第一篇：基于課標(biāo)課程的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐研究

基于課標(biāo)課程的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐研究

摘 要：新課程標(biāo)準(zhǔn)將“數(shù)學(xué)建模”“數(shù)學(xué)探究”等納入數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的形式當(dāng)中，倡導(dǎo)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的豐富以及獨立思考、自主探索、動手實踐等能力的培養(yǎng)，明確規(guī)定了中學(xué)數(shù)學(xué)課程需在向?qū)W生提供基本內(nèi)容的同時反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，積極展開數(shù)學(xué)建?；顒?。在分析中學(xué)數(shù)學(xué)建模主要原則和具體步驟的基礎(chǔ)上，針對不同類型的數(shù)學(xué)模型展開建模教學(xué)的實踐研究，以期為當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)的建模教學(xué)提供參考。

關(guān)鍵詞：課標(biāo)課程；中學(xué)數(shù)學(xué)；模型

一、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的主要原則

1.趣味性

在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引入數(shù)學(xué)建模是為了使中學(xué)生真正體驗到生活中數(shù)學(xué)的重要作用，激發(fā)學(xué)生主動接觸、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，教師需立足于滿足學(xué)生愛好、貼近實際生活且符合學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的前提下進(jìn)行建模問題的選擇，通過富有趣味與挑戰(zhàn)性的問題的設(shè)置來調(diào)動學(xué)生的積極性，進(jìn)而主動參與到建模教學(xué)活動中。

2.可行性

由于教學(xué)的接受者是中學(xué)生，故建模問題的選取必須適合中學(xué)的數(shù)學(xué)知識水平，并在不同階段的建模訓(xùn)練中結(jié)合教學(xué)現(xiàn)實選取相應(yīng)的問題，做好由易到難、由簡及繁的過渡。

3.發(fā)展性

建模問題的選用首先應(yīng)當(dāng)滲透中學(xué)生數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在建模學(xué)習(xí)過程中鞏固并內(nèi)化所學(xué)知識，得到進(jìn)一步發(fā)展。建模問題的解決并非是建模教學(xué)的最終目標(biāo)，需強(qiáng)調(diào)問題解決后所帶來的延伸作用。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)建模的具體流程

作為一種創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維活動，數(shù)學(xué)建模的模式、方法并非是固定的，但總結(jié)起來大致包括以下幾個流程。

1.準(zhǔn)備

建模準(zhǔn)備環(huán)節(jié)要在分析問題實際背景的基礎(chǔ)上做好數(shù)據(jù)、資料的收集與整理，發(fā)現(xiàn)問題的內(nèi)在聯(lián)系并對其中所涉及的量的關(guān)系做出分析。

2.假設(shè)

從建模目的和實際問題特征出發(fā)對問題進(jìn)行有選擇性、必要性的簡化，并針對題目條件進(jìn)行有選擇的理想化，經(jīng)抽象思維思考后使用數(shù)學(xué)語言對問題提出假設(shè)，合理選擇變量。

3.建模

使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法根據(jù)假設(shè)建立不同變量間的關(guān)系模型。

4.求解

計算所建立的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解證明。

5.分析

數(shù)學(xué)分析建模的求解結(jié)果，例如變量間關(guān)系、最優(yōu)解或最優(yōu)決策，此外還可對所得結(jié)果做出進(jìn)一步的預(yù)測。

6.檢驗

在實際問題中代入分析結(jié)果以實現(xiàn)對求解結(jié)果合理性、真實性、科學(xué)性、可行性的檢驗，在必要的情況下可修正模型，通過再計算―再檢驗―再修正的反復(fù)循環(huán)得到最理想的結(jié)果。

三、基于課標(biāo)課程的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)實踐路徑

1.降低難度，樹立信心

在建模教學(xué)的初級階段需盡量多地選用一些易于尋找模型的題目，讓學(xué)生在獲得成功體驗的過程當(dāng)中逐步形成建模的自信心。對于現(xiàn)實生活中普遍存在的增長率、濃度配比、存款利息等可利用方程這一較為簡單的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)數(shù)量間的相等關(guān)系。例如，在講解七年級方程的相關(guān)內(nèi)容時，教師可先設(shè)計這樣一個問題：

例1：一件衣服的售價是132元，在降價進(jìn)行9折出售的情況下，相比較進(jìn)價仍然可獲得10%的利潤，求衣服的進(jìn)價是多少？

假設(shè)衣服進(jìn)價是x元，那么根據(jù)問題可列出132×0.9-x=10%x這一方程，并解得x為108。

學(xué)生通過這個簡單方程式求解的平臺獲得了成功的體驗，而后教師可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行深化。

例2：某工廠甲車間與乙車間年度計劃總共完成720萬元的稅利，結(jié)果甲、乙車間分別完成了計劃的110%和115%，共計完成812萬元的稅利，那么甲、乙車間分別超額完成了多少萬元的稅利？

在分析問題后可應(yīng)用x+y=max+by=n這一模式，假設(shè)甲乙兩車間完成的稅利分別是x、y萬元，那么可得出方程式組x+y=720110%x+115%y=812，解得x=320，y=400。進(jìn)而由320×10%和400×15%得出甲、乙車間分別超額完成了32萬元與60萬元的稅利。

這樣由易到難逐級遞進(jìn)的教學(xué)方法能夠幫助學(xué)生打好基礎(chǔ)，同時貼近實際生活的問題選擇也讓學(xué)生了解到了數(shù)學(xué)建模的無處不在，初步形成了建模意識。

2.發(fā)散思維，開拓思路

例3：根據(jù)一次函數(shù)y=6x+12設(shè)計不同的問題，學(xué)生在討論與思考后編寫出了各種不同的生活背景。

1.出租車的起步價是12元，若超出規(guī)定公里數(shù)后需每公里增加6元，假設(shè)超出x公里，出租車費為y元，則兩者的函數(shù)關(guān)系是y=6x+12。

2.公園里的一個花壇長6 m，寬2 m，現(xiàn)在要保持花壇的長度不變，寬度增加x（m）來擴(kuò)大花壇的面積，那么擴(kuò)大后的花壇面積y（m2）和x（m）的關(guān)系式是y=6x+12。

3.彈簧長12 cm，每掛上一個重1 kg的物體便增長6 cm，那么彈簧的長度y（cm）和物體重量x（kg）之間的關(guān)系是y=6x+12。

在自己編寫題目后學(xué)生對建模思路有了更清晰的把握，并且學(xué)會了多角度、多方位地思考數(shù)學(xué)問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生建模的靈活性。

3.繪制圖表，加深理解

建模過程中準(zhǔn)確理解與把握題目的含義是至關(guān)重要的。中學(xué)生的思維發(fā)展相對來說還不夠成熟，往往在閱讀文字時很難形成直觀形象的概念。因此，中學(xué)教師在建模教學(xué)中必須指導(dǎo)學(xué)生掌握理解問題的方法，可引導(dǎo)學(xué)生通過繪制表格或圖像等來直觀地分析問題。

例4：某地區(qū)已有1000公頃耕地，計劃在十年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加20%并且人均糧食占有量相比較現(xiàn)在提升15%。若人口的年增長率是1%，求耕地每年最多只能減少多少。

該題目中的數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，涉及現(xiàn)有的及十年后的耕地面積、人口、糧食單產(chǎn)等諸多數(shù)量，此時教師便可引導(dǎo)學(xué)生繪制表格整理數(shù)據(jù)。如下：

經(jīng)過列表梳理后學(xué)生可以從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系當(dāng)中準(zhǔn)確、清晰地找出關(guān)聯(lián)數(shù)量，理解題意后便能夠很容易地建立數(shù)量關(guān)系模

型了。

四、總結(jié)與建議

在中學(xué)數(shù)學(xué)的建模教學(xué)過程中，教師需結(jié)合建?；驹瓌t和學(xué)生實際情況適當(dāng)選擇建模切入點。在建模教學(xué)初期，考慮到中學(xué)生在建模初級階段經(jīng)驗不足、意識薄弱，因此需密切結(jié)合教材選用一些較為簡單的建模問題，以指導(dǎo)學(xué)生了解、構(gòu)造模型為目的，幫助學(xué)生消除對數(shù)學(xué)建模的畏難心理；在建模教學(xué)中期，可著重培養(yǎng)學(xué)生提取信息、應(yīng)用信息的能力；而在建模教學(xué)后期，可鼓勵學(xué)生自主搜集建模信息、數(shù)據(jù)并進(jìn)行假設(shè)建模，從而逐步、有效地培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力。

參考文獻(xiàn)：

張曉暉.基于建構(gòu)主義的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究[D].山東師范大學(xué)，2012.

第二篇：國內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)建模及其教學(xué)的研究現(xiàn)狀

國內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)建模及其教學(xué)的研究現(xiàn)狀

一、國內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究現(xiàn)狀

隨著時代的進(jìn)步和科技的發(fā)展,人們越來越覺得數(shù)學(xué)素質(zhì)是一個人的基本素質(zhì)的重要方面之一,而掌握和運用數(shù)學(xué)模型方法是衡量一個人數(shù)學(xué)素質(zhì)高低的一個重要標(biāo)志。受西方國家的影響,20世紀(jì)80年代初,數(shù)學(xué)建模課程引入到我國的一些高校,短短幾十年來發(fā)展非常迅速,影響很大。1989年,我國高校有4個隊首次參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽?，F(xiàn)在這項競賽已經(jīng)成為一個世界性的競賽。在美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的影響下,1992年11月底,中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會舉行了我國首屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽。從那以后,數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模方法、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的熱潮也迅速波及到中學(xué),使得我國有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)雜志中,討論數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的文章明顯多了起來。1996年9月北京市數(shù)學(xué)會組織了一部分中學(xué)生參加了“全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽”,取得了意想不到的好成績,贏得了評審人員、教師等有關(guān)人士的一致好評。這些競賽與常規(guī)的數(shù)學(xué)競賽很不一樣,題目內(nèi)容與生產(chǎn)和生活實際緊密相連,可以使用參考書和計算工具,都是要通過建立數(shù)學(xué)模型來解決實際應(yīng)用問題。這也說明中學(xué)生能否進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并不在于是否具備高等數(shù)學(xué)知識,運用初等數(shù)學(xué)知識仍然可以進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,甚至有時能把問題解決得更好。

在我國,中學(xué)真正開展數(shù)學(xué)建模的時間并不長。最早進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)建模的城市是上海市。1991年10月,由上海市科技局、上海工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會、上海金橋出口加工聯(lián)合有限公司聯(lián)合舉辦了“上海市首屆?金橋杯?中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽”的初賽,并于1992年3月舉行了決賽。以后每年進(jìn)行一次,主要對象是高中學(xué)生。這項競賽參加者最多時達(dá)到了四千多人,在培養(yǎng)中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模能力方面起到了重要作用,也為我國其他地區(qū)舉辦中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模競賽起了一個帶頭作用。

北京市于1993年到1994年也成功舉辦了“北京市首屆?方正杯?中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽”,有兩千多人參加了競賽。與此同時,舉辦者開始嘗試讓中學(xué)生寫數(shù)學(xué)建模的小論文,學(xué)生所寫的小論文讓舉辦者和教師大為吃驚。到1997年北京市教委從中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革,特別是從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變的角度出發(fā),批準(zhǔn)恢復(fù)了一年一度面向高中學(xué)生的競賽。北京市成立了由北京市數(shù)學(xué)會、北京市教委科教院、人民教育出版社、北京師范大學(xué)、首都師范大學(xué)聯(lián)合組織的“高中數(shù)學(xué)應(yīng)用知識競賽”咨詢委員會和組織委員會,由北京數(shù)學(xué)會作為具體承辦單位,并于1997年12月舉辦了“第一屆北京市高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽”初賽,并于1998年3月進(jìn)行了決賽,至今成為慣例,已成功舉辦了十一屆。

2000年8月,第七屆全國數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用會議在鄭州召開。會議安排了有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用和建模的報告。比如,北京理工大學(xué)的葉其孝教授和北京師范大學(xué)的劉來福教授分別作了題為“深入開展中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用活動”和“北京中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽”的報告。特別值得提出的是,在這次會議上,第一次有中學(xué)教師參加。

2001年7月29日至8月2日,第十屆國際數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用會議在北京舉行。會議的研討包括“中學(xué)數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽和中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革”的報告和研討會。部分中國與會者還就“大、中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動和教育改革”,“美、中大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽賽題解析”進(jìn)行了交流。我國的一些中學(xué)教師在會上作了有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)建模的報告,引起了與會者的強(qiáng)烈反響。所有這些都為進(jìn)一步推動我國的數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動創(chuàng)造了良好的條件。

教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)》把數(shù)學(xué)建模納入了內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中,明確指出“高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排一次數(shù)學(xué)建模活動”,這標(biāo)志著數(shù)學(xué)建模正式進(jìn)入我國高中數(shù)學(xué),也是我國中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模發(fā)展的一個里程碑。

二、國內(nèi)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的特點

中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)在國內(nèi)的研究現(xiàn)狀,概括起來有以下幾大特點:

1.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)學(xué)建模已經(jīng)有了明確的要求:(1)在數(shù)學(xué)建模中,問題是關(guān)鍵。數(shù)學(xué)建模的問題應(yīng)是多樣的,應(yīng)是來自于學(xué)生的日常生活、現(xiàn)實世界、其他學(xué)科等多方面的問題。同時,解決問題所涉及的知識、思想、方法應(yīng)與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有聯(lián)系。(2)通過數(shù)學(xué)建模,學(xué)生將了解和體會解決實際問題的全過程,體驗數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)的實用價值,增強(qiáng)應(yīng)用意識,提高實踐能力。(3)每一個學(xué)生可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)并提出問題,對同樣的問題,可以發(fā)揮自己的特長和個性,從不同的角度、層次探索解決的方法,從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經(jīng)驗,發(fā)展創(chuàng)新意識。(4)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中,應(yīng)學(xué)會通過查詢資料等手段獲取信息。(5)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)采取各種合作方式解決問題,養(yǎng)成與人交流的習(xí)慣,并獲得良好的情感體驗。(6)高中階段應(yīng)至少為學(xué)生安排一次數(shù)學(xué)建?；顒?。還應(yīng)將課內(nèi)與課外有機(jī)地結(jié)合起來,把數(shù)學(xué)建?；顒优c綜合實踐活動有機(jī)地結(jié)合起來。

2.在各大師范院校為本科生、研究生開設(shè)選修或必修的“中學(xué)數(shù)學(xué)建?！闭n程的同時,奮戰(zhàn)在一線的中學(xué)數(shù)學(xué)教師也開始投身中學(xué)數(shù)學(xué)建模的實踐和研究中。

蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的徐稼紅教授從1997年開始,為師范畢業(yè)班開設(shè)了“中學(xué)數(shù)學(xué)建?！边x修課,該課受到學(xué)生的普遍歡迎和重視,學(xué)生反映這門課開得及時,是將中學(xué)數(shù)學(xué)與實際應(yīng)用緊密聯(lián)系的一門好課。期間,還為中學(xué)數(shù)學(xué)教師開設(shè)“中學(xué)數(shù)學(xué)建?！敝v座,也得到了中學(xué)老師的充分肯定與好評,對促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)起到了積極的推動作用。徐稼紅教授還就開設(shè)“中學(xué)數(shù)學(xué)建模”課程的意義、教學(xué)方法和教學(xué)基本內(nèi)容作了深入探討和研究。并且在實踐中得出結(jié)論:“高師數(shù)學(xué)系設(shè)置中學(xué)數(shù)學(xué)建模課程既是必要也是可行的,它是提高高師學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),培養(yǎng)未來合格教師的一條重要途徑,也是加強(qiáng)高初結(jié)合值得探索的一個方向?！?/p>

河北師范大學(xué)的張碩和楊春宏運用循序漸進(jìn)的教學(xué)原則將中學(xué)數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)分為初級、中級和高級三個階段,對應(yīng)建模能力將建模題目也分為了三個層次。并指出:“建模能力和建模題目的等級劃分不是絕對的,在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的。因此,不同類型的中學(xué)應(yīng)該根據(jù)各自學(xué)校的具體情況,努力研究數(shù)學(xué)建模教育自身的發(fā)展規(guī)律,讓不同能力階段的學(xué)生,通過開展數(shù)學(xué)建?；顒?得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的實際體驗,培養(yǎng)學(xué)生勤于思考,勇于探索的勇氣與敢為人先的精神,從而達(dá)到全面提高學(xué)生素質(zhì)、增長學(xué)生才干的目的”。

北京市數(shù)學(xué)會從1994年起,組織了“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革和數(shù)學(xué)建?！庇懻摪?每兩周活動一次,參加討論班的有不少大學(xué)的教授、研究生和幾十位中學(xué)教師。在市教委教研部和教材編審部的支持和組織下,討論班的教師開設(shè)了多次全市范圍的數(shù)學(xué)建模的公開課和專題講座,正式出版了數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的課外活動教材。首都師范大學(xué)的數(shù)學(xué)教育的研究生課程班和一些區(qū)縣的教師進(jìn)修學(xué)校的數(shù)學(xué)教師繼續(xù)教育班,也把數(shù)學(xué)建模作為必修課。

我國部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師也在孜孜不倦地對數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的實踐進(jìn)行著有益的探索。比如,北大附中的張思明老師從1993年開始在所教的班的數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想和方法。主要做法是:在課堂教學(xué)中,讓學(xué)生了解所學(xué)知識的應(yīng)用背景,讓學(xué)生接觸并解決一些有真實感的應(yīng)用問題。在課外活動中為學(xué)生介紹一些數(shù)學(xué)建模的實例,設(shè)計了多種形式的數(shù)學(xué)活動,引導(dǎo)各種水平的學(xué)生進(jìn)行用數(shù)學(xué)解決生活中實際問題的實踐。張思明著的《中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐與探索》(1998年)和《數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的實踐與探索》(2003年)兩本書,就中學(xué)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容、意義、開展方法和實例分析作了深入探討,為一線教師提供了有力參考。2000年,四川省鄰水二中在蘇州大學(xué)武茂慶的指導(dǎo)下,以馮永明、張啟凡和劉鳳文為代表的數(shù)學(xué)教師開展了中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用的研究和實踐。他們以教材為載體,以改革活動方法為突破口,以小組為單位開展建模活動,從生活中的數(shù)學(xué)問題出發(fā),強(qiáng)化應(yīng)用意識;從社會熱點問題出發(fā),介紹建模方法;通過實踐活動或游戲中的數(shù)學(xué),從中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模應(yīng)用能力;以數(shù)學(xué)建模為手段,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、相互合作的工作能力;以數(shù)學(xué)建模為核心,培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力和創(chuàng)新精神,取得了較好的成績。并在數(shù)學(xué)通訊和數(shù)學(xué)教育學(xué)報上發(fā)表多篇文章總結(jié)經(jīng)驗。還有不少教師就中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)原則、教學(xué)策略、常見模型、作用和意義等方面進(jìn)行深入的研究。

3.中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的具體實施困難重重。主要原因有:(1)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)沒有對數(shù)學(xué)建模的課時和內(nèi)容作具體安排,也沒有統(tǒng)一的教材和規(guī)定,這就讓一線教師在具體實施過程中漫無邊際,無從下手。(2)專門針對中學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究起步比較晚,一大批的中學(xué)教師在大學(xué)期間并沒有接受過這方面的教育,對數(shù)學(xué)建模概念、建模意識、建模意義都很模糊。(3)相應(yīng)的評價體系并沒有建立,在高考的壓力面前,學(xué)生也不愿花費精力進(jìn)行建模。

第三篇：中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探討與實踐3000字

中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探討與實踐 摘要：主要論述了數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的實踐探討，論述了應(yīng)用的方法和應(yīng)用的對策，以及應(yīng)用過程中應(yīng)該注意的問題，希望可以為今后的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；中學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué) 1 引言

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，為了能夠提高中學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，教師必須要重視采取有效的教學(xué)手段，將數(shù)學(xué)建模思想融入到教學(xué)工作中，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的水平，并學(xué)習(xí)將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活實際問題中，從而能夠適應(yīng)未來生活。2 數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

何謂模型?總而言之，模型就是根據(jù)具體實際問題，把復(fù)雜而抽象難理解的問題，形象化的建立起一個可以反映具體實際問題的一種模型。數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實和非現(xiàn)實的理論體系中扮演著重要的角色，使得兩者之間能夠很好的聯(lián)系到一起，這在數(shù)學(xué)領(lǐng)域被廣泛的應(yīng)用，也是一種解決問題的很好的方法。數(shù)學(xué)建模對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)實意義

3.1 中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的緊迫性、必要性和重要性

數(shù)學(xué)建模的發(fā)展影響著社會人才的發(fā)展，和更強(qiáng)的能力去適應(yīng)社會，西方等發(fā)達(dá)國家很早就開始了相關(guān)教學(xué)工作。增加數(shù)學(xué)和其他科學(xué)、以及日常生活的聯(lián)系是世界數(shù)學(xué)教育的總趨勢。所謂數(shù)學(xué)建模就是把所要研究的實驗問題，通過數(shù)學(xué)抽象構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)模型的研究，使原問題獲得解決的過程。數(shù)學(xué)建模不僅在與數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密的學(xué)科（物理、化學(xué)、生物）中應(yīng)用廣泛，在其他學(xué)科的應(yīng)用也日益增強(qiáng)。比如在管理學(xué)科，利用數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，為決策者提供參考；通過數(shù)學(xué)模型對相關(guān)績效進(jìn)行綜合評價。比如在美學(xué)中的應(yīng)用，設(shè)計最優(yōu)設(shè)計方案。在網(wǎng)絡(luò)交通中制定最短路路徑等，都需要建立數(shù)學(xué)模型解決問題。傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過于注重理論和計算，忽視了實際問題的深入研究和應(yīng)用。內(nèi)容枯燥，往往打擊了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。據(jù)搜狐教育最新調(diào)查研究[6] 表明超過半數(shù)人人文中學(xué)數(shù)學(xué)較難或難。新世紀(jì)數(shù)學(xué)課程改革中明確要求加強(qiáng)應(yīng)用性、創(chuàng)新性，重視聯(lián)系學(xué)生生活實際和社會實踐的要求。在中學(xué)的教學(xué)課堂中引入建模的思想，不僅可以很好的提高學(xué)生的創(chuàng)造力，還可以改變目前的教學(xué)理念，使得學(xué)生脫離題海戰(zhàn)術(shù)，將這種思維始終貫穿在整個學(xué)習(xí)過程中讓學(xué)生真正感受到學(xué)習(xí)的樂趣，讓學(xué)生在素質(zhì)教育的背景下得到提升，同時還能夠增強(qiáng)探索和創(chuàng)新精神。所以，在目前的情形下，在中學(xué)課堂中落實數(shù)學(xué)建模思想是提高素質(zhì)教育的重要措施。

3.2 有利于培養(yǎng)學(xué)生主體性意識

傳統(tǒng)教學(xué)法一般表現(xiàn)為以教師為主體的滿堂灌輸式的教學(xué)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，可極大地改變教學(xué)組織形式，學(xué)生是學(xué)習(xí)中主要的對象，而教師則是授業(yè)解惑之人，是教學(xué)過程中的引導(dǎo)者。由于在學(xué)習(xí)過程中就是一個不斷地發(fā)現(xiàn)問題解決問題的過程，每一個學(xué)生都要積極地參與到學(xué)習(xí)中來，對問題要進(jìn)行報告、討論和總結(jié)，所以對于學(xué)生能夠收到極大地調(diào)動。在新時代的大背景下，學(xué)習(xí)是多方面的，只是不能只來源于老師，要極大地鼓勵學(xué)生在其有益他方面多加學(xué)習(xí)，爭取構(gòu)建全面的學(xué)習(xí)觀，只有這樣學(xué)生的主動學(xué)習(xí)和接受知識的意識才會得到提升。

3.3 有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識 從問題的提出到問題的解決，建模沒有現(xiàn)成的答案和模式。學(xué)生要自己組成討論小組對遇到的問題提出疑惑自主判斷和分析，創(chuàng)造性地解決問題。數(shù)學(xué)建模需要學(xué)生多思考問題，獨立完成一些簡單的問題，小組討論深入探討的一個過程，同時通過全新模式的數(shù)學(xué)理念去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，也給那些生搬硬套、思維邏輯、只會理論表象的學(xué)生做出一個表率，學(xué)生可以通過自己本身所具有的自主性和想象空間去學(xué)習(xí)建模，其過程可以培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力和解決問題的能力，讓學(xué)生本身更具有創(chuàng)新能力。3.4 有利于培養(yǎng)學(xué)生合作意識

在現(xiàn)實社會中，很多實際問題不是單個人所能解決的，需要眾多人員共同合作完成。數(shù)學(xué)建模的實施往往通過組建多人團(tuán)隊來完成。建模團(tuán)隊為實現(xiàn)共同的目標(biāo)，他們既要明確分工，各盡所能，又要密切配合，集思廣益，只有發(fā)揮團(tuán)隊精神，共同努力，集體攻關(guān)，才能取得正確的答案。因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于培養(yǎng)了學(xué)生相互學(xué)習(xí)、積極合作、集體攻關(guān)的合作意識。如何提高數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用效果

隨著社會的發(fā)展，教育體制也在不斷地改革，數(shù)學(xué)建模在中學(xué)的教學(xué)課堂越來越受重視，并且在很多地區(qū)數(shù)學(xué)建模課堂成績顯著。在課堂上不斷地開展建模為主題的活動，不僅可以通過建模來具體解決問題和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)思維方式還能夠加強(qiáng)同學(xué)之間的交流。這就是數(shù)學(xué)建模融入到中學(xué)課堂的主要目的，具體如何能夠取得顯著效果，可以從以下幾個方面分析： 4.1 在數(shù)學(xué)教材中的重要部分引入數(shù)學(xué)建模

在中學(xué)階段處理很多數(shù)學(xué)問題都可能用到數(shù)學(xué)建模的方法，而此時的學(xué)生也正是需要理論聯(lián)系實際的階段，如果在解決問題時只是考慮所學(xué)的理論問題，如果在問題上只是考慮理論問題，而不明白真正的原理，勢必會讓學(xué)生更加迷惑，而問題得不到解決?，F(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課本中，主要還是以實際問題為主，然后根據(jù)實際問題引入數(shù)學(xué)的知識，根據(jù)知識建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，此類方法對于解決數(shù)學(xué)問題很有針對性。4.2 改編數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)枯燥為生活化、趣味化 中學(xué)階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是一個枯燥乏味的階段，現(xiàn)在大部分中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課本得知識和例題取自現(xiàn)實生活中，而生活中的很多問題都可以根據(jù)相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模來實現(xiàn)，但是在課本中經(jīng)過處理的應(yīng)用問題對于學(xué)生來講是枯燥乏味的，問題的解決不能完全讓學(xué)生明白，但是如果根據(jù)具體的實際問題，將課本的編制基礎(chǔ)進(jìn)行改革，使得其更加接近于實際，更加能夠增加學(xué)生的學(xué)習(xí)愛好和學(xué)習(xí)的積極性，為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)。4.3 合理性的把教材內(nèi)容進(jìn)行延伸，為數(shù)學(xué)建模作基礎(chǔ) 目前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)時所選用的教材有一個顯著的特點，其應(yīng)用性都比較強(qiáng)，及時難度各不相同，但是給建模建立了一個很好的條件，通過建模的教學(xué)，不僅可以讓學(xué)生學(xué)習(xí)到理論知識，還可以讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時更好的去理解，加深印象，使得理論知識更加鞏固，因此形成一套很好的解題辦法以及提高學(xué)生的建模能力。只要將數(shù)學(xué)建模的的思想始終貫穿在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，就可以通過長期的積累，提高學(xué)生的建模能力。也就是在不斷的學(xué)習(xí)過程中，老師要不斷的引導(dǎo)學(xué)生去用建模的思想去思考、觀察各種事物，從復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題中，找出具體熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而使得問題得到解決，逐漸使得學(xué)生在遇到問題時習(xí)慣性的用建模的思維去思考。5 結(jié)束語

綜上所述，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，當(dāng)把數(shù)學(xué)建模的思想和數(shù)學(xué)理論有機(jī)的結(jié)合在一起，不僅可以使學(xué)生提高思考能力，還可以使學(xué)生提高建模意識，在遇到問題時自覺地去用建模的方法去觀察，分析和解決問題，使得素質(zhì)教育能夠更好地落實。參考文獻(xiàn)

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第四篇：中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐與認(rèn)識

中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實踐與認(rèn)識<

張思明

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一、“問題解決”與數(shù)學(xué)建模

當(dāng)今的中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，問題解決(Problem Solving)正成為一個熱點。在國際中，日本已把問題解決納入教學(xué)大綱(學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng))，在美國的中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，問題解決已作為“一切數(shù)學(xué)活動的組成部分，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)課程的核心”；美國也已把問題解決當(dāng)做一種教學(xué)模式和教學(xué)的指導(dǎo)思想。在我國，國家教委基礎(chǔ)教育課程教材研究中心在1993年組織過專題講習(xí)班，并出版了用于問題解決的“問題集”。反映問題解決教與學(xué)過程的文章也多次出現(xiàn)在專業(yè)期刊上。

這一切來源于數(shù)學(xué)教育工作者們對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育在走向21世紀(jì)時的發(fā)展、變化的如下認(rèn)識和展望：

(1)數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)越來越成為每一個公民，以至于整個民族文化素養(yǎng)的重要內(nèi)容和標(biāo)志。因此數(shù)學(xué)教育要面向大眾，面向每一個學(xué)生。

(2)數(shù)學(xué)教學(xué)將從傳統(tǒng)的“傳授知識”的模式更多地轉(zhuǎn)變到“以激勵學(xué)習(xí)為特征的，以學(xué)生為中心”的實踐模式。

(3)數(shù)學(xué)教學(xué)將更著重于培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的廣泛的數(shù)學(xué)能力。它不僅包括理解運用數(shù)學(xué)概念和方法、組織正確的邏輯推理，進(jìn)行準(zhǔn)確有效的計算和估算；還應(yīng)包括會檢索閱讀相應(yīng)的數(shù)學(xué)書刊文獻(xiàn)，會利用表、圖、計算機(jī)去組織、解釋、選擇、分析處理信息，能從模糊的實際課題中形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，會選擇有效的解決問題的方法、工具和策略。

問題解決作為一個學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程，恰好是實現(xiàn)上述目標(biāo)的有效途徑之一。

作為問題解決的核心——問題，有著各種各樣的分類方法，但大體上可以分成兩類：

(1)為了學(xué)習(xí)、探索數(shù)學(xué)知識，復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)內(nèi)容而主要由教師構(gòu)作的數(shù)學(xué)問題，如教科書、復(fù)習(xí)參考書中的練習(xí)題和復(fù)習(xí)題等。

(2)出現(xiàn)于非數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但需用數(shù)學(xué)工具來解決的問題。如來自日常生活、經(jīng)濟(jì)、理、化、生、醫(yī)等學(xué)科中的應(yīng)用數(shù)學(xué)問題。

(1)類中的問題，往往是已完成數(shù)學(xué)抽象和加工的“成品”問題。

(2)類中的問題，往往還是“原坯”形的問題，怎樣將它抽象、轉(zhuǎn)化成一個相應(yīng)數(shù)學(xué)問題，這本身還是一個問題。當(dāng)然兩類問題是可能有“交集”的，它們彼此的邊界也是模糊的，如可列方程(組)求解的文字應(yīng)用題的一部分就在這個“交集”中。

數(shù)學(xué)建?？梢钥闯墒菃栴}解決的一部分，它的作用對象更側(cè)重于(2)類中問題。作為問題解決的一種模式，它更突出地表現(xiàn)了原始問題的分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過程；數(shù)學(xué)工具、方法和模型的選擇、分析過程；模型的求解、驗證、再分析、修改假設(shè)、再求解的迭代過程，它更完整地表現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系。它給學(xué)生再現(xiàn)了一種“微型的科研過程”，這對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和工作無疑會有著很好的影響，也對學(xué)生的能力提出了更高層次的要求。

對于(1)類問題怎樣進(jìn)行問題解決的教與學(xué)已有很多成果，如G.Plya的關(guān)于解題的幾本名著。數(shù)學(xué)建模也已成為工科院校的數(shù)學(xué)主干課程之一。但在中學(xué)里進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)還剛剛起步，有許多問題正有待探討，還有一些認(rèn)識問題和技術(shù)上的困難，如：

·搞數(shù)學(xué)建模和當(dāng)年聯(lián)系實際，搞“三機(jī)一泵”，開門辦學(xué)是如出一轍，有走回頭路之嫌。

·高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容多，學(xué)時少，完成教學(xué)計劃尚不十分從容，還要應(yīng)付會考、高考，沒有時間搞數(shù)學(xué)建模。

·能適合中學(xué)生水平且能結(jié)合課本教學(xué)內(nèi)容的建模問題不多，開發(fā)這樣的問題也不十分容易，這讓有心嘗試者有巧婦難為無米之炊的感覺。

·在教學(xué)第一線的教師常常有較重教學(xué)任務(wù)負(fù)擔(dān)。對他們來說，對正常教學(xué)內(nèi)容比較熟悉，課外內(nèi)容相對生疏；對正常的、一般的數(shù)學(xué)競賽的內(nèi)容比較熟悉，對數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容和過程相對生疏。而數(shù)學(xué)建模的問題常常是未經(jīng)數(shù)學(xué)抽象和轉(zhuǎn)化的“原坯”問題，在建模步驟中不僅要求有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，還要涉及非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識；在求解步驟中除了數(shù)學(xué)方法外，還常常用到計算機(jī)(在計算機(jī)上進(jìn)行模擬、試算、檢驗等)和物理方法。這不僅對學(xué)生，而且對教師都會遇到知識或方法上的困難和障礙。

下面部分實例和討論，也許可以看成我們對上述問題的一種思考和回答。

二、“磁帶問題”教與學(xué)的實錄與評析

磁帶是日常生活中常見的物品，但它卻聯(lián)系著許多有趣的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，抓住這些問題讓學(xué)生去動手、動腦，不僅能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，還能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，生活中的問題用數(shù)學(xué)化的方法加以思考、分析、求解的能力。磁帶問題所涉及的相關(guān)知識不多，易被學(xué)生觀察、了解，是中學(xué)數(shù)學(xué)建模的一個容易下手的問題。下面我們給出對同一課題在初

二、高三這兩個年級進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒拥闹饕€索。

(一)初二年級(1)班，1993年10月26日

1由教師先提出問題

(1)一盤60分鐘的普通磁帶有多長?

(2)一盤60分鐘的普通磁帶的單層厚度是多少?

請同學(xué)們觀察從家中帶來的磁帶樣品，尋找解決問題的模型與方案。

2組織課堂討論

幾分鐘，全班分成了四派：

(1)設(shè)法直接測量帶長l與單層帶厚d(2)設(shè)法直接計算l與d；

(3)設(shè)法測量l，而去計算d；

(4)設(shè)法測量d，而去計算l；

教師進(jìn)一步要求，提“算”的同學(xué)給出算法，提“測”的同學(xué)給出實際可行的測量方案。

在教師的啟發(fā)下，“算”派的學(xué)生代表上黑板給出了如下的算法模型：

先將磁帶全繞在一邊(如左側(cè))，測出圖1中的R與r(實測為R=224mm,r=10.5mm)把磁帶所在的左盤的俯視圖看成是一個圓環(huán)，把它想像成是由一條長為l(磁帶長)、寬為d(磁帶的單層厚)的‘細(xì)長矩形’環(huán)繞填充而成，因此，有：

（１）

教師：這個模型建立的非常好，但一個方程怎么解兩個未知數(shù)l與d?

學(xué)生：可用以公式(1)測一個量，算一個量，很好!那么測哪一個?算哪一個?

學(xué)生甲：測量d，算出l。

學(xué)生乙：測量l，算出d。

學(xué)生丙：兩個都測量更簡單。

教師：誰來談?wù)劀y量l的方法?

學(xué)生乙(舉手發(fā)言)：將磁帶從帶頭開始，放入錄音機(jī)走帶1分鐘，取出磁帶做上記號，測量出1分鐘走過的帶長，再乘60就是總的磁帶長l。

學(xué)生?。翰粚Γ瑧?yīng)將1分鐘走過的帶長乘以30才是總的帶長。

教師：乙談得不錯，丁補(bǔ)充得也很好。60分鐘的磁帶的單面放音時間約為30分鐘，所以應(yīng)將1分鐘的帶長乘以30而不是60。另外，一次測量常常由于操作和測量工具的原因造成測量的誤差，最好多測幾次，取平均值作為測量的最終結(jié)果，這也是測量中減少誤差的常用手段之一。誰再來談?wù)勗趺礈y量d?

(靜場約1分鐘)

學(xué)生甲(舉手發(fā)言)：磁帶太薄，普通尺子的刻度太大不好測量，可以多疊幾層再測量。

學(xué)生丙：可以把磁帶繞在筆帽上，繞上30圈，再量內(nèi)、外徑就可以算出單層厚度。

教師：大家的想法都很好，試著做一下就會感到測d不太容易，比如繞在筆帽上繞齊30圈就不容易，再用普通尺子量準(zhǔn)內(nèi)、外徑也不太容易。我給同學(xué)們提一個建議，到物理實驗室向那里的教師學(xué)習(xí)一下千分尺或游標(biāo)卡尺的使用方法，相信你們會找到并學(xué)會測量很薄物體厚度的方法。今天的一個課外作業(yè)就是請同學(xué)們實際測算出一盤60分鐘的普通磁帶的長度和單層厚度，請大家把測算方案和結(jié)果寫出來，下次課我們一起來交流。

〔評注〕像這樣的問題并不需要專門的整段時間去進(jìn)行教學(xué)活動，而可以安排在正課的頭或尾的15分鐘內(nèi)進(jìn)行。教師的指導(dǎo)重點放在設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生建立相應(yīng)的求解模型上，而把實際的求解過程放在課下讓學(xué)生獨立完成或分小組討論完成。對具體的求解過程教師不必給出詳解，而只要給出一個讓學(xué)生進(jìn)行思考或操作的可以入手的方向就行了。這樣不會太干擾正常的教學(xué)進(jìn)度，卻給學(xué)生留下了學(xué)、用數(shù)學(xué)的生動場景。

3完成作業(yè)后的講評

教師：大家的作業(yè)寫得不錯，大致上磁帶的厚度在0.0165到0.0167(mm)之間。磁帶的長約為90米，由于磁帶的牌號不同，測算的過程和方法不同，答案略有差異也是正常的。其中王穎同學(xué)的討論寫得不錯，他先測d，再算l得88.7米，再用上次課提到的測l的方法用錄音機(jī)測出一分鐘走帶2.9米，乘30得87米，比前面的結(jié)果短了一些。小王分析了誤差產(chǎn)生的一個原因是60分鐘的錄音帶單面放音機(jī)時間都略長于30分鐘(實測在30′30″—32″之間)故磁帶的實際長度應(yīng)比87米長。這個討論是切合實際的。求解應(yīng)用問題時，往往不是一次就能得到最合乎實際的結(jié)果，對得到的結(jié)果進(jìn)行分析、討論、修正、驗算，常常是求解過程的必要內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)在今后的學(xué)習(xí)中引起大家的充分注意。

現(xiàn)在我們把“磁帶求長”的問題一般化，解決怎樣求“成卷材料的長度”。這個問題里，待求長的對象可以是紙卷、布卷、油氈卷、成卷的金屬材料等，請大家先討論一下求解的方案。

經(jīng)過討論，學(xué)生們提出的方案有：

①先測材料的單層厚度d，然后用

(2)

來求其長。

教師隨后引導(dǎo)討論使用這種求長模型要注意的條件：材料應(yīng)纏繞的均勻、密實，且d＜l。

②物理模型，先稱出單位長度的待測長材料的重量W0，再稱出待測長材料的總重量(扣除卷芯的重量)，于是

(長度單位)

教師可引導(dǎo)學(xué)生，討論使用這個求解模型的利弊——它不要求卷材卷繞得是否密實，對d的大小及截面的形狀也沒有限制，但它要求材料質(zhì)量分布應(yīng)是均勻的。

〔評注〕講評也可以采取學(xué)生報告結(jié)果的方式，教師應(yīng)注意幫助學(xué)生將結(jié)果一般化，并注意求解模型的適用條件，引導(dǎo)學(xué)生注意發(fā)現(xiàn)，體會別人的有創(chuàng)見之處，找出問題，提出有待探索的新課題。

4應(yīng)用已有的求解模型的訓(xùn)練——大家一起提問題，解問題。

教師：我請同學(xué)們編幾個練習(xí)題，來用一用剛才提到的卷材求長的方法。請每一個同學(xué)編一個實際問題，再附上解，我們下次課再交流。

學(xué)生們提出的問題主要有：

①求45分鐘、90分鐘、120分鐘磁帶的長。

②求120分鐘錄像帶的長。

③求一個紙卷(r=2cm,R=20cm)的紙長。

④求磁帶全繞于左側(cè)時的匝數(shù)。

⑤求磁帶在放音時通過磁頭的線速度。

⑥求一軸線的線長。

〔評注〕讓學(xué)生自己通過觀察思索去提問題，解問題，是數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的重要環(huán)節(jié)。這里面有不同層次的能力體現(xiàn)，如①、②、③就是“模仿”層次的(對初中生的大多數(shù)來說是這個層次的)；④、⑤、⑥就是“發(fā)散”層次的，它需要將已知求解模型或改造，或逆用，或推廣??。雖然僅有較少同學(xué)能提出這類問題，但教師應(yīng)著力引導(dǎo)，鼓勵學(xué)生努力這樣去思考，為他們創(chuàng)造展現(xiàn)才能的機(jī)會，而不僅是 “Follow Me”式的學(xué)習(xí)。這樣堅持下去，就會使學(xué)生們有更多的題外收獲，它不僅使學(xué)生能更好地體會到數(shù)學(xué)模型的意義和作用，而且能培養(yǎng)鍛煉學(xué)生在問題解決中觀察、發(fā)現(xiàn)、控制、調(diào)整從而走向更高層次的問題與求解過程的能力。學(xué)生提出的問題，可以成為下一階段的課題，也可引導(dǎo)學(xué)生在假期中，獨立鉆研寫出相應(yīng)的小論文。

(二)高三年級(3)班，1994年2月

1(在代數(shù)復(fù)習(xí)課的結(jié)尾留作業(yè)時)布置問題

(1)同(一)之1中(1)；

(2)同(一)之1中(2)；

(3)取一盤磁帶，觀察當(dāng)磁帶全繞在一邊(如左輪)時，磁帶的邊緣與另一輪邊緣之間的最短距離是多少毫米?在放音過程中，這個距離會變化嗎?若變化，是變大還是變小?(請試驗觀察之)，要使得在放音的任何時刻兩輪磁帶的外緣互不接觸，兩輪軸間的最小距離最小應(yīng)為多少毫米?

(4)以自己家里的錄音機(jī)為觀察對象，觀察錄音機(jī)的計數(shù)器中的數(shù)字k與放音時間之間的關(guān)系，t是k的正比例(或線性)函數(shù)嗎?你能根據(jù)你的觀測數(shù)據(jù)求出一個t=f(k)型的近似公式嗎?磁帶A上有一首長為7′30″的歌曲，要將它轉(zhuǎn)錄在另一盤磁帶B上。起始位置的計數(shù)顯示是k=120，問轉(zhuǎn)錄歌曲結(jié)束時，應(yīng)在k=?時停機(jī)?

完成這一專題作業(yè)的時間是一周，可以互相討論，也可以使用必要的測量、計算工具。

2一周后的交流、講評

對問題(1)，(2)，高中學(xué)生除了提出(一)中求解的模型外，還提到了“等差數(shù)列求和”的模型：

對于，不同的選取有三種計算方式：

①，(以磁帶內(nèi)層為基準(zhǔn))

②，(以磁帶側(cè)面中心線為基準(zhǔn))

③，(以磁帶外層為基準(zhǔn))

當(dāng)d很小時，三種算法的結(jié)果非常接近，與(一)中的求解結(jié)果比較，相差也不超過2rd。由此引導(dǎo)學(xué)生在比較中得到結(jié)論，當(dāng)d很小時，用式

求卷材之長比等差數(shù)列的算法更簡捷有效。

為了結(jié)合課堂所學(xué)的知識，教師進(jìn)一步提出這樣的問題：上面的求解模型，實際上是把磁帶看成一個個繞在軸上的“同心圓”，而實際上磁帶的(俯視圖)內(nèi)側(cè)邊緣的軌跡應(yīng)是何種曲線，軌跡方程是什么?它的精確長度應(yīng)如何求?(答：阿基米德螺線，ρ=r+aq，見解析幾何課本p.123，它的精確求長要用到定積分的方法。)

對問題(3)，學(xué)生較普遍地觀察出，在放音初期，受帶輪轉(zhuǎn)得快，供帶輪轉(zhuǎn)得慢，故大盤變“瘦”的速度小于小盤變“胖”的速度，因此兩盤空隙漸漸變??；而放音后期正好相反，故知當(dāng)磁帶走至全長的一半時，兩盤間隙最小，此時兩輪的外半徑均為r′；且有

要使兩輪外緣互不接觸，兩輪軸中心間距D只須滿足

問題(4)是一個開放性問題，不同的錄音機(jī)可能會得到不同的公式和結(jié)果，學(xué)生的觀察發(fā)現(xiàn)，一些新的組合音響或錄像機(jī)中，計數(shù)器的數(shù)字k和時間t關(guān)系是線性關(guān)系(正比例函數(shù))。如不少學(xué)生得到k=3t這樣的公式，但也有不少收錄機(jī)不是線性關(guān)系。如京產(chǎn)PHILIPS收錄機(jī)，經(jīng)多次試驗，有以下數(shù)據(jù)：

容易看出它不是線性關(guān)系(教學(xué)過程中，“否定”是一個薄弱環(huán)節(jié)，此時教師可以利用上面的數(shù)據(jù)，請學(xué)生回答為什么k與t不是線性關(guān)系?怎么得出這樣的判斷?)

答：取Δt=5看到Δk不是常數(shù)

多數(shù)學(xué)生此時的另一困難是面對數(shù)據(jù)，不知找什么樣的近似公式，更不知怎樣去找這類公式，他們習(xí)慣處理那些條件與結(jié)論恰當(dāng)、準(zhǔn)確，目標(biāo)清楚的數(shù)學(xué)問題，不太會自己根據(jù)需要去挖掘、利用條件，這也是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的缺憾之一。此時的素材恰好是克服這種缺憾的機(jī)會之一。教師可以把前面的數(shù)據(jù)先畫在一張圖上(如下面的圖)然后大膽鼓勵學(xué)生設(shè)計近似公式的類型，學(xué)生提出的方案有：

(1)線性近似公式：

t=ak+b

(2)拋物線型近似公式：

(3)型近似公式：

(4)對數(shù)型近似公式：

??

很多同學(xué)會提出否定選用直線型的近似公式，因此數(shù)據(jù)已表明t與k非線關(guān)系，認(rèn)為選用(1)一定不好。教師可抓住時機(jī)提問：什么叫一個近似公式好?怎樣評價一個近似公式的優(yōu)劣程度?

答：簡單易求，易用，與已知數(shù)據(jù)的“擬合”程度盡可能地好，線性近似公式常常是出現(xiàn)最多的。

進(jìn)一步教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：在已經(jīng)確定近似公式的類型的前提下，怎樣找出“擬合”程度好的近似公式?

用直線“擬合”的同學(xué)想到了，讓擬合直線兩側(cè)數(shù)據(jù)點大體均勻分布、分段擬合等直觀想法；還有同學(xué)證明了：當(dāng)k與出帶輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)n成比時，t一定是k的二次函數(shù)，從而選擇了拋物線型近似公式，用任取的三點數(shù)據(jù)就求出了近似公式。??

學(xué)生進(jìn)一步提出的問題有：同一類型的近似公式中，哪個更好?怎么能找出同一類型中最好的近似公式?這些問題為今后的課外活動提供了新的素質(zhì)和課題(如：用最小二乘法求線性擬合公式等)。

〔評注〕高中學(xué)生較初中學(xué)生在數(shù)學(xué)知識、能力上都有較大提高。因此問題的設(shè)計應(yīng)更有深度、廣度，并在求解的過程的指導(dǎo)中給學(xué)生更多的自由度。有些問題就學(xué)生現(xiàn)有水平求解起來有困難(如螺線求長，最佳逼近)，但若學(xué)生想到了這些問題，也應(yīng)積極鼓勵，因為問題本身往往是學(xué)生學(xué)習(xí)的最好動力，可以明確地告訴學(xué)生將來用什么知識在什么學(xué)習(xí)階段解決這類問題。實際上教師不可能解決學(xué)生提出、想到的所有問題，但不要為此去限制學(xué)生的思維的疆域，而應(yīng)引導(dǎo)他們在更有數(shù)學(xué)背景的方向上積極思考，有所發(fā)現(xiàn)，有所領(lǐng)悟，有所存疑。這樣才能體現(xiàn)問題本身更多的思維價值。這種價值的實現(xiàn)是教師在問題及求解過程設(shè)計中應(yīng)花大力氣考慮的環(huán)節(jié)。

三、關(guān)于數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的思考

1好的問題是關(guān)鍵

毫無疑問“問題解決”的前提與載體是“問題”。數(shù)學(xué)建模也是如此，它的發(fā)展與成熟無一不和一批經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題的解決相連。在大學(xué)理工科的數(shù)學(xué)建模課程中，教師會講到一大批微分方程、概率統(tǒng)計、網(wǎng)絡(luò)圖論的典型問題和模型。每年的《應(yīng)用數(shù)學(xué)》期刊中也會登載不少建模的優(yōu)秀成果與論文。但就中學(xué)而言，這幾乎還是一塊空白，每每想到的還常常是“當(dāng)年”聯(lián)系實際的一些“成果”。我們自然會想到兩個問題。

(1)對中學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模，什么樣的問題是好的問題。

作為好的問題的評價標(biāo)準(zhǔn)，我們不必過分計較它的完整性、統(tǒng)一性、權(quán)威性，在這里只是提出我們的一點關(guān)于“好的問題”的特點的認(rèn)識：

①好的問題應(yīng)適合中學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平，在建模求解過程中不需補(bǔ)充大量知識就可入手。問題的“可讀性”好(容易被看懂讀懂)，求解的線索和過程不宜過長、過繁。有些問題雖可用高等數(shù)學(xué)方法解決，但一定還有相應(yīng)的初等解法，或即使用初等的解(算)法也能有較好的結(jié)果和精度。如上?！敖饦虮?、北京的“文正杯”應(yīng)用數(shù)學(xué)知識競賽的試題基本有這樣的特點(見《數(shù)學(xué)教育》1994.1，《數(shù)學(xué)通報》1994.1，1994.7)。

②好的問題應(yīng)能努力表現(xiàn)出建模求解過程的特點，即能表現(xiàn)問題假設(shè)、抽象簡化、建模求解、檢驗修改(循環(huán)迭代回去)的過程，而不僅僅像教科書上的傳統(tǒng)文字應(yīng)用題那樣，已將假設(shè)、抽象，甚至建模過程完成，問題不含多余干擾信息，條件不多也不少，目標(biāo)指向清楚，只須設(shè)出未知數(shù)，列等式或不等式就可得到解。

③好的問題最好有生產(chǎn)、生活的實際背景和較好的應(yīng)用價值。模型的“可移植性”強(qiáng)，這樣學(xué)生從建模的求解的過程中不僅能體會理論與實踐相互關(guān)系和相互作用，還能從結(jié)果的實際意義中看到數(shù)學(xué)的價值和積極的審美感受，如“方正杯”決賽中的“水庫問題”(見《數(shù)學(xué)通報》1994.4，它來源于1991年湖南資水的實際情況，問題尋求的解是怎樣調(diào)節(jié)水庫泄流量可以避免或減少淹沒損失。學(xué)生通過求解，體會到了科學(xué)的、正確的決策的意義和作用，也體會到了正確的決策離不開數(shù)學(xué)。又如前面提到的磁帶求長的求解模型，可以移植到其他“卷材求長”問題。又如圖論中的模型，它們的可移植性更強(qiáng)，用狀態(tài)轉(zhuǎn)移的模型就可以處理“過河問題”和“分油問題”等。

④好的問題最好有多種求解模型，可便于分析、比較它們的側(cè)重和利弊。如前面的磁帶問題。

⑤好的問題應(yīng)有較好的趣味性、可延展性和數(shù)學(xué)(物理)背景。如“選舉問題”既有趣，易理解，又有很深刻的數(shù)學(xué)背景?！敖煌髁繂栴}”與物理中的“熵”概念直接相關(guān)，“傳染病傳播的問題”可以延拓到“混沌”等微分動力系統(tǒng)中的理論中去。

⑥很大一部分好的問題都會展現(xiàn)計算機(jī)作用，甚至可以預(yù)言越來越多的建模求解過程可以用或者必須用計算機(jī)。如隨機(jī)過程的模擬，超越方程(組)或不等式的求解，線性或非線性規(guī)化等。在中學(xué)建模的問題中，適當(dāng)引入一部分不是湊數(shù)編造的問題，使問題更有實際感，讓學(xué)生學(xué)會用計算工具去采集、處理、分析不規(guī)律、有一定精度要求的數(shù)據(jù)，無疑對學(xué)生是一種科研的微縮模擬訓(xùn)練，這對將步入信息時代的學(xué)生們是很有現(xiàn)實意義的。

??

總之，從上面的表述中，我們希望從不同角度描述中學(xué)數(shù)學(xué)建模中的“好的問題”的理想狀態(tài)。雖然實際的建模問題很難同時達(dá)到上述理想的程度，但它為我們收集、整理、加工、創(chuàng)造好的問題提供了一個方向。

(2)怎樣尋找“好的問題”，“好的問題”從哪兒來?

比較可行的尋求辦法有這樣幾種：

①從自己或周圍人的生產(chǎn)、生活的實際中來。

②從大學(xué)的“成品”建模問題中發(fā)掘簡化得到。

③從國內(nèi)外的相應(yīng)教材刊物上整理、編譯而來。

④從自己的教學(xué)實踐中改編創(chuàng)作而來。如在數(shù)列教學(xué)之后，可以創(chuàng)作一些“人口問題”、“利率計算問題”；或者將課本中已有的文字應(yīng)用題向“兩端”“延長”，如原教材上有過給了兩三組數(shù)據(jù)求一個直線經(jīng)驗公式的問題，可以將它向問題的“始端延長”，即改成請學(xué)生自己找出若干組數(shù)據(jù)(如磁帶問題中錄音機(jī)中t與k的關(guān)系)再求經(jīng)驗公式；也可以將問題向“末端延長”，即讓學(xué)生對公式的適用程度給出評判，如精度是多少?誤差怎樣?怎么改進(jìn)?在什么樣的要求下，選擇怎樣的近似公式有最佳的計算效率???這樣，已有的問題經(jīng)過改造后，一端越來越“原始”，一端越來越“深入”，就比較接近建模過程的要求了。再如前面提到的“卷材求長的問題”，只要將它改變“維數(shù)”，就可以提出成卷狀的線材求長問題，成球狀的線材求長問題等等。

總之，只要我們肯于學(xué)習(xí)，大處著眼，小處著手，留心觀察，善于聯(lián)想發(fā)掘，從自己熟悉的材料入手，就一定能逐步使我們數(shù)學(xué)建模的問題庫豐富起來。

2關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程設(shè)計的思考

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程的設(shè)計更應(yīng)反映數(shù)學(xué)教育發(fā)展、改革的方向，具體說來它更應(yīng)強(qiáng)調(diào)以下原則：

(1)著重發(fā)展數(shù)學(xué)能力，特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，這不僅包括計算、推理、空間想像，還應(yīng)包括辨明關(guān)系、形式轉(zhuǎn)化、駕馭計算工具、查閱文獻(xiàn)、能進(jìn)行口頭和書面的分析和交流。

(2)強(qiáng)調(diào)計算工具(計算器和計算機(jī))的使用。這不僅指在計算過程中使用計算工具，而且指在猜想、爭辯、探索、發(fā)現(xiàn)、模擬、證明、作圖、檢驗中使用計算工具。

(3)更強(qiáng)調(diào)學(xué)生積極主動的參與，把教學(xué)過程更自覺地變成學(xué)生活動的過程。教師不應(yīng)只是“講演者”、“總是正確的指導(dǎo)者”，而應(yīng)不時扮演下列角色：

①模特——他不僅演示正確的開始，也表現(xiàn)失誤的開端，“撥亂反正”的思維技能。

②參謀——提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學(xué)生做出決斷。

③詢問者——故作不知，問原因、找漏洞，督促學(xué)生弄清楚、說明白，完成進(jìn)度。

④仲裁和鑒賞者——評判學(xué)生工作及成果的價值、意義、優(yōu)劣，鼓勵學(xué)生的有創(chuàng)造性的想法和做法。

我們覺得，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)更應(yīng)表現(xiàn)“活動”的特點，教學(xué)過程設(shè)計的著眼點應(yīng)考慮：怎樣讓學(xué)生更多地參與進(jìn)來，讓他們做什么?怎么做?或者怎樣讓他們自己悟出，該做什么?應(yīng)怎樣去做?

一般地，數(shù)學(xué)建模的過程可用下面的框圖表示。

對上面的各個環(huán)節(jié)，我們常?？梢圆扇〉慕虒W(xué)方法是：

A：比較容易控制教學(xué)過程的方式是教師給出設(shè)計好的問題，但若有可能，最好讓學(xué)生自己提出問題。初始問題一般教師給出，“入軌”后可激發(fā)學(xué)生自己觀察、發(fā)現(xiàn)提出問題，或者教師可以就學(xué)生提出的問題、結(jié)果引發(fā)新的問題。這樣做可以大大激發(fā)學(xué)生的興趣和探索欲，調(diào)動學(xué)生的參與意識。

有些教師會擔(dān)心，這樣做有可能“失控”或被問住。確實，在教學(xué)過程中有時學(xué)生會提出一些令教師措手不及的問題，甚至是教師力所不能及的問題，但這也不一定是壞事，起碼反映了學(xué)生在積極思考。教師可先將問題“放一放”，給大家和自己留一個思考的“臺階”；或者分析一下問題的可行性因素，看一看缺什么條件和知識?不要急于下斷語性評論。

A→B→C：這兩步常常是學(xué)生的困難所在。在低年級，或?qū)^抽象的模型，教師應(yīng)給出具體的范例；對高年級或有一定經(jīng)驗的學(xué)生，可引導(dǎo)學(xué)生討論。小組形式往往更便于發(fā)揮學(xué)生互相啟發(fā)的功能。對于學(xué)生提出的多種彼此不同的模型，引導(dǎo)他們自己比較不同模型的可行性、適用性、效率、優(yōu)劣，這也是鍛煉思維能力的最有價值的過程之一。

C→D：這是學(xué)生們相對熟悉的過程，可以讓他們獨立或分組完成。值得注意的是，在這一過程中算法的優(yōu)化、工具的使用、其他學(xué)科知識的實際應(yīng)用等方面的困難將會相對突出。教師可以利用這一機(jī)會，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動力、欲望、自覺性，擴(kuò)大學(xué)生的知識面；同時，幫助學(xué)生培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)書寫、表達(dá)習(xí)慣。

D→E：這一過程并不困難，可讓學(xué)生自己完成。教師在這一過程應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤、調(diào)整偏差。如這磁帶問題中，一個學(xué)生算出磁帶的單層厚度為0.16mm，教師并不需要馬上糾正他的錯誤，而只要給他一個新的問題：“你面前的教科書的一頁紙有多厚?你算出的磁帶厚度是它的幾倍?”就可以讓他自己發(fā)現(xiàn)他的計算錯誤。

E→A：這是學(xué)生最容易忽略的環(huán)節(jié)，實際上用數(shù)學(xué)建模去解決實際問題往往不是一次就能得到符合實際的滿意結(jié)果。理論的最優(yōu)值不一定都能達(dá)到，這里面有些是非數(shù)學(xué)因素，如人的認(rèn)識、政策干擾、經(jīng)濟(jì)條件限制、環(huán)境條件限制等；也有時是對模型條件考慮不周，帶來了超出范圍的誤差或荒謬的結(jié)果。對于前一種情況，要分析原因，朝理想目標(biāo)努力；對于后一種情況，就需要修改模型的假設(shè)或模型本身，重新進(jìn)行求解。這與學(xué)生通常的解題經(jīng)驗(無循環(huán)、一次成功)有較大的差異，如有的學(xué)生在“磁帶問題”中得出的放音時間公式t=f(k)，由于時間間隔Δt選得太大，造成公式計算誤差較大。教師要求學(xué)生作實際檢驗與公式結(jié)果對照，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，找出原因，用多次測量、變化測量參數(shù)等方法來改進(jìn)公式的待定系數(shù)，就能使學(xué)生得到很好的建模體驗和能力訓(xùn)練。另一方面，一個階段的問題解決之后，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、提出新問題，變化模型的參數(shù)，擴(kuò)展模型的適用范圍都是非常有創(chuàng)意的環(huán)節(jié)?！皢栴}解決大師”波利亞在他的解題名著中，曾提出過許多很好的想法和作法，這里面確有文章可做，教師應(yīng)特別珍惜這塊引導(dǎo)學(xué)生走向創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的“富礦區(qū)”。如在前面的“磁帶問題”求解完后，引導(dǎo)學(xué)生做以下工作：

推廣模型的適用對象——測量其他磁帶、紙卷、布匹的長度和厚度；

變換模型的條件——d很大——螺線求長法；卷繞不規(guī)則——物理模型求長；

變換模型的‘維數(shù)’——測量一軸線的線長；

逆用模型——計算錄、放音時通過磁頭的帶速；

??

總之，數(shù)學(xué)建模的各個環(huán)節(jié)都有著不同的思維鍛煉價值。教師在設(shè)計教學(xué)過程時，不僅要把自己的“導(dǎo)游程序”設(shè)計好；而且要使學(xué)生能逐漸體會“導(dǎo)游意圖”和“導(dǎo)游程序”設(shè)計的要領(lǐng)，在求解的路上或“設(shè)疑”、或“破障”，使學(xué)生們在“游覽”和“尋覓”中逐漸由“游人”變成“導(dǎo)游”。

3關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模課程的思考

從前面的分析中我們能看到，數(shù)學(xué)建模的許多問題都要求能綜合應(yīng)用所學(xué)的知識，分析求解過程有時費時較多。因此一些教師認(rèn)為，讓它進(jìn)入課堂會干擾正常的教學(xué)計劃和進(jìn)度，即使有心嘗試，也有一些顧慮。其實，從前面的例子可以看到：

(1)從教材發(fā)展的趨勢看，數(shù)學(xué)建模的一部分內(nèi)容會逐漸成為中學(xué)數(shù)學(xué)課程體系的一部分。國外在這方面走得較快，相應(yīng)的教材已問世。從為下個世紀(jì)培養(yǎng)人才的目標(biāo)上看，數(shù)學(xué)素養(yǎng)已成為公民文化素養(yǎng)的重要內(nèi)容，有文化的公民的標(biāo)志之一是能借助數(shù)學(xué)去思考、評價、判斷生活中的現(xiàn)實問題。與之相適應(yīng)，教材也必須體現(xiàn)這一要求，我們希望盡快看到在新的數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)設(shè)計中，能有對數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的明確要求，并將相應(yīng)的內(nèi)容添加到教材中去。雖然教材建設(shè)是一個周期較長的工作，但嘗試不妨從現(xiàn)在開始。作為教學(xué)第一線的教師，可以從所教的教材入手，認(rèn)真分析現(xiàn)行教材中的應(yīng)用因素，有意識地挖掘它們，提出或構(gòu)作一批哪怕很淺的應(yīng)用或建模問題，把它們以不同方式安排進(jìn)自己的教學(xué)過程中去。如：

(2)“化整為零”或“零存整取”。把數(shù)學(xué)建模的問題解決過程分解后放在正常教學(xué)過程的局部環(huán)節(jié)上，這也是建模教學(xué)可行的方式之一。正像前面的例子那樣，教師可在課題教學(xué)或復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中提出問題、建立模型，而把問題的具體求解過程留給學(xué)生在課后完成，較大的或較難的問題可與假期作業(yè)或小論文的寫作結(jié)合起來。

(3)充分利用數(shù)學(xué)課外活動和選修課。這是一種容易上手和控制的形式，也與我國目前數(shù)學(xué)建模教學(xué)剛起步的現(xiàn)實相適應(yīng)，教師和學(xué)生都能從中取得經(jīng)驗、積累素材。現(xiàn)在一些省市已有了相應(yīng)教材。

4數(shù)學(xué)建模教學(xué)對教師的要求

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)不僅對剛走出校門的師范生，而且對許多已有幾十年教齡的老教師都會陌生和不適應(yīng)。確實，數(shù)學(xué)應(yīng)用與建模的能力也是一項專門的能力，它與學(xué)習(xí)、掌握純粹數(shù)學(xué)的能力有密切關(guān)系，但并不等價。應(yīng)用的意識、技巧、方法、能力也需要有一個培養(yǎng)、鍛煉、提高的過程，建模的教學(xué)過程也需要教師不斷調(diào)整自己所扮演的角色，這無疑是對我們在教學(xué)第一線的數(shù)學(xué)教師的一種新的要求和挑戰(zhàn)，怎樣適應(yīng)這種要求和挑戰(zhàn)?

(1)應(yīng)努力保持自己的“好奇心”，留心向身邊各行各業(yè)的能人學(xué)習(xí)，開通自己的“問題源”、相關(guān)知識的儲備庫和咨詢網(wǎng)。

(2)努力掌握計算機(jī)工具，這主要包括一門計算機(jī)高級語言和一些常用的算法，如求根、迭代、逼近、擬合、模擬等。

(3)實踐是最好的學(xué)習(xí)方法，在做數(shù)學(xué)中才能學(xué)到自己不懂的數(shù)學(xué)。一方面教師最好自己做一點應(yīng)用的課題，或參加專業(yè)的培訓(xùn)班、討論班；一方面也可以從自己較熟悉的課題入手，直接實踐、探索教與學(xué)的規(guī)律。

(4)建議師范院校增開有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的課程，相應(yīng)地，在中學(xué)數(shù)學(xué)期刊上開辟有關(guān)數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模的專欄，以利于教師學(xué)習(xí)、進(jìn)修和提高，也為數(shù)學(xué)建模的教與學(xué)提供一塊探索和交流的園地。

第五篇：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

在我們走入新課程的這段時間，我對自己過去的教學(xué)思想和行為進(jìn)行了反思，用新課程的理念，對曾經(jīng)被視為經(jīng)驗的觀點和做法進(jìn)行了重新審視，現(xiàn)將在反思中得到的體會總結(jié)出來，以求與同行共勉。

一、教學(xué)中要轉(zhuǎn)換角色，改變已有的教學(xué)行為

（1）新課程要求教師由傳統(tǒng)的知識傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的組織者。

（2）教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的引導(dǎo)者。

（3）教師應(yīng)從“師道尊嚴(yán)”的架子中走出來，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的參與者。

二、教學(xué)中要“用活”教材

三、教學(xué)中要尊重學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗

教學(xué)反思，或稱為“反思性教學(xué)”，是指教師在教學(xué)實踐中，批判地考察自我的主體行為表現(xiàn)及其行為依據(jù)，通過觀察、回顧、診斷、自我監(jiān)控等方式，或給予肯定、支持與強(qiáng)化，或給予否定、思索與修正，將“學(xué)會教學(xué)”與“學(xué)會學(xué)習(xí)”結(jié)合起來，從而努力提升教學(xué)實踐的合理性，提高教學(xué)效能的過程。教學(xué)反思被認(rèn)為是“教師專業(yè)發(fā)展和自我成長的核心因素”。美國學(xué)者波斯納認(rèn)為，沒有反思的經(jīng)驗是狹隘的經(jīng)驗，至多只能形成膚淺的知識。只有經(jīng)過反思，教師的經(jīng)驗方能上升到一定的高度，并對后繼行為產(chǎn)生影響。他提出了教師成長的公式：教師的成長＝經(jīng)驗＋反思。那么，我們應(yīng)如何在教學(xué)反思中學(xué)會教學(xué)呢？

自我提問

自我提問是指教師對自己的教學(xué)進(jìn)行自我觀察、自我監(jiān)控、自我調(diào)節(jié)、自我評價后提出一系列的問題，以促進(jìn)自身反思能力的提高。這種方法適用于教學(xué)的全過程。如設(shè)計教學(xué)方案時，可自我提問：“學(xué)生已有哪些生活經(jīng)驗和知識儲備”，“怎樣依據(jù)有關(guān)理論和學(xué)生實際設(shè)計易于為學(xué)生理解的教學(xué)方案”，“學(xué)生在接受新知識時會出現(xiàn)哪些情況”，“出現(xiàn)這些情況后如何處理”等。備課時，盡管教師會預(yù)備好各種不同的學(xué)習(xí)方案，但在實際教學(xué)中，還是會遇到一些意想不到的問題，如學(xué)生不能按計劃時間回答問題，師生之間、同學(xué)之間出現(xiàn)爭議等。這時，教師要根據(jù)學(xué)生的反饋信息，反思“為什么會出現(xiàn)這樣的問題，我如何調(diào)整教學(xué)計劃，采取怎樣有效的策略與措施”，從而順著學(xué)生的思路組織教學(xué)，確保教學(xué)過程沿著最佳的軌道運行。教學(xué)后，教師可以這樣自我提問：“我的教學(xué)是有效的嗎”，“教學(xué)中是否出現(xiàn)了令自己驚喜的亮點環(huán)節(jié)，這個亮點環(huán)節(jié)產(chǎn)生的原因是什么”，“哪些方面還可以進(jìn)一步改進(jìn)”，“我從中學(xué)會了什么”等。

行動研究

行動研究是提高教師教育教學(xué)能力的有效途徑。如“合作討論”是新課程倡導(dǎo)的重要的學(xué)習(xí)理念，然而，在實際教學(xué)中，我們看到的往往是一種“形式化”的討論。“如何使討論有序又有效地展開”即是我們應(yīng)該研究的問題。問題確定以后，我們就可以圍繞這一問題廣泛地收集有關(guān)的文獻(xiàn)資料，在此基礎(chǔ)上提出假設(shè)，制定出解決這一問題的行動方案，展開研究活動，并根據(jù)研究的實際需要對研究方案作出必要的調(diào)整，最后撰寫出研究報告。這樣，通過一系列的行動研究，不斷反思，教師的教學(xué)能力和教學(xué)水平必將有很大的提高。

教學(xué)診斷

“課堂教學(xué)是一門遺憾的藝術(shù)”，而科學(xué)、有效的教學(xué)診斷可以幫助我們減少遺憾。教師不妨從教學(xué)問題的研究入手，挖掘隱藏在其背后的教學(xué)理念方面的種種問題。教師可以通過自我反省與小組“頭腦風(fēng)暴”的方法，收集各種教學(xué)“病歷”，然后歸類分析，找出典型“病歷”，并對“病理”進(jìn)行分析，重點討論影響教學(xué)有效性的各種教學(xué)觀念，最后提出解決問題的對策。

交流對話

教師間充分的對話交流，無論對群體的發(fā)展還是對個體的成長都是十分有益的。如一位教師在教學(xué)“平均分”時，設(shè)計了學(xué)生熟悉的一些生活情境：分桃子、分魚、分餅干、分蘋果等。在交流對話時有的教師提出，僅僅圍繞“吃”展開教學(xué)似乎有局限，事實上，在生活中我們還有很多東西要進(jìn)行分配，可以適當(dāng)擴(kuò)展教學(xué)設(shè)計面。這樣開放性的討論能夠促進(jìn)教師更有效地進(jìn)行反思，促進(jìn)教師把實踐經(jīng)驗上升為理論。

案例研究 從平時自測與正規(guī)考試分析，有的題型我們教師講過，甚至幾乎一模一樣，但是學(xué)生仍然不會。學(xué)生存在“知其然，不知其所以然”現(xiàn)象。這是因為在備課時，我們往往只習(xí)慣于備教學(xué)內(nèi)容，而忽視備學(xué)生。如果教師不去研究學(xué)生對所教內(nèi)容的掌握情況，不去研究學(xué)生的個體差異，一切從本本出發(fā)，課堂教學(xué)的適切性就會大打折扣，課堂教學(xué)的高效更無從談起。

案例：《二元一次方程組的應(yīng)用》各環(huán)節(jié)配題。

（一）提出問題，導(dǎo)入新課

1、問題1 解二元一次方程組

問題2 母親26歲結(jié)婚，第二年生個兒子，若干年后母親的年齡是兒子年齡到3倍，此時母親的年齡為幾歲？

解法一：設(shè)經(jīng)過x年后，母親的年齡是兒子年齡的3倍。

由題意得 26+x=3x 解法二：設(shè)母親的年齡為x歲。

由題意得 x=3（x－26）

（二）精選講例，探求新知

例 某班有45位學(xué)生，共有班費2400元錢，準(zhǔn)備給每位學(xué)生訂一份報紙。已知《作文報》的訂費為60元/年，《科學(xué)報》的訂費為50元/年，則訂閱兩種報紙各多少人？ 鞏固練習(xí)小明和小李兩人進(jìn)行投籃比賽，規(guī)則：小明投3分球，小李投2分球，兩人共投中20次，經(jīng)計算兩人得分相等，問小李和小明各投中幾個球。

（三）變式訓(xùn)練，激活學(xué)生思維

問題1 小明和小李兩人進(jìn)行投籃比賽，小明投3分球，小李投2分球，兩人共投中100次，小明投中率為40%，小明投中率為40%，經(jīng)計算兩人得分相等，問小李和小明各投中幾個球。

問題2 已知某電腦公司有A型、B型、C型3種型號的電腦，其價格分別為A型6000元/臺、B型4000元/臺、C型2500元/臺，我校計劃將100500元錢全部用于從該公司購進(jìn)其中兩種不同型號電腦共36臺，請你設(shè)計出幾種不同的購買方案供學(xué)校采用。小紅的方案：她認(rèn)為可以購進(jìn)A型和B型電腦，請你判斷小紅提出的方案是否合理，并通過計算說明。

（四）課堂練習(xí)，鞏固新知

1、A、B兩地相距36千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地，兩人同時出發(fā)，4小時候相遇。若6小時后，甲所余路程為乙所余路程的2倍，求甲乙兩人的速度。

2、某班借來一批圖書，分借給同學(xué)閱覽，如果每人借6本，那么會有一個同學(xué)沒書可借，如果每人借5本，那么還剩5本書沒人借，問該班有多少人，有多少書。

（五）拓展

1、變題訓(xùn)練問題2中，若學(xué)校要購買A、B、C3種型號的電腦，有如何安排？

2、某中學(xué)新建一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)、出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側(cè)門大小也相同。安全檢查中，對4道門進(jìn)行測試，當(dāng)同時開啟一道正門和兩道側(cè)門時，2分鐘內(nèi)可以通過560名學(xué)生，當(dāng)同時開啟一道正門和一道側(cè)門時，4分鐘內(nèi)可以通過800名學(xué)生。

⑴問平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生。

⑵檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離。假設(shè)這棟大樓每間教師最多有45名學(xué)生，問建造的這4道門是否符合安全規(guī)定。

分析：

1、本課的配題注重從學(xué)生親身經(jīng)歷的活動、學(xué)生熟悉的事入手選題，有開放型題、變式題，有數(shù)學(xué)思想的滲透，從易到難，由淺入深，應(yīng)該說配題的設(shè)置具有一定的挑戰(zhàn)性，能夠起到激活學(xué)生思維的作用。

2、本課的教學(xué)容量太大且選題具有一定的難度，對于基礎(chǔ)好的學(xué)生也很難能夠在有限的時間內(nèi)從容地、完整地完成所有的學(xué)習(xí)任務(wù)；對于基礎(chǔ)差的學(xué)生來說，由于太多的題不會做，課堂的時間等于空耗。

3、由于時間緊，不能給學(xué)生留有充分的思考空間和時間，學(xué)生對于習(xí)題所傳達(dá)的知識、方法很難理解透徹。所以常常出現(xiàn)習(xí)題做了很多，但是在遇見題還是有困難，習(xí)題的功能沒有發(fā)揮。

修改：

1、可以結(jié)合學(xué)生的實際情況，分層次配題。對于基礎(chǔ)差的學(xué)生習(xí)題的難度再降低一些，使他們會用二元一次方程組解決最基本的實際問題。對于基礎(chǔ)好的學(xué)生，可以刪除

（二）（四）兩組題，使他們能有更多的時間去探究問題、去迎接挑戰(zhàn)。

2、將學(xué)生分成不同的學(xué)習(xí)小組，能力強(qiáng)、弱搭配。在上述習(xí)題中選出部分更容易激起學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，更適合學(xué)生探究的習(xí)題，充分發(fā)揮習(xí)題的功能，使學(xué)生在主動學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力。

對于“實際問題與二元一次方程組”，不等同于一般例題內(nèi)容的教學(xué)，而是應(yīng)該以探究學(xué)習(xí)的方式完成。從教材設(shè)置的“數(shù)學(xué)活動”及“拓廣探索”欄目下的習(xí)題等都設(shè)置了帶有探究性的問題。對于這些內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)注意鼓勵學(xué)生積極探究，當(dāng)學(xué)生在探究過程中遇到困難時，教師應(yīng)啟發(fā)誘導(dǎo)，設(shè)計必要的鋪墊，適時地追問，讓學(xué)生在經(jīng)過自己的努力來克服困難的過程中體驗如何探究，而不要替代他們思考，不要過早給出答案，應(yīng)鼓勵探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活躍起來，在這樣的氛圍中可以更好地激發(fā)學(xué)生積極思維，得到更大收獲。所以教學(xué)中不能盲目地擴(kuò)大習(xí)題量，而是要充分發(fā)揮習(xí)題的功能，給學(xué)生留有充分的思考時間與空間，引導(dǎo)學(xué)生更多的參與數(shù)學(xué)活動和相互交流，在主動學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力，使每一位學(xué)生都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

總結(jié)記錄

一節(jié)課結(jié)束或一天的教學(xué)任務(wù)完成后，我們應(yīng)該靜下心來細(xì)細(xì)想想：這節(jié)課總體設(shè)計是否恰當(dāng)，教學(xué)環(huán)節(jié)是否合理，講授內(nèi)如一位教師在讓學(xué)生進(jìn)行分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的綜合訓(xùn)練時出了這樣一道題：一套課桌椅的價格是48元，其容是否清晰，教學(xué)手段的運用是否充分，重點、難點是否突出；今天我有哪些行為是正確的，哪些做得還不夠好，哪些地方需要調(diào)整、改進(jìn)；學(xué)生的積極性是否調(diào)動起來了，學(xué)生學(xué)得是否愉快，我教得是否愉快，還有什么困惑等。把這些想清楚，作一總結(jié)，然后記錄下來，這樣就為今后的教學(xué)提供了可資借鑒的經(jīng)驗。經(jīng)過長期積累，我們必將獲得一筆寶貴的教學(xué)財富。

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