合題

1.(2003?新疆)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于B、C兩點,?與y軸交于A點.(1)根據(jù)圖象確定a、b、c的符號,并說明理由;(2)如果點A的坐標為(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,?求這個二次函數(shù)的解析式.二、實際應用題

2.(2004?河南)?某市近年來經(jīng)濟發(fā)展速度很快,?根據(jù)統(tǒng)計:?該市國內(nèi)生產(chǎn)總值1990年為8.6億元人民幣,1995年為10.4億元人民幣,2000年為12.9億元人民幣.經(jīng)論證,上述數(shù)據(jù)適合一個二次函數(shù)關系,請你根據(jù)這個函數(shù)關系,預測2005?年該市國內(nèi)生產(chǎn)總值將達到多少?

3.(2003?遼寧)某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,?公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程.下面的二次函數(shù)圖象(部分)?刻畫了該公司年初以來累積利潤s(萬元)與銷售時間t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和s與t之間的關系).根據(jù)圖象(圖)提供的信息,解答下列問題:

(1)由已知圖象上的三點坐標,求累積利潤s(萬元)與時間t(月)之間的函數(shù)關系式;(2)求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元;(3)求第8個月公司所獲利潤是多少萬元?

4.(2003?吉林)如圖,有一座拋物線形拱橋,在正常水位時水面AB?的寬為20m,如果水位上升3m時,水面CD的寬是10m.(1)建立如圖所示的直角坐標系,求此拋物線的解析式;(2)現(xiàn)有一輛載有救援物資的貨車從甲地出發(fā)需經(jīng)過此橋開往乙地,已知甲地距此橋280km(橋長忽略不計).貨車正以每小時40km的速度開往乙地,當行駛1小時時,?忽然接到緊急通知:前方連降暴雨,造成水位以每小時0.25m的速度持續(xù)上漲(貨車接到通知時水位在CD處,當水位達到橋拱最高點O時,禁止車輛通行),試問:如果貨車按原來速度行駛,能否完全通過此橋?若能,請說明理由;若不能,?要使貨車安全通過此橋,速度應超過每小時多少千米?

三、開放探索題 5.(2003?濟南)?某校研究性學習小組在研究有關二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時,發(fā)現(xiàn)了兩個重要的結(jié)論.一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0),當實數(shù)a變化時,它的頂點都在某條直線上;二是發(fā)現(xiàn)當實數(shù)a變化時,若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標減少 ,縱坐標增加 ,得到A點的坐標;若把頂點的橫坐標增加 ,縱坐標增加 ,得到B點的坐標,則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上.(1)請你協(xié)助探求出當實數(shù)a變化時,拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式;

(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點,你能找出它來嗎?并說明理由;

(3)在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下,運用“一般——特殊——一般”的思想,?你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立,請說明理由.6.(2004?重慶)如圖,在直角坐標系中,正方形ABCD的邊長為a,O為原點,?點B在x軸的負半軸上,點D在y軸的正半軸上.直線OE的解析式為y=2x,直線CF過x軸上一點C(-a,0)且與OE平行.現(xiàn)正方形以每秒 的速度勻速沿x軸正方向平行移動,?設運動時間為t秒,正方形被夾在直線OE和CF間的部分的面積為S.(1)當0≤t<4時,寫出S與t的函數(shù)關系;(2)當4≤t≤5時,寫出S與t的函數(shù)關系,在這個范圍內(nèi)S有無最大值?若有,?請求出最大值;若沒有,請說明理由.答案: 基礎達標驗收卷

一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C

二、1.(x-1)2+2

2.圖象都是拋物線或開口向上或都具有最低點(最小值)3.y=-x2+2x+

4.如y=-x2+1 5.1

6.y= x2-x+3或y=-x2+ x-3或y=-x2-x+1或y=-x2+ x-1

三、1.解:(1)∵函數(shù)y=x2+bx-1的圖象經(jīng)過點(3,2)，∴9+3b-1=2,解得b=-2.∴函數(shù)解析式為y=x2-2x-1.(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2.圖象略.圖象的頂點坐標為(1,-2).(3)當x=3時,y=2,根據(jù)圖象知,當x≥3時,y≥2.∴當x>0時,使y≥2的x的取值范圍是x≥3.2.(1)設A(x1,0)B(x2,0).∵A、B兩點關于y軸對稱.∴

∴

解得m=6.(2)求得y=-x2+3.頂點坐標是(0,3)

(3)方程-x2+(6-)x+m-3=0的兩根互為相反數(shù)(或兩根之和為零等).3.解:(1)符合條件的拋物線還有5條,分別如下:

①拋物線AEC;②拋物線CBE;③拋物線DEB;④拋物線DEC;⑤拋物線DBC.(2)在(1)中存在拋物線DBC,它與直線AE不相交.設拋物線DBC的解析式為y=ax2+bx+c.將D(-2,),B(1,0),C(4,0)三點坐標分別代入,得

解這個方程組,得a= ,b=-,c=1.∴拋物線DBC的解析式為y= x2-x+1.【另法:設拋物線為y=a(x-1)(x-4),代入D(-2,),得a= 也可.】

又將直線AE的解析式為y=mx+n.將A(-2,0),E(0,-6)兩點坐標分別代入,得

解這個方程組,得m=-3,n=-6.∴直線AE的解析式為y=-3x-6.能力提高練習

一、1.解:(1)∵拋物線開口向上,∴a>0.又∵對稱軸在y軸的左側(cè), ∴-<0,∴b>0.又∵拋物線交于y軸的負半軸.∴c<0.(2)如圖,連結(jié)AB、AC.∵在Rt△AOB中,∠ABO=45°, ∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0).又∵在Rt△ACO中,∠ACO=60°，∴OC=OA?cot60°= ,∴C(,0).設二次函數(shù)的解析式為

y=ax2+bx+c(a≠0).由題意

∴所求二次函數(shù)的解析式為y= x2+(-1)x-3.2.依題意,可以把三組數(shù)據(jù)看成三個點:

A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)

設y=ax2+bx+c.把A、B、C三點坐標代入上式,得

解得a=0.014,b=0.29,c=8.6.即所求二次函數(shù)為

y=0.014x2+0.29x+8.6.令x=15,代入二次函數(shù),得y=16.1.所以,2005年該市國內(nèi)生產(chǎn)總值將達到16.1億元人民幣.3.解:(1)設s與t的函數(shù)關系式為s=at2+bt+c 由題意得

或

解得

∴s= t2-2t.(2)把s=30代入s= t2-2t, 得30= t2-2t.解得t1=0,t2=-6(舍).答:截止到10月末公司累積利潤可達到30萬元.(3)把t=7代入,得s= ×72-2×7= =10.5;

把t=8代入,得s= ×82-2×8=16.16-10.5=5.5.答:第8個月公司獲利潤5.5萬元.4.解:(1)設拋物線的解析式為y=ax2,橋拱最高點O到水面CD的距離為hm，則D(5,-h),B(10,-h-3).∴

解得

拋物線的解析式為y=-x2.(2)水位由CD處漲到點O的時間為:1÷0.25=4(小時).貨車按原來速度行駛的路程為:40×1+40×4=200<280，∴貨車按原來速度行駛不能安全通過此橋.設貨車速度提高到xkm/h.當4x+40×1=280時,x=60.∴要使貨車完全通過此橋,貨車的速度應超過60km/h.5.略

6.解:(1)當0≤t<4時，如圖1,由圖可知OM= t,設經(jīng)過t秒后,正方形移動到ABMN，∵當t=4時,BB1=OM= ×4= a，∴點B1在C點左側(cè).∴夾在兩平行線間的部分是多邊形COQNG，其面積為:

平行四邊形COPG-△NPQ的面積.∵CO= a,OD=a，∴四邊形COPQ面積= a2.又∵點P的縱坐標為a,代入y=2x得P(,a),∴DP=.∴NP=t)2-(t-a)2 = a2-[(5-t)2+(t-4)2] = a2-(2t2-18t+41)= a2-[2?(t-)2+ ].∴當t= 時,S有最大值,S最大= a-? = a2.

第三篇：函數(shù)極限習題

習題1—2

1．確定下列函數(shù)的定義域：

（1）y?；

x?9（4）y?2．求函數(shù)

?1?siny??x??0

(x?0)(x?0)

（2）y?logaarcsinx；

（3）y?

； sin?x

1x?1

（5）y?arccos?loga(2x?3)；?loga(4?x2)

x?22的定義域和值域。

3．下列各題中，函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？

（1）f(x)?x,g(x)?x2；

（2）f(x)?cosx,g(x)?1?2sin2（4）f(x)?

x,g(x)?x0。x

?

2；

x2?1

（3）f(x)?,g(x)?x?1；

x?1

4．設f(x)?sinx證明：

f(x??x)?f(x)?2sin

?x

?x??

cos?x?? 22??

5．設f(x)?ax2?bx?5且f(x?1)?f(x)?8x?3，試確定a,b的值。

6．下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)？哪些是奇函數(shù)？哪些是既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？

1?x22223

（1）y?x(1?x)（2）y?3x?x；（3）y?；

1?xax?a?x

（4）y?x(x?1)(x?1)；（5）y?sinx?cosx?1（6）y?。

7．設f(x)為定義在(??,??)上的任意函數(shù)，證明：

（1）F1(x)?f(x)?f(?x)偶函數(shù)；（2）F2(x)?f(x)?f(?x)為奇函數(shù)。

8．證明：定義在(??,??)上的任意函數(shù)可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。9．設f(x)定義在(?L,L)上的奇函數(shù)，若f(x)在(0,L)上單增，證明：f(x)在(?L,0)上也單增。

10．下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期：（1）y?cos(x?2)（2）y?cos4x；（3）y?1?sin?x；（4）y?xcosx；（5）y?sin2x（6）y?sin3x?tanx。11．下列各組函數(shù)中哪些不能構成復合函數(shù)？把能構成復合函數(shù)的寫成復合函數(shù)，并指出其定義域。

（1）y?x3,x?sint

（2）y?au,u?x2；（3）y?logau,u?3x2?2；

（6）y?logau,u?x2?2。

（4）y?,u?sinx?2（5）y?,u?x3 12．下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復合而成的？（1）y?(1?x)2?1（3）y?sin2(3x?1)

（2）y?3(x?1)；（4）y?logacos2x。

2x

（3）y?x。

2?1

13．求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）y?2sinx；

（2）y?1?loga(x?2)；

14．已知函數(shù)f(x,y)?x2?y2?xytan

x，試求f(tx,ty)。y

15．已知函數(shù)f(u,v,w)?uw?wu?v。試求f(x?y,x?y,xy)。16．求下列各函數(shù)的定義域：

111??（1）u?； xyz（2）u?R2?x2?y2?z2?

x?y?z?r

(R?r?0)。

習題1—3

1．利用數(shù)列極限定義證明：如果limun?A，則lim|un|?|A|，并舉例說明反之不然。

n??

n??

習題1—4

?x2(x?1)1．設f(x)??

x?1(x?1)?

（1）作函數(shù)y?f(x)的圖形；（2）根據(jù)圖形求極限lim?f(x)與lim?f(x)；

x?1

x?1

（3）當x?1時，f(x)有極限嗎？ 2．求下列函數(shù)極限：

xx

（1）lim?；（2）lim?2；

x?0|x|x?0x?|x|3．下列極限是否存在？為什么？（1）limsinx；

x???

（3）lim?

x?0

x。

x2?|x|

（2）limarctanx；

x??

（3）limcos；

x?0x

（4）lim(1?e?x)；

x??

（5）lim

|x?1|；

x?1x?1

（6）lime?x。

x???

習題1—5

求下列極限

?111?2n??1

?????1．lim?； 2.； lim??????22?x???1?2x???n22?3n(n?1)nn???x2?2x?1

4．lim；

x?1x2?1

x2?5

3.lim； x?2x?3

(x?h)2?x2

5.lim；h?0h

6.lim

x?1x?1

x?1。

習題1—6

1．求下列極限：

sinax

（1）lim(b?0)；

x?0sinbx2x?tanx

（4）lim；

x?0sinx

（2）lim

tanx?sinx；

x?0x3

（3）lim

1?cosx；

x?0xsinx

2??； x?

x

arcsinx

（5）lim；

x?0x

?

（6）lim?1?

x???

?1?

（7）lim?1??；

t???t?

x

t

?1?

（8）lim?1??

x???x?

x?3；

x2?1

（9）lim(1?tanx)cotx；

x?0

?x?a?

（10）lim??；

x???x?a?

?x2?2?

?（11）lim?

x???x2?1???

1??

；（12）lim?1??。

x???n?

n

2．利用極限存在準則證明：

11??1

（1）limn?2?2???2??1；

x???n??n?2?n?n??（2）數(shù)列,2?2,2?2?2，?的極限存在；（3）lim

x2?1

?1。x?1

x???

習題1—7

1．當n無限增加時，下列整標函數(shù)哪些是無窮小？

(?1)n12n?11?cosn?

（1）2；（2）；（3）；（4）。

n?1nnn

2．已知函數(shù)

xsinx,2，ln(1?x),ex,e?x

xx

（1）當x?0時，上述各函數(shù)中哪些是無窮小？哪些是無窮大？（2）當x???時，上述各函數(shù)中哪些是無窮??？哪些是無窮大？

（3）“是無窮小”，這種說法確切嗎？

x

3．函數(shù)y?xcosx在(??,??)是是否有界？又當x???地，這個函數(shù)是否為無窮大？為什么？

4．求下列極限

n2?n1?a?a2???an!000n

（1）lim2；（2）lim；（3）lim ；(|a|?1,|b|?1)

x??n?2x??1?b?b2???bnx??n?1

4x2?1(?2)n?2nx3

（4）lim；（5）lim；（6）lim2；

16x?5x?1x??(?2)?3x??1x?1x?

5．求下列極限：

sinx??

（1）lim?ex??；

x????x?

（2）limx?cos；

x?0x

（3）lim

?

n

n??

sinn?；

e?xarctanx

（4）lim；（5）lim；（6）lime?xarctanx。

x???x??arctanxx??x

6．下列各題的做法是否正確？為什么？

（1）lim

x?9x?9

???

x?9x?9lim(x?9)

x?9

lim(x2?9)

1111

?2)?lim?lim2?????0

x?1x?1x?1x?1x?1x?1x?1

cosx1

（3）lim?limcosx?lim?0。

x??xx??x??x

7．證明：當x?0時，arcsinx~x，arctanx~x。8．利用等價無窮小的性質(zhì)，求下極限：

（2）lim（sin2xsin2x

；（2）lim；

x?0sin3xx?0arctanx

sinxnx

（3）lim（為正整數(shù)）；（4）。limm,n

x?0(sinx)mx?0??cosx

（1）lim

9．當x?1時，x3?3x?2是x?1是多少階無窮小？

x?11

10．當x???時，4是是多少階無窮??？

x?1x111

11．當x??時，sin是是多少階無窮??？

xxx

習題1—8

1．研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形： x

（1）f(x)?；

x

?x2(0?x?1)

（2）f(x)??；

?2?x(1?x?2)

?x2(|x|?1)?|x|(x?0)

（3）f(x)??；（4）?(x)??。

1(x?0)x(|x|?1)??

2．指出下列函數(shù)的間斷點，說明這些間斷點屬于哪一類？如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。

x2?1n21（1）y?2；（2）y?；（3）y?cos。

tanxxx?3x?2

?ex(0?x?1)

3．a(chǎn)為何值時函數(shù)f(x)??在[0，2]上連續(xù)？

?a?x(1?x?2)1?x2n

x的連續(xù)性，若有間斷點，判斷共類型。4．討論函數(shù)f(x)?lim

n??1?x2n

5．函數(shù)z?

y2?2xy2?2x

在何上是間斷的？

習題1—9

1．設f(x)連續(xù)，證明|f(x)|也是連續(xù)的。

2．若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且在[a,b]上f(x)恒為正，證明：續(xù)。

3．求下列極限：

（1）lim

x?0

在[a,b]上跡連f(x)

(sin2x)3；（3）limx2?2x?5；（2）lim?

x?

sin5x?sin3x；

x?0sinx

（6）lim

ax?absinx?sina

(a?0)；（4）lim；（5）lim

x?bx?ax?bx?a

sinx

（7）lim2；（8）limthx；

x???x?0x?x

ln(1?3x)；

x?0x

（9）lim(x?2x?1)；

x???

（10）lim?

x?2

x?2?x?2；

x?4

ln(a?x)?lna

（12）lim。

x?0x

（11）lim

x?x?x

x?1

x???

習題1—10

1．證明：方程x?3x?1在區(qū)間（1，2）上至少有一個根。

x1,x2,?,xn是[a，2．設f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，b]內(nèi)的n個點，證明：???[a,b]，使得

f(?)?

f(x1)?f(x2)???f(xn)

n

附件習題

1．用數(shù)列極限的定義證明：

(?1)n?11

（1）lim（2）lim(1?n)?1； ?0；

n??n??n10（4）lim

n2

n

（3）lim

3n2n2?4

n??

?3；

n??9n?73

2．用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列{(?1)n}發(fā)散。

n??

n??

?0；（5）lim

2n?1

?0；

（6）limqn?0(|q|?1)。

n??

3．設a?0，用數(shù)列極限的定義證明極限lima?1。

4．用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的夾逼準則。

5．下述幾種說法與數(shù)列{un}極限是A的定義是否等價，并說明理由。

（1）對于任意給定的??0，存在正整數(shù)N，使得當n?N時，有|un?A|??；（2）存在正整數(shù)N，對任意給定的??0，使得當n?N時，有|un?A|??；（3）對于任意給定??0，存在實數(shù)M，使得當n?M時，有|un?A|??；（4）對于0???1，存在正整數(shù)N，使得當n?N時，有|un?A|??；

（5）對于任意給定的??0，有正整數(shù)N使得當n?N時，有|un?A|?K??，其中K是與?無關的常數(shù)；

（6）對于任意給定的正整數(shù)m，都有正整數(shù)N，使得當n?N時，有|un?A|?。

m

習題18—2

2x?12

（1）lim?；

x??3x?13

x2?1x?1

（2）lim

x??

?1；（3）limx?a(a?0)；

x?a

x4?1

（4）limcosx?cos?；（5）lim（6）limex?0。?4；

x???x??x?1x?1

3．用函數(shù)極限的定義證明下列命題：

（1）如果limf(x)?A,limg(x)?B，則lim[f(x)?g(x)]?A?B；

x?x0

x?x0

x?x0

（2）如果limf(x)?A,limg(x)?B,(B?0)，則

x??

x??

x??

lim

f(x)A

?。g(x)B

4．用Hine定理證明函數(shù)極限的四則運算法則。5．證明極限limxsinx不存在。

x???

6．若f(x)在[a,??)上連續(xù)，且limf(x)存在，證明：f(x)在[a,??)上有界。

x???

7．設f(x)在(a,b)上連續(xù)，又lim?f(x)?A,lim?f(x)?B，且A?B，則???(A,B)，x?a

x?b

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

8．設f(x)在[a,b]上連續(xù)，如果xn?[a,b]，數(shù)列{xn}收斂，且limf(xn)??，證明：

x???

?x0?(a,b)，使得f(x0)??。

第四篇：函數(shù)極限與連續(xù)習題(含答案)

1、已知四個命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點連續(xù)，則f(x)在x?x0點必有極限 f(x)在x?x0點有極限，則f(x)在x0點必連續(xù) f(x)在x?x0點無極限，則f(x)在x?x0點一定不連續(xù)f(x)在x?x0點不連續(xù)，則f(x)在x?x0點一定無極限。其中正確的命題個數(shù)是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續(xù)的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數(shù)值，它在這點連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）

第五篇：復變函數(shù)課后習題答案

習題一答案

1．求下列復數(shù)的實部、虛部、模、幅角主值及共軛復數(shù)：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1），因此：，（2），因此，（3），因此，（4）

因此，2．

將下列復數(shù)化為三角表達式和指數(shù)表達式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

3．求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

4．設試用三角形式表示與

解：，所以，5．

解下列方程：

（1）

（2）

解：（1）

由此，（2），當時，對應的4個根分別為：

6．證明下列各題：（1）設則

證明：首先，顯然有；

其次，因

固此有

從而。

（2）對任意復數(shù)有

證明：驗證即可，首先左端，而右端，由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若是實系數(shù)代數(shù)方程的一個根，那么也是它的一個根。

證明：方程兩端取共軛，注意到系數(shù)皆為實數(shù)，并且根據(jù)復數(shù)的乘法運算規(guī)則，由此得到：

由此說明：若為實系數(shù)代數(shù)方程的一個根，則也是。結(jié)論得證。

（4）若則皆有

證明：根據(jù)已知條件，有，因此：，證畢。

（5）若，則有

證明：，因為，所以，因而，即，結(jié)論得證。

7．設試寫出使達到最大的的表達式，其中為正整數(shù)，為復數(shù)。

解：首先，由復數(shù)的三角不等式有，在上面兩個不等式都取等號時達到最大，為此，需要取與同向且，即應為的單位化向量，由此，8．試用來表述使這三個點共線的條件。

解：要使三點共線，那么用向量表示時，與應平行，因而二者應同向或反向，即幅角應相差或的整數(shù)倍，再由復數(shù)的除法運算規(guī)則知應為或的整數(shù)倍，至此得到：

三個點共線的條件是為實數(shù)。

9．寫出過兩點的直線的復參數(shù)方程。

解：過兩點的直線的實參數(shù)方程為：，因而，復參數(shù)方程為：

其中為實參數(shù)。

10．下列參數(shù)方程表示什么曲線？（其中為實參數(shù)）

（1）

（2）

（3）

解：只需化為實參數(shù)方程即可。

（1），因而表示直線

（2），因而表示橢圓

（3），因而表示雙曲線

11．證明復平面上的圓周方程可表示為，其中為復常數(shù)，為實常數(shù)

證明：圓周的實方程可表示為：，代入，并注意到，由此，整理，得

記，則，由此得到，結(jié)論得證。

12．證明：幅角主值函數(shù)在原點及負實軸上不連續(xù)。

證明：首先，在原點無定義，因而不連續(xù)。

對于，由的定義不難看出，當由實軸上方趨于時，而當由實軸下方趨于時，由此說明不存在，因而在點不連續(xù)，即在負實軸上不連續(xù)，結(jié)論得證。

13．函數(shù)把平面上的曲線和分別映成平面中的什么曲線？

解：對于，其方程可表示為，代入映射函數(shù)中，得，因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得

即表示一個圓周。

對于，其方程可表示為

代入映射函數(shù)中，得

因而映成的像曲線的方程為，消去參數(shù)，得，表示一半徑為的圓周。

14．指出下列各題中點的軌跡或所表示的點集，并做圖：

解：（1），說明動點到的距離為一常數(shù)，因而表示圓心為，半徑為的圓周。

（2）是由到的距離大于或等于的點構成的集合，即圓心為半徑為的圓周及圓周外部的點集。

（3）說明動點到兩個固定點1和3的距離之和為一常數(shù)，因而表示一個橢圓。代入化為實方程得

（4）說明動點到和的距離相等，因而是和連線的垂直平分線，即軸。

（5），幅角為一常數(shù)，因而表示以為頂點的與軸正向夾角為的射線。

15．做出下列不等式所確定的區(qū)域的圖形，并指出是有界還是無界，單連通還是多連通。

（1），以原點為心，內(nèi)、外圓半徑分別為2、3的圓環(huán)區(qū)域，有界，多連通

（2），頂點在原點，兩條邊的傾角分別為的角形區(qū)域，無界，單連通

（3），顯然，并且原不等式等價于，說明到3的距離比到2的距離大，因此原不等式表示2與3

連線的垂直平分線即2.5左邊部分除掉2后的點構成的集合，是一無界，多連通區(qū)域。

（4），顯然該區(qū)域的邊界為雙曲線，化為實方程為，再注意到到2與到2的距離之差大于1，因而不等式表示的應為上述雙曲線左邊一支的左側(cè)部分，是一無界單連通區(qū)域。

（5），代入，化為實不等式，得

所以表示圓心為半徑為的圓周外部，是一無界多連通區(qū)域。

習題二答案

1．指出下列函數(shù)的解析區(qū)域和奇點，并求出可導點的導數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)函數(shù)的可導性法則（可導函數(shù)的和、差、積、商仍為可導函數(shù)，商時分母不為0），根據(jù)和、差、積、商的導數(shù)公式及復合函數(shù)導數(shù)公式，再注意到區(qū)域上可導一定解析，由此得到：

（1）處處解析，（2）處處解析，（3）的奇點為，即，（4）的奇點為，2．

判別下列函數(shù)在何處可導，何處解析，并求出可導點的導數(shù)。

（1）

（2）

（3）

（4）

解：根據(jù)柯西—黎曼定理：

（1），四個一階偏導數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在點可導，函數(shù)處處不解析。

（2），四個一階偏導數(shù)皆連續(xù)，因而處處可微，再由柯西—黎曼方程

解得：，因此，函數(shù)在直線上可導，因可導點集為直線，構不成區(qū)域，因而函數(shù)處處不解析。

（3），四個一階偏導數(shù)皆連續(xù)，因而

處處可微，并且

處處滿足柯西—黎曼方程

因此，函數(shù)處處可導，處處解析，且導數(shù)為

（4），，因函數(shù)的定義域為，故此，處處不滿足柯西—黎曼方程，因而函數(shù)處處不可導，處處不解析。

3．當取何值時在復平面上處處解析？

解：，由柯西—黎曼方程得：

由（1）得，由（2）得，因而，最終有

4．證明：若解析，則有

證明：由柯西—黎曼方程知，左端

右端，證畢。

5．證明：若在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，則在D內(nèi)一定為常數(shù)。

（1）在D內(nèi)解析，（2）在D內(nèi)為常數(shù)，（3）在D內(nèi)為常數(shù)，（4）

（5）

證明：關鍵證明的一階偏導數(shù)皆為0！

（1），因其解析，故此由柯西—黎曼方程得

------------------------（1）

而由的解析性，又有

------------------------（2）

由（1）、（2）知，因此即

為常數(shù)

（2）設，那么由柯西—黎曼方程得，說明與無關，因而，從而為常數(shù)。

（3）由已知，為常數(shù)，等式兩端分別對求偏導數(shù)，得

----------------------------（1）

因解析，所以又有

-------------------------（2）

求解方程組（1）、（2），得，說明

皆與無關，因而為常數(shù)，從而也為常數(shù)。

（4）同理，兩端分別對求偏導數(shù)，得

再聯(lián)立柯西—黎曼方程，仍有

（5）同前面一樣，兩端分別對求偏導數(shù)，得

考慮到柯西—黎曼方程，仍有，證畢。

6．計算下列各值（若是對數(shù)還需求出主值）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：（1）

（2），為任意整數(shù)，主值為：

（3），為任意整數(shù)

主值為：

（4）

（5），為任意整數(shù)

（6），當分別取0，1，2時得到3個值：，7．

求和

解：，因此根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，有，（為任意整數(shù)）

8．設，求

解：，因此

9．解下列方程：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）方程兩端取對數(shù)得：

（為任意整數(shù)）

（2）根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關系，應有

（3）由三角函數(shù)公式（同實三角函數(shù)一樣），方程可變形為

因此

即，為任意整數(shù)

（4）由雙曲函數(shù)的定義得，解得，即，所以，為任意整數(shù)

10．證明羅比塔法則：若及在點解析，且，則，并由此求極限

證明：由商的極限運算法則及導數(shù)定義知，由此，11．

用對數(shù)計算公式直接驗證：

（1）

（2）

解：記，則

（1）左端，右端，其中的為任意整數(shù)。

顯然，左端所包含的元素比右端的要多（如左端在時的值為，而右端卻取不到這一值），因此兩端不相等。

（2）左端

右端

其中為任意整數(shù)，而

不難看出，對于左端任意的，右端取或時與其對應；反之，對于右端任意的，當為偶數(shù)時，左端可取于其對應，而當為奇數(shù)時，左端可取于其對應。綜上所述，左右兩個集合中的元素相互對應，即二者相等。

12．證明

證明：首先有，因此，第一式子證畢。

同理可證第二式子也成立。

13．證明

（即）

證明：首先，右端不等式得到證明。

其次，由復數(shù)的三角不等式又有，根據(jù)高等數(shù)學中的單調(diào)性方法可以證明時，因此接著上面的證明，有，左端不等式得到證明。

14．設，證明

證明：由復數(shù)的三角不等式，有，由已知，再主要到時單調(diào)增加，因此有，同理，證畢。

15．已知平面流場的復勢為

（1）

（2）

（3）

試求流動的速度及流線和等勢線方程。

解：只需注意，若記，則

流場的流速為，流線為，等勢線為，因此，有

（1）

流速為，流線為，等勢線為

（2）

流速為，流線為，等勢線為

（3）

流速為，流線為，等勢線為

習題三答案

1．計算積分，其中為從原點到的直線段

解：積分曲線的方程為，即，代入原積分表達式中，得

2．計算積分，其中為

（1）從0到1再到的折線

（2）從0到的直線

解：（1）從0到1的線段方程為：，從1到的線段方程為：，代入積分表達式中，得；

（2）從0到的直線段的方程為，代入積分表達式中，得，對上述積分應用分步積分法，得

3．積分，其中為

（1）沿從0到

（2）沿從0到

解：（1）積分曲線的方程為，代入原積分表達式中，得

（2）積分曲線的方程為，代入積分表達式中，得

4．計算積分，其中為

（1）從1到+1的直線段

（2）從1到+1的圓心在原點的上半圓周解：（1）的方程為，代入，得

（2）的方程為，代入，得

5．估計積分的模,其中為+1到-1的圓心在原點的上半圓周。

解：在上，=1，因而由積分估計式得的弧長

6．用積分估計式證明：若在整個復平面上有界，則正整數(shù)時

其中為圓心在原點半徑為的正向圓周。

證明：記，則由積分估計式得，因，因此上式兩端令取極限，由夾比定理，得，證畢。

7．通過分析被積函數(shù)的奇點分布情況說明下列積分為0的原因，其中積分曲線皆為。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：各積分的被積函數(shù)的奇點為：（1），（2）

即，（3）

（4）為任意整數(shù)，（5）被積函數(shù)處處解析，無奇點

不難看出，上述奇點的模皆大于1，即皆在積分曲線之外，從而在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)解析，因此根據(jù)柯西基本定理，以上積分值都為0。

8．計算下列積分：

（1）

（2）

（3）

解：以上積分皆與路徑無關，因此用求原函數(shù)的方法：

（1）

（2）

（3）

9．計算，其中為不經(jīng)過的任一簡單正向閉曲線。

解：被積函數(shù)的奇點為，根據(jù)其與的位置分四種情況討論：

（1）皆在外，則在內(nèi)被積函數(shù)解析，因而由柯西基本定理

（2）在內(nèi)，在外，則在內(nèi)解析，因而由柯西積分

公式：

（3）同理，當在內(nèi)，在外時，（4）皆在內(nèi)

此時，在內(nèi)圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復合閉路原理得：

注：此題若分解，則更簡單！

10．計算下列各積分

解：（1），由柯西積分公式

（2），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點，故此同上題一樣：

（3）

在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復合閉路原理得：

（4），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)只有一個奇點1，故此

（5），在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個奇點，圍繞分別做兩條相互外離的小閉合曲線，則由復合閉路原理得：

（6）為正整數(shù)，由高階導數(shù)公式

11．計算積分，其中為

（1）

（2）

（3）

解：（1）由柯西積分公式

（2）同理，由高階導數(shù)公式

（3）由復合閉路原理，其中，為內(nèi)分別圍繞0，1且相互外離的小閉合曲線。

12．積分的值是什么？并由此證明

解：首先，由柯西基本定理，因為被積函數(shù)的奇點在積分曲線外。

其次，令，代入上述積分中，得

考察上述積分的被積函數(shù)的虛部，便得到，再由的周期性，得

即，證畢。

13．設都在簡單閉曲線上及內(nèi)解析，且在上，證明在內(nèi)也有。

證明：由柯西積分公式，對于內(nèi)任意點，由已知，在積分曲線上，故此有

再由的任意性知，在內(nèi)恒有，證畢。

14．設在單連通區(qū)域內(nèi)解析，且，證明

（1）

在內(nèi)；

（2）

對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有

證明：（1）顯然，因為若在某點處則由已知，矛盾！

（也可直接證明：，因此，即，說明）

（3）

既然，再注意到解析，也解析，因此由函數(shù)的解析性法則知也在區(qū)域內(nèi)解析，這樣，根據(jù)柯西基本定理，對于內(nèi)任一簡單閉曲線，皆有，證畢。

15．求雙曲線

（為常數(shù)）的正交（即垂直）曲線族。

解：為調(diào)和函數(shù)，因此只需求出其共軛調(diào)和函數(shù)，則

便是所要求的曲線族。為此，由柯西—黎曼方程，因此，再由

知，即為常數(shù)，因此，從而所求的正交曲線族為

（注：實際上，本題的答案也可觀察出，因極易想到

解析）

16．設，求的值使得為調(diào)和函數(shù)。

解：由調(diào)和函數(shù)的定義，因此要使為某個區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，即在某區(qū)域內(nèi)上述等式成立，必須，即。

17．已知，試確定解析函數(shù)

解：首先，等式兩端分別對求偏導數(shù)，得

----------------------------------（1）

-------------------------------（2）

再聯(lián)立上柯西—黎曼方程

------------------------------------------------------（3）

----------------------------------------------------（4）

從上述方程組中解出，得

這樣，對積分，得再代入中，得

至此得到：由二者之和又可解出，因此，其中為任意實常數(shù)。

注：此題還有一種方法：由定理知

由此也可很方便的求出。

18．由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù)

解：（1），由柯西—黎曼方程，對積分，得，再由得，因此，所以，因，說明時，由此求出，至此得到：，整理后可得：

（2），此類問題，除了上題采用的方法外，也可這樣：，所以，其中為復常數(shù)。代入得，故此

（3）

同上題一樣，因此，其中的為對數(shù)主值，為任意實常數(shù)。

（4），對積分，得

再由得，所以為常數(shù)，由知，時，由此確定出，至此得到：，整理后可得

19．設在上解析，且，證明

證明：由高階導數(shù)公式及積分估計式，得，證畢。

20．若在閉圓盤上解析，且，試證明柯西不等式，并由此證明劉維爾定理：在整個復平面上有界且處處解析的函數(shù)一定為常數(shù)。

證明：由高階導數(shù)公式及積分估計式，得，柯西不等式證畢；下證劉維爾定理：

因為函數(shù)有界，不妨設，那么由柯西不等式，對任意都有，又因處處解析，因此可任意大，這樣，令，得，從而，即，再由的任意性知，因而為常數(shù)，證畢。

習題四答案

1．考察下列數(shù)列是否收斂，如果收斂，求出其極限．

（1）

解：因為不存在，所以不存在，由定理4.1知，數(shù)列不收斂．

（2）

解：，其中，則

．

因為，所以

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（3）

解：因為，所以

由定義4.1知，數(shù)列收斂，極限為0．

（4）

解：設，則，因為，都不存在，所以不存在，由定理4.1知，數(shù)列不收斂．

2．下列級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂?

(1)

解：，由正項級數(shù)的比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．

(2)

解：，因為是交錯級數(shù)，根據(jù)交錯級數(shù)的萊布尼茲審斂法知該級數(shù)收斂，同樣可知，也收斂，故級數(shù)是收斂的．

又，因為發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，從而級數(shù)條件收斂．

(3)

解：，因級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散．

(4)

解：，由正項正項級數(shù)比值判別法知該級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂，且為絕對收斂．

3．試確定下列冪級數(shù)的收斂半徑．

(1)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(2)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(3)

解：，故此冪級數(shù)的收斂半徑．

(4)

解：令，則，故冪級數(shù)的收斂域為，即，從而冪級數(shù)的收斂域為，收斂半徑為．

4．設級數(shù)收斂，而發(fā)散，證明的收斂半徑為．

證明：在點處，因為收斂，所以收斂，故由阿貝爾定理知，時，收斂，且為絕對收斂，即收斂．

時，因為發(fā)散，根據(jù)正項級數(shù)的比較準則可知，發(fā)散，從而的收斂半徑為1，由定理4.6，的收斂半徑也為1．

5．如果級數(shù)在它的收斂圓的圓周上一點處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收斂．

證明：時，由阿貝爾定理，絕對收斂．

時，由已知條件知，收斂，即收斂，亦即絕對收斂．

6．將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域．

（1）

解：由于函數(shù)的奇點為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．根據(jù)例4.2的結(jié)果，可以得到

．

將上式兩邊逐項求導，即得所要求的展開式

=．

（2）

解：①時，由于函數(shù)的奇點為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．

===．

②時，由于函數(shù)的奇點為，因此它在內(nèi)處處解析，可以在此圓內(nèi)展開成的冪級數(shù)．

=

=．

（3）

解：由于函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

．

（4）

解：由于函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

（5）

解：由于函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

=．

（6）

解：由于函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析，所以它在整個復平面內(nèi)可以展開成的冪級數(shù)．

=

==．

7．求下列函數(shù)展開在指定點處的泰勒展式，并寫出展式成立的區(qū)域．

（1）

解：，．

由于函數(shù)的奇點為，所以這兩個展開式在內(nèi)處處成立．所以有：

．

（2）

解：由于

所以．

（3）

解：

=．

展開式成立的區(qū)域：，即

（4）

解：，，……，，……，故有

因為的奇點為，所以這個等式在的范圍內(nèi)處處成立。

8．將下列函數(shù)在指定的圓域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．

(1)

解：，故有

(2)

解：

①在內(nèi)

②在內(nèi)

(3)

解：①在內(nèi)，②在內(nèi)

(4)

解：在內(nèi)

(5)

解：

在內(nèi)

故有

9．將在的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)．

解：因為函數(shù)的奇點為，所以它以點為心的去心鄰域是圓環(huán)域．在內(nèi)

又

故有

10．函數(shù)能否在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)？為什么？

答：不能。函數(shù)的奇點為,，所以對于，內(nèi)都有的奇點，即以為環(huán)心的處處解析的圓環(huán)域不存在，所以函數(shù)不能在圓環(huán)域內(nèi)展開為洛朗級數(shù)．

習題五答案

1．求下列各函數(shù)的孤立奇點，說明其類型，如果是極點，指出它的級．

（1）

解：函數(shù)的孤立奇點是，因

由性質(zhì)5.2知，是函數(shù)的1級極點，均是函數(shù)的2級極點．

（2）

解：函數(shù)的孤立奇點是，因，由極點定義知，是函數(shù)的2級極點．

（3）

解：函數(shù)的孤立奇點是，因，由性質(zhì)5.1知，是函數(shù)可去奇點．

（4）

解：函數(shù)的孤立奇點是,①，即時，因

所以是的3級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的3級極點

②，時，令，因，由定義5.2知，是的1級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點

（5）

解：函數(shù)的孤立奇點是,令，①

時，，由定義5.2知，是的2級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的2級極點，故是的2級極點．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的1級極點，故是的１級極點．

（６）

解：函數(shù)的孤立奇點是，令，①

時，因，所以是的2級零點，從而它是的2級極點．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點，由性質(zhì)5.5知，它是的１級極點．

2．指出下列各函數(shù)的所有零點，并說明其級數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的零點是，記，①

時，因，故是的2級零點．

②時，，由定義5.2知，是的1級零點．

（2）

解：函數(shù)的零點是，因，所以由性質(zhì)5.4知，是的2級零點．

（3）

解：函數(shù)的零點是，，記，①

時，是的1級零點，的1級零點，的2級零點，所以是的4級零點．

②，時，，由定義5.2知，是的1級零點．

③，時，，由定義5.2知，是的1級零點．

3．是函數(shù)的幾級極點？

答：記，則，，，將代入，得：，由定義5.2知，是函數(shù)的5級零點，故是的10級極點．

4．證明：如果是的級零點，那么是的級零點．

證明：因為是的級零點，所以，即，由定義5.2知，是的級零點．

5．求下列函數(shù)在有限孤立奇點處的留數(shù)．

（1）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，且均是其1級極點．由定理5.2知，．

（2）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，且是函數(shù)的3級極點，由定理5.2，．

（3）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，因

所以由定義5.5知，．

（4）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，因

所以由定義5.5知，．

（5）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是，因

所以由定義5.5知，．

（6）

解：函數(shù)的有限孤立奇點是．

①，即，因為

所以是的2級極點．由定理5.2，．

②時，記，則，因為，所以由定義5.2知，是的1級零點，故它是的1級極點．由定理5.3，．

6．利用留數(shù)計算下列積分（積分曲線均取正向）．

（1）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，且為2級極點，由定理5.2，由定理5.1知，．

（2）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，且為1級極點，所以由定理5.1及定理5.2，．

（3）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，因為，所以由性質(zhì)5.1知是函數(shù)的可去奇點，從而由定理5.1，由定理5.1，．

（4）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，且為2級極點，由定理5.2，由定理5.1，．

（5）

解：是被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點，由性質(zhì)5.6知是函數(shù)的1級極點，由定理5.1，．

（6）

解：被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的有限孤立奇點為：，由定理5.3，這些點均為的1級極點，且

由定理5.1，．

7．計算積分，其中為正整數(shù)，．

解：記，則的有限孤立奇點為，且為級極點，分情況討論如下：

①時，均在積分區(qū)域內(nèi)，由定理5.1，故有．

②時，均不在積分區(qū)域內(nèi)，所以．

③時，在積分區(qū)域內(nèi)，不在積分區(qū)域內(nèi)，所以

習題五

8．判斷是下列各函數(shù)的什么奇點？求出在的留數(shù)。

解：（1）因為

所以，是的可去奇點，且。

（2）因為

所以

于是，是的本性奇點，且。

（3）因為

所以

容易看出，展式中由無窮多的正冪項，所以是的本性奇點。

（4）因為

所以是的可去奇點。

9．計算下列積分：

解：（1）

（2）

從上式可知，所以。

10．求下列各積分之值：

（1）解：設則。于是

（2）解：設則。于是

（3）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實軸上沒有奇點，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有一個奇點，且為2級極點。于是

（4）解：

顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次，且在實軸上沒有奇點，積分是存在的。在上半平面內(nèi)只有和二個奇點，且都為1

級極點。于是

所以

（5）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實軸上沒有奇點，在上半平面內(nèi)只有一個奇點，且為1

級極點。于是

（6）解：顯然，滿足分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次，且在實軸上沒有奇點，在上半平面內(nèi)只有一個奇點，且為1

級極點。于是

11．利用對數(shù)留數(shù)計算下列積分：

解：（1），這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

（2）

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)；為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

(3)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

(4)

這里為函數(shù)在內(nèi)的零點數(shù)，為在內(nèi)的極點數(shù)。

12．證明方程有三個根在環(huán)域內(nèi)

證明：令。因為當時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。

又當時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。

綜合上述得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。

13．討論方程在與內(nèi)各有幾個根。

解：令。因為當時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即1個。

又當時，有

所以，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即4個。

根據(jù)上述還可以得到，在環(huán)域內(nèi)有3個根。

14．當時，證明方程與在單位圓內(nèi)有n個根。

證明：令。因為當時，有

所以，當時，方程與在內(nèi)根的數(shù)目相同，即n個。

習題七答案

1．試證：若滿足傅氏積分定理的條件，則有

證明：根據(jù)付氏積分公式，有

2．求下列函數(shù)的傅氏變換：

（1）

（2）

（3）

（4）

解：（1）

f(t)

(2)

(3)

(4)

由于

所以

3．求下列函數(shù)的傅氏變換，并推證所列的積分等式。

(1)

證明

(2)

證明。

解：(1)

由傅氏積分公式，當時

所以，根據(jù)傅氏積分定理

(2)

由傅氏積分公式

所以，根據(jù)傅氏積分定理

5．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）

(2)

(3)

由于

所以

(4)

由于

所以

6．證明：若其中為一實函數(shù)，則

其中為的共軛函數(shù)。

證明：由于

所以

于是有

7．若，證明（翻轉(zhuǎn)性質(zhì)）。

證明：由于

所以

對上述積分作變換，則

8．證明下列各式：

(1)

（為常數(shù)）；

(2)

證明：（1）

（2）

9．計算下列函數(shù)和的卷積：

(1)

(2)

(2)

(2)

解:

(1)

顯然，有

當時，由于=0，所以；

當時，（2）顯然，有

所以，當

或

或

時，皆有=0。于是

當時，；

當時，；

當時。

又

所以

從而

當時，當時，總結(jié)上述，得。

10．求下列函數(shù)的傅氏變換：

(1)

(2)

(3)

(4)

解：（1）由于

根據(jù)位移性質(zhì)

（2）

（3）根據(jù)位移性質(zhì)

再根據(jù)像函數(shù)的位移性質(zhì)

（4）由于

根據(jù)微分性質(zhì)

再根據(jù)位移性質(zhì)。

習題八

1．求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的定義知：

(2)

解：由拉氏變換的定義以及單位脈動函數(shù)的篩選性質(zhì)知：

2.求下列函數(shù)的拉氏變換：

(1)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)知：

(2)

解：由拉氏變換的線性性質(zhì)和位移性質(zhì)知：

(3)

解：法一：利用位移性質(zhì)。

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

法二：利用微分性質(zhì)。

令

則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

即

(4)

解：因為

故由拉氏變換的位移性知：

(5)

解：

故

(6)

解：因為

即：

故

(7)

解：

法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

法二：利用微分性質(zhì)。

令則

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：

又因為

所以

(8)

解：法一：利用拉氏變換的位移性質(zhì)。

因為

故

法二：利用微分性質(zhì)。

令，則

故

由拉氏變換的微分性質(zhì)知：.故

3.利用拉氏變換的性質(zhì)計算下列各式：

(1)

求

解：因為

所以由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

(2)

求

解：設

則

由拉氏變換的積分性質(zhì)知：

再由微分性質(zhì)得：

所以

4.利用拉氏變換的性質(zhì)求

(1)

解：法一：利用卷積求解。

設

則

而

由卷積定理知：

法二：利用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個2級極點。除此外處處解析，且當時，故由定理8.3知：

(2)

解：法一：利用卷積求解。

設

則

而

由卷積定理知

法二：用留數(shù)求解。

顯然在內(nèi)有兩個2級極點。除此外處處解析，且當時，故由定理8.3知：

法三：利用拉氏變換積分性質(zhì)求解。

由(1)題知

故

即

5.利用積分性質(zhì)計算

(1)

解：設

由拉氏變換的微分性質(zhì)得：

所以

(2)

解：在(1)題中取得

由拉氏變換的位移性質(zhì)知：

再由拉氏變換的積分性質(zhì)得

6.計算下列積分：

(1)

解：

由拉氏變換表知：取

則

(2)

解：

7．求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：因

取得

故

(2)

解：因為

而

所以

(3)

解：設則是的四級極點。

除此外處處解析，且當時，故由定理8.3知：

下面來求留數(shù)。

因為

故.所以

(4)

解：設

則在內(nèi)具有兩個單極點

除此外處處解析，且當時，故由定理8.3得：

(5)

解：設

分別為的一階、二階極點。顯然滿足定理8.3的條件，故由定理8.3知：

(6)

解：設

顯然

查表知

故由卷積定理得：

(7)

解：設

則

因為

所以

故

(8)

解：，因為

所以

即：

8.求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

(1)

解：

由拉氏變換表知：

所以

(2)

解：

而

所以

(3)

解：設

則

設

則

由卷積定理知，所以

(4)

解：設

則

設

則

故

所以

(5)

解：

因為

故由卷積定理知：

又因為

所以

(6)

解：

由拉氏變換表知：

所以

9.求下列卷積：

(1)

解：`因為

所以

(2)

（m,n為正整數(shù)）；

解：

(3)

解：

(4)

解：

(5)

解：因為

當時，故當

時，即

(6)

解：設

則

所以當

即

時，上式為0.當

即

時，由函數(shù)的篩選性質(zhì)得：

10.利用卷積定理證明下列等式：

(1)

證明：因為

故由卷積定理：

也即，證畢。

(2)

證明：因為

故由卷積定理知：

證畢。

11.解下列微分方程或微分方程組：

(1)

解：設

對方程兩邊取拉氏變換，得

代入

得：

用留數(shù)方法求解拉氏逆變換，有：

(2)

解：設

對方程兩邊同時取拉氏變換，得

代入初值條件，得：

求拉氏逆變換得方程的解為：

(3)

解：設

用拉氏變換作用方程兩邊，得：

代入初值條件，有：

即：

因為

所以由卷積定理求拉氏逆變換得：

(4)

解：設

用拉氏變換作用在方程兩邊得：

將初始條件代入，得：

因為

所以

因此

故方程的解：

(5)

解：設

對方程兩邊取拉氏變換，得：

代入初始條件，整理得：

由例8.16知：

又因為

故

因為

所以方程的解

(6)

解：設

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

求解該方程組得：

取拉式逆變換得原方程組的解為：

(7)

解：設

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

整理計算得：

下求的拉氏逆變換：

因為

故由卷積定理可得

同理可求

所以方程組的解為

(8)

解：設

對方程組的每個方程兩邊分別取拉氏變換，并考慮到初始條件得：

解此方程組得：

取拉氏逆變換得原方程組的解為：

12.求解積分方程

解：令

由卷積定理

知

將拉氏變換作用于原方程兩端，得：

也即：

取拉式逆變換得原方程的解為：