第一篇：函數(shù)及其表示方法教案

函數(shù)及其表示方法

一、目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)；會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡(jiǎn)單運(yùn)用.(2)能正確認(rèn)識(shí)和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優(yōu)點(diǎn)．在實(shí)際情

境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；

(3)求簡(jiǎn)單分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．

重點(diǎn): 函數(shù)概念的理解，函數(shù)關(guān)系的三種表示方法．分段函數(shù)解析式的求法． 難點(diǎn): 對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解；對(duì)于具體問題能靈活運(yùn)用這三種表示方法中的某種進(jìn)行分析，什么才算“恰當(dāng)”？分段函數(shù)解析式的求法．

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

1.函數(shù)的三種表示法：

解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì).列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值.2.分段函數(shù)：

分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．

知識(shí)點(diǎn)

二、映射與函數(shù) 1.映射定義：

設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的映射；記為f：A→B.象與原象：如果給定一個(gè)從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一個(gè)元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象記為f(a).2.函數(shù)：

設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，若f：A→B是從集合A到集合B的映射，這個(gè)映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).注意：

(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；

(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定義域，值域=象集合.7.求函數(shù)的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的表達(dá)式可由兩種途徑.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，則?t?1?

?f?t????,?f?2?2

2?x?1??x????;

?2?

(2)f(x+1)=2x2+1，由對(duì)應(yīng)法則特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

【變式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：

2，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)設(shè)f(x)=ax+bx+c則

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

總結(jié)升華：求函數(shù)解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數(shù)法等.注意：用換元法解求對(duì)應(yīng)法則問題時(shí)，要關(guān)注新變?cè)姆秶?8.作出下列函數(shù)的圖象.? y?x?2

y?2x?4x?3?0?x2 ?3

思路點(diǎn)撥：1.首先取不同的點(diǎn)，在圖像上描出，用一條平滑的線連接各點(diǎn)。

（1）y?x?2??2??x?2?x?2???2?x?x?2?為分段函數(shù)，圖象是兩條射線；

（2）y?2x?4x?3?0?x?3?圖象是拋物線.所作函數(shù)圖象分別如圖所示：

分段函數(shù)：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路點(diǎn)撥：分段函數(shù)求值，必須注意自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.??1?x?0??

【變式1】已知f?x?????x?0?，作出f(x)的圖象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.?x?1x?0???

解：由分段函數(shù)特點(diǎn)，作出f(x)圖象如下：

∴如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=； 10.某市郊空調(diào)公共汽車的票價(jià)按下列規(guī)則制定：

(1)乘坐汽車5公里以內(nèi)，票價(jià)2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票價(jià)增加1元(不足5公里按5公里計(jì)算)，已知兩個(gè)相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途(包括起點(diǎn)站和終點(diǎn)站)設(shè)20個(gè)汽車站，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.解：設(shè)票價(jià)為y元，里程為x公里，?20?x?5??35?x?10?x?N? 由空調(diào)汽車票價(jià)制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：y????410?x?15??515?x?19

根據(jù)這個(gè)函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，如下圖所示：

【變式1】移動(dòng)公司開展了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費(fèi)0.6元，若一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1，y2(元)，Ⅰ.寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式？

Ⅱ.一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？

Ⅲ.若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選擇哪種通訊方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 當(dāng)y1=y2時(shí)，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話250分鐘時(shí)，兩種通訊方式費(fèi)用相同；

Ⅲ： 若某人預(yù)計(jì)月付資費(fèi)200元，采用第一種方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分鐘）

采用第二種方式：200=0.6x，x?333

∴應(yīng)采用第一種(全球通)方式.已知映射f:A→B，在f的作用下，下列說法中不正確的是()

A． A中每個(gè)元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有兩個(gè)原 C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A與B必須是非空的數(shù) ?1?x?1?x

已知f?，求f(x)的解析式。??2?1?x?1?x?1?x?1?x 解：觀察已知函數(shù) f?

??21?x1?x???1?y?1???1?y???1?y?1????1?y?2x1?x213（分鐘）

222我們可以先令y?1?x1?x，則x?1?y1?y。所以f?y??2。從而化簡(jiǎn)得出f?y??2y1?y2，在令y=x，則就可以得出f?x??。

總結(jié)升華：

(1)由實(shí)際問題確定的函數(shù)，不僅要確定函數(shù)的解析式，同時(shí)要求出函數(shù)的定義域(一般情況下，都要接受實(shí)際問題的約束).(2)根據(jù)實(shí)際問題中自變量所表示的具體數(shù)量的含義來確定函數(shù)的定義域，使之必須有實(shí)際意義.

第二篇：函數(shù)及其表示方法教案

§1.1集合及其表示法 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo)：

（1）使學(xué)生初步了解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其記法（2）使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義。

（3）使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義。（4）.掌握集合的兩種常用表示方法（列舉法和描述法）。.（5）通過實(shí)例能使學(xué)生選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用。

過程與方法目標(biāo)：

（1）重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；（2）啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問題和創(chuàng)造地解決問題；

（3）通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，學(xué)會(huì)抽象概括和運(yùn)用邏輯思維的習(xí)慣。

（4）通過集合兩種表示方法的相互轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和邏輯思維能力

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：集合的基本概念及表示方法。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用集合的常用表示方法，正確表示一些簡(jiǎn)單的集合。授課方法：講授法 教學(xué)過程： 一．集合的概念

1.集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東

西，并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體。

2.在本書，一般地，某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，也簡(jiǎn)稱集。

3.集合的正例和反例

（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{ x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}

我們班的男同學(xué)；我們班的團(tuán)員；

（2）“好心的人”，“著名的數(shù)學(xué)家”，“我們班級(jí)中的高個(gè)子同學(xué)”……這類對(duì)象一般不能構(gòu)成數(shù)學(xué)意義上的集合，因?yàn)檎也坏接靡耘袆e每一具體對(duì)象是否屬于集合的明確標(biāo)準(zhǔn)。{1，1，2}由于出現(xiàn)重復(fù)元素，也不是集合的正確表示。

4.關(guān)于集合的元素的特征

（1）確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

（2）互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體（對(duì)象），因此，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素。（3）無序性：一般不考慮元素之間的順序，但在表示數(shù)列之類的特殊集合時(shí)，通常按照習(xí)慣的由小到大的數(shù)軸順

5.集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，元素與集合的關(guān)系用“屬于”和“不屬于”表

示；

（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作a?A 例如：1∈{1，2，3}； 2.5?{1，2，3} 6．常用數(shù)集及其記法

非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N 整數(shù)集，記作Z 有理數(shù)集，記作Q 實(shí)數(shù)集，記作R 例如：1∈Z，1.2?Z，0∈N； 例題1：課本P7 7． 有限集和無限集的概念

自然數(shù)集N，{1，2，3，4，5，??}；{x|2x-3>0}；{鈍角三角形}，??；

無限集：含有無限個(gè)元素的集合。有限集：含有有限個(gè)元素的集合。{x/x=3 },{我們班的全體同學(xué)}，{我們班中年齡小于10歲的同學(xué)} 空集：規(guī)定空集，不含元素。記作?； 二．集合的表示方法

問題1：在初中學(xué)正數(shù)和負(fù)數(shù)時(shí)，是如何表示正數(shù)集合和負(fù)數(shù)集合的? 如表示下列數(shù)中的正數(shù) 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 問題2：在初中學(xué)習(xí)不等式時(shí),如何表示不等式x+3<6的解集?（可表示為:x<3）

問題1中，方法1為圖示法，方法2為列舉法.1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號(hào)里的方法.說明：(1)書寫時(shí)，元素與元素之間用逗號(hào)分開； 一般不必考慮元素之間的順序；

(3)在表示數(shù)列之類的特殊集合時(shí),通常仍按慣用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能時(shí)，可以列出該集合的一部分元素,以提供某種規(guī)律,其余元素以省略號(hào)代替；

例1．用列舉法表示下列集合：

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(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；(3)從51到100的所有整數(shù)的集合；(4)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(5)方程x?x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(6)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。

問題6：能否用列舉法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共屬性描述出來, 寫在大括號(hào)里的方法)。

表示形式：A={x∣p}，其中豎線前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共屬性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性質(zhì)P的那些元素x組成的，即若x具有性質(zhì)p，則x?A；若x?A,則x具有性質(zhì)p。

說明:(1)有些集合的代表元素需用兩個(gè)或兩個(gè)以上字母表示；(2)應(yīng)防止集合表示中的一些錯(cuò)誤。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{實(shí)數(shù)集}或{全體實(shí)數(shù)}表示R。

例2．用描述法表示下列集合：(1)由適合x-x-2>0的所有解組成的集合;(2)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;(3)拋物線y=x上的點(diǎn);(4)拋物線y=x上點(diǎn)的橫坐標(biāo);(5)拋物線y=x上點(diǎn)的縱坐標(biāo);例3．試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）方程x?2?0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；（2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。

（二）集合的分類

例4．觀察下列三個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)

1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{x?R∣0

?有限集:含有有限個(gè)元素的集合?集合的分類?無限集:含有無限個(gè)元素的集合

?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)?

（三）文氏圖

集合的表示除了上述兩種方法以外，還有文氏圖法，敘述如下： 畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合，如圖所示：

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表示任意一個(gè)集合A 表示{3，9，27} 說明：邊界用直線還是曲線，用實(shí)線還是虛線都無關(guān)緊要，只要封閉并把有關(guān)元素統(tǒng)統(tǒng)包含在里邊就行，但不能理解成圈內(nèi)每個(gè)點(diǎn)都是集合的元素.三．課堂練習(xí)一 例1.用“?”或者“?”填空 0 N 0 Z?

?2 Z 1* N ?2 R 2 例2.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

(1)大于0且不超過6的全體奇數(shù)組成的集合；(2)被3除余1的自然數(shù)全體組成的結(jié)合；(3)方程組??x?y?5的解集； ?x?y??1(4)直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點(diǎn)組成的集合.四．課堂練習(xí)二

1.元素與集合的關(guān)系用符號(hào)表示：

①a屬于集合A___________；②a不屬于集合A___________.2.常用數(shù)集記法：

字母N表示______________；用_______表示正整數(shù)集；Z表示_____________；用______ 表示有理數(shù)集；R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合，記作______________.第4 / 6頁

4.集合常用的表示方法有 和.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.列舉法表示下列集合：(1)10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合.(2){y|y?x2?1,?1?x?3,x?Z} 2.已知M為所有大于?2且小于1的實(shí)數(shù)組成的集合，則下列關(guān)系式正確的是（M

B.M C.1?M D.?? 2?M 3.下列寫法正確的是（）

A.0?{(0,1)};B.1?{(0,1)};C.(0,1)?{(0,1)};D.(0,1)?{0,1}.4.在平面直角坐標(biāo)系中畫出集合{(x,y)|xy?0,x?R,y?R}內(nèi)的點(diǎn)所在的區(qū)域.5.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)關(guān)于x的方程x2?ax?2?0,a?R的解集;(2)兩直線y?2x?1和y?x?2的交點(diǎn)組成的集合.6.方程(x?2)3(x?1)(x?3)(x?4)?0的解集含有________個(gè)元素.7.已知方程ax2?ax?1?0的解集是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【鞏固提高】

8.已知集合A?{2,(a?1)2,a2?3a?3}，且1?A，求實(shí)數(shù)a的值.9.已知集合M含有三個(gè)元素0,1,x(x?R)，且x2?M，求實(shí)數(shù)x的值.(選做)10.(1)已知方程x2?px?4?0的解集是A，且6?A，）

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求實(shí)數(shù)p的值；

(2)已知方程x2?px?q?0的解集是{6}，求實(shí)數(shù)p,q的值.【課堂例題答案】 例1.?;?;?;?;?;?

例2.(1){1,3,5};(2){x|x?3k?1,k?N};(3){(x,y)|?(4){(x,y)|x?0,y?0,x?R,y?R} 【知識(shí)再現(xiàn)答案】 1.a?A;a?A 2.自然數(shù)集；N或Z；整數(shù)集；Q；實(shí)數(shù)集 *??x?y?5}或者{(2,3)} x?y??1?

3.元素；? 4.列舉法；描述法 【習(xí)題答案】

1.(1){2,3,5,7};(2){?1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐標(biāo)軸 y 陰影區(qū)域，含邊界 a

5.(1)

當(dāng)a??{}；當(dāng)a??

a?

；

2當(dāng)??a?時(shí)，? 6.4 7.0?a?4 8.a??1或0 9.x??1 10.(1)p?? 20;(2)p??12,q?36 3

第三篇：函數(shù)的表示方法

宜賓市翠屏區(qū)龍鳳教育培訓(xùn)學(xué)校主講人：楊老師

函數(shù)的概念及表示方法

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

1.對(duì)應(yīng)、函數(shù)、映射

2.函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則

3.定義域、值域計(jì)算的基本方法

4.計(jì)算的基本方法

5.分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

1.函數(shù)

設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么稱f:

A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作：y?f(x),x?A.A?B為從集合其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域；與x的值對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x?A}叫值域。

[注意] ①構(gòu)成函數(shù)的三要素：__________、_________、_________。②A、B都是非空數(shù)集，因此定義域（或值域）為空集的函數(shù)不存在。

③函數(shù)符號(hào)f(x)的含義：f(x)表示一個(gè)整體，一個(gè)函數(shù)，而記號(hào)“f”可以看做是對(duì)“x”施加某種法則（或運(yùn)算），如f(x)?x2?2x?3，當(dāng)x?2時(shí)，可看做對(duì)“2”施加了這樣的運(yùn)算法則：先平方，再減去它與2的積，再加上3；

當(dāng)x為某一個(gè)代數(shù)式（或某一個(gè)函數(shù)記號(hào)）時(shí)，則左右兩邊的所有x都用同一個(gè)代數(shù)式（或函數(shù)記號(hào)）代替，如f(2x?1)?(2x?1)2?2(2x?1)?3?[g(x)]2?2g(x)?3等等。

④f(x)與f(a)的區(qū)別于聯(lián)系。教師寄語：親愛的同學(xué)，學(xué)習(xí)路上雷厲風(fēng)行，沒有什么不可能，老師相信你能行的，祝你學(xué)習(xí)輕松愉快！

電話：0831-***195553地址：翠屏區(qū)上江北紅豐東路20號(hào)地財(cái)大廈二樓

f(a)表示當(dāng)x?a時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量；而f(x)是自變量x的函數(shù)，在一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特征值。如一次函數(shù)f(x)?3x?5，當(dāng)x?8時(shí)，f(x)?3?8?5?29是一個(gè)常量。

⑤定義域，在實(shí)際問題中受到實(shí)際意義的制約。如函數(shù)y?的定義域?yàn)?x|x?0?；圓半徑r與圓面積S的函數(shù)關(guān)系為S??r2的定義域?yàn)?r|r?0?。

例1 已知函數(shù)f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-

例2函數(shù)

同一函數(shù)的判斷：

兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則分別相等時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù)，這說明：

(1)定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同；

(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同；

(3)即使是定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一個(gè)函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，y=2x+1與y=x+1 例3 判斷下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個(gè)函數(shù)，說明理由？

A.f(x)=(x －1)0；g(x)= 1B.f(x)= x； g(x)=

C．f(x)= x 2；f(x)=(x + 1)2D.f(x)= | x | ；

g(x)=

[注意]00無意義！

x23x2y＝x2)、f(a)、f(a+1)與y＝3x是不是同一個(gè)函數(shù)？為什么？

2.區(qū)間及寫法

設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫閉區(qū)間；{x|a

①符號(hào)：“∞”讀“無窮大”；“－∞”讀“負(fù)無窮大”；“+∞”讀“正無窮大” ②區(qū)間左端點(diǎn)值要小于區(qū)間右端點(diǎn)值；區(qū)間符號(hào)里面兩個(gè)字母（或數(shù)字）之間用“，”隔開；

例4 練習(xí)用區(qū)間表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

例5 用區(qū)間表示：函數(shù)y＝x的定義域，值域是。（觀察法）

3.由函數(shù)的解析式求定義域

例6 求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）

f(x)=

例7 f(x)

＝x?2x?3 x?3x2?2；

f(x)=x?1－x2?xf(x)

例8

f(x)；f(x)?1 1?1/x

4.函數(shù)的值域

例9 求值域（用區(qū)間表示）：y?x2?2x?4；y?

【方法、技巧】求函數(shù)值域的方法：

(1)觀察法。一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可通過定義域及對(duì)應(yīng)法則，用觀察的方法來確定函數(shù)的值域。

例10 求下列函數(shù)的值域：(1)f(x)?2x?1,x??1,2,3,4,5?；

(2)y?1

(2)配方法。通過函數(shù)解析式配方，由非負(fù)實(shí)數(shù)的意義確定函數(shù)的值域。

例11 求函數(shù)y?x2?4x?6的值域

[解析]y?x2?4x?6定義域?yàn)镽，是二次函數(shù)，首先考慮配方法。

函數(shù)的定義域?yàn)镽，∵y?x2?4x?6?(x?2)2?2,x?R時(shí)，(x?2)2?0∴該函數(shù)的 值域?yàn)?y|y?2??[2,??)

(3)分離常數(shù)法。當(dāng)自變量有一定的取值范圍時(shí)，利用不等式的性質(zhì)求出因變量的取值集合。

2x?1(1?x?2)的值域。x?1

3[解析] ∵y?2?，又1?x?2,?2??x1?3,?1?x?1?5x?2；f(x)? ；f(x)? x?

3x?3例12 求函數(shù)y?331?yx?122，故所求值域~~.(4)換元法。通過換元化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，從而順利地求出函數(shù)的值域。

例13

求函數(shù)y?x?【較難】

t2?11?t2[解析]

設(shè)t?則x?且t?0，問題轉(zhuǎn)化為求y??t(t?0)的值域。22

1?t211?y??t?(t?1)2(t?0)，又∵t?0,?(t?1)2?1,∴y值的范圍為y? 222

[注意]輔助元的取值范圍，如在本例題中，要確定t的取值范圍，如忽視了這一點(diǎn)，就會(huì)錯(cuò)誤。

5.練習(xí)一

1.函數(shù)f(x)?1(x?R)的值域1?x2

A.（0,1）B.(0，1]C.[0，1）D.[0，1]

2.求函數(shù)y?x?3的值域

x2?x3.求函數(shù)y?2的值域?yàn)閤?x?1

4.求函數(shù)y?x?

5.已知函數(shù)f(x)?x2，求f(x?1)；

6.已知函數(shù)f(x?1)?x2，求f(x)；（換元法）

7.若x?R,f(x)是y?2?x2,y?x這兩個(gè)函數(shù)中教小者，則f(x)的最大值________

A.2B.1C.-1D.無最大值

8.若函數(shù)y?f(x)的定義域是?x|0?x?1?，則y?f(x2)的定義域是________

A.(-1,0)B.（-1,0）∪（0,1）C.(0,1)D.[0,1]

9.若函數(shù)y?f(3x?1)的定義域是[1,3]，則y?f(x)的定義域是_____

A.[1,3]B.[2,4]C.[2,8]D.[3,9]

10.求下列函數(shù)的定義域(1)y?2?3；

(2)y?；x?2

(3)y?(x?1)0?

11.12.求函數(shù)y?x2?4x?6(0?x?5)的值域。[2,11)下列四組中的函數(shù)f(x)與g(x)，表示相同函數(shù)的一組為________.A.f(x)?|x|,g(x)?2；

B.f(x)?g(x)?C.f(x)?x0,g(x)?；

D.f(x)?x,g(x)?

xx

第四篇：函數(shù)及其表示方法教案

函數(shù)及其表示方法

一、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

(1)會(huì)用集合與對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)；會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡(jiǎn)單運(yùn)用.(2)能正確認(rèn)識(shí)和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法．了解每種方法的優(yōu)點(diǎn)．在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；

(3)求簡(jiǎn)單分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．

重點(diǎn):

函數(shù)概念的理解，函數(shù)關(guān)系的三種表示方法．分段函數(shù)解析式的求法．

難點(diǎn):

對(duì)函數(shù)符號(hào)y?f(x)的理解；對(duì)于具體問題能靈活運(yùn)用這三種表示方法中的某種進(jìn)行分析，什么才算“恰當(dāng)”？分段函數(shù)解析式的求法．

二、知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)

一、函數(shù)的概念

1．函數(shù)的定義

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y?f(x)，xA．

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域.2．構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域

①構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))；

②兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).3．區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；

(2)無窮區(qū)間；

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示．

區(qū)間表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]； ；

.； 知識(shí)點(diǎn)

二、函數(shù)的表示法

1．函數(shù)的三種表示方法：

解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢(shì).列表法：列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值.2．分段函數(shù)：

分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況． 知識(shí)點(diǎn)

三、映射與函數(shù) 1.映射定義：

設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到B的映射；記為f：A→B.象與原象：如果給定一個(gè)從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)A中的每一個(gè)元素都有象，且唯一；

(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象記為f(a).2.函數(shù)：

設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，若f：A→B是從集合A到集合B的映射，這個(gè)映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).注意：

(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；

(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則；

(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定義域，值域=象集合.三、規(guī)律方法指導(dǎo) 1.函數(shù)定義域的求法

(1)當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件.(2)當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義.(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.2.如何確定象與原象

對(duì)于給出原象要求象的問題，只需將原象代入對(duì)應(yīng)關(guān)系中，即可求出象.對(duì)于給出象，要求原象的問題，可先假設(shè)原象，再代入對(duì)應(yīng)關(guān)系中得已知的象，從而求出原象；也可根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，由象逆推出原象.3.函數(shù)值域的求法

實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：

觀察法：通過對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；

配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；

判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；

換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.經(jīng)典例題透析

類型

一、函數(shù)概念

(1)1.下列各組函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)？

(不同)

(2)

(不同)

(3)

(4)

(相同)

(相同)

思路點(diǎn)撥：對(duì)于根式、分式、絕對(duì)值式，要先化簡(jiǎn)再判斷，在化簡(jiǎn)時(shí)要注意等價(jià)變形，否則等號(hào)不成立.總結(jié)升華：函數(shù)概念含有三個(gè)要素，即定義域，值域和對(duì)應(yīng)法則法則，其中核心是對(duì)應(yīng)，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征.只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：

(1)定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同；

(2)對(duì)應(yīng)法則不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則.舉一反三：

【變式1】判斷下列命題的真假

(1)y=x-1與

(2)

(3)

是同一函數(shù)；

與y=|x|是同一函數(shù)；

是同一函數(shù)；

(4)

與g(x)=x2-|x|是同一函數(shù).答：從函數(shù)的定義及三要素入手判斷是否是同一函數(shù)，有(1)、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.2.求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).(1)；

(2)；

(3).思路點(diǎn)撥：由定義域概念可知定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.解：(1)

；

(2)；

(3).總結(jié)升華：使解析式有意義的常見形式有①分式分母不為零；②偶次根式中，被開方數(shù)非負(fù).當(dāng)函數(shù)解析式是由多個(gè)式子構(gòu)成時(shí)，要使這多個(gè)式子對(duì)同一個(gè)自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個(gè)不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.舉一反三：

【變式1】求下列函數(shù)的定義域：

(1)；(2)；(3).思路點(diǎn)撥：(1)中有分式，只要分母不為0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意義；(3)只要使得兩個(gè)根式都有意義即可．

解：(1)當(dāng)|x-2|-3=0，即x=-1或x=5時(shí)，無意義，當(dāng)|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5時(shí)，分式有意義，所以函數(shù)的定義域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；

(2)要使函數(shù)有意義，須使

所以函數(shù)的定義域是

；，(3)要使函數(shù)有意義，須使，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧-2}.總結(jié)升華：小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：

(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；

(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合；

(4)如果f(x)是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；(即求各集合的交集)

(5)滿足實(shí)際問題有意義.3.已知函數(shù)f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1).思路點(diǎn)撥：由函數(shù)f(x)符號(hào)的含義，f(3)表示在x=3時(shí)，f(x)表達(dá)式的函數(shù)值.解：f(3)=3332+533-2=27+15-2=40；

舉一反三：

；

.；

【變式1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f(-3)，f()的值；

(3)當(dāng)a＞0時(shí)，求f(a)3f(a-1)的值.2

3解：(1)由；

(2)；

；

(3)當(dāng)a＞0時(shí)，.【變式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))

思路點(diǎn)撥：根據(jù)函數(shù)符號(hào)的意義，可以知道f(g(2))表示的是函數(shù)f(x)在x=g(2)處的函數(shù)值，其它同理可得．

解：(1)f(2)=2322-332-25=-23；g(2)=232-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=23(-1)2-33(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=23(-23)-5=-51；

(3)f(g(x))=f(2x-5)=23(2x-5)2-33(2x-5)-25=8x2-46x+40；

g(f(x))=g(2x2-3x-25)=23(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.總結(jié)升華：求函數(shù)值時(shí)，遇到本例題中(2)(3)(這種類型的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f(g(x))，里層函數(shù)就是g(x)，外層函數(shù)就是f(x)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系可以理解為，類似的g(f(x))為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結(jié)果.4.求值域(用區(qū)間表示)：

(1)y=x2-2x+4；

思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的值域必須合理利用舊知識(shí)，把現(xiàn)有問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域?yàn)閇3，+∞)；

.(2)；

(3)；

(4)1)∪(1，+∞).，∴函數(shù)的值域?yàn)?-∞，類型

二、映射與函數(shù)

5.下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，哪些是從A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成為映射?

(1)A=R，B=R，對(duì)應(yīng)法則f：取倒數(shù)；

(2)A={平面內(nèi)的三角形}，B={平面內(nèi)的圓}，對(duì)應(yīng)法則f：作三角形的外接圓；

(3)A={平面內(nèi)的圓}，B={平面內(nèi)的三角形}，對(duì)應(yīng)法則f：作圓的內(nèi)接三角形．

思路點(diǎn)撥：根據(jù)定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一”．

解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足“A中任意”；若把A改為

A={x|x≠0}或者把對(duì)應(yīng)法則改為“加1”等就可成為映射；

(2)是映射，集合A中的任意一個(gè)元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與

之對(duì)應(yīng)，這是因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；

(3)不是映射，集合A中的任意一個(gè)元素(圓)，在集合B中有無窮多個(gè)元素(該圓的內(nèi)接三角形有無

數(shù)個(gè))與之對(duì)應(yīng)，不滿足“B中唯一”的限制；若將對(duì)應(yīng)法則改為：以該圓上某定點(diǎn)為頂點(diǎn)作正

三角形便可成為映射．

總結(jié)升華：將不是映射的對(duì)應(yīng)改為映射可以從出發(fā)集A、終止集B和對(duì)應(yīng)法則f三個(gè)角度入手．

舉一反三：

【變式1】判斷下列兩個(gè)對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？

①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，對(duì)應(yīng)法則

②A=N*，B={0，1}，對(duì)應(yīng)法則f:x→x除以2得的余數(shù)；

③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余數(shù)；

④設(shè)X={0，1，2，3，4}，思路點(diǎn)撥：判斷是否構(gòu)成映射應(yīng)注意：①A中元素的剩余；②“多對(duì)一”“一對(duì)一”構(gòu)成，而“一對(duì)多”不構(gòu)成映射.解：①構(gòu)成映射，②構(gòu)成映射，③構(gòu)成映射，④不構(gòu)成映射，0沒有象.【變式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判斷下列說法是否正確？

(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B與x對(duì)應(yīng)；

(2)A中的某個(gè)元素在B中可以沒有象；

(3)A中的某個(gè)元素在B中可以有兩個(gè)以上的象；

(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；

(5)B中的元素在A中都有原象；

(6)B中的元素在A中可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的原象.答：(1)、(6)的說法是正確的，(2)、(3)、(4)、(5)說法不正確.【變式3】下列對(duì)應(yīng)哪些是從A到B的映射？是從A到B的一一映射嗎？是從A到B的函數(shù)嗎？

(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；

(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；

(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；

(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；

(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是從A到B的映射也是從A到B的函數(shù)，但只有(6)是從A到B的一一映射；(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A到B的函數(shù).6.已知A=R，B={(x，y)|x，yR}，f：A→B是從集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素

解：

∴A中元素的象為的象，B中元素的原象.故.舉一反三：

【變式1】設(shè)f：A→B是集合A到集合B的映射，其中

(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，則A中元素的象及B中元素-1的原象分別為什么？

(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，則A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分別為什么？

解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象為

；

又因?yàn)閤2-2x-1=-1有x=0或x=2，因?yàn)锳={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象為2；

(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象為(1-3，1+3)，即(-2，4)；

又因?yàn)橛?/p>

有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象為(2，1).類型

三、函數(shù)的表示方法

7.求函數(shù)的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的表達(dá)式可由兩種途徑.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，則

；

(2)f(x+1)=2x2+1，由對(duì)應(yīng)法則特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x2-4x+3.舉一反三：

【變式1】(1)已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)設(shè)f(x)=ax2+bx+c則

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

；

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=22(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.總結(jié)升華：求函數(shù)解析式常用方法：

(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數(shù)法等.注意：用換元法解求對(duì)應(yīng)法則問題時(shí)，要關(guān)注新變?cè)姆秶?(1)8.作出下列函數(shù)的圖象.；

(2)

；

(3)；

(4).思路點(diǎn)撥：(1)直接畫出圖象上孤立的點(diǎn)；(2)(3)先去掉絕對(duì)值符號(hào)化為分段函數(shù).解：(1)，∴圖象為一條直線上5個(gè)孤立的點(diǎn)；

(2)為分段函數(shù)，圖象是兩條射線；

(3)

(4)圖象是拋物線.為分段函數(shù)，圖象是去掉端點(diǎn)的兩條射線；

所作函數(shù)圖象分別如圖所示：

類型

四、分段函數(shù)

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路點(diǎn)撥：分段函數(shù)求值，必須注意自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系.解：f(0)=2302+1=1

f[f(-1)]=f[23(-1)+3]=f(1)=2312+1=3.舉一反三：

【變式1】已知，作出f(x)的圖象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函數(shù)特點(diǎn)，作出f(x)圖象如下：

∴如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；

f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.舉一反三：

【變式1】移動(dòng)公司開展了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費(fèi)0.6元，若一個(gè)月內(nèi)通話x分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用分別為y1，y2(元)，Ⅰ.寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式？

Ⅱ.一個(gè)月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？

Ⅲ.若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用話費(fèi)200元，應(yīng)選擇哪種通訊方式？

解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

Ⅱ： 當(dāng)y1=y2時(shí)，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴當(dāng)一個(gè)月內(nèi)通話250分鐘時(shí)，兩種通訊方式費(fèi)用相同；

Ⅲ： 若某人預(yù)計(jì)月付資費(fèi)200元，采用第一種方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分鐘）

采用第二種方式：200=0.6x，∴應(yīng)采用第一種(全球通)方式.學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1．判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為()

⑴，；

⑵，；

⑶，；

⑷，；

⑸，．

A．⑴、⑵

B．⑵、⑶

C．⑷

D．⑶、⑸

2．函數(shù)y=的定義域是()

A．-1≤x≤

1B．x≤-1或x≥1

C．0≤x≤1

3．函數(shù)的值域是()

A．(-∞，)∪(，+∞)

B．(-∞，)∪(，+∞)

C．R

D．(-∞，)∪(，+∞)

4．下列從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)中：

①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

③

④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；

D．{-1，1}

⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是從集合A到集合B的映射的個(gè)數(shù)是()

A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

5．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列說法中不正確的是()

A． A中每個(gè)元素必有象，但B中元素不一定有原象

B． B中元素可以有兩個(gè)原象

C． A中的任何元素有且只能有唯一的象

D． A與B必須是非空的數(shù)集

6．點(diǎn)(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求點(diǎn)(4，6)在f下的原象()

A．(，1)

B．(1，3)

C．(2，6)

D．(-1，-3)

7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表達(dá)式中不表示從P到Q的映射的是()

A．y=

B．y=

C．y=x

D．y=

x2

8．下列圖象能夠成為某個(gè)函數(shù)圖象的是()

9．函數(shù)的圖象與直線的公共點(diǎn)數(shù)目是()

A．

B．

C．或

D．或 10．已知集合和

A．中的元素對(duì)應(yīng)，則

C．，且的值分別為()

D．，使

中元素

B．11．已知，若，則的值是()

A．

B．或12．為了得到函數(shù)

C．，或

D． 的圖象，可以把函數(shù)的圖象適當(dāng)平移，這個(gè)平移是()

A．沿軸向右平移個(gè)單位

B．沿軸向右平移個(gè)單位

C．沿軸向左平移個(gè)單位

D．沿軸向左平移

二、填空題

個(gè)單位

1．設(shè)函數(shù)則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________．

2．函數(shù)的定義域_______________．

上的值域是_________． 的圖象與x軸交于，且函數(shù)的最大值

3．函數(shù)f(x)=3x-5在區(qū)間

4．若二次函數(shù)為，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是_______________．

5．函數(shù)

6．函數(shù)

三、解答題 的定義域是_____________________． 的最小值是_________________．

1．求函數(shù)

2．求函數(shù)的定義域． 的值域．

3．根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式：

(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知；

(5)已知f(x)的定義域?yàn)镽，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升

一、選擇題

1．設(shè)函數(shù)

A．

B．

C．，則的表達(dá)式是()

D．

2．函數(shù)

A．3

B．-3

C．

滿足

D．

則常數(shù)等于()

3．已知

A．15

B．1

C．3

D．30

4．已知函數(shù)

定義域是，那么等于()，則的定義域是()

A．

5．函數(shù)

A．

B．

C． 的值域是()

D．

B．

C．

D．

6．已知，則的解析式為()

A．

二、填空題

B．

C．

D．

1．若函數(shù)

2．若函數(shù)，則，則

=_______________． =_______________．

3．函數(shù)的值域是_______________．

4．已知

5．設(shè)函數(shù)，則不等式，當(dāng)?shù)慕饧莀______________．

時(shí)，的值有正有負(fù)，則實(shí)數(shù)的范圍________．

三、解答題

1．設(shè)是方程的兩實(shí)根，當(dāng)

為何值時(shí)，有最小值?求出這個(gè)最小值．

2．求下列函數(shù)的定義域

(1)

3．求下列函數(shù)的值域

；(2)．

(1)；(2)．

綜合探究

1．某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下圖中，縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，如圖四個(gè)圖象中較符合該學(xué)生走法的是()

2.如圖所表示的函數(shù)解析式是()

A.B.C.D.3．函數(shù)的圖象是()

4.如圖，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.答案與解析：

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1．C．(1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對(duì)應(yīng)法則不同；(4)定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則相同；(5)定義域不同．

2．D．由題意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或 x≥1，∴x=±1，選D．

3．B．法一：由y=，∴x= ∴y≠，應(yīng)選B．

法二：

4．C．提示：①④⑤不是，均不滿足“A中任意”的限制條件．

5．D．提示：映射可以是任何兩個(gè)非空集合間的對(duì)應(yīng)，而函數(shù)是要求非空數(shù)集之間．

6．A．設(shè)(4，6)在f下的原象是(x，y)，則，解之得x=，y=1，應(yīng)選A．

7．C．∵0≤x≤4，∴0≤

8．C．

x≤=2，應(yīng)選C．

9．C．有可能是沒有交點(diǎn)的，如果有交點(diǎn)，那么對(duì)于

10．D．按照對(duì)應(yīng)法則

而，∴，僅有一個(gè)函數(shù)值．

．，而

11．D．該分段函數(shù)的三段各自的值域?yàn)?/p>

∴

∴

．

12．D．平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即

二、填空題，左移．

1．.當(dāng)，這是矛盾的；當(dāng)

.2．

設(shè)

.提示：，對(duì)稱軸

.3．，當(dāng)

時(shí)，.4．

..5．

三、解答題

1．解：∵..6．.．，∴定義域?yàn)?/p>

2．解：∵ ∴，∴值域?yàn)?/p>

3．解：(1).提示：利用待定系數(shù)法；

(2).提示：利用待定系數(shù)法；

(3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用換元法求解，設(shè)x-3=t，則x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1變?yōu)閒(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；

(4)f(x)=x2+2.提示：整體代換，設(shè)

；

(5).提示：利用方程，用-x替換2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一個(gè)新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，聯(lián)立得

能力提升

一、選擇題

1．B.∵

∴

；

2．B.3．A.令

4．A.；

5．C.；

6．C.令

二、填空題

1．2．.令..．

.3．..4．.當(dāng)

當(dāng)，∴.5．

得

三、解答題

1．解：.2．解：(1)∵∴定義域?yàn)椋?/p>

(2)∵∴定義域?yàn)椋?/p>

3．解：(1)∵，∴值域?yàn)椋?/p>

(2)∵

∴值域?yàn)?/p>

.∴

綜合探究

1.D．因?yàn)榭v軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，所以當(dāng)

時(shí)，縱軸表示家到學(xué)校的距離，不能為零，故排除A、C；又由于一開始是跑步，后來是走完余下的路，所以剛開始圖象下降的較快，后來下降的較慢，故選D.2.B．本題考查函數(shù)圖象與解析式之間的關(guān)系.將x=0代入選項(xiàng)排除A、C，將x=1代入選項(xiàng)排除D，故選B.3.D．.，就需準(zhǔn)確揭示x、y之間的變化關(guān)系.依題意，4.思路點(diǎn)撥：要求函數(shù)的表達(dá)式可知隨著直線MN的移動(dòng)，點(diǎn)N分別落在梯形ABCD的AB、BC及CD邊上，有三種情況，所以需要分類解答.解析：作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足，依題意，則有

(1)當(dāng)M位于點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，由于AM=x，∠BAD=45°.(2)當(dāng)M位于HG之間時(shí)，由于AM=x，；

(3)當(dāng)M位于點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，由于AM=x，MN=MD=2a-x.綜上：

總結(jié)升華：

(1)由實(shí)際問題確定的函數(shù)，不僅要確定函數(shù)的解析式，同時(shí)要求出函數(shù)的定義域(一般情況下，都要接受實(shí)際問題的約束).(2)根據(jù)實(shí)際問題中自變量所表示的具體數(shù)量的含義來確定函數(shù)的定義域，使之必須有實(shí)際意義.

第五篇：函數(shù)的表示方法教案

函數(shù)的表示法 一．教學(xué)目標(biāo)

了解函數(shù)的三種表示方法(解析法、圖象法、列表法);知道三種表示法各自的優(yōu)缺點(diǎn);會(huì)根據(jù)不同的實(shí)際情境選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).二．教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法.教學(xué)難點(diǎn)：在實(shí)際情境中，函數(shù)表示方法的恰當(dāng)選擇.三．教學(xué)過程(一)導(dǎo)入新課

以提問的方式復(fù)習(xí)函數(shù)的概念, 來揭示函數(shù)概念的內(nèi)涵(盡量讓學(xué)生自己總結(jié)出來).只要有一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系, 使得取值范圍中的每一個(gè)值都有唯一確定的y 和它對(duì)應(yīng)即可, 不用管這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是以何種形式給出.讓學(xué)生閱讀課本15至16頁的三個(gè)引例, 學(xué)生很容易就可以發(fā)現(xiàn)其對(duì)應(yīng)關(guān)系分別以解析式、圖象、表格的形式.與之對(duì)應(yīng), 函數(shù)常用的三種表示法為解析法、圖象法、列表法.設(shè)計(jì)意圖:幫助學(xué)生回憶出初中就已經(jīng)接觸過的函數(shù)的三種表示法:解析法、圖象法、列表法.(二)講解新課

設(shè)計(jì)思路:圍繞課本15至16頁的三個(gè)引例講解函數(shù)的三種表示法, 以下內(nèi)容均通過這三個(gè)例子進(jìn)行講解.1.三種表示法的定義(了解即可)解析法:用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法.圖象法:用圖象表示兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法.列表法:列出表格來表示兩個(gè)變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法.2.函數(shù)用不同方法表示時(shí)定義域、值域的不同求法(1)函數(shù)定義域的求法

①當(dāng)函數(shù)y =f(x)用解析式給出時(shí), 函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合;②當(dāng)函數(shù)y =f(x)用圖像給出時(shí), 函數(shù)的定義域是指圖像在x 軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)x 的集合;③當(dāng)函數(shù)y =f(x)用表格給出時(shí), 函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x 的集合.(2)函數(shù)值域的求法

①當(dāng)函數(shù)y =f(x)用解析式給出時(shí), 函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定;②當(dāng)函數(shù)y =f(x)用圖像給出時(shí), 函數(shù)的值域是指圖像在y 軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y 的集合;③當(dāng)函數(shù)y =f(x)用表格給出時(shí), 函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y 的集合.3.函數(shù)三種表示法優(yōu)缺點(diǎn)的對(duì)比

(1)解析法的優(yōu)點(diǎn):一是簡(jiǎn)明, 全面地概括了變量間的關(guān)系;二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.缺點(diǎn):不夠形象, 直觀, 具體, 而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來.(2)圖像法的優(yōu)點(diǎn):能形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況.缺點(diǎn):只能近似地求出自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值, 而且有時(shí)誤差較大.(企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢(shì)圖等)(3)列表法的優(yōu)點(diǎn):不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.缺點(diǎn):它只能表示自變量取較少的有限值時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(銀行利率表、列車時(shí)刻表等)(四)鞏固練習(xí)課本練習(xí)小結(jié)

1.函數(shù)的三種表示法: 解析法、圖象法、列表法.2.函數(shù)用不同方法表示時(shí)定義域、值域的不同求法.3.函數(shù)三種表示法優(yōu)缺點(diǎn)的對(duì)比, 這也是選擇函數(shù)表示法的標(biāo)準(zhǔn).