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      函數(shù)及其表示方法教案

      時間:2019-05-15 01:20:19下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《函數(shù)及其表示方法教案》,但愿對你工作學習有幫助,當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《函數(shù)及其表示方法教案》。

      第一篇:函數(shù)及其表示方法教案

      函數(shù)及其表示方法

      一、目標認知

      學習目標:

      (1)會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù);會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域,初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法:解析法,列表法和圖象法.了解每種方法的優(yōu)點.在實際情

      境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù);

      (3)求簡單分段函數(shù)的解析式;了解分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用.

      重點: 函數(shù)概念的理解,函數(shù)關(guān)系的三種表示方法.分段函數(shù)解析式的求法. 難點: 對函數(shù)符號的理解;對于具體問題能靈活運用這三種表示方法中的某種進行分析,什么才算“恰當”?分段函數(shù)解析式的求法.

      二、知識要點梳理

      1.函數(shù)的三種表示法:

      解析法:用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系. 優(yōu)點:簡明,給自變量求函數(shù)值.圖象法:用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系. 優(yōu)點:直觀形象,反應(yīng)變化趨勢.列表法:列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系. 優(yōu)點:不需計算就可看出函數(shù)值.2.分段函數(shù):

      分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達式并用個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.

      知識點

      二、映射與函數(shù) 1.映射定義:

      設(shè)A、B是兩個非空集合,如果按照某個對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),這樣的對應(yīng)叫做從A到B的映射;記為f:A→B.象與原象:如果給定一個從集合A到集合B的映射,那么A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象.注意:

      (1)A中的每一個元素都有象,且唯一;

      (2)B中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一;

      (3)a的象記為f(a).2.函數(shù):

      設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集,若f:A→B是從集合A到集合B的映射,這個映射叫做從集合A到集合B的函數(shù),記為y=f(x).注意:

      (1)函數(shù)一定是映射,映射不一定是函數(shù);

      (2)函數(shù)三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則;

      (3)B中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一;

      (4)原象集合=定義域,值域=象集合.7.求函數(shù)的解析式

      (1)若f(2x-1)=x2,求f(x);

      (2)若f(x+1)=2x2+1,求f(x).思路點撥:求函數(shù)的表達式可由兩種途徑.解:(1)∵f(2x-1)=x2,∴令t=2x-1,則?t?1?

      ?f?t????,?f?2?2

      2?x?1??x????;

      ?2?

      (2)f(x+1)=2x2+1,由對應(yīng)法則特征可得:f(x)=2(x-1)2+1

      即:f(x)=2x-4x+3.2

      【變式1】(1)已知f(x+1)=x+4x+2,求f(x);

      (2)已知:

      2,求f[f(-1)].解:(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

      ∴f(x)=x2+2x-1;

      (法2)令x+1=t,∴x=t-1,∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

      ∴f(x)=x2+2x-1;

      (法3)設(shè)f(x)=ax+bx+c則

      f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

      ∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

      (2)∵-1<0,∴f(-1)=2·(-1)+6=4

      總結(jié)升華:求函數(shù)解析式常用方法:

      f[f(-1)]=f(4)=16.;

      (1)換元法;(2)配湊法;(3)定義法;(4)待定系數(shù)法等.注意:用換元法解求對應(yīng)法則問題時,要關(guān)注新變元的范圍.8.作出下列函數(shù)的圖象.? y?x?2

      y?2x?4x?3?0?x2 ?3

      思路點撥:1.首先取不同的點,在圖像上描出,用一條平滑的線連接各點。

      (1)y?x?2??2??x?2?x?2???2?x?x?2?為分段函數(shù),圖象是兩條射線;

      (2)y?2x?4x?3?0?x?3?圖象是拋物線.所作函數(shù)圖象分別如圖所示:

      分段函數(shù):

      9.已知,求f(0),f[f(-1)]的值.思路點撥:分段函數(shù)求值,必須注意自變量在不同范圍內(nèi)取值時的不同對應(yīng)關(guān)系.解:f(0)=2×02+1=1

      f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.??1?x?0??

      【變式1】已知f?x?????x?0?,作出f(x)的圖象,求f(1),f(-1),f(0)的值.?x?1x?0???

      解:由分段函數(shù)特點,作出f(x)圖象如下:

      ∴如圖,可得:f(1)=2;f(-1)=-1;f(0)=; 10.某市郊空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定:

      (1)乘坐汽車5公里以內(nèi),票價2元;

      (2)5公里以上,每增加5公里,票價增加1元(不足5公里按5公里計算),已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里,如果沿途(包括起點站和終點站)設(shè)20個汽車站,請根據(jù)題意,寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式,并畫出函數(shù)的圖象.解:設(shè)票價為y元,里程為x公里,?20?x?5??35?x?10?x?N? 由空調(diào)汽車票價制定的規(guī)定,可得到以下函數(shù)解析式:y????410?x?15??515?x?19

      根據(jù)這個函數(shù)解析式,可畫出函數(shù)圖象,如下圖所示:

      【變式1】移動公司開展了兩種通訊業(yè)務(wù):“全球通”,月租50元,每通話1分鐘,付費0.4元;“神州行”不繳月租,每通話1分鐘,付費0.6元,若一個月內(nèi)通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1,y2(元),Ⅰ.寫出y1,y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式?

      Ⅱ.一個月內(nèi)通話多少分鐘,兩種通訊方式的費用相同?

      Ⅲ.若某人預計一個月內(nèi)使用話費200元,應(yīng)選擇哪種通訊方式?

      解:Ⅰ:y1=50+0.4x,y2=0.6x;

      Ⅱ: 當y1=y2時,50+0.4x=0.6x,∴0.2x=50,x=250

      ∴當一個月內(nèi)通話250分鐘時,兩種通訊方式費用相同;

      Ⅲ: 若某人預計月付資費200元,采用第一種方式:200=50+0.4x,0.4x=150 ∴x=375(分鐘)

      采用第二種方式:200=0.6x,x?333

      ∴應(yīng)采用第一種(全球通)方式.已知映射f:A→B,在f的作用下,下列說法中不正確的是()

      A. A中每個元素必有象,但B中元素不一定有原象

      B. B中元素可以有兩個原 C. A中的任何元素有且只能有唯一的象

      D. A與B必須是非空的數(shù) ?1?x?1?x

      已知f?,求f(x)的解析式。??2?1?x?1?x?1?x?1?x 解:觀察已知函數(shù) f?

      ??21?x1?x???1?y?1???1?y???1?y?1????1?y?2x1?x213(分鐘)

      222我們可以先令y?1?x1?x,則x?1?y1?y。所以f?y??2。從而化簡得出f?y??2y1?y2,在令y=x,則就可以得出f?x??。

      總結(jié)升華:

      (1)由實際問題確定的函數(shù),不僅要確定函數(shù)的解析式,同時要求出函數(shù)的定義域(一般情況下,都要接受實際問題的約束).(2)根據(jù)實際問題中自變量所表示的具體數(shù)量的含義來確定函數(shù)的定義域,使之必須有實際意義.

      第二篇:函數(shù)及其表示方法教案

      §1.1集合及其表示法 教學目標 知識與技能目標:

      (1)使學生初步了解集合的概念,知道常用數(shù)集的概念及其記法(2)使學生初步了解“屬于”關(guān)系的意義。

      (3)使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義。(4).掌握集合的兩種常用表示方法(列舉法和描述法)。.(5)通過實例能使學生選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用。

      過程與方法目標:

      (1)重視基礎(chǔ)知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養(yǎng);(2)啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨立思考,學會分析問題和創(chuàng)造地解決問題;

      (3)通過教師指導發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論,學會抽象概括和運用邏輯思維的習慣。

      (4)通過集合兩種表示方法的相互轉(zhuǎn)化培養(yǎng)學生的抽象概括和邏輯思維能力

      情感態(tài)度與價值觀目標:

      激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和積極性,陶冶學生的情操,培養(yǎng)學生堅忍不拔的意志,實事求是的科學學習態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。

      教學重點:集合的基本概念及表示方法。

      教學難點:運用集合的常用表示方法,正確表示一些簡單的集合。授課方法:講授法 教學過程: 一.集合的概念

      1.集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體,人們能意識到這些東

      西,并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。

      2.在本書,一般地,某些指定的對象集在一起就成為一個集合,也簡稱集。

      3.集合的正例和反例

      (1){2,3,4},{(2,3),(3,4)},{三角形},{ x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},{51,52,53,…,100},{2,4,6,8,…}

      我們班的男同學;我們班的團員;

      (2)“好心的人”,“著名的數(shù)學家”,“我們班級中的高個子同學”……這類對象一般不能構(gòu)成數(shù)學意義上的集合,因為找不到用以判別每一具體對象是否屬于集合的明確標準。{1,1,2}由于出現(xiàn)重復元素,也不是集合的正確表示。

      4.關(guān)于集合的元素的特征

      (1)確定性:設(shè)A是一個給定的集合,x是某一個具體對象,則或者是A的元素,或者不是A的元素,兩種情況必有一種且只有一種成立。

      (2)互異性:一個給定集合中的元素,指屬于這個集合的互不相同的個體(對象),因此,同一集合中不應(yīng)重復出現(xiàn)同一元素。(3)無序性:一般不考慮元素之間的順序,但在表示數(shù)列之類的特殊集合時,通常按照習慣的由小到大的數(shù)軸順

      5.集合中的每個對象叫做這個集合的元素,元素與集合的關(guān)系用“屬于”和“不屬于”表

      示;

      (1)如果a是集合A的元素,就說a屬于A,記作a∈A(2)如果a不是集合A的元素,就說a不屬于A,記作a?A 例如:1∈{1,2,3}; 2.5?{1,2,3} 6.常用數(shù)集及其記法

      非負整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N 整數(shù)集,記作Z 有理數(shù)集,記作Q 實數(shù)集,記作R 例如:1∈Z,1.2?Z,0∈N; 例題1:課本P7 7. 有限集和無限集的概念

      自然數(shù)集N,{1,2,3,4,5,??};{x|2x-3>0};{鈍角三角形},??;

      無限集:含有無限個元素的集合。有限集:含有有限個元素的集合。{x/x=3 },{我們班的全體同學},{我們班中年齡小于10歲的同學} 空集:規(guī)定空集,不含元素。記作?; 二.集合的表示方法

      問題1:在初中學正數(shù)和負數(shù)時,是如何表示正數(shù)集合和負數(shù)集合的? 如表示下列數(shù)中的正數(shù) 4.8,-3,2,-0.5, 方法1: 方法2: {4.8,2,1,+73,3.1 31,+73,3.1} 3 問題2:在初中學習不等式時,如何表示不等式x+3<6的解集?(可表示為:x<3)

      問題1中,方法1為圖示法,方法2為列舉法.1.列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,寫在大括號里的方法.說明:(1)書寫時,元素與元素之間用逗號分開; 一般不必考慮元素之間的順序;

      (3)在表示數(shù)列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序;

      (4)在列出集合中所有元素不方便或不可能時,可以列出該集合的一部分元素,以提供某種規(guī)律,其余元素以省略號代替;

      例1.用列舉法表示下列集合:

      第2 / 6頁

      (1)小于5的正奇數(shù)組成的集合;

      (2)能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合;(3)從51到100的所有整數(shù)的集合;(4)小于10的所有自然數(shù)組成的集合;(5)方程x?x的所有實數(shù)根組成的集合;(6)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。

      問題6:能否用列舉法表示不等式x-7<3的解集? 由此引出描述法。2.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共屬性描述出來, 寫在大括號里的方法)。

      表示形式:A={x∣p},其中豎線前x叫做此集合的代表元素;p叫做元素x所具有的公共屬性;A={x∣p}表示集合A是由所有具有性質(zhì)P的那些元素x組成的,即若x具有性質(zhì)p,則x?A;若x?A,則x具有性質(zhì)p。

      說明:(1)有些集合的代表元素需用兩個或兩個以上字母表示;(2)應(yīng)防止集合表示中的一些錯誤。

      如,把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2},用{實數(shù)集}或{全體實數(shù)}表示R。

      例2.用描述法表示下列集合:(1)由適合x-x-2>0的所有解組成的集合;(2)到定點距離等于定長的點的集合;(3)拋物線y=x上的點;(4)拋物線y=x上點的橫坐標;(5)拋物線y=x上點的縱坐標;例3.試分別用列舉法和描述法表示下列集合:(1)方程x?2?0的所有實數(shù)根組成的集合;(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。

      (二)集合的分類

      例4.觀察下列三個集合的元素個數(shù)

      1.{4.8, 7.3, 3.1,-9};2.{x?R∣0

      ?有限集:含有有限個元素的集合?集合的分類?無限集:含有無限個元素的集合

      ?空集:不含有任何元素的集合?(empty?set)?

      (三)文氏圖

      集合的表示除了上述兩種方法以外,還有文氏圖法,敘述如下: 畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合,如圖所示:

      第3 / 6頁

      表示任意一個集合A 表示{3,9,27} 說明:邊界用直線還是曲線,用實線還是虛線都無關(guān)緊要,只要封閉并把有關(guān)元素統(tǒng)統(tǒng)包含在里邊就行,但不能理解成圈內(nèi)每個點都是集合的元素.三.課堂練習一 例1.用“?”或者“?”填空 0 N 0 Z?

      ?2 Z 1* N ?2 R 2 例2.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

      (1)大于0且不超過6的全體奇數(shù)組成的集合;(2)被3除余1的自然數(shù)全體組成的結(jié)合;(3)方程組??x?y?5的解集; ?x?y??1(4)直角坐標系內(nèi)第一象限的點組成的集合.四.課堂練習二

      1.元素與集合的關(guān)系用符號表示:

      ①a屬于集合A___________;②a不屬于集合A___________.2.常用數(shù)集記法:

      字母N表示______________;用_______表示正整數(shù)集;Z表示_____________;用______ 表示有理數(shù)集;R表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合,記作______________.第4 / 6頁

      4.集合常用的表示方法有 和.【基礎(chǔ)訓練】

      1.列舉法表示下列集合:(1)10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合.(2){y|y?x2?1,?1?x?3,x?Z} 2.已知M為所有大于?2且小于1的實數(shù)組成的集合,則下列關(guān)系式正確的是(M

      B.M C.1?M D.?? 2?M 3.下列寫法正確的是()

      A.0?{(0,1)};B.1?{(0,1)};C.(0,1)?{(0,1)};D.(0,1)?{0,1}.4.在平面直角坐標系中畫出集合{(x,y)|xy?0,x?R,y?R}內(nèi)的點所在的區(qū)域.5.用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)關(guān)于x的方程x2?ax?2?0,a?R的解集;(2)兩直線y?2x?1和y?x?2的交點組成的集合.6.方程(x?2)3(x?1)(x?3)(x?4)?0的解集含有________個元素.7.已知方程ax2?ax?1?0的解集是空集,則實數(shù)a的取值范圍是___________.【鞏固提高】

      8.已知集合A?{2,(a?1)2,a2?3a?3},且1?A,求實數(shù)a的值.9.已知集合M含有三個元素0,1,x(x?R),且x2?M,求實數(shù)x的值.(選做)10.(1)已知方程x2?px?4?0的解集是A,且6?A,)

      第5 / 6頁

      求實數(shù)p的值;

      (2)已知方程x2?px?q?0的解集是{6},求實數(shù)p,q的值.【課堂例題答案】 例1.?;?;?;?;?;?

      例2.(1){1,3,5};(2){x|x?3k?1,k?N};(3){(x,y)|?(4){(x,y)|x?0,y?0,x?R,y?R} 【知識再現(xiàn)答案】 1.a?A;a?A 2.自然數(shù)集;N或Z;整數(shù)集;Q;實數(shù)集 *??x?y?5}或者{(2,3)} x?y??1?

      3.元素;? 4.列舉法;描述法 【習題答案】

      1.(1){2,3,5,7};(2){?1,0,3} 2.D 3.C 4.第一、三象限及坐標軸 y 陰影區(qū)域,含邊界 a

      5.(1)

      當a??{};當a??

      a?

      ;

      2當??a?時,? 6.4 7.0?a?4 8.a??1或0 9.x??1 10.(1)p?? 20;(2)p??12,q?36 3

      第三篇:函數(shù)的表示方法

      宜賓市翠屏區(qū)龍鳳教育培訓學校主講人:楊老師

      函數(shù)的概念及表示方法

      重點、難點:

      1.對應(yīng)、函數(shù)、映射

      2.函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則

      3.定義域、值域計算的基本方法

      4.計算的基本方法

      5.分段函數(shù)與復合函數(shù)

      1.函數(shù)

      設(shè)A、B是非空數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么稱f:

      A到集合B的一個函數(shù),記作:y?f(x),x?A.A?B為從集合其中,x叫自變量,x的取值范圍A叫作定義域;與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x?A}叫值域。

      [注意] ①構(gòu)成函數(shù)的三要素:__________、_________、_________。②A、B都是非空數(shù)集,因此定義域(或值域)為空集的函數(shù)不存在。

      ③函數(shù)符號f(x)的含義:f(x)表示一個整體,一個函數(shù),而記號“f”可以看做是對“x”施加某種法則(或運算),如f(x)?x2?2x?3,當x?2時,可看做對“2”施加了這樣的運算法則:先平方,再減去它與2的積,再加上3;

      當x為某一個代數(shù)式(或某一個函數(shù)記號)時,則左右兩邊的所有x都用同一個代數(shù)式(或函數(shù)記號)代替,如f(2x?1)?(2x?1)2?2(2x?1)?3?[g(x)]2?2g(x)?3等等。

      ④f(x)與f(a)的區(qū)別于聯(lián)系。教師寄語:親愛的同學,學習路上雷厲風行,沒有什么不可能,老師相信你能行的,祝你學習輕松愉快!

      電話:0831-***195553地址:翠屏區(qū)上江北紅豐東路20號地財大廈二樓

      f(a)表示當x?a時,函數(shù)f(x)的值,是一個常量;而f(x)是自變量x的函數(shù),在一般情況下,它是一個變量,f(a)是f(x)的一個特征值。如一次函數(shù)f(x)?3x?5,當x?8時,f(x)?3?8?5?29是一個常量。

      ⑤定義域,在實際問題中受到實際意義的制約。如函數(shù)y?的定義域為?x|x?0?;圓半徑r與圓面積S的函數(shù)關(guān)系為S??r2的定義域為?r|r?0?。

      例1 已知函數(shù)f(x)=3x2+5x-2,求f(3)、f(-

      例2函數(shù)

      同一函數(shù)的判斷:

      兩個函數(shù)當且僅當定義域與對應(yīng)法則分別相等時,才是同一個函數(shù),這說明:

      (1)定義域不同,兩個函數(shù)也就不同;

      (2)對應(yīng)關(guān)系不同,兩個函數(shù)也是不同;

      (3)即使是定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù),它們也不一定是同一個函數(shù)。因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。例如,y=2x+1與y=x+1 例3 判斷下列函數(shù)f(x)與g(x)是否表示同一個函數(shù),說明理由?

      A.f(x)=(x -1)0;g(x)= 1B.f(x)= x; g(x)=

      C.f(x)= x 2;f(x)=(x + 1)2D.f(x)= | x | ;

      g(x)=

      [注意]00無意義!

      x23x2y=x2)、f(a)、f(a+1)與y=3x是不是同一個函數(shù)?為什么?

      2.區(qū)間及寫法

      設(shè)a、b是兩個實數(shù),且a

      {x|a≤x≤b}=[a,b] 叫閉區(qū)間;{x|a

      ①符號:“∞”讀“無窮大”;“-∞”讀“負無窮大”;“+∞”讀“正無窮大” ②區(qū)間左端點值要小于區(qū)間右端點值;區(qū)間符號里面兩個字母(或數(shù)字)之間用“,”隔開;

      例4 練習用區(qū)間表示:R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

      例5 用區(qū)間表示:函數(shù)y=x的定義域,值域是。(觀察法)

      3.由函數(shù)的解析式求定義域

      例6 求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示)

      f(x)=

      例7 f(x)

      =x?2x?3 x?3x2?2;

      f(x)=x?1-x2?xf(x)

      例8

      f(x);f(x)?1 1?1/x

      4.函數(shù)的值域

      例9 求值域(用區(qū)間表示):y?x2?2x?4;y?

      【方法、技巧】求函數(shù)值域的方法:

      (1)觀察法。一些簡單的函數(shù),可通過定義域及對應(yīng)法則,用觀察的方法來確定函數(shù)的值域。

      例10 求下列函數(shù)的值域:(1)f(x)?2x?1,x??1,2,3,4,5?;

      (2)y?1

      (2)配方法。通過函數(shù)解析式配方,由非負實數(shù)的意義確定函數(shù)的值域。

      例11 求函數(shù)y?x2?4x?6的值域

      [解析]y?x2?4x?6定義域為R,是二次函數(shù),首先考慮配方法。

      函數(shù)的定義域為R,∵y?x2?4x?6?(x?2)2?2,x?R時,(x?2)2?0∴該函數(shù)的 值域為?y|y?2??[2,??)

      (3)分離常數(shù)法。當自變量有一定的取值范圍時,利用不等式的性質(zhì)求出因變量的取值集合。

      2x?1(1?x?2)的值域。x?1

      3[解析] ∵y?2?,又1?x?2,?2??x1?3,?1?x?1?5x?2;f(x)? ;f(x)? x?

      3x?3例12 求函數(shù)y?331?yx?122,故所求值域~~.(4)換元法。通過換元化簡函數(shù)解析式,從而順利地求出函數(shù)的值域。

      例13

      求函數(shù)y?x?【較難】

      t2?11?t2[解析]

      設(shè)t?則x?且t?0,問題轉(zhuǎn)化為求y??t(t?0)的值域。22

      1?t211?y??t?(t?1)2(t?0),又∵t?0,?(t?1)2?1,∴y值的范圍為y? 222

      [注意]輔助元的取值范圍,如在本例題中,要確定t的取值范圍,如忽視了這一點,就會錯誤。

      5.練習一

      1.函數(shù)f(x)?1(x?R)的值域1?x2

      A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]

      2.求函數(shù)y?x?3的值域

      x2?x3.求函數(shù)y?2的值域為x?x?1

      4.求函數(shù)y?x?

      5.已知函數(shù)f(x)?x2,求f(x?1);

      6.已知函數(shù)f(x?1)?x2,求f(x);(換元法)

      7.若x?R,f(x)是y?2?x2,y?x這兩個函數(shù)中教小者,則f(x)的最大值________

      A.2B.1C.-1D.無最大值

      8.若函數(shù)y?f(x)的定義域是?x|0?x?1?,則y?f(x2)的定義域是________

      A.(-1,0)B.(-1,0)∪(0,1)C.(0,1)D.[0,1]

      9.若函數(shù)y?f(3x?1)的定義域是[1,3],則y?f(x)的定義域是_____

      A.[1,3]B.[2,4]C.[2,8]D.[3,9]

      10.求下列函數(shù)的定義域(1)y?2?3;

      (2)y?;x?2

      (3)y?(x?1)0?

      11.12.求函數(shù)y?x2?4x?6(0?x?5)的值域。[2,11)下列四組中的函數(shù)f(x)與g(x),表示相同函數(shù)的一組為________.A.f(x)?|x|,g(x)?2;

      B.f(x)?g(x)?C.f(x)?x0,g(x)?;

      D.f(x)?x,g(x)?

      xx

      第四篇:函數(shù)及其表示方法教案

      函數(shù)及其表示方法

      一、目標認知 學習目標:

      (1)會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù);會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域,初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法:解析法,列表法和圖象法.了解每種方法的優(yōu)點.在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù);

      (3)求簡單分段函數(shù)的解析式;了解分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用.

      重點:

      函數(shù)概念的理解,函數(shù)關(guān)系的三種表示方法.分段函數(shù)解析式的求法.

      難點:

      對函數(shù)符號y?f(x)的理解;對于具體問題能靈活運用這三種表示方法中的某種進行分析,什么才算“恰當”?分段函數(shù)解析式的求法.

      二、知識要點梳理

      知識點

      一、函數(shù)的概念

      1.函數(shù)的定義

      設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y?f(x),xA.

      其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|xA}叫做函數(shù)的值域.2.構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

      ①構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù));

      ②兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全—致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān).3.區(qū)間的概念

      (1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;

      (2)無窮區(qū)間;

      (3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

      區(qū)間表示:

      {x|a≤x≤b}=[a,b]; ;

      .; 知識點

      二、函數(shù)的表示法

      1.函數(shù)的三種表示方法:

      解析法:用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點:簡明,給自變量求函數(shù)值.圖象法:用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系. 優(yōu)點:直觀形象,反應(yīng)變化趨勢.列表法:列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系. 優(yōu)點:不需計算就可看出函數(shù)值.2.分段函數(shù):

      分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而應(yīng)寫函數(shù)幾種不同的表達式并用個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況. 知識點

      三、映射與函數(shù) 1.映射定義:

      設(shè)A、B是兩個非空集合,如果按照某個對應(yīng)法則f,對于集合A中的任何一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),這樣的對應(yīng)叫做從A到B的映射;記為f:A→B.象與原象:如果給定一個從集合A到集合B的映射,那么A中的元素a對應(yīng)的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象.注意:

      (1)A中的每一個元素都有象,且唯一;

      (2)B中的元素未必有原象,即使有,也未必唯一;

      (3)a的象記為f(a).2.函數(shù):

      設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集,若f:A→B是從集合A到集合B的映射,這個映射叫做從集合A到集合B的函數(shù),記為y=f(x).注意:

      (1)函數(shù)一定是映射,映射不一定是函數(shù);

      (2)函數(shù)三要素:定義域、值域、對應(yīng)法則;

      (3)B中的元素未必有原象,即使有原象,也未必唯一;

      (4)原象集合=定義域,值域=象集合.三、規(guī)律方法指導 1.函數(shù)定義域的求法

      (1)當函數(shù)是以解析式的形式給出時,其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講,就是考慮分母不為零,偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零,零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當函數(shù)是由實際問題給出時,其定義域不僅要考慮使其解析式有意義,還要有實際意義.(3)求函數(shù)的定義域,一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題,注意定義域是一個集合,其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來表示.2.如何確定象與原象

      對于給出原象要求象的問題,只需將原象代入對應(yīng)關(guān)系中,即可求出象.對于給出象,要求原象的問題,可先假設(shè)原象,再代入對應(yīng)關(guān)系中得已知的象,從而求出原象;也可根據(jù)對應(yīng)關(guān)系,由象逆推出原象.3.函數(shù)值域的求法

      實際上求函數(shù)的值域是個比較復雜的問題,雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則以后,值域就完全確定了,但求值域還是特別要注意講究方法,常用的方法有:

      觀察法:通過對函數(shù)解析式的簡單變形,利用熟知的基本函數(shù)的值域,或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”,觀察求得函數(shù)的值域;

      配方法:對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方,在充分注意到自變量取值范圍的情況下,利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域;

      判別式法:將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程,利用判別式求函數(shù)值的范圍,常用于一些“分式”函數(shù)等;此外,使用此方法要特別注意自變量的取值范圍;

      換元法:通過對函數(shù)的解析式進行適當換元,將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù),從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式,除了上述常用方法外,還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等.總之,求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對應(yīng)法則的作用,還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s.經(jīng)典例題透析

      類型

      一、函數(shù)概念

      (1)1.下列各組函數(shù)是否表示同一個函數(shù)?

      (不同)

      (2)

      (不同)

      (3)

      (4)

      (相同)

      (相同)

      思路點撥:對于根式、分式、絕對值式,要先化簡再判斷,在化簡時要注意等價變形,否則等號不成立.總結(jié)升華:函數(shù)概念含有三個要素,即定義域,值域和對應(yīng)法則法則,其中核心是對應(yīng),它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征.只有當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時,這兩個函數(shù)才是同一函數(shù),換言之就是:

      (1)定義域不同,兩個函數(shù)也就不同;

      (2)對應(yīng)法則不同,兩個函數(shù)也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù),它們也不一定是同一函數(shù),因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應(yīng)法則.舉一反三:

      【變式1】判斷下列命題的真假

      (1)y=x-1與

      (2)

      (3)

      是同一函數(shù);

      與y=|x|是同一函數(shù);

      是同一函數(shù);

      (4)

      與g(x)=x2-|x|是同一函數(shù).答:從函數(shù)的定義及三要素入手判斷是否是同一函數(shù),有(1)、(3)是假命題,(2)、(4)是真命題.2.求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).(1);

      (2);

      (3).思路點撥:由定義域概念可知定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.解:(1)

      ;

      (2);

      (3).總結(jié)升華:使解析式有意義的常見形式有①分式分母不為零;②偶次根式中,被開方數(shù)非負.當函數(shù)解析式是由多個式子構(gòu)成時,要使這多個式子對同一個自變量x有意義,必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集,因此,要列不等式組求解.舉一反三:

      【變式1】求下列函數(shù)的定義域:

      (1);(2);(3).思路點撥:(1)中有分式,只要分母不為0即可;(2)中既有分式又有二次根式,需使分式和根式都有意義;(3)只要使得兩個根式都有意義即可.

      解:(1)當|x-2|-3=0,即x=-1或x=5時,無意義,當|x-2|-3≠0,即x≠-1且x≠5時,分式有意義,所以函數(shù)的定義域是(-∞,-1)∪(-1,5)∪(5,+∞);

      (2)要使函數(shù)有意義,須使

      所以函數(shù)的定義域是

      ;,(3)要使函數(shù)有意義,須使,所以函數(shù)的定義域為{-2}.總結(jié)升華:小結(jié)幾類函數(shù)的定義域:

      (1)如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R;

      (2)如果f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合;

      (3)如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合;

      (4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合;(即求各集合的交集)

      (5)滿足實際問題有意義.3.已知函數(shù)f(x)=3x2+5x-2,求f(3),f(a),f(a+1).思路點撥:由函數(shù)f(x)符號的含義,f(3)表示在x=3時,f(x)表達式的函數(shù)值.解:f(3)=3332+533-2=27+15-2=40;

      舉一反三:

      ;

      .;

      【變式1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域;(2)求f(-3),f()的值;

      (3)當a>0時,求f(a)3f(a-1)的值.2

      3解:(1)由;

      (2);

      ;

      (3)當a>0時,.【變式2】已知f(x)=2x2-3x-25,g(x)=2x-5,求:

      (1)f(2),g(2);(2)f(g(2)),g(f(2));(3)f(g(x)),g(f(x))

      思路點撥:根據(jù)函數(shù)符號的意義,可以知道f(g(2))表示的是函數(shù)f(x)在x=g(2)處的函數(shù)值,其它同理可得.

      解:(1)f(2)=2322-332-25=-23;g(2)=232-5=-1;

      (2)f(g(2))=f(-1)=23(-1)2-33(-1)-25=-20;g(f(2))=g(-23)=23(-23)-5=-51;

      (3)f(g(x))=f(2x-5)=23(2x-5)2-33(2x-5)-25=8x2-46x+40;

      g(f(x))=g(2x2-3x-25)=23(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.總結(jié)升華:求函數(shù)值時,遇到本例題中(2)(3)(這種類型的函數(shù)稱為復合函數(shù),一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分,如f(g(x)),里層函數(shù)就是g(x),外層函數(shù)就是f(x),其對應(yīng)關(guān)系可以理解為,類似的g(f(x))為,類似的函數(shù),需要先求出最里層的函數(shù)值,再求出倒數(shù)第二層,直到最后求出最終結(jié)果.4.求值域(用區(qū)間表示):

      (1)y=x2-2x+4;

      思路點撥:求函數(shù)的值域必須合理利用舊知識,把現(xiàn)有問題進行轉(zhuǎn)化.解:(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3,∴值域為[3,+∞);

      .(2);

      (3);

      (4)1)∪(1,+∞).,∴函數(shù)的值域為(-∞,類型

      二、映射與函數(shù)

      5.下列對應(yīng)關(guān)系中,哪些是從A到B的映射,哪些不是?如果不是映射,如何修改可以使其成為映射?

      (1)A=R,B=R,對應(yīng)法則f:取倒數(shù);

      (2)A={平面內(nèi)的三角形},B={平面內(nèi)的圓},對應(yīng)法則f:作三角形的外接圓;

      (3)A={平面內(nèi)的圓},B={平面內(nèi)的三角形},對應(yīng)法則f:作圓的內(nèi)接三角形.

      思路點撥:根據(jù)定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一”.

      解:(1)不是映射,集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng),不滿足“A中任意”;若把A改為

      A={x|x≠0}或者把對應(yīng)法則改為“加1”等就可成為映射;

      (2)是映射,集合A中的任意一個元素(三角形),在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與

      之對應(yīng),這是因為不共線的三點可以確定一個圓;

      (3)不是映射,集合A中的任意一個元素(圓),在集合B中有無窮多個元素(該圓的內(nèi)接三角形有無

      數(shù)個)與之對應(yīng),不滿足“B中唯一”的限制;若將對應(yīng)法則改為:以該圓上某定點為頂點作正

      三角形便可成為映射.

      總結(jié)升華:將不是映射的對應(yīng)改為映射可以從出發(fā)集A、終止集B和對應(yīng)法則f三個角度入手.

      舉一反三:

      【變式1】判斷下列兩個對應(yīng)是否是集合A到集合B的映射?

      ①A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},對應(yīng)法則

      ②A=N*,B={0,1},對應(yīng)法則f:x→x除以2得的余數(shù);

      ③A=N,B={0,1,2},f:x→x被3除所得的余數(shù);

      ④設(shè)X={0,1,2,3,4},思路點撥:判斷是否構(gòu)成映射應(yīng)注意:①A中元素的剩余;②“多對一”“一對一”構(gòu)成,而“一對多”不構(gòu)成映射.解:①構(gòu)成映射,②構(gòu)成映射,③構(gòu)成映射,④不構(gòu)成映射,0沒有象.【變式2】已知映射f:A→B,在f的作用下,判斷下列說法是否正確?

      (1)任取x∈A,都有唯一的y∈B與x對應(yīng);

      (2)A中的某個元素在B中可以沒有象;

      (3)A中的某個元素在B中可以有兩個以上的象;

      (4)A中的不同的元素在B中有不同的象;

      (5)B中的元素在A中都有原象;

      (6)B中的元素在A中可以有兩個或兩個以上的原象.答:(1)、(6)的說法是正確的,(2)、(3)、(4)、(5)說法不正確.【變式3】下列對應(yīng)哪些是從A到B的映射?是從A到B的一一映射嗎?是從A到B的函數(shù)嗎?

      (1)A=N,B={1,-1},f:x→y=(-1)x;

      (2)A=N,B=N+,f:x→y=|x-3|;

      (3)A=R,B=R,(4)A=Z,B=N,f:x→y=|x|;

      (5)A=N,B=Z,f:x→y=|x|;

      (6)A=N,B=N,f:x→y=|x|.答:(1)、(4)、(5)、(6)是從A到B的映射也是從A到B的函數(shù),但只有(6)是從A到B的一一映射;(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A到B的函數(shù).6.已知A=R,B={(x,y)|x,yR},f:A→B是從集合A到集合B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中的元素

      解:

      ∴A中元素的象為的象,B中元素的原象.故.舉一反三:

      【變式1】設(shè)f:A→B是集合A到集合B的映射,其中

      (1)A={x|x>0},B=R,f:x→x2-2x-1,則A中元素的象及B中元素-1的原象分別為什么?

      (2)A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y),則A中元素(1,3)的象及B中元素(1,3)的原象分別為什么?

      解:(1)由已知f:x→x2-2x-1,所以A中元素的象為

      ;

      又因為x2-2x-1=-1有x=0或x=2,因為A={x|x>0},所以B中元素-1的原象為2;

      (2)由已知f:(x,y)→(x-y,x+y),所以A中元素(1,3)的象為(1-3,1+3),即(-2,4);

      又因為由

      有x=2,y=1,所以B中元素(1,3)的原象為(2,1).類型

      三、函數(shù)的表示方法

      7.求函數(shù)的解析式

      (1)若f(2x-1)=x2,求f(x);

      (2)若f(x+1)=2x2+1,求f(x).思路點撥:求函數(shù)的表達式可由兩種途徑.解:(1)∵f(2x-1)=x2,∴令t=2x-1,則

      ;

      (2)f(x+1)=2x2+1,由對應(yīng)法則特征可得:f(x)=2(x-1)2+1

      即:f(x)=2x2-4x+3.舉一反三:

      【變式1】(1)已知f(x+1)=x2+4x+2,求f(x);

      (2)已知:,求f[f(-1)].解:(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1

      ∴f(x)=x2+2x-1;

      (法2)令x+1=t,∴x=t-1,∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

      ∴f(x)=x2+2x-1;

      (法3)設(shè)f(x)=ax2+bx+c則

      f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

      ∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

      ;

      (2)∵-1<0,∴f(-1)=22(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.總結(jié)升華:求函數(shù)解析式常用方法:

      (1)換元法;(2)配湊法;(3)定義法;(4)待定系數(shù)法等.注意:用換元法解求對應(yīng)法則問題時,要關(guān)注新變元的范圍.(1)8.作出下列函數(shù)的圖象.;

      (2)

      ;

      (3);

      (4).思路點撥:(1)直接畫出圖象上孤立的點;(2)(3)先去掉絕對值符號化為分段函數(shù).解:(1),∴圖象為一條直線上5個孤立的點;

      (2)為分段函數(shù),圖象是兩條射線;

      (3)

      (4)圖象是拋物線.為分段函數(shù),圖象是去掉端點的兩條射線;

      所作函數(shù)圖象分別如圖所示:

      類型

      四、分段函數(shù)

      9.已知,求f(0),f[f(-1)]的值.思路點撥:分段函數(shù)求值,必須注意自變量在不同范圍內(nèi)取值時的不同對應(yīng)關(guān)系.解:f(0)=2302+1=1

      f[f(-1)]=f[23(-1)+3]=f(1)=2312+1=3.舉一反三:

      【變式1】已知,作出f(x)的圖象,求f(1),f(-1),f(0),f{f[f(-1)+1]}的值.解:由分段函數(shù)特點,作出f(x)圖象如下:

      ∴如圖,可得:f(1)=2;f(-1)=-1;f(0)=;

      f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.舉一反三:

      【變式1】移動公司開展了兩種通訊業(yè)務(wù):“全球通”,月租50元,每通話1分鐘,付費0.4元;“神州行”不繳月租,每通話1分鐘,付費0.6元,若一個月內(nèi)通話x分鐘,兩種通訊方式的費用分別為y1,y2(元),Ⅰ.寫出y1,y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式?

      Ⅱ.一個月內(nèi)通話多少分鐘,兩種通訊方式的費用相同?

      Ⅲ.若某人預計一個月內(nèi)使用話費200元,應(yīng)選擇哪種通訊方式?

      解:Ⅰ:y1=50+0.4x,y2=0.6x;

      Ⅱ: 當y1=y2時,50+0.4x=0.6x,∴0.2x=50,x=250

      ∴當一個月內(nèi)通話250分鐘時,兩種通訊方式費用相同;

      Ⅲ: 若某人預計月付資費200元,采用第一種方式:200=50+0.4x,0.4x=150 ∴x=375(分鐘)

      采用第二種方式:200=0.6x,∴應(yīng)采用第一種(全球通)方式.學習成果測評 基礎(chǔ)達標

      一、選擇題

      1.判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為()

      ⑴,;

      ⑵,;

      ⑶,;

      ⑷,;

      ⑸,.

      A.⑴、⑵

      B.⑵、⑶

      C.⑷

      D.⑶、⑸

      2.函數(shù)y=的定義域是()

      A.-1≤x≤

      1B.x≤-1或x≥1

      C.0≤x≤1

      3.函數(shù)的值域是()

      A.(-∞,)∪(,+∞)

      B.(-∞,)∪(,+∞)

      C.R

      D.(-∞,)∪(,+∞)

      4.下列從集合A到集合B的對應(yīng)中:

      ①A=R,B=(0,+∞),f:x→y=x2;

      ④A=[-2,1],B=[2,5],f:x→y=x2+1;

      D.{-1,1}

      ⑤A=[-3,3],B=[1,3],f:x→y=|x|

      其中,不是從集合A到集合B的映射的個數(shù)是()

      A. 1

      B. 2

      C. 3

      D. 4

      5.已知映射f:A→B,在f的作用下,下列說法中不正確的是()

      A. A中每個元素必有象,但B中元素不一定有原象

      B. B中元素可以有兩個原象

      C. A中的任何元素有且只能有唯一的象

      D. A與B必須是非空的數(shù)集

      6.點(x,y)在映射f下的象是(2x-y,2x+y),求點(4,6)在f下的原象()

      A.(,1)

      B.(1,3)

      C.(2,6)

      D.(-1,-3)

      7.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列各表達式中不表示從P到Q的映射的是()

      A.y=

      B.y=

      C.y=x

      D.y=

      x2

      8.下列圖象能夠成為某個函數(shù)圖象的是()

      9.函數(shù)的圖象與直線的公共點數(shù)目是()

      A.

      B.

      C.或

      D.或 10.已知集合和

      A.中的元素對應(yīng),則

      C.,且的值分別為()

      D.,使

      中元素

      B.11.已知,若,則的值是()

      A.

      B.或12.為了得到函數(shù)

      C.,或

      D. 的圖象,可以把函數(shù)的圖象適當平移,這個平移是()

      A.沿軸向右平移個單位

      B.沿軸向右平移個單位

      C.沿軸向左平移個單位

      D.沿軸向左平移

      二、填空題

      個單位

      1.設(shè)函數(shù)則實數(shù)的取值范圍是_______________.

      2.函數(shù)的定義域_______________.

      上的值域是_________. 的圖象與x軸交于,且函數(shù)的最大值

      3.函數(shù)f(x)=3x-5在區(qū)間

      4.若二次函數(shù)為,則這個二次函數(shù)的表達式是_______________.

      5.函數(shù)

      6.函數(shù)

      三、解答題 的定義域是_____________________. 的最小值是_________________.

      1.求函數(shù)

      2.求函數(shù)的定義域. 的值域.

      3.根據(jù)下列條件,求函數(shù)的解析式:

      (1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=4x-1,求f(x);

      (2)已知f(x)是二次函數(shù),且f(2)=-3,f(-2)=-7,f(0)=-3,求f(x);(3)已知f(x-3)=x2+2x+1,求f(x+3);

      (4)已知;

      (5)已知f(x)的定義域為R,且2f(x)+f(-x)=3x+1,求f(x).能力提升

      一、選擇題

      1.設(shè)函數(shù)

      A.

      B.

      C.,則的表達式是()

      D.

      2.函數(shù)

      A.3

      B.-3

      C.

      滿足

      D.

      則常數(shù)等于()

      3.已知

      A.15

      B.1

      C.3

      D.30

      4.已知函數(shù)

      定義域是,那么等于(),則的定義域是()

      A.

      5.函數(shù)

      A.

      B.

      C. 的值域是()

      D.

      B.

      C.

      D.

      6.已知,則的解析式為()

      A.

      二、填空題

      B.

      C.

      D.

      1.若函數(shù)

      2.若函數(shù),則,則

      =_______________. =_______________.

      3.函數(shù)的值域是_______________.

      4.已知

      5.設(shè)函數(shù),則不等式,當?shù)慕饧莀______________.

      時,的值有正有負,則實數(shù)的范圍________.

      三、解答題

      1.設(shè)是方程的兩實根,當

      為何值時,有最小值?求出這個最小值.

      2.求下列函數(shù)的定義域

      (1)

      3.求下列函數(shù)的值域

      ;(2).

      (1);(2).

      綜合探究

      1.某學生離家去學校,由于怕遲到,所以一開始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下圖中,縱軸表示離學校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,如圖四個圖象中較符合該學生走法的是()

      2.如圖所表示的函數(shù)解析式是()

      A.B.C.D.3.函數(shù)的圖象是()

      4.如圖,等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,作直線MN⊥AD交AD于M,交折線ABCD于N,記AM=x,試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù),并寫出函數(shù)的定義域.答案與解析:

      基礎(chǔ)達標

      一、選擇題

      1.C.(1)定義域不同;(2)定義域不同;(3)對應(yīng)法則不同;(4)定義域相同,且對應(yīng)法則相同;(5)定義域不同.

      2.D.由題意1-x2≥0且x2-1≥0,-1≤x≤1且x≤-1或 x≥1,∴x=±1,選D.

      3.B.法一:由y=,∴x= ∴y≠,應(yīng)選B.

      法二:

      4.C.提示:①④⑤不是,均不滿足“A中任意”的限制條件.

      5.D.提示:映射可以是任何兩個非空集合間的對應(yīng),而函數(shù)是要求非空數(shù)集之間.

      6.A.設(shè)(4,6)在f下的原象是(x,y),則,解之得x=,y=1,應(yīng)選A.

      7.C.∵0≤x≤4,∴0≤

      8.C.

      x≤=2,應(yīng)選C.

      9.C.有可能是沒有交點的,如果有交點,那么對于

      10.D.按照對應(yīng)法則

      而,∴,僅有一個函數(shù)值.

      .,而

      11.D.該分段函數(shù)的三段各自的值域為

      12.D.平移前的“”,平移后的“”,用“”代替了“”,即

      二、填空題,左移.

      1..當,這是矛盾的;當

      .2.

      設(shè)

      .提示:,對稱軸

      .3.,當

      時,.4.

      ..5.

      三、解答題

      1.解:∵..6...,∴定義域為

      2.解:∵ ∴,∴值域為

      3.解:(1).提示:利用待定系數(shù)法;

      (2).提示:利用待定系數(shù)法;

      (3)f(x+3)=x2+14x+49.提示:利用換元法求解,設(shè)x-3=t,則x=t+3,于是f(x-3)=x2+2x+1變?yōu)閒(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2,故f(x+3)=[(x+3)+4]2;

      (4)f(x)=x2+2.提示:整體代換,設(shè)

      ;

      (5).提示:利用方程,用-x替換2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一個新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1,于是有,聯(lián)立得

      能力提升

      一、選擇題

      1.B.∵

      ;

      2.B.3.A.令

      4.A.;

      5.C.;

      6.C.令

      二、填空題

      1.2..令...

      .3...4..當

      當,∴.5.

      三、解答題

      1.解:.2.解:(1)∵∴定義域為;

      (2)∵∴定義域為.

      3.解:(1)∵,∴值域為;

      (2)∵

      ∴值域為

      .∴

      綜合探究

      1.D.因為縱軸表示離學校的距離,橫軸表示出發(fā)后的時間,所以當

      時,縱軸表示家到學校的距離,不能為零,故排除A、C;又由于一開始是跑步,后來是走完余下的路,所以剛開始圖象下降的較快,后來下降的較慢,故選D.2.B.本題考查函數(shù)圖象與解析式之間的關(guān)系.將x=0代入選項排除A、C,將x=1代入選項排除D,故選B.3.D..,就需準確揭示x、y之間的變化關(guān)系.依題意,4.思路點撥:要求函數(shù)的表達式可知隨著直線MN的移動,點N分別落在梯形ABCD的AB、BC及CD邊上,有三種情況,所以需要分類解答.解析:作BH⊥AD,H為垂足,CG⊥AD,G為垂足,依題意,則有

      (1)當M位于點H的左側(cè)時,由于AM=x,∠BAD=45°.(2)當M位于HG之間時,由于AM=x,;

      (3)當M位于點G的右側(cè)時,由于AM=x,MN=MD=2a-x.綜上:

      總結(jié)升華:

      (1)由實際問題確定的函數(shù),不僅要確定函數(shù)的解析式,同時要求出函數(shù)的定義域(一般情況下,都要接受實際問題的約束).(2)根據(jù)實際問題中自變量所表示的具體數(shù)量的含義來確定函數(shù)的定義域,使之必須有實際意義.

      第五篇:函數(shù)的表示方法教案

      函數(shù)的表示法 一.教學目標

      了解函數(shù)的三種表示方法(解析法、圖象法、列表法);知道三種表示法各自的優(yōu)缺點;會根據(jù)不同的實際情境選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).二.教學重難點

      教學重點:函數(shù)的三種表示方法.教學難點:在實際情境中,函數(shù)表示方法的恰當選擇.三.教學過程(一)導入新課

      以提問的方式復習函數(shù)的概念, 來揭示函數(shù)概念的內(nèi)涵(盡量讓學生自己總結(jié)出來).只要有一個對應(yīng)關(guān)系, 使得取值范圍中的每一個值都有唯一確定的y 和它對應(yīng)即可, 不用管這個對應(yīng)關(guān)系是以何種形式給出.讓學生閱讀課本15至16頁的三個引例, 學生很容易就可以發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)關(guān)系分別以解析式、圖象、表格的形式.與之對應(yīng), 函數(shù)常用的三種表示法為解析法、圖象法、列表法.設(shè)計意圖:幫助學生回憶出初中就已經(jīng)接觸過的函數(shù)的三種表示法:解析法、圖象法、列表法.(二)講解新課

      設(shè)計思路:圍繞課本15至16頁的三個引例講解函數(shù)的三種表示法, 以下內(nèi)容均通過這三個例子進行講解.1.三種表示法的定義(了解即可)解析法:用數(shù)學表達式表示兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的方法.圖象法:用圖象表示兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的方法.列表法:列出表格來表示兩個變量之間對應(yīng)關(guān)系的方法.2.函數(shù)用不同方法表示時定義域、值域的不同求法(1)函數(shù)定義域的求法

      ①當函數(shù)y =f(x)用解析式給出時, 函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)x 的集合;②當函數(shù)y =f(x)用圖像給出時, 函數(shù)的定義域是指圖像在x 軸上的投影所覆蓋的實數(shù)x 的集合;③當函數(shù)y =f(x)用表格給出時, 函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)x 的集合.(2)函數(shù)值域的求法

      ①當函數(shù)y =f(x)用解析式給出時, 函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)關(guān)系唯一確定;②當函數(shù)y =f(x)用圖像給出時, 函數(shù)的值域是指圖像在y 軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y 的集合;③當函數(shù)y =f(x)用表格給出時, 函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y 的集合.3.函數(shù)三種表示法優(yōu)缺點的對比

      (1)解析法的優(yōu)點:一是簡明, 全面地概括了變量間的關(guān)系;二是可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值.缺點:不夠形象, 直觀, 具體, 而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來.(2)圖像法的優(yōu)點:能形象直觀地表示出函數(shù)的變化情況.缺點:只能近似地求出自變量的值所對應(yīng)的函數(shù)值, 而且有時誤差較大.(企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢圖等)(3)列表法的優(yōu)點:不需要計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值.缺點:它只能表示自變量取較少的有限值時的對應(yīng)關(guān)系.(銀行利率表、列車時刻表等)(四)鞏固練習課本練習小結(jié)

      1.函數(shù)的三種表示法: 解析法、圖象法、列表法.2.函數(shù)用不同方法表示時定義域、值域的不同求法.3.函數(shù)三種表示法優(yōu)缺點的對比, 這也是選擇函數(shù)表示法的標準.

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