第一篇：奧數(shù)第7講.競賽123班.教師版_染色與操作問題

五年級(jí)奧數(shù)

第十三講

染色中的抽屜原理 例1:平面上有ABCDE點(diǎn)。。

染色問題

這里的染色問題不是要求如何染色，然后問有多少種染色方法的那類題目，它指的是一種解題方法。染色方法是一種將題目研究對(duì)象分類的形象化方法，通過將問題中的對(duì)象適當(dāng)染色，我們可以更形象地觀察分析出其中所蘊(yùn)含的關(guān)系，再經(jīng)過一定的邏輯推理，便能得出問題的答案。這類問題不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)，但技巧性、邏輯性較強(qiáng)，要注意學(xué)會(huì)幾種典型的染色方法。

【例1】 六年級(jí)一班全班有35名同學(xué)，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每個(gè)座位的前后左右四個(gè)位置都叫作它的鄰座。如果要讓這35名同學(xué)各人都恰好坐到他的鄰座上去，能辦到嗎？為什么？

【分析】 劃一個(gè)5?7的方格表，其中每一個(gè)方格表示一個(gè)座位。將方格黑白相間地染上顏色，這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座。因此每位同學(xué)都坐到他的鄰座相當(dāng)于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。但實(shí)際上圖中有17個(gè)黑格，18個(gè)白格，黑格與白格的個(gè)數(shù)不相等，故不能辦到。

【例2】 右圖是學(xué)校素質(zhì)教育成果展覽會(huì)的展室，每兩個(gè)相鄰的展室之間都有門相通。有一個(gè)人打算從A室開始依次而入，不重復(fù)地看過各室展覽之后，仍回

A到A室，問他的目的能否達(dá)到，為什么？

【分析】 采用染色法。如右下圖，共有9個(gè)展覽室，對(duì)這9個(gè)展覽室，黑白相間地進(jìn)行染色，從白室A出發(fā)走過第1扇門必至黑室，再由黑室走過第2扇門至白室，由于不重復(fù)地走遍每一間展覽室，因A此將走過黑白相間的8個(gè)展覽室，再回到白室A，共走過9扇門。由于走過奇數(shù)次門至黑室，走過偶數(shù)次門至白室?，F(xiàn)在，走過9扇門，必至黑室，所以無法回到原來的白室A。

[鞏固] 有一次車展共6?6?36個(gè)展室，如右圖，每個(gè)展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口如圖所示。參觀者能否從入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀完每個(gè)展室再從出口出來?

[分析] 如右下圖，對(duì)每個(gè)展室黑白相間染色，那么每次只能從黑格到白格或從白格到黑格。由于入口處和出口處都是白格，而路線黑白相間，首尾都是白格，于是應(yīng)該白格比黑格多1個(gè)，而實(shí)際上白格、黑格都是18個(gè)，故不可能做到不重復(fù)走遍每個(gè)展室。

【例3】 右圖是半張中國象棋盤，棋盤上放有一只馬。眾所周知，馬是走“日”字的。請(qǐng)問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個(gè)點(diǎn)，然后回到出發(fā)點(diǎn)？

【分析】 馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點(diǎn)處相

馬間標(biāo)上○和●，圖中共有22個(gè)○和23個(gè)●。因?yàn)轳R走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點(diǎn)跳到同色的點(diǎn)（指○或●），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點(diǎn)，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在○點(diǎn)，要跳回這一點(diǎn)，應(yīng)跳偶數(shù)步，可是棋盤上共有23?22?45個(gè)點(diǎn)，所以不可能做到不重復(fù)地走遍所有的點(diǎn)后回到出發(fā)點(diǎn)。

討論：如果馬的出發(fā)點(diǎn)不是在○點(diǎn)上而是在●點(diǎn)上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個(gè)點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發(fā)點(diǎn)”的要求，那么情況就不一樣了。從某點(diǎn)出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點(diǎn)以外的其它44個(gè)點(diǎn)，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)是同色的點(diǎn)（指○或●）。因?yàn)?4步跳過的點(diǎn)○與點(diǎn)●各22個(gè)，所以起點(diǎn)必是●，終點(diǎn)也是●。也就是說，當(dāng)不要求回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，只要從●出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點(diǎn)。

【例4】 右圖是由14個(gè)大小相同的方格組成的圖形。試問能不能剪裁成7個(gè)由相鄰兩方格組成的長方形？

【分析】 將這14個(gè)小方格黑白相間染色（見右下圖），有8個(gè)黑格，6個(gè)白格。相鄰兩個(gè)方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個(gè)小長方形，那么14個(gè)格應(yīng)當(dāng)是黑、白各7個(gè)，與實(shí)際情況不符，所以不能剪裁成7個(gè)由相鄰兩個(gè)方格組成的長方形。

【例5】 11個(gè) 和5個(gè)能否蓋住8?8的大正方形？

【分析】 如右圖，對(duì)8?8的正方形黑白相間染色后，發(fā)現(xiàn)必然蓋住2白2黑，5個(gè)則蓋住10白10黑。

則蓋住了3白1黑或3黑1白，從奇偶性考慮，都是奇數(shù)。而這種形狀共11個(gè)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加仍為奇數(shù)，故這種形狀蓋住的黑格和白格都是奇數(shù)，加上另一種形狀的10白10黑，兩種形狀共蓋住奇數(shù)個(gè)白格奇數(shù)個(gè)黑格。但實(shí)際染色后共32個(gè)白格32個(gè)黑格，故不可能按題目要求蓋住。注意：本題中每個(gè)

蓋3白1黑或3黑1白，11個(gè)這種形狀蓋住的不一定是33白11黑或33黑11白，因?yàn)榭赡芤徊糠稚w3白1黑，另一部分蓋3黑1白。這是一個(gè)容易犯錯(cuò)的地方。

[前鋪] 能否用9個(gè)

所示的卡片拼成一個(gè)6?6的棋盤？

[分析] 不能。將6?6的棋盤黑白相間染色（見右圖），有18個(gè)黑格。而每張卡片蓋住的黑格數(shù)只能是1或者3，所以每張卡片蓋住的黑格數(shù)是個(gè)奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和也是奇數(shù)，不可能蓋住18個(gè)黑格。

[鞏固] 如右圖，缺兩格的8?8方格有62個(gè)格，能否用31個(gè)隙?

[分析] 這種覆蓋問題是典型的用染色方法解決的問題之一。用

來覆蓋，則用黑白相間染圖不重復(fù)地蓋住它且不留空

色，可以發(fā)現(xiàn)它無論橫放、豎放，必然蓋住一白一黑。要不重復(fù)不留空白，那總共蓋住的黑格數(shù)與白格數(shù)應(yīng)該相等。但從染色后整個(gè)圖來看，黑格30個(gè)，白格32個(gè)，故不可能將整個(gè)圖不重不漏地蓋住。

【例6】 用若干個(gè)2?2和3?3的小正方形能不能拼成一個(gè)11?11的大正方形？請(qǐng)說明理由。

【分析】 如右圖所示，將2?2或3?3的小正方形沿格線擺在右圖的任何位置，必定蓋住偶數(shù)個(gè)陰影方格，而陰影方格共有77個(gè)，是奇數(shù)，所以只用2?2和3?3的小正方形，不可能拼成11?11的大正方形。

[拓展] 1個(gè)2?2正方形和15個(gè)4?1長方形能不能拼出8?8的大正方形?請(qǐng)說明理由。

[分析] 若仍然將8?8的大正方形黑白相間染色，則2?2和

必須尋找其他的4?1兩種形狀蓋住的都是兩白兩黑。染色方法。新的方法必須使得2?2和4?1長方形無論放在何處，都分別符合一定的規(guī)律。采用如右圖的染色方法，則：4?1長方形必蓋住兩黑兩白，共15個(gè)4?1，蓋住30黑30白；2?2長方形可蓋住3白1黑或3黑1白?？梢园l(fā)現(xiàn)，總共只能蓋住31黑33白或31白33黑，而圖中實(shí)際有32個(gè)黑格32個(gè)白格，故不可能用15個(gè)4?1和1個(gè)2?2的長方形蓋住8?8的大正方形。對(duì)區(qū)域染色也可理解為對(duì)多個(gè)方格染色，但此時(shí)方格染色范圍更廣，染色方案更加靈活。

【分析】 如果我們可以把6個(gè)電話或8個(gè)電話做到每臺(tái)電話與5個(gè)電話相連接，我們可以將2002分成6個(gè)一組的共331組以及8個(gè)一組的共2組。如下圖，每個(gè)點(diǎn)代表一臺(tái)電話，每條線段表示其兩個(gè)端點(diǎn)為相連接的兩臺(tái)電話，左圖為6臺(tái)電話的情形，右圖為8臺(tái)電話的情形。所以我們可以把2002臺(tái)電話中的每臺(tái)電話恰好與其它5臺(tái)相連。

【例9】 下圖是八間房子的示意圖，相鄰兩間房子都有門相通。從A點(diǎn)穿過房間到達(dá)B處，如果只能從小號(hào)碼房間走向大號(hào)碼房間，那么共有多少種不同的走法？

2468A

【分析】 8只有一個(gè)口，只能選擇進(jìn)B；7有兩種選擇，1357B可以選擇進(jìn)B也可以選擇進(jìn)8，所以7有2種走

法；依此類推，每間房間的走法種數(shù)如下：8?1;7?2;6?3;5?5;4?8;3?13;2?21;1?34。所以從A點(diǎn)開始有21?34?55（種）。

【例11】 右圖是一個(gè)4?5的方格盤。先將其中的4個(gè)方格染黑，然后按以下規(guī)則繼續(xù)染色：如果某個(gè)格與兩個(gè)黑格都有公共邊，就將這個(gè)格染黑。這樣操作下去，能否將整個(gè)方格盤都染成黑色？

【分析】 開始時(shí)染黑4個(gè)方格，這4個(gè)方格的總周長不會(huì)超過4?4?16，以后每染一個(gè)格，因?yàn)檫@個(gè)格至少與兩個(gè)黑格有公共邊，所以染黑后，所有黑格的總周長不會(huì)增加。也就是說，所有黑格的總周長永遠(yuǎn)不會(huì)超過16，而4?5方格盤的周長是18，所以不能將整個(gè)方格盤都染成黑色。

【例12】

如圖，圖1的8?8方格中交替填滿了0和1，圖2是從圖1中任意位置截取的、、三種圖形，并對(duì)每種圖形進(jìn)行操作：每個(gè)小方格同時(shí)加1或同時(shí)減1，如此反復(fù)多次，再將這三種圖形不重疊地拼成的。問：圖2中的A格中的數(shù)字應(yīng)該是多少？

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第二篇：小奧 96 奧數(shù) 一年級(jí) 教案 第7講 擺擺看看

第7講擺擺看看

【例1】用兩根火柴棍，擺成一個(gè)銳角、一個(gè)直角、一個(gè)鈍角。

【例2】用四根火柴棍擺出兩條平行直線，再擺出兩條相交直線。

【例3】用火柴棍擺出一個(gè)三角形、一個(gè)正方形、一個(gè)菱形、一個(gè)長方形、一個(gè)平行四邊形、一個(gè)等腰梯形、一個(gè)五邊形、一個(gè)六邊形、一個(gè)八邊形。

【例4】用三根火柴棍可以擺出一個(gè)三角形，如圖。

(1)再加兩根火柴棍，擺出兩個(gè)三角形。(2)再加兩根，擺出三個(gè)三角形來。(3)再加兩根，擺出五個(gè)三角形來。

解擺一個(gè)三角形必需三根火柴棍，這樣計(jì)算，擺兩個(gè)三角形就需要六根。但是現(xiàn)在只給你增加兩根，卻要求你用五根擺出兩個(gè)三角形，可見必有一根火柴棍要供兩個(gè)三角形公用才行。

同樣道理，再加兩根后共七根要擺三個(gè)三角形還差兩根，所以必須有兩根公用。

再給兩根后共九根火柴棍，要擺五個(gè)三角形。擺法如圖所示?？梢钥闯鼍鸥鸩窆鲾[出了三個(gè)“正立”的小三角形，同時(shí)中間還出現(xiàn)了一個(gè)

“倒立”的小三角形，它并沒有額外需要增加火柴棍。而且最外面的六根火柴棍又形成了一個(gè)大三角形。所以這九根火柴棍共擺出了五個(gè)三角形。

習(xí)題七

1．用兩根小木棍，擺成一個(gè)很小的銳角：然后，慢慢地挪動(dòng)一根，使銳角漸漸變大。如果繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)小棍，將會(huì)出現(xiàn)什么角?

2．如右圖所示，用火柴棍擺了五個(gè)三角形。(1)拿掉哪三棍，就可以變成一個(gè)三角形?

(2)拿掉哪兩根，就可變成兩個(gè)三角形?(3)拿掉哪一根，就可變成三個(gè)三角形? 3．如右圖所示，用火柴棍擺了五個(gè)正方形。(1)拿掉兩根，剩下三個(gè)正方形。(2)請(qǐng)你拿掉兩根，剩下兩個(gè)正方形。

4．如下圖所示，用火柴棍擺了六個(gè)三角形。如果拿掉三根火柴棍就變成了三個(gè)三角形，應(yīng)該拿掉哪三根?試試看。

5．如右圖所示，用16根火柴棍擺了四個(gè)正方形。你能用15根、14根、13根火柴棍也分別擺成四個(gè)小正方形嗎?擺擺看。

習(xí)題七解答

1．慢慢轉(zhuǎn)動(dòng)小棍的過程中銳角逐漸變大，之后出現(xiàn)直角，直角再變大隨之出現(xiàn)鈍角。

2．3．

4．5．

第三篇：初一奧數(shù)數(shù)學(xué)競賽第十五講 奇數(shù)與偶數(shù)

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初一奧數(shù)數(shù)學(xué)競賽第十五講 奇數(shù)與偶數(shù)

通常我們所說的“單數(shù)”、“雙數(shù)”，也就是奇數(shù)和偶數(shù)，即±1，±3，±5，?是奇數(shù)，0，±2，±4，±6，?是偶數(shù)．

用整除的術(shù)語來說就是：能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)．通常奇數(shù)可以表示為2k+1(或2k-1)的形式，其中k為整數(shù)，偶數(shù)可以表示為2k的形式，其中k是整數(shù)．

奇數(shù)和偶數(shù)有以下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1 奇數(shù)≠偶數(shù)．

性質(zhì)2 奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)．

性質(zhì)3 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)．

性質(zhì)4 奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)；任意有限個(gè)偶數(shù)之和為偶數(shù)．

性質(zhì)5 若干個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，偶數(shù)與整數(shù)的乘積是偶數(shù)．

性質(zhì)6 如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么其中每一個(gè)因子都是奇數(shù)；如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是偶數(shù)，那么其中至少有一個(gè)因子是偶數(shù)．

性質(zhì)7 如果兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)的奇偶性相同；如果兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)一定是一奇一偶．

性質(zhì)8 兩個(gè)整數(shù)的和與差的奇偶性相同．

性質(zhì)9 奇數(shù)的平方除以8余1，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù).性質(zhì)1至性質(zhì)6的證明是很容易的，下面我們給出性質(zhì)7至性質(zhì)9的證明．

性質(zhì)7的證明 設(shè)兩個(gè)整數(shù)的和是偶數(shù)，如果這兩個(gè)整數(shù)為一奇一偶，那么由性質(zhì)2知，它們的和為奇數(shù)，因此它們同為奇數(shù)或同為偶數(shù)．

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同理兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)一定是一奇一偶．

性質(zhì)8的證明 設(shè)兩個(gè)整數(shù)為X，y．因?yàn)?/p>

(x+y)+(x-y)=2x

為偶數(shù)，由性質(zhì)7便知，x+y與x-y同奇偶．

性質(zhì)9的證明 若x是奇數(shù)，設(shè)x=2k+1，其中k為整數(shù)，于是

x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．

因?yàn)閗與k+1是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，它們必定一奇一偶，從而它們的乘積是偶數(shù)．于是，x2除以8余1．

若y是偶數(shù)，設(shè)y=2t，其中t為整數(shù)，于是

y2=(2t)2=4t2

所以，y2是4的倍數(shù)．

例1 在1，2，3，?，1998中的每一個(gè)數(shù)的前面，任意添上一個(gè)“+”或“-”，那么最后運(yùn)算的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？

解 由性質(zhì)8知，這最后運(yùn)算所得的奇偶性同

1+2+3+?+1998=999×1999 的奇偶性是相同的，即為奇數(shù)．

例2 設(shè)1，2，3，?，9的任一排列為a1，a2，?，a9.求證：(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是一個(gè)偶數(shù)．

證法1 因?yàn)?/p>

(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(a9-9)回瀾閣教育 004km.cn 免費(fèi)的教育資源庫

＝(a1+a2+?+a9)-(1+2+?+9)

=0

是偶數(shù)，所以，(a1-1)，(a2-2)，?，(a9-9)這9個(gè)數(shù)中必定有一個(gè)是偶數(shù)(否則，便得奇數(shù)個(gè)(9個(gè))奇數(shù)的和為偶數(shù)，與性質(zhì)4矛盾)，從而由性質(zhì)5知

(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶數(shù)．

證法2 由于1，2，?，9中只有4個(gè)偶數(shù)，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一個(gè)是奇數(shù)，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一個(gè)是偶數(shù)，從而(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶數(shù)．

例3 有n個(gè)數(shù)x1，x2，?，xn，它們中的每一個(gè)數(shù)或者為1，或者為-1．如果

x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1=0，求證：n是4的倍數(shù)．

證 我們先證明n=2k為偶數(shù)，再證k也是偶數(shù)．

由于x1，x2，?，xn。的絕對(duì)值都是1，所以，x1x2，x2x3，?，xnx1的絕對(duì)值也都是1，即它們或者為+1，或者為-1．設(shè)其中有k個(gè)-1，由于總和為0，故+1也有k個(gè)，從而n=2k．

下面我們來考慮(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)＝(-1)k，另一方面，有

(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)=(x1x2?xn)2=1．

所以(-1)k=1，故k是偶數(shù)，從而n是4的倍數(shù)．

例4 設(shè)a，b是自然數(shù)，且滿足關(guān)系式

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(11111+a)(11111-b)=123456789．

求證：a-b是4的倍數(shù)．

證 由已知條件可得11111+a與11111-b均為奇數(shù)，所以a，b均為偶數(shù)．又由已知條件

11111(a-b)=ab+2468，①

ab是4的倍數(shù)，2468=4×617也是4的倍數(shù)，所以11111×(a-b)是4的倍數(shù)，故a-b是4的倍數(shù).例5 某次數(shù)學(xué)競賽，共有40道選擇題，規(guī)定答對(duì)一題得5分，不答得1分，答錯(cuò)倒扣1分．證明：不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．

證 我們證明每一個(gè)學(xué)生的得分都是偶數(shù)．

設(shè)某個(gè)學(xué)生答對(duì)了a道題，答錯(cuò)了b道題，那么還有40-a-b道題沒有答．于是此人的得分是

5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，這是一個(gè)偶數(shù)．

所以，不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．

例6 證明15塊4×1的矩形骨牌和1塊2×2的正方形骨牌不能蓋住8×8的正方形.證 將8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如圖1－62)．每一塊4×1骨牌不論怎么鋪設(shè)都恰好蓋住兩個(gè)白格，因此15塊4×1的骨牌能蓋住偶數(shù)個(gè)白格．一塊2×2的骨牌只能蓋住一個(gè)白格或三個(gè)白格，總之能蓋住奇數(shù)個(gè)白格．于是15塊4×1骨牌和一塊2×2骨牌在圖上蓋住的白格是奇數(shù)個(gè)．事實(shí)上圖上的白格數(shù)恰為偶數(shù)個(gè)，故不能蓋住8×8的正方形．

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練習(xí)十五

1．設(shè)有101個(gè)自然數(shù)，記為a1，a2，?，a101．已知a1+2a2+3a3+?+100a100+101a101=s是偶數(shù)，求證：a1+a3+a5+?+a9９+a101是偶數(shù)．

2．設(shè)x1，x2，?，x1998都是+1或者-1．求證：

x1+2x2+3x3+?+1998x1998≠0．

3．設(shè)x1，x2，?，xn(n＞4)為1或-1，并且

x1x2x3x4+x2x3x4x5+?+xnx1x2x3=0．

求證：n是4的倍數(shù)．

4．(1)任意重排某一自然數(shù)的所有數(shù)字，求證：所得數(shù)與原數(shù)之和不等于99?9(共n個(gè)9，n是奇數(shù))；

(2)重排某一數(shù)的所有數(shù)字，并把所得數(shù)與原數(shù)相加，求證：如果這個(gè)和等于1010，那么原數(shù)能被10整除．

5．(1)有n個(gè)整數(shù)，其和為零，其積為n．求證：n是4的倍數(shù)；

(2)設(shè)n是4的倍數(shù)，求證：可以找到n個(gè)整數(shù)，其積為n，其和為零．

6．7個(gè)杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)4個(gè)杯子(杯口朝下的翻為杯口朝上，杯口朝上的翻為杯口朝下)，問經(jīng)過若干次這樣的翻動(dòng)，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？

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7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5這10個(gè)數(shù)排成一行，使得兩個(gè)1中間夾著1個(gè)數(shù)，兩個(gè)2之間夾著2個(gè)數(shù)，?，兩個(gè)5之間夾著5個(gè)數(shù)？

第四篇：小奧 97 奧數(shù) 一年級(jí) 教案 第7講 填圖與拆數(shù)1

【例1】如右圖，把3、4、6、7四個(gè)數(shù)填在四個(gè)空格里，使橫行、豎行三個(gè)數(shù)相加都得14。怎樣填?

解：先看豎行，最上格中已有個(gè)5。要使5+()=14，括號(hào)里的數(shù)就要填9。把9拆成兩個(gè)數(shù)：9=3+6，(因?yàn)?和6是題中給出的數(shù))分別填在豎行的兩個(gè)空格里。但進(jìn)一步想，應(yīng)該把哪一個(gè)填在中間空格里呢?這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應(yīng)填剩下的兩個(gè)數(shù)4和7，因?yàn)?和7相加和為ll，而ll+3=14，可見中間空格應(yīng)填3。

【例2】如右圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個(gè)數(shù)相加之和都等于12。解：見下圖(1)，(2)，(3)。把12分拆成三個(gè)不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式：

12=9＋2＋1 12=8+3＋l 12=7＋4＋1 12=7＋3＋2 12=6+5+1 12=6+4+2 12=5+4+3

從各式中選擇有一個(gè)相同加數(shù)的兩個(gè)式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)l填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學(xué)們還可以自己選擇另外的填法。

【例3】如右圖所示。把1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)填人五個(gè)圓圈里，要求分別 滿足以下條,：

(1)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8；

(2)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9；(3)使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。

解：見下圖(1)、(2)、(3)(1)將8分拆成三個(gè)數(shù)之和(注意，這三個(gè)數(shù)要從1、2、3、4、5中選取)8：1+2+5 8=1+3+4 因?yàn)橹虚g圓圈里的數(shù)是要公用的，所以應(yīng)把“1”填在中間圓圈里其它四個(gè)數(shù)填在邊上；(2)解法思路與(1)相同，分拆方式如下： 9=1+3+5 9=2+3+4。(3)解法思路與(1)相同 10=1+4+5 10=2+3+5。

1．如右圖所示。在正方形的空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個(gè)數(shù)相加得數(shù)都18。

2．如右圖所示。在正方形空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個(gè)數(shù)相加都得34。

3．如右圖所示。把適當(dāng)?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個(gè)圈中的數(shù)相加都是lO。

4．如圖所示。從2、3、4、5、6中先取適當(dāng)?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個(gè)大圓上的小圓圈中的四個(gè)數(shù)的和①都等于15，②都等于16。

5．如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都等于10。

6．如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個(gè)數(shù)相加之和都是15。

7．如下頁圖所示。把l、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個(gè)小三角形的各個(gè)角上的圓圈里，使每個(gè)小三角形的三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時(shí)使大三角形三個(gè)角的圓圈里的數(shù)之和也是15。

1．在右圖中，用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如10，6，7三個(gè)數(shù)。仔細(xì)觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填2，因?yàn)橐箼M行三個(gè)空格里的數(shù)之和是18，(已有的兩個(gè)數(shù)之和是10+6=16)就需要在這個(gè)空格中填上18—16=2。當(dāng)然，也可以先填左下角空格的那個(gè)數(shù)，因?yàn)樗诘男毙兄幸延袃蓚€(gè)數(shù)7和6，而7+6=13，所以應(yīng)在這個(gè)空格里填18－13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。

2．見右圖。解法思路與第1題相同。因?yàn)橐竺啃械乃膫€(gè)數(shù)之和是34，而第三橫行已有的三個(gè)數(shù)之和為9+7+12=28，所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個(gè)數(shù)之和是13+10+7=30，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應(yīng)填4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有卒格。

3．見右圖。解法與第1題相同。因?yàn)槿切蔚囊贿呉延袃蓚€(gè)數(shù)3和2，其和為3+2=5，要使這邊的三數(shù)之和是10，可知這邊的右下角圓圈中應(yīng)填10－5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。

4．見右圖。①和是15：因?yàn)榇髨A上有兩個(gè)小圓圈中已有了1和7，它們的和是1+7=8，所以同一個(gè)大圓上另外的兩個(gè)小圓圈中應(yīng)填的兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)是15－8=7，將7分拆成兩個(gè)數(shù)有兩種分拆方式：

將2和5填人一個(gè)大圓上的兩個(gè)空圈中，將3和4埴入另一個(gè)大圓卜的兩個(gè)率圈中。

②見右圖。和是16，解法 思路和①相同。因?yàn)?/p>

將8分拆成兩個(gè)數(shù)，有兩種分拆方式：

將2和6、3和5分別填人大圓上的空圈中。

5．解：見下圖(1)～(4)把10分拆成三個(gè)不同的數(shù)的和，共有4種分拆方式： 10=1＋2+7=1+3+6=1＋4＋5 10=2＋3+5

選擇有一個(gè)共同加數(shù)的兩個(gè)式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個(gè)加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有6種符合題目要求的填法，這里只舉其中4種填法，還有2種填法你能找出來嗎? 6．解見下圖。把15分拆成三個(gè)不同的數(shù)相加之和，共有12種分拆方式：

15=1+2-＋12 15=1＋3＋11 15=1＋4+10 15=1＋5＋9 15=1＋6＋8 15=2＋3＋10 15=2＋4＋9 15=2＋5＋8 15=2＋6＋7 15=3＋4＋8 15=3+5＋7 15=4＋5＋6 因?yàn)轭}目中已有2、3、8三個(gè)數(shù)填在3個(gè)圓圈里，觀察上面各式，既又要有另一個(gè)數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個(gè)：

15=1+2+l2． 15=1+3+11． 15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)“1”寫在中間圓圈里，再在其他三個(gè)圓圈里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

7．解：見下面兩圖，將15分拆，采取兩步分拆法如下：

適當(dāng)選取四組數(shù)，填入四個(gè)三角形中(3個(gè)小三角形與1個(gè)大三角形)，可以得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3、5、7，將它們分別填在大三角形的三個(gè)角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上圖所示。

第五篇：小學(xué)奧數(shù)三年級(jí)第5講平均數(shù)

第7講

平均數(shù)

一組數(shù)的和除以這組數(shù)的個(gè)數(shù)，稱為這組數(shù)的平均數(shù)。

例1、5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的中間一個(gè)數(shù)是45，這5個(gè)數(shù)的和是多少？

分析5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的第3個(gè)數(shù)是45，第2個(gè)（44）與第4個(gè)（46）相加是兩個(gè)45，第1個(gè)（43）與第5個(gè)（47）相加是兩個(gè)45。

解

和是

45×5=225

隨堂練習(xí)1 計(jì)算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地，奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和等于中間一項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。換句話說，奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)就是中間的那個(gè)數(shù)。高斯求和方法的實(shí)質(zhì)就是

和=平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)

偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平均數(shù)不是整數(shù)，我們現(xiàn)在尚未學(xué)到。所以先將第一項(xiàng)加最后一項(xiàng)，第二項(xiàng)加倒數(shù)第二項(xiàng)……直至中間兩項(xiàng)相加，這些和都相等。而個(gè)數(shù)是項(xiàng)數(shù)的一半，所以偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和等于中間兩項(xiàng)的和（也即首末兩項(xiàng)的和）乘以項(xiàng)數(shù)除以2.例2、8個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是108，寫出這8個(gè)數(shù)。

分析

因?yàn)橹虚g兩個(gè)數(shù)相加再乘以4（=8÷2）等于108，所以中間兩項(xiàng)的和可以求出來。

解 中間兩項(xiàng)的和是108÷（8÷2）=27 又

27=13+14 所以中間兩項(xiàng)是13、14.這8個(gè)數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.（由13往前數(shù)4個(gè)數(shù)到10，由14往后數(shù)4個(gè)數(shù)到17）答：這8個(gè)連續(xù)的自然數(shù)是10、11、12、13、14、15、16、17.隨堂練習(xí)2 6個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是273，這6個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是多少？

例

3、求出以下28個(gè)數(shù)的平均數(shù): 12、13、13、14、15、16、16、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35.分析與解

這28個(gè)數(shù)的和是（12+13+14+……+35）+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均數(shù)，但比較麻煩。如果注意到25個(gè)連續(xù)自然數(shù)11、12、13，……，35的平均數(shù)是23（中間一項(xiàng)），那么就比較容易。

因?yàn)?13+16+16+35 =（11+2）+（23+12）+（23-7）+（23-7）=11+23+23+23 所以原來的和就是11+12+13+……+35+23+23+23，原來28個(gè)數(shù)的平均數(shù)正好是23.隨堂練習(xí)3 求28個(gè)數(shù)：12、13、14、14、14、15、16、17、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、35的平均數(shù)。

例

4、求數(shù)列 1、2、4、5、7、8，……，46、47、49、50、52、53（1）的規(guī)律，并求這組數(shù)的和與平均數(shù)。

分析 數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)組成等差數(shù)列（公差是3）1、4、7，……，49、52.（2）數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)組成等差數(shù)列（公差也是3）2、5、8，……，50、53.（3）

分別求出數(shù)列（2）（3）的和，再相加，可以得出所求的和，再得出平均數(shù)。但更為簡單的辦法是直接運(yùn)用高斯的思想。注意： 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28（4）解 1與53的平均數(shù)是27，也就是1+53可以換成2個(gè)27相加。同樣，2+52,4+50，……，26+28都可以換成27+27.因此（1）的和是27×36=972.從例4可以看出，如果一組數(shù)可以分成許多小組，各小組的平均數(shù)都相等，那么這個(gè)相等的數(shù)就是這組數(shù)的平均數(shù)（例4中，每個(gè)小組2個(gè)數(shù)的和是54，每個(gè)小組的平均數(shù)是27）。

隨堂練習(xí)4 尋找數(shù)列4,2,5,8,6,14,7,20，……，12,50,13,56的規(guī)律，并求這數(shù)列的和。

練習(xí)題：

（1）求1至100內(nèi)能被4整除余1的所有數(shù)的和。

（2）求1至100內(nèi)既是3的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的所有數(shù)的和。

（3）有10只盒子，44只乒乓球。把這44只乒乓球放到盒子中，每個(gè)盒子中至少要放一個(gè)球，能不能使每個(gè)盒中的球數(shù)都不相同？

（4）影劇院共有25排座位，第一排有20個(gè)座位，以后每排比前一排多2個(gè)座位，問：影劇院共有多少個(gè)座位？

（5）時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)時(shí)敲這鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘時(shí)敲1下，問：一晝夜該時(shí)鐘總共敲多少下？（6）求所有三位數(shù)的和。

（7）求1至100（包括100在內(nèi)）的所有5的倍數(shù)的和。

（8）50把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，試多少次就足夠了？

（9）已知數(shù)列：2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，2,5,3,3,7，……。這個(gè)數(shù)列的第30項(xiàng)是哪個(gè)數(shù)？到第25項(xiàng)止，這些數(shù)的和是多少？

（10）24個(gè)連續(xù)自然數(shù)12―35，再添上一個(gè)35，一個(gè)13，兩個(gè)16.這28個(gè)數(shù)的平均值是多少？