第一篇：高中數(shù)學(xué)必修4 第二章課例：平面向量的應(yīng)用舉例

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回味平面向量的章節(jié)導(dǎo)言——課例：平面向量的應(yīng)用舉例 1 說明

［1］《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》指出：“高中數(shù)學(xué)課程是以模塊和

專題的形式呈現(xiàn)的.因此，教學(xué)中應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力.例如，教學(xué)中要注重函數(shù)、方程、不等式的聯(lián)系；向量與三角恒等變形、向量與幾何、向量與代數(shù)的聯(lián)系；數(shù)與形的聯(lián)系??”“向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景??能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力.”

為了深入研究新課標(biāo)、新課程、新理念，筆者在上述理念的啟導(dǎo)下，在自己所在學(xué)校開設(shè)了一節(jié)公開課——平面向量應(yīng)用舉例（選自人教社必修4第二章），受到了其他教師的一致好評.現(xiàn)對這節(jié)課的課堂教學(xué)過程簡錄如下，并根據(jù)課后大家的點評以及個人的體會和看法做些分析，供大家參考，如有不妥之處敬請同行批評指正.2 教學(xué)過程簡錄

2.1導(dǎo)言引入，設(shè)置懸念

教師：前面我們一起學(xué)習(xí)了向量的線性運算和數(shù)量積運算，因為有了運算，向量的力量無限.（學(xué)生笑了笑，并示意的點了點頭）

教師：今天我要帶領(lǐng)大家再一次來回味一下本章內(nèi)容的章節(jié)導(dǎo)言.(“哦！??”學(xué)生發(fā)出一陣詫異和期待的聲音)

教師：課本73頁平面向量的章節(jié)導(dǎo)言中有著這么兩段話：

（多媒體課件演示，以下不再注明）

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算（運算律），從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用.教師：哪句話大家看后有特別深的體會啊？

學(xué)生：向量有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.學(xué)生：向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景，在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用.教師：是的.我們在學(xué)習(xí)向量的線性運算和坐標(biāo)表示的時候，就體會到了向量通過坐標(biāo)運算可以把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題.今天我們要通過研究幾個具體的問題來進(jìn)一步認(rèn)識向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具.教師：首先我們先看看向量是怎么溝通代數(shù)的，下面大家請看屏幕這道題目.2.1深化導(dǎo)言，層層遞進(jìn)

_______________

例

1、證明：對于任意的a、b、c、d?R，恒有不等式(ac+bd)?(a22?b)(c22?d).2金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)

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（以一道不等式證明引起學(xué)生思考，學(xué)生紛紛動手，巡視片刻，絕大部分學(xué)生采用作差比較.但從他們都是緊皺著眉頭看出證出這道題有困難.）

教師：不等式的右邊是兩個因式的乘積，大家能否看出每個因式“像什么”？比如a2?b“像”我們學(xué)過的哪個知識點？（片刻，有些學(xué)生像領(lǐng)悟到了什2

么）

學(xué)生1：向量的模.（有些學(xué)生感到困惑）

學(xué)生2：（迫不及待地）應(yīng)該說是一個向量模的平方.????22教師：對！如果我們構(gòu)造個向量m?(a,b)，則a?b就可看作向量m模的平方.（學(xué)生都明白過來了，輕聲地說那c?d

?n?(c,d)模的平方.）22不就可以看作向量

教師：不錯，大家把不等式的右邊看作是兩個向量模的平方的乘積，那么不等式的左邊又是什么呢？或者說像我們學(xué)習(xí)到的哪種模式？接下來要怎么證明請大家思考一下.??????

學(xué)生3：我覺得在構(gòu)造向量m,n后，不等式的左邊就可以看作是向量m,n數(shù)

???

量積的坐標(biāo)表示.設(shè)向量m,n的夾角為?，則有：

???m?n?ac?bd??.然

行放縮就可以得到結(jié)論了.（聽到他的表述，全班同學(xué)都發(fā)出贊許的聲音：“對哦！”）

（板書解題過程，略）

教師：這道題目如果純粹采用代數(shù)的方法去證明可能很困難，但是我們在這里通過構(gòu)造法利用向量的數(shù)量積知識來處理，顯得比較簡單和直觀，下面我們來看一個類似的變式題目.練習(xí)

1、求函數(shù)f(x)?

?最小值.（學(xué)生在沉思）

教師：能否用向量的方法去思考.（稍微點撥，學(xué)生恍然大悟）

??

學(xué)生4：構(gòu)造向量u?(x?1,1),v?(4?x,3)，那么函數(shù)f(x)就可以看作是向量??????u,v模的和，然后利用u?v?u?v就可求得f(x)的最小值為5.（聽到她如此流暢的表述，全班同學(xué)都投以贊許的目光，并發(fā)出嘖嘖的聲音表示向量在代數(shù)方面的應(yīng)用的確奇妙.）

教師：以上那兩個例題是說明向量在代數(shù)中的應(yīng)用，當(dāng)然以后我們學(xué)了其它知識也可用其它方法來做.接下來我們要來看看可用向量方法來解決平面幾何中的一些問題.例

2、平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.教師：前面我們學(xué)習(xí)過了，凡是涉及長度問題常常考慮向量的什么？

學(xué)生：向量的數(shù)量積.教師：不錯！凡是涉及到向量的模，我們考慮它的數(shù)量積.那大家發(fā)現(xiàn)了什么沒有？

學(xué)生5：計算

????AC2????2????AC與DB22發(fā)現(xiàn) ?????AD2????????????2?(AB?AD)?AB?????????2AB?AD ????DB2????????????2????2????????2?(AB?AD)?AB?AD?2AB?AD

????AC?????DB2?????2(AB2????2?AD)

因此得出結(jié)論是：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和.教師：完全正確！同學(xué)們聽明白了沒有？

學(xué)生：摁.（學(xué)生們笑了笑）

教師：平面幾何經(jīng)常涉及距離（線段長度）、夾角問題，而平面向量的運算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的交角，因此我們可以用向量方法解決部分幾何問題.教師：從這個例題我們看到了解決幾何問題時，先用向量表示相應(yīng)的點、線段夾角等幾何元素；然后通過向量的運算，特別是數(shù)量積來研究點、線段等元素之間的關(guān)系；最后再把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，得到幾何問題的結(jié)論.下面我們共同來用向量的方法來解決另一個平面幾何中的問題.練

2、如圖2，已知四邊形ABCD為菱形，請用向量方法證明AC?BD.學(xué)生????????6：只需證出AC?DB?0即可.教師：那要怎么證明呢？ 學(xué)生????????????????????????6：因為AC?AB?AD,DB?AB?AD,????????????????????????????2所以AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?因為????2????2ABCD是菱形，所以AB?AD,所以AB?AD?0.????????因此AC?DB?0,所以AC?BD.教師：看來向量在平面幾何的簡單應(yīng)用同學(xué)們可以掌握了.那同學(xué)們，你們說平面向量的哪塊知識是溝通平面幾何的關(guān)鍵？

學(xué)生：平面向量的數(shù)量積.教師：不錯，平面向量的數(shù)量積是一個非常重要的概念，利用它可以容易地證明平面幾何的許多命題，從而使幾何和向量有較好的聯(lián)系和溝通.因此我們

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還可以用向量知識可以證明或推導(dǎo)許多幾何定理和其他性質(zhì).學(xué)生：這么奇妙，原來向量這么有用.（學(xué)生都贊同地點了點頭）

教師：是的.那我們又要回到本章導(dǎo)言了，那你們說向量還溝通什么知識我們沒給出例子的？ 學(xué)生：三角函數(shù).教師：看來同學(xué)們都很期待嘛.教師：那接下來我們就高姿態(tài)的看看向量是如何

和三角緊密在一起的.例

3、如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點

為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A(cos?,sin?),圖

3B(cos?,sin?),試用A、B兩點的坐標(biāo)表示?AOB的余弦值.教師：前面我們剛提過涉及到夾角問題我們可用哪些相關(guān)知識來解決？

學(xué)生：向量的數(shù)量積.教師：完全正確!那誰來幫忙解答這題.學(xué)生

即

cos(???)?cos?cos??sin?sin?????????OA?OBcos?cos??sin?sin?7：cos?AOB??cos(???)?1?1OAOB.學(xué)生：太神奇了！這個公式能用嗎？

教師：當(dāng)然.這次我們發(fā)現(xiàn)了新大陸?。∵@個公式可是溝通第二章與第三章的橋梁，把書翻到126頁，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生：就是剛才我們證明的這個公式.教師：對，我們把這個公式叫做差角的余弦公式.有了它，我們可以做很多工作，比如我們利用這個公式來算算cos15?.學(xué)生8：cos15??cos(45??30?)，4.教師：反應(yīng)很快嘛.教師：例3這個例子，主要是讓同學(xué)們體會向量在三角中的運用，同時也為后面章節(jié)中兩角差的余弦公式的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.比如根據(jù)差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角與和角的正弦公式，同學(xué)們自己下去可自行探究.今天我們在這里扯遠(yuǎn)了先暫時不提.2.3體驗過程，完善認(rèn)知

教師：現(xiàn)在請同學(xué)們談?wù)剬W(xué)習(xí)這節(jié)課的感受，究竟你獲得了哪些知識？ 學(xué)生5：向量是集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.學(xué)生3：覺得向量數(shù)量積是一個很重要的概念.學(xué)生??7：我也覺得向量的數(shù)量積a?b是一個非常重要的概念，它是解決一些涉及距離、夾角等問題的一種有力工具.??

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教師：今天我們通過學(xué)習(xí)向量在代數(shù)、幾何、三角中的應(yīng)用，明白了“數(shù)學(xué)是有用的”吧！而且數(shù)學(xué)是自然的、清楚的.希望同學(xué)們能類比地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)，對數(shù)學(xué)有個正確的認(rèn)識.（教室響起一片熱烈的掌聲和笑聲）教學(xué)特色簡評

文【1】指出：“數(shù)學(xué)的發(fā)展既有內(nèi)在的動力，也有外在的動力.在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重數(shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.”本節(jié)教學(xué)就是基于這點，使學(xué)生經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、代數(shù)問題以及三角問題的過程，體會向量是處理幾何問題、代數(shù)問題等的工具，提高學(xué)生運算能力和應(yīng)用能力.下面就簡單地評說一下該課例的特色之處.3.1注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

新課程標(biāo)準(zhǔn)實施之后的數(shù)學(xué)課，不再以“重點是否突出，內(nèi)容是否完成，技能是否掌握”為單一的知識目標(biāo)，也不再是以“板書是否清晰，語言是否流暢，用時是否合理”等片面的藝術(shù)價值觀來評價一堂課.它更注重過程性原則，是否讓學(xué)生真正地去“感受數(shù)學(xué)”；是否充分體現(xiàn)學(xué)生在發(fā)展中的主體地位，在數(shù)學(xué)活動中充滿探索和創(chuàng)造等等.而這一切都是以發(fā)展學(xué)生的思維水平和能力為宗旨.這堂課采用了以“回味”的趣味性導(dǎo)入，至始至終引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用向量的意識，把學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)放在優(yōu)先地位，這充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.比如例1與練1，學(xué)生很可能用不等式與函數(shù)的知識直接去處理，可是經(jīng)過引導(dǎo)可用向量方法來做，學(xué)生的思維馬上就可以發(fā)散出去.再比如把向量應(yīng)用在三角方面，得到了差角的余弦公式，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，體驗數(shù)學(xué)研究的過程和創(chuàng)造的激情.后來又說“比如根據(jù)差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角與和角的正弦公式，同學(xué)們自己下去可自行探究.”這也有助于培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和勇于探究的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力.3.2強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探究活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的真正本質(zhì).很多學(xué)生學(xué)了向量只知道向量的外表形式即它可以線性運算、坐標(biāo)表示，卻不知向量的真正內(nèi)涵與使用價值.因此根本不知道向量可用在哪里，更談不上對知識的承上啟下，因此感覺數(shù)學(xué)是索然無味的.本節(jié)課就克服了這點，用“回味”來吸引學(xué)生，一直努力揭示向量是解決幾何等其他問題的一種有力工具，以及培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用的意識.例1這個題目通過不等式的證明引出向量的數(shù)量積，使學(xué)生達(dá)到了對數(shù)學(xué)概念的深刻理解，從而真正認(rèn)識了數(shù)學(xué)的表達(dá)形式與本質(zhì)的統(tǒng)一.文【2】也指出：“平面向量的教學(xué)著眼于讓學(xué)生掌握處理幾何問題的代數(shù)方法，體會數(shù)形結(jié)合思想.向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象.作為代數(shù)對象，向量可以進(jìn)行運算；作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對象.運用向量刻畫幾何對象和幾何度量問題都是通過向量的代數(shù)運算來實現(xiàn)的.”本節(jié)課的例2就做到了數(shù)與形的結(jié)合，形式與本質(zhì)的辨證統(tǒng)一.3.3教學(xué)過程生動活潑、妙趣橫生

回味本章內(nèi)容的章節(jié)導(dǎo)言作為開場白，給學(xué)生留下了一個懸念.在慢慢給出向量的應(yīng)用時，學(xué)生才品味出這導(dǎo)言的深刻內(nèi)涵，知道了向量與幾何、向量與代數(shù)、向量與三角恒等變形的聯(lián)系是有血有肉、不容分割的.金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)wx.jtyjy.com

本堂課的設(shè)計還是具有比較先進(jìn)的教學(xué)理念和教學(xué)模式，教會學(xué)生注重聯(lián)系，領(lǐng)略思想；引導(dǎo)學(xué)生開闊視野，拓展思維.因此教學(xué)過程生動活潑，處處是一片愉悅的景象.同時教學(xué)語言妙趣橫生，讓學(xué)生更加喜歡參與進(jìn)來.比如“看來同學(xué)們都很期待嘛”“那接下來我們就高姿態(tài)的看看向量是如何和三角緊密在一起的”“這次我們發(fā)現(xiàn)了新大陸?。∵@個公式可是溝通第二章與第三章的橋梁.”等等都讓學(xué)生獲得對該學(xué)科學(xué)習(xí)的積極體驗與情感.課后反思

4.1本課例滿意之處

在執(zhí)行新課改中，這一節(jié)誠然是對教師的一次嚴(yán)峻挑戰(zhàn)，因為在老教材中沒有出現(xiàn)過這節(jié)內(nèi)容而且很少關(guān)注向量的真正應(yīng)用.以往學(xué)生學(xué)了向量知識也很少懂得去聯(lián)系或溝通其它分支的知識.本課例令我最滿意之處就是用“回味”章節(jié)導(dǎo)言，牢牢抓住“向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種工具”這根主線，逐一向?qū)W生介紹向量的應(yīng)用領(lǐng)域，讓學(xué)生獲得對該學(xué)科學(xué)習(xí)的積極體驗與情感.本課例還令我滿意的就是整節(jié)課的構(gòu)思很注重數(shù)學(xué)各分支的聯(lián)系，這樣有利提高學(xué)生對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識.特別是例3用向量方法推導(dǎo)出差角的余弦公式及簡單應(yīng)用，使本節(jié)課達(dá)到了應(yīng)有的高潮，所以學(xué)生也對此評價很高.4.2課后再反思

平面向量及其運算與空間向量及其運算緊密聯(lián)系，與數(shù)及其運算也直接相關(guān)，在其他學(xué)科（特別是物理）中也有廣泛應(yīng)用，而這節(jié)課卻忽略了這些.比如，平面向量的實際背景及基本概念就來源于物理學(xué)中的一些實例，如果課堂上提到向量在物理方面的應(yīng)用，這樣就能使知識“前呼后應(yīng)”、“融會貫通”.本節(jié)課還一個不足之處就是發(fā)現(xiàn)自己講得比較多，其實關(guān)鍵應(yīng)讓學(xué)生去感悟與自己思考.還有，其實我們更應(yīng)該教導(dǎo)學(xué)生怎么懂得去使用向量，尤其在哪些題目中使用向量的方法能使題目快速得以解答.正如課本的章節(jié)導(dǎo)言所說的那樣：“向量是溝通與研究解決代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一種有力工具.”因此引導(dǎo)學(xué)生如何去使用向量來解決眾多的問題才是教本節(jié)《平面向量的應(yīng)用舉例》的真正目的！

第二篇：平面向量的應(yīng)用

平面向量的應(yīng)用

平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。下面舉例說明。

一、用向量證明平面幾何定理

例1.用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。

已知：如圖1，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。

??????證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量OA?a，OP?b，則OB??a且PA?OA?OP?a?b，???PB?OB?OP?a?b ???PA?PB?b2?a2?|b|2?|a|2?0

???PA?PB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函數(shù)值

例2.求值：cos圖

1?解：如圖2，將邊長為1的正七邊形ABCDEFO放進(jìn)直角坐標(biāo)系中，則OA?(1，0)，?

??2?2?4?4?6?6?AB?(cos，sin)，BC?(cos，sin)，CD?(cos，sin)，777777 ???8?8?10?10?12?12?DE?(cos，sin)，EF?(cos，sin)，F(xiàn)O?(cos，sin)7777772?4?6??cos?cos 777

???????又OA?AB?BC?CD?DE?EF?FO?0

圖

2?1?cos2?4?6?8?10?12??cos?cos?cos?cos?cos?0 777777

8?6?10?4?12?2??cos，cos?cos，cos?cos又cos 777777

2?4?6??1?2(cos?cos?cos)?0777 2?4?6?1?cos?cos?cos??7772

三、用向量證明不等式

222例3.證明不等式(a1b1?a2b2)2?(a1?a2)(b?b212)

證明：設(shè)向量a?(a1，a2)，b?(b1，b2)，則|a|?

與b的夾角為θ，cos??

又|cos?|?

1222則(a1b1?a2b2)2?(a1?a

22)(b1?b2)22a1?a2|b|?b1?b22，2，設(shè)aa?b?|a||b|a1b1?a2b2a?a2122b?b2122

當(dāng)且僅當(dāng)a、b共線時取等號。

四、用向量解物理題 ?????例4.如圖3所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一點P，求五個力的合力。

?????解：所求五個力的合力為PA?PB?PC?PD?PE，如圖3所示，以PA、PE為邊作平?????行四邊形PAOE，則PO?PA?PE，由正六邊形的性質(zhì)可知|PO|?|PA|?b，且O點在???PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則PF?PB?PD，由正六邊形的性質(zhì)可知?|PF|?3b，且F點在PC的延長線上。

?由正六邊形的性質(zhì)還可求得|PC|?2b

?故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為b?2b?3b?6b，方向與PC的方向

相同。

圖3

第三篇：高中數(shù)學(xué)必修4人教A教案第二章平面向量復(fù)習(xí)

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（一）一、教學(xué)目標(biāo)

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6.向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法

7.向量的坐標(biāo)運算（加.減.實數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積）

8.數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識與方法

向量知識，向量觀點在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直

三、教學(xué)過程

（一）重點知識：

1.實數(shù)與向量的積的運算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數(shù)量積的運算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運算及平行與垂直的判定: 設(shè)a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習(xí)題講解：第二章 復(fù)習(xí)參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內(nèi)部一點，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎(chǔ)練習(xí)：

（五）、小結(jié)：掌握向量的相關(guān)知識。

（六）、作業(yè)：

第二章

平面向量復(fù)習(xí)課

（二）一、教學(xué)過程

（一）習(xí)題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點A（1，1），M是圓上任意一點，點N在線

22??段MA的延長線上，且MA?2AN，求點N的軌跡方程。

練習(xí)：1.已知O為坐標(biāo)原點，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數(shù)a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經(jīng)過定點A（0，－a）以m??n為方向向量的直線與經(jīng)過定點B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線相交于點P，其中??R.求點P的軌跡C的方程；

例2.設(shè)平面內(nèi)的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點P是直線OM上的一個動點，求當(dāng)PA?PB取最小值時，OP的坐標(biāo)及?APB的余弦值．

解

設(shè)OP?(x,y)．∵

點P在直線OM上，∴ OP與OM共線，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當(dāng)且僅當(dāng)y=2，x=4時，PA?PB取得最小值－8，此時OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結(jié)：利用平面向量求點的軌跡及最值。

作業(yè)：

第四篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《1.2應(yīng)用舉例(一)》教案

1.2解三角形應(yīng)用舉例 第一課時

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語

2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；同時培養(yǎng)學(xué)生運用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力

二、教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：由實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 教學(xué)難點：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖

三、教學(xué)設(shè)想

1、復(fù)習(xí)舊知 復(fù)習(xí)提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、設(shè)置情境

請學(xué)生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測量距離。

3、新課講授

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)

提問1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？ 提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點到一個不可到達(dá)的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得 AB = AC sin?ACBsin?ABCsin?ABC55sin75? = 55sin75? ≈ 65.7(m)

sin(180??51??75?)sin54? AB = ACsin?ACB= 55sin?ACB= sin?ABC答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達(dá)的點之間的距離測量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)sin[180??(?????)]sin(?????)asin?asin? = sin[180??(?????)]sin(?????)計算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進(jìn)行對比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得?BCA=60?，=60? ?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA 略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。

4、學(xué)生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

5、課堂練習(xí)：課本第14頁練習(xí)第1、2題

6、歸納總結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解

四、課后作業(yè)

1、課本第22頁第1、2、3題

2、思考題：某人在M汽車站的北偏西20?的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40?。開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問汽車還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車站？

解：由題設(shè)，畫出示意圖，設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在?ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

AC2?BC2?AB223cosC==，2AC?BC31432則sin2C =1-cos2C =2，31sinC =

123, 31353 62所以 sin?MAC = sin（120?-C）= sin120?cosC-cos120?sinC =在?MAC中，由正弦定理得 MC =ACsin?MAC31353==35 ?62sin?AMC32從而有MB= MC-BC=15 答：汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。

作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)三

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《1.2應(yīng)用舉例(三)》教案

1.2解三角形應(yīng)用舉例 第三課時

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題

2、通過綜合訓(xùn)練強化學(xué)生的相應(yīng)能力，讓學(xué)生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

3、培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精神。

二、教學(xué)重點、難點

重點：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系 難點：靈活運用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題

三、教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 提問：前面我們學(xué)習(xí)了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75?的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32?的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1?,距離精確到0.01n mile)

學(xué)生看圖思考并講述解題思路

分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角?ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角?CAB。

解：在?ABC中，?ABC=180?-75?+ 32?=137?，根據(jù)余弦定理，AC=AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC =67.52?54.02?2?67.5?54.0?cos137? ≈113.15 54.0sin137根據(jù)正弦定理,BC = AC sin?CAB = BCsin?ABC = ≈0.3255，113.15ACsin?CABsin?ABC?

所以 ?CAB =19.0?, 75?-?CAB =56.0?

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile 例

2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為?，沿BE方向前進(jìn)30m，至點C處測得頂端A的仰角為2?，再繼續(xù)前進(jìn)103m至D點，測得頂端A的仰角為4?，求?的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，?ADC =180?-4?，?103=sin2?30。因為 sin4?=2sin2?cos2? ?sin(180?4?)cos2?=? 3,得 2?=30? ? ?=15?，?在Rt?ADE中，AE=ADsin60?=15 2答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 Rt?ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)

2兩式相減，得x=53,h=15 ?在 Rt?ACE中,tan2?=

h103?x=3?2?=30?,?=15?

答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得

?BAC=?，?CAD=2?，AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt?ACE中，sin2?=

x4------① 在Rt?ADE中，sin4?=,----② 301033,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15 2 ②?① 得 cos2?=答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 例

3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45?相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75?的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？

師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。

解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9, ?ACB=75?+45?=120?

?(14x)2= 92+(10x)2-2?9?10xcos120? 39?化簡得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)

216所以BC = 10x =15,AB =14x =21, BCsin120?15353又因為sin?BAC === ?AB21421，??BAC =38?13?,或?BAC =141?47?（鈍角不合題意，舍去）?38?13?+45?=83?13?

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83?13?方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第16頁練習(xí)Ⅳ.課時小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：

（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。

Ⅴ.課后作業(yè)

《習(xí)案》作業(yè)六