第一篇：教孩子了解簡(jiǎn)單的力學(xué)原理的教案

科學(xué)探索活動(dòng)：紙張魔術(shù)師 活動(dòng)目標(biāo)：

1． 通過玩紙張游戲，了解簡(jiǎn)單的力學(xué)原理。

2． 在操作探索活動(dòng)中培養(yǎng)幼兒愛動(dòng)腦思考、愛嘗試的意愿。在嘗試操作中學(xué)習(xí)解決問題的方法。

活動(dòng)準(zhǔn)備：各種紙張、剪刀、書本等?；顒?dòng)過程：

（一）會(huì)站立的紙張

教師提出游戲的問題：“怎樣才能讓你手里的紙站立起來?！币龑?dǎo)幼兒在操作中嘗試不同的辦法讓紙站起來。

（二）站立的紙張承受力量

提出問題：“怎么才能讓紙撐起一本書？”引導(dǎo)幼兒嘗試用不同的折疊方法是紙張有力量。

（三）用紙撐起一個(gè)人的力量

提出問題：“一張紙的力量到底有多大？總不能達(dá)到撐起一個(gè)人的力量吧？”嘗試動(dòng)手讓紙變一變讓紙能撐起一個(gè)人的力量。

第二篇：乒乓球技術(shù)的力學(xué)原理

隨著乒乓球技術(shù)日新月異的發(fā)展。乒乓球的打法向著高速度和旋轉(zhuǎn)兩個(gè)方向發(fā)展。一般運(yùn)動(dòng)員所走的道路總是在教練指導(dǎo)下按步就班地提高乒乓球技術(shù)水平。教練員總是力求用最高最新的技術(shù)培養(yǎng)人才。我是一名乒乓球的業(yè)余愛好者，我有個(gè)特長(zhǎng)就是喜歡獨(dú)立思考。因此象我打乒乓球走了一條曲折而又漫長(zhǎng)的道路，很可能走進(jìn)死胡同，永遠(yuǎn)也打不好，這是常見的事。但是，從另一角度來講也可能有所發(fā)現(xiàn)。由于我長(zhǎng)期以來對(duì)乒乓球執(zhí)著的愛好，堅(jiān)韌不拔的意志和反反復(fù)復(fù)的思考，我摸索了一套關(guān)于攻球的方法。我覺得這套方法是有效的，對(duì)于我國(guó)運(yùn)動(dòng)員在重大國(guó)際比賽中發(fā)揮有效進(jìn)攻會(huì)有所幫助。我是一名從事力學(xué)教學(xué)的教師。下面我從力學(xué)的角度分析分析各種攻球方法的利和弊，如何提高攻球的穩(wěn)定性和速度。

乒乓球與球拍接觸，而球拍總是帶有膠皮和海綿的。所以首先可以把乒乓球理想化為一個(gè)剛體。認(rèn)為乒乓球與球拍碰撞的過程中，乒乓球不變形。當(dāng)用球拍擊球時(shí)，球拍給球一個(gè)作用力。根據(jù)力學(xué)中的力線平移實(shí)現(xiàn)。這個(gè)力向質(zhì)心移動(dòng)就產(chǎn)生作用于質(zhì)心的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這就說明球拍對(duì)球的作用產(chǎn)生兩種效應(yīng)：一是使球隨質(zhì)心作平動(dòng)，另一方面又使球圍繞質(zhì)心作旋轉(zhuǎn)。

平動(dòng)效應(yīng)的基本要求是使球過網(wǎng)弧度盡量低，這樣才能產(chǎn)生較快的速度。而轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)要提高球的旋轉(zhuǎn)。不僅使球落臺(tái)快，而且也提高了穩(wěn)定性，避免下網(wǎng)和出界，下面我就來球?yàn)椴幌滦蛠砬驗(yàn)橄滦墓デ蚍椒ǎ海ㄅ男蜑橹迸模z皮為反貼）

如果來球?yàn)椴幌滦?，攻球種類可分以下幾種：

⒈在球上升期向下推

⒉前傾拍型先提拉球后再下壓

⒊球拍后仰插球下，原地后翹拍下邊轉(zhuǎn)擊球

⒋球拍充分前傾，幾乎摩擦球的頂部

第一種方法：優(yōu)點(diǎn)是速度快、力量大，缺點(diǎn)是必須在上升期，且旋轉(zhuǎn)不夠、穩(wěn)定性差。在我觀看王楠和李菊比賽時(shí)，王楠拍子壓得低，以磨擦為主，而李菊反手會(huì)向下壓，失誤較多。

第二種方法：具有一定穩(wěn)定性，但是臺(tái)面球不太好處理，旋轉(zhuǎn)不太強(qiáng)。

第三種方法：對(duì)于臺(tái)面小球起板能力大大加強(qiáng)，但對(duì)于來球速度快，來不及打，不能發(fā)揮手臂和腰部的力，另外反手不易翻過去。

第四種方法：在速度和旋轉(zhuǎn)方面表現(xiàn)極大的優(yōu)越性，注意要在正反手和追身情況下要預(yù)先保證拍子充分壓下去。歐洲優(yōu)秀選手采用橫拍，兩邊拉技術(shù)十分兇狠，對(duì)我國(guó)運(yùn)動(dòng)員造成嚴(yán)重威脅。在我觀看比賽時(shí)總是有一種想法，為什么在來球不下旋時(shí)，我國(guó)運(yùn)動(dòng)員對(duì)拍型下壓有時(shí)不夠。下壓不夠向下推又易于下網(wǎng)。充分下壓后純提拉，既提高擊球準(zhǔn)確性，又加快球的上旋程度和進(jìn)攻的速度，落點(diǎn)也易于控制。我分析了國(guó)家運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)，當(dāng)來球不下旋時(shí)的失誤主要原因乃是拍型預(yù)先壓得不夠。

從力學(xué)角度來考慮，拍型充分前傾，在提拉時(shí)球拍對(duì)球的作用，使球的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方向?qū)?zhǔn)網(wǎng)的上邊緣。又由于是純摩擦，使球強(qiáng)烈上旋，使球成為前沖弧圈球。拍子向左向右一歪，或者力度強(qiáng)弱有變化，就能打進(jìn)落點(diǎn)變化、質(zhì)量很高的上旋球。

如果來球?yàn)橄滦?，攻球方法大致有以下幾種：

⒈垂直拍型、拍型后側(cè)，向前方推擊，后轉(zhuǎn)拍下壓。

⒉球拍后仰插球下，擊球時(shí)拍子下邊向后回收提拉，然后轉(zhuǎn)拍下壓?；蛘呖壳蜉^緊立即回地轉(zhuǎn)拍擊球。

⒊拍子適當(dāng)前傾純提拉。形成弧圈球攻球方法。

⒋拍子垂直狀態(tài)，拍面向左方或者向右方。置拍于球側(cè)面而轉(zhuǎn)推擊球。若下旋不強(qiáng)，可以在球側(cè)前方，保持球拍垂直狀態(tài)轉(zhuǎn)拍。

第一種方法：比較容易掌握。若下旋強(qiáng)，向前方的推擊力量大，若下旋弱，向前方推擊力量小。但速度旋轉(zhuǎn)受到限制。

第二種方法：是我國(guó)運(yùn)動(dòng)員用于臺(tái)面上起板方法。一般用于在球下降期，這樣長(zhǎng)下旋球就比較困難。

第三種方法：也是我國(guó)運(yùn)動(dòng)員常用的正反手弧圈球打法。其優(yōu)點(diǎn)上旋力強(qiáng)，攻球速度快。但是對(duì)于臺(tái)面小發(fā)揮不出威力。而且由于拍型位置（靠前靠后、靠上靠下）也會(huì)引起失誤。而且直板正手威力大，反手威力小，追身球要求側(cè)身快，動(dòng)作幅度大不易復(fù)原。

第四種方法是我自創(chuàng)的一種手法，獨(dú)立于前幾種，也是本文的重點(diǎn)。這種方法在比賽中還未見到，但它確是解之有效。拍型垂直可保證擊球的力為水平，轉(zhuǎn)擊時(shí)沿球中部磨擦。用這種方法有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

優(yōu)點(diǎn)1：身體動(dòng)作小、還原快、不會(huì)產(chǎn)生大幅度身體動(dòng)作，便于連續(xù)攻擊。

優(yōu)點(diǎn)2：不論球的長(zhǎng)短高低，落點(diǎn)位置都可以發(fā)揮其進(jìn)攻威力，因?yàn)樗炔恍枰迩蛳拢膊恍枰l(fā)力提拉，因?yàn)榕淖釉谇騻?cè)面本身就是提拉。我國(guó)運(yùn)動(dòng)員在用小球進(jìn)行控制，說明小球不敢輕易起板。而我這種方法只要步伐拍型到位，攻球可隨心所欲。

優(yōu)點(diǎn)3：球的落點(diǎn)可以容易變化，便對(duì)手猝不及防，因?yàn)樗沁\(yùn)用手腕轉(zhuǎn)動(dòng)形成的方向變化極其靈活。

優(yōu)點(diǎn)4：打出去的球側(cè)上旋，因?yàn)樗菑那騻?cè)面攻，所以使球側(cè)上旋。

優(yōu)點(diǎn)5：反手比正手更好打。反手更易放在球側(cè)面，進(jìn)攻更方便。

以上幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)是切實(shí)可行的，我希望這種方法對(duì)于乒乓球運(yùn)動(dòng)水平的提高能盡我一點(diǎn)微薄的貢獻(xiàn)。

總起來說攻球分為兩個(gè)方面，其一是判斷來球是否帶下旋下旋的強(qiáng)度是多大。其二是擊球速度要特別快，不能給對(duì)方有喘氣的機(jī)會(huì)。在攻球手法上也分為兩個(gè)方面，其一是設(shè)定狀態(tài)，若來球不下旋狀態(tài)，拍子使勁向前翻，幾乎水平。若來球?yàn)橄滦?，拍型垂直，拍而向左（反手攻），拍而向右（正手攻），并且運(yùn)動(dòng)到球側(cè)方位置。其二是快速動(dòng)作，若來球?yàn)椴幌滦崂蝽敳?，若來球?yàn)橄滦?，?cè)向轉(zhuǎn)拍即可。

莊則棟“加速制動(dòng)”技術(shù)的力學(xué)原理（轉(zhuǎn)帖）

JinLong Wang f_007@tom.com

同一座山，橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同。各有各的視角，各有各的美。欲識(shí)內(nèi)在美，須入此山中。當(dāng)你置身于廬山三疊泉瀑布下的龍?zhí)冻剡?，看見飛流直下撞擊巖石的瞬間，重力加速度似乎突然制動(dòng)消失，出現(xiàn)銀河墜天、浪花騰翻的奇異景象，你一定會(huì)感到飛瀑突變帶來的心靈震撼，驚嘆大自然造化的動(dòng)態(tài)美。

好像飛瀑撞石的自然奇觀，“加速制動(dòng)”技術(shù)發(fā)明者莊則棟先生創(chuàng)造的乒壇奇跡，同樣讓人久久感嘆和思考。莊則棟先生把“加速制動(dòng)”稱為自己制勝的絕招和法寶。此招絕妙，此寶珍貴，此法達(dá)理。從力學(xué)上看，這一法寶不僅對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)，而且對(duì)其他球類運(yùn)動(dòng)，乃至對(duì)其他競(jìng)技體育運(yùn)動(dòng)，都是一個(gè)不可多得的制勝法寶。何以為據(jù)？理由如下。

1.動(dòng)量變化的效果

莊則棟先生在他的專著《闖與創(chuàng)》和許多撰文演講中，一直強(qiáng)調(diào)“加速制動(dòng)”的重要性，并應(yīng)用動(dòng)量變化、沖擊力、以及碰撞與慣性等物理概念，從力學(xué)上做出了解答。這一創(chuàng)新理論對(duì)乒乓球技術(shù)的發(fā)展具有重要的意義，從下面幾個(gè)例子可看到“加速制動(dòng)”的作用和影響。例1，莊則棟直板正膠兩面攻的特點(diǎn)是采用了在哪碰球就在哪停的彈擊動(dòng)作。被譽(yù)為世界第一反手的王濤是橫拍生膠反手彈擊，其威力之大以致令國(guó)內(nèi)外高手與他交手時(shí)，總是想法避開他的反手。從原創(chuàng)到頂峰，這一爆發(fā)力、殺傷力俱強(qiáng)的彈擊技術(shù)可為“加速制動(dòng)”的典范。例2，我國(guó)傳統(tǒng)快攻打法的獨(dú)有技術(shù)正手突擊，動(dòng)作要點(diǎn)就是爆發(fā)用力，而且有制動(dòng)動(dòng)作，其作用表現(xiàn)在人與拍、拍與球之間的動(dòng)量傳遞，加強(qiáng)了動(dòng)作的突然性。例3，在目前弧圈球橫行的天下，近臺(tái)正手突擊幾乎看不見，而臺(tái)內(nèi)正手爆挑卻威風(fēng)八面?？纯瘩R林的爆挑鏡頭，那暴跳飛身之勢(shì)令對(duì)手失措、讓觀眾驚嘆。再細(xì)看一下慢鏡，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)定格：挑前瞬間先固定支點(diǎn)，然后飛身發(fā)力挑打。這不是“制動(dòng)加速”嗎？這一突現(xiàn)式的先靜后動(dòng)，正巧與“加速制動(dòng)”的先動(dòng)后靜相對(duì)應(yīng)，只是二者的轉(zhuǎn)換方向相反，而轉(zhuǎn)換方式及其功能卻有異曲同工之妙。從動(dòng)量變化的角度看，二者互為反例，均可看出動(dòng)量變化的作用和效果。

“加速制動(dòng)”與 “制動(dòng)加速”的共同特點(diǎn)是把人擊球的動(dòng)量變化增量極限化。從動(dòng)量定理（dp = F dt）可知，動(dòng)量增量叫沖量，動(dòng)量變化過程中產(chǎn)生的力叫沖力，這個(gè)沖力隨著沖量增大而增大，而且也隨動(dòng)量變化的時(shí)間縮短而增大。在動(dòng)量變化的過程中，沖力是這個(gè)變化的效果之一，同時(shí)還產(chǎn)生另外兩種容易被忽視的效果：力臂和力矩。通常人用球拍擊球時(shí)，用力方向多偏離球心，而且會(huì)在球表面上產(chǎn)生不同程度的摩擦。根據(jù)力向一點(diǎn)平移定理（FB =FA，M = MB（FA）= rBA ′ FA）作用到球上的一個(gè)力平移摩擦后附加了一個(gè)力偶。由力和力偶矩分別產(chǎn)生平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的兩種運(yùn)動(dòng)效應(yīng)，使球邊前進(jìn)邊旋轉(zhuǎn)地運(yùn)動(dòng)。因此，乒乓球運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力來源于動(dòng)量變化。當(dāng)你具備了這一動(dòng)力源，在旋轉(zhuǎn)的乒乓世界里，怎樣駕馭旋轉(zhuǎn)呢？

2.力偶矩的效應(yīng)

對(duì)于“加速制動(dòng)”過程中的相互作用力，莊則棟還是運(yùn)動(dòng)員的時(shí)候已經(jīng)體悟到“加速是一個(gè)力，制動(dòng)是另一個(gè)力，而且是相反的作用力?！爆F(xiàn)在可以從他的一張正手攻球照片上看到，他右手向左前方揮去，左手反向轉(zhuǎn)到右腋下面。這種非同常人的擊球姿勢(shì)，表現(xiàn)出了由剪切力產(chǎn)生力偶矩效應(yīng)的生動(dòng)形象。如果把這張照面與徐寅生自傳《我與乒乓球》一書封面上反手攻球的照片相對(duì)比，將會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩位著名乒乓球大師擊球姿勢(shì)的美妙。雖然他們分別是正反手、內(nèi)外旋、方向不一樣，可是他們的姿態(tài)卻具有相同的不變的內(nèi)涵。只是一個(gè)正手內(nèi)旋，軸在前胸；另一個(gè)反手外旋，軸在后脊，而他們兩人不同外形的相同內(nèi)涵就是身體轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩。

力偶矩（M = rBA ′ F）是描述轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)量度的概念，一種容易體驗(yàn)的方法是，在駕車過程中用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤控制方向。人開車要靠加速、制動(dòng)和方向盤，而打球要靠加速、制動(dòng)和力偶矩。前者三要素必須分離控制，而后者卻要融為一體。打球“加速制動(dòng)”時(shí)，由于力偶與力臂的相互作用，在軸向上產(chǎn)生力偶矩，同時(shí)在力臂載體上顯現(xiàn)出轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。從物理本質(zhì)上講，打球是把人體力偶矩做功的能量通過拍與球的作用，利用撞擊和摩擦方式傳遞到球上，最后表現(xiàn)出球的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。

乒乓球運(yùn)動(dòng)來源于網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)。從人體動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)原理看，它與太極拳運(yùn)動(dòng)更為相似。這兩種外觀截然不同形式的運(yùn)動(dòng)，卻都屬于由力偶矩（力矩、動(dòng)量矩）所決定的圓（混圓、螺旋）運(yùn)動(dòng)。一般平動(dòng)由力產(chǎn)生，而在轉(zhuǎn)動(dòng)中，力矩的概念占據(jù)著關(guān)鍵的主導(dǎo)地位。劉嗣傳先生在《武當(dāng)三豐太極拳》中明確指出，太極拳內(nèi)勁功力來自身體平衡和重心偏移產(chǎn)生的偏心力矩。此論精準(zhǔn)，一語(yǔ)中的，惟有偏心力矩，方能四兩撥千斤。武壇奇才王世清在日開武館時(shí)，打遍日本無敵手。全日相撲冠軍滕田來館挑戰(zhàn)，只是一個(gè)照面，只聽“噗”的一聲，這個(gè)200多公斤重的人體圓球，被摔出丈遠(yuǎn)，落倒了墻角。那種叫做爽的感覺，眾多球友似曾有過：只是一個(gè)爆沖，只聽“唰”的一聲，乒乓球擦過臺(tái)邊，落到了墻角。大凡能制造“噗”、“唰”音響者，不管在武館，還是在乒館，必是演奏“引進(jìn)落空合即出”、“閃開中正定橫沖”三步曲的高手。此曲第一步，“引進(jìn)落空”，吃住球、準(zhǔn)備力偶矩；第二步，“閃開中正”，重心轉(zhuǎn)移、制造偏心力矩；第三步，“合即出”、“定橫沖”，則是蹬腿、轉(zhuǎn)腰、甩臂摩擦，進(jìn)行力矩做功。

3.力矩做功的效能

力偶矩就是力矩，只是力偶產(chǎn)生的力矩。對(duì)于控制球的旋轉(zhuǎn)來說，它是一個(gè)看不見的法寶。為了形象描述、理解和應(yīng)用它，我們不妨把“加速”和“制動(dòng)”這兩種相反的、圍繞同一軸心相互作用的力，比喻成兩條連續(xù)環(huán)游、轉(zhuǎn)成一團(tuán)的黑魚和白魚。用負(fù)陰而抱陽(yáng)的太極圖像表示力偶矩，可以清晰地看到一個(gè)太極乒乓的形象。它的靜態(tài)形象可隱喻力偶矩的元素含義，而動(dòng)態(tài)形象則反映力矩做功的過程和效能。從動(dòng)力學(xué)角度看，莊則棟先生創(chuàng)新的“加速制動(dòng)”技術(shù)，可衍生出重要的力學(xué)效應(yīng)。如上所述，增大動(dòng)量變化產(chǎn)生力偶矩，能控制擊球的力量、速度和旋轉(zhuǎn)等要素。若從運(yùn)動(dòng)整體效果看，“加速制動(dòng)”技術(shù)的重要性在于它決定著力矩做功的效能。所謂力矩做功是在轉(zhuǎn)動(dòng)中力做功的一種特殊形式，它由一般的力做功變換為力矩對(duì)角位移積分的力矩做功（W=∫F dr → w=∫M dθ）。其中力矩和角位移二矢量均由乒乓球技術(shù)的要素所構(gòu)建: 力矩由發(fā)力（重心交換、腰臂合一、發(fā)力方式等）和力臂（轉(zhuǎn)動(dòng)幅度、擊球動(dòng)作等）產(chǎn)生；角位移是力與運(yùn)動(dòng)方向之間的角度變化，與發(fā)力方向、拍面方向、拍形角度等要素有關(guān)。力矩做功則表示力矩與角位移相互作用的積累效應(yīng)，該效應(yīng)對(duì)應(yīng)于乒乓技術(shù)所有要素發(fā)生統(tǒng)一作用的整體效應(yīng)。由此可見，力矩做功決定著擊球質(zhì)量、連續(xù)性和綜合技術(shù)水平。其中連續(xù)性，反映了力矩做功過程的動(dòng)態(tài)特性，做功的效能及其效能所達(dá)到的境界。

關(guān)于連續(xù)性的問題，莊則棟先生一直強(qiáng)調(diào)用“加速制動(dòng)”打球，擊球的準(zhǔn)備時(shí)間，自己多了，而對(duì)手少了。不僅能快一板，而且能連續(xù)地快。國(guó)家隊(duì)李曉東教練尤其重視連續(xù)性，曾提出“先發(fā)動(dòng)、先下手、搶時(shí)空”，一板球與下一板球之間的銜接，環(huán)環(huán)相扣，行云流水，流暢自如。這樣的連續(xù)性，能達(dá)什么境界？乒乓精英們用體語(yǔ)的回答，留下了歷史記錄：著名世界冠軍郭躍華為了提高攻球命中率，與同伴訓(xùn)練對(duì)攻，龍騰虎躍，連續(xù)對(duì)攻，一個(gè)球整整打了兩個(gè)小時(shí)；奪得世界冠軍數(shù)目和種類最多的王楠，打小就打下了好基礎(chǔ)。有一次與隊(duì)友練習(xí)正手對(duì)攻，一次性連續(xù)打了4800板。四千八百板，板板乒乓響。一曲交響樂，人球共振蕩?！伴L(zhǎng)時(shí)間的、激動(dòng)人心的來回往復(fù)，伴隨著不同的旋轉(zhuǎn)與各種精彩技術(shù)的組合----這就是我眼中的乒乓藝術(shù)?！边@是世界乒壇常青樹、藝術(shù)殿堂上傳奇人物老瓦的心聲。

在多彩的大千世界里，繪畫大師達(dá)芬奇曾在研究力的平衡時(shí)提出了重要的力矩概念，乒乓球大師莊則棟發(fā)明了具有如虎添翼威力的“加速制動(dòng)”技術(shù)。在這兩種發(fā)明之間偶爾顯出一種內(nèi)在聯(lián)系: 前者寓于后者，而后者基于前者。二者聯(lián)系的形象模式，好像廬山飛瀑落地成河，剎那間水流轉(zhuǎn)變了方向，從垂直轉(zhuǎn)變?yōu)樗?，形成了一個(gè)直角尺形的偃矩。關(guān)于曲直形態(tài)的變換，我國(guó)古代的商高歸結(jié)為：“圓出于方，方出于矩”。這個(gè)矩是看得見的幾何形狀，而力矩則是看不見的旋轉(zhuǎn)動(dòng)力因。如果你用心感知一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的外形和內(nèi)因，并且沿著它的軌跡控制好力、力矩和力矩做功，或許當(dāng)你陶醉于運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)候，已經(jīng)進(jìn)入了一種美妙的境界。

轉(zhuǎn)自小魚兒jlw

關(guān)于乒乓球螺旋球的新概念及新技術(shù)--兼論乒乓球運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)和力學(xué)基礎(chǔ)

徐慶和

(北京大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100871)摘要：研究目的：建立關(guān)于乒乓球螺旋球（helical balls）、撓旋球（torsional balls）的新概念、新技術(shù)、及新系統(tǒng)。研究方法：應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論（微分不變量）和電腦程序來研究乒乓球的旋轉(zhuǎn)。研究結(jié)果：（1）給出了乒乓球螺旋球、撓旋球的新概念和科學(xué)定義。（2）給出了乒乓球螺旋球系統(tǒng)的新的旋轉(zhuǎn)分類法。（3）闡明了乒乓球運(yùn)動(dòng)在3維空間的數(shù)學(xué)和力學(xué)原理及運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律。（4）建立了乒乓球螺旋球、撓旋球的理論系統(tǒng)和技術(shù)系統(tǒng)。

關(guān)鍵詞：乒乓球運(yùn)動(dòng)；旋轉(zhuǎn)；螺旋球；弧圈；曲率；微分不變量；運(yùn)動(dòng)學(xué)

New Concept and Technique of Helical Balls in Table Tennis

--Discussion on Mathematical and Mechanical Foundation of Table Tennis Xu qinghe(School of Mathematical Science, Peking University, Beijing 100871, China.)Abstract: In order to set up new concept and technique of the helical balls and torsion spin balls in table tennis, this paper studies the spins of table tennis by means of modern mathematical theory and computer program.The result shows that(1)giving the scientific definition and concept of helical balls.(2)giving the scientific classification system of helical balls.(3)giving the scientific regulation of table tennis in three dimensional space.(4)establishing the theoretical and technical system of helical ball and torsional balls.Keywords: table tennis；spin；helical ball；torsional balls；mathematica

１ 螺旋、螺旋球和撓旋、撓旋球的定義： 1.1 乒乓球螺旋和撓旋的定義：

在連續(xù)（變化）的合力作用下（這個(gè)合力，在不同的時(shí)間具有不同的方向，并且可以是不在一個(gè)平面上），在使乒乓球前進(jìn)時(shí)，又使乒乓球產(chǎn)生一種旋轉(zhuǎn)，球運(yùn)行的軌跡，呈螺旋線形（即螺旋線的一部分）(圖1, 圖2)，這種旋轉(zhuǎn)，稱為螺旋。

圖1 3維空間螺旋面, 它是由 圖2 3維空間圓柱螺旋線 3維空間螺旋線組成 如果在上述條件下，乒乓球運(yùn)行的軌跡，呈撓旋線形（即撓旋線的一部分），這種旋轉(zhuǎn)，稱撓旋。

1.2 螺旋球和撓旋球的定義：

具有強(qiáng)列螺旋的球，稱為螺旋球。具有強(qiáng)烈撓旋的球，稱撓旋球。螺旋球和撓旋球與“弧圈球”的區(qū)別和聯(lián)系：

關(guān)于弧圈和弧圈球，目前乒乓球?qū)I(yè)書上的敘述有幾個(gè)要點(diǎn)：(１)首先給出弧的概念，它是圓的一部分，或者是一條平面曲線（圈則是指圓圈的圈）。(２)它是一種上旋球，即旋轉(zhuǎn)的方向是向上的。(３)合力的方向，是向上向前的。關(guān)于所謂弧圈的“彎度”，一般都是用直觀描述法，來敘述一下，沒有給出具有科學(xué)原理的定義，沒有應(yīng)用數(shù)學(xué)曲率的科學(xué)概念，更沒有應(yīng)用撓率的科學(xué)概念。關(guān)于弧圈的命名，在乒乓球?qū)I(yè)書《乒乓球的旋轉(zhuǎn)》中，是這樣給出的：“由于弧圈球飛行時(shí)猶如半個(gè)圓圈，弧圈球便由此得名”。

上述“弧圈”這個(gè)概念，無論是從現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代力學(xué)的理論觀點(diǎn)，還是從乒乓球的實(shí)踐觀點(diǎn)來分析，都存在嚴(yán)重的片面性、局限性等缺陷。用一句話來概括，現(xiàn)在所謂的“弧圈”這個(gè)概念，缺乏科學(xué)的依據(jù)、科學(xué)的分析、和科學(xué)理論的支持，特別是缺乏現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)和力學(xué)理論的支持。由于乒乓運(yùn)動(dòng)的開展，最基本的一條，就是需要有一個(gè)現(xiàn)實(shí)的空間，在數(shù)學(xué)上來刻畫它，就需要建立一個(gè)3維空間，而我們從現(xiàn)行書上的描述（上述的3個(gè)要點(diǎn)），從大多數(shù)情況來看，它的主要格局，包括所有的示意圖（參看２０００年６月最新出版的體育辭典上所有有關(guān)圖示及其概念）其幾乎都是用2維平面上的圓弧, 至多也是用2維平面上的曲線來刻畫的，這樣的刻畫和描述不僅僅是粗糙的、片面的，而且是違背實(shí)際的，它不利于乒乓球運(yùn)動(dòng)的理論研究，不利于推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的進(jìn)一步發(fā)展。螺旋球、撓旋球與“弧圈球”的區(qū)別：主要有4條：

(１)旋轉(zhuǎn)概念不一樣；由上旋的定義，上旋球的旋轉(zhuǎn)方向是向上，而由螺旋的定義，螺旋球旋轉(zhuǎn)方向是呈螺旋線形的；

圖3 3維空間圓錐螺旋線(２）作用的空間不一樣，上旋球是用二維平面中圓圈或曲線來刻畫的，而螺旋球是用三維空間中螺旋線形來刻畫的；(３)螺旋球是用3維空間中科學(xué)而精確的曲率和撓率來刻畫的，而在目前的乒乓球?qū)I(yè)書中，關(guān)于上旋球的一切探討，是從來不考慮撓率這個(gè)極重要的科學(xué)參數(shù)；(４)原有的提法，缺乏科學(xué)內(nèi)涵和理論支撐，從而制約了乒乓球技術(shù)的深入和理性的發(fā)展，螺旋球的科學(xué)概念和理論系統(tǒng)，有利于用電腦和現(xiàn)代技術(shù)研究和發(fā)展乒乓球運(yùn)動(dòng)(圖4)。

圖4 3維空間圓錐螺旋線及 在3個(gè)平面的投影螺旋線

這里應(yīng)指出的是：弧圈球是一種上旋球，而所謂的上旋球，可以看成是螺旋球的特例。因此，螺旋球，撓旋球是“弧圈球”技術(shù)的新發(fā)展和更新?lián)Q代，它是定義在螺旋和撓旋等現(xiàn)代科學(xué)概念的基礎(chǔ)上。空間曲線和螺旋線的數(shù)學(xué)定義、力學(xué)意義及其基本規(guī)律： 3.1 空間曲線的方程的幾種表示：

3.1.1 參數(shù)式；3.1.2 交面式；3.1.3 矢量式；3.1.4 空間曲線的自然方程。3.2 曲率和撓率的定義：

曲率：度量曲線上相鄰兩點(diǎn)的切向量的夾角關(guān)于弧長(zhǎng)的變化率。直線的曲率恒為0。圓周的曲率等于其半徑的倒數(shù)。

撓率：度量曲線上鄰近兩點(diǎn)的次法向量之間的夾角對(duì)弧長(zhǎng)的變化率。平面曲線是撓率恒為零的曲線?？臻g曲線如不是落在－平面上，則稱為撓曲線。

曲率和撓率是兩個(gè)微分不變量，它們決定了曲線的形狀特征，是刻畫空間曲線在某點(diǎn)鄰域彎曲程度和離開密切平面而扭曲程度的量。3.3 空間曲線的基本定理和自然方程：

給出閉曲線上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)κ（ｓ）和τ（ｓ），其中κ（ｓ）＞０，則除了空間的位置差別以外，唯一的存在一條空間曲線，使得參數(shù)ｓ是曲線的弧長(zhǎng)，并且κ（ｓ）和τ（ｓ）分別為曲線的曲率和撓率。

把κ＝κ（ｓ），τ＝τ（ｓ）稱為空間曲線的自然方程。這是空間曲線的基本定理, 它的重要性在于它指明了空間曲線除了它在空間的位置外，由它的自然方程唯一的確定。它從理論上進(jìn)一步指明：不但曲線的形狀決定了它的曲率和撓率，而且曲率和撓率還決定了曲線的形狀。

3.4 特殊曲線一般性的理論研究： 如果曲線的曲率和撓率滿足線性關(guān)系：Ａκ＋Ｂτ＋Ｃ＝０，其中Ａ、Ｂ、Ｃ為常數(shù)，則曲線可分為下面幾種情況： １)Ｃ＝０，一般螺旋線。特殊情況：Ａ≠０，Ｂ＝０（κ＝０）時(shí)：直線；Ａ＝０，Ｂ≠０（τ＝０）時(shí)：平面曲線（撓率恒為零的曲線為平面曲線）。

２)Ｃ≠０，Ａ＝０，Ｂ≠０：撓率固定的曲線。３)Ｃ≠０，Ａ≠０：貝特朗曲線。

我們用它們可以精確地給出任意一條空間曲線，并可以由相關(guān)的公式，計(jì)算出曲率和撓率，及空間曲線的長(zhǎng)度。它們是研究乒乓球在空間運(yùn)行曲線的數(shù)學(xué)工具和主要的計(jì)算方法。

在空間曲線中最具代表性的曲線，就是螺旋線和撓旋線，它是從現(xiàn)實(shí)生活、社會(huì)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，對(duì)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的軌跡進(jìn)行抽象，而得到的具有確定方程、可計(jì)算的空間曲線。因此，應(yīng)用它，我們可以比較科學(xué)地研究乒乓球在空間運(yùn)行的曲線。

3.5 螺旋線的數(shù)學(xué)定義：

若曲線Ｃ為撓曲線，若其曲率和撓率具有固定比值，稱為螺旋線。它的特征是切線與－固定方向做成定角。如果曲率和撓率均為非零常數(shù),那么Ｃ是圓柱螺線, 即它在圓柱面上且與直母線做成固定角。3.6 螺旋線的力學(xué)意義：

從力學(xué)意義上來說，我們可以把乒乓球在空間的運(yùn)動(dòng)，視為剛體一般運(yùn)動(dòng)（general motion of a rigid body），即對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件沒有任何限制的剛體的自由運(yùn)動(dòng)。乒乓球在作自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，球體內(nèi)沒有任何固定于空間的點(diǎn)，而且任何3個(gè)不共線的點(diǎn)的軌跡不會(huì)相同。剛體作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)有6個(gè)自由度。3.7 乒乓球在空間運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律：

1）乒乓球在空間作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的任何位移都可分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞基點(diǎn)上某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位移，改變基點(diǎn)的選擇，只影響平動(dòng)位移而不改變轉(zhuǎn)動(dòng)位移的轉(zhuǎn)角。2）乒乓球在空間作一般運(yùn)動(dòng)時(shí)的任何位移都可化成螺旋位移,由繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿該軸的平動(dòng)位移合成。這個(gè)軸稱為螺旋軸。

3)乒乓球在空間作撓旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的任何位移都可分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞基點(diǎn)上某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位移，改變基點(diǎn)的選擇，不僅影響平動(dòng)位移而且可以改變轉(zhuǎn)動(dòng)位移的轉(zhuǎn)角。撓旋運(yùn)動(dòng)是指：曲率和撓率的比不等于常數(shù)。

4)乒乓球在空間作撓旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的任何位移都可化成撓旋位移, 由繞某軸的可變角轉(zhuǎn)動(dòng)和沿該軸的平動(dòng)位移合成。這個(gè)軸稱撓旋軸。

也就是說上述乒乓球在空間的一般運(yùn)動(dòng)，可歸結(jié)為在每瞬時(shí)沿著和繞著瞬時(shí)螺旋軸的螺旋運(yùn)動(dòng)。隨著時(shí)間的推移，瞬時(shí)螺旋軸在固定空間描出一個(gè)線生曲面，同時(shí)它在剛體內(nèi)部也描出一個(gè)線生曲面。這兩個(gè)曲面相切于該瞬時(shí)的螺旋軸。因此，乒乓球的一般運(yùn)動(dòng)可視為繞螺旋軸的翻滾和沿該軸的滑動(dòng)這2種運(yùn)動(dòng)的合成。螺旋線和撓旋線的區(qū)別及螺旋和螺旋球的分類： 4.1 螺旋線和撓旋線的區(qū)別：

從數(shù)學(xué)的角度來分析，主要用具有運(yùn)動(dòng)學(xué)意義的微分不變量--曲率和撓率，來刻畫空間的曲線：如果一條空間曲線，不是落在一個(gè)平面上，我們稱它為撓旋線，這時(shí)它的撓率不等于０；若一條撓旋線，其曲率和撓率具有固定比值，稱為螺旋線。4.2 螺旋線的數(shù)學(xué)分類：

1）圓柱螺旋線；2）圓錐螺旋線（這種曲線投影到Ｏｘｙ平面上，剛好是對(duì)數(shù)螺線）；3）一般螺旋線，它的特殊情形，是圓柱螺旋線。4.3 螺旋和螺旋球的科學(xué)分類： 總體上分3種情況：

4.3.1 關(guān)于接球的螺旋和螺旋球的分類;4.3.2 關(guān)于發(fā)螺旋球及其分類;4.3.3 臺(tái)內(nèi)螺旋球的分類.下面分別進(jìn)行實(shí)際和具體的研究及其科學(xué)分析: 4.3.1 關(guān)于接球的螺旋和螺旋球的分類：共有4種分類法：(1)按身體發(fā)力部位分類：

1)手腕螺旋球（撓旋球）：主要發(fā)力部位是手腕關(guān)節(jié)和手指關(guān)節(jié)的合力，發(fā)力地點(diǎn)是臺(tái)內(nèi)近網(wǎng)處；

2)肘螺旋球（撓旋球）：主要發(fā)力部位是肘關(guān)節(jié)和手腕關(guān)節(jié)和手指關(guān)節(jié)的合力，發(fā)力地點(diǎn)是臺(tái)內(nèi)；

3)大臂螺旋球（撓旋球）：主要發(fā)力部位是腳掌、腿、腰、大臂、肘關(guān)節(jié)和手腕關(guān)節(jié)和手指關(guān)節(jié)的合力；發(fā)力地點(diǎn)是臺(tái)外，針對(duì)半出臺(tái)、和出臺(tái)球。(2)按運(yùn)行曲線分類: 1)高吊螺旋球（撓旋球）；2)前沖螺旋球（撓旋球）；3)右沖螺旋球（撓旋球）；4)左沖螺旋球（撓旋球）。(3)按擊球地點(diǎn)分類：

1)近網(wǎng)螺旋球（撓旋球）；2)臺(tái)中螺旋球（撓旋球）；3)臺(tái)外螺旋球（撓旋球）。

(4)按數(shù)學(xué)定義分類： 由螺旋線的數(shù)學(xué)分類，我們相應(yīng)地把螺旋球分為： 1)圓柱螺旋球；2)圓錐螺旋球；3)一般螺旋球。統(tǒng)稱為螺旋球（圖5）。

圖5 圓柱螺旋線在3維空間的軌跡 4.3.2 關(guān)于發(fā)螺旋球及其分類：

乒乓球的發(fā)球，和其它任何球類的發(fā)球不一樣，有其獨(dú)特而鮮明的特色：即發(fā)球時(shí)，球首先是擊打在自己這一方，然后再?gòu)椞綄?duì)方，而不像羽毛球、排球等，可以直接擊打到對(duì)方。因此，對(duì)發(fā)球的力量就受到限制（而接球的力量就沒有這個(gè)限制，只要準(zhǔn)確上臺(tái)即可）。因此，乒乓球發(fā)球的旋轉(zhuǎn)，就顯得更加重要。螺旋和螺旋球、撓旋球理論系統(tǒng)和新技術(shù)系統(tǒng)的建立，為乒乓球發(fā)球技術(shù)發(fā)展打下了理論基礎(chǔ)。發(fā)螺旋球的分類如下：(１)正手螺旋發(fā)球；(２)反手螺旋發(fā)球；(３)下蹲螺旋發(fā)球；(４)高拋螺旋發(fā)球；(５)滾動(dòng)螺旋發(fā)球。4.3.3 臺(tái)內(nèi)螺旋球的分類： 主要有3種情況：

(1)快帶螺旋；(2)兜底螺旋；(3)直扭螺旋。

（注：由于空間的曲線，是由曲線的曲率和撓率及相應(yīng)的方程來確定的，它可以是2次曲面上的曲線，例如：圓柱球面、橢球面、雙曲面、拋物面、馬鞍面等各種2次曲面上的曲線，因此，在實(shí)踐中，特別是為了便于深入地、全面地、精確地進(jìn)行乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡的科學(xué)研究和理論研究，我們分別把具有這些軌跡的旋轉(zhuǎn)和擊球，稱為：１）球面旋轉(zhuǎn)球;２)橢球旋轉(zhuǎn)球;３)雙曲旋轉(zhuǎn)球;４)拋物旋轉(zhuǎn)球;５)馬鞍旋轉(zhuǎn)球等。并統(tǒng)稱為螺旋和撓旋球。）5 螺旋和螺旋球的應(yīng)用：

從總體上說，根據(jù)科學(xué)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)原理、現(xiàn)代力學(xué)理論和數(shù)學(xué)彈性力學(xué)的基本規(guī)律（如變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的規(guī)律、運(yùn)動(dòng)或平衡的規(guī)律及球體和球殼的理論），乒乓球在空中運(yùn)行時(shí)，絕大多數(shù)情況，都是在某種旋轉(zhuǎn)（包括平行運(yùn)動(dòng)，或旋轉(zhuǎn)的組合）的情況下進(jìn)行的，因此我們?cè)诹私獾交蛘莆章菪吐菪虻母拍?、定義和理性知識(shí)之后，就可以在各個(gè)環(huán)節(jié)，如發(fā)球、接球、拉球、攻球、搓球及各種擊球的環(huán)節(jié)，預(yù)先設(shè)定乒乓球的螺旋方式及旋轉(zhuǎn)方式，預(yù)先在電腦上通過程序來顯示, 并達(dá)到預(yù)期目的。以下對(duì)螺旋和螺旋球的應(yīng)用, 進(jìn)行實(shí)際動(dòng)作理論和技術(shù)分析: 5.1 發(fā)螺旋球：

在發(fā)球時(shí)，手揮動(dòng)球拍擊球時(shí)的軌跡，包含觸球點(diǎn)及在球拍上延續(xù)的軌跡，呈螺旋狀態(tài)，即螺旋線的一部分（可以是圓柱螺旋線的一部分、圓錐螺線的一部分、一般螺旋線的一部分等），統(tǒng)稱為發(fā)螺旋球（和上旋球、下旋球的區(qū)別：現(xiàn)行專業(yè)書上敘述，在發(fā)上旋球、下旋球時(shí)，手揮動(dòng)球拍擊球時(shí)的軌跡，包含觸球點(diǎn)，是方向向上、方向向下的）。再細(xì)分，可以發(fā)方向偏上的上螺旋球（圖6）和發(fā)方向偏下的下螺旋球。也可以發(fā)高拋螺旋球、正手或反手螺旋球。這里應(yīng)說明的是：現(xiàn)在書上所謂的上旋球、下旋球，可以看成是上螺旋球和下螺旋球的特例。當(dāng)然我們還可以發(fā)各種撓旋球。

圖6 發(fā)上圓柱螺旋球, 球拍在三維空間揮動(dòng)路線

發(fā)螺旋球技術(shù)的6結(jié)合9組合: 6結(jié)合：螺旋曲線和落點(diǎn)結(jié)合；螺旋曲線和速度結(jié)合；螺旋曲線和力量結(jié)合；速度和落點(diǎn)結(jié)合；速度和力量結(jié)合；落點(diǎn)和力量結(jié)合。9組合：長(zhǎng)短球組合；左右（大角、長(zhǎng)）球組合；遠(yuǎn)近球組合；轉(zhuǎn)和不轉(zhuǎn)球組合；正手發(fā)球和反手發(fā)球組合；右螺旋和左螺旋組合；上螺旋和下螺旋組合；圓柱螺旋和圓錐螺旋組合；高拋螺旋和低拋螺旋組合。

5.2 拉螺旋球, 分2種情況： 5.2.1 出臺(tái)球: 適于拉左沖、右沖、前沖等各種螺旋球，在引拍時(shí)，應(yīng)用腳掌、腿、腰、大臂、前臂的力量形成合力，球拍揮動(dòng)路線呈螺旋線形，觸球的時(shí)間，是在球的上升期或最高點(diǎn)，并且觸球點(diǎn)在球的偏上或頂點(diǎn)的位置，在球拍觸球的瞬間，加上手碗和食指的甩動(dòng)合力（直拍用手碗和中指），適當(dāng)加長(zhǎng)球和球拍磨擦的時(shí)間，減少碰撞的時(shí)間，并仍使球在球拍上的運(yùn)動(dòng)軌跡呈螺旋線形。左沖螺旋球和右沖螺旋球的飛行軌跡呈螺旋線形，在球接觸對(duì)方球臺(tái)時(shí)，以螺旋線形狀向左、右等各種可以預(yù)測(cè)的各個(gè)方向飛出。由于拉左沖、右沖、前沖等各種螺旋球的運(yùn)行軌跡，不在一個(gè)平面上，不僅具有一定的曲率，還具有一定的撓率，而且變化種類多樣，常使對(duì)方難于判斷和措手不及。

5.2.2 半出臺(tái)球（包括左半出臺(tái)球、右半出臺(tái)球、正手半出臺(tái)球、反手半出臺(tái)球）: 適于拉高吊螺旋球：其要領(lǐng)和拉左沖、右沖、前沖螺旋球相似，球拍揮動(dòng)路線呈螺旋線形，在球拍觸球的瞬間，仍使球在球拍上的運(yùn)動(dòng)軌跡呈螺旋線形，但觸球的時(shí)間，是在球的下降時(shí)期，并且觸球點(diǎn)在球的中和中偏上的位置(中偏右下, 為兜底高吊螺旋球)。這里應(yīng)注意的是：由于高吊螺旋球(圖7)可以在左半出臺(tái)、右半出臺(tái)、正手半出臺(tái)、反手半出臺(tái)等各種情況下應(yīng)用，因此，球拍的初始角度、綜合應(yīng)用合力的大小、螺旋線的大小和方向、曲率和撓率的大小的掌握，在實(shí)際操作時(shí)有一定的分寸及自由度，不宜過分僵硬，但上述要領(lǐng)，必須掌握住。

圖7 高吊螺旋球在3維空間的飛行軌跡 5.3 臺(tái)內(nèi)螺旋球：

5.3.1 臺(tái)內(nèi)螺旋球，和出臺(tái)、半出臺(tái)螺旋球的主要區(qū)別是 ：

(1)擊球的動(dòng)作比較??；(2)基本動(dòng)作在臺(tái)內(nèi)完成；(3)主要是由大臂、上臂、手碗、和手指，特別是手碗和手指的發(fā)力起了重要的作用。5.3.2 臺(tái)內(nèi)螺旋球主要有3種情況：

(1)快帶螺旋：在臺(tái)內(nèi)球的上升后期，球拍迎著球，先碰撞后磨擦，球拍向上甩動(dòng)的弧線是螺旋線形；

(2)兜底螺旋：球拍由球的底部觸球，由下向上翻轉(zhuǎn)，先碰撞后磨擦，球拍翻轉(zhuǎn)甩動(dòng)及球在球拍上磨擦的曲線是螺旋線形；

(3)直扭螺旋：球拍接近垂直略向后仰，球拍迎著球，球拍向右前上（或左前上）發(fā)力扭動(dòng)，扭動(dòng)的弧線是螺旋線形。

在上述相同的情況，我們還可以拉出或發(fā)出各種撓旋球。創(chuàng)建螺旋和螺旋球概念的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義： 通過曲面上每一點(diǎn)沿著每一方向有唯一的一條測(cè)地線，而曲面Ｓ上一條由曲線ｃ在平面上伸展為直線的充要條件是：曲線ｃ是曲面上的測(cè)地線，也就是說在某種意義下，聯(lián)結(jié)曲面上兩點(diǎn)的一切曲線中，測(cè)地線最短（也稱其為短程線）。因此，在乒乓球的實(shí)際運(yùn)用中經(jīng)常強(qiáng)調(diào)的有3個(gè)要素：一個(gè)是速度，一個(gè)是旋轉(zhuǎn)，一個(gè)是落點(diǎn), 那么怎樣使3者組成最佳結(jié)合呢？現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論告訴我們：使乒乓球在空間的運(yùn)行路線，形成一條測(cè)地線，這是一個(gè)最佳的選擇。而我們上述定義的螺旋球，它的運(yùn)行軌跡，呈螺旋線型，如同圓柱面、圓錐面上的螺旋線，它恰好正是一條測(cè)地線。這是可定向、可展曲面所具有的很好的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)（如果在只需強(qiáng)調(diào)速度的時(shí)候，則使乒乓球在空間的運(yùn)行路線，形成一條直線或球大圓，這兩者也都是測(cè)地線。由于路程最短，在其它條件不變的情況下，耗時(shí)最少，速度最快）。上面的論述，具有實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的好手，也許能夠體驗(yàn)到，但這絕不是偶然的巧合，這正體現(xiàn)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論對(duì)乒乓球?qū)嵺`的指導(dǎo)意義，從而使乒乒球的實(shí)踐建立在堅(jiān)實(shí)的科學(xué)理論的基礎(chǔ)上。

有了螺旋和螺旋球及撓旋和撓旋球的科學(xué)概念、定義和理論系統(tǒng)，有利于實(shí)現(xiàn)打知識(shí)球、打文化球、打科技球的理念.我們就可以用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光，用3維空間（和高維空間）的視角，用變量、變化的觀點(diǎn)，用微分不變量--曲率和撓率這科學(xué)的尺度，用空間的幾何曲線，用電腦高科技, 來分析乒乓球運(yùn)動(dòng)軌跡和旋轉(zhuǎn)，那么對(duì)于乒乓球的相關(guān)研究，便可以納入現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代力學(xué)的范疇，并可由此為核心內(nèi)容和基本框架，建立一門《乒乒球的數(shù)學(xué)和力學(xué)原理》，對(duì)乒乓球的運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，進(jìn)行系統(tǒng)、科學(xué)、全面的研究（而不是僅僅是進(jìn)行一些直觀并且粗糙的描述），使乒乓球的研究，真正升華到理論的高度，成為一門有現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代力學(xué)和計(jì)算機(jī)智能專家系統(tǒng)作為基石的一門科學(xué)技術(shù)，也就是成為作者創(chuàng)立的智能數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，從而推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)向科學(xué)和縱深的方向發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

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乒乓球運(yùn)動(dòng)與力學(xué)原理

作者： 黃冬根 文章來源： 物理教師

乒乓球運(yùn)動(dòng)是學(xué)生喜愛的一種體育活動(dòng)，其中包含有許多力學(xué)知識(shí)，用力學(xué)知識(shí)來指導(dǎo)乒乓球運(yùn)動(dòng)，學(xué)生對(duì)物理知識(shí)會(huì)有更深的理解，對(duì)乒乓球運(yùn)動(dòng)會(huì)更加熱愛。在乒乓球運(yùn)動(dòng)中主要有以下幾方面與力學(xué)知識(shí)有關(guān)。

1力矩與球的旋轉(zhuǎn)

在乒乓球運(yùn)動(dòng)中，旋轉(zhuǎn)球是克敵致勝的法寶，那末如何使球能在前進(jìn)中旋轉(zhuǎn)呢?

如圖l所示：給物體施加一個(gè)過質(zhì)心“O”點(diǎn)的推力，該物體就只能沿力的方向平動(dòng)。

如圖2所示：給物體施加一個(gè)偏離質(zhì)心“ O ”點(diǎn)的作用力，物體就可在F的作用下既平動(dòng)又產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)。其轉(zhuǎn)動(dòng)效果由F對(duì) O 點(diǎn)產(chǎn)生的力矩的大小決定。

由以上分析可知，要使乒乓球旋轉(zhuǎn)起來，則要求給球施加一個(gè)不通過其球心的力的作用。

2擦力與球的轉(zhuǎn)動(dòng)

從前面的分析可知，使球轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)鍵在于作用在球上的力不通過球心，而這個(gè)力從何而來呢?這個(gè)力來源于球拍對(duì)球的摩擦力。如圖3一5所示，在拍擊球的同時(shí)，使拍對(duì)球有相對(duì)運(yùn)動(dòng)就能產(chǎn)生摩擦力。

如圖3，拍擊球的瞬間向上拉動(dòng)球拍，則球受F彈和 摩擦力 f。兩個(gè)力的作用，F(xiàn)禪過球心不產(chǎn)生力矩，球在F彈力作用下向前飛行的同時(shí)，f’與球相切，產(chǎn)生使球逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的效果，這即是乒乓球運(yùn)動(dòng)中的上旋球。

同理，只要在拍擊球瞬間向不同方向拉動(dòng)球拍，就會(huì)使球產(chǎn)生不同方向且與球相切的摩擦力(如圖4、5)。

實(shí)際上在乒乓球運(yùn)動(dòng)中的：切、削、搓、拉、帶、提等技術(shù)動(dòng)作都是指拍與球接觸瞬間使拍與球產(chǎn)生側(cè)向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從而使球受側(cè)向摩擦力作用，而產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)。

3伯努利原理與弧線球

在乒乓球飛行軌跡中，會(huì)出現(xiàn)許多軌跡不在同一豎直平面內(nèi)的弧線球，類似足球中的香蕉球。這些球?yàn)楹螘?huì)出現(xiàn)不同的各種弧線，主要原因是空氣在作怪。要解決這個(gè)問題就必須了解伯努利原理。請(qǐng)看圖6。在兩條自由下垂的白紙條之間吹氣，發(fā)現(xiàn)兩紙條會(huì)相互吸引，根據(jù)伯努利原理可知，流體流速大處壓強(qiáng)小，而流速小處壓強(qiáng)大，這樣兩紙片就受到側(cè)向壓力F 1 和F 2 的作用而吸引。

在乒乓球前進(jìn)過程中，由于球的旋轉(zhuǎn)也會(huì)產(chǎn)生類似情況，如圖7所示，對(duì)下旋球來研究，球上方空氣相對(duì)于球的流速小，而下方空氣相對(duì)于球的流速大，這樣就產(chǎn)生對(duì)球向下的側(cè)向壓力。

使球的飛行軌跡變低，而上旋球則剛好相反。對(duì)側(cè)旋球會(huì)出現(xiàn)側(cè)向壓力，這種側(cè)向壓力的作用使球的飛行方向側(cè)轉(zhuǎn)，類似于足球的香蕉球。(如圖8)軌跡①是不轉(zhuǎn)球的拋物線型軌跡，而軌跡②是強(qiáng)側(cè)旋球的S型軌跡線。

4、動(dòng)量定理與接發(fā)球

乒乓球運(yùn)動(dòng)中，對(duì)付高速、強(qiáng)旋轉(zhuǎn)球是非常困難的，如果對(duì)動(dòng)量定理有較深刻的理解，加上平時(shí)的刻苦訓(xùn)練，對(duì)付起來也會(huì)容易一些。

動(dòng)量定理告訴我們，沖量等于物體動(dòng)量的改變，可用以下公式說明 ： F.t =△(mv)當(dāng)接高速?gòu)?qiáng)旋轉(zhuǎn)球時(shí)，要對(duì)球進(jìn)行減力，必須延長(zhǎng)球與拍間的作用時(shí)間，而延長(zhǎng)作用時(shí)間的方法，可以從選擇球拍上著手，球拍選擇軟質(zhì)的球拍，可延長(zhǎng)作用時(shí)間 ：，從而減小作用力F。

而在球拍選好的情況下要減力，則要求運(yùn)動(dòng)員握拍要松持，這樣也能對(duì)來球起到緩沖作用，從而減小球與拍間的作用，而不致使回球出界。

5、速度、加速度與攻防

乒乓球運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)攻時(shí)，要收到較好的進(jìn)攻效果就必須使球有高速的運(yùn)動(dòng)和較強(qiáng)的旋轉(zhuǎn)。

如何使球產(chǎn)生更大的速度呢?主要是增大拍對(duì)球的打擊力。從而使球產(chǎn)生較大的加速度，在瞬間使球產(chǎn)生一個(gè)較大的速度。

例如，設(shè)乒乓球質(zhì)量為m，拍對(duì)球的打擊力為F，則在這種打擊力作用下產(chǎn)生的加速度為a(即a =F/m)，如果作用時(shí)間為t，則有球速，v = at=Ft/m)可見球速的大小主要取決于拍對(duì)球的作用力。

而在防守時(shí)，則必須首先判斷來球的速度、旋轉(zhuǎn)和落點(diǎn)等，作好應(yīng)對(duì)準(zhǔn)備以爭(zhēng)取反應(yīng)時(shí)間，提高防守能力。

6、物理知識(shí)與球拍的選擇

選擇一適合自己的球拍能更快的提高運(yùn)動(dòng)水平。在運(yùn)動(dòng)中不同的人對(duì)球有不同的打法和不同的理解，技術(shù)動(dòng)作也各不相同。對(duì)快攻型選手，要求爭(zhēng)取時(shí)間使打出的球速度快，具有較大的威脅，這樣就要求選擇能產(chǎn)生強(qiáng)彈力的較硬的球拍。對(duì)削球型選手和以弧線球取勝的選手，主要是使球在運(yùn)行過程中產(chǎn)生高速自轉(zhuǎn)來增強(qiáng)攻擊能力，這時(shí)選擇的球拍要有較大的動(dòng)摩擦因數(shù)，且拍質(zhì)較軟的球拍，讓球可在拍面上產(chǎn)生較長(zhǎng)時(shí)間接觸，使摩擦力對(duì)球的作用時(shí)間能更長(zhǎng)，從而產(chǎn)生更強(qiáng)的旋轉(zhuǎn)。

而對(duì)于初學(xué)者來說，選擇的球拍要求質(zhì)地松軟，且拍面較光滑，這時(shí)就不會(huì)因?yàn)榧夹g(shù)動(dòng)作的不熟練和經(jīng)驗(yàn)不足導(dǎo)致接球失誤。當(dāng)然要選擇好球拍還要對(duì)不同球拍的性能以及能發(fā)揮的作用有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)。

第三篇：拔河比賽中的力學(xué)原理

拔河比賽中的力學(xué)原理

拔河比賽除參加比賽的運(yùn)動(dòng)員多以外，還有更多的啦啦隊(duì)員積極參與，所以，拔河比賽是常見的群眾性體育比賽之一。比賽時(shí)，最終獲勝的原因是什么呢？當(dāng)然是關(guān)注拔河比賽中兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的拉力大小。

多數(shù)人認(rèn)為：最終獲勝的隊(duì)拉力比較大。

學(xué)習(xí)物理過程中常說：不論哪一隊(duì)贏，兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的拉力是相等的。

物理學(xué)中能聽到這樣的理論分析：因?yàn)檫@兩個(gè)力是相互作用力，所以，拉力大小總是相等的。

物理學(xué)中會(huì)看到這樣的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)（1）：在繩子中間接入彈簧測(cè)力計(jì)甲、乙，模擬甲、乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行拔河比賽時(shí)，甲、乙彈簧測(cè)力計(jì)示數(shù)相等，所以，兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的拉力是相等的。

正確的答案是??？

下面，對(duì)拔河比賽作一剖析，希望得到同行們指教。

1．受力分析

對(duì)拔河比賽中兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員和繩子進(jìn)行受力分析。

1．1 建立理想模型

把拔河比賽中兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員和繩子看成理想的模型，在水平方向上受到的力如圖1所示，甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員受到二個(gè)力f甲、F甲’，繩子受到二個(gè)力F甲、F乙，乙隊(duì)運(yùn)動(dòng)員受到二個(gè)力F乙’、f乙。

1．2 判定相互作用力

F甲’與F甲是相互作用力，F(xiàn)乙’與F乙是相互作用力，根據(jù)牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律可知，相互作用力的大小相等，即：F甲’=F甲、F乙’=F乙。但是，繩子所受到的二個(gè)力F甲、F乙并不是相互作用力，所以，說“這兩個(gè)力是相互作用力”是錯(cuò)誤的。

1．3 F甲、F乙的性質(zhì)

甲、乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行拔河比賽時(shí)，甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員拉力F甲施力物體是甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員，受力物體是繩子；乙隊(duì)運(yùn)動(dòng)員拉力F乙施力物體是乙隊(duì)運(yùn)動(dòng)員，受力的物體是繩子。從施力物體與受力物體可以看出F甲、F乙是可以不依賴于對(duì)方而獨(dú)立存在，且F甲與F乙受力物體都是繩子，所以，F(xiàn)甲與F乙并不是相互作用力。因此，力F甲與F乙的大小不一定相等。（有

關(guān)人員意識(shí)到F甲、F乙不是相互作用力時(shí)，就用附加“繩子質(zhì)量不計(jì)”這樣條件，是有違物理思維的。）

2．分析拉力大小

繩子受到二個(gè)力F甲、F乙的大小決定著繩子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2．1 F甲=F乙

當(dāng)F甲=F乙時(shí)，繩子受到的力是平衡力，可以用牛頓第一運(yùn)動(dòng)定律解釋。

（1）如果繩子原來是靜止的，繩子將保持靜止?fàn)顟B(tài)。

（2）如果繩子原來是運(yùn)動(dòng)的，繩子將保持原來運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，繼續(xù)沿原先方向運(yùn)動(dòng)?？梢姡魏颖荣愡^程讓繩子向運(yùn)動(dòng)員自己一方運(yùn)動(dòng)是非常重要的，一當(dāng)繩子向運(yùn)動(dòng)員自己這個(gè)方向運(yùn)動(dòng)了，這時(shí)即使拉力與對(duì)方拉力相等，也是贏。

2．2 F甲>F乙

當(dāng)F甲>F乙時(shí)，繩子受到的力不是平衡力，要用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律解釋。

（1）如果繩子原來是靜止的，繩子將開始向甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員方向做加速運(yùn)動(dòng)，若能持續(xù)一段時(shí)間，甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員就會(huì)取得勝利。（剛開始繩子是處于靜止?fàn)顟B(tài)的，繩子會(huì)向哪一方運(yùn)動(dòng)，一定是該方運(yùn)動(dòng)員對(duì)繩子的拉力大于另一方運(yùn)動(dòng)員對(duì)繩子的拉力）

（2）如果繩子原來是向甲隊(duì)方向運(yùn)動(dòng)的，繩子將向甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員方向做加速運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)向甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員方向運(yùn)動(dòng)，甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員取勝就近在眼前了。

（3）如果繩子原來是向乙隊(duì)方向運(yùn)動(dòng)的（之前乙隊(duì)運(yùn)動(dòng)員對(duì)繩子的拉力一定大于甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員對(duì)繩子的拉力），繩子將開始做減速運(yùn)動(dòng)，直至速度為零，若乙隊(duì)還未贏，繩子就開始向甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員方向做加速運(yùn)動(dòng)，若能維持足夠長(zhǎng)時(shí)間，甲隊(duì)運(yùn)動(dòng)員就會(huì)取得勝利。

2．3 F甲

當(dāng)F甲

3．幾點(diǎn)說明

理論分析、實(shí)驗(yàn)探究、假設(shè)條件等等存在哪些問題？拔河比賽需要注意哪些事項(xiàng)？

3．1 相互作用力大小為何不相等

“二個(gè)力是相互作用力，它們的大小一定相等”沒有錯(cuò)。但是，拔河比賽過程，繩子所受到的二個(gè)力F甲、F乙并不是相互作用力，所以，說“這兩個(gè)力是相互作用力”是錯(cuò)誤的，前提已經(jīng)錯(cuò)了，再說“這兩個(gè)力是相互作用力，大小一定相等”當(dāng)然也是錯(cuò)誤的。若繩子所受到的二個(gè)力F甲、F乙相等的話，也只能說因?yàn)檫@二個(gè)力是平衡力，所以大小相等，絕對(duì)不會(huì)因?yàn)槔K子質(zhì)量不考慮時(shí)，F(xiàn)甲、F乙變成了相互作用力。

3．2 彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為何相等

在繩子中間接入彈簧測(cè)力計(jì)模擬甲、乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行作拔河比賽，如圖2所示，會(huì)觀察到不論哪一隊(duì)贏，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)都相等，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為何都相等呢？因?yàn)?，此時(shí)甲、乙彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)到的力是一對(duì)相互作用力，并不是甲、乙兩隊(duì)運(yùn)動(dòng)員對(duì)繩子的拉力F甲、F乙，所以，會(huì)觀察到不論哪一隊(duì)贏，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)都相等（這樣分析只適用于靜止情況）。

3．3 繩子質(zhì)量為何不能忽略不計(jì)

若繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，即質(zhì)量為零，當(dāng)F甲大于F乙時(shí)，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律得出，繩子的加速度無窮大，這是不可能的。那么，可否由這個(gè)“不可能”得出“拉力大小不可能不相等，也就是拉力大小總是相等”，答案是否定的，正確的結(jié)論應(yīng)該是這種情況繩子的質(zhì)量再小也不能不計(jì)，有的題目附加說明不考慮繩子質(zhì)量的假設(shè)是不成立的，所以，物理學(xué)建立模型時(shí)要考慮建立符合實(shí)際的理想模型。

3．4 拔河比賽需要注意哪些事項(xiàng)

拔河比賽時(shí)，可以選體重大的運(yùn)動(dòng)員，靠增大對(duì)地面的壓力而增大摩擦、運(yùn)動(dòng)員要穿和地面之間摩擦較大的鞋，靠改變接觸面來增大摩擦，防止對(duì)方把人直接拉過去；運(yùn)動(dòng)員身體要適當(dāng)后傾、兩腿彎曲，防止人被對(duì)方拉倒；利用啦啦隊(duì)保證運(yùn)動(dòng)員瞬間產(chǎn)生最大的拉力，爭(zhēng)取讓繩子向自己這個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，得到主動(dòng)權(quán)；選擇“肌肉會(huì)產(chǎn)生大力氣的運(yùn)動(dòng)員”絕對(duì)重要。

綜上所述，認(rèn)真剖析“拔河比賽”，對(duì)避免混淆平衡力、相互作用力的概念，避免混淆靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)的概念很有幫助，對(duì)正確理解牛頓三大運(yùn)動(dòng)定律也是非常有益。

第四篇：建筑力學(xué)教案

【課程】1靜力學(xué)基本概念

【教學(xué)要求】

掌握力的概念、合成與分解；

掌握靜力學(xué)定理。

【重

點(diǎn)】

掌握靜力學(xué)定理。【難

點(diǎn)】

力的合成與分解?！臼谡n方式】

課堂講解 【教學(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)4學(xué)時(shí)

緒

論

一、《建筑力學(xué)》的研究對(duì)象

在建筑物中承受并傳遞荷載而起骨架作用的部分叫做建筑結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)稱結(jié)構(gòu)。組成結(jié)構(gòu)的單個(gè)物體叫構(gòu)件。構(gòu)件一般分三類，即桿件、薄壁構(gòu)件和實(shí)體構(gòu)件。在結(jié)構(gòu)中應(yīng)用較多的是桿件。

對(duì)土建類專業(yè)來講，《建筑力學(xué)》的主要研究對(duì)象就是桿件和桿件結(jié)構(gòu)。

二、《建筑力學(xué)》的主要任務(wù) 《建筑力學(xué)》的任務(wù)就是為解決安全和經(jīng)濟(jì)這一矛盾提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。

三、《建筑力學(xué)》的內(nèi)容簡(jiǎn)介

第一部分討論力系的簡(jiǎn)化、平衡及對(duì)構(gòu)件（或結(jié)構(gòu)）進(jìn)行受力分析的基本理論和方法；第二部分討論構(gòu)件受力后發(fā)生變形時(shí)的承載力問題。為設(shè)計(jì)即安全又經(jīng)濟(jì)的結(jié)構(gòu)構(gòu)件選擇適當(dāng)?shù)牟牧?、截面形狀和尺寸，使我們掌握?gòu)件承載力的計(jì)算。第三部分討論桿件體系的組成規(guī)律及其內(nèi)力和位移的問題。

四、《建筑力學(xué)》的學(xué)習(xí)方法

《建筑力學(xué)》是土建類專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，學(xué)習(xí)時(shí)要注意理解它的基本原理，掌握它的分析問題的方法和解題思路，切忌死記硬背；還要多做練習(xí)，不做一定數(shù)量的習(xí)題是很難掌握《建筑力學(xué)》的概念、原理和分析方法的；另外對(duì)做題中出現(xiàn)的錯(cuò)誤應(yīng)認(rèn)真分析，找出原因，及時(shí)糾正。

引

言

同時(shí)作用在物體上的一群力，稱為力系。對(duì)物體作用效果相同的力系稱為等效力系。

物體在力系作用下，相對(duì)于地球靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)，稱為平衡。它是物體運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式。

建筑力學(xué)中把運(yùn)動(dòng)狀態(tài)沒有變化的特殊情況稱為平衡狀態(tài)。滿足平衡狀態(tài)的力系稱為平衡力系。

使物體在力系作用下處于平衡力系時(shí)應(yīng)滿足的條件，稱為力系的平衡條件。

第一章

力的基本性質(zhì)與物體的受力分析

第一節(jié)

基本概念

一、剛體的概念

在外力作用下，幾何形狀、尺寸的變化可忽略不計(jì)的物體，稱為剛體。

二、力的概念

力是物體間相互的機(jī)械作用，這種相互作用會(huì)使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化（外效應(yīng)）或使物體發(fā)生變形（內(nèi)效應(yīng)）。

實(shí)踐證明：力對(duì)物體的作用效果取決于力的三要素。

1.力的大小

力的大小表明物體間相互作用的強(qiáng)弱程度。2.力的方向

力不但有大小，而且還有方向。

3.力的作用點(diǎn)

當(dāng)作用范圍與物體相比很小時(shí)，可以近似地看作是一個(gè)點(diǎn)。在描述一個(gè)力時(shí)，必須全面表明這個(gè)力的三要素。力是矢量。

用字母表示力矢量時(shí)，用黑體字F，普通體F只表示力矢量的大小。

第二節(jié)

靜力學(xué)公理

一、力的平行四邊形公理

作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力，可以合成為一個(gè)合力，合力的作用點(diǎn)也在該點(diǎn)，合力的大小和方向，由這兩個(gè)力為邊構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線確定。

二、二力平衡公理

作用在同一剛體上的兩個(gè)力，使剛體處于平衡的必要和充分條件是：這兩個(gè)力大小相等，方向相反，且在同一直線上。

三、加減平衡力系公理

在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效果。也就是說，如果兩個(gè)力系只相差一個(gè)或幾個(gè)平衡力系，則它們對(duì)剛體的作用是相同的，可以等效代換。

推論1

力的可傳性原理

作用在剛體上某點(diǎn)的力，可以沿著它的作用線移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的作用效果。

推論2

三力平衡匯交定理

作用于同一剛體上共面而不平行的三個(gè)力使剛體平衡時(shí)，則這

三個(gè)力的作用線必匯交于一點(diǎn)。

四、作用與反作用公理

兩物體間的作用力與反作用力，總是大小相等、方向相反，沿同一直線并分別作用于兩個(gè)物體上。

必須注意：不能把作用力與反作用力公理與二力平衡公理相混淆。

第三節(jié)

工程中常見的約束與約束反力

一、約束與約束反力的概念

對(duì)非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體稱為約束體，簡(jiǎn)稱約束。阻礙物體運(yùn)動(dòng)的力稱為約束反力，簡(jiǎn)稱反力。

所以，約束反力的方向必與該約束所能阻礙物體運(yùn)動(dòng)的方向相反。由此可以確定約束反力的方向或作用線的位置。

物體受到的力一般可以分為主動(dòng)力、約束反力。一般主動(dòng)力是已知的，而約束反力是未知的。

二、幾種常見的約束及其反力 1.柔體約束

FT

2.光滑接觸面約束

FN 3.圓柱鉸鏈約束

4.鏈桿約束

畫出簡(jiǎn)圖 分別舉例

三、支座及支座反力

工程中將結(jié)構(gòu)或構(gòu)件支承在基礎(chǔ)或另一靜止構(gòu)件上的裝置稱為支座。建筑工程中常見的三種支座：固定鉸支座（鉸鏈支座）、可動(dòng)鉸支座和固定端支座。

1.固定鉸支座（鉸鏈支座）2.可動(dòng)鉸支座

3.固定端支座

畫出簡(jiǎn)圖 分別舉例

作

業(yè)：思考題5、6

復(fù)習(xí)

第四節(jié) 物體的受力分析和受力圖

物體的受力分析。

物體的受力圖。受力圖是進(jìn)行力學(xué)計(jì)算的依據(jù)，也是解決力學(xué)問題的關(guān)鍵，必須認(rèn)真對(duì)待，熟練掌握。

一、單個(gè)物體的受力圖 例14、5

受力圖注意以下幾點(diǎn)： 1.必須明確研究對(duì)象。

2.正確確定研究對(duì)象受力的數(shù)目。3.注意約束反力與約束類型相對(duì)應(yīng)。4.注意作用力與反作用力之間的關(guān)系。作

業(yè)：習(xí)題1、2、3

復(fù)習(xí)

【課程】2平面匯交力系

【教學(xué)要求】

掌握力在坐標(biāo)軸上的投影及合力投影定理； 掌握平面匯交力系、平面一般力系的平衡條件； 【重

點(diǎn)】

掌握平面匯交力系、平面一般力系的平衡條件； 掌握物體系統(tǒng)的平衡條件?！倦y

點(diǎn)】

平面匯交力系的解法

【授課方式】

課堂講解加練習(xí)【教學(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)4學(xué)時(shí)

第二章

平面匯交力系

靜力學(xué)是研究力系的合成和平衡問題。

平面匯交力系

平面力系

平面平行力系

力系

平面一般力系

空間力系

本章將用幾何法、解析法來研究平面匯交力系的合成和平衡問題。

第一節(jié)平面匯交力系合成與平衡的幾何法

一、平面匯交力系合成的幾何法 1.兩個(gè)匯交力的合成。

平行四邊形法則

三角形法則 2.任意個(gè)匯交力的合成

結(jié)論：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用線通過原力系各力的匯交點(diǎn)。

例22 例24

2.合力投影定理 合力投影定理：合力在任一坐標(biāo)軸上的投影等于各分力在同一坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和。3.用解析法求平面匯交力系的合力

式中α為合力FR與x軸所夾的銳角。合力的作用線通過力系的匯交點(diǎn)O，合力FR的指向，由FRX和FRY(即ΣFX、ΣFY)的正負(fù)號(hào)來確定。

例2-5

二、平面匯交力系平衡的解析條件

由上節(jié)可知，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力等于零。根據(jù)式（2-5）的第一式可知：

上式中（ΣFX）2與（ΣFY）2恒為正數(shù)。若使FR =0，必須同時(shí)滿足

ΣFX=0 ΣFY=0平面匯交力系平衡的必要和充分的解析條件是：力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。

上式稱為平面匯交力系的平衡方程。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量。這一點(diǎn)與幾何法相一致。

例2-6

例2-7

例2-8

通過以上各例的分析討論，現(xiàn)將解析法求解平面匯交力系平衡問題時(shí)的步驟歸納如下： 1.選取研究對(duì)象。

2.畫出研究對(duì)象的受力圖。當(dāng)約束反力的指向未定時(shí)，可先假設(shè)其指向。3.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。最好使坐標(biāo)軸與某一個(gè)未知力垂直，以便簡(jiǎn)化計(jì)算。

4.建立平衡方程求解未知力，盡量作到一個(gè)方程解一個(gè)未知量，避免解聯(lián)立方程。列方程時(shí)注意各力的投影的正負(fù)號(hào)。求出的未知力帶負(fù)號(hào)時(shí)，表示該力的實(shí)際指向與假設(shè)指向相反。

作

業(yè)：題2----

4、5 【課程】3力矩和平面力偶系

【教學(xué)要求】

掌握力矩的概念及合力矩定理；

掌握力偶的性質(zhì)；掌握物體系統(tǒng)的平衡條件?！局?/p>

點(diǎn)】

掌握力偶系的平衡條件； 掌握物體系統(tǒng)的平衡條件?！倦y

點(diǎn)】

力偶性質(zhì)的利用，求物體系統(tǒng)的平衡時(shí)如何選取研究對(duì)象。【授課方式】

課堂講解加練習(xí)【教學(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)4學(xué)時(shí)

第三章

力對(duì)點(diǎn)的矩與平面力偶系 第一節(jié)

力對(duì)點(diǎn)的矩的概念及計(jì)算

一、力對(duì)點(diǎn)的矩

力F與距離d兩者的乘積

來量度力F對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。

轉(zhuǎn)動(dòng)中心O稱為力矩中心，簡(jiǎn)稱矩心。矩心到力作用線的垂直距離d，稱為力臂。

改變力F繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向，作用效果也不同。力F對(duì)物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，由下列因素決定：（1）力的大小與力臂的乘積。

（2）力使物體繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。

MO(F)= ±通常規(guī)定：逆為正，反之為負(fù)。在平面問題中，力矩為代數(shù)量。

力矩的單位：（）或（）。

MO(F)=±2△AOB 力矩在下列兩種情況下等于零：（1）力等于零；

（2）力的作用線通過矩心，即力臂等于零。

二、合力矩定理

平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，等于力系中各分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。這就是平面力系的合力矩定理。用公式表示為

簡(jiǎn)單證明： 例3-1 例3-2 課堂練習(xí)（補(bǔ)充）作

業(yè)：題3----

1、2 【課程】4平面一般力系

【教學(xué)要求】

掌握平面一般力系的平衡條件； 掌握物體系統(tǒng)的平衡條件。【重

點(diǎn)】

掌握平面一般力系的平衡條件； 掌握物體系統(tǒng)的平衡條件?！倦y

點(diǎn)】

求物體系統(tǒng)的平衡時(shí)如何選取研究對(duì)象?！臼谡n方式】

課堂講解加練習(xí)【教學(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)6學(xué)時(shí)

第四章

平面一般力系

平面一般力系是指各力的作用線在同一平面內(nèi)但不全交于一點(diǎn)，也不全互相平行的力系。舉例。

本章將討論平面一般力系的簡(jiǎn)化與平衡問題，并以平衡問題為主。

第一節(jié)

平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化

一、力的平移定理

由此可見，作用于物體上某點(diǎn)的力可以平移到此物體上的任一點(diǎn)，但必須附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力對(duì)新作用點(diǎn)的矩，這就是力的平移定理。此定理只適用于剛體。

應(yīng)用力的平移定理時(shí)，須注意下列兩點(diǎn)：

（一）平移力F＇的大小與作用點(diǎn)位置無關(guān)。

（二）力的平移定理說明作用于物體上某點(diǎn)的一個(gè)力可以和作用于另外一點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶等效，反過來也可將同平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶化為一個(gè)合力

二、簡(jiǎn)化方法和結(jié)果 主矢

主矩

Mo′=M1+M2+?+Mn

Mo′=Mo(F1)+Mo（F2）+?+Mo（Fn）=∑Mo（F）

綜上所述可知：平面一般力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果，是一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力作用在簡(jiǎn)化中心，它的矢量稱為原力系的主矢，并等于這個(gè)力系中各力的矢量和；這個(gè)力偶的力偶矩稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，并等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和。

主矢描述原力系對(duì)物體的平移作用；

主矩描述原力系對(duì)物體繞簡(jiǎn)化中心的轉(zhuǎn)動(dòng)作用，二者的作用總和才能代表原力系對(duì)物體的作用。

三、平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論 1.若FR′=0，MO′≠0

一個(gè)力偶 2.若FR′≠0，Mo′=0

一個(gè)力

3.若FR′≠0，Mo′≠0

可繼續(xù)簡(jiǎn)化：一個(gè)力 4.若FR′=0，Mo′=0

平衡（下節(jié)討論）

四、平面力系的合力矩定理

Mo（FR）=∑Mo（F）

例4-1 例4-2 沿直線平行同向分布的線荷載，荷載合力的大小等于該荷載圖的面積，方向與分布荷載同向，其作用線通過該荷載圖的形心。

作

業(yè)：題4----1、2、3、4

第二節(jié)平面一般力系的平衡方程及其應(yīng)用

一、平面一般力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系平衡方程的基本形式

∑FX=0 ∑FY=0

∑Mo（F）=0

二、平衡方程的其它形式 1.二力矩形式

∑FX=0 ∑MA(F)=0 ∑MB(F)=0 式中x軸不可與A、B兩點(diǎn)的連線垂直。2.三力矩形式

∑MA（F）= 0 ∑MB(F)= 0 ∑MC（F）= 0 式中A、B、C三點(diǎn)不共線。

三、平衡方程的應(yīng)用

應(yīng)用平面一般力系的平衡方程，主要是求解結(jié)構(gòu)的約束反力，還可求解主動(dòng)力之間的關(guān)系和物體的平衡位置等問題。其解題步驟如下：

1.確定研究對(duì)象。

2.分析受力并畫出受力圖。3.列平衡方程求解未知量。例4--3 4 5 6 7 作

業(yè)：題4----5、6、8、10、12、第三節(jié)

平面平行力系的平衡方程

平面力系中，各力的作用線互相平行時(shí)，稱為平面平行力系。平面平行力系的平衡方程為

∑FY = 0

∑MO（F）= 0平面平行力系平衡方程的二力矩式

∑MA（F）=0 ∑MB（F）=0 其中A、B兩點(diǎn)的連線不與各力的作用線平行。例4-8 例4-9 例4-10 作

業(yè)：題4----

16、17

第四節(jié)

物體系統(tǒng)的平衡問題

在解決物體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，既可選整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，也可選其中某個(gè)物體為研究對(duì)象，然后列出相應(yīng)的平衡方程，以解出所需的未知量。

研究物體系統(tǒng)的平衡問題，不僅要求解支座反力，而且還需要計(jì)算系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用力。

應(yīng)當(dāng)注意：我們研究物體系統(tǒng)平衡問題時(shí)，要尋求解題的最佳方法。即以最少的計(jì)算過程，迅速而準(zhǔn)確地求出未知力。其有效方法就是盡量避免解聯(lián)立方程。一般情況下，通過合理地選取研究對(duì)象，以及恰當(dāng)?shù)亓衅胶夥匠碳捌湫问?，就能取得事半功倍的效果。而合理地選取研究對(duì)象，一般有兩種方法：

1.?！跋日w、后局部”

2.“先局部、后整體”或“先局部、后另一局部”

在整個(gè)計(jì)算過程中，當(dāng)畫整體、部分或單個(gè)物體的受力圖時(shí)還應(yīng)注意：①同一約束反力的方向和字母標(biāo)記必須前后一致；②內(nèi)部約束拆開后相互作用的力應(yīng)符合作用與反作用規(guī)律；③不要把某物體上的力移到另一個(gè)物體上；④正確判斷二力桿，以簡(jiǎn)化計(jì)算。

例4-11 例4-12 例4-13 作

業(yè)：題4----

18、19

第五節(jié)

考慮摩擦?xí)r的平衡問題（簡(jiǎn)介）

一、滑動(dòng)摩擦 1.靜滑動(dòng)摩擦力 2.最大靜滑動(dòng)摩擦力

0≤F≤Fmax

Fmax=f FN

3.動(dòng)滑動(dòng)摩擦力

F＇=f＇FN

二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象

tanθm=f 即摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)。

1.當(dāng)θ＞θm。此時(shí)，無論FR′值多么小，全反力FR都不可能與FR′共線，因而物體不可能平衡而產(chǎn)生滑動(dòng)。

2.當(dāng)θ＜θm。此時(shí)，無論FR′多么大，只要支承面不被壓壞，全反力FR總可以與FR′共線，物體總能保持靜止?fàn)顟B(tài)。

這種只須主動(dòng)力的合力作用線在摩擦角的范圍內(nèi)，物體依靠摩擦總能靜止而與主動(dòng)力大小無關(guān)的現(xiàn)象稱為自鎖。

3.當(dāng)θ=θm，則物體處于臨界平衡狀態(tài)。

三、考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題 例4-14 例4-15 【課程】5材料力學(xué)的基本概念

【教學(xué)要求】

掌握變形固體的基本概念和變形固體的基本假設(shè)；

了解桿件變形的4種基本形式?！局?/p>

點(diǎn)】

掌握變形固體的基本概念和變形固體的基本假設(shè)。

【難

點(diǎn)】

變形固體的基本假設(shè) 【授課方式】

課堂講解 【教學(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)2學(xué)時(shí)

第五章

材料力學(xué)基本概念 第一節(jié)

變形固體及其基本假設(shè)

一、變形固體

在外力作用下能產(chǎn)生一定變形的固體稱為變形固體。外力解除后，變形也隨之消失的彈性變形。外力解除后，變形并不能全部消失的塑性變形。在彈性范圍內(nèi)，構(gòu)件的變形量與外力的情況有關(guān)。當(dāng)變形量與構(gòu)件本身尺寸相比特別微小時(shí)稱為小變形。

二、基本假設(shè) 三點(diǎn)基本假設(shè)： ⒈ 連續(xù)性假設(shè)。⒉ 均勻性假設(shè) ⒊ 各向同性假設(shè)

總之，本篇所研究的構(gòu)件是均勻連續(xù)、各向同性，在小變形范圍內(nèi)的理想彈性體。

第二節(jié) 桿件變形的基本形式

一、桿件的幾何特征及分類 橫截面總是與軸線相垂直。

按照桿件的軸線情況，將桿分為兩類：直桿、曲桿。等直桿是建筑力學(xué)的主要研究對(duì)象。

二、桿件變形的基本形式 基本形式有下列四種： ⒈ 軸向拉伸或軸向壓縮 ⒉ 剪切 ⒊ 扭轉(zhuǎn) ⒋平面彎曲

作

業(yè)：思考題6----1、3、4、5 【課程】6軸向拉伸和壓縮

【教學(xué)要求】

了解軸向拉壓變形的概念；

掌握軸向拉壓桿與內(nèi)力的計(jì)算方法；

會(huì)繪制軸力圖。

【重

點(diǎn)】繪制軸力圖圖。【難

點(diǎn)】 正負(fù)號(hào)的判定。【授課方式】

通過模型課堂講解 【教學(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)8學(xué)時(shí)

第六章

軸向拉伸和壓縮 第一節(jié)

軸向拉伸和壓縮的概念

軸向拉伸或壓縮變形是桿件基本變形形式之一，它們的共同特點(diǎn)：桿軸線縱向伸長(zhǎng)或縮短。這種變形形式稱為軸向拉伸或壓縮。

第二節(jié) 軸向拉（壓）桿的內(nèi)力

一、內(nèi)力的概念

桿件相連兩部分之間相互作用力產(chǎn)生的改變量稱為內(nèi)力。

內(nèi)力與桿件的強(qiáng)度、剛度等有著密切的關(guān)系。討論桿件強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題，必須先求出桿件的內(nèi)力。

二、求內(nèi)力的基本方法——截面法 截面法是求桿件內(nèi)力的基本方法。計(jì)算內(nèi)力的步驟如下：

⒈ 截開：用假想的截面，在要求內(nèi)力的位置處將桿件截開，把桿件分為兩部分。⒉ 代替：取截開后的任一部分為研究對(duì)象，畫受力圖。畫受力圖時(shí)，在截開的截面處用該截面上的內(nèi)力代替另一部分對(duì)研究部分的作用。

⒊平衡：被截開后的任一部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)。

三、軸向拉（壓）桿的內(nèi)力——軸力

與桿件軸線相重合的內(nèi)力稱為軸力。并用符號(hào)FN表示。規(guī)定：拉力為正；壓力為負(fù)，軸力的常用單位是牛頓或千牛頓，記為N或kN。例7-1

說明：

（1）先假設(shè)軸力為拉力。

（2）可取截面的任一側(cè)研究。為了簡(jiǎn)化，取外力較少的一側(cè)。例7-2

四、軸力圖

表明軸力隨橫截面位置變化規(guī)律的圖形稱為軸力圖。從軸力圖上可以很直觀地看出最大軸力所在位置及數(shù)值。習(xí)慣：正上負(fù)下。

例7-3

作

業(yè)：題7----1、2、3

第四節(jié) 軸向拉（壓）桿的變形及虎克定律

軸拉壓沿軸線方向（縱向）的伸長(zhǎng)或縮短變形，這種變形稱之為縱向變形。與桿軸線相垂直方向的變形稱為橫向變形。

一、縱向、橫向變形 桿的縱向變形量為

l=l1－l 桿在軸向拉伸時(shí)縱向變形為正值，壓縮時(shí)為負(fù)。其單位為m或mm 桿的橫向變形量為

a=a1－a 桿在軸向拉伸時(shí)的橫向變形為負(fù)值，壓縮時(shí)為正。

二、泊松比

當(dāng)軸向拉（壓）桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，橫向線應(yīng)變?chǔ)拧渑c縱向線應(yīng)變?chǔ)诺谋戎档慕^對(duì)值為一常數(shù)，通常將這一常數(shù)稱為泊松比或橫向變形系數(shù)。用μ表示。

三、胡克定律

這一關(guān)系式稱式（7-4）為胡克定律。

EA反映了桿件抵抗拉（壓）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。

上式是虎克定律的另一表達(dá)形式。它表明：在彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比。例7-6

例7-7

例7-8

作

業(yè)：題4----

7、8

第五節(jié) 材料在拉伸和壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

材料的力學(xué)性質(zhì)是指：材料在外力作用下所表現(xiàn)出的強(qiáng)度和變形方面的性能。材料的力學(xué)性質(zhì)都要通過實(shí)驗(yàn)來確定。

一、低碳鋼的力學(xué)性質(zhì)

⒈ 低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì) ⑴ 拉伸圖和應(yīng)力——應(yīng)變圖 ⑵ 變形發(fā)展的四個(gè)階段 1）彈性階段 2）屈服階段

屈服階段內(nèi)最低對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值稱為屈服極限，用符號(hào)ζs。3）強(qiáng)化階段

最高點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為強(qiáng)度極限，用符號(hào)ζb。冷加工

4）頸縮階段

⑶ 延伸率和截面收縮率

1）延伸率

工程中常按延伸率的大小將材料分為兩類： δ≥5%的材料為塑性材料。δ＜5%的材料為脆性材料。

2）截面收縮率

⒉ 低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

二、鑄鐵的力學(xué)性質(zhì) ⒈ 拉伸性質(zhì) ⒉ 壓縮性質(zhì)

三、其它材料的力學(xué)性質(zhì)

塑性材料，在強(qiáng)度方面表現(xiàn)為：拉伸和壓縮時(shí)的彈性極限、屈服極限基本相同，應(yīng)力超過彈性極限后有屈服現(xiàn)象；在變形方面表現(xiàn)為：破壞前有明顯預(yù)兆，延伸率和截面收縮率都較大等。

脆性材料，在強(qiáng)度方面表現(xiàn)為：壓縮強(qiáng)度大于拉伸強(qiáng)度；在變形方面表現(xiàn)為：破壞是突然的，延伸率較小等。

總的來說，塑性材料的抗拉、抗壓能力都較好，既能用于受拉構(gòu)件又能用于受壓構(gòu)件；脆性材料的抗壓能力比抗拉能力好，一般只用于受壓構(gòu)件。但在實(shí)際工程中選用材料時(shí)，不僅要從材料本身的力學(xué)性質(zhì)方面考慮，同時(shí)還要考慮到經(jīng)濟(jì)的原則。

需特別指出：影響材料力學(xué)性質(zhì)的因素是多方面的，上述關(guān)于材料的一些性質(zhì)是在常溫、靜荷載條件下得到的。若環(huán)境因素發(fā)生變化（如溫度不是常溫，或受力狀態(tài)改變），則材料的性質(zhì)也可能隨之而發(fā)生改變。

作

業(yè)：題4----

9、10

第六節(jié) 許用應(yīng)力、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算

一、許用應(yīng)力與安全系數(shù) [ζ]稱為許用正應(yīng)力。

許用應(yīng)力與極限應(yīng)力的關(guān)系可寫為：

塑性材料：

脆性材料：

式中：nS與nb都為大于1的系數(shù)，稱為安全系數(shù)。塑性材料

nS取1.4～1.7 脆性材料

nb取2.5～3

二、軸向拉（壓）桿的強(qiáng)度計(jì)算 ⒈ 強(qiáng)度條件

為了保證軸向拉（壓）桿在承受外力作用時(shí)能安全正常地使用，不發(fā)生破壞，必須使桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力，即

ζmax≤[ζ]

≤[ζ] 式中ζmax是桿件的最大工作應(yīng)力。⒉ 強(qiáng)度條件在工程中的應(yīng)用

根據(jù)強(qiáng)度條件，可以解決實(shí)際工程中的三類問題。⑴ 強(qiáng)度校核 ⑵ 設(shè)計(jì)截面

⑶ 計(jì)算許用荷載

FN≤A[ζ] 例7-9

例7-10

例7-11

例7-12

第七節(jié)

應(yīng)力集中的概念

一、應(yīng)力集中的概念

因桿件截面尺寸的突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。

二、應(yīng)力集中對(duì)桿件強(qiáng)度的影響

塑性材料在靜荷載作用下，應(yīng)力集中對(duì)強(qiáng)度的影響較小。對(duì)于脆性材料，應(yīng)力集中嚴(yán)重降低了脆性材料桿件的強(qiáng)度。作

業(yè)：題4----12、13、14、15、18

第六節(jié) 許用應(yīng)力、安全系數(shù)和強(qiáng)度計(jì)算

一、簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)上節(jié)： ⒈ 強(qiáng)度條件

ζmax≤[ζ]

≤[ζ] 三類問題 ⑴ 強(qiáng)度校核 ⑵ 設(shè)計(jì)截面

⑶ 計(jì)算許用荷載

FN≤A[ζ]

二、作業(yè)選講

【課程】7剪切和扭轉(zhuǎn)

【教學(xué)要求】

了解剪切和扭轉(zhuǎn)的概念；

掌握剪切和扭轉(zhuǎn)的計(jì)算方法； 【重

點(diǎn)】剪切和扭轉(zhuǎn)的計(jì)算 【難

點(diǎn)】剪切和扭轉(zhuǎn)的計(jì)算 【授課方式】 通過模型課堂講解 【教學(xué)時(shí)數(shù)】 共計(jì)8學(xué)時(shí)

第七章

剪切與擠壓、扭轉(zhuǎn)

第一節(jié)

剪切與擠壓的概念

一、剪切的概念

二、擠壓的概念（圖示說明）

第二節(jié)

剪切與擠壓的實(shí)用計(jì)算

一、剪切的實(shí)用計(jì)算

假定剪切面上的剪應(yīng)力均勻分布

說明該公式各字母代表的意義

剪切強(qiáng)度條件

≤[ ]

二、擠壓的實(shí)用計(jì)算

假定擠壓面上的擠壓應(yīng)力均勻分布

強(qiáng)調(diào)為擠壓面的計(jì)算面積

擠壓強(qiáng)度條件

≤[] 例題

例7—1 練習(xí)

確定一些連接件的剪切面和擠壓面 作業(yè)

習(xí)題1改為確定剪切面

習(xí)題2改為分析鉚釘受力、表示剪切面和擠壓面

第三節(jié) 扭

轉(zhuǎn)

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 一、扭轉(zhuǎn)的概念

受力特點(diǎn)和變形特點(diǎn)（圖示說明）工程實(shí)例：方向盤傳動(dòng)軸、雨蓬梁等。工程中把受扭的圓截面桿件稱為圓軸。二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力——扭矩

用截面法顯示并確定內(nèi)力——扭矩 扭矩的正、負(fù)號(hào)規(guī)定

三、畫扭矩圖

舉例說明

四、練習(xí)畫扭矩圖

第四節(jié)

剪應(yīng)力互等定理和剪切虎克定律 1.剪應(yīng)力互等定理

η=

在互相垂直的兩個(gè)平面上的切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且大小相等，方向或共同指向兩平面的交線，或共同背離兩平面的交線，這種關(guān)系稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理是材料力學(xué)中的一個(gè)重要定理。

2.剪切虎克定律

在上述單元體的上、下、左、右四個(gè)側(cè)面上，只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力，單元體的這種受力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。在切應(yīng)力η和

作用下，單元體的兩個(gè)側(cè)面將發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，使原來的長(zhǎng)方六面微體變成平行六面微體，單元體的直角發(fā)生微小的改變，這個(gè)直角的改變量γ稱為切應(yīng)變，如圖所示。從圖可以看出，γ角就是縱向線變形后的傾角，其單位是rad。

自己練習(xí)畫切應(yīng)力互等定理

第五節(jié)

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力

一、應(yīng)力公式

1、說明公式中各字母代表的意義

2、記憶圓截面及空心圓截面的極慣性矩

3、圓截面扭轉(zhuǎn)軸的剪應(yīng)力沿直徑的分布規(guī)律

二、最大剪應(yīng)力

令

則有

——抗扭截面系數(shù)。單位為m3或mm3 對(duì)于實(shí)心圓截面

對(duì)于空心圓截面

例1

圖所示圓軸。AB段直徑d1=120mm，BC段直徑d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN?m，MeB=36kN?m，MeC=14kN?m。試求該軸的最大切應(yīng)力。

解： 1）作扭矩圖

用截面法求得AB段、BC段的扭矩分別為

T1=MeA=22kN?m T2=－MeC=－14kN?m 作出該軸的扭矩圖如圖所示。(2)計(jì)算最大切應(yīng)力

由扭矩圖可知，AB段的扭矩較BC段的扭矩大，但因BC段直徑較小，所以需分別計(jì)算各段軸橫截面上的最大切應(yīng)力。由公式得

AB段

BC段

比較上述結(jié)果，該軸最大切應(yīng)力位于BC段內(nèi)任一截面的邊緣各點(diǎn)處，即該軸最大切應(yīng)力為

ηmax=71.3MPa。

【課程】8平面圖形的幾何性質(zhì)

【教學(xué)要求】掌握平面圖形的靜矩和形心計(jì)算

掌握簡(jiǎn)單平面圖形的慣性矩計(jì)算 【重

點(diǎn)】掌握簡(jiǎn)單平面圖形的慣性矩計(jì)算 【難

點(diǎn)】掌握簡(jiǎn)單平面圖形的慣性矩計(jì)算 【授課方式】課堂講授 【教學(xué)時(shí)數(shù)】 共計(jì)6學(xué)時(shí)

第八章

平面圖形的幾何性質(zhì)

與平面圖形幾何形狀和尺寸有關(guān)的幾何量統(tǒng)稱為平面圖形的幾何性質(zhì)。平面圖形的幾何性質(zhì)是影響桿件承載能力的重要因素。本章著重討論這些平面圖形幾何性質(zhì)的概念和計(jì)算方法。

平面圖形的幾何性質(zhì)是純粹的幾何問題，與研究對(duì)象的力學(xué)性質(zhì)無關(guān)，但它是桿件強(qiáng)度、剛度計(jì)算中不可缺少的幾何參數(shù)。

第一節(jié)

靜

矩

一、靜矩的概念

微面積dA與坐標(biāo)y（或坐標(biāo)z）的乘積稱為微面積dA對(duì)z軸（或y軸）的靜矩，記作dSz（或dSy），即

dSz=ydA，dSy=zdA平面圖形上所有微面積對(duì)z軸（或y軸）的靜矩之和，稱為該平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的靜矩，用Sz（或Sy）表示。即

平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的靜矩，等于該圖形面積A與其形心坐標(biāo)yC（或zC）的乘積。

當(dāng)坐標(biāo)軸通過平面圖形的形心時(shí)，其靜矩為零；反之，若平面圖形對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸必通過平面圖形的形心。

如果平面圖形具有對(duì)稱軸，對(duì)稱軸必然是平面圖形的形心軸。故平面圖形對(duì)其對(duì)稱軸的靜矩必等于零。

二、組合圖形的靜矩

由幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何圖形組合而成的，稱為組合圖形。根據(jù)平面圖形靜矩的定義，組合圖形對(duì)z軸（或y軸）的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和，即

組合圖形形心的坐標(biāo)計(jì)算公式

例10----1、2 注 意：

1.單

位

2.數(shù)字較大，細(xì)心 3.課后仔細(xì)閱讀教材

第二節(jié)

慣性矩

慣性積

慣性半徑

一、慣性矩

整個(gè)平面圖形上各微面積對(duì)z軸（或y軸）慣性矩的總和稱為該平面圖形對(duì)z軸（或y軸）的慣性矩，用Iz（或Iy）表示。即

ρ2＝y(tǒng)2＋z2

平面圖形對(duì)任一點(diǎn)的極慣性矩，等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。其值恒為正值。

故慣性矩也恒為正值。常用單位為m4或mm4。

二、慣性積

整個(gè)圖形上所有微面積對(duì)z、y兩軸慣性積的總和稱為該圖形對(duì)z、y兩軸的慣性積，用Izy表示。即

慣性積可能為正或負(fù)，也可能為零。它的單位為m4或mm4。

兩個(gè)坐標(biāo)軸中只要有一根軸為平面圖形的對(duì)稱軸，則該圖形對(duì)這一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積一定等于零。

三、慣性半徑

慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑。它的單位為m或mm。例10-3 例10-4 有過程

詳細(xì)推導(dǎo) 作

業(yè)：10—

1、2

第三節(jié)

組合圖形的慣性矩

一、平行移軸公式

圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于圖形對(duì)與該軸平行的形心軸的慣性矩，再加上圖形面積與兩平行軸間距離平方的乘積。由于a2（或b2）恒為正值，故在所有平行軸中，平面圖形對(duì)形心軸的慣性矩最小。

例10-5 例10-6 再次強(qiáng)調(diào)，在應(yīng)用平行移軸公式時(shí)，z軸、y軸必須是形心軸，z1軸、y1軸必須分別與z軸、y軸平行。

二、組合圖形慣性矩的計(jì)算

在工程實(shí)際中，常會(huì)遇到構(gòu)件的截面是由矩形、圓形和三角形等幾個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成，或由幾個(gè)型鋼組成，稱為組合圖形。由慣性矩定義可知，組合圖形對(duì)任一軸的慣性矩，等于組成組合圖形的各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸慣性矩之和。即

在計(jì)算組合圖形的慣性矩時(shí)，首先應(yīng)確定組合圖形的形心位置，然后通過積分或查表求得各簡(jiǎn)單圖形對(duì)自身形心軸的慣性矩，再利用平行移軸公式，就可計(jì)算出組合圖形對(duì)其形心軸的慣性矩。

例10-7

例10-8

作

業(yè)：10----3、4、6

第四節(jié)

形心主慣性軸

形心主慣性矩

一、轉(zhuǎn)軸公式

上節(jié)我們討論了坐標(biāo)軸與形心軸平行時(shí)，平面圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積的計(jì)算公式，本節(jié)繼續(xù)研究一對(duì)互相垂直的坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)在平面圖形內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，平面圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。

慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。

慣性積為零的一對(duì)坐標(biāo)軸稱為平面圖形的主慣性軸，簡(jiǎn)稱主軸。平面圖形對(duì)主軸的慣性矩稱為主慣性矩。

通過平面圖形形心C的主慣性軸稱為形心主慣性軸，簡(jiǎn)稱形心主軸。平面圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。

確定形心主軸的位置是十分重要的。對(duì)于具有對(duì)稱軸的平面圖形，其形心主軸的位置可按如下方法確定：

1）如果圖形有一根對(duì)稱軸，則該軸必是形心主軸，而另一根形心主軸通過圖形的形心且與該軸垂直。

2）如果圖形有兩根對(duì)稱軸，則該兩軸都是形心主軸。

3）如果圖形具有兩個(gè)以上的對(duì)稱軸，則任一根對(duì)稱軸都是形心主軸，且對(duì)任一形心主軸的慣性矩都相等。

小

結(jié)

本章主要內(nèi)容是研究桿件的平面圖形形狀和尺寸有關(guān)的一些幾何量（如靜矩、慣性矩、慣性積、主軸及主慣性矩

等）的定義和計(jì)算方法。這些幾何量統(tǒng)稱為平面圖形的幾何 性質(zhì)。它們對(duì)桿件的強(qiáng)度、剛度有著極為重要的影響，需清 楚地理解它們的意義并熟練掌握其計(jì)算方法。

一、本章的主要計(jì)算公式

1.靜矩

2.慣性矩

3.慣性積

4.慣性半徑

5.平行移軸公式

平行移軸公式要求z1與z、y1與y兩軸平行，并且z、y軸通過平面圖形形心。

6.主慣性軸

7.主慣性矩

平面圖形的幾何性質(zhì)都是對(duì)確定的坐標(biāo)軸而言的。靜矩、慣性矩和慣性半徑是對(duì)一個(gè)坐標(biāo)軸而言的；慣性積是對(duì)一對(duì)正交坐標(biāo)軸而言的。對(duì)于不同的坐標(biāo)系，它們的數(shù)值是不同的。慣性矩、慣性半徑恒為正；靜矩和慣性積可為正或負(fù)，也可為零。

二、組合圖形

組合圖形對(duì)某軸的靜矩等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一軸靜矩的代數(shù)和；組合圖形對(duì)某軸的慣性矩等于其各組成部分對(duì)于同一軸的慣性矩之和。

三、平面圖形的形心主軸

形心主軸是一對(duì)通過形心且慣性積為零的軸。任何圖形必定存在且至少有一對(duì)形心主軸，形心主軸有下列特性：

1.整個(gè)圖形對(duì)形心主軸的靜矩恒為零。2.整個(gè)圖形對(duì)形心主軸的慣性積恒為零。

3.在通過形心的所有軸中，圖形對(duì)一對(duì)正交形心主軸的慣性矩，分別為最大值和最小值。

4.圖形若有一根對(duì)稱軸，此軸必是形心主軸。圖形對(duì)形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩。作

業(yè)：10----5 【課程】9梁的彎曲

【教學(xué)要求】

了解梁平面彎曲的概念；

會(huì)用截面法、直接法求指定截面的彎矩和剪力；

理解內(nèi)力方程法畫單跨梁的內(nèi)力圖；

重點(diǎn)掌握簡(jiǎn)捷法、疊加法畫梁的內(nèi)力圖；

會(huì)畫多跨梁的內(nèi)力圖?！局?/p>

點(diǎn)】

掌握簡(jiǎn)捷法、疊加法畫梁的內(nèi)力圖?！倦y

點(diǎn)】

q與剪力和彎矩的關(guān)系的應(yīng)用 【授課方式】

課堂講解和習(xí)題練習(xí)【教學(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)10學(xué)時(shí)

第九章 彎曲內(nèi)力 第一節(jié)平面彎曲的概念

一、彎曲和平面彎曲 1.彎曲

以彎曲為主要變形的桿件通常稱之為梁。

舉例 2.平面彎曲

當(dāng)作用于梁上的力（包括主動(dòng)力和約束反力）全部都在梁的同一縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)時(shí)，梁變形后的軸線也在該平面內(nèi)，我們把這種力的作用平面與梁的變形平面相重合的彎曲稱為平面彎曲。

二、梁的類型

工程中通常根據(jù)梁的支座反力能否用靜力平衡方程全部求出，將梁分為靜定梁和超靜定梁兩類。凡是通過靜力平衡方程就能夠求出全部反力和內(nèi)力的梁，統(tǒng)稱為靜定梁。而靜定梁又根據(jù)其跨數(shù)分為單跨靜定梁和多跨靜定梁兩類。單跨靜定梁是本章的研究對(duì)象，通常又根據(jù)支座情況將單跨靜定梁分為三種基本形式。

1.懸臂梁

一端為固定端支座，另一端為自由端的梁

2.簡(jiǎn)支梁

一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座的梁

3.外伸梁

梁身的一端或兩端伸出支座的簡(jiǎn)支梁

第二節(jié) 梁的內(nèi)力

一、梁的內(nèi)力——剪力和彎矩

用求內(nèi)力的基本方法——截面法來討論梁的內(nèi)力。

剪力FQ

彎矩M

二、剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定

1.剪力的正負(fù)號(hào)規(guī)定：順轉(zhuǎn)剪力正 2.彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：下凸彎矩正

三、用截面法求指定截面上的剪力和彎矩

1.用截面法求梁指定截面上的剪力和彎矩時(shí)的步驟：(1)求支座反力。

(2)用假想的截面將梁從要求剪力和彎矩的位置截開。

(3)取截面的任一側(cè)為隔離體，做出其受力圖，列平衡方程求出剪力和彎矩。例11-1

例11-2 3.總結(jié)與提示

(1)為了簡(jiǎn)化計(jì)算，取外力比較少（簡(jiǎn)單）一側(cè)

(2)未知的剪力和彎矩通常均按正方向假定。

(3)平衡方程中剪力、彎矩的正負(fù)號(hào)應(yīng)按靜力計(jì)算的習(xí)慣而定，不要與剪力、彎矩本身的正、負(fù)號(hào)相混淆。

(4)在集中力作用處，剪力發(fā)生突變，沒有固定數(shù)值，應(yīng)分別計(jì)算該處稍偏左及稍偏右截面上的剪力，而彎矩在該處有固定數(shù)值，稍偏左及稍偏右截面上的數(shù)值相同，只需要計(jì)算該截面處的一個(gè)彎矩即可；在集中力偶作用處，彎矩發(fā)生突變，沒有固定數(shù)值，應(yīng)分別計(jì)算該處稍偏左及稍偏右截面上的彎矩，而剪力在該處有固定數(shù)值，稍偏左及稍偏右截面上的數(shù)值相同，只需要計(jì)算該截面處的一個(gè)剪力即可。

作

業(yè)：11—2

四、直接用外力計(jì)算截面上的剪力和彎矩 1.用外力直接求截面上內(nèi)力的規(guī)律

(1)求剪力的規(guī)律

左上右下正，反之負(fù)(2)求彎矩的規(guī)律

左順右逆正，反之負(fù)

例11-3 例11-4 顯然，用截面法總結(jié)出的規(guī)律直接計(jì)算剪力和彎矩比較簡(jiǎn)捷，所以，實(shí)際計(jì)算時(shí)經(jīng)常使用。

課堂練習(xí)

第三節(jié) 梁的內(nèi)力圖

內(nèi)力沿梁軸線的變化規(guī)律，內(nèi)力的最大值以及最大內(nèi)力值所在的位置

一、剪力方程和彎矩方程

FQ=FQ（x）和M=M（x）

二、剪力圖和彎矩圖

剪力和彎矩在全梁范圍內(nèi)變化的規(guī)律用圖形來表示，這種圖形稱為剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖最基本的方法是：根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別繪出剪力圖和彎矩圖。

剪力正上負(fù)下，并標(biāo)明正、負(fù)號(hào)；

彎矩正下負(fù)上（即彎矩圖總是作在梁受拉的一側(cè)）對(duì)于非水平梁而言，剪力圖可以作在梁軸線的任一

側(cè)，并標(biāo)明正、負(fù)號(hào)；彎矩圖作在梁受拉的一側(cè)。

例11-5 作圖11-18a所示懸臂梁

(1)列剪力方程和彎矩方程 剪力方程為：

FQ =－FP

彎矩方程為：

M =－FP x

(0≤x＜l)(2)作剪力圖和彎矩圖

例11-6 作圖11-19a所示簡(jiǎn)支梁在集中力作用下的剪力圖和彎矩圖。（1）求支座反力

(0＜x＜l)

FAy =(↑)

FB y =(↑)

（2）列剪力方程和彎矩方程

(3)作剪力圖和彎矩圖

若集中力正好作用在梁的跨中，即a=b=時(shí)，彎矩的最大值為：Mmax=

例 11-8 作圖示簡(jiǎn)支梁在滿跨向下均布荷載作用下的剪力圖和彎矩圖。作

業(yè)：11—3 c d 第四節(jié)

彎矩、剪力和荷載集度之間的微分關(guān)系及其應(yīng)用

一、M(x)、FQ(x)、q(x)之間的微分關(guān)系

上式說明：梁上任一橫截面的剪力對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在梁上該截面處的分布荷載集度。這一微分關(guān)系的幾何意義是：剪力圖上某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面處的荷載集度。

FQ(x)

上式說明：梁上任一橫截面的彎矩對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)等于該截面上的剪力。這一微分關(guān)系的幾何意義是：彎矩圖上某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)橫截面上的剪力?？梢?，根據(jù)剪力的符號(hào)可以確定彎矩圖的傾斜趨向。

再將FQ(x)兩邊求導(dǎo)，得

上式說明：梁上任一截面的彎矩對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的荷載集度。這一微分關(guān)系的幾何意義是：彎矩圖上某點(diǎn)的曲率等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面處的分布荷載集度?？梢?，根據(jù)分布荷載的正負(fù)可以確定彎矩圖的開口方向。

二、用M(x)、FQ(x)、q(x)三者之間的微分關(guān)系說明內(nèi)力圖的特點(diǎn)和規(guī)律 序號(hào) 梁段上荷載情況 剪力圖形狀或特征

彎矩圖形狀或特征 彎矩圖為斜直線或平行線 彎矩圖為二次拋物線 M有極值

說明

舉例 剪力圖為平行無均布荷載

線?？蔀椋╭=0）

正、負(fù)、零 剪力圖有均布荷載 為斜直線（q≠0）在FQ=0處

平行線是指與x軸平行的直線 斜直線是指與x軸斜交的直線 拋物線的開口方向與均布荷載的指向相反（或拋物線的突向與均布荷載的指向一致）剪力突變的數(shù)值等于集中力的大小

彎矩圖尖角的方向與集中力的指向相同 彎矩突變的數(shù)值等于集中力偶的力偶矩大小

例11-5 例11-6 2

例11-8 例11-9的AB段上FQ=0處彎矩取得極值 集中力作用處 剪力圖出現(xiàn)突變現(xiàn)象 彎矩圖出現(xiàn)尖角

例11-6的C處

例11-9的B處 集中力偶作用處 剪力圖無變化

彎矩圖出現(xiàn)突變

例11-7的C處

三、應(yīng)用簡(jiǎn)捷法繪制梁的剪力圖和彎矩圖 1.用簡(jiǎn)捷法作剪力圖和彎矩圖的步驟

(1)求支座反力。對(duì)于懸臂梁由于其一端為自由端，所以可以不求支座反力。

(2)將梁進(jìn)行分段

梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷載的起止截面。

(3)由各梁段上的荷載情況，根據(jù)規(guī)律確定其對(duì)應(yīng)的剪力圖和彎矩圖的形狀。

(4)確定控制截面，求控制截面的剪力值、彎矩值，并作圖?？刂平孛媸侵笇?duì)內(nèi)力圖形能起控制作用的截面。①水平直線

確定一個(gè)截面 —— 任一； ②斜 直 線

確定兩個(gè)截面 —— 起、止； ③拋 物 線

確定三個(gè)截面 —— 起、止、極。例11-10

例11-11

先定性

再定量

多種方法校核

作

業(yè)：11—4 a b c d

第四節(jié)

彎矩、剪力和荷載集度之間的

微分關(guān)系及其應(yīng)用

剪力圖上某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面處的荷載集度。

FQ(x)彎矩圖上某點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)橫截面上的剪力。

彎矩圖上某點(diǎn)的曲率等于該點(diǎn)對(duì)應(yīng)截面處的分布荷載集度。①水平直線

確定一個(gè)截面 —— 任一點(diǎn)； ②斜 直 線

確定兩個(gè)截面 —— 起、止點(diǎn)； ③拋 物 線

確定三個(gè)截面 —— 起、止、極點(diǎn)。牢記兩個(gè)基本圖形 例11-12

先定性

再定量

多種方法校核

（課本補(bǔ)充內(nèi)容）疊加法做彎矩圖

引

入

疊加原理：由幾個(gè)外力共同作用引起的某一參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、變形）等于每個(gè)外力單獨(dú)作用時(shí)引起的該參數(shù)值的總和。

舉

例

課堂練習(xí)：補(bǔ)充

作

業(yè)：11 — 4 e f g h i j 【課程】10組合變形

【教學(xué)要求】

了解組合變形和截面核心的概念； 掌握組合變形的計(jì)算步驟；

掌握斜彎曲變形桿、彎曲與拉壓組合桿、偏心拉壓桿的強(qiáng)度條件； 會(huì)繪制簡(jiǎn)單截面的截面核心?！局?/p>

點(diǎn)】

掌握組合變形的計(jì)算步驟；

掌握斜彎曲變形桿、彎曲與拉壓組合桿、偏心拉壓桿的強(qiáng)度條件； 【難

點(diǎn)】

判別組合變形是哪些簡(jiǎn)單變形的疊加及同一點(diǎn)應(yīng)力值的正負(fù)號(hào)?！臼谡n方式】

課堂講解 【教學(xué)時(shí)數(shù)】 共計(jì)6學(xué)時(shí)

第十章

組合變形 第一節(jié) 組合變形的概念

兩種或兩種以上的基本變形的組合，稱為組合變形。

對(duì)組合變形問題進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算的步驟如下：

(1)將所作用的荷載分解或簡(jiǎn)化為幾個(gè)只引起一種基本變形的荷載分量；(2)分別計(jì)算各個(gè)荷載分量所引起的應(yīng)力；

(3)根據(jù)疊加原理，將所求得的應(yīng)力相應(yīng)疊加，即得到原來荷載共同作用下構(gòu)件所產(chǎn)生的應(yīng)力；

（4）判斷危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，建立強(qiáng)度條件；

（5）必要時(shí)，對(duì)危險(xiǎn)點(diǎn)處單元體的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。

本章主要研究斜彎曲、拉伸（壓縮）與彎曲以及偏心壓縮（拉伸）等組合變形構(gòu)件的強(qiáng)度計(jì)算問題。

第二節(jié) 斜

彎

曲

外力F的作用線只通過橫截面的形心而不與截面的對(duì)稱軸重合，此梁彎曲后的撓曲線不再位于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，這類彎曲稱為斜彎曲。斜彎曲是兩個(gè)平面彎曲的組合，這里將討論斜彎曲時(shí)的正應(yīng)力及其強(qiáng)度計(jì)算。

一、正應(yīng)力計(jì)算

1.外力的分解

Fy =F cos Fz = F sin

2.內(nèi)力的計(jì)算

Mz = Fy a = Fa cos

My = Fz a = Fa sin

3.應(yīng)力的計(jì)算

ζ′=±Fy和Fz共同作用下K點(diǎn)的正應(yīng)力為，ζ″=±

ζ = ζ′+ζ″= ± ±

（15-1）

上式即梁斜彎曲時(shí)橫截面任一點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式。

通過以上分析過程，我們可以將斜彎曲梁的正應(yīng)力計(jì)算的思路歸納為“先分后合”，具體如下：

緊緊抓住這一要點(diǎn)，本章的其它組合變形問題都將迎刃而解。

二、正應(yīng)力強(qiáng)度條件

同平面彎曲一樣，斜彎曲梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件仍為

ζmax≤[ζ] 即，危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的最大正應(yīng)力不能超過材料的許用應(yīng)力[ζ]。

工程中常用的工字形、矩形等對(duì)稱截面梁，斜彎曲時(shí)梁內(nèi)最大正應(yīng)力都發(fā)生在危險(xiǎn)截面的角點(diǎn)處。

ζmax=ζ′max+ζ″max= +

即

ζmax= +

（15-2）則斜彎曲梁的強(qiáng)度條件為

ζmax= + ≤[ζ]

（15-3）

此強(qiáng)度條件可解決三類問題，即強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可荷載。在截面設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)注意：需先設(shè)定一個(gè)的比值（對(duì)矩形截面Wz/ Wy==1.2～2；對(duì)工字形截面取6～10），然后再用式（15-2）計(jì)算所需的Wz 值，確定截面的具體尺寸，最后再對(duì)所選截面進(jìn)行校核，確保其滿足強(qiáng)度條件。

例15-1 矩形截面懸臂梁如圖所示，已知F1=0.5kN，F(xiàn)2=0.8kN，b=100mm，h=150mm。試計(jì)算梁的最大拉應(yīng)力及所在位置。

解

(1)內(nèi)力的計(jì)算

(2)應(yīng)力的計(jì)算

ζmax=+ = +

= = 8.8MPa

(3)根據(jù)實(shí)際變形情況，F(xiàn)1單獨(dú)作用，最大拉應(yīng)力位于固定端截面上邊緣ad，F(xiàn)2單獨(dú)作用，最大拉應(yīng)力位于固定端截面后邊緣cd，疊加后，角點(diǎn)d拉應(yīng)力最大。

上述計(jì)算的ζmax= 8.8MPa，也正是d點(diǎn)的應(yīng)力。

例15-2圖示跨度為4m的簡(jiǎn)支梁，擬用工字鋼制成，跨中作用集中力F=7kN，其與橫截面鉛垂對(duì)稱軸的夾角=20°（圖b），已知[ζ]= 160MPa，試選擇工字鋼的型號(hào)（提示：先假定Wz∕Wy的比值，試選后再進(jìn)行校核。）

解

（1）外力的分解

Fy= Fcos20°=7×0.940 kN =6.578kN Fz= Fsin20°=7×0.342 kN =2.394kN

(2)內(nèi)力的計(jì)算

kN·m =6.578 kN·m

kN·m=2.394kN2m

(3)強(qiáng)度計(jì)算

設(shè)Wz∕Wy=6，代入

得

試選16號(hào)工字鋼，查得Wz=141cm3，Wy=21.2cm3。

再校核其強(qiáng)度

ζmax=+=MPa =159.6 MPa＜[ζ]=160 MPa

滿足強(qiáng)度要求。于是，該梁選16號(hào)工字鋼即可。

作

業(yè)：15----1 2

第三節(jié)

拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形

當(dāng)桿件同時(shí)作用軸向力和橫向力時(shí)，軸向力使桿件伸長(zhǎng)（縮短），橫向力使桿件彎曲。桿件的變形為軸向拉伸（壓縮）與彎曲的組合，簡(jiǎn)稱拉（壓）彎。

計(jì)算桿件在軸向拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的正應(yīng)力時(shí)，與斜彎曲類似，仍采用疊加法。

軸向力FN單獨(dú)作用時(shí)，橫截面上的正應(yīng)力均勻分布（圖c），橫截面上任一點(diǎn)正應(yīng)力為

ζ′=

橫向力q單獨(dú)作用時(shí)，梁發(fā)生平面彎曲，正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布（圖d），橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為

ζ″=±

FN、q共同作用下，橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為

ζ = ζ′+ζ″= ±

（15-4）

式（15-4）就是桿件在軸向拉伸（壓縮）與彎曲組合變形時(shí)橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力計(jì)算公式。

有了正應(yīng)力計(jì)算公式，很容易建立正應(yīng)力強(qiáng)度條件。最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩最大截面的上下邊緣處，其值為

ζ正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

max =±

ζmax =±≤ [ζ]

（15-5）

當(dāng)材料的許用拉、壓應(yīng)力不同時(shí)，拉彎組合桿中的最大拉、壓應(yīng)力應(yīng)分別滿足許用值。

例15-3

例15-4

作

業(yè)：15----3 1.組合變形問題——“先分后合”的解算思路 2.斜彎曲梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

ζmax= + ≤[ζ]

（15-3）

3.軸向拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

ζmax =±≤ [ζ]

（15-5）

第四節(jié)

偏心壓縮（拉伸）截面核心

軸向拉伸（壓縮）時(shí)外力F的作用線與桿件軸線重合。當(dāng)外力F的作用線只平行于軸線而不與軸線重合時(shí)，則稱為偏心拉伸（壓縮）。偏心拉伸（壓縮）可分解為軸向拉伸（壓縮）和彎曲兩種基本變形。

偏心拉伸（壓縮）分為單向偏心拉伸（壓縮）和雙向偏心拉伸（壓縮）。

一、單向偏心拉伸（壓縮）時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算

e稱為偏心距。

橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力為

單向偏心拉伸時(shí)，上式的第一項(xiàng)取正值。正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

±

（15-6）

二、雙向偏心拉伸（壓縮）

≤[ζ]

(15-7)

任一點(diǎn)的正應(yīng)力由三部分組成。

軸向外力FN作用下，橫截面ABCD上任一點(diǎn)K的正應(yīng)力為

ζ′=

（分布情況如圖d）

Mz 和My單獨(dú)作用下，橫截面ABCD上任意點(diǎn)K的正應(yīng)力分別為

ζ″=

（分布情況如圖e）

ζ′″

=

（分布情況如圖f）

三者共同作用下，橫截面上ABCD上任意點(diǎn)K的總正應(yīng)力為以上三部分疊加，即

ζ =ζ′+ζ″+ζ′″ =±±

(15-8)對(duì)于矩形、工字形等具有兩個(gè)對(duì)稱軸的橫截面，最大拉應(yīng)力或最大壓應(yīng)力都發(fā)生在橫截面的角點(diǎn)處。其值為：

ζ或 max = ± ±（雙向偏心拉伸）

ζmax =-± ±（雙向偏心壓縮）

正應(yīng)力強(qiáng)度條件較（15-7），只是多了一項(xiàng)平面彎曲部分，即

≤

（15-9）

例15-5

例15-6

三、截面核心

當(dāng)荷載作用在截面形心周圍的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，桿件整個(gè)橫截面上只產(chǎn)生壓應(yīng)力而不出現(xiàn)拉應(yīng)力，這個(gè)荷載作用的區(qū)域就稱為截面核心。

常見的矩形、圓形和工字形截面核心如下圖中陰影部分所示。

作

業(yè)：14----4 5 【課程】11壓桿穩(wěn)定

【教學(xué)要求】

了解壓桿穩(wěn)定與失穩(wěn)的概念；

理解壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力的概念；

能采用合適的公式計(jì)算各類壓桿的臨界力和臨界應(yīng)力；

熟悉壓桿的穩(wěn)定條件及其應(yīng)用；

了解提高壓桿穩(wěn)定性的措施?！局?/p>

點(diǎn)】

1、計(jì)算臨界力。

2、掌握折減系數(shù)法對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定設(shè)計(jì)與計(jì)算的基本方法

【難

點(diǎn)】

折減系數(shù)法對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定設(shè)計(jì)與計(jì)算的基本方法。【授課方式】

課堂講解 【教學(xué)時(shí)數(shù)】 共計(jì)4學(xué)時(shí)

第十一章

壓 桿 穩(wěn) 定 第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的概念

一、穩(wěn)定問題的提出

對(duì)受壓桿件的破壞分析表明，許多壓桿卻是在滿足了強(qiáng)度條件的情況下發(fā)生的。例如。細(xì)長(zhǎng)壓桿由于其不能維持原有直桿的平衡狀態(tài)所致，這種現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱失穩(wěn)。短粗壓桿的破壞是取決于強(qiáng)度；細(xì)長(zhǎng)壓桿的破壞是取決于穩(wěn)定。

細(xì)長(zhǎng)壓桿的承載能力遠(yuǎn)低于短粗壓桿。因此，對(duì)壓桿還需研究其穩(wěn)定性。

二、壓桿穩(wěn)定概念

平衡狀態(tài)有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。

壓桿將從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡，此時(shí)稱為臨界狀態(tài)。壓力Fcr稱為壓桿的臨界力。當(dāng)外力達(dá)到此值時(shí)，壓桿即開始喪失穩(wěn)定。

在設(shè)計(jì)壓桿時(shí)，必須進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算。

第二節(jié)

細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力

一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力

（16-1）

式（16-1）即為兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力計(jì)算式，又稱為歐拉公式。式中EI為壓桿的抗彎剛度。當(dāng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，桿將在EI值較小平面內(nèi)失穩(wěn)。所以，慣性矩I應(yīng)為壓桿橫截面的最小形心主慣性矩Imin。

二、其他支承情況下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力的歐拉公式 例16-1 例16-2 作

業(yè)：16----1 3 4 細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力計(jì)算的歐拉公式

(16-2)

第三節(jié)

臨界應(yīng)力與歐拉公式的適用范圍

臨界應(yīng)力

當(dāng)壓桿在臨界力Fcr作用下處于平衡時(shí)，其橫截面上的壓應(yīng)力為界應(yīng)力，用表示，即，此壓應(yīng)力稱為臨

令，（i即為慣性半徑）則式（a）可改寫為

令，則式（b）又可寫為

(16-3)式（16-3）稱為歐拉臨界應(yīng)力公式。實(shí)際是歐拉公式的另一種表達(dá)形式。稱為柔度或長(zhǎng)細(xì)比。柔度λ與μ、l、i有關(guān)。i決定于壓桿的截面形狀與尺寸，μ決定于壓桿的支承情況。因而從物理意義上看，λ綜合地反映了壓桿的長(zhǎng)度，截面形狀與尺寸以及支承情況對(duì)臨界應(yīng)力的影響。

二、歐拉公式的適用范圍

歐拉公式的適用范圍是：壓桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限。即

ζcr≤ζp

對(duì)應(yīng)于比例極限的長(zhǎng)細(xì)比為

（16-4）

因此歐拉公式的適用范圍可以用壓桿的柔度值λp來表示，即只有當(dāng)壓桿的實(shí)際柔度λ≥λp時(shí)，歐拉公式才適用。這一類壓桿稱為大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿。

三、超出比例極限時(shí)壓桿的臨界應(yīng)力

臨界應(yīng)力總圖

壓桿的應(yīng)力超出比例極限時(shí)（λ<λp），這類桿件工程上稱為中柔度桿。臨界應(yīng)力各國(guó)多采用以試驗(yàn)為基礎(chǔ)的經(jīng)驗(yàn)公式。

ζcr=a-bλ(16-5)臨界應(yīng)力為壓桿柔度的函數(shù)，臨界應(yīng)力ζcr與柔度λ的函數(shù)曲線稱為臨界應(yīng)力總圖。

第四節(jié) 壓桿的穩(wěn)定計(jì)算

一、壓桿穩(wěn)定條件

為了計(jì)算上的方便，將穩(wěn)定許用應(yīng)力值寫成下列形式

壓桿穩(wěn)定條件可寫為

或

二、壓桿穩(wěn)定條件的應(yīng)用

穩(wěn)定條件可解決下列常見的三類問題。1.穩(wěn)定校核。

（16-8）

2.設(shè)計(jì)截面。計(jì)算時(shí)一般先假設(shè)=0.5，試選截面尺寸、型號(hào)，算得λ后再查’。若’比假設(shè)的值相差較大，則再選二者的中間值重新試算，直至二者相差不大，最后再進(jìn)行穩(wěn)定校核。

3．確定穩(wěn)定許用荷載。例15-3 穩(wěn)定校核問題 例15-4 穩(wěn)定校核問題

例15-5 確定穩(wěn)定許用荷載問題 例15-6 設(shè)計(jì)截面問題

第五節(jié)

提高壓桿穩(wěn)定性的措施

一、減小壓桿的長(zhǎng)度

在條件允許的情況下，應(yīng)盡量使壓桿的長(zhǎng)度減小，或者在壓桿中間增加支撐。

二、改善支承情況，減小長(zhǎng)度系數(shù)μ

在結(jié)構(gòu)條件允許的情況下，應(yīng)盡可能地使桿端約束牢固些，以使壓桿的穩(wěn)定性得到相應(yīng)提高。

三、選擇合理的截面形狀

增大慣性矩I，從而達(dá)到增大慣性半徑i，減小柔度λ，提高壓桿的臨界應(yīng)力。

四、合理選擇材料

對(duì)于大柔度桿，彈性模量E值相差不大。所以，選用優(yōu)質(zhì)鋼材對(duì)提高臨界應(yīng)力意義不大。

對(duì)于中柔度桿，其臨界應(yīng)力與材料強(qiáng)度有關(guān)，強(qiáng)度越高的材料，臨界應(yīng)力越高。所以，對(duì)中柔度桿而言，選擇優(yōu)質(zhì)鋼材將有助于提高壓桿的穩(wěn)定性。

作

業(yè)：16----6 7 8 【課程】12平面體系的幾何組成分析

【教學(xué)要求】理解幾何組成分析中的名詞含義；

了解平面體系自由度計(jì)算的方法；

掌握平面幾何不變體系的組成規(guī)則；

會(huì)對(duì)常見平面體系進(jìn)行幾何組成分析?！局?/p>

點(diǎn)】掌握平面幾何不變體系的組成規(guī)則?！倦y

點(diǎn)】對(duì)平面體系進(jìn)行幾何組成分析。【授課方式】 課堂講解加練習(xí)【教學(xué)時(shí)數(shù)】 共計(jì)6學(xué)時(shí)

第十二章

平面體系的幾何組成分析 第一節(jié)

幾何組成分析的目的

幾何不變體系和幾何可變體系的概念。舉例。

結(jié)構(gòu)必須是幾何不變體系。分析體系的幾何組成，以確定它們屬于哪一類體系，稱為體系的幾何組成分析。

對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析的目的就在于：⑴判別某一體系是否幾何不變，從而決定它能否作為結(jié)構(gòu)；⑵研究幾何不變體系的組成規(guī)則，以保證所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)能承受荷載并維持平衡；⑶區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)，以指導(dǎo)結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。

在幾何組成分析中，由于不考慮桿件的變形，因此可把體系中的每一桿件或幾何不變的某一部分看作一個(gè)剛體。平面內(nèi)的剛體稱為剛片。

第二節(jié)

平面體系的自由度和約束

一、自由度

所謂平面體系的自由度是指該體系運(yùn)動(dòng)時(shí)可以獨(dú)立變化的幾何參數(shù)的數(shù)目，即確定體系的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。

在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)的自由度是2。一個(gè)剛片在平面內(nèi)的自由度是3。

二、約束

凡是能夠減少體系自由度的裝置都可稱為約束。能減少一個(gè)自由度，就說它相當(dāng)于一個(gè)約束。

1.鏈桿——是兩端以鉸與別的物體相聯(lián)的剛性桿。

一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束。2.單鉸——聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的鉸。一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束。

3.復(fù)鉸——聯(lián)結(jié)三個(gè)或三個(gè)以上剛片的鉸。

復(fù)鉸的作用可以通過單鉸來分析。聯(lián)結(jié)三個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于兩個(gè)單鉸。同理，聯(lián)結(jié)n個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于n-1個(gè)單鉸，也相當(dāng)于2（n-1）個(gè)約束。

4.剛性聯(lián)結(jié)

一個(gè)剛性聯(lián)結(jié)相當(dāng)于三個(gè)約束。

三、虛鉸

兩根鏈桿的約束作用相當(dāng)于一個(gè)單鉸，不過，這個(gè)鉸的位置是在鏈桿軸線的延長(zhǎng)線上，且其位置隨鏈桿的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化，與一般的鉸不同，稱為虛鉸。

當(dāng)聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的兩根鏈桿平行時(shí)，則認(rèn)為虛鉸位置在沿鏈桿方向的無窮遠(yuǎn)處。

四、多余約束

如果在一個(gè)體系中增加一個(gè)約束，而體系的自由度并不因此而減少，則此約束稱為多余約束。

第三節(jié)

幾何不變體系的組成規(guī)則

一、幾何不變體系的組成規(guī)則 1.三剛片規(guī)則

三個(gè)剛片用不在同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相聯(lián)，則所組成的體系是沒有多余約束的幾何不變體系。

2.兩剛片規(guī)則

兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸和一根不通過該鉸的鏈桿相聯(lián)，則所組成的體系是沒有多余約束的幾何不變體系。

3.二元體規(guī)則

在體系中增加一個(gè)或拆除一個(gè)二元體，不改變體系的幾何不變性或可變性。所謂二元體是指由兩根不在同一直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的裝置。在一個(gè)已知體系上增加一個(gè)二元體不會(huì)影響原體系的幾何不變性或可變性。同理，若在已知體系中拆除一個(gè)二元體，不會(huì)影響體系的幾何不變性或可變性。

二、瞬變體系

聯(lián)結(jié)三剛片的三個(gè)鉸不能在同一直線上；聯(lián)結(jié)兩剛片的三根鏈桿不能全交于一點(diǎn)也不能全平行等。

這種本來是幾何可變的，經(jīng)微小位移后又成為幾何不變的體系稱為瞬變體系。

第四節(jié)

幾何組成分析舉例

幾何不變體系的組成規(guī)則，是進(jìn)行幾何組成分析的依據(jù)。對(duì)體系靈活使用這些規(guī)則，就可以判定體系是否是幾何不變體及有無多余約束等問題。分析時(shí)，步驟如下：

1.選擇剛片

在體系中任一桿件或某個(gè)幾何不變的部分（例如基礎(chǔ)、鉸結(jié)三角形），都可選作剛片。在選擇剛片時(shí)，要考慮哪些是聯(lián)結(jié)這些剛片的約束。

2.先從能直接觀察的幾何不變的部分開始，應(yīng)用組成規(guī)則，逐步擴(kuò)大幾何不變部分直至整體。

3.對(duì)于復(fù)雜體系可以采用以下方法簡(jiǎn)化體系 ⑴ 當(dāng)體系上有二元體時(shí)，應(yīng)依次拆除二元體。

⑵ 如果體系只用三根不全交于一點(diǎn)也不全平行的支座鏈桿與基礎(chǔ)相聯(lián)，則可以拆除支座鏈桿與基礎(chǔ)。

⑶ 利用約束的等效替換。如只有兩個(gè)鉸與其它部分相聯(lián)的剛片用直鏈桿代替；聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的兩根鏈桿可用其交點(diǎn)處的虛鉸代替。

例18--1

例18--2

例18--3

例18--4 例18—5

第四節(jié)

靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)

在荷載作用下，所有反力和內(nèi)力均可由靜力平衡條件求得且為確定值，這類結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。

對(duì)于具有多余約束的結(jié)構(gòu)，僅由靜力平衡條件，不能求出全部的反力和內(nèi)力。這類結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。

靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算將在后面各章介紹。作

業(yè)：

習(xí)題(圖18-23-------18-40)【課程】13靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

【教學(xué)要求】

1、理解靜定結(jié)構(gòu)的概念；

2、掌握平面剛架、平面桁架、靜定拱的組合結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算方法；

3、熟悉各結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn) 【重

點(diǎn)】

掌握平面剛架、平面桁架、靜定拱的內(nèi)力計(jì)算 【難

點(diǎn)】

掌握平面剛架靜定拱的內(nèi)力計(jì)算

【授課方式】

課堂講解通過講解例題熟練掌握?！窘虒W(xué)時(shí)數(shù)】

共計(jì)10學(xué)時(shí)

第十三章

靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析

第一節(jié)

靜定梁

一、單跨靜定梁

單跨靜定梁在工程中應(yīng)用很廣，是常用的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)，也是組成各種結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)件之一，其受力分析是各種結(jié)構(gòu)受力分析的基礎(chǔ)。這里加以簡(jiǎn)略敘述和補(bǔ)充，以便更好地去研究桿系結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。

1．用截面法求指定截面的內(nèi)力

平面結(jié)構(gòu)在任意荷載作用下，其桿件橫截面上一般有三種內(nèi)力，即彎矩M、剪力FQ和軸力FN，如圖19-2所示。計(jì)算內(nèi)力的基本方法是截面法。

2.內(nèi)力圖

在土建工程中，彎矩圖規(guī)定一律畫在桿件受拉的一側(cè)，在圖上不標(biāo)正、負(fù)號(hào)。而對(duì)于剪力圖和軸力圖，可作在桿軸的任一側(cè)（在梁上通常把正號(hào)內(nèi)力作于上方），但需注明正、負(fù)號(hào)。

作內(nèi)力圖的基本方法是根據(jù)內(nèi)力方程作圖。但通常更多采用的是利用三者微分關(guān)系來作內(nèi)力圖的簡(jiǎn)捷法。

用簡(jiǎn)捷法作內(nèi)力圖的步驟： 求反力

分段

定點(diǎn)

連線 3.用疊加法作彎矩圖

梁彎矩圖相應(yīng)的豎標(biāo)疊加。應(yīng)當(dāng)注意，這里所述彎矩圖的疊加是指縱坐標(biāo)的疊加，即縱坐標(biāo)代數(shù)相加。

還可利用相應(yīng)簡(jiǎn)支梁彎矩圖的疊加來作直桿某一區(qū)段彎矩圖的方法，稱為區(qū)段疊加法。

步驟如下：

（1）分段，求出控制截面的彎矩值。

（2）作彎矩圖。當(dāng)控制截面間無荷載時(shí)，用直線連接兩控制截面的彎矩值，即得該段的彎矩圖；當(dāng)控制截面間有荷載作用時(shí)，先用虛直線連接兩控制截面的彎矩值，然后以此虛直線為基線，再疊加這段相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩圖，從而作出最后的彎矩圖。

例19-1、與

二、斜梁

建筑中的梁式樓梯，支承踏板的邊梁為一斜梁。斜梁上的荷載表示方法有兩種，一種是沿梁的軸線方向分布；另一種沿水平方向分布?，F(xiàn)行荷載規(guī)范的標(biāo)準(zhǔn)活荷載，都以沿水平分布給出。為了計(jì)算方便，常需將沿軸線方向分布的荷載換算成沿水平方向分布的荷載。

斜梁的內(nèi)力除有彎矩和剪力外，還有軸力。

現(xiàn)討論簡(jiǎn)支斜梁計(jì)算中的兩個(gè)問題，并同時(shí)與水平簡(jiǎn)支梁比較。1.簡(jiǎn)支斜梁的內(nèi)力表達(dá)式 反力。

FAx＝0

FAy＝（↑）

FBy＝

（↑）

簡(jiǎn)支斜梁的支座反力與相應(yīng)水平簡(jiǎn)支梁的反力相同。求斜梁任一橫截面K的內(nèi)力。由隔離體的平衡條件可得：

MK＝

FQK＝

FNK＝－2.簡(jiǎn)支斜梁內(nèi)力圖的繪制

三、多跨靜定梁

1.多跨靜定梁的幾何組成特點(diǎn)

多跨靜定梁是由若干根梁用鉸相連，并用若干支座與基礎(chǔ)相連而組成的靜定結(jié)構(gòu)。在工程結(jié)構(gòu)中，常用它來跨越幾個(gè)相連的跨度。

多跨靜定梁可分為基本部分和附屬部分。所謂基本部分，是指不依賴于其它部分的存在，獨(dú)立地與基礎(chǔ)組成一個(gè)幾何不變的部分，或者說本身就能獨(dú)立地承受荷載并能維持平衡的部分。所謂附屬部分是指需要依賴基本部分才能保持其幾何不變性的部分。顯然，若附屬部分被破壞或撤除，基本部分仍為幾何不變；反之，若基本部分被破壞，則附屬部分必隨之連同倒塌。為了更清晰地表示各部分之間的支承關(guān)系，可以把基本部分畫在下層，而把附屬部分畫在上層，這稱為層次圖。

2.分析多跨靜定梁的原則和步驟

多跨靜定梁可拆成若干單跨靜定梁。荷載作用在基本部分時(shí)，附屬部分不受力。荷載作用于附屬部分時(shí)，其作用力將通過鉸結(jié)處傳給基本部分，使基本部分也受力。

因此多跨靜定梁的計(jì)算順序應(yīng)該是先附屬部分，后基本部分，也就是說與幾何組成的分析順序相反。遵循這樣的順序進(jìn)行計(jì)算，則每次的計(jì)算都與單跨靜定梁相同，最后把各單跨靜定梁的內(nèi)力圖連在一起，就得到了多跨靜定梁的內(nèi)力圖。

這種先附屬部分后基本部分的計(jì)算原則，也適用于由基本部分和附屬部分組成的其它類型的結(jié)構(gòu)。

由上述可知，分析多跨靜定梁的步驟可歸納為：（1）先確定基本部分和附屬部分，作出層次圖。（2）依次計(jì)算各梁的反力。

（3）按照作單跨梁內(nèi)力圖的方法，作出各根梁的內(nèi)力圖，然后再將其連在一起，即得多跨靜定梁的內(nèi)力圖。

例19-2

例19-3

通過上述兩例，容易理解：

（1）加于基本部分的荷載只能使基本部分受力，而附屬部分不受力，加于附屬部分的荷載，可使基本部分和附屬部分同時(shí)受力。

（2）集中力作用于基本部分與附屬部分相連的鉸上時(shí)，此外力只對(duì)該基本部分起作用，對(duì)附屬部分不起作用，即可以把作用于鉸結(jié)點(diǎn)上的集中力直接作用在基本部分上分析。

作

業(yè)：

習(xí)題19----1 2b 3

第二節(jié)

靜定平面剛架

一、剛架的特點(diǎn)

由直桿組成具有剛結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)稱為剛架。當(dāng)剛架的各桿軸線都在同一平面內(nèi)而且外力也可簡(jiǎn)化到這個(gè)平面內(nèi)時(shí)，這樣的剛架稱為平面剛架。

二、靜定平面剛架的類型

凡由靜力平衡條件即可確定全部反力和內(nèi)力的平面剛架，稱為靜定平面剛架，靜定平面剛架主要有三種類型：懸臂剛架、簡(jiǎn)支剛架、三鉸剛架。

工程中大量采用的平面剛架大多數(shù)是超靜定的。而超靜定平面剛架的分析又是以靜定平面剛架為基礎(chǔ)的，所以掌握靜定平面剛架的內(nèi)力分析方法十分重要。

三、靜定平面剛架的內(nèi)力分析

剛架的內(nèi)力計(jì)算方法與梁完全相同，只是多了一項(xiàng)軸力。在對(duì)剛架進(jìn)行內(nèi)力分析時(shí)，首先是把剛架分為若干桿件，把每根桿件看作一根梁，然后逐桿用截面法求兩端內(nèi)力，再結(jié)合每根桿件所作用荷載，便可作出內(nèi)力圖。

在作內(nèi)力圖時(shí)，規(guī)定彎矩圖畫在桿件的受拉一側(cè)，不注正、負(fù)號(hào)；剪力以使隔離體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的為正，反之為負(fù)；軸力仍以拉力為正、壓力為負(fù)。剪力圖和軸力圖可畫在桿軸的任一邊，需注明正負(fù)號(hào)。彎矩圖不標(biāo)正負(fù)。

為了明確表示各桿端內(nèi)力，規(guī)定在內(nèi)力采用兩個(gè)腳標(biāo)：第一個(gè)腳標(biāo)表示該內(nèi)力所屬桿端，第二個(gè)腳標(biāo)表示該桿的另一端。例如MAB表示AB桿A端截面的彎矩，MBA表示AB桿B端截面的彎矩；FQCD表示CD桿C端的剪力。

例19-4

例19-5

例19-6

第五篇：《了解我們自己》優(yōu)秀教案

【教學(xué)內(nèi)容】

教材p84~85 實(shí)踐活動(dòng)

【教學(xué)目標(biāo)】

【基礎(chǔ)性目標(biāo)】

讓學(xué)生對(duì)自身的一些感興趣的問題，進(jìn)行實(shí)際調(diào)查，收集、整理和用不同方法表達(dá)數(shù)據(jù)，提高學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】

讓學(xué)生經(jīng)歷選擇數(shù)據(jù)收集方法的討論，親歷統(tǒng)計(jì)的全過程。

【教學(xué)難點(diǎn)】

選擇和收集的方法，科學(xué)有效地收集數(shù)據(jù)。

【教學(xué)準(zhǔn)備】

每人填寫個(gè)人信息卡。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境、引入課題

1、談話：你們想了解自己班里同學(xué)的哪些情況？

生：想了解身高、體重、年齡……[教師隨機(jī)板書]

（2）揭題：今天這節(jié)課我們一起“了解我們自己”。[板書課題]

師：課前同學(xué)們填寫了自己的信息卡，誰(shuí)來說一說自己的信息。

四 班個(gè)人信息卡

姓名：（）

身高：（）厘米

體重：（）千克

年齡：（）歲

生日：（）月份

二、確定主題、收集數(shù)據(jù)

1、滲透方法：

師：要了解這些內(nèi)容，應(yīng)該怎樣收集這幾方面的數(shù)據(jù)？

學(xué)生交流，教師出示以下方法：

a、自己對(duì)班上同學(xué)逐個(gè)詢問，了解需要的數(shù)據(jù)并作記錄。

b、幾個(gè)同學(xué)合作，每人調(diào)查一大組或一個(gè)小組的同學(xué)，然后匯總，獲得全班同學(xué)的數(shù)據(jù)。

c、每位同學(xué)把自己的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)貼在桌角，供其余同學(xué)自由查閱記錄整理。

d、由老師逐項(xiàng)統(tǒng)計(jì)，同學(xué)們直接獲取現(xiàn)成的數(shù)據(jù)。

師：選擇什么方法收集數(shù)據(jù)比較合適。今天我們運(yùn)用b和c兩種方法收集數(shù)據(jù)。請(qǐng)同學(xué)們把自己的信息卡貼在桌子的右上角或左上角。

2、選擇主題：

出示4個(gè)主題牌（興趣小組除外）：

請(qǐng)同學(xué)們?cè)谛〗M里說一說，你們小組最想了解什么？請(qǐng)組長(zhǎng)上來選擇。

3、小組分工：

（1）確定了統(tǒng)計(jì)主題，下面請(qǐng)同學(xué)們思考一下你們打算如何讓去收集數(shù)據(jù)？

學(xué)生獨(dú)立思考后，小組交流確定方案。

（2）全班交流匯報(bào)。

●以年齡組為例，討論明確：，年齡段要事先調(diào)查確定，再制定統(tǒng)計(jì)表，然后安排四名學(xué)生分組統(tǒng)計(jì)，最后匯總。

●以身高組為例指導(dǎo)分段制定統(tǒng)計(jì)表。

（4）說一說小組怎樣分工收集數(shù)據(jù)又快又準(zhǔn)確。在收集數(shù)據(jù)時(shí)要注意什么？

[不重復(fù)不遺漏，注意安全，前面人多就從后面開始，不要擁擠。]

4、收集數(shù)據(jù)

師：每組開始收集數(shù)據(jù)，比比哪一組又快又準(zhǔn)確。

提問：收集好數(shù)據(jù)后我們接下來怎么做呢？

三、整理數(shù)據(jù)、完成圖表。

1、整理：

各小組集中匯總，組長(zhǎng)將匯總結(jié)果告知組員。

3、制作統(tǒng)計(jì)表：

請(qǐng)各組員獨(dú)立完成統(tǒng)計(jì)圖表，先在組內(nèi)交流。

四、匯報(bào)交流、分析數(shù)據(jù)

師：剛才我們分組進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，下面讓我們一起分享統(tǒng)計(jì)的果實(shí)。

1、提問：看到我們班身高統(tǒng)計(jì)表，你能了解到什么？

（1）兒童9歲至11歲標(biāo)準(zhǔn)身高對(duì)照表

9歲

10歲

11歲

男[厘米]

137

41147

女[厘米]

136

2149

（2）請(qǐng)出比較符合該平均身高的同學(xué)，體會(huì)他的身高水平處于平均狀態(tài)。

（3）兒童乘車購(gòu)票須知：1.1米以下的兒童不用買票，1.1米到1.4米需買半票，而身高在1.4米以上的兒童應(yīng)買全票。

2、（1）看到我們班的體重統(tǒng)計(jì)表，你知道些什么？

（2）體重大概測(cè)量方法：

男：身高—105厘米=體重[千克] 女：身高—100厘米=體重[千克]

師：每個(gè)同學(xué)算一算自己的體重。

（3）提問：你的體重與平均體重比較怎樣？你要注意什么問題？

3、師：如果我們班要舉行一個(gè)班級(jí)生日會(huì)，你認(rèn)為放在哪個(gè)季度最合適？

4、師：我們班同學(xué)年齡一般是9周歲和10周歲兩種。

師：我們的年齡與坐飛機(jī)買票還有點(diǎn)關(guān)系呢？

2周歲以下

2周歲-12周歲

12周歲以上

飛機(jī)票價(jià)

票價(jià)的半 票

全 票

比較：這兩種都是條形統(tǒng)計(jì)圖，一個(gè)是橫條，一個(gè)是豎條。

5、師：哪種興趣組最受歡迎？

五、總結(jié)反思

1、提問：通過剛才的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，大家已經(jīng)了解我們自己，說說你了解了些什么？

2、師：如果我們班要要對(duì)數(shù)學(xué)家庭作業(yè)進(jìn)行改革，想聽聽大家的意見：

作業(yè)形式

不布置作業(yè)

維持現(xiàn)狀

分層次選做作業(yè)

人 數(shù)

師：采用d種收集數(shù)據(jù)的方法。每人只能舉一次。

3、統(tǒng)計(jì)在我們生活中有著廣泛的應(yīng)用和巨大的作用

老師向你推薦兩個(gè)網(wǎng)站：國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的網(wǎng)站：004km.cn

江蘇統(tǒng)計(jì)局的網(wǎng)站：004km.cn

五、布置作業(yè)：

課堂作業(yè)：《補(bǔ)充習(xí)題》。