第一篇：蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2教案立體幾何初步第9課時(shí)平行直線(二)

第9課時(shí)平行直線

（二）教學(xué)目標(biāo)：

使學(xué)生了解并掌握等角定理及其推論；通過(guò)對(duì)等角定理證題思路的分析，幫助同學(xué)進(jìn)一步熟悉分析法、綜合法，提高同學(xué)的解題能力；會(huì)應(yīng)用等角定理及其推論證明簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題；使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物之間的相似性和變異性，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

等角定理及其推論.等角定理解決了角在空間中的平移問(wèn)題，在平移變換下，角的大小不變.它是兩條異面直線所成角的依據(jù)，也是以后研究二面角及與角有關(guān)的內(nèi)容的理論基礎(chǔ)，而且還提供了一個(gè)研究角之間關(guān)系的重要方法——平移法。

教學(xué)過(guò)程：

1．復(fù)習(xí)回顧：

［師］上節(jié)課我們討論了空間兩條直線的位置關(guān)系和平行公理，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，空間兩條直線的位置關(guān)系有幾種，其特征各是什么？平行公理的具體內(nèi)容是怎樣的？ ［生甲］空間兩條直線的位置關(guān)系有三種，分別是相交、平行、異面，它們各自的特征是：相交直線——有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線——在同平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi)或既不相交又不平行的兩條直線.［生乙］平行公理是：平行于第三條直線的兩條直線互相平行.［師］好！同學(xué)們的回答完全正確.我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：

（如圖）在正方體AC1中，求證BC1 ∥ AD1.＝

分析：要想證明BC1 ∥ AD1，只要證明—— ＝

［生］只要證明四邊形ABC1D1是平行四邊形就

行了.（學(xué)生若答不出來(lái)，教師可做必要的提示、誘導(dǎo)）.［師］怎樣證明四邊形ABC1D1是平行四邊形呢？

［生］只要證明C1D1 ∥ AB就行了.＝

［師］怎樣證明C1D1 ∥ AB呢？ ＝

［生］因?yàn)镃1D1 ∥ A1B1,AB ∥ A1B1，由平行公理C1D1 ∥ AB.＝＝＝

［師］至此，我們找到了證明的思路，請(qǐng)一位同學(xué)在黑板上寫出證明過(guò)程，其余同學(xué)在下面自己整理，寫出證明.A1B1 ??C1D1 ∥＝證明：? ?C1D1 ∥ AB?四邊形ABC1D1是平行四邊形?BC1 ∥ ADAB ∥ A1B1＝＝??＝

［師］通過(guò)剛才的分析與證明，我們是否可類似地說(shuō)正方體中AB1 ∥ DC1呢？ ＝

［生］（觀察，答）可以.［師］為什么？

［生］道理與剛才的證明相同.［師］可不可以說(shuō)，正方體相對(duì)兩個(gè)面上的同向或逆向的兩條對(duì)角線平行且相等呢？ ［生］可以.［師］大家再觀察一下，正方體上的哪些棱是平行且相等的呢？

［生］??（讓學(xué)生答一答是有好處的）.［師］到今天為止，我們學(xué)習(xí)立體幾何已有好幾天了，大家是否想過(guò)：直線有長(zhǎng)短嗎？平面有大小嗎？

［生］直線沒(méi)有長(zhǎng)短，它是向兩個(gè)方向無(wú)限伸長(zhǎng)的，平面沒(méi)有大小，它是向四面無(wú)限擴(kuò)展的.［師］直線不僅沒(méi)有長(zhǎng)短，而且沒(méi)有粗細(xì)；平面不僅沒(méi)有大小，而且沒(méi)有厚薄，同樣的點(diǎn)沒(méi)有大小.大家再考慮一下，確定一條直線的條件是什么？確定一個(gè)平面的條件是什么？

［生］兩點(diǎn)確定一條直線；不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，直線與它外面的一點(diǎn)確定一個(gè)平面，兩條相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面.［師］很好！平行的傳遞性在平面內(nèi)是成立的，在空間也是成立的，這就是我們學(xué)習(xí)的平行公理，也可以說(shuō)平行的傳遞性從平面推廣到空間仍是成立的.在平面幾何中，順次連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)，可以得到一個(gè)平行四邊形，昨天我們做的一個(gè)作業(yè)題，順次連結(jié)空間四邊形各邊的中點(diǎn)，同樣也可以得到一個(gè)平行四邊形，這個(gè)可不可以說(shuō)也是從平面到空間的一個(gè)推廣呢？

［生］可以.［師］從上面的這些例子可以看出，有些平面圖形的性質(zhì)，可以推廣到空間圖形中來(lái)，這種根據(jù)事物的特性，由已知性質(zhì)推導(dǎo)出未知性質(zhì)的方法叫類比法，類比法是人類發(fā)現(xiàn)真理的一種重要方法.［師］大家再來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：在平面幾何中，我們學(xué)過(guò)這樣一個(gè)定理：“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等”，這個(gè)定理能不能推廣到空間圖形呢？

（學(xué)生不知該怎樣回答）

［師］今天我們就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題.2．新課討論：

［師］請(qǐng)大家先用竹簽比試比試.看這兩個(gè)角是否相等.（學(xué)生動(dòng)手、觀察）

［師］一艘大貨輪與一只小船在大海中都向東北方向航行，他們前行的方位角怎樣呢？

（學(xué)生思考，通過(guò)動(dòng)手演示、觀察，實(shí)例思考，不難從感性上對(duì)這個(gè)命題加以肯定）.［師］我們已觀察到“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相

同，那么這兩個(gè)角相等”，（板書定理）現(xiàn)在讓我們從理論上對(duì)這個(gè)命題加以證明.已知：∠BAC和∠B′A′C′的邊AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同，（AB∥

A′B′且方向相同，即AB的方向相同，AC∥A′C′且方向相同，即 與AC的方向相同）.求證：∠BAC＝∠B′A′C′.分析：對(duì)于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面內(nèi)的情形，在初中平面幾何中已作過(guò)證明，下面我們證明兩個(gè)

角不在同一平面內(nèi)的情形.［師］在平面幾何中，要證明兩個(gè)角相等，我們用過(guò)哪些方法？

（學(xué)生回憶、思考、發(fā)言）

［生］對(duì)頂角相等；

同腰三角形的兩底角相等；

平行線中的同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）相等；

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，等等.［師］現(xiàn)在∠BAC與∠B′A′C′是不在同一平面內(nèi)的兩個(gè)角，如何證明它們相等呢？

（同學(xué)們議論、發(fā)言）

［生］因?yàn)樗鼈儾皇菍?duì)頂角，也不是同一個(gè)三角形的兩個(gè)角，因而不能用“對(duì)頂角相等”或“等腰三角形的兩底角相等”來(lái)證明，它們不在同一平面內(nèi)，因而也不可能是同位角或內(nèi)錯(cuò)角，因此也就不能用平行線的性質(zhì)去證明.考慮能不能用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)來(lái)證.［師］××同學(xué)的分析很好！要想用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)證.首先得有三角形，而現(xiàn)在的圖中僅是兩個(gè)角，為此需要以這兩個(gè)角為基礎(chǔ)，構(gòu)造出兩個(gè)三角形，既然是要構(gòu)造三角形，干脆從全等考慮好了.在AB、A′B′、AC、A′C′上分別截取AD＝A′D′、AE＝A′E′，連結(jié)DE、D′E′，得到△ADE和△A′D′E′

我們來(lái)看這兩個(gè)三角形是否全等.［生］這兩個(gè)三角形已經(jīng)有兩條邊對(duì)應(yīng)相等（AD＝A′D′，AE＝A′E′，所作），再有一個(gè)條件兩個(gè)三角形就能全等了.［師］再找個(gè)什么條件呢？找角雖然不可能.若能，我們的問(wèn)題就解決了，還麻煩什么呢？那就只有集中精力證DE＝D′E′了.大家看怎樣來(lái)證明DE＝D′E′呢？DE、D′E′孤零零的兩條線段，沒(méi)有聯(lián)系，怎樣證呢？

［生］（受到孤零零，找聯(lián)系的啟示）添輔助線將DE、D′E′聯(lián)系起來(lái)，連結(jié) DD′、EE′，若能證明DEE′D′是平行四邊形就好了

［師］怎樣證明四邊形DEE′D′是平行四邊形呢？大家再想想辦法看.［生］只要證明DD′∥ EE′就行了.＝

［師］要想證明DD′∥ EE′，還得再找一個(gè)“媒介”.能否再找到一條線段，使＝

DD′、EE′都和它平行并且相等呢？

（同學(xué)們觀察圖形、思考分析）

［生］連結(jié)AA′.在四邊形AA′E′E中，因?yàn)锳E=A′E′，AE∥A′E′,所以四邊形AA′E′E是平行四邊形，所以EE′∥ AA′，同樣道理 ＝

可得DD′∥ AA′，由平行公理DD′∥ EE′.＝＝

［師］至此，問(wèn)題得到解決，請(qǐng)同學(xué)們?cè)侔阉悸防硪焕恚瑢懗龆ɡ淼淖C明過(guò)程.（學(xué)生再看題，理順?biāo)悸?，整理信息，?qǐng)一位同學(xué)將證明過(guò)程板書于黑板上）

證明：在AB、A′B′、AC、A′C′上分別截取AD＝A′D′，AE＝A′E′，連DE、D′E′，連DD′、EE′、AA′

.［師］通過(guò)理論上的證明.我們說(shuō)“如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等”，無(wú)論在平面，還是在空間都是成立的.把上面兩個(gè)角的兩邊都反向延長(zhǎng)，可得出下面的推論：

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行.那么這兩組直線所成的銳角（或直

角）相等.［師］請(qǐng)同學(xué)們注意：這個(gè)定理及其推論對(duì)于平面圖形是成立的，對(duì)于空間圖形也是成立的.平面圖形的性質(zhì)可以推廣到空間圖形的例子，盡管我們舉了數(shù)個(gè)，但并不是所有平面圖形的性質(zhì)都可以推廣到空間圖形中來(lái).例如，在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，但在空間，垂直于同一條直線的兩直線可以平行，也可以相交，還可以是異面直線.以后當(dāng)我們學(xué)習(xí)了更多的空間圖形的性質(zhì)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，還有許多平面圖形的性質(zhì)不能推廣到空間圖形.由此可見(jiàn)，根據(jù)事物的相似性，我們可以用類比的方法推導(dǎo)出許多新的性質(zhì).但又不能濫用類比，若忽視了事物的變異性，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的推理，這是在推理過(guò)程中需要特別注意的地方.一般地說(shuō)，要把關(guān)于平面圖形的結(jié)論推廣到空間圖形，必須經(jīng)過(guò)證明，絕不能單憑自己的主觀猜測(cè)。

3．課堂練習(xí)：

課本P26練習(xí).4．課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們討論了等角定理及其推論，它是我們學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ).對(duì)于等角定理，5．課后作業(yè)：

1、E、F、G、H2＝a，AC·BD＝b，求EG＋

2、如圖，已知棱長(zhǎng)為a點(diǎn)。（1）求證：四邊形MNA1C1（2）求四邊形MNAC1

11.預(yù)習(xí)課本P26~P28

2.預(yù)習(xí)提綱

（1）異面直線的概念.（2（3（4）異面直線所成角的范圍是怎樣的？

（5）怎樣的兩條異面直線互相垂直？

（6）互相垂直的兩異面直線怎樣表示？

（7）兩條異面直線的公垂線的定義是什么？

（8）兩條異面直線的公垂線有什么特征？

（9）兩條異面直線的公垂線有幾條？

（10）兩條異面直線的距離的定義是什么？

思考與練習(xí)：

1.如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，但方向都相反，這兩個(gè)角關(guān)系怎樣？試畫圖并證明.提示：證明方法與等角定理的證法相同.2.空間的兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角的大小關(guān)系是_______.答案：相等或互補(bǔ)

3.在空間一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直相交，則這兩個(gè)角的大小關(guān)系是_______.答案：不能確定

4.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，∠CBB1的兩邊與哪個(gè)角的兩邊平行且方向相同？

∠CBB1的兩邊與哪個(gè)角的兩邊平行且方向相反？∠CBB1的兩邊和哪個(gè)角的兩邊平行，且一邊方向相同而另一邊方向相反？

答案：∠CBB1與∠DAA1的兩邊平行且方向相同； ∠CBB1與∠DD1A1、∠CC1B1的兩邊平行且方向相反； ∠CBB1與∠ADD1、∠AA1D1的兩邊平行，且一邊方向相同而另一邊方向相反.5.如圖，已知線段AA′、BB′、CC′相交于O，且OA?

OA?OB?OC?

OB?OC.求證：△ABC∽△A′B′C′.OA?OB??

證明：OA?OB????A?OB?∽△AOB

?A?OB???AOB??

?A?B?

AB?OA??

OA?

同理B?C??

BC?OB??OB?

C?A?O?C???A?B?

AB?B?C?

BC?C?A??

CA?OC?CA

?

OA?OB?O

OA?OB?C??

OC??

△ABC∽△A′B′C′.

第二篇：蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2教案立體幾何初步第21課時(shí)兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)

第21課時(shí)兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

使學(xué)生掌握兩個(gè)平面的位置關(guān)系，兩個(gè)平面平行的判定方法及性質(zhì)，并利用性質(zhì)證明問(wèn)題；注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的運(yùn)用，通過(guò)問(wèn)題解決、提高空間想象能力；通過(guò)問(wèn)題的證明，尋求事物的統(tǒng)一性，了解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)證明問(wèn)題、樹(shù)立創(chuàng)新意識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)：

兩個(gè)平面的位置關(guān)系，兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：

判定定理、例題的證明，性質(zhì)定理的正確運(yùn)用。

教學(xué)過(guò)程：

1．復(fù)習(xí)回顧：

師生共同復(fù)習(xí)回顧，線面垂直定義，判定定理.性質(zhì)定理歸納小結(jié)線面距離問(wèn)題求解方法，以及利用三垂線定理及其逆定理解決問(wèn)題.立體幾何的問(wèn)題解決：一是如何將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面幾何問(wèn)題，二是數(shù)學(xué)思想方法怎樣得到充分利用、滲透，這些都需在實(shí)踐中進(jìn)一步體會(huì).下面繼續(xù)研究面面位置關(guān)系.2．講授新課：

1.兩個(gè)平面的位置關(guān)系

除教材上例子外，我們以所在教室為例，觀察面與面之間關(guān)系.［師］觀察教室前后兩個(gè)面，左、右兩個(gè)面及上下兩個(gè)面都是平行的，而其相鄰兩個(gè)面是相交的.［師］打開(kāi)教材一個(gè)是豎直放在桌上，其間有許多個(gè)面，它們共同點(diǎn)是都經(jīng)過(guò)一條直線.觀察教室的門與其所在墻面關(guān)系，隨著門的開(kāi)啟，門所在面與墻面始終有一條公共線.結(jié)合生觀察教室的結(jié)論、引導(dǎo)其尋找平面公共點(diǎn)，然后給出定義.定義：如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，我們就說(shuō)這兩個(gè)平面互相平行.如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，它們相交于一條公共直線.兩個(gè)平面的位置關(guān)系只有兩種：

（1）兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)；

（2）兩個(gè)平面相交——有一條公共直線.［師］兩個(gè)平面平行，如平面α和平面β平行，記作α∥β

2.兩個(gè)平面平行的判定

判定兩個(gè)平面平行可依定義，看它們的公共點(diǎn)如何.［師］由兩個(gè)平面平行的定義可知：其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個(gè)平面平行.這是因?yàn)樵谶@些直線中，如果有一條直線和另一平面有公共點(diǎn)，這點(diǎn)也必是這兩

個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面就不可能平行了.另一方面，若一個(gè)平面內(nèi)所有直線都和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，否則，這兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，那么在一個(gè)平面內(nèi)通過(guò)這點(diǎn)的直線就不可能平行于另一個(gè)平面.由此將判定兩個(gè)平面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行的問(wèn)題，但事實(shí)上判定兩個(gè)平面平行的條件不需要一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一平面，到底要多少條直線（且直線與直線應(yīng)具備什么位置關(guān)系）與另一面平

行，才能判定兩個(gè)平面平行呢？

下面我們共同學(xué)習(xí)定理.兩個(gè)平面平行的判定定理：

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩

個(gè)平面平行.［師］以上是兩個(gè)平面平行的文字語(yǔ)言，另外定理的符號(hào)語(yǔ)言為：

若a?α，b?α，a∩b=A,且a∥α,b∥β，則α∥β.利用判定定理證明兩個(gè)平面平行，必須具備：

①有兩條直線平行于另一個(gè)平面，②這兩條直線必須相交.［師］再?gòu)霓D(zhuǎn)化的角度認(rèn)識(shí)該定理就是：線線相交、線面平行面面平行.［生］在判斷一個(gè)平面是否水平時(shí)，把水準(zhǔn)器在這個(gè)平面內(nèi)交叉地放兩次，如果水準(zhǔn)器的氣泡都是居中的，就可以判定這個(gè)平面和水平面平行，實(shí)質(zhì)上正是利用了面面平行的判定定理.例1：求證：垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行

已知：α⊥AA′,β⊥AA′

求證：α∥β.分析：要證兩個(gè)平面平行，需設(shè)法證明一面內(nèi)有兩相交線

與另一面平行，那么由題如何找出這兩條線成為關(guān)鍵.如果這樣的線能找到問(wèn)題也就解決啦.誘導(dǎo)學(xué)生思考怎樣找線.［生］通過(guò)作圖完成找線，利用轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題、證明如下：

證明：設(shè)經(jīng)過(guò)AA′的兩個(gè)平面γ、θ分別與平面α、β相交于直線a、a′和b、b′

∵AA′⊥α，AA′⊥β

∴AA′⊥a,AA′⊥a′

又a?γ,a′?γ∴a∥a′,于是a′∥a

同理可證b′∥a又a′∩b′=A′∴α∥β.［師］這是一個(gè)重要的結(jié)論，主要用來(lái)判斷空間的直線與平面具備條件：兩個(gè)平面垂直于同一直線，則應(yīng)有：這兩個(gè)平面平行.用符號(hào)語(yǔ)言就可以表示為：

l⊥α，l⊥β?α∥β.此題也告訴我們，空間的兩個(gè)平面平行，其判定方法：1°定義.2°判定定理.3°例1結(jié)論

.［師］請(qǐng)同學(xué)思考：兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一面具有什么關(guān)系？

［生］通過(guò)作圖可以發(fā)現(xiàn)，若平面α和平面β平行，則兩面無(wú)公共點(diǎn)，那么也就意味著平面α內(nèi)任一直線a和平面β也無(wú)公共點(diǎn)，即直線a和平面β平行.用式子可表示為：α∥β，a?α?a∥β

用語(yǔ)言表述就是：

如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面.［師］歸納總結(jié).此結(jié)論在以后的解決問(wèn)題過(guò)程中可直接運(yùn)用，既是面面平行的性質(zhì)定理，又是線面平行的判定定理.［師］如圖，設(shè)α∥β，α∩γ＝a,β∩γ＝b，我們研究?jī)蓷l交線a、b的位置關(guān)系.［生］觀察、分析可發(fā)現(xiàn)

因?yàn)棣痢桅?，所以a、b沒(méi)有公共點(diǎn)，而a、b又同在平面γ內(nèi)，于是有a∥b

［師］下面給出兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.已知：α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b

求證：a∥b.分析：師生共同活動(dòng)

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道判定兩線平行的途徑有：

（1）利用定義：在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線平行.（2）運(yùn)用公理：證明這兩直線平行于同一直線.（3）依據(jù)性質(zhì)定理：線面平行的性質(zhì)定理，如果一條直線平行于一個(gè)平面、經(jīng)過(guò)這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線和交線平行，線面垂直的性質(zhì)定理，垂直于同一平面的兩條直線平行.而題目中證明a∥b，a、b又同在平面γ內(nèi)，且分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)，因此本題的證明可利用方法（1）.證明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β沒(méi)有公共點(diǎn)

又a?α，b?β

∴直線a、b沒(méi)有公共點(diǎn)

又∵α∩γ＝a，β∩γ＝b

∴a?γ，b?γ

∴a∥b.［師］同學(xué)們接下來(lái)研究?jī)蓚€(gè)平行平面內(nèi)的所有直線是否都平

行.已知兩個(gè)平面平行，依據(jù)性質(zhì)定理：

一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行另一平面

.依據(jù)性質(zhì)定理：若有第三個(gè)平面和兩個(gè)平行平面相交，那么它們的交線平行，但是，能不能說(shuō)兩個(gè)平行平面內(nèi)的所有直線都是互相平行的呢？如上圖，α∥β，a?α，b?β，可以看出：只有當(dāng)a、b確定平面時(shí)，依據(jù)性質(zhì)定理，a與b才平行，否則就不平行，直線a與b能相交嗎？

［生］不能.這是因?yàn)?，若a∩b=A∵a?α,∴A∈α

又b?β，∴A∈β∴α與β必相交

因此a、b不可能相交.由此在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線，它們可能是平行直線，也可能是異面直線.師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：兩個(gè)平行平面的判定定理與性質(zhì)定理的作用，要害都集中在“平行”二字上，判定定理解決的問(wèn)題是；在什么樣的條件下兩個(gè)平面平行，性質(zhì)定理說(shuō)明的問(wèn)題是；在什么樣的條件下兩條直線平行，前者給出了判定兩個(gè)平面平行的一種方法；后者給出了判定兩條直線平行的一種方法.［師］下面以例題說(shuō)明性質(zhì)定理在解決問(wèn)題時(shí)作用.例2：求證：如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面.已知:α∥β，l⊥α，l∩α＝A

求證：l⊥β.［設(shè)法創(chuàng)造條件，找到平面γ，使之與平面α和平面β相交，使

之可利用性質(zhì)定理解決問(wèn)題.］

證明：在平面β內(nèi)任取一條直線b，平面γ是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A與直線b的平面，設(shè)γ∩α＝a

因?yàn)閎是平面α內(nèi)任意一條直線，所以根據(jù)直線與平面垂直的定義，可知l⊥β.［師］上述例2所證明的命題用符號(hào)表示就是α∥β,l⊥α?l⊥β.用轉(zhuǎn)化的思想可解釋為

面面平行、線面垂直線面垂直

這是一個(gè)關(guān)于兩個(gè)平面平行的性質(zhì)的一個(gè)命題，可以用來(lái)判斷直線與平面垂直.4.兩個(gè)平行平面的距離

［師］由線面距離，進(jìn)一步研究面面距離，請(qǐng)同學(xué)歸納表述.［生］（1）兩個(gè)平行平面的公垂線、公垂線段的定義：

和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段.α∥β

如果AA′,BB′都是它們的公垂線段

那么AA′∥ΒΒ′

依兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

有A′B′∥AB

那么四邊形ABB′A′是平行四邊形，AA′＝BB′

由此我們得到，兩個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面的公垂線段都相等.（2）兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面的距離.3．課堂練習(xí)：

課本P41練習(xí)1，2，3，44．課時(shí)小結(jié)：

本節(jié)課主要研究如何證明兩個(gè)平面平行？其途徑可以選擇從公共點(diǎn)的角度考慮.但要說(shuō)明兩面沒(méi)有公共點(diǎn)，是比較困難的，而要用定理判定的話，關(guān)鍵是線應(yīng)具備“相交”“平行”要求.例1也可作為結(jié)論直接運(yùn)用；兩個(gè)平面平行，即面面平行，可得，其中一面內(nèi)的線平行于另一個(gè)平面，即線面平行；兩個(gè)平面平行，即面面平行，可得，兩個(gè)平面與第三平面相交，交線平行，即線線平行；求面與面距離可轉(zhuǎn)化為線面距離，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。

5．課后作業(yè)：

課本P47習(xí)題1、2、3、4、5.

第三篇：第3課時(shí) 中心投影和平行投影(立體幾何--蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2教案全部)

第3課時(shí)

中心投影和平行投影

教學(xué)目標(biāo)：

使學(xué)生掌握函數(shù)圖像的畫法.教學(xué)重點(diǎn)：

函數(shù)圖像的畫法.教學(xué)難點(diǎn)：

函數(shù)圖像的畫法.教學(xué)過(guò)程：

Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧

黃牛課件

004km.cn

第四篇：蘇教版高中數(shù)學(xué)必修2教案立體幾何初步第16課時(shí)直線與平面垂直的判定(一)

第16課時(shí)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

（一）教學(xué)目標(biāo)：

使學(xué)生能夠利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想證明立體幾何問(wèn)題，提高學(xué)生邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生由圖形想象出位置關(guān)系的能力；利用所學(xué)知識(shí)解釋生活現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性，能辯證地看待問(wèn)題，學(xué)會(huì)分析事物間關(guān)系，進(jìn)而選擇解決問(wèn)題途徑。教學(xué)重點(diǎn)：

直線和平面垂直的判定。

教學(xué)難點(diǎn)：

判定定理的證明。

教學(xué)過(guò)程：

1．復(fù)習(xí)回顧：

［師］直線和平面平行的判定方法有幾種？

［生］可利用定義判斷，也可依判定定理判斷.2．講授新課：

1.直線和平面垂直的定義

［師］該章的章圖說(shuō)明旗桿與其影子之間構(gòu)成的幾何圖形，請(qǐng)同學(xué)思考，隨著時(shí)間的變化，影子在移動(dòng)，這是變的一面，那么不變的一面是什么呢？

［討論、觀察片刻，提醒學(xué)生從位置關(guān)系去分析，師可用電

筒照射一桿，讓學(xué)生得出結(jié)論］進(jìn)而提醒學(xué)生觀察右圖。

［生］由圖形可知，旗桿與地面內(nèi)任意一條徑B的直線垂直

（若先回答射影，可引導(dǎo)其抽象為直線）

師進(jìn)一步提出：那么旗桿所在線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的線

位置如何呢？依據(jù)是什么？

［生］垂直.依據(jù)是異面直線垂直定義.生在師的誘導(dǎo)下，嘗試地給出直線和平面垂直的定義：

如果一條直線l和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l和平面α互相垂直.可記作l⊥α

其中直線l叫平面α的垂線.平面α叫直線l的垂面.［師］“任意一條直線”，說(shuō)明直線l必須和平面內(nèi)的所有直線都具有垂直關(guān)系.不能理解成無(wú)數(shù)條線，必須是全部.同學(xué)可找一反例說(shuō)明.［生］當(dāng)一條直線和一平面內(nèi)一組平行線垂直時(shí)，該直線不一定和平面垂直.（可舉教材中每一行字看成平行線，當(dāng)鋼筆與其垂直時(shí)，不一定鋼筆就與教材所在面垂直）［師］若l∥α或l?α，則l此時(shí)不會(huì)和α內(nèi)任意一條直線垂直，由此，當(dāng)l與α具有l(wèi)⊥α關(guān)系時(shí)，直線l一定和α相交.直線和平面垂直時(shí)，它們惟一的公共點(diǎn)，即交點(diǎn)叫垂足.師進(jìn)一步給出直線與平面垂直時(shí)，直觀圖的畫法

.（師生共同規(guī)范地畫出直線與平面垂直關(guān)系）

畫直線與水平平面垂直時(shí)，要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的橫邊垂直 l⊥α點(diǎn)P是垂足

讓學(xué)生觀察投影片中所給四個(gè)圖形，能得出什么結(jié)論.經(jīng)師誘導(dǎo)，生得到結(jié)論.［生］圖（1）、（2）說(shuō)明經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)P作α的垂線只有一條，圖（3）、（4）說(shuō)明，經(jīng)過(guò)空間一點(diǎn)P作l的垂面只有一個(gè).除定義外，直線和平面垂直的判定還有什么方法呢？

2.直線和平面垂直的判定

例1：求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.已知：a∥b，a⊥α

求證：b⊥α

分析：要證b⊥α，需證b與α內(nèi)任意一條直線m垂直.運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想證明與b平行的線a垂直于m，則

需依題設(shè)直線m存在.進(jìn)而運(yùn)用線垂直于面

線垂直于面內(nèi)線完成證明.學(xué)生依圖，及分析寫出證明過(guò)程

證明：設(shè)m是α內(nèi)的任意一條直線

［此結(jié)論可以直接利用，判定直線和平面垂直］

給出判定定理，學(xué)生思考證明途徑.直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么

這條直線垂直于這個(gè)平面.已知：m?α，n?α，m∩n=B，l⊥m，l⊥n.求證：l⊥α.分析：此定理要證明，需達(dá)到l⊥α關(guān)系.而由定義知只要能設(shè)法證明l垂直于α內(nèi)任一條直線

即可，不妨設(shè)此線為g，則需證l⊥g就可以.證明l⊥g較困難，同學(xué)可考慮線段垂直平分線性質(zhì).學(xué)生先思考，如何先確定線位置

.由于已知條件中有m∩n=B,所以可先從l、g都通過(guò)點(diǎn)B的情況證起，然后再推廣到其他情形，也可看成是分類討論思想滲透.證明過(guò)程學(xué)生可先表述，然后共同整理.證明：設(shè)g是平面α內(nèi)任一直線.（1）當(dāng)l、g都通過(guò)點(diǎn)B時(shí)，在l上點(diǎn)B的兩側(cè)分別取點(diǎn)A、A′，使AB=A′B，則由已知條件推出m、n都是線段AA′的垂直平分線.1°g與m（或n）重合那么依l⊥m（或l⊥n）可推出l⊥g.2°g與m（或n）不重合，那么在α內(nèi)任作一線CD

m∩CD=C,n∩CD=D,g∩CD=E

連結(jié)AC、A′C、AD、A′D、AE、A′E.∵AC=A′C，AD=A′D，CD=CD，∴△ACD≌△A′CD,得∠ACE=∠A′CE

即△ACE≌△A′CE,那么AE=A′E

∴g是AA′的垂直平分線，于是l⊥g

（2）當(dāng)l、g不都通過(guò)點(diǎn)B時(shí)

過(guò)點(diǎn)B作l′、g′，使l′∥l，g′∥g

同理可證l′⊥g′，因而l⊥g

綜上所述，無(wú)論l、g是否通過(guò)點(diǎn)B，總有l(wèi)⊥g.由于g是平面α內(nèi)任一直線，因而得l⊥α

［l、g不都通過(guò)點(diǎn)B，可解釋為：l、g之一過(guò)點(diǎn)B，l、g都不過(guò)點(diǎn)B］

［師］對(duì)于判定定理注意二點(diǎn).一是判定定理的條件中，“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語(yǔ)，一定要記準(zhǔn)、用對(duì).二是要判斷一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，這是無(wú)關(guān)緊要的.3．課堂練習(xí)：

1.判斷題

（1）l⊥α?l與α相交（）

（2）m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α（）

（3）l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α（）

解：（1）√若不相交，則應(yīng)有l(wèi)∥α，或l?α.（2）×m、n若是兩條平行直線，則命題結(jié)論不一定正確.（3）√由例題結(jié)論可推得.2.已知三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，求證：其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面.已知：m、l確定平面α，m⊥n,l⊥n，m∩l=o

求證：n⊥α.證明：因

3.求證：平面外一點(diǎn)與這個(gè)平面內(nèi)各點(diǎn)連結(jié)而成的線段中，垂直于平面的線段最短.［連結(jié)平面α內(nèi)的兩點(diǎn)，Q和R，設(shè)PQ⊥α，則∠PQR=90°，在Rt△PQR中，PQ＜PR.4．課時(shí)小結(jié)：

1.定義中的“任何一條直線”這一詞語(yǔ)，它與“所有直線”是同義語(yǔ)、定義是說(shuō)這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直.2.和平面垂直的直線是直線和平面相交的一種特殊形式.3.注意兩個(gè)結(jié)論：

過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直.過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直.4.判定直線和平面是否垂直，本節(jié)課給出了三種方法：

（1）定義強(qiáng)調(diào)“任何一條直線”；

（2）例1的結(jié)論符合“兩條平行線中一條垂直于平面”特征；

（3）判定定理必須是“兩條相交直線”.5．課后作業(yè)：

預(yù)習(xí)：

（1）性質(zhì)定理主要是講什么？條件、結(jié)論各是什么？

（2）直線到平面距離如何轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面距離？

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修二 兩條直線的平行與垂直

2.1.3 兩條直線的平行與垂直

重難點(diǎn)：能熟練掌握兩條直線平行和垂直的條件并靈活運(yùn)用，把研究?jī)蓷l直線的平行或垂直問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為研究?jī)蓷l直線的斜率的關(guān)系問(wèn)題．

經(jīng)典例題：已知三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)是B(2,1)、C(-6, 3), 垂心是H(-3, 2), 求第三個(gè)頂A的坐標(biāo)．

當(dāng)堂練習(xí)：

1．下列命題中正確的是（）

A．平行的兩條直線的斜率一定相等B．平行的兩條直線的傾斜角相等

C．斜率相等的兩直線一定平行D．兩直線平行則它們?cè)趛軸上截距不相等

2．已知直線mx+ny+1=0平行于直線4x+3y+5=0,且在y軸上的截距為，則m,n的值分別為（）

A．4和3B．-4和3C．-4和-3D．4和-

33．直線:kx+y+2=0和:x-2y-3=0, 若,則在兩坐標(biāo)軸上的截距的和（）

A．-1B．-2C．2D．6

4．兩條直線mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的條件是（）

A.m=1B．m=1C．D．或

5．如果直線ax+(1-b)y+5=0和(1+a)x-y-b=0同時(shí)平行于直線x-2y+3=0,則a、b的值為（）

A．a(chǎn)=, b=0B．a(chǎn)=2, b=0C．a(chǎn)=-, b=0D． a=-, b=

26．若直線ax+2y+6=0與直線x+(a-1)y+(a2-1)=0平行但不重合，則a等于（）

A．-1或2B．-1C．2D．

7．已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（0，4），則線段AB的垂直平分線方程是（）

A．2x+y=0B．2x-y+4=0C．x+2y-3=0D．x-2y+5=0

8．原點(diǎn)在直線上的射影是P（-2，1），則直線的方程為（）

A．x+2y=0B．x+2y-4=0C．2x-y+5=0D．2x+y+3=0

9．兩條直線x+3y+m=0和3x-y+n=0的位置關(guān)系是（）

A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．與m,n的取值有關(guān)

10．方程x2-y2=1表示的圖形是（）

A．兩條相交而不垂直的直線B．一個(gè)點(diǎn)

C．兩條垂直的直線D．兩條平行直線

11．已知直線ax－y＋2a＝0與直線(2a－1)x＋ay＋a＝0互相垂直，則a等于（）

A．1B．0C．1或0D．1或－

112．點(diǎn)（4，0）關(guān)于直線5x+4y+21=0對(duì)稱的點(diǎn)是（）

A．（-6，8）B．（-8，-6）C．（6，8）D．（-6，-8）

13．已知點(diǎn)P（a,b）和點(diǎn)Q(b-1,a+1)是關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)，則直線的方程為（）

A．x+y=0B．x-y=0C．x+y-1=0D．x-y+1=0

14．過(guò)點(diǎn)M（3，-4）且與A（-1，3）、B（2，2）兩點(diǎn)等距離的直線方程是__________________．

15．若兩直線ax＋by＋4＝0與(a－1)x＋y＋b＝0垂直相交于點(diǎn)(0, m)，則a＋b＋m的值是_____________________．

16．若直線 1：2x-5y+20=0和直線2：mx-2y-10=0與坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接圓，則實(shí)數(shù)m的值等于 ________．

17．已知點(diǎn)P是直線 上一點(diǎn)，若直線 繞點(diǎn)P沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（00<<900）所得的直線方程是x-y-2=0, 若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)900-，所得的直線方程是2x+y-1=0, 則直線 的方程是___________．

18．平行于直線2x+5y-1=0的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5，求直線的方程．

19．若直線ax+y+1=0和直線4x+2y+b=0關(guān)于點(diǎn)（2，-1）對(duì)稱，求a、b的值．

20．已知三點(diǎn)A(1,0),B(-1,0),C(1,2),求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A并且與直線BC垂直的直線的方程．

21．已知定點(diǎn)A（-1，3），B（4，2），在x軸上求點(diǎn)C，使AC

參考答案：

經(jīng)典例題： BC．

解： ACBH，, 直線AB的方程為y=3x-5(1)ABCH，, 直線AC的方程為y=5x+33(2)

由（1）與（2）聯(lián)立解得A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-19，-62）.當(dāng)堂練習(xí)：

1.B;2.C;3.C;4.D;5.C;6.B;7.C;8.C;9.B;10.C;11.D;12.D;13.D;14.x+3y+9=0 或13x+5y-19=0;15.2或－1;16.-5;17.x-2y-3=0;

18.解：依題意，可設(shè)的方程為2x+5y+m=0, 它與x,y軸的交點(diǎn)分別為（-

(0,-

10=0.19.解：由4x+2y+b=0，即

2x+y+=0, 兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，說(shuō)明兩直線平行，a=2.),由已知條件得：,m2=100, ,0）, 直線的方程為2x+5y在2x+y+1=0上取點(diǎn)（0，-1），這點(diǎn)關(guān)于（2，-1）的對(duì)稱點(diǎn)為（4，-1），又（4，-1）滿足

2x+y+=0, 得b=-14, 所以a=2, b=-14.20.解:kBC==1,kl =-1, 所求的直線方程為y=-(x-1),即x+y-1=0.21.解：設(shè)C(x,0)為所求點(diǎn)，則kAC=, kBC=ACBC,kAC kBC=-1, 即

x=1或x=2,故所求點(diǎn)為C（1，0）或C（2，0）.