第一篇：高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.1從位移、速度、力到向量教案北師大版必修4課件

2.1 從位移、速度、力到向量

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

1.本節(jié)是本章的入門(mén)課，概念較多，但難度不大.位移、速度、力等物理量學(xué)生都學(xué)過(guò)，這里僅是列出這些物理量讓學(xué)生感知矢量，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)向量的概念作鋪墊.由于向量來(lái)源于物理,并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn),所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用.可通過(guò)幾個(gè)具體的例子說(shuō)明它的應(yīng)用.位移、速度、力等是物理中的基本量,也是幾何研究的重要對(duì)象.幾何中常用點(diǎn)表示位置,研究如何由一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置.位移簡(jiǎn)明地表示了點(diǎn)的位置之間的相對(duì)關(guān)系,它是向量的重要的物理模型.力是常見(jiàn)的物理量.重力、浮力、彈力等都是既有大小又有方向的量.物理中還有其他力,讓學(xué)生舉出物理學(xué)中力的其他一些實(shí)例,目的是要建立物理課中學(xué)過(guò)的位移、力及矢量等概念與向量之間的聯(lián)系,以此更加自然地引入向量概念,并建立學(xué)習(xí)向量的認(rèn)知基礎(chǔ).2.在類(lèi)比數(shù)量的抽象過(guò)程而引出向量的概念后,為了使學(xué)生更好地理解向量概念,可采用與數(shù)量概念比較的方法,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等量是“只有大小,沒(méi)有方向的量”,同時(shí)給出“時(shí)間、路程、功是向量嗎?速度、加速度是向量嗎?”的思考題.通過(guò)這樣的比較,可以使學(xué)生在區(qū)分相似概念的過(guò)程中更深刻地把握向量概念.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的,數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示.教科書(shū)通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示,給出了向量的幾何表示——用有向線(xiàn)段表示向量.用有向線(xiàn)段表示向量,賦予了向量一定的幾何意義.有向線(xiàn)段使向量的“方向”得到了表示,那么向量的大小又該如何表示呢?一個(gè)自然的想法是用有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度來(lái)表示.從而引出向量的模、零向量及單位向量等概念,為學(xué)習(xí)向量作了很好的鋪墊.3.數(shù)學(xué)中,引進(jìn)一個(gè)新的量后,首先要考慮的是如何規(guī)定它的“相等”,這是討論這個(gè)量的基礎(chǔ).如何規(guī)定“相等向量”呢?由于向量涉及大小和方向,因此把“長(zhǎng)度相等且方向相同的向量”規(guī)定為相等向量是非常自然的.由向量相等的定義可以知道,對(duì)于一個(gè)向量,只要不改變它的方向和大小,就可以任意平行移動(dòng).因此,用有向線(xiàn)段表示向量時(shí),可以任意選取有向線(xiàn)段的起點(diǎn),這為用向量處理幾何問(wèn)題帶來(lái)方便,并使平面上的向量與向量的坐標(biāo)得以一一對(duì)應(yīng).教學(xué)時(shí)可結(jié)合例題、習(xí)題說(shuō)明這種思想.4.共線(xiàn)向量和平行向量是研究向量的基礎(chǔ),由此可以將一組平行向量平移(不改變大小和方向)到一條直線(xiàn)上,這給問(wèn)題的研究帶來(lái)方便.教學(xué)中,要使學(xué)生體會(huì)兩個(gè)共線(xiàn)向量并不一定要在一條直線(xiàn)上,只要兩個(gè)向量平行就是共線(xiàn)向量,當(dāng)然,在同一直線(xiàn)上的向量也是平行向量.要避免向量的平行、共線(xiàn)與平面幾何中直線(xiàn)、線(xiàn)段的平行和共線(xiàn)相混淆,教學(xué)中可以通過(guò)對(duì)具體例子的辨析來(lái)正確掌握概念.三維目標(biāo)

1.通過(guò)物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的實(shí)際背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及確定平面向量的兩個(gè)要素，搞清數(shù)量與向量的區(qū)別.2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判斷向量之間的關(guān)系.并會(huì)辨認(rèn)圖形中的相等向量或作出與某一已知向量相等的向量.3.在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)充分根據(jù)平面向量的兩個(gè)要素加以研究向量的關(guān)系，揭示向量可以平移這一特性.并通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考生活中實(shí)際問(wèn)題的習(xí)慣.加強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),切實(shí)做到學(xué)以致用.用聯(lián)系、發(fā)展的觀點(diǎn)觀察世界.重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：理解并掌握向量、零向量、單位向量、向量的模、相等向量、共線(xiàn)向量的概念，會(huì)表示向量.教學(xué)難點(diǎn)：平行向量、相等向量和共線(xiàn)向量的區(qū)別和聯(lián)系.課時(shí)安排 1課時(shí)

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

圖1 思路1.先引導(dǎo)學(xué)生閱讀本章引言并觀察思考章頭圖，然后提出問(wèn)題：在同一時(shí)刻，老鼠由A向西北方向的C處逃竄，貓?jiān)贐處向正東方向的D處追去，貓能否追到老鼠呢(如圖1)?學(xué)生馬上得出結(jié)論：追不上，貓的速度再快也沒(méi)用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了.教師適時(shí)設(shè)問(wèn):如何從數(shù)學(xué)的角度來(lái)揭示這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)？由此展開(kāi)新課的探究.思路2.創(chuàng)設(shè)實(shí)物情境，回憶物理相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生思考：兩列火車(chē)先后從同一站臺(tái)沿相反方向開(kāi)出，各走了相同的路程，怎樣用數(shù)學(xué)式子表示這兩列火車(chē)的位移？中國(guó)象棋中規(guī)定馬走“日”，象走“田”，讓學(xué)生在圖上畫(huà)出馬、象走過(guò)的路線(xiàn)，從物理知識(shí)位移的視角觀察思考，并由此展開(kāi)新課,這也是一個(gè)不錯(cuò)的導(dǎo)入選擇.推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題

①回憶初中物理課中，我們學(xué)過(guò)的“位移”“速度”“力”等物理概念,讓學(xué)生舉出我們?nèi)粘Ｉ钪杏嘘P(guān)“位移”“速度”“力”的實(shí)例.②“位移”“速度”“力”這些量的共同特征是什么? ③“位移”“速度”“力”等量與長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量等量有哪些不同？即數(shù)量與矢量的本質(zhì)區(qū)別在哪里? 活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本，思考討論課本中的實(shí)例所反映的物理量的特征.實(shí)例（1）反映的是物理量——位移：民航每天都有從北京飛往上海、廣州、重慶、哈爾濱等地的航班，每次飛行都是民航客機(jī)的一次位移．由于飛行的距離和方向各不相同，因此，它們是不同的位移；實(shí)例（2）反映的也是物理量——位移：假如學(xué)校位于你家東偏北30°方向，距離你家2 000 m，從家到學(xué)校，可能有長(zhǎng)短不同的幾條路．無(wú)論走哪條路，你的位移都是向東偏北30°方向移動(dòng)了2 000 m；實(shí)例（3）反映的是物理量——速度：飛機(jī)向東北方向飛行了150 km，飛行時(shí)間為半小時(shí)，飛行速度的大小是300km/h，方向是東北；實(shí)例（4）反映的也是物理量——速度：某著名運(yùn)動(dòng)員投擲標(biāo)槍時(shí)，標(biāo)槍的初速度的記錄資料是：平均出手角度θ=43.242°，平均出手速度大小為v＝28.35m/s；最后兩個(gè)實(shí)例反映的是物理量——力：起重機(jī)吊裝物體時(shí)，物體既受到豎直向下的重力作用，同時(shí)又受到豎直向上的起重機(jī)拉力的作用．當(dāng)拉力的大小超過(guò)重力的大小時(shí)，物體即被吊起；汽車(chē)爬傾斜角為θ的坡路時(shí)，汽車(chē)的牽引力大小為F(N)，方向傾斜向上，與水平方向成θ角.我們身邊這樣的實(shí)例很多，可讓學(xué)生充分思考討論再舉出一些位移、速度、力的實(shí)例來(lái)，如果學(xué)生舉出的是一些有關(guān)長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量的例子，效果會(huì)更好，這樣就有了比較，教師因勢(shì)利導(dǎo)，學(xué)生更能明了這些量的本質(zhì).例如：物體在液體中受到的浮力是豎直向上的,物體浸在液體中的體積越大它受到的浮力越大；被拉長(zhǎng)的彈簧的彈力是沿著反拉方向的,被壓縮的彈簧的彈力是沿著反壓方向的,并且在彈性限度內(nèi),彈簧拉長(zhǎng)或壓縮的長(zhǎng)度越大,彈力越大；物理中的速度與加速度，物理中的動(dòng)量與沖量等，這些量的共同特征是既有大小又有方向.如有學(xué)生舉出我們的身高、運(yùn)動(dòng)會(huì)上的百米賽跑的跑道長(zhǎng)度及場(chǎng)地面積、鉛球體積、鉛 球質(zhì)量等實(shí)例，教師適時(shí)地讓學(xué)生討論：這些量顯然與以上那些量不同，因?yàn)殚L(zhǎng)度、面積等這些量只有大小而無(wú)方向.教師與學(xué)生一起歸納總結(jié)以上實(shí)例：位移、速度和力等這些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中稱(chēng)為“矢量”．只有大小，沒(méi)有方向的量，如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等稱(chēng)為數(shù)量，物理學(xué)上稱(chēng)為標(biāo)量.顯然數(shù)量和向量的區(qū)別就在于方向問(wèn)題，矢量與標(biāo)量是完全不同的兩個(gè)量.鋪墊已經(jīng)完成，至此時(shí)機(jī)成熟，教師恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo)學(xué)生思考：在現(xiàn)實(shí)世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我們能否在數(shù)學(xué)學(xué)科中對(duì)這些量加以抽象,形成一種新的量？由此引入本章重要概念——向量.在數(shù)學(xué)中，我們把這種既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱(chēng)為向量.討論結(jié)果：①—③略.提出問(wèn)題

①在數(shù)學(xué)中，怎樣表示向量呢? ②什么叫有向線(xiàn)段？有向線(xiàn)段和線(xiàn)段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么? ③怎樣定義零向量？怎樣定義單位向量? ④滿(mǎn)足什么條件的兩個(gè)向量叫作相等向量? ⑤有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？怎樣定義平行向量? ⑥如果把一組平行向量的起點(diǎn)全部移到一點(diǎn)O，它們是不是平行向量？這時(shí)各向量的終點(diǎn)之間有什么關(guān)系? ⑦什么是向量的模？

活動(dòng)：教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，并思考討論以上問(wèn)題，特別是有向線(xiàn)段，這是學(xué)習(xí)向量的關(guān)鍵.我們知道，在物理學(xué)中，表示位移最簡(jiǎn)單的方法，是用一條帶箭頭的線(xiàn)段，箭頭的方向表示位移的方向，線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示位移的大小.速度和力也是用這種方法表示的，箭頭的方向分別表示速度和力的方向，線(xiàn)段長(zhǎng)度分別表示速度和力的大小.圖2 這種帶箭頭的線(xiàn)段，在數(shù)學(xué)中叫作“有向線(xiàn)段”.一般地，若規(guī)定線(xiàn)段AB的端點(diǎn)A為起點(diǎn)，端點(diǎn)B為終點(diǎn)，則線(xiàn)段AB就具有了從起點(diǎn)A到終點(diǎn)B的方向和長(zhǎng)度．這種具有方向和長(zhǎng)度的線(xiàn)段叫作有向線(xiàn)段（如圖2)，記作AB，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度，記作|AB|.有向線(xiàn)段包含三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.知道了有向線(xiàn)段的起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度,它的終點(diǎn)就唯一確定.向量可以用有向線(xiàn)段來(lái)表示,有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑體小寫(xiě)字母如a,b,c表示.一定要學(xué)生規(guī)范：印刷用黑體a,手寫(xiě)一定要在小寫(xiě)字母上加箭頭.要注意不能說(shuō)“向量就是有向線(xiàn)段，有向線(xiàn)段就是向量”，有向線(xiàn)段只是向量的一種幾何表示，二者有本質(zhì)的區(qū)別.向量只由方向和大小決定，而與向量的起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，但有向線(xiàn)段不僅與方向、長(zhǎng)度有關(guān)，也與起點(diǎn)的位置有關(guān)．如圖2，在線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中,規(guī)定一個(gè)順序,假設(shè)A為起點(diǎn),B為終點(diǎn),我們就說(shuō)線(xiàn)段AB具有方向,具有方向的線(xiàn)段叫作有向線(xiàn)段,通常在有向線(xiàn)段的終點(diǎn)處畫(huà)上箭頭表示它的方向.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線(xiàn)段記作AB.起點(diǎn)要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面,即是說(shuō)AB的方向是由點(diǎn)A指向 3 點(diǎn)B,點(diǎn)A是向量的起點(diǎn).圖3 如圖3，關(guān)于向量的長(zhǎng)度，這是向量的一個(gè)重要概念；向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模),記作|AB|(或|a|).教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)量與向量的模進(jìn)行比較,以明確向量的意義.數(shù)量有大小而沒(méi)有方向,其大小有正、負(fù)和0之分,可進(jìn)行運(yùn)算,并可比較大小;向量的模是正數(shù)或0,也可以比較大小.但向量具有方向，由于方向不能比較大小,向量也就不能比較大小，像a＞b就沒(méi)有意義,而|a|＞|b|就有意義.理解了以上向量概念，那么關(guān)于向量相等和向量平行就很容易理解了，教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材即可.討論結(jié)果：①用字母a,b,c,?表示向量（印刷用粗黑體表示），手寫(xiě)用字母加箭頭來(lái)表示,或用表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如AB,CD.注意：手寫(xiě)體上面的箭頭一定不能漏寫(xiě).②有向線(xiàn)段：具有方向的線(xiàn)段就叫作有向線(xiàn)段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.向量與有向線(xiàn)段的區(qū)別：向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線(xiàn)段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線(xiàn)段.圖4 ③長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作0,規(guī)定零向量的方向是任意的.長(zhǎng)度為單位1的向量，叫單位向量.但要注意，零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.④長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.⑤關(guān)于平行向量的定義：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我們規(guī)定0與任一向量平行,即0∥a.綜合第一、第二才是平行向量的完整定義.向量a,b,c平行，記作a∥b∥c.如圖4.圖5 又如圖5,a,b,c是一組平行向量,任作一條與a所在直線(xiàn)平行的直線(xiàn)l,在l上任取一點(diǎn)O,則可在l上分別作出OA＝a,OB=b,OC=c.這就是說(shuō),任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線(xiàn)上,因此,平行向量也叫作共線(xiàn)向量.這里教師要提醒學(xué)生注意：平行向量可以在同一直線(xiàn)上,要區(qū)別于兩平行線(xiàn)的位置關(guān)系.⑥是共線(xiàn)向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共線(xiàn)向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線(xiàn)上（與有向線(xiàn)段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)）.平行向量可以在同一直線(xiàn)上，要區(qū)別于兩平行線(xiàn)的位置關(guān)系；共線(xiàn)向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段的位置關(guān)系.⑦|AB|〔或|a|表示向量AB(或a)的大小,即長(zhǎng)度(也稱(chēng)為模)〕.應(yīng)用示例

例1 如圖6,D,E,F依次是等邊△ABC的邊AB, BC, AC的中點(diǎn)．在以A,B,C,D,E,F為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，圖6(1）找出與向量DE相等的向量;(2）找出與向量DF共線(xiàn)的向量.活動(dòng)：教材安排本例的目的是讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉向量的概念，屬于基礎(chǔ)練習(xí)，需要用到初中所學(xué)平面幾何的相關(guān)知識(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶相關(guān)知識(shí)后，可讓學(xué)生充分討論合作解決.解：由初中所學(xué)三角形中位線(xiàn)定理不難得到:(1)在以A,B,C,D,E,F為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，與向量DE相等的向量有：AF和FC;(2)在以A,B,C,D,E,F為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，與向量DE共線(xiàn)的向量有：EC,CE,BC,CB,FD.變式訓(xùn)練

判斷下列命題是否正確,若不正確,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.圖7(1)ABCD中,AB與CD是共線(xiàn)向量;(2)單位向量都相等.解:(1)正確;(2)不正確.點(diǎn)評(píng)：本題考查基本概念,對(duì)于單位向量、共線(xiàn)向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出平行四邊形，如圖7.因?yàn)锳B∥CD,所以，AB∥CD.由于上面已經(jīng)明確，單位向量只限制了大小，方向不確定，所以單位向量不一定相等,即單位向量模均相等且為1,但方向不確定.例2 一個(gè)人從A點(diǎn)出發(fā)沿東北方向走了100m到達(dá)B點(diǎn),然后改變方向,沿南偏東15°方向又走了100m到達(dá)C點(diǎn),求此人從C點(diǎn)走回A點(diǎn)的位移.圖8

活動(dòng):本例是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,讓學(xué)生畫(huà)出有向線(xiàn)段表示位移.本例目的在于鞏固向量概念及其幾何表示.解：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖,如圖8所示.|AB|=100m,|BC|=100m,∠ABC=45°+15°=60°，∴△ABC為正三角形.∴|CA|=100m,即此人從C點(diǎn)返回A點(diǎn)所走的路程為100m.∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向?yàn)槲髌?5°.點(diǎn)評(píng)：位置是幾何學(xué)研究的重要內(nèi)容之一,幾何中常用點(diǎn)表示位置,研究如何由一點(diǎn)的位置確定另外一點(diǎn)的位置.如圖8,由A點(diǎn)確定B點(diǎn)、C點(diǎn)的位置.例3 如圖9,設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心,分別寫(xiě)出圖中與OA、OB、OC相等的量.圖9 活動(dòng)：本例是結(jié)合正六邊形的一些幾何性質(zhì),讓學(xué)生鞏固相等向量和平行向量的概念,正六邊形是邊長(zhǎng)等于半徑并且對(duì)邊互相平行的正多邊形,它既是軸對(duì)稱(chēng)圖形,又是中心對(duì)稱(chēng)圖形,具有豐富的幾何性質(zhì).教科書(shū)中要求判斷OA與EF,OB與AF是否相等,是要通過(guò)長(zhǎng)度相等方向相反的兩個(gè)向量的不等,讓學(xué)生從反面認(rèn)識(shí)向量相等的概念.解: OA=CB=DO;OB=DC?EO;OC?AB?ED?FO.點(diǎn)評(píng)：向量相等是一個(gè)重要的概念，今后經(jīng)常用到.讓學(xué)生在訓(xùn)練中明確，向量相等不僅大小相等，還要方向相同.變式訓(xùn)練(演示課件)1.本例變式一：與向量OA長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）本例變式二：是否存在與向量OA長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）本例變式三：與向量OA共線(xiàn)的向量還有哪些？（BC,CB,OD,DO,EF,FE）

2.對(duì)命題“a∥b∥c推出a∥c”，關(guān)于真假問(wèn)題，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的判斷如下:甲生判斷是 真命題.理由是：由a∥b可知a與b的方向相同或相反,由b∥c可知c與b的方向相同或相反,從而有a與c的方向相同或相反,故a∥c,即原命題為真命題；乙生判斷是假命題.理由是：當(dāng)兩個(gè)非零向量a,c不平行,而b=0時(shí),顯然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此時(shí)結(jié)論不成立,即原命題為假命題.究竟甲、乙兩生誰(shuí)的判斷正確呢？請(qǐng)給以分析.解:乙的判斷正確.由于存在“零向量與任一向量都平行”這一特殊結(jié)論,所以在平行向量中應(yīng)弄清是否有零向量存在.甲生沒(méi)有考慮到向量b可能為零向量的情況,故甲生的判斷是錯(cuò)誤的;乙生的判斷完全正確.這說(shuō)明向量平行的傳遞性若要成立,則“過(guò)渡”向量b需不為零向量,即在b≠0時(shí)有:(1)當(dāng)a≠0,b≠0時(shí),由a∥b,b∥c可推出a∥c;(2)若a與c中有一個(gè)為0,則另一個(gè)向量無(wú)論是否為0,均可推出a∥c.4(1)下列命題正確的是()A.a與b共線(xiàn),b與c共線(xiàn),則a與c也共線(xiàn)

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn) C.向量a與b不共線(xiàn),則a與b都是非零向量 D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

活動(dòng):由于零向量與任一向量都共線(xiàn),所以A不正確.由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以?xún)蓚€(gè)相等的非零向量可以在同一直線(xiàn)上,而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),所以B不正確.向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān),所以D不正確.對(duì)于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個(gè)是零向量,而由零向量與任一向量都共線(xiàn),可有a與b共線(xiàn),不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,所以只有C正確.答案:C 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念特征入手,也可以從反面進(jìn)行考慮.即要判斷一個(gè)結(jié)論不正確，只需舉一個(gè)反例即可.要啟發(fā)學(xué)生注意正反這兩方面的結(jié)合.變式訓(xùn)練

1.判斷:（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若兩個(gè)向量在同一直線(xiàn)上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長(zhǎng)度相等且方向相同）（7）共線(xiàn)向量一定在同一直線(xiàn)上嗎？（不一定）

2.把一切單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()A.一條線(xiàn)段 B.一段圓弧 C.兩個(gè)點(diǎn) D.一個(gè)圓 3.將平行于一直線(xiàn)的所有單位向量的起點(diǎn)平移到同一始點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()A.一個(gè)點(diǎn) B.兩個(gè)點(diǎn) C.一個(gè)圓 D.一條線(xiàn)段 答案：1.略 2.D 3.B 知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)1、2、3 課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)了哪些概念：向量，向量的兩種表示，特別是對(duì)向量的手寫(xiě)要標(biāo)上箭頭，圖示上要標(biāo)上箭頭和始點(diǎn)、終點(diǎn)，零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念, 明了平行向量不是平面幾何中的平行線(xiàn)段的簡(jiǎn)單類(lèi)比.2.再由教師簡(jiǎn)要總結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了向量、向量的兩種表示方法及向量的有關(guān)概念：如向量的模、平行向量、共線(xiàn)向量、相等向量等重要概念，這些概念是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)，必須要在理解的基礎(chǔ)上把握好．

3.點(diǎn)撥學(xué)生要領(lǐng)悟我們是如何從大量的實(shí)際背景中獲得這些數(shù)學(xué)概念的方法，本節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)或許將來(lái)會(huì)忘掉或全部忘掉，但是我們探究這些知識(shí)的方法卻會(huì)伴隨我們一生，永遠(yuǎn)不會(huì)忘掉，使我們終生受益.作業(yè)

如圖10,在梯形ABCD中,AB∥CD,AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,O是AC與BD的交點(diǎn), 求證:EO?OF.圖10 證明：如圖10,∵AB∥CD,∴AO∶OC=BO∶OD=AB∶CD.又AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC, ∴AE∶ED=AO∶OC.∴EO∥DC.同理,OF∥DC,∴E,O,F在同一直線(xiàn)上.∴EOAEBFOF???..∴EO=OF, DCADBCDC即|EO|=|OF|.又EO與OF方向相同,∴EO=OF.設(shè)計(jì)感想

1.本節(jié)是平面向量的第一節(jié)，對(duì)向量概念的理解無(wú)疑是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).本節(jié)教案的設(shè)計(jì)總思路是：把學(xué)生劃分小組合作討論學(xué)習(xí)，經(jīng)過(guò)小組成員們的合作探究，對(duì)平面向量的基本概念，和基本解題方法有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí),學(xué)生有很多的成功之處或收獲.對(duì)失敗或教訓(xùn)之處可能是對(duì)一些概念性問(wèn)題沒(méi)有深入研究，導(dǎo)致解題存在困難，不過(guò)這些會(huì)通過(guò)學(xué)習(xí)的深入彌補(bǔ)上來(lái)的.2.本教案設(shè)計(jì)充分利用向量的物理背景.作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要標(biāo)志之一的向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)以后，給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來(lái)無(wú)限生機(jī).通過(guò)本節(jié)大量物理背景實(shí)例的鋪墊及數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)在生活中的重要作用，并在實(shí)際課堂教學(xué)中規(guī)范學(xué)生的習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎剂?xí)慣和行為習(xí)慣，為后面學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).3.本教案設(shè)計(jì)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)新課標(biāo)理念,設(shè)計(jì)的教學(xué)方法主要是讓學(xué)生自主探究，呈現(xiàn)“現(xiàn)實(shí)情境—數(shù)學(xué)模型—應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”的特點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)探究的積極精神，讓學(xué)生初步感受到向量確實(shí)生動(dòng)有趣，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的很好題材.備課資料

一、向量中有關(guān)概念的辨析 1.數(shù)量、向量、有向線(xiàn)段

對(duì)這幾個(gè)概念的理解容易出現(xiàn)概念不清的問(wèn)題.數(shù)量只有大小,沒(méi)有方向,其大小可以用 實(shí)數(shù)來(lái)表示,它是一個(gè)代數(shù)量,數(shù)量之間可以比較大小;向量既有大小又有方向,向量之間不可以比較大小;有向線(xiàn)段是向量的直觀性表示,不能說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段.2.平行向量、共線(xiàn)向量、相等向量

平行向量也叫共線(xiàn)向量,故平行向量與共線(xiàn)向量沒(méi)有區(qū)別,而相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量,即平行向量是相等向量的必要條件而非充分條件.二、備用習(xí)題

1.若正多邊形有n條邊,它們對(duì)應(yīng)的向量依次為a1,a2,?an,則這n個(gè)向量()

圖16 A.都相等 B.都共線(xiàn) C.都不共線(xiàn) D.模都相等 2.如圖16所示,在△ABC中,DE∥BC,則其中共線(xiàn)向量有?()

A.一組 B.二組 C.三組 D.四組 3.若命題p為a=b,命題q為|a|=|b|,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不必要又不充分條件 4.如圖17所示,在四邊形ABCD中,若AB=DC,則下列各組向量相等的是()

圖17 A.AD與CB B.OA與OC C.AC與DB D.DO與OB

5.已知a,b是任意兩個(gè)向量,有下列條件:①|(zhì)a|=|b|;②a=b;③a與b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a與b都是單位向量.其中是向量a與b共線(xiàn)的充分不必要條件的為_(kāi)_________.(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)全都填上)6.如圖18所示,四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.圖18(1)寫(xiě)出與ED相等的向量;(2)若|AB|=3,求向量EC的模.7.判斷下列各命題的真假：①向量AB的長(zhǎng)度與向量BA的長(zhǎng)度相等;②向量a∥b，則a與 b的方向相同或相反；③兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；④兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；⑤向量AB與向量CD是共線(xiàn)向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線(xiàn)上；⑥有向線(xiàn)段就是向量，向量就是有向線(xiàn)段.其中假命題的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5 參考答案:1.D 2.C 3.A 4.D 5.②③④

6.解:(1)與ED相等的向量有DC和AB,因?yàn)樗倪呅蜛BCD和ABDE都是平行四邊形,故AB=ED=DC;(2)向量EC的模|EC|=6.7.C 因?yàn)棰僬婷}；②假命題；③真命題；④假命題；⑤假命題；⑥假命題.10

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量復(fù)習(xí)5正弦定理余弦定理

5．5正弦定理、余弦定理

要點(diǎn)透視：

1．正弦定理有以下幾種變形，解題時(shí)要靈活運(yùn)用其變形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用來(lái)判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，如常把a(bǔ)，b，c換成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C來(lái)解題．

2．判斷三角形的形狀特征，必須從研究三角形的邊與邊關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，由三角形的邊或角的代數(shù)運(yùn)算或三角運(yùn)算，找出邊與邊或角與角的關(guān)系，從而作出正確判斷．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本關(guān)系式

B?CAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)2

2用．

4．應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要分析和研究問(wèn)題中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，應(yīng)選用正弦定理還是余弦定理進(jìn)行求解．

5．應(yīng)用解三角形知識(shí)解實(shí)際問(wèn)題的解題步驟：

（1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖．

（2）確定實(shí)際問(wèn)題所涉及的三角形，并搞清該三角形的已知元和末知元．

（3）選用正、余弦定理進(jìn)行求解，并注意運(yùn)算的正確性．

（4）給出答案．

活題精析：

例1．(2001年全國(guó)卷)已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四邊形ABCD的面積．

要點(diǎn)精析：本題主要考查三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及應(yīng)用三角形面積公式和余弦定理解三角形的方法，考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

解：如圖所示，連BD，四邊形ABCD的面積

11S=S?ABD?S?CDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, ?cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)

邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要點(diǎn)精析：（1）∵ a，b，c成等差數(shù)列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2?c2?a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin60?32∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，S是△ABC的面積，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的長(zhǎng)度．

13要點(diǎn)精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，當(dāng)∠C=60°時(shí)，c2＝a2＋b2－ab，c

當(dāng)∠C=120°時(shí)，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.練習(xí)題

一、選擇題

tanAa

2?1．在△ABC中，若，則△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

A?Ba?b?2．在△ABC中，tan，則三角形中（）2a?b

A．a(chǎn)＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a(chǎn)=b或c2=a2+b2

3．為測(cè)某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20 m的樓的樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，測(cè)得塔基B的俯角為45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．設(shè)α，β是鈍角三角形的兩個(gè)銳角，下列四個(gè)不等式中不正確的是（）

???1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，x，則x的取值范圍是（）C．a(chǎn)=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三邊分別為 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），則最大內(nèi)角的度數(shù)為（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空題：

a?b?c7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，則 sinA?sinB?sinC

113??8．△ABC的三邊滿(mǎn)足：，則∠B＝ a?bb?ca?b?c

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，則sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)是ma，用三邊a，b，c表示ma，其公式是.三、解答題

11．設(shè)a，b，c是△ABC中A，B，C的對(duì)邊，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有兩個(gè)相等實(shí)根，且sinCcosA－cosCsinA=0，試判斷△ABC的形狀。

12．已知⊙O的半徑為R，若它的內(nèi)接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大??；

（2）求△ABC的面積S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）試寫(xiě)出△ABC的面積S與邊長(zhǎng)a的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)a等于多少時(shí)，S有最大值并求出最大值；

（3）當(dāng)a等于多少時(shí)，周長(zhǎng)l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面積S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

??????CCCC?15．在△ABC中，m?(cos,sin)，n?(cos,?sin)，且m與n的夾角是． 22222

（1）求C；

73（2）已知c=，三角形面積 S＝3，求a+b。22

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修4人教A教案第二章平面向量復(fù)習(xí)

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點(diǎn)）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問(wèn)：取等號(hào)的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實(shí)數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法

7.向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加.減.實(shí)數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）

8.數(shù)量積（點(diǎn)乘或內(nèi)積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區(qū)別“實(shí)數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識(shí)與方法

向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長(zhǎng)；②求夾角；③判垂直

三、教學(xué)過(guò)程

（一）重點(diǎn)知識(shí)：

1.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運(yùn)算及平行與垂直的判定: 設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點(diǎn)間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習(xí)題講解：第二章 復(fù)習(xí)參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎(chǔ)練習(xí)：

（五）、小結(jié)：掌握向量的相關(guān)知識(shí)。

（六）、作業(yè)：

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（二）一、教學(xué)過(guò)程

（一）習(xí)題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點(diǎn)A（1，1），M是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)

22??段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且MA?2AN，求點(diǎn)N的軌跡方程。

練習(xí)：1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數(shù)a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，－a）以m??n為方向向量的直線(xiàn)與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，其中??R.求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

例2.設(shè)平面內(nèi)的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點(diǎn)P是直線(xiàn)OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)PA?PB取最小值時(shí)，OP的坐標(biāo)及?APB的余弦值．

解

設(shè)OP?(x,y)．∵

點(diǎn)P在直線(xiàn)OM上，∴ OP與OM共線(xiàn)，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時(shí)，PA?PB取得最小值－8，此時(shí)OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結(jié)：利用平面向量求點(diǎn)的軌跡及最值。

作業(yè)：

第四篇：北師大版高中數(shù)學(xué)(必修4)2.6《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示》教案

平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教案1

教學(xué)目標(biāo)

1．正確理解掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法，能通過(guò)兩個(gè)向量的坐標(biāo)求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積．

2．掌握兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)條件，能運(yùn)用這一條件去判斷兩個(gè)向量垂直． 3．能運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示去解決處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等問(wèn)題．

重點(diǎn)：兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的長(zhǎng)度公式，兩個(gè)向量垂直的充要條件．

難點(diǎn)：對(duì)向量的長(zhǎng)度公式，兩個(gè)向量垂直的充要條件的靈活運(yùn)用． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

(一)學(xué)生復(fù)習(xí)思考，教師指導(dǎo)．

1．A點(diǎn)坐標(biāo)(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)(x2，y2)．

＝________

＝________

2．A點(diǎn)坐標(biāo)(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)(x2，y2)＝________

3．向量的數(shù)量積滿(mǎn)足那些運(yùn)算律？

(二)教師講述新課．

前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了兩個(gè)向量的數(shù)量積，如果已知兩個(gè)向量的坐標(biāo)，如何用這些坐標(biāo)來(lái)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積，這是一個(gè)很有價(jià)值的問(wèn)題．

設(shè)兩個(gè)非零向量為

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

＝x

1＋y1

為x軸上的單

＋y位向量，為y軸上的單位向量，則，＝x2

這就是說(shuō)：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．

引入向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，我們得到下面一些重要結(jié)論：

(1)向量模的坐標(biāo)表示：

(2)平面上兩點(diǎn)間的距離公式：

向量=

(3)兩向量的夾角公式

設(shè)＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ． 的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，4．兩向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

即兩向量垂直的充要條件是它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為零．

(三)學(xué)生練習(xí)，教師指導(dǎo)．

練習(xí)1：課本練習(xí)1．

已知a(－3，4)，(5，2)．

練習(xí)2：課本練習(xí)2．

已知 ··(＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)． ＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋

＋)·（－)＝－7．)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．

練習(xí)3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．

求證：△ABC是直角三角形．

證：∵

經(jīng)檢驗(yàn)，∴⊥ ＝(1，1)，·

＝(－3，3)，＝(－4，2)．

＝1×(－3)＋1×3＝0．，△ABC是直角三角形．

(四)師生共同研究例題．

例1：已知向量

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(1)求

(2)若

解：(1)與＋x的夾角θ，與

－

垂直，求實(shí)數(shù)x的值．

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(2)

(＋x與＋x)·（－－

垂直，)＝0，＋x

＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．

例2：求證：三角形的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)．

證：設(shè)△ABC的BC、AC邊上的高交于P點(diǎn)，現(xiàn)分別以BC、PA所在直線(xiàn)為x軸、y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)有關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．

∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．

(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．

即 x1x2＋yy1＝0．

又

∴·⊥＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．

＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．，CP是AB邊上的高．

故三角形的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)．

(五)作業(yè)．習(xí)題5．7 1，2，3，4，5．

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修4平面向量知識(shí)點(diǎn)與典型例題總結(jié)(理).

平面向量

【基本概念與公式】 【任何時(shí)候?qū)懴蛄繒r(shí)都要帶箭頭】 1.向量:既有大小又有方向的量。記作:AB 或a。2.向量的模:向量的大小(或長(zhǎng)度,記作:||AB 或||a。3.單位向量:長(zhǎng)度為1的向量。若e 是單位向量,則||1e =。

4.零向量:長(zhǎng)度為0的向量。記作:0?！?方向是任意的,且與任意向量平行】 5.平行向量(共線(xiàn)向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:長(zhǎng)度和方向都相同的向量。

7.相反向量:長(zhǎng)度相等,方向相反的向量。AB BA =-。8.三角形法則: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB-=(指向被減數(shù) 9.平行四邊形法則: 以,a b 為臨邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)分別為a b +,a b-。

10.共線(xiàn)定理://a b a b λ=?。當(dāng)0λ>時(shí),a b 與同向;當(dāng)0λ<時(shí),a b 與反向。11.基底:任意不共線(xiàn)的兩個(gè)向量稱(chēng)為一組基底。

12.向量的模:若(,a x y =,則2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.數(shù)量積與夾角公式:||||cos a b a b θ?=?;cos ||||a b a b θ?=?

14.平行與垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+=

題型1.基本概念判斷正誤:(1共線(xiàn)向量就是在同一條直線(xiàn)上的向量。

(2若兩個(gè)向量不相等,則它們的終點(diǎn)不可能是同一點(diǎn)。(3與已知向量共線(xiàn)的單位向量是唯一的。

(4四邊形ABCD 是平行四邊形的條件是AB CD =。(5若AB CD =,則A、B、C、D 四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形。(6因?yàn)橄蛄烤褪怯邢蚓€(xiàn)段,所以數(shù)軸是向量。(7若a 與b 共線(xiàn), b 與c 共線(xiàn),則a 與c 共線(xiàn)。(8若ma mb =,則a b =。(9若ma na =,則m n =。

(10若a 與b 不共線(xiàn),則a 與b 都不是零向量。(11若||||a b a b ?=?,則//a b。(12若||||a b a b +=-,則a b ⊥。題型2.向量的加減運(yùn)算

1.設(shè)a 表示“向東走8km ”, b 表示“向北走6km ”,則||a b +=。2.化簡(jiǎn)((AB MB BO BC OM ++++=。

3.已知||5OA =,||3OB =,則||AB 的最大值和最小值分別為、。4.已知AC AB AD 為與的和向量,且,AC a BD b ==,則AB = ,AD =。5.已知點(diǎn)C 在線(xiàn)段AB 上,且3

5AC AB =,則AC = BC ,AB = BC。題型3.向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.計(jì)算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,則1 32a b-=。

題型4.作圖法球向量的和

已知向量,a b ,如下圖,請(qǐng)做出向量132a b +和3 22a b-。a b 題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ?中,D 是BC 的中點(diǎn),請(qǐng)用向量AB AC ,表示AD。2.在平行四邊形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。題型6.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.已知(4,5AB =,(2,3A ,則點(diǎn)B 的坐標(biāo)是。2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,則點(diǎn)Q 的坐標(biāo)是。

3.若物體受三個(gè)力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,則合力的坐標(biāo)為。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。

5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--與AB 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,則DA =。

7.已知O 是坐標(biāo)原點(diǎn),(2,1,(4,8A B--,且30AB BC +=,求OC 的坐標(biāo)。題型7.判斷兩個(gè)向量能否作為一組基底

1.已知12,e e 是平面內(nèi)的一組基底,判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e--和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e-和

2.已知(3,4a =,能與a 構(gòu)成基底的是(A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55--D.4(1,3--題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)

1.已知O 是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐標(biāo)。2.已知O 是原點(diǎn),點(diǎn)A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐標(biāo)。題型9.求數(shù)量積

1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1a b ?,(2(a a b ?+,(31(2 a b b-?,(4(2(3a b a b-?+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ?,(3(2a a b ?+,(4(2(3a b a b-?+。題型10.求向量的夾角

1.已知||8,||3a b ==,12a b ?=,求a 與b 的夾角。

2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 與b 的夾角。3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。題型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。

3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。題型12.求單位向量 【與a平行的單位向量:||a e a =±】

1.與(12,5a =平行的單位向量是。2.與1(1,2m =-平行的單位向量是。題型13.向量的平行與垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,當(dāng)m 為何值時(shí),(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 為何值時(shí),向量ka b +與3a b-垂直?(2k 為何值時(shí),向量ka b +與3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ?=?,且b c ≠,求證:(a b c ⊥-。題型14.三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題

1.已知(0,2A-,(2,2B ,(3,4C ,求證:，A B C 三點(diǎn)共線(xiàn)。

2.設(shè)2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求證:A B D、、三點(diǎn)共線(xiàn)。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若點(diǎn)(21,2C a a-+在直線(xiàn)AB 上,求a 的值。

5.已知四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(0,0O ,(3,4A ,(1,2B-,(1,1C ,是否存在常數(shù)t ,使O A t O B O C +=成立? 題型15.判斷多邊形的形狀

1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,則四邊形的形狀是。2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,證明四邊形ABCD 是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C ,求證:ABC ?是直角三角形。

4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求證:ABC ?是等腰直角三角形。

題型16.平面向量的綜合應(yīng)用

1.已知(1,0a =,(2,1b =,當(dāng)k 為何值時(shí),向量ka b-與3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐標(biāo)。3.已知a b 與同向,(1,2b =,則10a b ?=,求a 的坐標(biāo)。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,則c = a + b。

4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,請(qǐng)將用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 與b 的夾角為鈍角,求m 的范圍;(2若a 與b 的夾角為銳角,求m 的范圍。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,當(dāng)m 為何值時(shí),(1a 與b 的夾角為鈍角?(2a 與b 的夾角為銳角?

7.已知梯形ABCD 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,2A-,(3,4B ,(2,1D ,且//AB DC ,2AB CD =,求點(diǎn)C 的坐標(biāo)。

8.已知平行四邊形 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(2,1，B(?1,3，C(3, 4，求第四個(gè)頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成 30 角，求 水流速度與船的實(shí)際速度。10.已知 ?ABC 三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(3, 4，B(0, 0，C(c, 0，（1）若 AB ? AC ? 0，求 c 的值；（2）若 c ? 5，求 sin A 的值?！緜溆谩?1.已知 | a |? 3,| b |? 4,| a ? b |? 5，求 | a ? b | 和向量 a, b 的夾角。2.已知 x ? a ? b，y ? 2a ? b，且 | a |?| b |? 1，a ? b，求 x, y 的夾角的余弦。1.已知 a ?(1,3, b ?(?2, ?1，則(3a ? 2b ?(2a ? 5b ?。4.已知兩向量 a ?(3, 4, b ?(2, ?1，求當(dāng) a ? xb與a ? b 垂直時(shí)的 x 的值。5.已知兩向量 a ?(1,3, b ?(2, ?，a與b 的夾角 ? 為銳角，求 ? 的范圍。變式：若 a ?(?, 2, b ?(?3,5，a與b 的夾角 ? 為鈍角，求 ? 的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法： 1.代入驗(yàn)證法 例：已知向量 a ?(1,1, b ?(1, ?1, c ?(?1, ?，則2 c ?（1 3 A.? a ? b 2 2 1 3 B.? a ? b 2 2 3 1 C.a ? b 2 2 3 1 D.? a ? b 2 2）變式：已知 a ?(1, 2, b ?(?1,3, c ?(?1, 2，請(qǐng)用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 M 是 ?ABC 的重心，則下列向量與 AB 共線(xiàn)的是（A.AM ? MB ? BC B.3 AM ? AC C.AB ? BC ? AC）D.AM ? BM ? CM 6

廣東省近八年高考試題-平面向量（理科）1.(2007年高考廣東卷第10小題 若向量 a、b 滿(mǎn)足| a |=| b |=1，a 與 b 的夾角為 120?，則 a a ? a b ? 2.(2008 年高考廣東卷第 3 小題 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，則 2 a + 3 b =（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009 年高考廣東卷第 3 小題（x,1），b= 已知平面向量 a=，則向量 a ? b =（（－x, x 2）．）C.（－3，－6）D.（－2，－4））A平行于 x 軸 C.平行于 y 軸 B.平行于第一、三象限的角平分線(xiàn) D.平行于第二、四象限的角平分線(xiàn) ? ? ? ? ? ? c =(3,x滿(mǎn)足條件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考廣東卷第 5 小題若向量 a =（1,1），（2,5），則x=(A．6 B．5 C．4 D．3 6.(2011 年高考廣東卷第 3 小題已知向量 a ?(1, 2, b

?(1,0, c ?(3, 4 ．若 ? 為實(shí)數(shù),(a ? ?b / / c, 則? ?(B.1 2 A． 1 4 C.1 D.2 7.(2012 年高考廣東卷第 3 小題 8．若向量 BA ?(2,3，CA ?(4,7，則 BC ?（A．(?2, ?4 B．(3, 4 C．(6,10）D．(?6, ?10 9.(2012 年高考廣東卷第 8 小題對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量 ? , ?，定義

? ? ? ? ??．若平面

? ?? ? ?? ?n ?向量 a, b 滿(mǎn)足 a ? b ? 0，a 與 b 的夾角 ? ? ? 0, ?，且

? ?和

? ?都在集合? | n ? Z ?中，則

? 4? ?2 ? b a? A． 1 2 B． 1 C． 3 2 D． 5 2 7 10.（2014 廣東省高考數(shù)學(xué)理科 12）已知向量 a ? ?1,0, ?1?則下列向量中 , 與 a 成 60 ? 夾角的是 A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8