第一篇：《紫薇斗數(shù)技法講義》第二十章

《紫薇斗數(shù)技法講義》第二十章

紫薇斗數(shù)古法歌訣

十喻歌

吉兇最要細(xì)分明

本對(duì)合鄰有重輕

四面楚歌終必?cái)?/p>

千祥云集自然亨

自強(qiáng)才是好人家

鄰舍惟添錦上花

若到逢源真境地

春風(fēng)只可感相差

兩鄰相侮豈為災(zāi)

自伐才教大可哀

易躲當(dāng)頭一棍棒

難防左右襲兵來

(一)本方吉 ：謂之由內(nèi)自強(qiáng)。

(二)本方兇 ：謂之從根自伐。

(三)對(duì)方吉 ：謂之迎面春風(fēng)。

(四)對(duì)方兇 ：謂之當(dāng)頭惡棒。

(五)合方吉 ：謂之左右逢源。

(六)合方兇 ：謂之左右受敵。

(七)鄰方吉 ：謂之兩鄰相扶。

(八)鄰方兇 ：謂之兩鄰相侮。

(九)方宮皆吉：謂之千祥云集。

(十)方宮皆兇：謂之四面楚歌。

女命賦

府相之星女命躔，必當(dāng)子貴與夫貴。廉貞清白能字守。更有天同理亦然。端正紫微太陽星，早遇賢夫性可憑。太陽寅到午，遇吉終是福。左輔天魁為福壽，右弼天相福來臨。祿存厚重多衣食，府相朝垣命必榮。紫府巳亥相互輔，左右扶持福必生。巨們天機(jī)為破蕩。天梁月曜女命貧。擎羊火星為下賤。文昌文曲福不全。武曲之宿為寡宿。破軍一曜性難明。貪狼內(nèi)狠多淫佚。七殺沉吟福不生。十干化祿最榮昌，女命逢之大吉祥，更得祿存相湊合，旺夫益子受恩光。火鈴羊陀及巨門，地空地劫又相臨，貪狼七殺廉貞宿，武曲加臨克害侵。三方四正嫌逢煞，更在夫?qū)m禍患深，若值本宮無正曜，必主生離克害真。以上論賦，俱系看命之法，條條有驗(yàn)，宜細(xì)玩味。得之于心，其富貴貧賤，榮華壽夭，了然在胸矣。

太微賦總括

斗數(shù)至玄至微，理旨難明，雖設(shè)問于各篇之中，猶有言而未盡，至如星之分野，各有所屬，禍福深淺，壽夭賢愚，貧淫正直，各有所司，不可一概論議。其星分布一十二垣，數(shù)定乎三十六位，入廟為奇，失度為需，大抵以生命為福德之本，加以根源為窮通之資。星有同躔，數(shù)有分定，須明其生克之要，必詳乎得垣失度之分。觀乎紫微舍躔，司一天儀之象，率列宿而成垣，土星茍居其垣，若可移動(dòng)，金星專司財(cái)庫，最怕空亡。帝星動(dòng)則列宿奔馳，貪守空而財(cái)源不聚。各司其職，不可參差。茍或不察其機(jī)，更忘其變，則數(shù)之造化遠(yuǎn)矣。例曰：祿逢沖破，吉處藏兇；馬遇空亡，終身奔走。生逢敗地發(fā)也虛花；絕處逢生，花而不敗。星臨廟旺，再觀生克之機(jī)；命坐強(qiáng)宮，細(xì)察制化之理。日月最嫌反背，祿馬最喜交馳。倘居空亡，得失最為要緊；若逢敗地，扶持大有奇功。紫微天府全依輔弼之功，七殺破軍專依羊鈴之虐。諸星吉逢兇也吉；諸星兇，逢兇也兇。輔弼夾帝為上品，桃花犯主為至淫。君臣慶會(huì)，才善經(jīng)邦；魁鉞同行，位至臺(tái)輔。祿文拱命，富而且貴；日月夾財(cái)，不權(quán)則富。馬頭帶劍，威震邊疆；刑求夾印，刑杖惟司。善蔭朝綱，仁慈之長；貴入貴鄉(xiāng)，逢之富貴；財(cái)居財(cái)位，遇者富奢。太陽居午，謂之日麗中天，有專權(quán)之貴，敵國之富。太陰居子，號(hào)曰水澄桂萼，得清要之職，中諫之才。紫微輔弼同宮，一乎百諾居上品；文耗居寅卯，謂之眾水朝東。日月守不如照合，蔭福聚不怕兇危。貪居亥子，名為犯水桃花；忌遇貪狼，號(hào)曰風(fēng)流彩杖。七殺廉貞同位，路上埋尸；破軍暗耀同鄉(xiāng)，水中作冢。祿居奴仆縱有官也奔馳，帝遇兇徒雖獲吉而無道；帝坐命庫則曰金輿捧櫛，福安文耀謂之玉袖天香。太陽文昌于官祿宮，皇殿朝班，富貴全美；太陰會(huì)文曲于妻宮，蟾宮折桂，文章令聞。祿存守于田財(cái)，堆金積玉；財(cái)蔭坐于遷移，巨商高賈。耗居祿位，沿途乞食；貪會(huì)旺宮，終身鼠竊。殺居絕地，天年夭似顏回；貪坐生鄉(xiāng)，壽考永如彭祖。忌暗同居身命疾厄，沉困尪贏，兇星會(huì)于父母遷移，刑傷破祖；刑煞同廉貞于官祿，枷扭難逃，官符加刑煞于遷移，離鄉(xiāng)遭配。善福居空位，天竺生涯；輔弼單守命宮，離宗庶出。七殺臨于身命逢羊刃，戰(zhàn)陣而亡；鈴羊合于命宮遇白虎，須當(dāng)刑戮。官符發(fā)于吉曜流煞，怕逢破軍；羊鈴憑太歲以引行，病符官符皆坐禍。奏書博士與流祿，盡作吉祥；力士將軍同青龍，以顯其權(quán)。童子限如水上泡沫，老人限似風(fēng)中殘燭。遇煞無制乃流年最忌，人生榮辱限元必有休咎，命限逢乎駁雜，學(xué)至此誠玄微矣，示爾學(xué)徒，勤予參考。

玄微論（增補(bǔ)太微論）

希夷先生曰:斗數(shù)之列眾星，由大易之分八卦，八卦非彖系不明，五星非講明何措，是以觀斗數(shù)者，再三審動(dòng)靜之機(jī)，第一辨賓主之分，動(dòng)靜循環(huán)不已，主賓更迭無拘，主若無情，何賓之有，賓不能對(duì)，何足取哉！愧彼羊陀，惟視祿存之好惡，笑吾日月也。思空劫之興亡，殺有殺而無刑，雖殺有救；刑有刑而易單，終身不克。火星旺宮為富論，羊陀得令豈兇神？兩鄰加侮尚可撐持，同室與謀最難防備。斤火焚天馬，重羊逐祿存。劫空親戚無常，權(quán)祿行藏靡定。君子哉魁鉞，小人也羊鈴。兇不皆兇，吉無純吉。主強(qiáng)賓弱，可保無虞。主弱賓強(qiáng)，兇危立見。主賓得失兩相宜，限運(yùn)命身當(dāng)互見。身命最嫌羊陀七殺，遇之未免為兇。二限甚忌貪破巨貞，逢之定然作禍。命遇魁昌當(dāng)?shù)觅F，限逢紫府定財(cái)多。凡觀女人之命，先觀夫子二宮，若值煞星，定三嫁而心不足，或逢羊陀，須啼哭而淚不干。若觀男命，始以福財(cái)為主，再審遷移如何，二限相因，吉兇同斷。限逢吉曜，平生動(dòng)用和諧；命作兇鄉(xiāng)，一是求謀齟齬。廉祿臨命，女德純陰貞潔之德；同梁守命，男得純陽中正之心。君子命中亦有羊陀四殺，小人命中豈無科祿權(quán)星，要看得垣失垣，專論入廟失陷。若論小兒，詳推童限，小兒命生兇鄉(xiāng)，三五歲必然夭折，更有限逢惡殺，五七歲必至夭亡。文昌文曲天魁秀，不讀詩書也可人。多學(xué)少成，只為擎羊逢劫殺。為人好訟，蓋因太歲遇官符。命之理微，熟察星辰之變化；數(shù)之理遠(yuǎn)，細(xì)詳格局之興衰。北極加兇殺，為道為僧；命遇兇星，為奴為仆。如武破廉貪，固深謀而貴顯，加羊陀空劫，反小志以孤寒。限輔旺星，雖弱而不弱；命臨吉地，雖兇而不兇。斷橋截路，大小難行；卯酉二空，聰明發(fā)褔。命身遇紫府，疊積金銀；二主逢劫空，衣食不足，謀而不遂。命限遇入擎羊，東作西成。限身遭逢府相科權(quán)祿拱，定為攀桂之高人?？战傺蜮?，決作九流術(shù)士。情懷舒暢，昌曲命身；詭詐虛浮，羊陀陷地。天機(jī)天梁擎羊會(huì)，早見刑克晚見孤。貪狼武曲廉貞逢，少受貧而后受褔。此皆斗數(shù)之奧訣，學(xué)者熟之。

玉蟾發(fā)微論

白玉蟾先生日：觀天斗數(shù)與五星不同，按此星辰與諸術(shù)大異。四正吉星定為貴，三方煞拱少為奇；對(duì)照兮詳兇詳吉，合照兮觀賤觀榮。吉星入垣則為吉，兇星失地則為兇。命逢紫微，非特壽而且榮；身遇煞星，不但貧而且賤。左右會(huì)于紫府，極品之尊；科權(quán)陷于兇鄉(xiāng)，功名蹭蹬。行限逢乎弱地，未必為災(zāi)；立命會(huì)在強(qiáng)宮，必能降頑。羊陀七殺，限運(yùn)莫逢，逢之定有刑傷；天哭喪門，流年莫遇，遇之實(shí)防破害。南斗主限必生男，北斗加臨先得女?？菩蔷酉莸兀瑹艋鹦燎?；昌曲在弱鄉(xiāng)，林泉冷淡。奸謀頻設(shè)，紫微愧遇破軍；淫奔大行，紅鸞差逢貪宿。命身相克，則心亂而不閑；玄媼三宮，則邪淫而耽酒。煞臨三位，定然妻子不和；巨到二宮，必是兄弟無義。刑煞守子宮，子難奉老；諸兇照財(cái)帛，聚散無常。羊陀守疾厄，眼目昏盲；火鈴到遷移，長途寂莫。尊星列賤位，主人多勞；惡星應(yīng)命宮，奴仆有助。官祿遇紫府，富而且貴；田宅遇破軍，先破后成。褔德遇空亡劫，奔走無方；相貌加刑煞，刑克難免。后學(xué)者執(zhí)此推詳，萬無一失。

百字千金訣

樞庫坐命遇吉

富貴始終亨通

機(jī)月同梁福壽

日月左右長生

殺遇終須進(jìn)退

武破吉化崢嶸

貪貞主垣性劣

昌曲入廟科名

祿存到處皆靈

最怕羊火陀鈴

巨化吉宿富貴

同兇也不昌榮

魁鉞扶拱發(fā)達(dá)

一生近貴功名

局中最嫌空劫

諸星不可同宮

千金斷訣莫渡愚人

形性賦

原夫紫微帝座，生為厚重之客；天府尊星，也作純和之體。金屋圓滿，玉兔清奇，天機(jī)為不長不短之姿，情懷好善。武曲有至要至緊之操，心性剛強(qiáng)；天同肥滿，目秀清奇。廉貞眉闊，口寬面橫，為人性暴，好忿好爭(zhēng)；貪狼為善惡之星，入廟必應(yīng)長聳。巨門門乃是非之曜，出垣必定頑囂；天相精神，天梁穩(wěn)重。七殺子路暴虎馮河，火鈴似豫讓吞炭為啞，暴虎馮河兮自災(zāi)兇猛，吞炭裝啞兮暗狼聲沉?？⊙盼牟?，磊落文曲，在廟定生異痣，失陷必有斑痕。左輔右弼，為溫良規(guī)模；擎羊陀羅，有矯詐體態(tài)。若逢魁鉞，必具足威儀；果合三臺(tái)，則十全模范。星論座位，最怕空亡，殺落空亡，無力觀其祿權(quán)。破軍不仁，背重眉闊，坐腰斜舌性態(tài)如春，乃是祿存之圣德，情懷似火，此誠破耗之威權(quán)。祿逢梁蔭，抱私財(cái)益與他人；耗遇貪財(cái)，逞淫情于井底。貪星入于馬垣，易善易惡；惡曜扶同善曜，稟性不常。財(cái)居空亡，巴三攬四；文曲旺宮，聞一知十。暗合廉貞，為貪濫之曹吏；身命司數(shù)，實(shí)奸盜之技兒。男居身旺，最要得躔；女居死絕，專看福星。命最嫌于敗位，財(cái)卻怕于空亡。機(jī)刑殺蔭孤星論，嗣續(xù)之官加惡星忌耗，不為奇特。陀忌耗囚兇曜，守相貌之躔，決然傷體兼之破祖。童格宜相，根基要察。紫微肥滿，天府精神，天梁生厚；日月曲相與天機(jī)皆為美俊之姿，乃是清奇之格，上長下短，目秀眉清。武曲貪狼，形小聲高而量大；天陀同忌，肥滿目眇而晦暗。耗煞擎羊，身體遭傷，陀羅巨暗，必生異痣。若居死絕之限，童子哺乳徒勞其力，老者亦然。此星宿中之綱領(lǐng)，乃為星緯之機(jī)關(guān)，玩味專精，以參玄妙。限有高低，星尋喜怒，假如運(yùn)限駁雜，終有浮沉。或曰：兇送兇迎，皆為偃蹇無情，遭逢困厄，如逢煞地，更要推詳；但遇空亡，必須細(xì)察星垣論

紫微帝座，以輔弼為佐貳，做數(shù)中之主星，乃有用之源流。是以南北二斗集而成數(shù)，為萬物之靈。蓋以水淘溶，則陰陽既濟(jì)，水盛陽傷，火盛陰滅，二者不可偏廢，故知其中者，斯為美矣。寅乃木之垣，乃三陽交泰之時(shí)，草木萌芽之所，至于卯位，其木至旺矣。貪狼天機(jī)是廟樂，故得天相水、巨門水到卯為之疏通，木賴水栽培，加以水之交灌，三方文曲水、破軍水相會(huì)尤妙。又加祿存土、巨門水到丑，天梁土到未，陀羅金到于四墓之所土，或得擎羊金相會(huì)，以土為金墓，則金通不為疑。加以天府土、天同水以生之，是為金旺土肥，順其德以生成。巳午未乃火位，巳為水土所絕之地，更午垣之火，余氣流于巳，水則順流，火氣逆焰，必歸于巳。午屬火德，能生于巳絕之地，所以廉貞火居焉。至于午火旺，離明洞照表里，而文曲水入廟。若會(huì)紫府，則魁星揣斗，加以天機(jī)木、貪狼木，謂之變景，更加奇特。申酉屬金，乃西方太白之氣，武居中而好生，擎羊居酉為角煞，加以巨門、祿存、陀羅、天梁而劫之愈急，須得逆行，逢善化逆，是謂妙用。亥水屬文曲破軍之廟地，乃文明清高之星，萬里派源之潔，如大川之澤，可潤枯焦。居于亥位，將入天河，是故為渺。破軍水于子旺之鄉(xiāng)，如巨海之浪、澎湃洶涌，可遠(yuǎn)觀而不可以近倚，破軍是以居焉，若四墓之克，充其涌漫，亥子上文曲，必得武曲之金，使其源流不絕，方為妙矣。其余諸星以身命推之，無施不至，至妙者矣。

起例歌訣總括

希夷仰觀天上星，作為斗數(shù)推人命，不依五星要過節(jié)，只論年月日時(shí)生。先安身命次定局，紫微天府布諸星，劫空殤使天魁鉞，天馬天祿帶煞神。前羊后陀并四化，紅鸞天喜火鈴刑，二主大限并小限，流年后方安斗君。十二宮分詳廟陷，流年禍福此中分，祿權(quán)科忌為四化，唯有忌星最可憎。大小二限若逢忌，未免其人有災(zāi)迍。科名科甲看魁鉞，文昌文曲主功名。紫府日月諸星聚，富貴皆從天上生；羊陀火鈴為四煞，沖命沖限不為榮。殺破貪狼俱作惡，廟而不陷掌三軍；魁鉞昌加無吉應(yīng)，若還命限陷尤嗔。尚有流羊陀等宿，此與太歲從流行，更加喪吊白虎湊，殤使可以斷生死。若有同年同月日，禍福何有不準(zhǔn)乎？不準(zhǔn)俱用三時(shí)斷，時(shí)有差遲不可憑。此是希夷真口訣，學(xué)者需當(dāng)仔細(xì)精，后具星圖并論斷，其骨髓賦

太極星躔，乃群宿眾星之主。天門運(yùn)限，即扶身助命之源。在天則運(yùn)用無常，在人則命有格局。先明格局，次看惡星?；蛴型晖峦胀瑫r(shí)而生，而有貧賤富貴壽夭之異；或在惡限積百之金銀；或在旺鄉(xiāng)遭連年之困苦；禍福不可一途而尚；吉兇不可一事而推。要知一世之榮枯，定看五行之宮位。立命可知貴賤，安身便曉根基。第一先看福德，在三細(xì)考遷?，分對(duì)宮之體用，定三合之源流。命無正曜，夭折孤貧；吉有兇星，美玉玷瑕。既得根源堅(jiān)固，須知合局相生，堅(jiān)固則富貴延長，相生則財(cái)官昭著。命好身好限好，到老榮昌；命衰身衰限衰，終身乞丐。夾貴夾祿少人知，夾權(quán)夾科世所宜。夾日夾月誰能遇，夾昌夾曲主貴兮。夾空夾劫主貧賤，夾羊夾陀為乞丐。廉貞七殺反為積富之人，天梁太陰卻作飄蓬之客。廉貞主下賤之孤寒，太陰主一生之快樂。生來貧賤，劫空臨財(cái)褔之鄉(xiāng)。出世榮華，權(quán)祿守身命之地。先貧后富，須還命值武貪。先富后貧，只為運(yùn)逢劫殺。文昌文曲，為人多學(xué)多能；左輔右弼，生性克寬克厚。天府天相乃為衣祿之神，為仕為官定主亨通之兆。苗而不秀，科星陷于兇鄉(xiāng)。發(fā)不住財(cái)，祿主躔于弱地。七殺朝斗，爵祿榮昌；紫府同宮，終身褔厚。紫微居午無殺湊，位至公卿。天府臨戌有星扶，腰金衣紫。科權(quán)祿拱，文譽(yù)昭彰。武曲廟旺，威名顯奕。科明祿暗，位列三臺(tái)。日月同宮，官居侯伯。巨機(jī)同宮，公卿之位。貪鈴并守，將相之名。天魁天鉞，蓋世文章。天祿天馬，驚人甲第。左輔文昌吉星會(huì)，尊居八座。貪狼火星居廟旺，名鎮(zhèn)諸邦。巨日同宮，官封三少。紫府朝垣，食祿萬鐘?？茩?quán)對(duì)拱，躍三汲于禹門。日月并明，佐九重于堯殿。府相同來會(huì)命宮，全家食祿。三合明珠生旺地，穩(wěn)步蟾宮。七殺破軍宜出外，機(jī)月同梁作吏人。紫府日月居旺地，定斷公侯器。日月科祿丑宮中，定是方伯公。天梁天馬陷，飄蕩無疑。廉貞殺不加，聲名遠(yuǎn)播。日照雷門，榮華富貴。月朗天門，進(jìn)爵封侯。寅逢府相，位登一品之榮。墓會(huì)左右，尊居八座之貴。梁居午地，官資清顯。曲遇梁星，位至臺(tái)綱。科祿巡逢，周勃欣然入相。文星暗拱，賈誼允矣登科。擎羊火星，威權(quán)出眾。同行貪武，威壓邊夷。李廣不封，擎羊逢于力士。顏回殀折，文昌陷于天殤。仲由猛烈，廉貞入廟遇將軍。子羽才能，巨宿同梁沖且合。寅申最喜同梁會(huì)，辰戌應(yīng)縑陷巨門。祿倒馬倒，忌太歲之合劫空。運(yùn)衰限衰，喜紫微之解兇惡。孤貧多有壽，富貴即夭亡。吊客喪門，綠珠有墜樓之厄。官符太歲，公冶有嫘紲之憂。限至天羅地網(wǎng)，屈原有沉溺之殃。限逢地劫地空，阮籍有途窮之苦。文昌文曲會(huì)廉貞，喪命天年。命空限空無吉湊，功名蹭蹬。生逢地空，猶如半天折翅。命中遇劫，恰如浪里行舟。項(xiàng)羽英雄，限至地空而喪國。石崇富豪，限行地劫以亡家。呂后專權(quán)，兩重天祿天馬。楊妃好色，三合文昌文曲。天梁遇馬，女命賤而且淫。昌曲夾墀，男命貴而且顯。極居卯酉，多為脫俗之僧。貞居卯酉，定是公胥之輩。左府同宮，尊居萬乘。廉貞七殺，流蕩天涯。鄧通餓死，運(yùn)逢大耗之鄉(xiāng)。夫子絕糧，限到天殤之地。鈴昌陀武，限至投河。巨火擎羊，終身縊死。命里逢空，不飄流即主貧苦。馬頭帶劍，非殀折即主刑傷。子午破軍，加官進(jìn)爵。昌貪居命，粉身碎骨。朝斗仰斗，爵祿榮昌。文桂文華，九重顯貴。丹墀桂墀，早遂青云之志。合祿拱祿，定為巨擘之臣。陰陽會(huì)昌曲，出世榮華。輔弼遇財(cái)官，衣緋著紫。巨梁相會(huì)廉貞并，合祿鴛鴦一世榮。武曲閑官多手藝，貪狼陷地作屠人。天祿朝垣，身榮富貴。魁星臨命，位列三臺(tái)。武曲居干戌亥上，最怕太陰逢貪狼?；撨€為好，休向墓中藏。子午巨門，石中隱玉。明祿暗祿，錦上添花。紫微辰戌遇破軍，富而不貴有虛名。昌曲破軍逢，刑克多勞碌。貪武墓中居，三十才發(fā)褔。天同戌宮為反背，丁人化吉主大貴。巨門辰戌為陷地，辛人化吉祿崢嶸。巨機(jī)酉上化吉者，縱遇財(cái)官也不榮。日月最縑反背，乃為失輝。身命定要精求，恐差分?jǐn)?shù)。陰騭延年增百褔，至于陷地不遭傷。命實(shí)運(yùn)堅(jiān)，槁苗得雨；命衰限衰，嫩草遭霜。論命必推星善惡，巨破擎羊性必剛。府相同梁性必好，火劫空貪性不常。昌曲祿機(jī)清秀巧，陰陽左右最慈祥。武破廉貪沖合，局全固貴；羊陀七殺相雜，互見則傷。貪狼廉貞破軍惡，七殺擎羊陀羅兇?；鹦氢徯蔷阕鞯?，劫空殤使悔重重。巨門忌星皆不吉，運(yùn)身命限忌相逢。更兼太歲官符至，口舌官非決不空。吊客喪門又相遇，管教災(zāi)疾兩相攻。七殺守命終是殀，貪狼入命必為娼。心好命微亦主壽，心毒命固亦夭亡。今人命有千金貴，運(yùn)去之時(shí)豈久長，數(shù)內(nèi)包藏多少理，學(xué)者須當(dāng)仔細(xì)詳。

紫微諸星廟陷訣

紫微天機(jī)子午宮 太陽巨相寅申中 天府七殺辰戌利 巳亥之中忌天同

廉貞最好未申廟 貪武天梁辰戌同 子午寅申陰化吉 若還遇惡有何榮

巳酉丑中昌曲貴 寅午戌上不豐隆 破軍子午真得利 左右更喜紫微宮

祿存切忌火空劫 辰戌丑未擎羊雄 寅申巳亥陀羅廟 二星八位五雷同

科權(quán)祿陷嫌加煞 若然遇之限亨通 更有鈴星東南美 寅午戌中是廟宮

中部訣最分明，若能依此推人命，何用琴堂講五星？

準(zhǔn)繩賦

命居生旺定富貴，各有其宜。身坐空亡論榮枯，專求其要。紫微帝坐在南極，不能施功。天府令星在陷地，豈能為福。天機(jī)四殺同宮，也善三分。太陰火鈴?fù)?，反成十惡。貪狼為善宿，入廟不兇。巨門為惡曜，得垣尤美。諸兇在緊要之鄉(xiāng)，最宜受制。擎羊在身命之位，卻受孤單。若見煞星倒限最兇，福蔭臨之，庶幾可解。大抵在人之機(jī)變，更加作意之推詳。辨生克制化以定窮通，看好惡正偏以言禍福。官星居于福地，近貴榮財(cái)。福星居于官宮，卻成無用。身命得星為要，限度遇吉為榮。若言子息有無，專在擎囚耗殺，逢之則喜，妻妾亦然。相貌逢兇，必帶破相；疾厄逢忌，定有尪羸。須言定數(shù)以求，更再同年之相合，總為綱領(lǐng)，用作準(zhǔn)繩。

賦性論

原夫紫微帝座，生為厚重之容。金烏（太陽）圓滿，玉兔（太陰）清奇。天機(jī)為不長不短之姿，性懷好善。太陽相貌雄壯，面方圓滿，聰明慈愛，不較是非。武曲乃至剛至毅之操，心性果決。天同肥滿，目秀清奇。廉貞眉寬口闊而面橫，為人性暴，好忿好爭(zhēng)。天府尊星，當(dāng)主純和之體，善良溫和，多學(xué)多能。太陰聰明清奇，心性溫和，度量寬宏，博學(xué)多能。貪狼為善惡之星，入廟必然長聳，出垣必定頑囂。巨門乃是非之曜，在廟敦厚溫良。天相精神，相貌持重。天梁穩(wěn)重，玉潔冰清。七殺目大兇狠，心性急躁，喜怒無常，破軍不仁，背厚眉寬，行坐腰斜而奸詐，好行驚險(xiǎn)。文昌俊雅，眉清目秀﹔文曲磊落，口舌便佞，在廟定生異痣，失陷必有斑痕。左輔右弼溫良規(guī)模，端莊高士。天魁天鉞具見威儀，與三臺(tái)八座則十全模范。相貌持重和藹，乃是祿存之盛德。情懷似火烽沖，此誠破耗之威權(quán)。擎羊陀羅，形丑貌陋，有矯詐體態(tài)?；鹦莿倧?qiáng)出眾，毛鬢多異，唇齒四肢有傷。鈴星性毒破相，膽大出眾。星臨廟旺，最怕空劫，煞落空亡，竟無威力。權(quán)祿乃九竅之奇，耗劫散平生之福。祿逢梁蔭，抱私財(cái)益與他人。耗遇貪狼，逞淫情于井底。貪狼入于馬垣，易善易惡﹔惡曜扶同善曜，稟性不常。財(cái)居空亡，巴三覽四﹔文曲旺宮，聞一知十。男居生旺，最要得地﹔女居死絕，?？锤５?。命最嫌立于敗位，財(cái)源卻怕逢空亡。機(jī)刑殺蔭孤星，論嗣續(xù)之宮，加惡星忌耗，不為奇特。陀耗囚之曜，守父母之躔，決然破祖，刑傷兼之。童格宜相根基。紫微肥滿，天府精神，祿存天梁，應(yīng)系厚重。日月昌曲與天機(jī)，皆為美俊之姿，乃是清奇之格，上長下短，目秀眉清。武曲貪狼，形小聲高而量大。天同陀忌，肥滿目眇，形丑貌粗。文值耗煞擎羊，身體遭傷，若遇陀羅巨暗，必生暗異之痣。若居死絕之限，童子哺乳，徒勞其力，老者亦然壽終。此是數(shù)中之綱領(lǐng)，乃為星緯之機(jī)關(guān)，玩味專精，以參玄妙。限有高低，星尋喜惡。假如運(yùn)限駁雜，終為浮沉，至若將終，朝元最緊。限行逢忌，或曰兇送兇迎，皆為偃蹇無情，遭逢困厄。如逢殺地，更要推詳，倘遇空亡，必須細(xì)察。精研于此，不患不神。

第二篇：作文技法講義

擬題六法

整體評(píng)價(jià)一篇作文好不好，主要要從題目、開頭、結(jié)尾、立意、選材、形式創(chuàng)新、書寫幾個(gè)方面來把握。今天我們就一起學(xué)習(xí)第一步：擬題

俗話說的好：題好文一半，題目是文章的眼睛，一個(gè)好的題目能吸引讀者，給讀者留下一個(gè)好的印象，它是讓你的作文能否進(jìn)入讀者眼睛，走進(jìn)讀者內(nèi)心世界的第一張門票；所以，我們要精心打造一個(gè)奪人眼目的題目，讓讀者的眼睛為之一亮，一下子就抓住讀者。今天我教給你六種擬題的技法。

（一）套用法

把歌曲名、歌詞、電視劇名、影片名、詩文名句、成語、俗語、歇后語、名人名言、廣告詞等直接引用或稍加改編后用作標(biāo)題

下面我舉幾例：大家可以看看他套用用了那種

1、《想說愛你不容易》《向前、向前、向前！》《我是一只小小鳥》《隱形的翅膀》《我選擇，我相信》《一生之計(jì)在于“今”》《衣帶漸寬終不悔》

（二）修辭法

我們常見的修辭手法有比喻，擬人，對(duì)偶，夸張，反問等，擬題時(shí)可以靈活巧妙的運(yùn)用一種

1、比喻：《那一刻，我們的愛開花》2008河北

《心靈的地震》2008長沙

2、擬人：《粉筆的自述》《地球就診記》《初三和我有個(gè)約會(huì)》

3、對(duì)偶：《挫折著，美麗著》《生命不息，追求不止》

4、夸張：《花瓶能裝下整個(gè)春天》《那個(gè)障礙粉碎了我》（以挫折為話題）《千年月色萬年情》（以故鄉(xiāng)為話題）

5、反問：《不經(jīng)風(fēng)雨怎能見彩虹？》《沒有付出，怎求回報(bào)？》《財(cái)富，何罪之有？》

6、呼告：《別了，初三》《老師，給我一點(diǎn)自由吧》《再見了，母?！?/p>

（三）設(shè)置懸念

這種方法就是在擬題上設(shè)置一個(gè)誘人的懸念，引人入勝，從而緊緊抓住讀者的心，激起讀者急于探求內(nèi)容的強(qiáng)烈愿望

如《十六歲，老朽了》（以素質(zhì)教育為話題）《一只老鼠的日記》（人與自然）《我與203室不得不說的秘密》《三個(gè)女生一臺(tái)戲》（以男孩女孩為話題）

（四）中外結(jié)合

這種方法就是引用或音譯一些人們熟悉的外語單詞或短語作為題目，讓標(biāo)題具有幽默色彩，往往給人帶來一種輕松愉快的感覺 如《How are you,E-mail》（以科技為話題）《搞笑課堂Oen and two》（校園生活）《Come on 給我感覺》（幸福）《Internet，my love》（以電腦為話題）

（五）怪異另類這種方法避開常俗，怪異，另類，會(huì)達(dá)到惹人注目的效果 如《真想做個(gè)差生》、《我愛停電》、《1 2 3 4 5 6 7》（友誼）、《世上只有爸爸狠》、《網(wǎng)？網(wǎng)！》

（六）詩情畫意

這種方法就是運(yùn)用詩歌散文的語言，營造一種優(yōu)美的意境，韻味無窮 如《那河，那船，那人》（以鄉(xiāng)情為話題）《風(fēng)中飛舞的白手帕》（友誼）《白云，夕陽，歌聲》（生命）、《紅舞鞋，藍(lán)精靈》《心泉叮咚》（以母愛為話題）

見材料P462頁

鳳頭七法

見教材477頁

俗話說，好的開端是成功的一半，一定要精美，吸引讀者。

文章的開頭就像鳳凰的頭，引人看，開頭要簡(jiǎn)潔，入題快，語言要有文采，使人一看就有讀下去的欲望，一定要引人入勝。抓住讀者

一、設(shè)置懸念，吸引讀者

例：我快要死了——我躺在病床上，四周漆黑一片，十分寂靜，偌大的房間里，只能聽得見我微弱的呼吸聲。護(hù)士只有到我該吃藥、打針的時(shí)候才會(huì)進(jìn)來，而且很少和我說話。我已經(jīng)習(xí)慣了，我不會(huì)有太多的抱怨，因?yàn)槲抑牢铱煲懒?。我凝視著窗外，告訴自己要坦然面對(duì)死亡。

【技巧點(diǎn)撥】這篇文章的開頭設(shè)計(jì)了一個(gè)懸念，我快要死了，于是讀者不由得被吸引住了，會(huì)想，他怎么會(huì)

快要死了呢？他得了什么??？后來怎么樣？這一連串的問題自然而然地把你的目光帶到了下文，使你迫不及待地想知道下文。這種開頭方法，抓住了人們閱讀時(shí)的好奇心理，精心設(shè)計(jì)，吸引讀者閱讀，效果很好。

二、開門見山，高明觀點(diǎn)

例：朋友，當(dāng)你看見一堆堆垃圾高如小山，一條條河流惡臭難聞，一股股有害氣體毒害人體時(shí)，你的感想如何？我那時(shí)是氣憤的想大聲呼叫：“請(qǐng)關(guān)注人類的生存環(huán)境吧！”

【技巧點(diǎn)撥】考場(chǎng)上議論文的寫作一定要鮮明地亮出自己的觀點(diǎn)。寫作時(shí)開門見山，擺明態(tài)度，不失為一種普通但又實(shí)用的方法。這篇文章的開頭采用設(shè)問的方式，一問一答，簡(jiǎn)潔有力，鮮明地亮出了自己的觀點(diǎn)，為下文的展開打下了基礎(chǔ)。

三、聯(lián)想回憶，巧妙敘述

例：獨(dú)立小院，月光如水，靜靜地流瀉在我的身邊，使我感到了心沉水底的清涼，引起了我對(duì)你的不盡思念！曾記得也是這樣一個(gè)月色溶溶的夜晚，我把你送上了開往異鄉(xiāng)的列車……小小年紀(jì)，孤身一人在異鄉(xiāng)奮斗的你，一切還好嗎？

【技巧點(diǎn)撥】考試中，常有追憶式文題出現(xiàn)，需要考生追憶過去發(fā)生的某一件事。此時(shí)不妨聯(lián)想回憶，引發(fā)思緒，著篇文章的開頭就導(dǎo)用了這一方法。文中先寫月色，由蓉蓉月色引發(fā)了我的聯(lián)想，使我回憶起同樣在這樣一個(gè)夜晚發(fā)生的故事，這樣開頭，洋溢著一種濃郁的情感氛圍，利于抒發(fā)情感。

四、突出矛盾，渲染氣氛 例：“你這書記趁早別當(dāng)了，半點(diǎn)用也沒有！”從學(xué)校風(fēng)塵仆仆趕來的我，離家門還有百米來遠(yuǎn)，就聞到一股濃濃的火藥味，聽到了媽媽對(duì)爸爸的呵斥聲，一種“黑云壓城”的感覺猛烈襲上我的心頭。媽媽也是多事，爸爸干什么她都要干預(yù)一通，搞不好就暴跳如雷。好在爸爸宰相肚里能撐船，每次都是任憑媽媽一陣暴風(fēng)驟雨過后，才用幾句綿里藏針的話收拾殘局。今天不知道又為了什么。

【技巧點(diǎn)撥】記敘文的寫作要善于制作矛盾，在矛盾中展開故事情節(jié)才能吸引人。這篇文章在一開頭就抖出一個(gè)矛盾沖突。目的是迅速抓住讀者的心，引發(fā)讀者的閱讀興趣。

五、巧用修辭，展示文采

例：愛心是冬日里的一縷陽光，驅(qū)散了凜冽的寒霜；愛心是久旱后的一場(chǎng)甘霖，滋潤了皸裂的心田；愛心是汪洋中的一個(gè)航標(biāo)，指明了新生的希望?！栋褠坌膸Ыo他人》

例：盈盈月光，我掬一捧最清的；落落余暉，我擁一縷最暖的；灼灼紅葉，我拾一片最熱的；萋萋芳華，我摘一束最燦的。對(duì)人以和，待人用善?！洞撕蜕啤?/p>

【技巧點(diǎn)撥】修辭是語言運(yùn)用中不可缺少的部分。巧妙而又貼切的修辭方法的運(yùn)用能使語言增添許多風(fēng)采。在考場(chǎng)作文中，考生若能熟練運(yùn)用修辭方法打靚語言，定能收到良好的效果。

六、描寫環(huán)境，烘托背景 例：晚風(fēng)吹過河面上最后一波漣漪，夕陽收起它最后一束余暉，秋霜目送去最后一只歸雁。我們默默的站著，目光游離在那若即若離的記憶之門上。當(dāng)許許多多都已凋盡，我們起碼還可以對(duì)自己說：“別傷心，我已體驗(yàn)過那種感覺，雖然只是曾經(jīng)擁有?！?/p>

【技巧點(diǎn)撥】環(huán)境描寫可以渲染氣氛，可以襯托人物，可以推動(dòng)故事情節(jié)的發(fā)展。如果在文章的開頭先進(jìn)行一段簡(jiǎn)潔的環(huán)境描寫，既可以為文章提供一個(gè)特定的背景，又能使文章形成一種特殊的氛圍，能極大地引發(fā)讀者的閱讀興趣。

七、廣泛引用，突出矛盾 例：“請(qǐng)把我的歌，帶回你的家，請(qǐng)把你的微笑留下…….”每當(dāng)耳邊響起這熟悉的旋律，自己就仿佛遇見了多年不見的老朋友一樣，感覺格外親切。《歌聲與微笑》

例：“月朦朧，鳥朦朧，簾卷海棠紅?！泵慨?dāng)我吟誦這句詩，心中便有說不出的陶醉。心也朦朧，眼也朦朧，眼前真?zhèn)€展現(xiàn)了同一幅畫來。

【技巧點(diǎn)撥】引用法是一種很常見的文章開頭法，引用的內(nèi)容是很豐富的，若是議論文則常用名人名言以增強(qiáng)論證效果，突出主題。此外，還可以引用古語、諺語、對(duì)聯(lián)等。

精美開頭

例《父親的雨傘，使我感動(dòng)》

小時(shí)候，我最怕突然下大雨的日子，已記不清有多少次，我是多么希望爸爸能來給我送雨傘呀！媽媽工作單

位離得太遠(yuǎn)，自己回家都經(jīng)受暴風(fēng)雨的考驗(yàn)，更不用說來接我了?？砂职帜?？我相信他的工作不會(huì)忙到連給我送傘的時(shí)間都沒有。對(duì)此，我?guī)缀醪槐魏位孟?。記得上學(xué)第一次遇上大雨，在我苦苦等待不得已自己跑回家之后，父親只是笑著摸摸我那濕漉漉的腦袋，說：“很好嘛！自己還是回家了嘛！記住，下雨了，也要勇敢前進(jìn)??！”

例《語文的韻味》

開頭：游魚是用肢體傳達(dá)它們的信息，人類則用語言表達(dá)自己的情感。漢語是13億中國人及諸多海外華人的母語，我們不能沒有它。在那次刻骨銘心的活動(dòng)中，我更加體會(huì)到它的神奇。

結(jié)尾六法

文章的結(jié)尾很重要，它能提煉中心，點(diǎn)明主旨，深化中心，還能收尾呼應(yīng)完整結(jié)構(gòu)。豹尾六法之一：自然收束式

不論哪種文體的文章，在把內(nèi)容表達(dá)完了之后，自然而然地收束全文，而不去設(shè)計(jì)意蘊(yùn)深刻的哲理語句，不去雕琢豐富的象征形體，這樣的結(jié)尾謂之“日然收束式”。它完全避免了文章畫蛇添足、無病呻吟的結(jié)尾毛病，顯得單純明快、樸素?zé)o華，在中考作文中得到廣泛運(yùn)用?？紙?chǎng)作文氣氛緊張，競(jìng)爭(zhēng)激烈，不可能過多地講究什么“式”什么“法”。只要富于激情，揮灑自如，寫到哪里就是哪里，能充分體地表情達(dá)意就是一篇好的文章，但講究“自然”并不意味著隨心所欲，馬虎草率，而是順著文章思路發(fā)展的自然趨勢(shì)收束全文。在所學(xué)的課文中，這樣的例子較多，在此不加贅述。

二、收尾呼應(yīng)式

結(jié)尾與開天要相呼應(yīng)，寫出既呼應(yīng)開頭，又不簡(jiǎn)單重復(fù)的語句，這種結(jié)尾的方式是各類文章極常見的收束方法。這種收束方法能喚起讀者心理上的美感，產(chǎn)生一種收尾圓合，渾然一體的感覺。如《一件珍貴的襯衫》開頭寫了：“在我的家里，珍藏著一種白色的的確良襯衫?！苯Y(jié)尾寫到：“四年來，這件珍貴的襯衫，我精心地收藏著，沒有舍得穿它一次?！庇秩绻粝壬摹栋槨芬晃拈_頭寫道：白鷺是一首精巧的詩。結(jié)尾又說：“白鷺實(shí)在是一首詩，一首韻在骨子里的散文詩?！?/p>

三、卒章顯志式

這種結(jié)尾，就是在文章結(jié)束時(shí)，以全文的內(nèi)容為依托，運(yùn)用間接地語言，把主題思想明確地表達(dá)出來，或者在全文即將結(jié)尾時(shí)，把寫作意旨交代清楚，所以這種結(jié)尾方法又稱“畫龍點(diǎn)睛式”如《棗核》結(jié)尾寫到：“改了國籍，不等于就改了民族感情，而且沒有一個(gè)民族像我們這么依戀故土的?！庇秩纭墩l是最可愛的人》最后一句點(diǎn)題：“你一定會(huì)深深的愛我們的戰(zhàn)士——他們確實(shí)是我們最可愛的人?！?/p>

四、名言警句式

用名言、警句、詩句收尾，著意于引申文章，揭示某種人生的真諦。它往往出現(xiàn)在散文、記敘文、雜文的結(jié)尾，用三言兩語，表述出含義深刻的耐人尋味的哲理或警策性內(nèi)容，使之深深地印在讀者的心中，起到“言已盡，意無窮”的效果。如《驛路梨花》結(jié)尾寫道：“驛路梨花處處開。”再如《每逢佳節(jié)》一文結(jié)尾引用了王維的詩《九月九日憶山東兄弟》“獨(dú)在異鄉(xiāng)為異客，每逢佳節(jié)倍思親。遙知兄弟登高處，遍插茱萸少一人?！苯Y(jié)尾新穎，感情真摯，點(diǎn)明了思念海外親人的題旨。

五、抒情議論式

用抒情議論的方式收束文章，能夠表達(dá)作者心中的情愫，激起讀者情感的波瀾，引起讀者的共鳴，有著強(qiáng)烈的藝術(shù)感染力。這種結(jié)尾方式主要用于寫人記事的記敘文中，也可以用于說明文、議論文的寫作。抒情議論式結(jié)尾的形式是多種多樣的，所以采取這種方式結(jié)尾比較自由，好的“抒情議論”式結(jié)尾必然油然而生真情，給讀者以真實(shí)感，充足感。如《花市》的結(jié)尾寫到：“她笑微微的站在百花叢中，也想一枝花，像一枝挺秀淡雅的蘭花吧。”

六、歐.亨利式

歐亨利式結(jié)尾，超級(jí)震撼心扉。所謂“歐亨利式結(jié)尾”，通常指短篇小說大師們常常在文章情節(jié)結(jié)尾時(shí)突然讓人物的心理情境發(fā)生出人意料的變化，或使主人公命運(yùn)陡然逆轉(zhuǎn)，出現(xiàn)意想不到的結(jié)果，但又在情理之中，符合生活實(shí)際，從而造成獨(dú)特的藝術(shù)魅力。這種結(jié)尾藝術(shù)，在美國作家歐。亨利的作品中有成分的體現(xiàn)。如《麥琪的禮物》中，妻子賣掉自己美麗的秀發(fā)，給丈夫買了一條白金表鏈；可是同時(shí)，丈夫卻賣掉了祖?zhèn)鞯慕鸨恚瑸槠拮淤I了一套昂貴的梳子。這種結(jié)尾可以在極短的時(shí)間內(nèi)震撼讀者，所以應(yīng)試作文如果以小小說為文體，歐.亨利式結(jié)尾時(shí)首先。

精美結(jié)尾：

《挫折著，美麗著》

從古至今，那句話仍然長傳不衰。人常道，吃一塹，長一智。很多事情我們記得最深刻的的或許不是因?yàn)樗A(yù)示著成功的喜悅，而是挫折給我們的那道刻骨銘心的傷疤。這會(huì)是我們千金不易的財(cái)富。以后的日子，會(huì)時(shí)刻教會(huì)我們更多的東西，從而為我們贏得更多的收獲。

黎明破曉，讓我們一起迎接那些困難吧，懷著感恩的心，面對(duì)所有的挫折。相信我——你會(huì)看到挫折后的美麗。

例《精彩瞬間》

在那以后，我發(fā)現(xiàn)生活是絢麗多姿的；在那以后，我發(fā)現(xiàn)生活中精彩無處不在；在那以后，我發(fā)現(xiàn)生活中的瞬間因精彩而美麗；在那以后，我發(fā)現(xiàn)來人世是一種享受——享受精彩的瞬間；在那以后，我發(fā)現(xiàn)生命中的本質(zhì)便是欣賞，欣賞精彩的瞬間……一切一切的變化，只因有精彩瞬間的相伴。

例《冬日抒情》

“冬天來了，春天還會(huì)遠(yuǎn)嗎？”這句名詩幾十年來不斷被人引用，無非是象征著希望。在這透明的冬天里，人們可以用清醒的頭腦，認(rèn)清腳下的路，一步步走，躺著不動(dòng)或再走彎路，都會(huì)推遲希望的現(xiàn)實(shí)。

精美開頭和結(jié)尾 例《黑！黑！黑！》

開頭：門外又響起了那熟悉的不能再熟悉的腳步聲。我知道那是爸爸。此刻，他正在黑暗中準(zhǔn)備著出門的東西，而在別人看來，或許根本就不知道我正享受著別人無法理解的父愛。

結(jié)尾：是黑暗告訴了我父愛，是黑暗讓我了解了父愛，又是黑暗讓我被父愛所感動(dòng)，讓我有了別樣的怦然心動(dòng)的感覺。

我愛黑暗，更愛黑暗中的父愛。例《放心吧，有我們?cè)凇?/p>

開頭：中國的文化，絕版的文化，我們來遲了。

天空，流動(dòng)著歲月的云。那場(chǎng)火還在燒嗎？美得心痛的風(fēng)景固化為刺，哽在你的咽喉紅腫、發(fā)炎、結(jié)痂。之后，成了不堪回首的恥辱。飛濺的血淚濕透了你最蒼白的靈魂，風(fēng)輕輕的翻閱沉重的黃袍。看，記憶之外的笑容沒有了內(nèi)容！中國的文化，絕版的文化，我們來遲了。

結(jié)尾：中國的文化，絕版的文化，請(qǐng)停止你的哀怒，停止你的哭泣，停止你的悲傷，停止你的迷茫，因?yàn)橛形覀冊(cè)凇７判陌?，有我們?cè)冢愕纳鼤?huì)再度輝煌！放心吧，有我們?cè)?，你的精神?huì)帶著絢麗！放心吧，有我們?cè)?，絕版的你從此不再絕版。

例《架起交流的橋梁》開頭：

如果說交流是小草，那么語言就是那和暖的春風(fēng)，可以讓小草更加青壯；如果說交流是黑夜，那么語言就是夜幕中那明亮的繁星，可以讓天空更加明朗；如果說交流是風(fēng)帆，那么語言就是風(fēng)，可以將人與人之間的小船送到恬靜的港灣。

結(jié)尾：語言是偉大的，它如溫暖的陽光把人與人之間的那座冰山融化，它如和諧的音符把冷漠孤寂的心喚醒，它如濕潤的春風(fēng)般滋潤人們的感情。

例《門其實(shí)開著》

開頭：我終于明白林黛玉和簡(jiǎn)愛的不同就是，簡(jiǎn)愛在門內(nèi)，而黛玉卻被關(guān)在門外?！}記

我，十六歲，一個(gè)夢(mèng)想繽紛的年齡，卻有揮之不去的淡淡的憂傷，見孤雁南飛，便有“無可奈何花落去”的惆悵；見楓葉變紅，便有“剪不斷，理還亂”的憂思。生活中那扇快樂之門總將我關(guān)在門外，獨(dú)自徘徊，顧影自憐。

結(jié)尾：我明白了，于是，我也試著去打開那扇門，當(dāng)我伸手觸到它時(shí)，它“吱呀“一聲開了，啊，門其實(shí)是開著的，只是我一直都沒有這股勇氣去打開它而已。從此，我開始很快樂的生活，見鳥斜飛天空，便有“俀引詩情到碧霄”的感慨，見草木枯榮，便想起“野火燒不盡，春風(fēng)吹又生”。我擺脫了林妹妹，和簡(jiǎn)愛交了好朋友，打開那扇快樂之門，我好幸福。

朋友，你是否也為生活中緊鎖的眉、酸澀的淚、徘徊的腳步、斷腸的苦酒所羈絆，而遲遲不敢去打開生活中的快樂之門呢？鼓起勇氣吧，相信我，門其實(shí)是開著的。此刻，我在美的光陰中行走，快樂似一首歌，在我心中淺吟低唱！我愿與你一同分享！哦，門其實(shí)是開著的！

例《永不言棄》

開頭：努力，并不一定成功；但放棄，則一定會(huì)失敗。堅(jiān)持就是勝利，在最后一秒還未到來之前，結(jié)果永遠(yuǎn)在未知的生活中。我們無法回避挫折，只能面對(duì)，重要的是在挫折中能堅(jiān)持到底，永不言棄，直至擊敗挫折。還記得劉翔永不言棄的速度，中國女排永不言棄的頑強(qiáng)，愛迪生永不言棄的勇氣。他們都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是堅(jiān)信挫折時(shí)人生的考驗(yàn)，這不是看你的技術(shù)，而要靠的是毅力，毅力是決定考驗(yàn)成敗的關(guān)鍵。這一切都告訴我們，永不言棄是一種品格，更是一種頑強(qiáng)，永不言棄的人總會(huì)勝利。

結(jié)尾：如果你正在家里舒服的享用美食，享受生活，那么請(qǐng)你抽出時(shí)間來想一想：如果沒有愛迪生的永不言棄，生活便沒有了光明；沒有革命志士的永不言棄，我們便沒有了幸福；沒有科學(xué)家的永不言棄，我們便沒有了科技…..總之，永不言棄后會(huì)是勝利！加油吧！例《愛的傳遞》開頭： 敬愛的老師：

你好！

以前，我是一只迷失方向的蝴蝶，雖然美麗但看不到前景；我是一只柔弱無力的小鳥，雖然有翅膀但無法飛翔。自從遇到了您，我的生活才開始綻放光彩。

你沒有常人所贊美的那種甜蜜的微笑，也沒有大家所欣賞的那種柔情細(xì)語，可在我心里，您的每一個(gè)動(dòng)作，每一句話語，都在傳遞著愛的暖流。

結(jié)尾：您的一句話，讓教室頓時(shí)響起了熱烈的掌聲；也是您的那句話，讓我感受到了關(guān)愛他人的與被人關(guān)愛的快樂。一個(gè)曾經(jīng)失落的孩子，就因?yàn)槟哪且粋€(gè)眼神，那一句話語，真的變成了能夠自由飛翔的天使。俗話說，滴水之恩，當(dāng)涌泉相報(bào)。老師的這份特別的關(guān)愛，一定會(huì)在我心中釀出香醇的心靈之泉。

例《感謝他們》

開頭：繁華的街道車水馬龍，行人匆匆，時(shí)間如飄散的煙花，紛亂得讓人有些措手不及。我從不奢望在生活這個(gè)復(fù)雜的魔方中索取什么，但生活賜給我的已經(jīng)足夠多，并讓我學(xué)會(huì)了感恩。感激生活賜于我的那些昂貴、動(dòng)心、永久的禮物…..結(jié)尾：是的，停止抱怨的生活、工作或是身邊的人吧，當(dāng)你真正懷揣著感恩的心去生活，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一切都是那么美好；感謝親愛的父母給你做的早餐，感謝大自然給予我們的陽光和雨露，感謝老師教會(huì)了你知識(shí)，甚至感謝你的對(duì)手讓你克服了又一個(gè)困難……在逆境中懷揣著感恩的心，明天就會(huì)更加美好。

命題、半命題作文的寫作方法和技巧

1、審題指導(dǎo)

審準(zhǔn)題意，明確題目的范圍及重點(diǎn)，找準(zhǔn)題眼。題眼就是文題中最關(guān)鍵的標(biāo)明限制成分的詞語和寫作內(nèi)容的“重心”，它不僅反映著文章的主題，決定著文章的內(nèi)容，而且也決定著文章的結(jié)構(gòu)和主題思想的深度。

如果文題是偏正式結(jié)構(gòu)，題眼一般是修飾語，處于中心詞位置的詞，直接規(guī)定寫作的內(nèi)容與角度；而修飾成分的詞語往往影響著選材。例如《我的自畫像》“題眼是“我的”，限制了寫作的范圍“只能寫我”；“畫像”規(guī)定了寫作的內(nèi)容，是對(duì)自己的身材、容貌、服飾、打扮及表情、儀態(tài)、風(fēng)度等展開肖像描寫。

如果問題是主謂結(jié)構(gòu)，題眼一般是謂語，如《我是靚女》，題眼應(yīng)是“靚女”修飾語“我”規(guī)定著選材的范圍，必須寫我，否則就跑題了。

如果文題是動(dòng)賓結(jié)構(gòu)，題眼一般是動(dòng)詞，如《觀察鏡中的我》題眼應(yīng)是“觀察”，重點(diǎn)寫“觀察”到的我的

“肖像，包括五官和氣質(zhì)。

如果文題是“記。?！薄罢劇??！薄靶∽h。。。”題眼應(yīng)該在后面的關(guān)鍵詞上。如果題目是一個(gè)詞，它本身就是題眼，如《他》，這時(shí)我們大題小做，以小見大，小處落筆才有的可寫，才能寫具體，可寫成“中學(xué)時(shí)期的他”“現(xiàn)在的他”“他的性格、興趣愛好，思想品質(zhì)”等。

審出題目中的關(guān)鍵詞或中心詞。如果半命題作文往往要提供一些填寫的詞語，可以從中選擇一個(gè)詞，如果在提供的詞語后面打上省略號(hào)或出現(xiàn)“等等”字樣，則暗示你可以用提供的詞語，可以用未提供的詞語。力求新穎別致而且自己能寫的出彩。

2、確立主旨

確立主旨就是要確立一篇文章的中心，也就是我們通常所說的“立意”。我們無論寫哪一種文體，都應(yīng)在立意上下功夫。其要求是要鮮明、健康、新穎、深刻。鮮明就是文章要歌頌什么，批判什么，主張什么，反對(duì)什么應(yīng)該旗幟鮮明，不能模棱兩可，健康就是要保證文章的思想觀點(diǎn)和感情的正確，要有正能量，要體現(xiàn)出一定的思想意義，能給讀者以鼓舞和啟迪。新穎就是立意要跳出陳舊的框框，不能老生常談，要言人之未能言。深刻就是要通過現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘出文中深廣的意蘊(yùn)，以增強(qiáng)文章的穿透力和厚重感。

立意要把大題化小，以小見大去表現(xiàn)主題，內(nèi)容才不會(huì)空洞，才有話可說。

如《走過》這個(gè)話題，我們可把內(nèi)容寫成“從語文老師身邊走過”走過我初中的教室，走過數(shù)學(xué)上的難題，走過奶奶的菜地。如——來了，可寫成老師家訪來了

中考來了

鄉(xiāng)下的爺爺來了等

3、選好材料

（1）選精當(dāng)?shù)牟牧?。材料是為了表現(xiàn)文章中心，所以材料不能游離主題，主題是一篇文章的靈魂，選材一定要契合文章的主題；選材不能胡編亂造，要力求真實(shí)，“真情實(shí)感”是文章的第一生命力，如果你沒有充實(shí)的材料，你可以把別人的事借來寫，把幾個(gè)人的事集中到一個(gè)人來寫。

（2）選材要新穎

見教材412獨(dú)辟蹊徑8題

要學(xué)會(huì)獨(dú)辟蹊徑，寫別人想不到的事，做到人無我有，人有我新。還要有時(shí)代感。（3）選材要積極健康

應(yīng)當(dāng)以健康積極的內(nèi)容，去謳歌生活中的真善美，不能揭露社會(huì)國家生活中的假惡丑，如賭博，搶劫，吸毒，迷戀網(wǎng)絡(luò)，早戀等

4、形式創(chuàng)新見材料P428頁

同一個(gè)作文內(nèi)容，我們把形式創(chuàng)新了，就像給作文穿上了一件華美的外衣 運(yùn)用題記、書信體、日記體、網(wǎng)絡(luò)體（貼吧留言）、小標(biāo)題串聯(lián)，童話體，微型小說，鏡頭、片段，還可以在行文中巧用排比段，在段落間有一個(gè)固定結(jié)構(gòu)的句子反復(fù)使用，都能為你的作文增分。

作文的語言：語言表達(dá)要靈活，做到準(zhǔn)確，流暢，要有自己的個(gè)性，或生動(dòng)優(yōu)美，或善用修辭，或廣泛引用，或幽默詼諧，或真摯樸實(shí)，或刻畫人物細(xì)膩傳神，惟妙惟肖，要注意表達(dá)方式的綜合運(yùn)用。文章的結(jié)構(gòu)： 書寫

對(duì)話日記、重點(diǎn)觀察一個(gè)人的語言，反映一個(gè)人的性格特征或思想品質(zhì) 觀察日記：寫春夏秋冬，建筑物，或教師，校園等 日記體作文：如寫母愛，友誼，自我成長變化等

寫人的記敘文：父母，老師，同學(xué)，陌生人等，綜合運(yùn)用描寫人物的方法：外貌、動(dòng)作，語言，神態(tài)心理等，抓住一件或幾件典型事例反映一個(gè)人的性特征，思想品質(zhì)等

寫事的記敘文：六要素，重點(diǎn)把事情的起因、經(jīng)過、結(jié)果寫詳細(xì)，更要寫出自己的感受，表達(dá)方式要綜合運(yùn)用

寫隨感作文：讀后感、有一件事引發(fā)的感想，人物描寫：

人物描寫是記敘文的重頭戲，學(xué)生在作文過程中往往由于缺少“人物描寫”的意識(shí)，故使人物形象顯得干癟乏味，蒼白無力，而要想使文章中的人物栩栩如生，如在眼前，就要學(xué)會(huì)人物描寫，包括肖像、語言、動(dòng)作、心理描寫。人物描寫有突出人物的性格特征，增強(qiáng)形象的感染力作用；有推動(dòng)故事情節(jié)、突出文章主旨的作用；有增強(qiáng)語言生動(dòng)性的作用。寫作時(shí)，要強(qiáng)化人物描寫意識(shí)，以給讀者如歷其事、如見其人、如聞其聲之感。

肖像描寫

1、點(diǎn)睛之法：是指通過描寫人物的眼睛來揭示人物的性格特征和內(nèi)心活動(dòng)的一種肖

像描寫的方法。

2、畫臉之法。臉是人物內(nèi)心世界的陰晴表，它像一面鏡子，能映照出人物的內(nèi)心世界，喜怒哀樂、愁苦悲憂都能在臉上反映出來。成功的面部表情和神色狀態(tài)描寫能使人物形象更鮮明、生動(dòng)，使人物個(gè)性更突出。此外，還可以抓住人物的發(fā)型、皺紋、臉型、嘴巴、鼻子、酒窩等方面典型的特征。

3、描摹服飾。服飾反映著人物的身份、性格與境遇。抓住人物衣著與眾不同的地方，往往能寫出新意，跟人留下深刻印象

4、簡(jiǎn)筆勾勒，即用簡(jiǎn)單而夸張的手法對(duì)人物的肖像特征做放大處理，以達(dá)到幽默、詼諧的效果。如《藤野先生》中：“頭頂上盤著大辮子，頂?shù)膶W(xué)生制帽的頂上高高聳起，形成一座富士山，也有解散辮子，盤的平的，除下帽來，油光可鑒，宛如小姑娘的發(fā)髻一般，還要將脖子扭幾扭，實(shí)在標(biāo)志極了。抓住大辮子這一外貌，把清國留學(xué)生無救國之志描繪的入木三分。

5、巧用修辭。如《安塞腰鼓》“他們樸實(shí)的就像那片高粱”《老王》中“說的可笑些，他簡(jiǎn)直像棺材里倒出來的，就像我想象里的僵尸，骷髏上繃著一層枯黃的干皮，打上一棍就會(huì)散成一堆白骨”把老王行將就木的樣子刻畫的惟妙惟肖。

細(xì)節(jié)描寫：細(xì)節(jié)是文章的血肉，缺少細(xì)節(jié)描寫就像一具空殼和骨架。動(dòng)作，心理，語言，見教材p363

第三篇：高數(shù)一講義第四章

4．1微分中值定理

一、羅爾定理

1、羅爾定理

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理

小結(jié)：

4．2洛必達(dá)法則

一、基本類型的未定式0/0 ∞∞

二、其它類型的未定式

小結(jié)：

注意：

4．3函數(shù)的單調(diào)性

一、從幾何圖形上看函數(shù)的單調(diào)性

二、函數(shù)單調(diào)性的差別法

三、利用函數(shù)的單調(diào)性可證明不等式

小結(jié)：

4．4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

一、引例

小結(jié)：

4．5函數(shù)的極值與最值

一、函數(shù)的極值

二、函數(shù)的最大值與最小值

小結(jié)：

4．6漸近線

1． 曲線的水平漸近線：

2、曲線的豎直漸近線

第四篇：小學(xué)奧數(shù)學(xué)習(xí)資料(完整講義)

第一講 觀察法

————————————————姚老師數(shù)學(xué)樂園

廣安岳池 姚文國

在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，第一步是觀察。觀察是基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的首要步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學(xué)生智力的第一步。

觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答出來的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀察中要?jiǎng)幽X，要想出道理、找出規(guī)律。

*例1（適于一年級(jí)程度）此題是九年義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書數(shù)學(xué)

第二冊(cè)，第11頁中的一道思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導(dǎo)兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時(shí)兒童已經(jīng)學(xué)過20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識(shí)，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實(shí)質(zhì)上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。

解：現(xiàn)在通過觀察、思考，看小方格中應(yīng)填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+□=18會(huì)想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應(yīng)填入2（圖1-2）。從豎右列7+2+□=18（圖1-2）會(huì)想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應(yīng)填入9（圖1-3）。

從正方形對(duì)角線上的9+6+□=18（圖1-3）會(huì)想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應(yīng)填入3（圖1-4）。

從正方形對(duì)角線上的7+6+□=18（圖1-3）會(huì)想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應(yīng)填入5（圖1-4）。

從橫上行3+□+7=18（圖1-4）會(huì)想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應(yīng)填入8（圖1-5）。

又從橫下行5+□+9=18（圖1-4）會(huì)想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應(yīng)填入4（圖1-5）。

圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。

例2 看每一行的前三個(gè)數(shù)，想一想接下去應(yīng)該填什么數(shù)。（適于二年級(jí)程度）6、16、26、____、____、____、____。9、18、27、____、____、____、____。80、73、66、____、____、____、____。

解：觀察6、16、26這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大10。觀察9、18、27這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大9。觀察80、73、66這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)小7。

這樣可得到本題的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。

例3 將1～9這九個(gè)數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號(hào)均成立。（適于三年級(jí)程度）

解：仔細(xì)觀察圖中不等號(hào)及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個(gè)方框中的數(shù)小于周圍的四個(gè)數(shù)，看來在中心的方框中應(yīng)填入最小的數(shù)1。再看它周圍的方框和不等號(hào)，只有左下角的那個(gè)方框中的數(shù)大于相鄰的兩個(gè)方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個(gè)比一個(gè)大，而且方框中的數(shù)是按順時(shí)針方向排列越來越小。所以，在左下角的那個(gè)方框中應(yīng)填9，在它右鄰的方框中應(yīng)填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。

圖1-7是填完數(shù)字的圖形。

例4 從一個(gè)長方形上剪去一個(gè)角后，它還剩下幾個(gè)角？（適于三年級(jí)程度）解：此題不少學(xué)生不加思考就回答：“一個(gè)長方形有四個(gè)角，剪去一個(gè)角剩下三個(gè)角?！?/p>

我們認(rèn)真觀察一下，從一個(gè)長方形的紙上剪去一個(gè)角，都怎么剪？都是什么情況？

（1）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)堑捻旤c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下三個(gè)角（圖1-8）。（2）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下四個(gè)角（圖1-9）。（3）從一個(gè)邊上任意一點(diǎn)向鄰邊上任意一點(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下五個(gè)角（圖1-10）。

例5 甲、乙兩個(gè)人面對(duì)面地坐著，兩個(gè)人中間放著一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位數(shù)的每個(gè)數(shù)字都相同，并且兩人中一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)比另一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)大一半，這個(gè)數(shù)是多少？（適于三年級(jí)程度）

解：首先要確定這個(gè)三位數(shù)一定是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒法考慮了。甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說，這個(gè)三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯?dāng)?shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個(gè)數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個(gè)三位數(shù)在正看、倒看時(shí)，表示的數(shù)值不同，顯然這個(gè)三位數(shù)不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。

如果這個(gè)數(shù)是666，當(dāng)其中一個(gè)人看到的是666時(shí)，另一個(gè)人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個(gè)數(shù)是666，也可以是999。*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少？（適于三年級(jí)程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個(gè)數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計(jì)算起來容易出錯(cuò)。

如果仔細(xì)觀察這五個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)是1966，第二個(gè)數(shù)比它大10，第三個(gè)數(shù)比它大20，第四個(gè)數(shù)比它大30，第五個(gè)數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計(jì)算：

1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×（1+2+3+4）=9830+100 =9930 這五個(gè)數(shù)還有另一個(gè)特點(diǎn)：中間的數(shù)是1986，第一個(gè)數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20，最后一個(gè)數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20，1966和2006這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計(jì)算： 1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930 例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數(shù)嗎？（適于四年級(jí)程度）

解：我們仔細(xì)觀察一下算式：

400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16

不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4，目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)（零除外），商不變”。

進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個(gè)規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。

（1）600÷25（2）900÷25

=（600×4）÷（25×4）=（900×4）÷（25×4）=600×4÷100 =900×4÷100 =24 =36（3）1400÷25（4）1800÷25 =（1400×4）÷（25×4）=（1800×4）÷（25×4）=1400×4÷100 =1800×4÷100 =56 =72（5）7250÷25

=（7250×4）÷（25×4）=29000÷100 =290 *例8 把1～1000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個(gè)長方形框框出六個(gè)數(shù)，這六個(gè)數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩個(gè)數(shù)）框出的六個(gè)數(shù)的和是837，這六個(gè)數(shù)都是多少？（適于五年級(jí)程度）解：（1）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1，第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大2，第四個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大7，第五個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大8，第六個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大9。

假定不知道這幾個(gè)數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個(gè)數(shù)的和是87，要求出這幾個(gè)數(shù)，就要先求出六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)：

（87-1-2-7-8-9）÷6 ＝60÷6 =10 求出第一個(gè)數(shù)是10，往下的各數(shù)也就不難求了。

因?yàn)橛猛瑯拥姆椒虺龅牧鶄€(gè)數(shù)之和是837，這六個(gè)數(shù)之中后面的五個(gè)數(shù)也一定分別比第一個(gè)數(shù)大1、2、7、8、9，所以，這六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是：

（837-1-2-7-8-9）÷6 ＝810÷6 =135 第二個(gè)數(shù)是：135+1=136 第三個(gè)數(shù)是：135+2=137 第四個(gè)數(shù)是：135+7=142 第五個(gè)數(shù)是：135+8=143 第六個(gè)數(shù)是：135+9=144 答略。

（2）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：①上、下兩數(shù)之差都是7；②方框中間堅(jiān)行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個(gè)數(shù)的中間數(shù)。

11=（10+11+12）÷3 18=（17+18+19）÷3

所以上橫行與下橫行兩個(gè)中間數(shù)的和是：

87÷3＝29 由此可得，和是837的六個(gè)數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個(gè)中間數(shù)的和是：

837÷3＝279 因?yàn)樯?、下兩個(gè)數(shù)之差是7，所以假定上面的數(shù)是x，則下面的數(shù)是x+7。x+（x+7）=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 =143 因?yàn)樯弦粰M行中間的數(shù)是136，所以，第一個(gè)數(shù)是：136-1=135 第三個(gè)數(shù)是：135+2=137 因?yàn)橄乱粰M行中間的數(shù)是143，所以，第四個(gè)數(shù)是：143-1=142 第六個(gè)數(shù)是：142+2=144 答略。*例9 有一個(gè)長方體木塊，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有幾個(gè)頂點(diǎn)？（適于五年級(jí)程度）

解：（1）鋸去一個(gè)頂點(diǎn)（圖1-12），因?yàn)檎襟w原來有8個(gè)頂點(diǎn)，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后，增加了三個(gè)頂點(diǎn)，所以，8-1+3=10 即鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有10個(gè)頂點(diǎn)。

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+2=9（個(gè)）（圖1-13）。

（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1+1=8（個(gè)）（圖1-14）。

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1=7（個(gè)）（圖1-15）。

例10 將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體（圖1-16），求這個(gè)物體的表面積S。（適于六年級(jí)程度）

解：我們知道，底面半徑為γ，高為h的圓柱體的表面積是2πγ+2πγh。

2本題的物體由三個(gè)圓柱組成。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再把三個(gè)圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個(gè)物體的表面積，這種計(jì)算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個(gè)物體的正上方向下俯視這個(gè)物體，會(huì)看到這個(gè)物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個(gè)圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個(gè)圓柱的底面積。所以，這個(gè)物體的表面積，就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。

（2π×1.5+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）2=（4.5π+3π）+2π+π =7.5π+3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97（平方米）答略。

*例11 如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級(jí)程度）

解：遇到這樣的題目，不但要注意計(jì)算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側(cè)面。圖1-18表面積中的一個(gè)長方形和一個(gè)扇形就容易被漏掉，因而在解題時(shí)要仔細(xì)。

求表面積的方法1：

＝3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×（90+120）+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米）求表面積的方法2：

=3.14×210+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米）鑄件的體積：

=3.14×225×4 =3.14×900 =2826（立方厘米）答略。

第二講 嘗試法

解應(yīng)用題時(shí)，按照自己認(rèn)為可能的想法，通過嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。

一般來說，在嘗試時(shí)可以提出假設(shè)、猜想，無論是假設(shè)或猜想，都要目的明確，盡可能恰當(dāng)、合理，都要知道在假設(shè)、猜想和嘗試過程中得到的結(jié)果是什么，從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。

例1 把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅(jiān)列三個(gè)數(shù)相加都等于14。（適于一年級(jí)程度）

解：七八歲的兒童，觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習(xí)，一般都感到困難?？上葐l(fā)他們認(rèn)識(shí)解此題的關(guān)鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個(gè)數(shù)之和等于14來確定，剩下的兩個(gè)數(shù)自然應(yīng)填入左右兩格了。

中間一格應(yīng)填什么數(shù)呢？

先看一個(gè)日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁的地方翻，??

這樣反復(fù)試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁。這就是在用“嘗試法”解決問題。

本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個(gè)數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個(gè)數(shù)相加都得14”的要求來逐個(gè)嘗試。

如果中間的格中填3，則豎列下面的一格應(yīng)填多少呢？因?yàn)?4-5-3=6，所以豎列下面的一格中應(yīng)填6（圖2-2）。下面就要把剩下的4、7，分別填入橫行左右的兩個(gè)格中（圖2-3）。把橫行格中的4、3、7三個(gè)數(shù)加起來，得14，合乎題目要求。

如果中間一格填

4、或填6、7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖2-3或圖2-4。

例2 把1、2、3??11各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。（教科書第四冊(cè)第57頁的思考題，適于二年級(jí)程度）

解：圖2-5中有11個(gè)格，正好每一格填寫一個(gè)數(shù)。

圖2-6中寫有A、B、C的三個(gè)格中的三個(gè)數(shù)，既要參加橫向的運(yùn)算，又要參加縱向的運(yùn)算，就是說這三個(gè)數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個(gè)數(shù)是解此題的關(guān)鍵。

因?yàn)?～11之中中間的三個(gè)數(shù)是5、6、7，所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開始嘗試（圖2-7）。

以6為中心嘗試，看6上、下兩個(gè)格中應(yīng)填什么數(shù)。因?yàn)?8-6=12，所以6上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是12。

考慮6已是1～11之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應(yīng)是1～11之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個(gè)數(shù)相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（圖2-8）。

6+11+1=18 看圖2-8。6上面的數(shù)是11，11左鄰的數(shù)是5，18-11-5=2，所以5左鄰的數(shù)是2（圖2-9）。

再看圖2-8。6下面的數(shù)是1，1右鄰的數(shù)是7，18-1-7=10，所以7右鄰的數(shù)是10（圖2-9）。

現(xiàn)在1～11之中只剩下3、4、8、9這四個(gè)數(shù)，圖2-9中也只剩下四個(gè)空格。在5的上、下，在7的上、下都應(yīng)填什么數(shù)呢？

因?yàn)?8-5=13，所以5上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是13，3、4、8、9這四個(gè)數(shù)中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應(yīng)填9與4（圖2-10）。

看圖2-10。因?yàn)?左鄰的數(shù)是4，18-4-6=8，所以6右鄰的數(shù)是8。因?yàn)?8-7-8=3，并且1-11的數(shù)中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格中應(yīng)填上3。

圖2-10是填完數(shù)字的圖形。

*例3 在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎？（適于三年級(jí)程度）

解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。

①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。

②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4 在下面的15個(gè)8之間的任何位置上，添上+、-、×、÷符號(hào)，使得下面的算式成立。（適于三年級(jí)程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986 解：先找一個(gè)接近1986的數(shù)，如：8888÷8+888=1999。

1999比1986大13。往下要用剩下的7個(gè)8經(jīng)過怎樣的運(yùn)算得出一個(gè)等于13的算式呢？88÷8=11，11與13接近，只差2。

往下就要看用剩下的4個(gè)8經(jīng)過怎樣的運(yùn)算等于2。8÷8+8÷8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式： 8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986

例5 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個(gè)數(shù)。（適于四年級(jí)程度）解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)是2、3、4，則：

2×3×4=24

24＜120，這三個(gè)數(shù)不是2、3、4； 假設(shè)這三個(gè)數(shù)是3、4、5，則：

3×4×5＝60 60＜120，這三個(gè)數(shù)不是3、4、5； 假設(shè)這三個(gè)數(shù)是4、5、6，則：

4×5×6=120 4、5、6的積正好是120，這三個(gè)數(shù)是4、5、6。例6 在下面式子里的適當(dāng)位置上加上括號(hào)，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35。（適于四年級(jí)程度）

（1）7×9+12÷3-2＝47（2）7×9+12÷3-2=75（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35 解：本題按原式的計(jì)算順序是先做第二級(jí)運(yùn)算，再做第一級(jí)運(yùn)算，即先做乘除法而后做加減法，結(jié)果是： 7×9+12÷3-2 =63+4-2 =65 “加上括號(hào)”的目的在于改變?cè)瓉淼挠?jì)算順序。由于此題加中括號(hào)還是加小括號(hào)均未限制，因此解本題的關(guān)鍵在于加寫括號(hào)的位置?？梢詮募訉懸粋€(gè)小括號(hào)想起，然后再考慮加寫中括號(hào)。如：

（1）7×7=49，再減2就是47。這里的第一個(gè)數(shù)7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號(hào)前的數(shù)，所以下面應(yīng)考慮能否把9+12÷3通過加括號(hào)后改成得7的算式。經(jīng)過加括號(hào)，（9+12）÷3=7，因此：

7×[（9+12）÷3]-2=47 因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘以兩個(gè)數(shù)的商，可以用這個(gè)數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本題也可以寫成：

7×（9+12）÷3-2=47（2）7×11=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，要減去的2是等號(hào)前面的數(shù)。下面要看9+12÷3能不能改寫成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12÷3不能改寫成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7×9+12得75，這里的7、9、12就是原式中的前三個(gè)數(shù)，所以只要把3-2用小括號(hào)括起來，使7×9+12之和除以1，問題就可解決。由此得到：

（7×9+12）÷（3-2）=75 因?yàn)椋?-2）的差是1，所以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，可以先把兩個(gè)加數(shù)分別除以這個(gè)數(shù)，然后把兩個(gè)商相加”這一運(yùn)算規(guī)則，上面的算式又可以寫成：

7×9+12÷（3-2）=75 在上面的這個(gè)算式中，本應(yīng)在7×9的后面寫上“÷（3-2）”，因?yàn)槿魏螖?shù)除以1等于這個(gè)數(shù)本身，為了適應(yīng)題目的要求，不在7×9的后寫出“÷（3-2）”。（3）25-2=23，這個(gè)算式中，只有2是原算式等號(hào)前的數(shù)，只要把7×9+12÷3改寫成得25的算式，問題就可解決。又因?yàn)?×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括號(hào)括起來，就得到題中所求了。

（7×9+12）÷3-2=23（4）7×5=35，7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，原算式中的 9+12÷3-2能否改寫成得5的算式呢？因?yàn)?7-2=5，要是9+12÷3能改寫成得7的算式就好了。經(jīng)改寫為（9+12）÷3=7，因此問題得到解決。題中要求的算式是：

7×[（9+12）÷3-2]=35 *例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級(jí)程度）

解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計(jì)算，一共剪的天數(shù)是：

112÷14=8（天）

因?yàn)橥趺髅刻旒?0只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：

12×5+20×（8-5）=120（只）

120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：

12×6+20×（8-6）=112（只）

所以按李平剪6天計(jì)算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。

*例8 一名學(xué)生讀一本書，用一天讀80頁的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁的速度，需要4天讀完。現(xiàn)在要使每天讀的頁數(shù)跟能讀完這本書的天數(shù)相等，每天應(yīng)該讀多少頁？（適于五年級(jí)程度）

解：解這道題的關(guān)鍵是要求出一本書的總頁數(shù)。因?yàn)槊刻熳x的頁數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本書的總頁數(shù)，又因?yàn)槊刻熳x的頁數(shù)與讀完此書的天數(shù)相等，所以知道了總頁數(shù)就可以解題了。

根據(jù)“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”，是否能夠認(rèn)為總頁數(shù)就是 80×5=400（頁）呢？不能。

因?yàn)?天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天讀80頁，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說，這本書超過了80×4=320（頁），最多不會(huì)超過：

90×4=360（頁）根據(jù)以上分析，可知這本書的頁數(shù)在321～360頁之間。知道總頁數(shù)在這個(gè)范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321～360之間。

因?yàn)?7×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之間，所以只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。

答：每天應(yīng)該讀18頁。

*例9 一個(gè)數(shù)是5個(gè)2，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適于六年級(jí)程度）

解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為： 99、98、97、96??

11、10 以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2、3、5、7，并且在它的質(zhì)因數(shù)分解中2的個(gè)數(shù)不超過5，3的個(gè)數(shù)不超過3，5的個(gè)數(shù)不超過2，7的個(gè)數(shù)不超過1。

經(jīng)嘗試，99不符合要求，因?yàn)樗匈|(zhì)因數(shù)11；98的分解式中有兩個(gè)7，也不符合要求；質(zhì)數(shù)97當(dāng)然更不會(huì)符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3

所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。答略。

*例10 從一個(gè)油罐里要稱出6千克油來，但現(xiàn)在只有兩個(gè)桶，一個(gè)能容4千克，另一個(gè)能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級(jí)程度）

解：這道題單靠計(jì)算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問題解決。已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設(shè)法倒出9千克油中的3千克，為達(dá)到這一目的，我們應(yīng)使小桶中正好有1千克油。

怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。

（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時(shí)油罐外，只有大桶里有1千克油。

（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒?jié)M油。

（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。（9）大桶里剩下6千克油。

第三講 列舉法

解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。

用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時(shí)也要畫圖。

例1 一本書共100頁，在排頁碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級(jí)程度）

解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來，數(shù)一數(shù)。

個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個(gè)。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個(gè)。

10+10=20（個(gè)）

答：在排頁碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。

*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級(jí)程度）

解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。

第一種走法：A ① B ④ C 第二種走法：A ① B ⑤ C 第三種走法：A ② B ④ C 第四種走法：A ② B ⑤ C 第五種走法：A ③ B ④ C 第六種走法：A ③ B ⑤ C

答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例3 9○13○7=100 14○2○5=□

把+、-、×、÷四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在長方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個(gè)等式都成立。這時(shí)長方形中的數(shù)是幾？（適于四年級(jí)程度）

解：把+、-、×、÷四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會(huì)特別麻煩。如果用些簡(jiǎn)單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡(jiǎn)捷的解答。

先看第一個(gè)式子：9○13○7=100

如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上“÷”號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)僅填“+”、“-”號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個(gè)圓圈內(nèi)不能同時(shí)填“÷”號(hào)，也不能同時(shí)填“+”、“-”號(hào)。

要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“×”號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個(gè)圈中分別填入“+”和“×”號(hào)，就會(huì)湊出100了。

9+13×7=100

再看第二個(gè)式子：14○2○5=□

上面已經(jīng)用過四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩個(gè)，只剩下“÷”號(hào)和“-”號(hào)了。如果在第一個(gè)圓圈內(nèi)填上“÷”號(hào)，14÷2得到整數(shù)，所以：

14÷2-5=2 即長方形中的數(shù)是2。*例4 印刷工人在排印一本書的頁碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書有多少頁？（適于四年級(jí)程度）

解：（1）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、2??

8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個(gè)。

（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因?yàn)?9-9=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：

2×90=180（個(gè)）

（3）還剩下的數(shù)碼：

1890-9-180=1701（個(gè)）

（4）因?yàn)轫摯a是三位數(shù)的頁，每頁用3個(gè)數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁。

1701÷3=567（頁）

（5）這本書的頁數(shù)：

9+90+567=666（頁）

答略。

*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個(gè)長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級(jí)程度）

解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因?yàn)殚L方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：

表3-1

表3-1中，長、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。

前三種圍法的長方形面積 分別是：

35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）

答：當(dāng)長方形的長是25厘米，寬是15厘米時(shí)，長方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個(gè)數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。（適于五年級(jí)程度）

解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質(zhì)數(shù)； 任意抽兩張排列，一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質(zhì)數(shù)；

三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)，但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。

綜上所說，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31，共五個(gè)。

*例7 在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10噸糧食，2號(hào)糧站存有20噸糧食，3號(hào)糧站存有30噸糧食，4號(hào)糧站是空的，5號(hào)糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸1千米的運(yùn)費(fèi)是0.5元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧站所用的運(yùn)費(fèi)最少（圖3-3）？（適于五年級(jí)程度）

解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號(hào)和2號(hào)糧站。下面將運(yùn)到3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比較。（1）如果運(yùn)到3號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：

0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+400 =600（元）

（2）如果運(yùn)到4號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：

0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200 =700（元）

（3）如果運(yùn)到5號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：

0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300 =800（元）800＞700＞600 答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。

*例8 小明有10個(gè)1分硬幣，5個(gè)2分硬幣，2個(gè)5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來。（適于五年級(jí)程度）

解：（1）只拿出一種硬幣的方法： ①全拿1分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）

②全拿2分的：

2+2+2+2+2=1（角）

③全拿5分的：

5+5=1（角）

只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法： ①拿8枚1分的，1枚2分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的：

1+1+1+1+2+2+2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1+1+2+2+2+2=1（角）

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1+1+1+1+1+5=1（角）

只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1+1+1+2+5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1+2+2+5=1（角）

拿出三種硬幣，有2種方法。共有：

3+5+2=10（種）

答：共有10種拿法。

*例9 甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強(qiáng)賽了幾盤？（適于五年級(jí)程度）

解：作表3-2。表3-2

甲已經(jīng)賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)相交的那些格里都打上√；乙賽的盤數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強(qiáng)各賽一盤，在乙與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上√；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上√；丁與甲賽的那一盤也打上√。

丁未與乙、丙、小強(qiáng)賽過，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。

答：小強(qiáng)賽了2盤。

*例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級(jí)程度）

解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3

答：不開箱有7種發(fā)貨方式。

*例11 運(yùn)輸隊(duì)有30輛汽車，按1～30的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開走的全部是單號(hào)車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時(shí)汽車全部開走？最后開走的是第幾號(hào)車？（適于五年級(jí)程度）解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4

從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號(hào)、16號(hào)、24號(hào)車。按題意，第四次8號(hào)、24號(hào)車開走。到第五次時(shí)汽車全部開走，最后開走的是第16號(hào)車。

答：到第五次時(shí)汽車全部開走，最后開走的是第16號(hào)車。

*例12 在甲、乙兩個(gè)倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運(yùn)出12袋，乙倉每次運(yùn)出4袋。運(yùn)出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級(jí)程度）

解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5

從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運(yùn)走后，兩倉剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=8 32-24=8 24-16=8 ??

從這里可以看出，每運(yùn)走一次，兩倉庫剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數(shù)的差，除以每次運(yùn)出的袋數(shù)差就得出運(yùn)幾次后兩個(gè)倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。

（90-50）÷（12-4）=5（次）

答：運(yùn)出5次后兩個(gè)倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。

*例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問原來各組有多少個(gè)小朋友？（適于五年級(jí)程度）

解：三個(gè)小組共72人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時(shí)，第一組應(yīng)是24÷2=12（人），第三組應(yīng)是（24+12）=36（人），第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應(yīng)為36÷2=18（人），第二組應(yīng)為（24+18）=42（人），第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應(yīng)為42÷2=21（人），第一組人數(shù)應(yīng)為12+21=33（人），第三組應(yīng)為18人。

這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。表3-6

答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、18人

第四講 綜合法

從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。

以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，先選擇兩個(gè)已知數(shù)量，并通過這兩個(gè)已知數(shù)量解出一個(gè)問題，然后將這個(gè)解出的問題作為一個(gè)新的已知條件，與其它已知條件配合，再解出一個(gè)問題??一直到解出應(yīng)用題所求解的未知數(shù)量。

運(yùn)用綜合法解應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)明確通過兩個(gè)已知條件可以解決什么問題，然后才能從已知逐步推到未知，使問題得到解決。這種思考方法適用于已知條件比較少，數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。

例1 甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長300米的水渠，4天完成任務(wù)。甲隊(duì)每天挖40米，乙隊(duì)每天挖多少米？（適于三年級(jí)程度）

解：根據(jù)“甲、乙兩個(gè)土建工程隊(duì)共同挖一條長300米的水渠”和“4天完成任務(wù)”這兩個(gè)已知條件，可以求出甲乙兩隊(duì)每天共挖水渠多少米（圖4-1）。

300÷4=75（米）

根據(jù)“甲、乙兩隊(duì)每天共挖水渠75米”和“甲隊(duì)每天挖40米”這兩個(gè)條件，可以求出乙隊(duì)每天挖多少米（圖4-1）。

75-40=35（米）綜合算式： 300÷4-40 =75-40 =35（米）

答：乙隊(duì)每天挖35米。

例2 兩個(gè)工人排一本39500字的書稿。甲每小時(shí)排3500字，乙每小時(shí)排3000字，兩人合排5小時(shí)后，還有多少字沒有排？（適于四年級(jí)程度）

解：根據(jù)甲每小時(shí)排3500字，乙每小時(shí)排3000字，可求出兩人每小時(shí)排多少字（圖4-2）。

3500+3000=6500（字）

根據(jù)兩個(gè)人每小時(shí)排6500字，兩人合排5小時(shí)，可求出兩人5小時(shí)已排多少字（圖4-2）。

6500×5=32500（字）

根據(jù)書稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒有排（圖4-2）。

39500-32500=7000（字）

綜合算式：

39500-（3500+3000）×5

=39500-6500×5 =39500-32500 =7000（字）答略。

例3 客車、貨車同時(shí)由甲、乙兩地出發(fā)，相向而行?？蛙嚸啃r(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行40千米，5小時(shí)后客車和貨車相遇。求甲、乙兩地之間的路程。（適于四年級(jí)程度）

解：根據(jù)“客車每小時(shí)行60千米”和“貨車每小時(shí)行40千米”這兩個(gè)條件，可求出兩車一小時(shí)共行多少千米（圖4-3）。

60+40=100（千米）

根據(jù)“兩車一小時(shí)共行100千米”和兩車5小時(shí)后相遇，便可求出甲、乙兩地間的路程是多少千米（圖4-3）。

100×5=500（千米）

綜合算式：

（60+40）×5

=100×5 =500（千米）

答：甲、乙兩地間的路程是500千米。

例4 一個(gè)服裝廠計(jì)劃做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，問平均每天要做多少套？（適于四年級(jí)程度）

解：根據(jù)“已經(jīng)做了5天，平均每天做75套”這兩個(gè)條件可求出已做了多少套（圖4-4）。

75×5=375（套）

根據(jù)“計(jì)劃做660套”和“已經(jīng)做了375套”這兩個(gè)條件，可以求出還剩下多少套（圖4-4）。

660-375=285（套）

再根據(jù)“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（圖4-4）。

285÷3=95（套）

綜合算式：

（660-75×5）÷3

=285÷3 =95（套）答略。

例5 某裝配車間，甲班有20人，平均每人每天可做72個(gè)零件；乙班有24人，平均每人每天可做68個(gè)零件。如果裝一臺(tái)機(jī)器需要12個(gè)零件，那么甲、乙兩班每天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器？（適于四年級(jí)程度）

解：根據(jù)“甲班有20人，平均每人每天可做72個(gè)零件”這兩個(gè)條件可求出甲班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖4-5）。

72×20=1440（個(gè)）

根據(jù)“乙班有24人，平均每天每人可做68個(gè)零件”這兩個(gè)條件可求出乙班一天生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖4-5）。

68×24=1632（個(gè)）

根據(jù)甲、乙兩個(gè)班每天分別生產(chǎn)1440個(gè)、1632個(gè)零件，可以求出甲、乙兩個(gè)班一天共生產(chǎn)多少個(gè)零件（圖4-5）。

1440+1632=3072（個(gè)）再根據(jù)兩個(gè)班一天共做零件3072個(gè)和裝一臺(tái)機(jī)器需要12個(gè)零件這兩條件，可求出兩個(gè)班一天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺(tái)機(jī)器。

3072÷12=256（臺(tái)）

綜合算式：

（72×20+68×24）÷12

=（1440+1632）÷12 =3072÷12 =256（臺(tái)）答略。

例6 一個(gè)服裝廠計(jì)劃加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務(wù)？（適于四年級(jí)程度）

解：根據(jù)每天加工100套，加工20天，可求出已經(jīng)加工多少套（圖4-6）。

100×20=2000（套）

根據(jù)計(jì)劃加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套（圖4-6）。

2480-2000=480（套）

根據(jù)原來每天加工100套，現(xiàn)在每天多加工20套，可求出現(xiàn)在每天加工多少套（圖4-6）。

100+20=120（套）

根據(jù)還要加工480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天（圖4-6）。

48O÷120=4（天）

綜合算式：

（2480-100×20）÷（100+20）

=480÷120 =4（天）答略。

剛開始學(xué)習(xí)以綜合法解應(yīng)用題時(shí)，一定要畫思路圖，當(dāng)對(duì)綜合法的解題方法已經(jīng)很熟悉時(shí)，就可以不再畫思路圖，而直接解答應(yīng)用題了。

解：此題先后出現(xiàn)了兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

=49.5（千克）答略。

解：此題先后出現(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“甲塊地產(chǎn)高粱的重量”和“乙塊地產(chǎn)高粱的重量”。

將題中已知條件的順序變更一下：丙塊地產(chǎn)高粱450千克，丙塊地比乙

條件，可求出乙塊地產(chǎn)高粱是：

（這里乙塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1）

（這里甲塊地的產(chǎn)量是標(biāo)準(zhǔn)量1）綜合算式：

=546（千克）答略。

第五講 分析法 從求解的問題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個(gè)條件，依次推導(dǎo)，一直到問題得到解決的解題方法叫分析法。

用分析法解應(yīng)用題時(shí)，如果解題所需要的兩個(gè)條件，（或其中的一個(gè)條件）是未知的，就要分別求解找出這兩個(gè)（或一個(gè)）條件，一直到所需要的條件都是已知的為止。

分析法適于解答數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題。

例1 玩具廠計(jì)劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問平均每天超過計(jì)劃多少件？（適于三年級(jí)程度）

解：這道題是求平均每天超過計(jì)劃多少件。要求平均每天超過計(jì)劃多少件，必須具備兩個(gè)條件（圖5-1）：①實(shí)際每天生產(chǎn)多少件；②計(jì)劃每天生產(chǎn)多少件。

計(jì)劃每天生產(chǎn)200件是已知條件。實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，題中沒有直接告訴，需要求出來。

要求實(shí)際每天生產(chǎn)多少件，必須具備兩個(gè)條件（圖5-1）：①一共生產(chǎn)了多少件；②已經(jīng)生產(chǎn)了多少天。這兩個(gè)條件都是已知的：①一共生產(chǎn)了1260件；②已經(jīng)生產(chǎn)了6天。

分析到這里，問題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是：（1）實(shí)際每天生產(chǎn)多少件？

1260÷6=210（件）

（2）平均每天超過計(jì)劃多少件？

210-200=10（件）

綜合算式：

1260÷6-200 =210-200

=10（件）例2 四月上旬，甲車間制造了257個(gè)機(jī)器零件，乙車間制造的機(jī)器零件是甲車間的2倍。四月上旬兩個(gè)車間共制造多少個(gè)機(jī)器零件？（適于三年級(jí)程度）

解：要求兩個(gè)車間共制造多少個(gè)機(jī)器零件，必須具備兩個(gè)條件（圖5-2）：①甲車間制造多少個(gè)零件；②乙車間制造多少個(gè)零件。已知甲車間制造257個(gè)零件，乙車間制造多少個(gè)零件未知。

下面需要把“乙車間制造多少個(gè)零件”作為一個(gè)問題，并找出解答這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件。

這兩個(gè)條件（圖5-2）是：①甲車間制造多少個(gè)零件；②乙車間制造的零件是甲車間的幾倍。這兩個(gè)條件都是已知的：①甲車間制造257個(gè)，乙車間制造的零件數(shù)是甲車間的2倍。

分析到此，問題就得到解決了。

此題分步列式計(jì)算就是：（1）乙車間制造零件多少個(gè)？

257×2=514（個(gè)）

（2）兩個(gè)車間共制造零件多少個(gè)？

257+514=771（個(gè)）

綜合算式：

257+257×2

=257+514 =771（個(gè)）答略。

例3 某車間要生產(chǎn)180個(gè)機(jī)器零件，已經(jīng)工作了3天，平均每天生產(chǎn)20個(gè)。剩下的如果每天生產(chǎn)30個(gè)，還需要幾天才能完成？（適于四年級(jí)程度）解：要求還需要幾天才能完成，必須具備兩個(gè)條件（圖5-3）：①還剩下多少個(gè)零件；②每天生產(chǎn)多少個(gè)零件。在這兩個(gè)條件中，每天生產(chǎn)30個(gè)零件是已知條件，還剩多少個(gè)零件未知。

先把“還剩多少個(gè)零件”作為一個(gè)問題，并找出解答這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件。

要算出還剩下多少個(gè)零件，必須具備的兩個(gè)條件（圖5-3）是：①要生產(chǎn)多少個(gè)零件；②已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)零件。要生產(chǎn)180個(gè)零件是已知條件，已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件未知。

然后把“已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)零件”作為一個(gè)問題，并找出解答這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件。

要算出已生產(chǎn)多少個(gè)零件，必須知道的兩個(gè)條件（圖5-3）是：①每天生產(chǎn)多少個(gè)零件；②生產(chǎn)了幾天。這兩個(gè)條件題中都已經(jīng)給出：每天生產(chǎn)20個(gè)零件，生產(chǎn)了3天。

分析到此，問題就得到解決。上面的思考過程，分步列式計(jì)算就是：（1）已經(jīng)生產(chǎn)了多少個(gè)零件？

20×3=60（個(gè)）

（2）剩下多少個(gè)零件？

180-60=120（個(gè)）

（3）還要幾天才能完成？

120÷30=4（天）

綜合算式：

（180-20×3）÷30

=（180-60）÷30 =120÷30 =4（天）答略。

例4 王明買了24本筆記本和6支鉛筆，共花了9.60元錢。已知每支鉛筆0.08元，每本筆記本多少錢？（適于五年級(jí)程度）

解：要算出每本筆記本多少錢，必須具備兩個(gè)條件（圖5-4）：①買筆記本用了多少錢；②買了多少本筆記本。從題中已知買了24本筆記本，買筆記本用的錢數(shù)未知。

先把買筆記本用的錢數(shù)作為一個(gè)問題，并找出解答這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件。

要算出買筆記本用多少錢，必須知道的兩個(gè)條件（圖5-4）是：①買筆記本、鉛筆共用多少錢；②買鉛筆用多少錢。已知買筆記本、鉛筆共用9.60元，買鉛筆用去多少錢未知。

然后找出“買鉛筆用多少錢”所需要的兩個(gè)條件。

要算出買鉛筆用多少錢，必須知道的兩個(gè)條件（圖5-4）是：①買多少支鉛筆；②每支鉛筆多少錢。這兩個(gè)條件在題中都是已知的：買6支鉛筆，每支0.08元。

分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計(jì)算就是：（1）買鉛筆用去多少元？

0.08×6=0.48（元）

（2）買筆記本用去多少元？

9.60-0.48=9.12（元）

（3）每本筆記本多少元？

9.12÷24=0.38（元）

列綜合算式計(jì)算：

（9.60-0.08×6）÷24

＝（9.60-0.48）÷24 =9.12÷24 =0.38（元）

答：每本筆記本0.38元。

例5 倉庫里共有化肥2520袋，兩輛車同時(shí)往外運(yùn)，共運(yùn)30次，每次甲車運(yùn)51袋。每次甲車比乙車多運(yùn)多少袋？（適于五年級(jí)程度）

解：求每次甲車比乙車多運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件（圖5-5）：①甲車每次運(yùn)多少袋；②乙車每次運(yùn)多少袋。甲車每次運(yùn)51袋已知，乙車每次運(yùn)多少袋未知。

先找出解答“乙車每次運(yùn)多少袋”所需要的兩個(gè)條件。要算出乙車每次運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件（圖5-5）：①兩車一次共運(yùn)多少袋；②甲車一次運(yùn)多少袋。甲車一次運(yùn)51袋已知；兩車一次共運(yùn)多少袋是未知條件。

然后把“兩車一次共運(yùn)多少袋”作為一個(gè)問題，并找出解答這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件。

要算出兩車一次共運(yùn)多少袋，必須具備兩個(gè)條件（圖5-5）：①一共有多少袋化肥；②兩車共運(yùn)多少次。這兩個(gè)條件都是已知的：共有2520袋化肥，兩車共運(yùn)30次。

分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計(jì)算就是： ①兩車一次共運(yùn)多少袋？

2520÷30=84（袋）

②乙車每次運(yùn)多少袋？

84-51=33（袋）

③每次甲車比乙車多運(yùn)多少袋？

51-33=18（袋）

綜合算式：

51-（2520÷30-51）

=51-33 =18（袋）答略。

*例6 把627.5千克梨裝在紙箱中，先裝7箱，每箱裝梨20千克，其余的梨每箱裝37.5千克。這些梨共裝多少箱？（適于五年級(jí)程度）

解：要算出共裝多少箱，必須具備兩個(gè)條件（圖5-6）：①先裝多少箱。②后裝多少箱。先裝7箱已知，后裝多少箱未知。

先把“后裝多少箱”作為一個(gè)問題，并找出解答這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件。要算出后裝多少箱，必須具備兩個(gè)條件（圖5-6）：①后來一共要裝多少千克；②后來每箱裝多少千克。后來每箱裝37.5千克已知，后來一共裝多少千克未知。

要把“后來一共要裝多少千克”作為一個(gè)問題提出，并找出回答這一問題所需要的兩個(gè)條件。要求后來一共要裝多少千克，必須具備兩個(gè)條件（圖5-6）：①梨的總重量；②先裝了多少千克。梨的總重量是627.5千克已知的；先裝了多少千克是未知的，要把它作為一個(gè)問題提出來，并找出回答這個(gè)問題所需要的兩個(gè)條件。

這兩個(gè)條件（圖5-6）是：①先裝的每箱裝梨多少千克；②裝了多少箱。這兩個(gè)條件都是已知的：先裝的每箱裝梨20千克，裝了7箱。

分析到此，問題就得到解決了。此題分步列式計(jì)算就是： ①先裝多少千克？

20×7=140（千克）

②后來共裝多少千克？

627.5-140=487.5（千克）

③后來裝了多少箱？

487.5÷37.5=13（箱）

④共裝多少箱？

7+13=20（箱）

綜合算式：

7+（627.5-20×7）÷37.5

=7+（627.5-140）÷37.5 =7+487.5÷37.5 =7+13 =20（箱）答略。

注意：開始學(xué)習(xí)用分析法解應(yīng)用題時(shí)，一定要畫思路圖，當(dāng)對(duì)分析法的解題方法已經(jīng)很熟悉時(shí)，可不再畫思路圖，而直接分析解答應(yīng)用題了。

節(jié)約了15％。問六月份比四月份少用煤多少噸？（適于六年級(jí)程度）

解：此題中出現(xiàn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都與五月份的用煤量有直接聯(lián)系。

要算出六月份比四月份少用煤多少噸，必須知道六月份、四月份各用煤多少噸。

要算出六月份用煤多少噸，必須知道兩個(gè)條件：①五月份用煤多少噸；②六月份比五月份節(jié)約多少。這兩個(gè)條件都是已知的。六月份用煤的噸數(shù)是：

3200×（1-15％）=2720（噸）

要算出四月份用煤多少噸，必須知道兩個(gè)條件：①五月份用煤多少噸；②五月份比四月份節(jié)約多少。這兩個(gè)條件都是已知的。四月份用煤的噸數(shù)是：

知道了六月份、四月份用煤的噸數(shù)，就可以求出六月份比四月份少用煤多少噸。

3600-2720=880（噸）

綜合算式：

=3600-2720 =880（噸）答略。

答略。

第六講 分析-綜合法

綜合法和分析法是解應(yīng)用題時(shí)常用的兩種基本方法。在解比較復(fù)雜的應(yīng)用題時(shí)，由于單純用綜合法或分析法時(shí)，思維會(huì)出現(xiàn)障礙，所以要把綜合法和分析法結(jié)合起來使用。我們把分析法和綜合法結(jié)合起來解應(yīng)用題的方法叫做分析-綜合法。*例1 運(yùn)輸隊(duì)要把600噸化肥運(yùn)到外地，計(jì)劃每天運(yùn)22噸。運(yùn)了15天以后，剩下的化肥要在10天內(nèi)運(yùn)完。這樣每天要比原計(jì)劃多運(yùn)多少噸？（適于五年級(jí)程度）

解：解此題要運(yùn)用分析法和綜合法去思考。

先用綜合法思考。根據(jù)“原計(jì)劃每天運(yùn)22噸”和“運(yùn)了15天”這兩個(gè)條件，可以求出已經(jīng)運(yùn)出的噸數(shù)（圖6-1）。

根據(jù)要“運(yùn)600噸”和已經(jīng)運(yùn)出的噸數(shù)，可以求出剩下化肥的噸數(shù)（圖6-1）。接下去要用哪兩個(gè)數(shù)量求出什么數(shù)量呢？不好思考了。所以用綜合法分析到這兒，接著要用分析法思考了。

要求“每天比原計(jì)劃多運(yùn)多少噸”，必須知道“后來每天運(yùn)多少噸”和“原計(jì)劃每天運(yùn)多少噸”?！霸?jì)劃每天運(yùn)22噸”是已知條件，“后來每天運(yùn)多少噸”不知道，這是此題的中間問題（圖6-2）。

要知道“后來每天運(yùn)多少噸”，必須知道“剩下多少噸”和“要在多少天內(nèi)運(yùn)完”。這兩個(gè)條件中，第二個(gè)條件是已知的，“要在10天內(nèi)運(yùn)完”，“剩下多少噸”是未知的中間問題。

我們?cè)谇懊嬗镁C合法分析這道題時(shí)，已經(jīng)得到求剩下噸數(shù)的方法了。所以本題分析到這里就可以解答了。

此題分步列式解答時(shí)，要從圖6-1的上面往下看，接著從圖6-2的下面往上看。

（1）已經(jīng)運(yùn)多少噸？

22×15=330（噸）

（2）剩下多少噸？

600-330=270（噸）

（3）后來每天運(yùn)多少噸？

270÷10=27噸）

（4）每天比原計(jì)劃多運(yùn)多少噸？

27-22=5（噸）

綜合算式：

（600-22×15）÷10-22

=（600-330）÷10-22 =270÷10-22 =27-22 =5（噸）答略。

*例2 某鞋廠原計(jì)劃30天做皮鞋13500雙，實(shí)際上每天比原計(jì)劃多做50雙。問這個(gè)鞋廠提前幾天完成原計(jì)劃的任務(wù)？（適于五年級(jí)程度）

解：解答此題一般要運(yùn)用分析法和綜合法去思考。

先用分析法思考。要算出提前幾天完成計(jì)劃，必須知道“原計(jì)劃天數(shù)”和“實(shí)際做鞋數(shù)”（圖6-3）。“原計(jì)劃天數(shù)”是30

天，已經(jīng)知道；“實(shí)際做鞋天數(shù)”不知道，是中間問題。

要知道“實(shí)際做鞋天數(shù)”必須知道“皮鞋總數(shù)”和“實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)”（圖6-3）。

到此可以往下思考，要算出實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)，必須具備哪兩個(gè)條件？但有的人覺得這樣思考時(shí)不順當(dāng)，思路會(huì)“卡殼”，這時(shí)就要換用綜合法進(jìn)行思考。由“原計(jì)劃30天做皮鞋13500雙”，可求出“原計(jì)劃每天做的皮鞋數(shù)”（圖6-4）。

由“原計(jì)劃每天做的皮鞋數(shù)”和“實(shí)際每天比原計(jì)劃多做50雙”，可用加法算出“實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)”（圖6-4）。

分析到此，這道題的問題就得到解決了。此題用分步列式的方法計(jì)算時(shí)，得從圖6-4的上面往下面推想，然后從圖6-3的后面（下面）往前推想。（1）看圖6-4的思路圖。通過把原計(jì)劃做的13500雙除以計(jì)劃做的30天，可以得到原計(jì)劃每天做多少雙皮鞋。

13500÷30=450（雙）

（2）在計(jì)劃每天做的450雙皮鞋上，加上實(shí)際每天多做的50雙，得到實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)。

450+50=500（雙）

（3）接著看圖6-3的思路圖。從思路圖的下面往上推想，皮鞋總數(shù)除以實(shí)際每天做的皮鞋數(shù)500雙，得到實(shí)際制做的天數(shù)。

13500÷500=27（天）

（4）接著往上看，從原計(jì)劃做的30天，減去實(shí)際做的天數(shù)27天，就得到提前完成計(jì)劃的天數(shù)。

30-27=3（天）

把上面分步計(jì)算的算式綜合為一個(gè)算式是：

30-13500÷（13500÷30+50）

=30-13500÷500 =30-27 =3（天）答略。

*例3甲、乙兩隊(duì)同時(shí)開鑿一條2160米長的隧道，甲隊(duì)從一端起，每天開鑿20米，乙隊(duì)從另一端起，每天比甲隊(duì)多開鑿5米。兩隊(duì)在離中點(diǎn)多遠(yuǎn)的地方會(huì)合？（適于五年級(jí)程度）

解：看圖6-5。要求兩隊(duì)在離中點(diǎn)多遠(yuǎn)的地方會(huì)合，需要知道隧道的中點(diǎn)及會(huì)合點(diǎn)離一端的距離（分析法）。

每天20米每天比甲隊(duì)多5米

隧道全長2160米，中點(diǎn)到一端的距離可以通過2160÷2求得（綜合法）。要求出會(huì)合點(diǎn)（在甲隊(duì)的一側(cè)）距離甲隊(duì)開鑿點(diǎn)的距離，實(shí)際就是求甲隊(duì)開鑿的米數(shù)。要求甲隊(duì)開鑿的米數(shù)，就要知道甲隊(duì)（或乙隊(duì)）每天開鑿的米數(shù)（已知）和開鑿的天數(shù)（分析法）。甲隊(duì)每天開鑿20米已知，開鑿的天數(shù)不知道。要求出開鑿的天數(shù)，需要知道隧道的全長（已知）和兩隊(duì)每天共開鑿多少米（分析法）。

已知甲隊(duì)每天開鑿20米，乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多開鑿5米，這樣可以求出乙隊(duì)每天開鑿多少米，從而求出甲、乙兩隊(duì)一天共開鑿多少米（綜合法）。

分析到此，這道題的問題就得到解決了。

此題用分步列式的方法計(jì)算時(shí)，還得從上面分析過程的后面往前推理。（1）乙隊(duì)每天開鑿多少米？

20+5=25（米）

（2）甲乙兩隊(duì)一天共開鑿多少米？

20+25=45（米）

（3）甲乙兩隊(duì)共同開鑿這個(gè)隧道用多少天？

2160÷45=48（天）

（4）甲隊(duì)開鑿了多少米？（會(huì)合點(diǎn)與甲隊(duì)開鑿點(diǎn)的距離）

20×48=960（米）

（5）甲隊(duì)到中點(diǎn)的距離是多少米？

2160÷2=1080（米）

（6）會(huì)合點(diǎn)與中點(diǎn)間的距離是多少米？

1080-960=120（米）

綜合算式：

2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）] =1080-20×48 =1080-960 =120（米）答略。

*例4某中隊(duì)三個(gè)小隊(duì)的少先隊(duì)員采集樹種。第一小隊(duì)8名隊(duì)員共采集11.6千克，第二小隊(duì)6名隊(duì)員比第一小隊(duì)少采集2.8千克，第三小隊(duì)10名

克？（適于五年級(jí)程度）

解：如果先用綜合法分析，雖然已知數(shù)量間存在著一定的關(guān)系，但不容易選擇出與所求數(shù)量有直接聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系。而用分析法分析，能立即找到與所求數(shù)量有直接聯(lián)系的數(shù)量關(guān)系，找到解題所需要的數(shù)量后，再用綜合法分析。要求出三個(gè)小隊(duì)平均每名隊(duì)員采集多少千克，必需知道“三個(gè)小隊(duì)共采集樹種多少千克”和“全體隊(duì)員的人數(shù)”（圖6-6）。

要求“三個(gè)小隊(duì)共采集多少千克”，必須知道一、二、三這三個(gè)小隊(duì)各采集多少千克；要求“全體隊(duì)員人數(shù)”必須知道各小隊(duì)的人數(shù)（圖6-6）。三個(gè)小隊(duì)的人數(shù)都已經(jīng)知道，第一小隊(duì)采集11.6千克也已知，只是第二、三小隊(duì)各采集多少還不知道。

往下可用綜合法得出二、三小隊(duì)各采集多少千克（圖6-6）。

由“第一小隊(duì)共采集11.6千克”和“第二小隊(duì)比第一小隊(duì)少采集2.8千克”，可求出第二小隊(duì)采集多少千克；由“第二小隊(duì)采集的重量”和“第

往下可由三個(gè)小隊(duì)各采集多少千克之和，求出三個(gè)小隊(duì)共采集多少千克；也可以由各小隊(duì)的人數(shù)之和求出“全體隊(duì)員的人數(shù)”。

到此本題就可以解出來了。本題分步列式解答的方法是：（1）第二小隊(duì)采集多少千克？

11.6-2.8=8.8（千克）

（2）第三小隊(duì)采集多少千克？

（3）三個(gè)小隊(duì)共采集多少千克？

11.6+8.8+13.2=33.6（千克）

（4）三個(gè)小隊(duì)有多少隊(duì)員？

8+6+10=24（人）

（5）平均每人采集多少千克？

33.6÷24=1.4（千克）

綜合算式：

=33.6÷24 =1.4（千克）答略。

*例5甲、乙兩城之間的路程是210千米，慢車以每小時(shí)40千米的速度由甲城開往乙城，行車15分鐘后，快車由乙城開往甲城，經(jīng)過2小時(shí)兩車相遇。這時(shí)快車開到甲城還需要多少小時(shí)？（適于六年級(jí)程度）

解：運(yùn)用分析法和綜合法，分析此題的思路是：

先用分析法來思考。要求出“快車開到甲城還需要多少小時(shí)”，必須知道兩個(gè)條件（圖6-7）：①相遇地點(diǎn)到甲城的距離；②快車每小時(shí)行多少千米。這兩個(gè)條件題目中都沒給出，應(yīng)把它們分別作為中間問題。

接著思考，要求相遇地點(diǎn)到甲城的路程必須具備哪兩個(gè)條件？要求快車每小時(shí)行多少千米必須具備哪兩個(gè)條件？??如果思路不“卡殼”，就一直思考下去，直到解答出所求問題。如果思路“卡殼”了，就改用綜合法思考。另畫一個(gè)思路圖（圖6-8）。

圖6-8中慢車已行的路程，就是快車從相遇點(diǎn)到甲城的路程。這段路程是：

快車已行的路程是：

210-90=120（千米）

快車每小時(shí)所行的路程是：

120÷2=60（千米）

到此，我們可以把慢車走過的路程除以快車的速度，得到快車開到甲城還需要的時(shí)間是：

90÷60=1.5（小時(shí)）

綜合算式：

答略。

第七講 歸一法

先求出單位數(shù)量（如單價(jià)、工效、單位面積的產(chǎn)量等），再以單位數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算出所求數(shù)量的解題方法叫做歸一法。

歸一法分為一次直進(jìn)歸一法、一次逆反歸一法、二次直進(jìn)歸一法、二次逆反歸一法。

用歸一法一般是解答整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題，但也可以解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。有些應(yīng)用題用其它方法解答比較麻煩，不易懂，用歸一法解則簡(jiǎn)單，容易懂。

（一）一次直進(jìn)歸一法

通過一步運(yùn)算求出單位數(shù)量之后，再求出若干個(gè)單位數(shù)量和的解題方法叫做一次直進(jìn)歸一法。

1.解整數(shù)、小數(shù)應(yīng)用題

例1某零件加工小組，5天加工零件1500個(gè)。照這樣計(jì)算，14天加工零件多少個(gè)？（適于三年級(jí)程度）

解：（1）一天加工零件多少個(gè)？

1500÷5=300（個(gè)）

（2）14天加工零件多少個(gè)？

300×14=4200（個(gè)）

綜合算式：

第五篇：三年級(jí)奧數(shù)暑假復(fù)習(xí)講義(教師版)

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

三年級(jí)奧數(shù)暑假復(fù)習(xí)講義

【課程說明】

由于培優(yōu)大綱順序和本課程順序不同，所以在學(xué)習(xí)此課程時(shí)，有些講次安排打亂了，重新排序不會(huì)影響知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

【課程目標(biāo)】

提升興趣

※激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，樂于思考，樂于學(xué)習(xí)

培養(yǎng)習(xí)慣

※傳授給學(xué)生正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，解題習(xí)慣

收獲成績

※通過正確的引導(dǎo)幫助孩子提高成績，積累成就感和自信心

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目錄

第一講 高斯求和

{HYPERLINK “ada99:10937_SR.HTM”|第二講 找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

第一講 高斯求和

德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：

1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？

老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。

若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，?，100；

（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。

其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。

由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：

和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。

例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？

分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？

分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11＋1＝21（項(xiàng)）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。

例3、3＋7＋11＋?＋99＝？

分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。

例5 在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：

由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。

解：（1）最大三角形面積為

（1＋3＋5＋?＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。

2）火柴棍的數(shù)目為

3＋6＋9+?+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？

分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

2×1＋2×2＋?＋2×10 ＝2×（1＋2＋?＋10）＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

綜合列式為：

（3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

練習(xí)3

1.計(jì)算下列各題：

（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。2.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。

3.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。

4.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？

5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。

6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

練習(xí)

1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。

2.1127。提示：項(xiàng)數(shù)=（93-5）÷4+1=23。

3.2565。提示：末項(xiàng)=13+5×（30-1）=158。

4.180次。解：（1+2+?+12）×2+24=180（次）。

5.1650。解：2+5+8+?+98=1650。

6.45個(gè)。

提示：十位數(shù)為1，2，?，9的分別有1，2，?，9個(gè)。

這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。

按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1)1，2，3，4，5，6，?(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，?(4)1，1，2，3，5，8，13。

一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如，數(shù)列(1)的第3項(xiàng)是3，數(shù)列(2)的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項(xiàng)記作an。

數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個(gè)，如數(shù)列(1)(3)。

許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。

數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n項(xiàng)an＝n。

數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)×2，或第n項(xiàng)

數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。

數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即

a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。

常見的較簡(jiǎn)單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：

第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。

第二類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。

第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例

3、例4來作一些說明。例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，()，?

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.(2)84，72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，?(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，?(6)2，6，12，20，()，()，?

解：通過對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填16。(2)的規(guī)律是：前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。所以應(yīng)填48，36。(3)的規(guī)律是：前項(xiàng)×3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填54，162。(4)的規(guī)律是：前項(xiàng)÷5=后項(xiàng)。所以應(yīng)填5，1。(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為

1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，所以應(yīng)填5×5=25。(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為

2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，應(yīng)填 5×6=30，6×7=42。

說明：本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項(xiàng)分別可以表示為(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；

(3)an＝2×3；(4)an＝5；(5)an＝n；(6)an＝n(n+1)。

這樣表示的好處在于，如果求第100項(xiàng)等于幾，那么不用一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項(xiàng)等于3×100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項(xiàng)，當(dāng)然沒有必要計(jì)算大于5的項(xiàng)數(shù)了。例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。

解：通過對(duì)各數(shù)列已知的幾個(gè)數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。

(1)把數(shù)列每兩項(xiàng)分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個(gè)數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。(2)把后面已知的六個(gè)數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。(3)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的和等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(17+27=)44。(4)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的乘積等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(8×32=)256。例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)18，20，24，30，()；(2)11，12，14，18，26，()；(3)2，5，11，23，47，()，()。

解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項(xiàng)-前項(xiàng))組成一新數(shù)列2，4，6，?其規(guī)律是“依次加2”，因?yàn)?后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故

a5=8+30=38。

(2)12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，?按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。

(3)觀察數(shù)列前、后項(xiàng)的關(guān)系，后項(xiàng)=前項(xiàng)×2+1，所以

a6=2a5+1＝2×47+1＝95，a7＝2a6+1＝2×95+1=191。

例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)12，15，17，30，22，45，()，()；(2)2，8，5，6，8，4，()，()。n-15-n

2學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：(1)數(shù)列的第1，3，5，?項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列12，17，22，?其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項(xiàng)就是27；數(shù)列的第2，4，6，?項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列15，30，45，?其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項(xiàng)就是60。故應(yīng)填27，60。

(2)如(1)分析，由奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列2，5，8，?中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列8，6，4，? 中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。

練習(xí)5

1、按其規(guī)律在下列各數(shù)列的()內(nèi)填數(shù)。

1.56，49，42，35，()。

2.11，15，19，23，()，?

3.3，6，12，24，()。

4.2，3，5，9，17，()，?

5.1，3，4，7，11，()。

6.1，3，7，13，21，()。

7.3，5，3，10，3，15，()，()。

8.8，3，9，4，10，5，()，()。

9.2，5，10，17，26，()。

10.15，21，18，19，21，17，()，()。

11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。

(1)如果其中缺少一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？(2)如果其中多了一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？為什么？ 答案與提示 練習(xí)

1.28。

2.27。

3.48。

4.33。提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為1，2，4，8，16，?

5.18。提示：后項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。

6.31。提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為2，4，6，8，10。

7.3，20。

8.11，6。

9.37。提示：an=n+1。

10.24，15。提示：奇數(shù)項(xiàng)為15，18，21，24；偶數(shù)項(xiàng)為21，19，17，15。

11.(1)缺9，在7與11之間；(2)多15，因?yàn)槌?5以外都不是合數(shù)。

2學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

2、觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù).①2，5，8，11，（），17，20。

②19，17，15，13，（），9，7。

③1，3，9，27，（），243。

④64，32，16，8，（），2。

⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34?

⑥1，3，4，7，11，18，（），47?

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.⑧1，2，6，24，120，（），5040。

⑨1，1，3，7，13，（），31。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

(11)1，4，9，16，25，（），49，64。

(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析與解答

①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是14，即：11＋3=14。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

② 同①考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號(hào)中應(yīng)填11，即：13—2=11。

不妨把①與②聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個(gè)數(shù)列卻有一個(gè)共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個(gè)定值.我們把類似①②這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.③1，3，9，27，（），243。

此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括號(hào)中應(yīng)填 81，即 81= 27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即 243＝81×3。

④64，32，16，8，（），2

與③類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的2倍，即：

因此，括號(hào)中填4，代入后符合規(guī)律。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等.像③④這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。

⑤ 1，1，2，3，5，8，（），21，34?

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首先可以看出，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是 13，即 13=5+8，21=8+13，34=13+21。

這個(gè)以1，1分別為第1、第2項(xiàng)，以后各項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和的無窮數(shù)列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)列，它來源于一個(gè)有趣的問題：如果一對(duì)成熟的兔子一個(gè)月能生一對(duì)小兔，小兔一個(gè)月后就長成了大兔子，于是，下一個(gè)月也能生一對(duì)小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對(duì)兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個(gè)月中所有兔子的數(shù)目（以對(duì)為單位，一月記一次），就得到了一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列就是數(shù)列⑤的原型，因此，數(shù)列⑤又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級(jí)遞推方法中我們還要作詳細(xì)介紹。

⑥1，3，4，7，11，18，（），47?

在學(xué)習(xí)了數(shù)列⑤的前提下，數(shù)列⑥的規(guī)律就顯而易見了，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和.因此，括號(hào)中應(yīng)填的是29，即 29=11＋18。

數(shù)列⑥不同于數(shù)列⑤的原因是：數(shù)列⑥的第2項(xiàng)為3，而數(shù)列⑤為1，數(shù)列⑥稱為魯卡斯數(shù)列。

⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。

方法1：繼續(xù)考察相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：

因此，可以猜想，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律為：每一項(xiàng)等于它的項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的和，那么，第5項(xiàng)為15，即15=10+5，最后一項(xiàng)即第 9項(xiàng)為 45，即 45＝36＋9.代入驗(yàn)算，正確。

方法2：其實(shí)，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：

第1項(xiàng)：1=1

第2項(xiàng)：3=1＋2

第3項(xiàng)：6=1+2+3

第4項(xiàng)：10=1+2+3+4

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.第5項(xiàng)：（）

第6項(xiàng)：21=1+2+3+4+5+6

第7項(xiàng)：28=1+2+3+4+5+6+7

第8項(xiàng)；36=1+2+3+4+5+6+7+8

第9項(xiàng)：（）

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即這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：每一項(xiàng)都等于從1開始，以其項(xiàng)數(shù)為最大數(shù)的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項(xiàng)為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；

第九項(xiàng)為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

⑧1，2，6，24，120，（），5040。

方法1：這個(gè)數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項(xiàng)相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項(xiàng)的商，顯然：

所以，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：除第1項(xiàng)以外的每一項(xiàng)都等于其項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的乘積.因此，括號(hào)中的數(shù)為第6項(xiàng)720，即 720=120×6。

方法2：受⑦的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：

第1項(xiàng) 1=1

第2項(xiàng) 2=1×第3項(xiàng) 6=1×2×第4項(xiàng) 24=1×2×3×第5項(xiàng) 120=1×2×3×4×第6項(xiàng)（）

第7項(xiàng) 5040=1×2×3×4×5×6×7

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.所以，第6項(xiàng)應(yīng)為 1×2×3×4×5×6=720

⑨1，1，3，7，13，（），31

與⑦類似：

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可以猜想，數(shù)列⑨的規(guī)律是該項(xiàng)=前項(xiàng)+2×（項(xiàng)數(shù)-2）（第1項(xiàng)除外），那么，括號(hào)中應(yīng)填21，代入驗(yàn)證，符合規(guī)律。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

則：

因此，括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填為63。

小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個(gè)方面來考慮：①尋找各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)間的關(guān)系；②考慮相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。

事實(shí)上，數(shù)列⑦或數(shù)列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個(gè)不同的角度來考慮問題的.但有時(shí)候，從兩個(gè)角度的綜合考慮會(huì)更有利于問題的解決.因此，仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?huì)使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。

在⑩題中，1=2-1

3=22-1

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.7=23-1

15=24-1

31=25-1

127=27-1

255=28-1

所以，括號(hào)中為26-1即63。

（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每項(xiàng)都等于自身項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的乘積，所以括號(hào)中的數(shù)是36。

本題各項(xiàng)只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項(xiàng)關(guān)系來考慮問題，勢(shì)必要走彎路。

(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項(xiàng)加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項(xiàng)=項(xiàng)數(shù)×項(xiàng)數(shù)-1.所以，括號(hào)中填35，即 35= 6×6-1。

(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。

前面的方法均不適用于這個(gè)數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)、第7項(xiàng)和第9項(xiàng)，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項(xiàng)（即第1，3，5，7，9項(xiàng)）和偶數(shù)項(xiàng)（即第2，4，6，8項(xiàng)）來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)重新分組排列如下：

奇數(shù)項(xiàng)：1，2，3，4，5

偶數(shù)項(xiàng)：2，4，8，16 可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等比數(shù)列.因此，括號(hào)中的數(shù)，即第10項(xiàng)應(yīng)為32（32=16×2）。

(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。

同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項(xiàng)：

偶數(shù)項(xiàng)：2，4，6，8，10

奇數(shù)項(xiàng)：1，3，9，27，（）.所以，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，括號(hào)中應(yīng)填81（81=27×3）。

像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個(gè)數(shù)列中都含有兩個(gè)系列，這兩個(gè)系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重?cái)?shù)列。

3、按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.1.1，2，3，4，5，（），7?

2.100，95，90，85，80，（），70

3.1，2，4，8，16，（），64

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

5.2，1，3，4，7，（），18，29，47

6.1，2，5，10，17，（），37，50

7.1，8，27，64，125，（），343

8.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層上到四層需要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯(cuò)了.正確的答案應(yīng)該是3分鐘。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，而不是四層樓梯。

下面我們來看幾個(gè)類似的問題。

例1 裁縫有一段16米長的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？

分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個(gè)2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個(gè)2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個(gè)2米，用3天，??

我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個(gè)數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個(gè)2米，問題就可以解決了。

解：16米中包含2米的個(gè)數(shù)：16÷2=8（個(gè)）

剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天）

答：第七天就可以剪去最后一段。

例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少秒？

可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4段，實(shí)際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時(shí)間了，又由于用同樣的速度切成5段；實(shí)際上切了4次，這樣切成5段所用的時(shí)間就可以求出來了。

解：切一次所用的時(shí)間：24÷（4-1）=8（秒）

切5段所用的時(shí)間：8×（5-1）=32（秒）

答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。

例3三年級(jí)同學(xué)120人排成4路縱隊(duì)，也就是4個(gè)人一排，排成了許多排，現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊(duì)伍長多少米？

解：因?yàn)槊?人一排，所以共有：120÷4=30（排）

30排中間共有29個(gè)間隔，所以隊(duì)伍長：1×29=29（米）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：這支隊(duì)伍長29米。

例4 時(shí)鐘4點(diǎn)鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

分析 如果盲目地計(jì)算：12÷4=3（秒），3×6=18（秒），認(rèn)為敲6下需要18秒鐘就錯(cuò)了.請(qǐng)看下圖：

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

時(shí)鐘敲4下，其間有3個(gè)間隔，每個(gè)間隔是：12÷3=4（秒）；時(shí)鐘敲6下，其間共有5個(gè)間隔，所用時(shí)間為：

4×5=20（秒）。

解：每次間隔時(shí)間為：12÷（4-1）=4（秒）

敲 6下共用的時(shí)間為：4×（6-1）＝20（秒）

答：時(shí)鐘敲6下共用20秒。

例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走到4層需要48秒，請(qǐng)問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

分析 要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還要知道從4樓走到8樓共走幾層樓梯.上一層樓梯需要：48÷（4-1）=16（秒），從4樓走到8樓共走8-4=4（層）樓梯。到這里問題就可以解決了。

解：上一層樓梯需要：48÷（4-1）=16（秒）

從4樓走到8樓共走：8-4=4（層）樓梯

還需要的時(shí)間：16×4=64（秒）

答：還需要64秒才能到達(dá)8層。

例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級(jí)臺(tái)階，如果各層樓之間的臺(tái)階數(shù)相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級(jí)臺(tái)階？

分析 要求晶晶從第1層走到第6層需要走多少級(jí)臺(tái)階，必須先求出每一層樓梯有多少臺(tái)階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓梯。

從1樓到3樓有3-1=2層樓梯，那么每一層樓梯有36÷2=18（級(jí)）臺(tái)階，而從1層走到6層需要走6-1=5（層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。

解：每一層樓梯有：36÷（3-1）＝18（級(jí)臺(tái)階）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.晶晶從1層走到6層需要走：18×（6-1）=90（級(jí)）臺(tái)階。

答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級(jí)臺(tái)階。

注：例1～例4所敘述的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之處，請(qǐng)同學(xué)們自己去體會(huì).爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺(tái)階數(shù)=每層樓梯的臺(tái)階數(shù)×（所到達(dá)的層數(shù)減起點(diǎn)的層數(shù)）。

習(xí)題

1.一根木料截成3段要6分鐘，如果每截一次的時(shí)間相等，那么截7段要幾分鐘？

2.有一幢樓房高17層，相鄰兩層之間都有17級(jí)臺(tái)階，某人從1層走到11層，一共要登多少級(jí)臺(tái)階？

3.從1樓走到4樓共要走48級(jí)臺(tái)階，如果每上一層樓的臺(tái)階數(shù)都相同，那么從1樓到6樓共要走多少級(jí)臺(tái)階？

4.一座樓房每上1層要走16級(jí)臺(tái)階，到小英家要走64級(jí)臺(tái)階，小英家住在幾樓？

5.一列火車共20節(jié)，每節(jié)長5米，每兩節(jié)之間相距1米，這列火車以每分鐘20米的速度通過81米長的隧道，需要幾分鐘？

6.時(shí)鐘3點(diǎn)鐘敲3下，6秒鐘敲完，12點(diǎn)鐘敲12下，幾秒鐘敲完？

7.某人到高層建筑的10層去，他從1層走到5層用了100秒，如果用同樣的速度走到10層，還需要多少秒？

8.A、B二人比賽爬樓梯，A跑到4層樓時(shí)，B恰好跑到3層樓，照這樣計(jì)算，A跑到16層樓時(shí)，B跑到幾層樓？

9.鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計(jì)算火車的速度，測(cè)量出從第一根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿共用了2分鐘，火車的速度是每秒多少米？

習(xí)題解答

1.解：每截一次需要：6÷（3-1）=3（分鐘），截成7段要3×（7-1）=18（分鐘）

答：截成7段要18分鐘。

2.解：從1層走到11層共走：11-1=10（個(gè)）樓梯，從1層走到11層一共要走：17×10=170（級(jí)）臺(tái)階。

答：從1層走到11層，一共要登170級(jí)臺(tái)階。

3.解：每一層樓梯的臺(tái)階數(shù)為：48÷（4-1）=16（級(jí)），從1樓到6樓共走：6-1=5（個(gè)）樓梯，從1樓到6樓共走：16×5=80（級(jí)）臺(tái)階。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：從1樓到6樓共走80級(jí)臺(tái)階。

4.解：到小英家共經(jīng)過的樓梯層數(shù)為：64÷16=4（層），小英家住在：4＋1=5（樓）

答：小英家住在樓的第5層。

5.解：火車的總長度為：5×20+1×（20-1）=119（米），火車所行的總路程：119＋81=200（米），所需要的時(shí)間：200÷20=10（分鐘）

答：需要10分鐘。

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6.解：每個(gè)間隔需要：6÷（3-1）=3（秒），12點(diǎn)鐘敲12下，需要3×（12-1）=33（秒）

答：33秒鐘敲完。

7.解：每上一層樓梯需要：100÷（5-1）=25（秒），還需要的時(shí)間：25×（10-5）=125（秒）

答：從5樓再走到10樓還需要125秒。

8.由A上到4層樓時(shí)，B上到3層樓知，A上3層樓梯，B上2層樓梯。那么，A上到16層時(shí)共上了15層樓梯，因此B上2×5=10個(gè)樓梯，所以B上到10＋1=11（層）。

答：A上到第16層時(shí)，B上到第11層樓。

9.解：火車2分鐘共行：50×（37-1）=1800（米）

2分鐘=120秒

火車的速度：1800÷120=15（米/秒）

答：火車每秒行15米。

第四講 植樹與方陣問題

一、植樹問題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會(huì)怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①總路線長.②間距（棵距）長.③棵數(shù).只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素.就可以求出第三個(gè)。關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。1.不封閉路線 例：如圖

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① 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總長平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是： 棵數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距+1 全長=株距×（棵數(shù)-1）株距=全長÷（棵數(shù)-1）

② 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為： 全長=株距×棵數(shù)； 棵數(shù)=全長÷株距； 株距=全長÷棵數(shù)。

③ 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵?？脭?shù)=段數(shù)-1=全長÷株距-1.如右圖所示.段數(shù)為5段，植樹棵數(shù)為4棵。株距=全長÷（棵數(shù)+1）。2.封閉的植樹路線

例如：在圓、正方形、長方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

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棵數(shù)=段數(shù)=周長÷株距.二、方陣問題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。

方陣的基本特點(diǎn)是：

① 方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2。

② 每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系： 四周人（或物）數(shù)=[每邊人（或物）數(shù)-1]×4； 每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)÷4＋1。

③ 中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù)×每邊人（或物）數(shù)。

例1 有一條公路長900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？ 分析 要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長可分成若干段.由于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。

解：以10米為一段，公路全長可以分成 900÷10＝90（段）

共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）

答：可栽電線桿91根。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例2 馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問汽車每小時(shí)走多少千米？

分析 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長度就容易求出汽車速度.解：5分鐘汽車共走了：

9×（501-1）=4500（米），汽車每分鐘走：4500÷5=900（米），汽車每小時(shí)走：

900×60=54000（米）=54（千米）

列綜合式：

9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）

答：汽車每小時(shí)行54千米。

例3 某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？

分析 根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：

每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4＋1=16（人）

整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）

答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？

分析 方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。

解：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）×4=52（個(gè)）

第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）×4=44（個(gè)）

第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-2×2-1）×4=36（個(gè)）.擺這個(gè)方陣共用棋子：

52+44＋36＝132（個(gè)）

還可以這樣想：

中空方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4進(jìn)行計(jì)算。

解：（14-3）×3×4=132（個(gè)）

答：擺這個(gè)方陣共需132個(gè)圍棋子。

例5 一個(gè)圓形花壇，周長是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？兩棵月季之間的株距是多少米？

分析 ①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)=段數(shù).② 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍。

解：共可栽芍藥花：180÷6＝30（棵）

共種月季花：2×30＝60（棵）

兩種花共：30+60=90（棵）

兩棵花之間距離：180÷90=2（米）

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相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。

答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例6 一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？

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分析 ①從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個(gè)小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為

9×2-1=17（棵）。

② 又知道這個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花

（17-1）×3=48（棵）。

③.再看圖中畫斜線的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.在計(jì)算大三角形栽花棵數(shù)時(shí)已經(jīng)計(jì)算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7（棵）

解：大三角形三條邊上共栽花：

（9×2-1-1）×3=48（棵）

中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：

（9-2）×3=21（棵）

整個(gè)花壇共栽花：48+21=69（棵）

答：大三角形邊上共栽花48棵，整個(gè)花壇共栽花69棵。

習(xí)題四

1.一個(gè)圓形池塘，它的周長是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多少株？

2.有一正方形操場(chǎng)，每邊都栽種17棵樹，四個(gè)角各種1棵，共種樹多少棵？

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時(shí)從路的一端的某一棵樹出發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時(shí)，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？

4.在一根長100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn).從右向左每隔5厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn)，在兩個(gè)紅點(diǎn)之間長為4厘米的間距有幾段？

題四解答

1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)=段數(shù)，150÷3=50（棵）。

2.提示：在正方形操場(chǎng)邊上栽樹.正方形邊長都相等，四個(gè)角上栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1=16（棵），共栽：（17-1）×4=64（棵）

答：共栽樹64棵。

3.解：甲走到第22棵樹時(shí)走過了22-1＝21（個(gè)）棵距.同樣乙走過了10-1＝9（個(gè)）棵距.乙走到第10棵樹，所用的時(shí)間為（9×棵距÷36），這個(gè)時(shí)間也是甲走過21個(gè)棵距的時(shí)間，甲的速度為：21×棵距÷（9×棵距÷36）=84米/分。

答：甲的速度是每分鐘84米。

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4.① 根據(jù)已知條件，從左至右每隔6厘米點(diǎn)一紅點(diǎn)，不難算出共有17個(gè)點(diǎn)（包括起點(diǎn)，終點(diǎn)）并余4厘米。②100厘米長的棒從右到左共點(diǎn)21個(gè)點(diǎn)，可分為20段，而最后一點(diǎn)與端點(diǎn)重合，相當(dāng)于從左到右以5厘米的間距畫點(diǎn).③ 在5與6的公倍數(shù)30中，不難看出有2個(gè)4厘米的小段；同樣在第二個(gè)和第三個(gè)30厘米中也各有2個(gè)，剩下的10厘米只有一個(gè)4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有2×3+1=7（段）4厘米長的間距.植樹問題

一、填空題

1.在相距100米的兩樓之間栽樹,每隔10米栽1棵,共栽了 棵樹.2.圓形滑冰場(chǎng)周長400米,每隔20米裝一盞燈,共要裝 盞燈.3.一段公路長3600米,在公路兩旁每隔9米栽一棵梧桐樹,兩端都栽,共栽梧桐樹 棵.4.在一個(gè)半徑是125米的圓形花園周圍以等距離種白楊樹157棵,則兩樹間的距離是 米.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

5.一個(gè)湖泊周長1800米,沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹,每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹,湖泊周圍栽柳樹 棵,栽桃樹 棵.6.一塊三角形地,三邊之長分別為156米、234米、186米,要在三邊上植樹,株距6米,三個(gè)角上各有一棵,共植樹 棵.7.一條馬路長440米,在路的兩旁每隔8米種一棵樹,兩邊都種,共種 棵樹.8.兩棵柳樹相距408米,計(jì)劃在這兩棵樹之間補(bǔ)栽小樹23棵,每兩棵樹間隔相等,則樹的間隔 米.9.公路的每邊相隔7米有一棵槐樹,芳芳乘電車3分鐘看到公路的一邊有槐樹151棵,電車的速度是每分鐘 米.10.國慶節(jié)接受檢閱的一列車隊(duì)共52輛,每輛車長4米,前后每輛車相隔6米,車隊(duì)每分鐘行駛105米.這列車隊(duì)要通過536米長的檢閱場(chǎng)地,要 分鐘.二、解答題

11.參加閱兵的戰(zhàn)士有1200人,平均分成5個(gè)大隊(duì),隊(duì)距是7.5米.每隊(duì)6人為一排,排距是2米.整個(gè)隊(duì)伍的總長有多少米.12.鋸一條4米長的圓柱形的鋼條,鋸5段耗時(shí)1小時(shí)20分.如果把這樣的鋼條鋸成半米長的小段,需要多少分鐘.13.一人以相等的速度在小路上散步,從第一棵樹走到第12棵樹用了11分鐘,如果這個(gè)人走了25分鐘,應(yīng)走到的第幾棵樹.14.在一個(gè)正方形的場(chǎng)地四周種樹,四個(gè)頂點(diǎn)都有一棵,這樣每邊都種有24棵,四周共種多少棵樹.———————————————答 案——————————————————————

一、填空題

1． 因?yàn)閮啥瞬荒茉詷?所以: 棵數(shù)=間隔數(shù)-1=100÷10-1=9（棵）

2． 間隔數(shù)為:400÷20=20 因?yàn)槭黔h(huán)形問題,裝燈的盞數(shù)等于間隔數(shù),共要裝訂20盞.3.間隔數(shù)為:3600÷9=400 栽數(shù)棵數(shù)=(間隔數(shù)+1)×2=401×2=802(棵)

4.半徑為125米的圓周長為:2×3.14×125=785(米)因?yàn)榄h(huán)形問題的棵數(shù)等于間隔數(shù),所以間隔數(shù)為157.間距=785÷157=5(米)

5.間隔數(shù)=1800÷3=600 因?yàn)槭黔h(huán)形問題,所以栽柳數(shù)為600棵.因?yàn)槊績煽昧鴺渲虚g栽一棵桃樹,即每個(gè)間隔內(nèi)栽一棵桃樹,所以栽桃樹600棵.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.6.因?yàn)?56÷6=26 234÷6=39 186÷6=31 又因?yàn)槿齻€(gè)角上各有一棵,所以共植樹:(26+1)+(39+1)+(31+1)-3=27+40+32-3=96(棵)

7.間隔數(shù)=440÷8=55 因?yàn)閮蛇叾挤N樹,所以共種樹:(55+1)×2=112(棵)

8.間隔數(shù)=棵數(shù)-1=(23+2)-1=24 間距=路長÷間隔數(shù)=408÷24=17(米)

9.路長=間隔數(shù)×間距=(151-1)×7=1050(米)速度=路程÷時(shí)間=1050÷3=350(米)所以速度為每分鐘350米.10.因?yàn)檐囮?duì)行駛的路程等于檢閱場(chǎng)地的長度與車隊(duì)長度的和.所以所需時(shí)間為: [4×52+6×(52-1)+536]÷105 =[208+306+536]÷105 =1050÷105 =10(分鐘)

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二、解答題

11.由題意,隊(duì)伍總長為: 7.5×(5-1)+2×(1200÷5÷6-1)×5 =7.5×4+2×39×5 =420(米)

12.由題意,所需時(shí)間為: 鋸一刀所需時(shí)間×要鋸的刀數(shù).=(60×1+20)÷(5-1)×(4÷0.5-1)=80÷4×7 =140(分鐘)

13.由從第1棵走到第12棵,共走了11個(gè)間隔,用了11分種,得出每分鐘走1個(gè)間隔.所以25分鐘,走了25個(gè)間隔,所以應(yīng)走到第25+1=26棵樹.14.由題意,四周共有:(24-1)×4=92(棵)

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和歸總問題

為什么把有的問題叫歸一問題？我國珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)？

正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。

例1 一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

分析 為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2×60=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。

解：1小時(shí)=60分鐘

12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）

或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

例2 一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？

方法1：

分析 通過3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問題所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

方法2：用比例關(guān)系解。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：設(shè)磨剩下的面粉還要x小時(shí)。

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6000x＝3×14000

x=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

例3 學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

分析 要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個(gè)），總價(jià)差355-281＝74（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問題得解。

解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）

=37元

②一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷3＝32（元）

③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）

答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。

例4 一個(gè)長方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？

分析 要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時(shí)間。

解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）

③排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）

列綜合算式：

480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）

答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例5 7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？

方法1：

分析 要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。

解：①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？

336÷6÷7=56÷7=8（噸）

②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？

560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？

112÷8-7＝7（輛）

列綜合算式：

560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。

方法2：

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在求一輛卡車一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時(shí)，可以列出兩種不同情況的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7輛卡車1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式②，先除以7，求出一輛卡車6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6，求出每輛卡車的載重量。

在求560噸沙土5次運(yùn)完需要多少輛卡車時(shí)，有以下幾種不同的計(jì)算方法：

求出一共用車14輛后，再求增加的輛數(shù)就容易了。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例6 某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

分析 我們把1個(gè)工人工作1小時(shí)，作為1個(gè)工時(shí).根據(jù)已知條件，加工這批零件，原計(jì)劃需要多少“工時(shí)”呢？求出“工時(shí)”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或減少，工期延長或縮短，仍然按照原來的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時(shí)”總數(shù)，再求出要加班的工時(shí)數(shù)，問題就解決了。

解：①原計(jì)劃加工這批零件需要的“工時(shí)”：

8×18×7.5=1080（工時(shí)）

②增加6人后每天工作幾小時(shí)？

1080÷（18+6）÷4=11.25（小時(shí)）

③每天加班工作幾小時(shí)？ 11.25-8=3.25（小時(shí)）

答：每天要加班工作3.25小時(shí)。

例7 甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？

分析 已知條件告訴我們：“在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).”既然知道了“時(shí)間相同”，問題就容易解決了.題目里還告訴我們：“甲、乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè).”這樣可以先求出“甲乙二人每小時(shí)打字個(gè)數(shù)之和”，就可求出所用時(shí)間了.解：①甲、乙二人每小時(shí)共打字多少個(gè)？

3600÷4＝900（個(gè)）

②“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

（2450＋2050）÷900＝5（小時(shí)）

③甲打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：

2450÷5=490（個(gè)）

④乙打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：

2050÷5=410（個(gè)）

答：甲打字員每小時(shí)打字490個(gè)，乙打字員每小時(shí)打字410個(gè)。

還可以這樣想：這道題的已知條件可以分兩層.第一層，甲乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè)；第二層，在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).由這兩個(gè)條件可以求出在相同的時(shí)間內(nèi)，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（個(gè)）；打字 3600個(gè)用4小時(shí)，打字4500個(gè)用幾小時(shí)呢？先求出4500是3600的幾倍，也一定是4小時(shí)的幾倍，即“相同時(shí)間”。

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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：①“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小時(shí)）

②甲每小時(shí)打字多少個(gè)？

2450÷5=490（個(gè)）

③乙每小時(shí)打字多少個(gè)？

2050÷5=410（個(gè)）

答：甲每小時(shí)打字490個(gè)，乙每小時(shí)打字410個(gè).與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價(jià)等。例8 一項(xiàng)工程，8個(gè)人工作15時(shí)可以完成，如果12個(gè)人工作，那么多少小時(shí)可以完成？

分析：（1）工程總量相當(dāng)于1個(gè)人工作多少小時(shí)？

15×8＝120（時(shí)）。

（2）12個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少小時(shí)？

120÷12＝10（時(shí)）。解：15×8÷12＝10（時(shí)）。

答：12人需10時(shí)完成。

例9 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行60千米，5時(shí)到達(dá)。若要4時(shí)到達(dá)，則每小時(shí)需要多行多少千米？

分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。

（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4時(shí)到達(dá)，每小時(shí)需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小時(shí)多行多少千米？

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：每小時(shí)需要多行15千米。

例10 修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成?，F(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？

分析：（1）修這條公路共需要多少個(gè)勞動(dòng)日（總量）？

60×80＝4800（勞動(dòng)日）。

（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動(dòng)日？

4800-60×20=3600（勞動(dòng)日）。

（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

練習(xí)11

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1．2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)6時(shí)可耕地多少公頃？

2．4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)幾小時(shí)才能織布24960米？

3．一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？

4．3臺(tái)抽水機(jī)8時(shí)灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺(tái)同樣的抽水機(jī)6時(shí)可以灌溉水田多小公頃？

5．平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5時(shí)，6天可以完成任務(wù)。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時(shí)？

6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)買雞蛋，原計(jì)劃按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價(jià)格下調(diào)后是每千克多少元？

7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲(chǔ)備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進(jìn)行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？

1.75公頃。2.8時(shí)。3.768張。

4.60公頃。5.8時(shí)。6.2.80元。

7.140天。

8.花果山上桃樹多，6只小猴分180棵.現(xiàn)有小猴72只，如數(shù)分后還余90棵，請(qǐng)算出桃樹有幾棵？

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.9.5箱蜜蜂一年可以釀75千克蜂蜜，照這樣計(jì)算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？

10.4輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.現(xiàn)有5輛汽車同時(shí)運(yùn)貨到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，問是否夠用？

11.5臺(tái)拖拉機(jī)24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機(jī)多少臺(tái)？

習(xí)題8-11解答

8.180÷6×72+90=2250（棵）

或：180×（72÷6）+90=2250（棵）

答：桃樹共有2250棵。

9.300÷（75÷5）-5=15（箱）

或 5×[（300-75）÷75]=5×3=15（箱）

答：要增加 15箱蜜蜂。

10.提示：要想得知1000公升汽油是否夠用，先算一算行800千米需要的汽油，然后進(jìn)行比較.如果大于1000公升，說明不夠用；小于或等于 1000公升，說明夠用。

240÷4÷300×5×800=800（公升）

800公升＜1000公升，說明夠用.答：1000公升汽油夠用。

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11.提示：先求出1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地公畝數(shù)，然后求出18天耕54000公畝需要拖拉機(jī)臺(tái)數(shù)，再求增加臺(tái)數(shù)。

答：需要增加 25臺(tái)拖拉機(jī).Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

求平均數(shù)問題是小學(xué)學(xué)習(xí)階段經(jīng)常接觸的一類典型應(yīng)用題，如“求一個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡、平均身高、平均分?jǐn)?shù)??”。

平均數(shù)問題包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)求平均數(shù)。

解答這類應(yīng)用題時(shí)，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關(guān)系，根據(jù)總數(shù)除以它相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)。

【典型例題】

一、算術(shù)平均數(shù)

例1 用4個(gè)同樣的杯子裝水，水面高度分別是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，這4個(gè)杯子水面平均高度是多少厘米？

分析 求4個(gè)杯子水面的平均高度，就相當(dāng)于把4個(gè)杯子里的水合在一起，再平均倒入4個(gè)杯子里，看每個(gè)杯子里水面的高度。

解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）

答：這4個(gè)杯子水面平均高度是6厘米?！眷柟叹毩?xí)】

1、一小組六個(gè)同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績是多少？

解：總成績=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。

這個(gè)小組有6個(gè)同學(xué)，平均成績是

546÷6＝91(分)。

答：平均成績是91分。

例2 蔡琛在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、生物五科的平均分是 89分.政治、數(shù)學(xué)兩科的平均分是91.5分.語文、英語兩科的平均分是84分.政治、英語兩科的平均分是86分，而且英語比語文多10分.問蔡琛這次考試的各科成績應(yīng)是多少分？

分析 解題關(guān)鍵是根據(jù)語文、英語兩科平均分是84分求出兩科的總分，又知道兩科的分?jǐn)?shù)差是10分，用和差問題的解法求出語文、英語各得多少分后，就可以求出其他各科成績。

解：①英語：（84×2+10）÷2=89（分）

②語文： 89-10=79（分）

③政治：86×2-89＝83（分）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.④數(shù)學(xué)： 91.5×2-83＝100（分）

⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）

答：蔡琛這次考試英語、語文、政治、數(shù)學(xué)、生物的成績分別是89分、79分、83分、100分、94分。

【鞏固練習(xí)】

1、小敏期末考試，數(shù)學(xué)92分，語文90分，英語成績比這三門的平均成績高4分。問：英語得了多少分？

分析：英語比平均成績高的這4分，是“補(bǔ)”給了數(shù)學(xué)和語文，所以三門功課的平均成績?yōu)?/p>

(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英語成績。解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。

答：英語得了97分。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

二、加權(quán)平均數(shù)

例3 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什錦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.問：什錦糖每千克多少元？

分析 要求混合后的什錦糖每千克的價(jià)錢，必須知道混合后的總錢數(shù)和與總錢數(shù)相對(duì)應(yīng)的總千克數(shù)。

解：①什錦糖的總價(jià)：

4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）

②什錦糖的總千克數(shù)： 2＋3＋5＝10（千克）

③什錦糖的單價(jià)：57.4÷10=5.74（元）

答：混合后的什錦糖每千克5.74元。

我們把上述這種平均數(shù)問題叫做“加權(quán)平均數(shù)”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加權(quán)平均數(shù).2千克、3千克、5千克這三個(gè)數(shù)很重要，對(duì)什錦糖的單價(jià)產(chǎn)生不同影響，有權(quán)衡輕重的作用，所以這樣的數(shù)叫做“權(quán)數(shù)”。

【鞏固練習(xí)】

1、把40千克蘋果和80千克梨裝在6個(gè)筐內(nèi)(可以混裝)，使每個(gè)筐裝的重量一樣。每筐應(yīng)裝多少千克？ 解：蘋果和梨的總重量為

40＋80＝120(千克)。

因要裝成6筐，所以，每筐平均應(yīng)裝

120÷6＝20(千克)。

答：每筐應(yīng)裝20千克。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.2、小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克。小明家養(yǎng)的豬平均多重？

解：兩批豬的總重量為

66×3＋42×5＝408(千克)。

兩批豬的頭數(shù)為3＋5＝8(頭)，故平均每頭豬重

408÷8＝51(千克)。

答：平均每頭豬重51千克。

注意，在上例中不能這樣來求每頭豬的平均重量：

(66＋42)÷2＝54(千克)。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

例4 甲乙兩塊棉田，平均畝產(chǎn)籽棉185斤.甲棉田有5畝，平均畝產(chǎn)籽棉203斤；乙棉田平均畝產(chǎn)籽棉170斤，乙棉田有多少畝？

分析 此題是已知兩個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)、兩個(gè)數(shù)和其中一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)，求另一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)的問題.甲棉田平均畝產(chǎn)籽棉203斤比甲乙棉田平均畝產(chǎn)多18斤，5畝共多出90斤.乙棉田平均畝產(chǎn)比甲乙棉田平均畝產(chǎn)少15斤，乙少的部分用甲多的部分補(bǔ)足，也就是看90斤里面包含幾個(gè)15斤，從而求出的是乙棉田的畝數(shù)，即“權(quán)數(shù)”。

解：①甲棉田5畝比甲乙平均畝產(chǎn)多多少斤？

（203-185）×5=90（斤）

②乙棉田有幾畝？

90÷（185-170）=6（畝）

答：乙棉田有6畝。【鞏固練習(xí)】

1、三年級(jí)二班共有42名同學(xué)，全班平均身高為132厘米，其中女生有18人，平均身高為136厘米。問：男生平均身高是多少？ 解：全班身高的總數(shù)為

132×42＝5544(厘米)，女生身高總數(shù)為

136×18＝2448(厘米)，男生有42-18＝24(人)，身高總數(shù)為

5544-2448＝3096(厘米)，男生平均身高為

3096÷24＝129(厘米)。

綜合列式：

(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。

答：男生平均身高為129厘米。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.三、連續(xù)數(shù)平均問題

我們學(xué)過的連續(xù)數(shù)有“連續(xù)自然數(shù)”、“連續(xù)奇數(shù)”、“連續(xù)偶數(shù)”.已知幾個(gè)連續(xù)數(shù)的和求出這幾個(gè)數(shù)，也叫平均問題。

例5 已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

分析 已知偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是144.連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它的特點(diǎn)是首項(xiàng)與末項(xiàng)之和等于第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)之和，等于第三項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)之和??即每兩個(gè)數(shù)分為一組，八個(gè)數(shù)分成4組，每一組兩個(gè)數(shù)的和是144÷4＝36.這樣可以確定出中間的兩個(gè)數(shù)，再依次求出其他各數(shù)。

解：①每組數(shù)之和：144÷4=36

②中間兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)：（36＋2）÷2＝19

③中間兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)：19-2=17

∴這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)為11、13、15、17、19、21、23和25。

答：這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為：11、13、15、17、19、21、23和25?！眷柟叹毩?xí)】

1、已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是2016，求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

四、調(diào)和平均數(shù)

例6 一個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行爬山訓(xùn)練.從A地出發(fā)，上山路長11千米，每小時(shí)行4.4千米.爬到山頂后，沿原路下山，下山每小時(shí)行5.5千米.求這位運(yùn)動(dòng)員上山、下山的平均速度。

分析 這道題目是行程問題中關(guān)于求上、下山平均速度的問題.解題時(shí)應(yīng)區(qū)分平均速度和速度的平均數(shù)這兩個(gè)不同的概念.速度的平均數(shù)=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的總路程÷上、下山所用的時(shí)間和。

解：①上山時(shí)間： 11÷4.4=2.5（小時(shí)）

②下山時(shí)間：11÷5.5=2（小時(shí)）

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【鞏固練習(xí)】

1、小胖爬山，上山的平均速度是每小時(shí)2千米，到達(dá)山頂后立即下山，下山的平均速度是每小時(shí)6千米，求小胖上、下山的平均速度．

2、一條山路全長15千米，一名運(yùn)動(dòng)員以每小時(shí)3千米的速度上山，再以每小時(shí)5千米的速度下山，求這名運(yùn)動(dòng)員往返一趟的平均速度？

五、基準(zhǔn)數(shù)平均數(shù)

例7 中關(guān)村三小有15名同學(xué)參加跳繩比賽，他們每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)分別為93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每個(gè)人平均每分鐘跳繩多少個(gè)？

分析 從他們每人跳繩的個(gè)數(shù)可以看出，每人跳繩的個(gè)數(shù)很接近，所以可以選擇其中一個(gè)數(shù)90做為基準(zhǔn)數(shù)，再找出每個(gè)加數(shù)與這個(gè)基準(zhǔn)數(shù)的差.大于基準(zhǔn)數(shù)的差作為加數(shù)，如93＝90+3，3作為加數(shù)；小于基準(zhǔn)數(shù)的差作為減數(shù)，如 87=90-3，3作為減數(shù).把這些差累計(jì)起來，用和數(shù)的項(xiàng)數(shù)乘以基準(zhǔn)數(shù)，加上累計(jì)差，再除以和數(shù)的個(gè)數(shù)就可以算出結(jié)果。

解：①跳繩總個(gè)數(shù)。

93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89

=90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）

=1350+19-19

=1350（個(gè)）

②每人平均每分鐘跳多少個(gè)？

1350÷15=90（個(gè)）

答：每人平均每分鐘跳90個(gè).Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.【鞏固練習(xí)】

1、同學(xué)們參加跳繩比賽，跳繩情況如下表：

序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 男生 84 78 69 80 92 91 87 女生 92 94 90 89 87 92 93

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

男生平均每人跳多少個(gè)？女生呢？

解：男生：（84+78+69+80+92+91+87）÷7，=581÷7，=83（個(gè)）；

女生：（92+94+90+89+87+92+93）÷7，=637÷7，=91（個(gè)）．

答：男生平均每人跳83個(gè)，女生平均每人跳91個(gè)．

習(xí)題

1.某次數(shù)學(xué)考試，甲乙的成績和是184分，乙丙的成績和是187分，丙丁的成績和是188分，甲比丁多1分，問甲、乙、丙、丁各多少分？

2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均數(shù)。

3.縫紉機(jī)廠第一季度平均每月生產(chǎn)縫紉機(jī)750臺(tái)，第二季度生產(chǎn)的是第一季度生產(chǎn)的2倍多66臺(tái)，下半年平均月生產(chǎn)1200臺(tái)，求這個(gè)廠一年的平均月產(chǎn)量。

4.甲種糖每千克8.8元，乙種糖每千克7.2元，用甲種糖5千克和多少乙種糖混合，才能使每千克糖的價(jià)錢為8.2元？

5.7個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1988，求這7個(gè)連續(xù)偶數(shù)。

6.6個(gè)學(xué)生的年齡正好是連續(xù)自然數(shù)，他們的年齡和與小明爸爸的年齡相同，7個(gè)人年齡一共是126歲，求這6個(gè)學(xué)生各幾歲？

7.食堂買來5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到十種不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.問這五只羊各重多少千克？

習(xí)題解答

1.∵甲+乙=184（1）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.乙+丙=187（2）

丙+丁=188（3）

（2）-（1）丙-甲=3（4）

（3）-（4）丁+甲=185

∴甲=（185+1）÷2=93（分）

丁=93-1=92（分）

乙=184-93=91（分）

丙=187-91=96（分）

答：甲、乙、丙、丁的成績分別為93分、91分、96分、和92分。

2.1962+1973＋1981+1994+2005

=1981×5+（13+24）-（8＋19）

=9915。

9915÷5＝1983。

3.①上半年總產(chǎn)量：

750×3+750×3×2＋66=6816（臺(tái)）

②下半年總產(chǎn)量：1200×6=7200（臺(tái)）

③平均月產(chǎn)量：（6816＋7200）÷12=1168（臺(tái)）

答：平均月產(chǎn)量是1168臺(tái)。

4.（8.8-8.2）×5÷（8.2-7.2）=3（千克）

答：與乙種糖3千克混合。

5.分析 已知奇數(shù)個(gè)偶數(shù)的和，可以用和除以個(gè)數(shù)求出中間數(shù)，再求出其他各偶數(shù)。

中間數(shù)：1988÷7=284

其他六個(gè)數(shù)分別為278、280、282、284、286、288、290。

答：這7個(gè)偶數(shù)分別為：278、280、282、284、286、288、290。

6.分析 6個(gè)孩子年齡和與小明爸爸年齡相同，說明小明爸爸年齡是126歲的一半，是63歲.其他6個(gè)學(xué)生的年齡和也是63歲.63÷3＝21（歲），21=10＋11為中間兩個(gè)數(shù)，所以其他四人

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.年齡依次為8、9、12、13歲。

答：這六個(gè)學(xué)生的年齡分別為：8、9、10、11、12、13歲。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

7.解：設(shè)5只羊的重量從輕到重依次為A1、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47，A1+A3=50??A3+A5=58，A4+A5=59.10次稱重5只羊各稱過4次，所以它們的重量和應(yīng)是：

A1＋A2＋A3＋A4＋A5

=（47+50+51＋52＋53+54+55+57+58+59）÷4=13A3=134-（A1+A2）-（A4+A5）=28

A1＝50-28＝22 A2＝47-22＝25

A5＝58-28=30 A4=59-30=29

答：這5只羊的重量分別為22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.和倍應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系，形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如，和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。

和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是：

已知大、小二數(shù)的“和”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。

上面的問題中有“和”，有“倍數(shù)”，所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖如下：

從線段圖知，“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍，所以，小數(shù)=和÷(倍數(shù)+1)。

上式稱為和倍公式。由此得到

大數(shù)=和-小數(shù)，或 大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。

例如，大、小二數(shù)的和是265，大數(shù)是小數(shù)的4倍，則

小數(shù)=265÷(4＋1)=53，大數(shù)=265-53=212或53×4=212。

【典型例題】

例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸？

分析：把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”，此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。解：乙倉庫存糧 264÷(10＋1)＝24(噸)，甲倉庫存糧

264-24=240(噸)，或

24×10＝240(噸)。

答：乙倉庫存糧24噸，甲倉庫存糧240噸。

【鞏固練習(xí)】

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.1、甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）

甲班：40×3=120（本）

或 160-40=120（本）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？

可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對(duì)了.注意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。

驗(yàn)算：120＋40=160（本）

120÷40=3（倍）。

例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2時(shí)后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米？

分析：已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度。現(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時(shí)共行 360千米，故1時(shí)共行 360÷2＝180(千米)，這就是兩輛車的速度和。解：乙車的速度為

(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/時(shí))，甲車的速度為

60×2=20(千米/時(shí))，或180-60=120(千米/時(shí))。

答：甲車每時(shí)行120千米，乙車每時(shí)行60千米。

從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰，“和”是誰。例

1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個(gè)“1倍”數(shù)不太明顯的例子。

例3 甲隊(duì)有45人，乙隊(duì)有75人。甲隊(duì)要調(diào)入乙隊(duì)多少人，乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍？

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.分析：容易求得“二數(shù)之和”為 45＋75=120(人)。如果從“乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊(duì)人數(shù)”那就錯(cuò)了，從75不是45的3倍也知是錯(cuò)的。這個(gè)“1倍”數(shù)是誰？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動(dòng)后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊(duì)人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊(duì)剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下：

從圖中看出，把甲隊(duì)中“？”人調(diào)入乙隊(duì)后，(45＋75)就是甲隊(duì)剩下人數(shù)的 3＋1＝4(倍)。從而，甲隊(duì)調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。解：甲隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)為

(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲隊(duì)調(diào)入乙隊(duì)的人數(shù)為45-30＝15(人)。

答：甲隊(duì)要調(diào)15人到乙隊(duì)。

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【鞏固練習(xí)】

1、甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？

分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。

解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：

30＋120=150（本）

②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：

2＋1＝3（倍）

③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）

④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）

綜合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）

50-30=20（本）

答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。

驗(yàn)算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150（本）。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？

仿照例3的分析可得如下解法。

解：兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(6＋1)倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下

(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹給哥哥書24-11＝13(本)。

答：妹妹給哥哥書13本。

例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個(gè)。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個(gè)，而小灰兔自己又采了10個(gè)。這時(shí)，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來大白兔和小灰兔各采了多少個(gè)蘑菇？

分析與解：這道題仍是和倍應(yīng)用題，因?yàn)橛小昂汀薄⒂小氨稊?shù)”。但這里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個(gè)后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下：

根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù))

(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(個(gè))，故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(個(gè))，大白兔原有蘑菇

160-15＝145(個(gè))。

答：原來大白兔采蘑菇145個(gè)，小灰兔采15個(gè)。

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例6 光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。

解：①女生人數(shù)：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

②男生人數(shù)：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。

驗(yàn)算：560＋200=760（人）

（560+40）÷200=3（倍）。

例7果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？

分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。

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解：①梨樹的棵數(shù)：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

=560÷4=140（棵）

②桃樹的棵數(shù)：140×2＋12=292（棵）

③蘋果樹的棵數(shù)： 140-20=120（棵）

答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。

例8 549是甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個(gè)數(shù)相等.求4個(gè)數(shù)各是多少？

分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。

解：①丙數(shù)是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）

=549÷9

=61

②甲數(shù)是：61×2-2=120

③乙數(shù)是：61×2＋2=124

④丁數(shù)是：61×4=24驗(yàn)算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=122

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.61×2＝122 244÷2＝122

答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.練習(xí)1

1.小敏與爸爸的年齡之和是64歲，爸爸的年齡是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年齡各是多少歲？

2.一肉店賣出豬肉和牛肉共560千克，賣出的豬肉是賣出的牛肉的4倍。豬、牛肉各賣了多少千克？

3.甲、乙兩桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么這時(shí)甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙兩桶原有汽油各多少千克？

4.甲、乙兩人共生產(chǎn)零件100個(gè)，其中甲有2個(gè)零件、乙有5個(gè)零件不合格。已知乙生產(chǎn)的合格零件是甲生產(chǎn)的合格零件的2倍。甲、乙各生產(chǎn)了多少個(gè)零件？

5.團(tuán)結(jié)村原有水田290公頃，旱田170公頃。要把多少公頃旱田改為水田，才能使水田的公頃數(shù)比旱田的公頃數(shù)多2倍？

6.紅星小學(xué)圖書館內(nèi)，科技書是故事書的3倍，連環(huán)畫書又是科技書的2倍。已知這三種書共有1600本，那么每種書各有多少本？ 答案與提示 練習(xí)

1.16歲，48歲。

2.448千克，112千克。

3.甲桶48千克，乙桶36千克。解：乙桶原有84÷(3＋1)＋15=36(千克)，甲桶原有84-36=48(千克)。

4.甲33個(gè)，乙67個(gè)。

解：甲=(100-2-5)÷(2＋1)＋2=33(個(gè))，乙=100-33=67(個(gè))。

5.55公頃。

解：170-(290＋170)÷(2＋1＋1)=55(公頃)。

6.故事書160本，科技書480本，連環(huán)畫960本。

解：以故事書為“1倍”數(shù)，則科技書為它的3倍，連環(huán)畫書為它的3×2=6(倍)。由和倍公式，得

故事書有1600÷(1＋3＋6)＝160(本)，科技書有160×3=480(本)，連環(huán)畫有160×6＝960(本)。

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習(xí)題2

1.小明和小強(qiáng)共有圖書120本，小強(qiáng)的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？

2.果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？

3.一個(gè)長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，求這個(gè)長方形的面積。

4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？

6.有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.多少米？習(xí)題2解答

1.①小明的本數(shù)：120÷（2＋1）=40（本）.②小強(qiáng)的本數(shù)：40×2=80（本）。

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2.①杏樹的棵數(shù)：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃樹的棵數(shù)：80×3＋20=260（棵）。

3.①長方形的寬：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②長方形的長： 5×2=10（厘米）。

③長方形的面積：10×5=50（平方厘米）。

4.①甲、乙兩水池共有水：

2600＋1200=3800（立方米）

②甲水池剩下的水：

3800÷（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：

2600-760=1840（立方米）

④經(jīng)過的時(shí)間（分鐘）：1840÷23＝80（分鐘）。

5.①甲、乙兩桶油總重量：

470+190=660（千克）：

②當(dāng)甲桶油是乙桶油2倍時(shí)，乙桶油是：

660÷（2+1）=220（千克）：

③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

6.①變化后的繩子總長 95-7＋8=96（米）.②第二條繩長： 96÷（1＋1+1）=32（米）。

③第一條繩長：32＋7=39（米）。④第三條繩長：32-8=24（米）.與和倍應(yīng)用題相似的是差倍應(yīng)用題。它的“基本數(shù)學(xué)格式”是：

已知大、小二數(shù)之“差”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。

上面的問題中，有“差”、有“倍數(shù)”，所以叫做差倍應(yīng)用題。差倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系可以用下面的線段圖表示：

從線段圖知，“差”是小數(shù)(即“1倍”數(shù))的(倍數(shù)-1)倍，所以，Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)。

上式稱為差倍公式。由此得到

大數(shù)=小數(shù)+差，或

大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。

例如，大、小數(shù)之差是152，大數(shù)是小數(shù)的5倍，則

小數(shù)=152÷(5-1)=38，大數(shù)=38＋152=190或38×5＝190。

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【典型例題】

例1 王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個(gè)，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？

分析：師徒二人一天生產(chǎn)的零件的“差”是128個(gè)。小數(shù)(即“1倍”數(shù))是徒弟一天生產(chǎn)的零件數(shù)，“倍數(shù)”為3。由差倍公式可以求解。

解：徒弟一天生產(chǎn)零件

128÷(3-1)=64(個(gè))，師傅一天生產(chǎn)零件

128＋64＝192(個(gè))或64×3＝192(個(gè))。

答：徒弟、師傅一天分別生產(chǎn)零件64個(gè)和192個(gè)。

【鞏固練習(xí)】

1、甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 上圖把乙班的圖書本數(shù)看作1倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍.又知“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍與80本相對(duì)應(yīng)，可以理解為2倍是80本，這樣可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。

解：①乙班的本數(shù)： 80÷（3-1）=40（本）

②甲班的本數(shù)： 40×3=120（本）

或40＋80=120（本）。

驗(yàn)算：120-40＝80（本）

120÷40=3（倍）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例2 兩根電線的長相差30米，長的那根的長是短的那根的長的4倍。這兩根電線各長多少米？ 解：“差”＝30，倍數(shù)=4，由差倍公式得短的電線長

30÷(4-1)＝10(米)，長的電線長

10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。

答：短的電線長10米，長的電線長40米。

解差倍應(yīng)用題的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)是誰，“差”是什么。上兩例中，“1倍”數(shù)及“差”都極明顯地直接給出。下面講兩個(gè)稍有變化，不直接給出“差”和“1倍”數(shù)的例子。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【鞏固練習(xí)】

1、有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長度是第一根長的3倍，兩根繩子原來各長多少米？

分析 上圖，兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長度是第一根的3倍.應(yīng)該把變化后的第一根長度看作1倍，而12+14=26（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長度可以求出來了，那么第一根、第二根原有長度也就可以求出來了。

解：①第一根截去12米剩下的長度：

（12+14）÷（3-1）＝13（米）

②兩根繩子原來的長度：13＋12＝25（米）

答：兩根繩子原來各長25米。

自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長.小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān)系.用除法求出1倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。

解題規(guī)律：

差÷倍數(shù)的差=1倍數(shù)（較小數(shù)）

1倍數(shù)×幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）

或：較小的數(shù)+差=較大的數(shù)。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例3 甲、乙二工程隊(duì)，甲隊(duì)有56人，乙隊(duì)有34人。兩隊(duì)調(diào)走同樣多人后，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的3倍。問：調(diào)動(dòng)后兩隊(duì)各還有多少人？

分析：畫線段圖如下：

由上圖可知，“1倍”數(shù)是乙隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)。因甲、乙隊(duì)調(diào)走的人數(shù)相同(不影響他們二隊(duì)人數(shù)之差)，所以，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)之差仍是56-34=22(人)。解：由差倍公式得調(diào)動(dòng)后乙隊(duì)有

(56-34)÷(3-1)=11(人)。

調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有

11×3=33(人)或11＋(56-34)=33(人)。

答：調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有33人，乙隊(duì)有11人。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【鞏固練習(xí)】

1、菜站運(yùn)來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來的白菜和蘿卜各是多少千克？

分析 這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來的白萊是蘿卜的3倍”應(yīng)把運(yùn)來的蘿卜的重量看作1倍；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說明運(yùn)來的白菜比蘿卜多1800-300=1500（千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于蘿卜重量的3-1=2（倍），這樣就可以先求出運(yùn)來的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來的白菜是多少千克。

解：①運(yùn)來蘿卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）

②運(yùn)來白菜： 750×3=2250（千克）

驗(yàn)算：

2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分）

答：菜站運(yùn)來白菜2250千克，蘿卜750千克。

例4 甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時(shí)，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？

分析與解：畫線段圖如下：

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.從上圖知，當(dāng)甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”數(shù)是甲桶里剩下的學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

油?！安睢笔鞘裁茨兀繌膱D中可知，“1倍”與“3倍”之間的差26＋14＝40(千克)就是我們要找的“差”。所以，由差倍公式知，“1倍”數(shù)=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。

故甲、乙桶原來各有油

20＋26＝46(千克)，或 20×3-14＝46(千克)。

答：原來各有46千克。

【鞏固練習(xí)】

1、兩塊同樣長的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？

分析 已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12（米）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一塊所剩布的長度即可求出（見上圖）。

解：①第二塊布比第一塊布多剩多少米？

31-19＝12（米）

②第一塊布剩下多少米？

12÷（4-1）=4（米）

③第一塊布原有多少米？

4+31=35（米）（兩塊布原有長度相等）

綜合列式：

（31-19）÷（4-1）+31

=12÷3+31

=4＋31

=35（米）

驗(yàn)算：35-31=4（米）