第一篇：“平行四邊形, 三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究” 校本教研活匯總

“平行四邊形、三角形和梯形的面積公式教學(xué)研究” 校本教研活動方案(一 朱樂平

一、活動目標(biāo)

1.經(jīng)歷閱讀、思考、解答并與同伴交流關(guān)于平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式教學(xué)的相關(guān)資料與問題。

2.明確化歸法的含義。能夠分清平行四邊形、三角形與梯形的面積這三個公式教學(xué)時,教學(xué)目標(biāo)上的相同與不同點。

3.能了解平行四邊形面積計算公式教學(xué)的不同引入方法,并對不同的引入方法的優(yōu)點與不足進(jìn)行分析。

4.能夠明確如何引導(dǎo)學(xué)生探索平行四邊形面積計算公式。

二、活動時間

教研活動可以分成兩個時間段,第一段是交流本方案中的問題60分鐘。然后是一個老師上課,上平行四邊形面積計算公式這節(jié)課40分鐘,評課再50分鐘。共2個半小時,可以在同一個半天中,也可以分開。可以根據(jù)學(xué)校教研活動的時間和教研組老師的情況,選擇下面“活動前準(zhǔn)備”中的一些問題進(jìn)行解答與交流。

三、活動前準(zhǔn)備

先讓全組數(shù)學(xué)教師解答下面的問題,并準(zhǔn)備在小組或全數(shù)學(xué)組交流。(注:以下帶有*號表示問題有一定的難度。

(一

⒈你認(rèn)為“平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積計

算公式”這三塊教學(xué)內(nèi)容,小學(xué)生應(yīng)該先學(xué)哪一塊內(nèi)容?為什么?現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,學(xué)生學(xué)習(xí)這三塊內(nèi)容的順序是怎樣的? ⒉平行四邊形、三角形和梯形這三個圖形的面積公式推導(dǎo)時,都運用了化歸的方法(也有人叫它是轉(zhuǎn)化的方法。

(1請你寫一寫什么叫化歸法?如果你不能直接寫出化歸法的含義,那么,請你試著先舉出運用化歸法解決數(shù)學(xué)問題的例子,然后再試著寫一寫什么叫做化歸法。

(2請你閱讀下面的文章,閱讀完后,請在數(shù)與代數(shù)和圖形與幾何的領(lǐng)域中各舉一個運用化歸法解決問題的例子。

如果問,數(shù)學(xué)家與其他科學(xué)家在解決問題時,在思維方法上有什么特別的地方?可能的回答是:數(shù)學(xué)家的思維方式更善于運用化歸法。有人曾對“化歸法”作過生動的比擬?！凹僭O(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴,現(xiàn)在的任務(wù)是要燒水,你應(yīng)當(dāng)怎樣去做?”。正確的回答是:“在水壺中放進(jìn)水,點燃煤氣,再把水壺放到煤氣灶上。”接著又提出第二個問題:“假設(shè)其他的條件都不變,只是水壺中已有了足夠的水,這時你應(yīng)該怎樣去做?”。對此,人們往往回答說:“點燃煤氣,再把壺放到煤氣灶上?！钡@并不是最好的回答,因為“只有物理學(xué)家才這樣做,而數(shù)學(xué)家則會倒去壺中的水,并且聲稱我已經(jīng)把后一問題化歸成先前的問題了?！?/p>

這個比喻固然有點夸張,但卻道出了化歸的根本特征。利用化歸法解決問題的過程可以簡單地用以下框圖表示:

又如,當(dāng)我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和是180°后,(凸多邊形的內(nèi)角和的問題可以按照下面的方法來解決。

圖1 如上圖1所示,因為,四邊形可以分割成兩個三角形,所以,它的內(nèi)角和是2×180°=(4-2×180°;因為,五邊形可以分割成三個三角

形,所以,它的內(nèi)角和是3×180°=(5-2×180°;因為,六邊形可以分割成四個三角形,所以,它的內(nèi)角和是4×180°=(6-2×180°;因為7邊形可以分割成5個三角形,所以,它的內(nèi)角和是5×180°=(7-2×180°;

……

一般地,因為n邊形可以分割成(n-2個三角形,所以,它的內(nèi)角和是(n-2×180°。從上面的分析可以知道,解決多邊形內(nèi)角和問題的關(guān)鍵是把多邊形分割成(若干個三角形,這實質(zhì)上已經(jīng)把原來的求多邊形內(nèi)角和的問題化歸成求三角形內(nèi)角和的問題。而三角形內(nèi)角和的問題已經(jīng)解決,從而多邊形內(nèi)角和的問題也可以解決。

可以用下圖直觀的表示:

⒊如果用三節(jié)新課分別教學(xué)平行四邊形、三角形和梯形面積的計算公式,那么這三節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有哪些相同的地方?有哪些不同的地方? ⒋大家知道,如果先學(xué)習(xí)習(xí)近平行四邊形的面積計算公式,那么可以用兩個完全相同的三角形或梯形拼成一個平行四邊形的方法,推導(dǎo)出三角形或梯形的面積計算公式,因此,這兩個面積計算公式的教學(xué)可以有不同的課時設(shè)計。以下是兩個不同的教學(xué)順序: 教學(xué)順序一:(1三角形面積計算公式新課(一課時;(2三角形面積計算公式練習(xí)課(一課時;(3梯形面積計算公式新課(一課時;(4梯形面積計算公式練習(xí)課(一課時;(5三角形與梯形面積計算的綜合練習(xí)課(一課時。按照這樣的教學(xué)順序進(jìn)行教學(xué),一共安排5課時。

教學(xué)順序二:

(1三角形與梯形面積計算公式新課(一課時;(2三角形與梯形面積的練習(xí)課(三課時;(其中第一課時重點練習(xí)三角形面積計算公式的應(yīng)用,但也有梯形面積公式的應(yīng)用練習(xí);第二課時重點練習(xí)梯形面積計算公式的應(yīng)用,但也有三角形面積計算公式的應(yīng)用練習(xí)。第三課時是三角形與梯形面積計算公式的綜合應(yīng)用練習(xí)。共安排了4課時。

請你回答下面的問題:(1上面的兩種不同的教學(xué)順序你更喜歡哪一種?喜歡的主要理由是什么。(2從學(xué)生作業(yè)錯誤率的高低來看,憑你的經(jīng)驗,覺得按照順序一這樣教學(xué),一開始的錯誤率會高還是低?大約到第幾節(jié)課時,學(xué)生的錯誤率最高?按照順序二教學(xué),錯誤率的高低又是怎樣變化的?(3有人認(rèn)為:“不能簡單地說上面的哪一種教學(xué)順序更好。而應(yīng)該根據(jù)對不同的學(xué)生實際,不同難度的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容來確定不同的順序?！蹦阃膺@個觀點嗎?以下的一些情況,你認(rèn)為分別運用哪一種教學(xué)順序更合適?請在括號內(nèi)分別寫出順序一或二。并簡要說明理由。

①班級學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較弱;(②班級學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對比較好;(③數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容比較抽象,學(xué)生學(xué)習(xí)的難度比較大;(④學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容難度比較小;((4如果對兩個基礎(chǔ)差不多的班級學(xué)生,分別用上面的兩種順序進(jìn)行教學(xué),那么這兩個班的學(xué)生,在三角形與梯形的面積計算公式的理解與掌握水平上會有差異嗎?如果沒有差異,主要原因是什么?如果有,主要差異是哪些?(5*如果要運用上面的兩種不同的教學(xué)順序設(shè)計做一個對比教學(xué)實驗,那么,這個實驗的主要過程是哪些?請你寫一寫。

(二

⒌按照現(xiàn)行教材的編寫順序,在學(xué)習(xí)習(xí)近平行四邊形面積計算公式之前,學(xué)生有哪些知識和經(jīng)驗與學(xué)習(xí)這一知識密切相關(guān)? ⒍*在學(xué)生沒有學(xué)習(xí)習(xí)近平行四邊形面積公式之前,如果給他們一個平行四邊形的紙片,讓他們求出這個平行四邊形的面積,他們可能會運用什么樣的方法?(如果讀者感興趣,可以把了解學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)近平行四邊形的面積計算公式的起點,作為一個專題來研究,寫成專題研究文章,即通過調(diào)查,包括訪談,了解到學(xué)生的學(xué)習(xí)起點和解決問題的不同思路。

⒎一個老師在上平行四邊形面積計算公式這節(jié)課時,設(shè)計了開門見山的導(dǎo)入方式,上課一開始教師就在黑板上寫出:平行四邊形的面積。并問:看到這個課題,你想提出什么數(shù)學(xué)問題。(學(xué)生提問。教師根據(jù)學(xué)生的提問梳理篩選出學(xué)習(xí)目標(biāo):(1什么是平行四邊形的面積?(2怎樣計算平行四邊形的面積?(3計算平行四邊形的面積有什么用處? 你喜歡這樣的開頭方式嗎?你覺得這樣的設(shè)計有什么優(yōu)點?有什么不足? ⒏大家知道,在學(xué)習(xí)習(xí)近平行四邊形的面積計算公式之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了長方形的面積計算公式,但在長方形的面積計算公式推導(dǎo)中,學(xué)生并沒有學(xué)到“圖形的面積大小與高有關(guān)”這一知識點,也沒有相應(yīng)的基本活動經(jīng)驗。在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)中,學(xué)生將第一次接觸“圖形的面積與高有關(guān)”這一知識。掌握這一知識對于推導(dǎo)三角形和梯形的面積計算公式,顯然有著十分重要的意義。想一想,你有什么辦法可以讓學(xué)生明確平行四邊形的面積大小與高有關(guān)?下面的做法是否可以使學(xué)生明確到這一點? 先用硬紙板做一個平行四邊形的框架,然后拉動變形,使得變化出的平行四邊形有不同的高。拉動時,先定格在一個位置,讓學(xué)生觀察這時平行四邊形的底、高和面

積等因素,再拉動定格在另一位置,讓學(xué)生觀察、想象、思考:兩個不同位置時平行四邊形的什么變了?什么沒有變? 再做一個課件,在網(wǎng)格中先出示一個平行四邊形,然后慢慢的不斷變化,把變化前后的幾個平行四邊形都呈現(xiàn)出來(如下圖2,讓學(xué)生觀察、想象、思考:什么在變?什么沒有變?平行四邊形的面積大小是怎么變化的?底與高是怎樣在變化?面積的大小與什么有關(guān)?

圖2 ⒐有一個老師在備平行四邊形面積教學(xué)這節(jié)課時,做了以下的預(yù)設(shè):今天我們來研究平行四邊形的面積(板書課題。這里有兩個圖形(如圖3,一個是長方形,一個是平行四邊形,請大家先測量出必要的數(shù)據(jù),再通過計算求出它們的面積。

圖3 預(yù)設(shè):第一個圖形是長方形,學(xué)生會先量出(或數(shù)出它的長是6厘米,寬是4厘米,從而計算出面積是6×4=24(平方厘米。

第二個圖形是平行四邊形,學(xué)生可能會運用以下的一些方法求出它的“面積”:

方法一:先量出橫的(水平的底是6厘米,斜的(傾斜的底是5厘米,從而計算出面積是6×5=30(平方厘米。這實質(zhì)上是學(xué)生的猜想,這部分學(xué)生認(rèn)為平行四邊形面積等于相鄰兩邊的乘積。

方法二:先測量出平行四邊形相鄰兩條邊的長度(也是兩條底邊的長度,分別是6厘米和5厘米,再計算出面積是(6+5×2=22(平方厘米。這是學(xué)生的又一個猜想。

方法三:先畫出這個平行四邊形底邊上的高,再量出高是4厘米,底是6厘米,面積是6×4=24(平方厘米。這也是學(xué)生的一個猜想。

在學(xué)生有這些猜想后,接著就是運用各種方法來驗證猜想是否正確?！Ｔ谏厦娴念A(yù)設(shè)中,你覺得:(1學(xué)生有可能象方法一這樣求平行四邊形的面積嗎?(2認(rèn)為平行四邊形面積等于相鄰兩邊乘積的學(xué)生數(shù)占全班的百分比大約是多少?(3學(xué)生為什么會認(rèn)為:平行四邊形的面積等于相鄰兩邊的乘積呢?也就是他們產(chǎn)生這一結(jié)論的主要原因是什么?(4可以設(shè)計怎樣的教學(xué)過程,逐步引導(dǎo)學(xué)生自己認(rèn)識到:“平行四邊形面積等于相鄰兩邊的乘積”這一結(jié)論是錯誤的?適當(dāng)?shù)馗倪M(jìn)上面第9題的演示過程,可以讓學(xué)生明確這一點嗎? ⒑在平行四邊形面積計算公式教學(xué)時,要運用化歸的方法,把平行四邊形轉(zhuǎn)化成為已經(jīng)知道面積計算公式的長方形。這是學(xué)生第一次接觸到剪、拼轉(zhuǎn)化的方法。想一想,你可以通過怎樣的引導(dǎo)過程,能夠使更多的學(xué)生自己想到用這種剪、拼的方法? 下面是兩個不同的引導(dǎo)過程,你更喜歡哪一個設(shè)計?為什么?(1整體入手的方法:教師向?qū)W生說明,下面將出示一些圖形,要求他們求出這些圖形的面積。如果圖形中有方格,那么一個小方格代表1平方厘米。

(1(2(3

(4(5(6 圖4

①出示上圖4(1,讓學(xué)生說一說它的面積是多少?？梢杂檬裁捶椒ㄖ肋@個長方形的面積。交流后得到可以用數(shù)方格(數(shù)方格法和測量出長與寬的長度再計算出面積(公式法這兩種方法。板書:數(shù)方格法:要把圖形放在網(wǎng)格中。公式法:要測量出相關(guān)線段的長度,然后運用這些長度進(jìn)行計算,從而得出這個圖形的面積。

②出示圖4(2,讓學(xué)生說出面積是多少。并進(jìn)一步明確可以用數(shù)方格法和公式法得出面積。引出剪、拼轉(zhuǎn)化的思想,討論交流:剪、拼轉(zhuǎn)化前后兩個圖形的什么變了(形狀變了,什么沒有變(面積的大小沒有變。如果要用公式法計算這個圖形的面積,需要測量出哪幾條線段的長度(或者說哪幾條線段的長度需要知道。

③出示圖4(3,與上述過程②類似。并進(jìn)一步討論出可以在不同的地方剪開,再拼。強調(diào)用剪、拼的方法轉(zhuǎn)化成已經(jīng)知道面積計算公式的圖形時,要注意剪、拼前后兩個圖形的比較與分析。

④出示圖4(4,讓學(xué)生分別用數(shù)方格法和用剪、拼的方法得出這個平行四邊形的面積。比較剪、拼前后的兩個圖形,得出如果要用公式法計算平行四邊形面積,那么就要測量出平行四邊形的底與高,公式

是：平行四邊形面積=底×高。⑤ 出示圖 4(5，讓學(xué)生想一想，要求出這個平行四邊形的面積 需要測量哪幾條線段的長度。這個圖形的面積是多少。⑥ 出示圖 4(6，與上述過程⑤類似。要求學(xué)生自己畫出高，測 量后再求出面積。⑦ 讓學(xué)生自己在方格紙上任意畫一個平行四邊形，先用公式法 求出面積，再用數(shù)方格的方法進(jìn)行驗證。(2 局部入手的方法(數(shù)方格的方法：學(xué)生在學(xué)習(xí)長方形面積計 算公式時，是先用面積單位去度量，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律得到公式的。因此，用數(shù)方格的方法

求出一個圖形的面積學(xué)生有一定的活動經(jīng)驗。讓學(xué)生用 數(shù)方格的方法求平行四邊形的面積，當(dāng)遇到不是正好一格的時候，就要 想辦法拼成一整格，要找到兩個(或幾個不到一整格的圖形，使這些圖 形可以拼成一整格，即拼成一個小正方形。這樣就會有部分學(xué)生想到把 不到一格的剪下來，與另一個不到一格的圖形拼在一起。在面積不變的 情況下，把不是整格的圖形轉(zhuǎn)化為整格。這可能是最容易想到用剪、拼 方法的地方，也可能是剪、拼方法產(chǎn)生的最直接原因。學(xué)生在小范圍的 部分剪、拼中(從理論上說，每次剪下的一塊都是可以是不足一整格的，逐步發(fā)現(xiàn)較大范圍的整體剪、拼，即可以剪下一個三角形(或梯形，再 通過兩個三角形(或梯形拼在一起，可以得到一個長方形，從而把平行 四邊形轉(zhuǎn)化成了已經(jīng)知道面積計算公式的長方形了。這就是剪拼轉(zhuǎn)化思 想的產(chǎn)生的整個過程。具體的操作過程如下： ① 出示圖 5，先說明每一個小方格表示 1平方厘米，再讓學(xué)

生數(shù)一數(shù)(用數(shù)格的方法這兩個面積各是多少平方厘米。圖5 學(xué)生數(shù)后思考：哪一個圖形的面積容易數(shù)出？為什么？這個平行 四邊形的面積是多少？你是怎樣數(shù)的？ 交流后得出：長方形的面積容易數(shù)出，因為它都是整格的。長方 形的面積計算已經(jīng)有了公式，只要計算長×寬就可以得到面積。平行四 邊形的面積不容易數(shù)出，因為有不到一整格的情況。但可以先數(shù)整格的，再把不到一整格的拼起來再數(shù)：先數(shù)整個的小方格，一行有四個，有三 行，共 12 個。另外左右兩邊各有三個半格，每行左右的兩個半格可以 拼成一個整格，這樣可以拼出三個整格(如圖 6(2，所以這個平行四邊 形的面積是 12+3=15平方厘米。(1(2 圖6 比較圖 6（1、(2兩個圖形，想一想，什么變了？什么沒有變？在上 面的過程中，老師要強調(diào)每一行的左右兩個半格都可以通過剪、拼的方 法得到一整格。② 先要求學(xué)生繼續(xù)用數(shù)方格的方法求下面圖 7 中左右兩個平行

四邊形的面積。由于在下面圖 7 中的兩個平行四邊形中，不到一格的又 不是正好半格，這樣的格子怎么計數(shù)，就需要學(xué)生動腦思考。由于有了 上面左右兩個半格剪拼成一格的經(jīng)驗，部分學(xué)生會先發(fā)現(xiàn)左右兩個不到 一整格可以剪拼成一整格。并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)沿著高剪下三角形(或梯形拼 成長方形進(jìn)行化歸的過程。圖7 引導(dǎo)學(xué)生比較轉(zhuǎn)化前后兩個圖形的關(guān)系，并思考測量出平行四邊形 中哪些線段的長

度就可以通過計算求出它的面積。最終得到平行四邊形 的面積計算公式。(關(guān)于平行四邊形、三角形、梯形的面積公式教學(xué)研究內(nèi)容將在本 刊 2011 年第 12 期“平行四邊形、三角形、梯形的面積公式教學(xué)研究” 校本教研活動方案(二”中繼續(xù)闡述，敬請關(guān)注!(以上活動方案中問題的相應(yīng)參考答案略(浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310006

第二篇：平行四邊形、三角形、梯形面積公式的推導(dǎo)

一、平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程：

1、把平行四邊形沿著它的一條高剪開，就拼成了一個長方形。

2、平行四邊形的底等于長方形的長，平行四邊形的高等于長方形的寬。

3、因為長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

二、三角形面積公式的推導(dǎo)過程：

1、兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形。

2、三角形的底等于平行四邊形的底，三角形的高等于平行四邊形的高。

3、三角形的面積等于平行四邊形的一半，因為平行四邊形的面積=底×高，所以三角形的面積=底×高÷2.三、梯形面積公式的推導(dǎo)過程：

1、兩個完全一樣的梯形可以拼成一個平行四邊形。

2、平行四邊形的底等于梯形的上底加下底，平行四邊形的高等于梯形的高。

3、梯形的面積等于平行四邊形面積的一半，因為平行四邊形的面積=底×高，所以梯形的面積=（上底+下底）×高÷2.

第三篇：直角梯形面積公式

直角梯形面積公式

S=（上底+下底）×高÷2

梯形是上下兩條邊平行的四邊形狀，你按照一個對角線可以把它分成兩個高相同的三角形，三角形面積公式是“底乘以高除以2”，所以梯形就是：“上底乘以高除以2”+“下底乘以高除以2”=“上底加下底乘以高除以2”

另一個公式：“中位線×高”

第四篇：平行四邊形的面積教學(xué)研究

“平行四邊形的面積”教學(xué)研究

——以數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累為視角

湖師附小教育集團(tuán) 朱國平

內(nèi)容摘要：平行四邊形的面積一課，多數(shù)經(jīng)典的教學(xué)案例都從“活動框架”的拉伸引發(fā)學(xué)生探究的欲望。然，這樣的設(shè)計是否有缺陷？對于學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是否能起到積極的作用？這都是值得商榷的問題。本文試圖從數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累這一視角來闡述我們的研究。關(guān)鍵詞：平行四邊形面積，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，等積變形，轉(zhuǎn)化思想

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗指是學(xué)生個體在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)上獲得的經(jīng)驗，是學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程與結(jié)果的有機(jī)統(tǒng)一體，既包括經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動所獲得的經(jīng)驗本身，也包括經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動獲得經(jīng)驗的過程。

2011版新課標(biāo)將課程目標(biāo)由“雙基”變?yōu)椤八幕?。?shù)學(xué)活動經(jīng)驗也被賦予了更加豐富的內(nèi)涵，不再僅僅是數(shù)學(xué)知識的一部分；獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與理解數(shù)學(xué)知識、掌握數(shù)學(xué)技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法并列，成為數(shù)學(xué)教育教學(xué)的一個更加直接的目標(biāo)和追求，也使得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗成為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的核心概念之一。那么，對于一線教師而言，為學(xué)生提供怎樣的活動素材，這種教學(xué)素材對于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是否具有積極的意義？就是值得我們教師思考的問題。

一、經(jīng)典教學(xué)案帶來的思考——積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的缺失

“平行四邊形的面積”人教版教材安排在五下《多邊形的面積》單元。她作為起始課，即承載著本單元教學(xué)重點，即 “等積變形”這一轉(zhuǎn)化思想，又承載著后續(xù)教學(xué)其他圖形面積時這一思想應(yīng)用的任務(wù)。因此，在本課的教學(xué)過程中，轉(zhuǎn)化思想從隱性走向顯性，并給學(xué)生一個明確的表征。對于本課的教學(xué)，無數(shù)的經(jīng)典案例都試圖闡述這一思想，主要有以下環(huán)節(jié)： ? 回顧長方形的面積計算方法。

? 拉伸框架，引發(fā)思考：平行四邊形的面積改怎么計算？（如右圖）? “底×鄰邊”與“底×高”兩種方法的思維碰撞。? 借用數(shù)格子等方法驗證“底×高”的合理性?！?/p>

然而，這樣的教學(xué)設(shè)計從數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗的角度思考，我們認(rèn)為是有問題的。主要有以下三方面：

1.拉動變形是否在誤導(dǎo)學(xué)生？——容易混淆“周長”與“面積”的概念

老師在拉伸框架的環(huán)節(jié)，經(jīng)常會問“面積變了嗎？”學(xué)生基本都會說不變。這是為何？其一，因為學(xué)生觀察的框架以“框”為主體，是強刺激成份，而不是所圍成面的大小，他們認(rèn)為周長是沒有變化的，面積自然不變。其二，因為受透視的影響。學(xué)生早就知道，一個平面由于觀察角度的變化，觀察到的平面形狀也會隨著變化，比如正方體的“非正面”是畫成平行四邊形的。學(xué)生頭腦中已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗對于這個實驗操作所需要達(dá)成的效果都是負(fù)遷移影響的。

2.四邊形的不穩(wěn)定性是否緊貼教學(xué)主題？——學(xué)生沒有相關(guān)經(jīng)驗的積累

框架的拉動從一方面印證了四邊形的不穩(wěn)定性。從數(shù)學(xué)本質(zhì)思考，四邊形的不穩(wěn)定性指四條邊不同組合圍成的四邊形可以出現(xiàn)不同的形狀。然，活動框架是可以拉伸的，但平面是不可能拉伸的。試想，一張紙也是否可以拉伸？（它同樣是四邊形）框架形狀的改變帶來所圍成面形狀的變化，這一過程繞來繞去，把學(xué)生繞糊涂了。學(xué)生更沒有相關(guān)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。

3.本環(huán)節(jié)的教學(xué)價值何在？——“等積變形”轉(zhuǎn)化思想經(jīng)驗的缺失

那么，這樣的設(shè)計意圖何在？無非是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提供探究的載體。但學(xué)生在猜測過程中帶來的是失敗的體驗，沒有積累解決相關(guān)問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。作為核心思想的“等積變形”在這一環(huán)節(jié)沒有體現(xiàn)，拉伸框架屬于“周長不變、面積變化”，轉(zhuǎn)化思想屬于“形狀變化，面積不變”，如此設(shè)計甚至混淆了兩者，對于后續(xù)的教學(xué)無積極意義。

我們認(rèn)為：本課教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗和認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，分析學(xué)生目前的認(rèn)知狀態(tài)，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；應(yīng)重新解讀教材，厘清編寫的意圖，而不是依據(jù)教師的主觀意識解讀教材；應(yīng)以“等積變形”這一核心思想為教學(xué)的主線；應(yīng)在圖形面積的教學(xué)中注重學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累。

二、材料重組與教學(xué)實踐——落實數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累

鑒于以上我們對教材和學(xué)生的認(rèn)識，我們對教學(xué)素材進(jìn)行了重組，試圖從學(xué)生數(shù)學(xué)活動積累的層面改進(jìn)教學(xué)設(shè)計。以下是我們的教學(xué)實踐。

㈠優(yōu)化活動過程，落實數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累

1.聚焦激活經(jīng)驗——利用“重疊”印證“等積變形”，打開推導(dǎo)的渠道

七巧板是學(xué)生學(xué)習(xí)生活中接觸比較多的學(xué)具，七巧板在圖形與幾何教學(xué)中蘊含了很多教學(xué)資源。比如：認(rèn)識圖形，擺對稱圖形，圖形的拼組等等。在本課的教學(xué)中利用七巧板中三個圖形的拼組發(fā)現(xiàn)“形狀不同、面積相等”，即“等積變形”，這也是本單元圖形面積教學(xué)的核心理念。

1.1再認(rèn)七巧板

⑴這三個圖形的面積有什么關(guān)系？ ⑵怎么證明它們之間的面積關(guān)系？（重疊）1.2組合七巧板

⑴能用這三個圖形拼出哪些我們學(xué)過的圖形？

⑵指定一個圖形，請你用這三塊板拼一拼，依次要求拼：長方形、平行四邊形、梯形和三角形。

黑板上貼出：

長方形

平行四邊形

梯形

三角形

⑶只移動一塊板，請你把三角形變成平行四邊形，再移動一塊板，變成長方形。⑷這四個圖形有什么相同點和不同點？（面積相等、形狀不同）

感性認(rèn)識提升至理性認(rèn)識，豐富直接數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。重溫利用“重疊”印證面積相等，利用七巧板中三個圖形的拼組引出“形狀不同、面積相等”即“等積變形”。使學(xué)生對于“等積變形”的思想有深刻的體會，為后續(xù)的教學(xué)做足了鋪墊。在這一環(huán)節(jié)中聚焦與激活了學(xué)生原有的知識經(jīng)驗，即圖形的移動不會影響圖形的面積，形狀的改變不會改變圖形的面積。通過對操作過程的總結(jié)使學(xué)生對此有理性的思考。

2.生成累積經(jīng)驗，利用“等積變形”猜想公式，初建公式的模型 2.1測量數(shù)據(jù)，計算面積

⑴畫出圖形的一周，拿去七巧板，設(shè)問：這些圖形的面積究竟等于多少呢？你有辦法嗎？ 生測量正方形的邊長再計算；計算長方形的面積。板書：16×8=128（平方厘米）⑵你們是怎么想到用這種兩種方法的？

⑶如果要測量平行四邊形的有關(guān)數(shù)據(jù)，怎么計算它的面積？ ⑷比較：“底×鄰邊”與“底×高”兩種方法。2.2引發(fā)思考，猜想公式 ⑴同一個圖形會有兩個面積嗎？ ⑵那你認(rèn)為哪一種肯定是錯誤的？

生認(rèn)為第一種方法是錯誤的，這四個圖形“形狀不同、面積相等”，平行四邊形的面積應(yīng)該等于128平方厘米。

板書：平行四邊形的面積=底×高

⑶那平行四邊形的面積真是這樣計算嗎？還有待研究，打個“？”。

從計算結(jié)果上直接排除“平行四邊形的面積=斜邊×高”的假設(shè)，研究方向變?yōu)椤捌叫兴倪呅蔚拿娣e=底×高”的假設(shè)是否成立。相比數(shù)方格的論證，此環(huán)節(jié)更顯簡單，學(xué)生也容易接受，目標(biāo)指向也更為明確。

3.總結(jié)提煉經(jīng)驗，借助“等積變形”驗證公式，豐富公式的內(nèi)涵 3.1割補法的兩種論證

⑴師依次出示兩個等底等高的平行四邊形（底6cm、高4cm）⑵按照“底×高”的方法，它們的面積分別是多少？

⑶它們的面積都是24平方厘米，但形狀不一樣哦！怎么證明面積相等呢？拿出學(xué)具袋中的材料，試一試。

第一種方案：重合底邊，再把相差的部分剪下來，移到另一邊。第二種方案：兩個圖形都沿高剪開，都可以拼成長方形。

⑷這兩種方法有什么相同點？

割補成形狀一樣的圖形，利用了重疊印證等積變形，板書：轉(zhuǎn)化 3.2割補法的擇優(yōu)論證

⑴出示很多形狀的平行四邊形（底6cm、高4cm）,如果要把它們?nèi)恐睾显谝黄?，哪種方法更方便?（生認(rèn)為都變成投影上的平行四邊形）

⑵請你剪一剪（生欲上講臺），你能在座位上完成嗎？(不能的，我要照樣子剪)⑶避免大家 “搶”這個平行四邊形了（笑聲），請你們在座位上完成，該怎么操作？ ⑷請你們試一試，四人小組內(nèi)把長方形試著重疊起來。（一個小組展示在投影上）⑸全班的長方形都能重疊在上面嗎？（能的）為什么呀？ 結(jié)論：因為轉(zhuǎn)化后的長方形形狀是唯一的。3.3割補圖形的對比溝通

回顧研究的過程，師課件依次演示： ⑴從底開始，拉動底邊形成平行四邊形；

⑵兩個等底等高的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形并重疊； ⑶對比割補前后的圖形。

思考：拼成的長方形和平行四邊形有什么關(guān)系？（完成對推導(dǎo)過程的總結(jié)）

操作經(jīng)驗提升至思維經(jīng)驗，豐富學(xué)生的間接數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。等底等高的平行四邊形有無數(shù)種形狀，而轉(zhuǎn)化為長方形后，形狀就唯一了。在印證許多個 “等底等高不等斜邊”的平行四邊形面積相等的活動中，借助“如何證明這些形狀不同的平行四邊形面積相等”探討割補法的應(yīng)用。學(xué)生想到兩種方法：一種是剪成完全一樣的平行四邊形，一種是剪拼成完全一樣的長方形。進(jìn)一步思考兩種方法的操作難易程度，引出后者更具普遍性。在這一證明的過程中體驗轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，生成了新的經(jīng)驗，也在逐步積累轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗。

4.整合優(yōu)化經(jīng)驗，“等積變形”整合公式，擴(kuò)充公式的外延 4.1“三種圖形”面積計算公式的整合

練習(xí)1.利用字母公式計算下面圖形的面積。（單位：厘米）

演示第一題的格式，生獨立練習(xí)后兩題 反饋時討論：

a.長方形的面積可以用S=ah解決嗎？ b.正方形的面積能用這個公式解決嗎？ c.為什么長方形可以把兩條鄰邊相乘，而平行四邊形不可以？

總結(jié)：長方形的長和寬是互相垂直的，相當(dāng)于底和高，而平行四邊形的兩條鄰邊不是互

相垂直的。

逐個出示下圖，這樣的平行四邊形有無數(shù)個，長方形只是其中最特殊的一種。

4.2底與底邊上的高的對應(yīng)關(guān)系

練習(xí)2.下面（）平行四邊形的面積一定是80平方厘米。

討論1：為什么選C？（底和高互相垂直）

討論2：圖形A的面積會比80大還是小？（引導(dǎo)比較高與斜邊的長度）討論3：圖形B如果以10為底，高畫在哪里？

師：像這樣互相垂直的一組底和高，稱為對應(yīng)的底和高。

局部知識提升為系統(tǒng)知識。長方形和正方形是特殊的平行四邊形，特殊在前兩者的高在“外”，平行四邊形的高在“內(nèi)”；特殊在可以用平行四邊形面積公式解決前兩者的面積計算。歸納它們的相同點：長與寬互相垂直、底和高互相垂直，在計算平行四邊形面積時，是利用一組相對應(yīng)的底和高。并再次否定“底×斜邊”的想法，進(jìn)一步夯實了公式的內(nèi)涵，豐富了公式的外延。

㈡調(diào)整活動次序，落實數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累

“數(shù)格子”方法印證平行四邊形面積公式有其獨特的教學(xué)價值。其一，數(shù)格子方法屬于直觀幾何，操作活動最易積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；其

二、數(shù)格子的方法是延續(xù)長方形面積公式的推導(dǎo)方式，學(xué)生很容易接受；其

三、數(shù)格子的應(yīng)用有現(xiàn)成的學(xué)具，教師可充分利用。我們對此方法做了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，將其放最后教學(xué)，也取得了滿意的結(jié)果。

練習(xí)3.下面的方格是面積為1平方厘米，平行四邊形的面積是（）平方厘米。學(xué)生主要有以下方法：

a.剪下三角形拼到另一邊，轉(zhuǎn)化成長方形。b.數(shù)底和高的長度，直接用公式計算。c.數(shù)格子的數(shù)量。

教師引導(dǎo)學(xué)生對三種方法的評析。

此環(huán)節(jié)數(shù)格子功能真是一舉多得：一是重新論證的公式的準(zhǔn)確性；二是在動手操作中豐富學(xué)生測量面積的直觀體驗，加深對面積的認(rèn)識；三是通過“數(shù)格子”與“數(shù)線段”的比較，明晰長度與面積的區(qū)別；四是引導(dǎo)學(xué)生主動應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想。

㈢挖掘材料價值，落實數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累

1.“活動框架”的教具革新嘗試—— “單層” 變?yōu)椤岸鄬印?/p>

前文探討過“活動框架”對于新知的建構(gòu)是沒有積極作用的。那么，這一經(jīng)典的素材是否可以通過改進(jìn)，重新煥發(fā)她的生命和活力呢。我們做了如下的改進(jìn)：

設(shè)計說明：

a.“活動框架”一般的做法是做“單層”的，即由四根小棒的組合，我們將之改成“多層”的，在演示的時候可以直觀感受拉伸造成的“面的大小”的變化過程，豐富學(xué)生的感知。

b.直觀材料優(yōu)于電腦演示。如果在電腦上演示拉伸的變化效果，讓學(xué)生體驗面積的變化，這樣的操作仍然是不可行的。因為學(xué)生還是以為是透視造成的視覺誤差，而非圖形的形狀的變化，前文已述，這里不再贅述。

2.“活動框架”的教學(xué)價值開發(fā)——“引導(dǎo)材料”變?yōu)椤疤骄坎牧稀?/p>

鑒于對“活動框架”的改進(jìn)設(shè)計，其教學(xué)價值的開發(fā)也變得容易多了。我們將此材料應(yīng)用于新授課后的練習(xí)課。新授課圍繞“等積變形”這一主線，練習(xí)課圍繞“什么因素導(dǎo)致平行四邊形面積的變化”為主線。這樣的處理，分散了教學(xué)難點，也規(guī)避了兩者的干擾。主要活動環(huán)節(jié)如下：

a.長方形框架圍成的面的面積是多少？（涂上顏色）

b.拉伸框架，現(xiàn)在圍成的面的面積是多少？（用同大小白紙貼上）c.繼續(xù)拉伸會有什么變化？

d.拉伸為什么會引起圍成面的面積變化？

e.什么時候圍成的面的面積最大？為什么？（斜邊大于垂直邊）

三、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在教學(xué)中的作用

在教學(xué)時，我們不僅僅是傳承基礎(chǔ)知識、形成基本技能，而是要讓每一個學(xué)生積累必要的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗已作為課程的顯性載體，成為數(shù)學(xué)教學(xué)的直接目標(biāo)。

1.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是教學(xué)的直接目標(biāo)

數(shù)學(xué)活動的設(shè)計意在誘發(fā)學(xué)生經(jīng)歷、體驗活動的過程，促進(jìn)學(xué)生在獨立思考、自主探究的過程中真正理解和掌握相應(yīng)的知識、技能與基本思想，同時獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。值得注意的是，經(jīng)歷是為了體驗，而體驗不是目的，是為了獲得直接的經(jīng)驗，如果不能將體驗抽象、提煉為經(jīng)驗，那么這種經(jīng)歷、體驗就喪失了應(yīng)有的價值。在本課教學(xué)中，課伊始引入七巧板為材料，學(xué)生經(jīng)歷了“重疊”印證面積的關(guān)系，經(jīng)歷了同樣的圖形擺成的不同形狀；體驗到基本圖形間不同的組合方式可以變換圖形的形狀。在此基礎(chǔ)上學(xué)生獲得了“等積變形”的直接經(jīng)驗，這種體驗是深刻的，理解是充分的，其獲得的經(jīng)驗是牢固的。

2.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生獲得知識的催化劑

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗作為學(xué)生直接或間接經(jīng)歷活動過程而獲得的經(jīng)驗，它是學(xué)生獲得對知識理解的重要載體，起到催化劑的作用。等底等高的平行四邊形形狀千變?nèi)f化，依據(jù)面積的大小，可通過剪拼可實現(xiàn)所有圖形的“重疊”，在探究該轉(zhuǎn)化成什么圖形便于“重疊”的思考中，引發(fā)了對“高”的思考，引發(fā)了對轉(zhuǎn)化前后圖形關(guān)系的思考，催化了對新知的思考。

3.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是過程性目標(biāo)的重要內(nèi)容

作為新課程的知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀三維目標(biāo)之一，“過程和方法”一直未能得到很好的落實，其重要原因是與知識、技能相比，這個目標(biāo)沒有“抓手”，不便在教學(xué)中的把握和評價。事實上，過程與方法目標(biāo)實際上體現(xiàn)了新課程對于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)、學(xué)科能力的要求，而這些要求完全可以通過積累活動經(jīng)驗來完成。本課，學(xué)生在經(jīng)歷七巧板的組拼——平行四邊形的面積怎么計算——怎么讓平行四邊形重疊起來——長方形與平行四邊形的關(guān)系等諸多環(huán)節(jié)體現(xiàn)對過程價值的追求，豐富學(xué)生的經(jīng)驗積累，學(xué)生經(jīng)歷這樣的研究過程，對轉(zhuǎn)化思想有更深刻的領(lǐng)悟。

4.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是依靠感性材料積累

選擇優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)活動素材能為學(xué)生積累和形成經(jīng)驗提供最重要的前提。它有助于學(xué)生在經(jīng)歷與體驗問題解決的過程中，進(jìn)一步豐富和發(fā)展自己已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并掌握和領(lǐng)會進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的思想、策略和方法，形成具有個性特點的新的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。對于其做數(shù)學(xué)和開展數(shù)學(xué)活動，建構(gòu)新知識的心理意義和形成合理的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)都有這至關(guān)重要的作用。

主要參考文獻(xiàn)

1.張奠宙、孔凡哲等 《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》

2.孔凡哲、張勝利

《基本活動經(jīng)驗的類別與作用》 3.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011年版》

第五篇：高中數(shù)學(xué)三角形面積公式

高中數(shù)學(xué)三角形面積公式

由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形叫做三角形。平面上三條直線或球面上三條弧線所圍成的圖形。三條直線所圍成的圖形叫平面三角形;三條弧線所圍成的圖形叫球面三角形，也叫三邊形。面積公式：

(1)S=ah/2

(2).已知三角形三邊a,b,c，則(海倫公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C，則S=1/2 * absinC

(4).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r

S=(a+b+c)r/2

(5).設(shè)三角形三邊分別為a、b、c，外接圓半徑為R

S=abc/4R

(6).根據(jù)三角函數(shù)求面積：

S= absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R